Estudo Dirigido - Excitacao pela Base celso e rafal G Final

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CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA
Campus Buritis
ATIVIDADE: Estudo Dirigido
PROFESSOR: LUIZ BRANT PERÍODO: 9o TURNO: NOITE
DISCIPLINA: TEORIA DE VIBRAÇÕES DATA: 02/12/2020 VALOR: 5 Pts
NOME: Celso Oliveira Guimarães RA:11622093
NOME: Rafael Gonçalves de Paula RA: 12103845
EXCITAÇÃO PELA BASE
Frequentemente, máquinas ou partes de máquinas são harmonicamente excitadas através de sua base elástica, que 
pode ser representada por molas e amortecedores. Por exemplo, um automóvel é excitado harmonicamente pela 
superfície de uma estrada através de seu sistema de suspensão, o qual pode ser modelado por uma mola linear em 
paralelo com um amortecedor viscoso conforme figura 1.
Figura 1: Representação de um veículo sendo excitado pela base devido às ondulações da estrada.
Outros exemplos como o coxim que suporta e separa o motor da carroceria de um automóvel, ou o motor
posicionado na asa ou na cauda de uma aeronave. Cada sistema pode ser modelado considerando-o ser excitado por
meio da movimentação de seu suporte. Estas formas de excitação são denominadas Excitação pela Base ou
Movimento do Suporte, e podem ser modelados conforme figura 2.
Figura 2: Modelo de problema de excitação pela base de um objeto de massa m sendo excitado por um deslocamento harmônico y(t), atuando através de um
sistema mola e amortecedor.
Somando as forças relevantes sobre a massa m, figura 2 resulta: (isto é, a força inercial m é igual à soma das duas
forças atuando sobre a massa m):
Para o problema de excitação pela base, assume-se que a base se move harmonicamente, de forma que:
Onde Y representa a amplitude do movimento da base e b a frequência de oscilação da base. A substituição de y(t)
da equação (2) na equação de movimento (1) fornece, após aplicação de algumas relações trigonométricas e alguns
reagrupamentos:
(1)
y(t) = Y.sen(
b
.t)
(2)
A equação 3 se assemelha à equação diferencial obtida quando do somatório de forças envolvidas na Vibração
Forçada Amortecida, dada abaixo em (4):
O que faz concluir que fornecer excitação à base equivale a aplicar uma força harmônica Fo de magnitude igual a
, porém com fase:
 e frequência b.
Portanto, a resposta permanente da equação (3) de Excitação pela Base é a mesma daquela obtida na Vibração
Forçada Amortecida:
onde fo pode ser obtido de:
Portanto, substituindo (6) em (5), tem-se a amplitude X da resposta permanente de uma massa apoiada sobre mola
e amortecimento equivalente, submetida a um deslocamento da base Y(t):
Onde: n é a frequência natural do sistema e b é a frequência de entrada da base.
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Transmissibilidade de Deslocamento
Expressa a razão da magnitude máxima da resposta e a magnitude do deslocamento de uma entrada. É usada para 
descrever como o movimento é transmitido desde a base até a massa m. Saída X em função da entrada Y.
Figura 3: Transmissibilidade de deslocamento X / Y
A partir da equação (7), tem-se:
Adotando o conceito de razão de frequência r = b / n, e substituindo em (8), tem-se:
Com base na equação 9, o gráfico da Transmissibilidade de Deslocamento (X/Y) em função da razão de frequência r
pode ser plotado para diferentes valores de : 
Figura 4: Gráfico da Transmissibilidade de deslocamento (X / Y) em função da razão de frequências (r) para diferentes valores de .
A análise do gráfico permite concluir alguns pontos:
1) Próximo a r = 1 (ressonância), a máxima quantidade de movimentação da base é transferida para a massa m.
2) Para r < 2 a razão de transmissibilidade é maior que 1, indicando que para estes casos, o movimento da
massa é amplificado em relação ao movimento da base. A razão de amortecimento , determina o nível
desta amplificação. Quanto maior, menor a amplificação.
3) Para r > 2 a razão de transmissibilidade é menor que 1, indicando que para estes casos, o movimento da
massa é menor em relação ao movimento da base (redução). A razão de amortecimento , determina o nível
desta redução, porém, nestes casos, quanto menor , maior a redução.
(8)
(9)
Transmissibilidade de Força
Expressa uma medida adimensional de quanto o deslocamento da base de amplitude Y resulta em uma força
aplicada sobre a massa FT. 
Ao contrário da transmissibilidade de deslocamento, a força transmitida não necessariamente diminui para r > 2.
De fato, a medida que o fator de amortecimento aumenta, a força transmitida também aumenta para r > 2,
conforme gráfico da figura 5.
Figura 5: Gráfico da Transmissibilidade de força (FT / kY) em função da razão de frequências (r) para diferentes valores de .
A fim de comparação, os gráficos de Transmissibilidade de Deslocamento e Transmissibilidade de Força podem ser
sobrepostos, resultando no gráfico da figura 6:
 
   222
2
2
21
21
rr
r
r
kY
FT





Transmissibilidade de Deslocamento
Transmissibilidade de Força
(10)
EXEMPLO:
Um exemplo muito comum de excitação pela base é o modelo com um grau de liberdade de um automóvel sendo
guiado sobre uma pista acidentada, conforme figura abaixo. A pista é aproximadamente uma senoidal, promovendo
sobre a base um deslocamento dado por: 
Determine o efeito do valor da velocidade sobre a amplitude de deslocamento do automóvel. Assuma que o sistema
de suspensão forneça uma rigidez equivalente de 4x105 N/m e amortecimento de 20x103 N.s/m sobre um automóvel
de massa 1.007 kg à 20 km/h. Posteriormente, analise o efeito da variação da massa do carro.
A frequência de deslocamento da base b pode ser encontrado em função da velocidade v do veículo:
A 20 km/h, b = 5,818 rad/s
A frequência natural do sistema pode ser calculada por:
Por sua vez, a razão de frequências r = 5,818 / 19.93 = 0,292 e a razão de amortecimento é igual:
Por fim, a amplitude da deflexão experimentada pelo veículo pode ser calculada pela equação (9):
Isto significa que 1 cm de irregularidade da estrada é transformado em 1,1 cm de “solavanco” experimentado pelo
chassis e consequentemente transmitido para os ocupantes. Consequentemente, a suspensão amplifica as
irregularidades da estrada nestas circunstâncias. A tabela 1 lista diferentes valores de deslocamento para dois
diferentes veículos viajando a 4 diferentes velocidades, submetidos a irregularidade de 1 cm.
Tabela 1 – Comparação de velocidade, frequência e deslocamento para dois diferentes veículos
O veículo 1, com razão de frequências r1 é um carro popular com 1.007 kg de massa, enquanto o veículo 2 é um sedã
de 1.585 kg com razão de frequência r2. A mesma suspensão foi usada em ambos os veículos para ilustrar a
necessidade de projetar sistemas de suspensão baseados nas especificações dos veículos. Note que, para altas
velocidades, menores vibrações são experimentadas pelos ocupantes do sedã. Note também que os parâmetros da
suspensão escolhidos (k e c) trabalham melhor para o sedã, exceto para velocidades muito baixas.
EXERCÍCIOS
1) Uma retífica está apoiada sobre um isolador que tem uma rigidez de 1x10 6 N/m e uma constante de amortecimento viscoso
de 1x103 Ns/m. O piso sobre a qual a máquina está montada está sujeito à uma perturbação harmônica devido ao
funcionamento de um motor desbalanceado próximo à retífica. Determine a máxima amplitude de deslocamento aceitável
do piso se a amplitude de vibração resultante da roda de esmeril deve ficar restrita a 10 -6m. Suponha que a retífica e o
esmeril são um corpo rígido com massa equivalente a RA3 kg. (RA3 corresponde aos 3 últimos algarismos do RA de um dos
membros da dupla).
2) Um compressor de ar de 100 Kg de massa está montado sobre uma fundação elástica. Observou-se que, quando uma força
harmônica de 100 N é aplicada ao compressor, o deslocamento máximo em regime permanente de RA1 mm ocorreu à
frequência de 300 rpm. Determine a constante de rigidez e de amortecimento equivalente da fundação. (RA 1 corresponde
ao último algarismo não nulo do RA de um dos membros da dupla).
3) O sistema modelado conformefigura ao lado possui massa de 225Kg com uma rigidez da mola de
3,5x104N/m. Calcule o coeficiente de amortecimento dado que o sistema possui deflexão (X) de 0,7 cm
quando excitado em sua frequência natural enquanto a amplitude da base (Y) é medida, sendo 0,3 cm.
4) Considere um problema de excitação pela base. (a) Calcule a razão de amortecimento necessário para manter a magnitude
da transmissibilidade de deslocamento menor que 0,55 para uma razão de frequências de r = 1,8. (b) Qual o valor da
transmissibilidade da força para o sistema cujo  foi calculado em (a)?
ORIENTAÇÕES
1) Preencha Nome e RA da dupla na primeira página deste documento;
2) Faça o estudo dirigido do conteúdo exposto sobre “Excitação pela Base”;
3) Resolva os exercícios propostos em uma folha à parte, mantendo toda a memória de cálculo, e digitalize este
material no formato PDF;
4) Transcreva as respostas encontradas dos exercícios para o gabarito abaixo e salve este documento no
formato PDF.
5) Unifique os dois arquivos, memória de cálculo digitalizada e estudo dirigido com gabarito, em um único
arquivo compactado (ZIP, RAR, etc.) e poste nas tarefas do canvas até a data definida. Apenas um aluno da
dupla precisa postar o trabalho.
GABARITO
RA utilizado: 12103845
1. Y = 0,28248 mm 3. c = 1262,260 kg/s
2. k = 98696,51N/m 4.a)  = 0,2393
c = 2221,74 kg/s 4.b) FT / k.Y = 1,7819
Exercício 1
Exercício 2
Exercício 3
Exercício 4