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Aula I: Elementos Primitivos e Axiomas de Incidência e Ordem
Aula I
Elementos Primitivos e Axiomas de Incidência e Ordem1
Os elementos básicos do estudo da Geometria são as idéias de ponto, reta e 
plano. Apesar dessas palavras serem conceitos importantes e intuitivos, são difíceis de 
definir. 
O ponto, a reta e o plano não existem no mundo real, são instrumentos que 
usamos para modelar a natureza. Um grão de areia, uma vareta ou um tampo de mesa 
nos dão a idéia de ponto, reta e plano, mas nunca vimos um grão de areia que não tenha 
volume (mesmo pequeno), uma vareta que não tenha espessura e se prolongue 
indefinidamente, ou um tampo de mesa que se prolongue em todas as direções... 
Podemos, porém, imaginar esses elementos e estudar suas propriedades. Indo mais 
além, podemos imaginar partes desses elementos (semi-retas, segmentos, semiplanos, 
etc.), composições dessas partes (ângulos, triângulos, circunferências, etc.) e estudar 
suas propriedades. 
Em nosso estudo da Geometria, não definiremos ponto, reta e plano: esses serão 
elementos primitivos. Usaremos letras maiúsculas (A, B, C, etc.) para designar pontos, 
letras minúsculas (a, b, c, etc.) para designar retas, e letras do alfabeto grego (α, β, γ, 
etc.) para designar planos. 
Veja na figura abaixo como serão representados no papel os elementos primitivos 
ponto, reta e plano. 
Para evoluir em nosso estudo da Geometria Euclidiana precisamos estabelecer 
algumas relações entre os elementos primitivos, chamadas de axiomas ou postulados. 
Axiomas são verdades primitivas, aceitas a priori, e que refletem propriedades dos objetos 
do mundo real que estamos modelando. Eles devem, a princípio, serem de fácil aceitação 
como verdades evidentes. 
A partir dos axiomas é possível demonstrar outras afirmações, chamadas de 
proposições ou teoremas. 
1 Esse texto é um resumo da Aula I da referência: Geometria Básica, Volume I - Módulo I, Autores: Edson Luiz Cataldo Ferreira, 
F. X. Fontene Neto e Isabel Lugão Rios; CEDERJ.
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Nesta aula, veremos alguns axiomas, começando pelos Axiomas de Incidência: 
• Existem infinitos pontos no plano. 
• Por dois pontos distintos passa uma única reta. 
• Dada uma reta, existem infinitos pontos pertencentes a ela, e infinitos pontos fora 
dela. 
Para indicar que um ponto está em uma reta, plano, etc., usaremos o símbolo ∈ 
(pertence). Assim a expressão A ∈ r significa que o ponto A pertence à reta r, ou está na 
reta r. Nesse caso, diz-se também que r passa pelo ponto A. A reta que passa pelos 
pontos A e B será denotada por 
Para indicar que uma reta está contida em um plano, usaremos o símbolo ⊂. 
Assim a expressão r ⊂ α significa que a reta r está contida no plano α. 
O segundo axioma acima diz que, dados dois pontos distintos A e B, sempre existe 
uma (única) reta que passa pelos dois. Se forem dados três pontos, ao invés de dois, 
pode ser que não exista uma reta que passe pelos três, como é o caso dos pontos A, B e 
C na representação abaixo que, neste caso, são chamados de pontos não colineares. 
• A
• B
• c
Dadas duas retas no plano, há três possibilidades: elas se intersectam em um 
único ponto (retas concorrentes), elas não se intersectam (retas paralelas) ou elas têm 
todos os pontos em comum (retas coincidentes). Faça a representação dos três casos 
você mesmo!
Defnição 1: Se um determinado conjunto de pontos está contido em uma mesma 
reta, dizemos que esses pontos são colineares.
Introduziremos a noção de ordem para pontos de uma mesma reta. Para isso, 
considere uma reta r e sobre ela três pontos distintos A, B e C (veja a próxima figura). 
Observe que o ponto B encontra-se entre A e C. Além disso, existem outros pontos entre 
A e C (além de B); só não estão destacados na figura e não designamos letras para eles. 
Existem também pontos que não estão entre A e C. 
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Esses fatos são bastante intuitivos e fazem parte do que chamamos axiomas de 
ordem: 
• Dados três pontos colineares distintos dois a dois, um deles, e apenas um, está 
entre os outros dois.
• Dados dois pontos distintos A e B, existe sempre um ponto C que está entre A e B, 
e um ponto D tal que A está entre D e B.
Enfatizamos que a noção de ordem é para pontos que estão sobre uma mesma 
reta. Assim, quando dizemos que B está entre A e C, em particular, estamos afirmando 
que A, B e C são colineares e diferentes. Além disso, dizer que B está entre A e C é o 
mesmo que dizer que B está entre C e A. 
Com a noção de ordem que acabamos de introduzir, podemos definir alguns 
subconjuntos ou partes de uma reta que são muito importantes. 
Defnição 2: Chamamos segmento de reta AB ao conjunto formado por A, B e 
todos os pontos que estão entre A e B, ou seja, o “pedaço” da reta que começa em A e 
termina em B (ou que começaa em B e termina em A). 
Com o intuito de definir outros elementos importantes para nosso estudo 
(semiplano e semi-reta), introduzimos mais um axioma: 
• Uma reta r do plano α separa o conjunto dos pontos desse plano que não 
pertencem a r em dois conjuntos, α′ e α′′ , tais que: 
− α′ e α′′ são disjuntos (não têm elementos em comum). 
− Se A ∈ α′ e B ∈ α′′, então AB intersecta r (o segmento AB e a reta r têm um 
elemento em comum). 
− Se A e B estão ambos em α′ (ou em α′′ ), então o segmento AB não intersecta a 
reta r. 
Defnição 3: Os conjuntos α′ e α′′ referidos anteriormente são chamados 
semiplanos determinados pela reta r. 
Na próxima figura, A e B pertencem a um mesmo semiplano, pois o segmento AB 
não intersecta r. Dizemos que A e B estão em um mesmo lado de r. Os pontos C e D 
estão em semiplanos opostos, pois CD intersecta r. Dizemos que C e D estão em lados 
opostos de r. 
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Da mesma forma, um ponto pertencente a uma reta separa essa reta em dois 
conjuntos. Mais precisamente, se A está entre B e C e r é a reta que contém esses três 
pontos, o ponto A separa a reta r em duas partes, uma contendo o ponto B e outra 
contendo o ponto C. 
Defnição 4: As partes da reta, referidas acima, são chamadas semirretas 
determinadas pelo ponto A. 
A semirreta que contém o ponto B é denotada por A⃗B e a que contém o ponto C 
́é denotada por A⃗C . Dizemos que a semirreta A⃗C e oposta à semirreta A⃗B (e 
vice-versa). Veja a figura:
Defnição 5: Ângulo é uma figura formada por duas semirretas distintas e não 
opostas com a mesma origem. 
Veja a ilustração de um ângulo:
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Se A⃗B e A⃗C são semirretas definindo um ângulo, diz-se que A é o vértice do 
ângulo. Para designar um ângulo usa-se a notação B ÂC , ou apenas  se não 
houver mais de um ângulo sendo considerado com o vértice A. As semirretas A⃗B e 
A⃗C são os lados do ângulo.
Defnição 6: Dado um ângulo B ÂC , define-se o interior de B ÂC como o 
conjunto de todos os pontos que pertencem à interseção entre o semiplano que contém o 
ponto C e é determinado pela reta de pontos A e B, e pelo semiplano que contém B e é 
determinado pela reta de pontos A e C. Veja a ilustração:
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