Aula 11 (21-05) Matrizes e determinantes

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TECNOLOGIA EM LOGÍSTICA
CALCULO
Prof.ª Dra. Léa Paz da Silva
SP/ 2021.1
 
Plano da Aula 11
Objetivo:
Matrizes
Determinates
Habilidades ou competências esperadas com esta aula.
Escrever matriz identidade
Calcular o determinante
Utilizar matrizes inversas
 
Matrizes
As matrizes são sempre representadas por letras maiúsculas e acompanhadas por índices , nos quais o primeiro número (m) indica a linha e o segundo número (n) indica a coluna.
 
1.Dadas as matrizes, indique a ordem de cada uma delas:
 
1.Dadas as matrizes, indique a ordem de cada uma delas:
 ; 
 
Matriz Genérica
Matriz genérica de m linhas e n colunas
 
 
2.Determine a matriz A = [aij ]2x2, que possui a seguinte lei de formação aij = j2 – 2i. Dos dados do enunciado, temos que a matriz A é de ordem dois por dois, ou seja, possui duas linhas e duas colunas
 
 
2.Determine a matriz A = [aij ]2x2, que possui a seguinte lei de formação aij = j2 – 2i. Dos dados do enunciado, temos que a matriz A é de ordem dois por dois, ou seja, possui duas linhas e duas colunas
 
Lei de formação da matriz, ou seja, a cada elemento satisfaz-se a relação aij = j2 – 2i. Substituindo os valores de i e j na fórmula, temos:
a11 = (1)2 - 2(1) = -1
a12 = (2)2 - 2(1) = 2
a21 = (1)2 - 2(2) = -3
a22 = (2)2 - 2(2) = 0
Portanto, a matriz A é
 
Tipos de Matriz 
Matriz quadrada : número de linhas é igual ao número de colunas 
 
Exemplo:
 
Tipos de Matriz 
Matriz identidade : é uma matriz quadrada que possui todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e os demais elementos iguais a 0, sua lei de formação é
 
Exemplos: 
 
Tipos de Matriz 
Matriz unitária : É uma matriz quadrada de ordem um, ou seja, possui uma linha e uma coluna e, portanto, apenas um elemento.
 
Matriz nula: Uma matriz é dita nula se todos os seus elementos são iguais a zero. Representamos uma matriz nula de ordem m por n por Omxn.
 
Tipos de Matriz 
Matriz oposta : Considere duas matrizes de ordens iguais: A = [aij]mxn e B = [bij]mxn. Essas matrizes serão chamadas de opostas se, e somente se, aij = -bij. Desse modo, os elementos correspondentes devem ser  números opostos
Podemos representar a matriz B = -A.
 
 
 
Tipos de Matriz 
Matriz transposta : Duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]nxm são transpostas se, e somente se, aij = bji , ou seja, dado uma matriz A, para encontrar sua transposta, basta tomar as linhas como colunas.
A transposta da matriz A é denotada por AT. 
 
 
 
Operações com matrizes
Adição e subtração de matrizes : é necessário verificar se as ordens das matrizes são iguais.
Verificada essa condição, a adição e subtração de matriz dá-se somando ou subtraindo os elementos correspondentes das matrizes. Considere as matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]mxn, então:
 
 
 
Operações com matrizes
Multiplicação de matriz por um número real : também conhecida como multiplicação de matriz por uma escalar é dada multiplicando cada elemento da matriz pela escalar.
Seja A = [aij]mxn uma matriz e t um número real, então:
 
 
 
 
Exemplo: 
Considere as matrizes A e B a seguir, determine A + B , A – B , 4A ; 2B-3A.
 
 
Operações com matrizes
Multiplicação de matrizes : o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda. A matriz produto (que vem da multiplicação) possui ordem dada pela quantidade de linhas da primeira e quantidade de colunas da segunda.
 
 
 
Para efetuar a multiplicação entre as matrizes A e B, devemos multiplicar cada uma das linhas por todas as colunas da seguinte maneira: o primeiro elemento de A é multiplicado pelo primeiro elemento de B e, em seguida, somado ao segundo elemento de A e multiplicado pelo segundo elemento de B, e assim sucessivamente
 
Exemplo:
Dadas as matrizes A e B, calcule a produto A.B
 
Exemplo:
Dadas as matrizes A e B, calcule a produto A.B
 
Determinante
O determinante de uma matriz quadrada M é a associação de um número real único, chamado de determinante de M e podemos abreviar por det (M).
 
 
Determinante de matriz de ordem 2
O determinante das matrizes quadradas – aquelas que possuem os mesmo números de linhas e colunas – de ordem 2×2 é calculado pela multiplicação dos elementos da diagonal principal e secundária. Assim:
Exemplo: Calcule o determinante:
 
 
Determinante de matriz de ordem 3
 Para calcularmos o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3×3 temos que utilizar a regra de Sarrus.
Seja A uma matriz quadrada de ordem 3×3
 
 Copiamos a 1ª e 2ª coluna da matriz A para o lado direito da matriz, veja
 
Então: det A = a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a13 . a21 . a32 – a13 . a22 . a31 – a11 . a23 . a32 – a12 . a21. a33
 
Exemplo:
Considere a matriz A abaixo, calcule o determinante:
 
Exemplo:
Considere a matriz A abaixo, calcule o determinante:
det A = 1 . 5 . 3 + 3 . 1 . 2 + 0 . 2 . 1 – 0 . 5 . 2 – 1 . 1 . 1 – 3 . 2 . 3 = 15 + 6 + 0 – 0 – 1 – 18 = 21 – 19 = 2
 
Teorema de Laplace
 Com o teorema de Laplace podemos encontrar o determinante de uma matriz quadrada A da seguinte forma:
Devemos escolher um linha ou coluna aleatoriamente;
Somar os produtos dos elementos da linha ou coluna que escolhemos pelos seus cofatores;
O determinante de A é o resultado encontrado no item 2.
Exemplo: Seja matriz quadrada A a seguir, calcule o seu determinante:
 
 
Teorema de Laplace
 Com o teorema de Laplace podemos encontrar o determinante de uma matriz quadrada A da seguinte forma:
Devemos escolher um linha ou coluna aleatoriamente;
Somar os produtos dos elementos da linha ou coluna que escolhemos pelos seus cofatores;
O determinante de A é o resultado encontrado no item 2.
Exemplo: Seja matriz quadrada A a seguir, calcule o seu determinante:
 
 
 Seja matriz quadrada A a seguir, calcule o seu determinante:
 Pela matriz A, devemos escolher a primeira linha pois contém mais 0 (zeros) e isso nos ajudará a fazer um número menor de cálculos
Então, devemos multiplicar os elementos da linha escolhida pelos seus cofatores:
Assim:
det (A) = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13 + a14 . A14 = 1 . (–1)1 + 1 . D11 + 0 . (–1)1 + 2 . D12 + 2 . (–1)1 + 3 . D13 + 0 . (–1)1 + 4 . D14 = D11 + 2D13
Após isso, vamos calcular os cofatores para os elementos D11 e D13:
Para D11, removendo a linha e coluna do elemento: 
Temos a seguinte
 matriz:
Para D13, removendo a linha e coluna do elemento:
Temos a seguinte
 matriz:
O determinante para as matrizes D11 e D13 foi calculado utilizando a regra de Sarrus para matrizes de ordem 3.
det(D11) = (1 . 0 . 2) + (1 . 1 . 1) + (1 . 3 . 2) – (1 . 0 . 1) – (1 . 1 . 2) – (1 . 3 . 2) = 0 + 1 + 6 – 0 – 2 – 6 = 7 – 8 = -1
det(D13) = (2 . 3 . 2) + (1 . 1 . (-1)) + (1 . 2 . 1) – (1 . 3 . (-1)) – (2 . 1 . 1) – (1 . 2 . 2) = 12 – 1 + 2 – (-3) – 2 – 4 = 17 – 7 = 10
Por fim, D11 + 2 . D13 = -1 + 2 . 10 = -1 + 20 = 19
Portanto, det(A) = 19
 
Referências Bibliográficas
WAITS, B K; FOLEY, G D; DEMANA, F. Pré-Cálculo. Addison Wesley Brasil, 2008;
BOULOS, P.. Pré-Cálculo. 1 ed. São Paulo; Makron Books, 2006.
IEZZI, GELSON; et al. Matemática - volume único. 5 ed. 
São Paulo: Saraiva, 2011.
 
Atividades