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Universidade Federal do Maranhão - DEMAT Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III Segunda lista de exerćıcios 1. Uma empresa fabrica caixas de papelão de três tamanhos: pequena, média e grande. O custo é de R$ 2,50 para fabricar a caixa pequena, R$ 4,00 para uma caixa média e R$ 4,50 para uma caixa grande. Os custos fixos são de R$ 8000. (a) Expresse o custo da fabricação de x caixas pequenas, y caixas médias e z caixas grandes como uma função de três variáveis: C = f(x, y, z). (b) Encontre f(3000, 5000, 4000) e interprete-a. (c) Qual o domı́nio de f? 2. Determine e esboce o domı́nio de f . a) f(x, y) = √ x+ y b) f(x, y) = √ xy c) f(x, y, z) = ln(16− 4x2 − 4y2 − z2) d) f(x, y) = ln(9− x2 − 9y2) e) f(x, y) = √ x2 − y2 3. Esboce o gráfico de f . a) f(x, y) = √ 4x2 + y2 b) f(x, y) = 2− y c) f(x, y) = 1 + 2x2 + 2y2 d) f(x, y) = 9− x2 − 9y2 e) f(x, y) = √ 4− 4x2 − y2 f) f(x, y) = 10− 4x− 5y 4. Faça o mapa de contornos da função mostrando várias curvas de ńıvel. a) f(x, y) = √ y2 − x2 b) f(x, y) = (y − 2x)2 c) f(x, y) = x2 + 9y2 d) f(x, y) = √ x+ y e) f(x, y) = x3 − y f) f(x, y) = √ 36− 9x2 − 4y2 5. Descreva as superf́ıcies de ńıvel da função. a) f(x, y, z) = x+ 3y + 5z b) f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 5z2 6. Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. a) lim (x,y)→(1,2) (5x3 − x2y2) b) lim (x,y)→(0,0) xy4 x2 + y8 c) lim (x,y)→(2,1) 4− xy x2 + 3y2 d) lim (x,y)→(1,−1) e−xy cos(x+ y) e) lim (x,y)→(1,0) ln ( 1 + y2 x2 + xy ) f) lim (x,y)→(0,0) x4 − y4 x2 + y2 g) lim (x,y,z)→(0,0,0) xy + yz x2 + y2 + z2 h) lim (x,y)→(1,0) xy − y (x− 1)2 + y2 i) lim (x,y)→(0,0) xy√ x2 + y2 j) lim (x,y)→(0,0) x2 + sen2x 2x2 + y2 k) lim (x,y)→(0,0) xy cos y 3x2 + y2 l) lim (x,y,z)→(π,0,1) ey 2 tg (xz) 7. Determine o maior conjunto no qual a função é cont́ınua. (a) F (x, y) = xy 1 + ex−y (b) F (x, y) = cos √ 1 + x− y (c) F (x, y) = 1 + x2 + y2 1− x2 − y2 (d) H(x, y) = ex + ey exy − 1 (e) G(x, y) = ln(x2 + y2 − 4) (f) f(x, y, z) = arcsin(x2 + y2 + z2) (g) f(x, y, z) = √ y − x2 ln z (h) f(x, y) = x2y3 2x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 1, se (x, y) = (0, 0) (i) f(x, y) = xy x2 + xy + y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0, se (x, y) = (0, 0) 8. Dois mapas de contorno são mostrados na figura. Um é da função f cujo gráfico é um cone. O outro é para uma função g cujo gráfico é um paraboloide. Qual é qual? Por quê? 9. Se f(x, y) = √ 4− x2 − y2, determine fx(1, 0) e fy(1, 0), interprete esses números como inclinações e faça um esboço gráfico. 10. Determine as derivadas parciais indicadas. (a) f(x, y) = ln(x+ √ x2 + y2); fx(3, 4) (b) f(x, y) = arctg (y/x); fx(2, 3) (c) f(x, y, z) = y x+ y + z ; fy(2, 1,−1) (d) f(x, y, z) = √ sen 2x+ sen 2y + sen 2z; fz(0, 0, π/4) (e) f(x, y, z) = exyz 2 ; fxyz (f) g(r, θ) = erθsen θ; ∂3g ∂r2∂θ (g) F (α, β) = ∫ β α √ 1 + t3dt; Fβ (h) u = xy/z; ∂2u ∂y∂z 11. Verifique se a função u = e−α 2k2t sen kx é solução da equação de condução do calor ut = α 2uxx. 12. Verifique se a função u = 1/ √ x2 + y2 + z2 é uma solução da equação de Laplace tridimensional uxx + uyy + uzz = 0. 2 13. No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em metros) pode ser modelada pela função T (x, t) = T0 + T1e −λx sen (ωt− λx), em que ω = 2π/365 e λ é uma constante positiva. (a) Determine ∂T/∂x. Qual seu significado f́ısico? (b) Determine ∂T/∂t. Qual seu significado f́ısico? (c) Mostre que T satisfaz a equação do calor Tt = kTxx para uma certa constante k. 14. Utilize diferenciais para estimar a quantidade de metal em uma lata ciĺındrica fechada com 4cm de diâmetro e 10 cm de altura se o metal das tampas de cima e de baixo possui 0,1 cm de espessura e o das laterais tem espessura de 0,05cm. 15. Prove que toda função z = f(x, y) diferenciável no ponto (x0, y0) é cont́ınua nesse ponto. [Dica: Verifique que lim(h,k)→(0,0) f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0)=0.] 16. Considere a função de duas variáveis dada por f(x, y) = xy x2 + y2 , se (x, y) 6= (0, 0) 0 , se (x, y) = (0, 0) . (a) Calcule suas derivadas parciais de primeira ordem no ponto (0, 0). (b) Verifique que f não é cont́ınua no ponto (0, 0). (c) Conclua que f não é diferenciável no ponto (0, 0). 17. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L(x, y) da função naquele ponto. (a) f(x, y) = 1 + x ln(xy − 5), (2, 3) (b)f(x, y) = x3y4, (1, 1) (c) f(x, y) = x x+ y , (2, 1) (d) f(x, y) = e−xy cos y, (π, 0) (e) f(x, y) = y + sen (x/y), (0, 3) 18. Se z = f(x, y), onde f é diferenciável, determine dz/dt quando t = 3, sabendo que x = g(t), y = h(t), g(3) = 2, h(3) = 7, g′(3) = 5, h′(3) = −4, fx(2, 7) = 6 e fy(2, 7) = −8. 19. Use a Regra da Cadeia para encontrar dz/dt ou dw/dt. (a) z = x2 + y2 + xy, x = sen t, y = et (b) z = cos(x+ 4y), x = 5t2, y = 1/t (c) z = √ 1 + x2 + y2, x = ln t, y = cos t (d) z = arctg (y/x), x = et, y = 1− e−t (e) w = xey/z, x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t (f) z = ln √ x2 + y2 + z2, x = sen t, y = cos t, z = tg t 20. Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. (a) z = x2y3, x = s cos t, y = s sen t, ∂z/∂s e ∂z/∂t (b) z = sen θ cosφ, θ = st2, φ = s2t, ∂z/∂s e ∂z/∂t 3 (c) z = er cos θ, r = st, θ = √ s2 + t2, ∂z/∂s e ∂z/∂t (d) z = x2 + xy3, x = uv2 + w3, y = u+ vew, ∂z/∂u, ∂z/∂v, ∂z/∂w quando u = 2, v = 1 e w = 0. (e) u = √ r2 + s2, r = y + x cos t, s = x+ y sen t, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂t quando x = 1, y = 2 e z = 0. (f) N = p+ q p+ r , p = u+ vw, q = v + uw, r = w + uv, ∂N/∂u, ∂N/∂v, ∂N/∂w quando u = 2, v = 3 e w = 4. (g) w = xy + yz + xz, x = r cos θ, y = r sen θ, z = rθ, ∂w/∂r, ∂w/∂θ, quando r = 2 e θ = π/2. 21. O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. Em um determinado momento, as dimensões são l = 1m, w = h = 2m, l e w estão aumentando a uma taxa de 2m/s enquanto h está decrescendo a uma taxa de 3m/s. Nesse instante, encontre as taxas em que as seguintes quantidades estão variando. (a) O volume (b) A área de superf́ıcie (c) O comprimento da diagonal 22. Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v. (a) f(x, y) = ex sen y, (0, π), v = (−6, 8) (b) f(x, y) = x x2 + y2 , (1, 2), v = (3, 5) (c) g(r, s) = arctg (rs), (1, 2), v = (5, 10) (d) h(r, s, t) = ln(3r + 6s+ 9t), (1, 1, 1), v = (4, 12, 6) 23. Próximo a uma boia, a profundidade de um lago com coordenadas (x, y) é z = 200+0, 02x2−0, 001y3, onde x, y e z são medidos em metros. Um pescador que está em um pequeno barco parte do ponto (80, 60) em direção à boia, que está localizada no ponto (0, 0). A água sob o barco está ficando mais profunda ou mais rasa quando ele começa a se mover? Explique. 24. Determine os valores de máximos e mı́nimos locais e pontos de sela da função. a) f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x2 − 4y2 b) f(x, y) = x3y + 12x2 − 8y c) f(x, y) = (x− y)(1− xy) d) f(x, y) = xe−2x2−2y2 e) f(x, y) = y3 + 3x2y − 6x2 − 6y2 + 2 f) f(x, y) = ey(y2 − x2) g) f(x, y) = xy(1− x− y) h) f(x, y) = x3 − 12xy + y3 i) f(x, y) = xy + 1 x + 1 y j) f(x, y) = ex cos y k) f(x, y) = y cosx l) f(x, y) = (x2 + y2)ey 2−x2 m) f(x, y) = sen x cos y, −π < x < π, −π < y < π 25. (a) Mostre que a função f(x, y) = x2 + 4y2 − 4xy + 2 tem um número infinito de pontos cŕıticos e que D = 0 em cada um. (b) Mostre que f tem um mı́nimo local (e global) em cada ponto cŕıtico. 26. Determine os valores máximo e mı́nimo globais de f no conjunto D. 4 (a) f(x, y) = x2 + y2 − 2x, D é a região triangular fechada com vértices (0, 2), (2, 0) e (0.− 2). (b) f(x, y) = x+ y − xy, D é a região triangular fechada com vértices (0, 0), (0, 2) e (4, 0). (c) f(x, y) = x2 + y2x2y + 4, D = {(x, y)||x| ≤ 1, |y| ≤ 1} (d) f(x, y) = 4x+ 6y − x2 − y2, D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5} (e) f(x, y) = x4 + y4 − 4xy + 2, D = {(x, y)|0 ≤ x≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2} 27. Mostre que a função f(x, y) = −(x2 − 1)2 − (x2y − x− 1)2 só tem dois pontos cŕıticos, ambos de máximo local. 28. Determine a menor distância entre o ponto (2, 0,−3) e o plano x+ y + z = 1. 29. Encontre as dimensões de uma caixa com volume de 1.000 cm3 que tenha área de superf́ıcie mı́nima. 30. Encontre três números positivos cuja soma é 12 e cuja soma dos quadrados é a menor posśıvel. 31. Uma caixa de papelão sem tampa deve ter volume de 32.000 cm3. Determine as dimensões que minimizem a quantidade de papelão utilizado. 5
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