Exercício - Integrais conceitos, propriedades e técnicas de integração

Prévia do material em texto

Exercício - Integrais: Conceitos, Propriedades e Técnicas de Integração Voltar para desempenho
1
Determine a família de funções representada por 
A , k real
B , k real
C , k real
D , k real
E , k real
Resposta incorreta Resposta correta: B
Gabarito comentado
A resposta correta é:  , k real
2
Determine o valor da integral 
A
B
C
D 211
E 255
Resposta incorreta Resposta correta: B
Gabarito comentado
A resposta correta é: 
3
O cálculo de integrais é uma ferramenta importante para calcular áreas, volumes e
somas acumuladas. Calcule a integral definida de f(x) = x + 3x - 2 de 0 a 2.
A 2,67
B 4,67
∫ e2xcos(2x)dx
e2x(cos(2x) − sen(2x)) + k
1
4 e
2x(cos(2x) + sen(2x)) + k
1
4 e
2x(sen(2x) − cos(2x)) + k
e2x(2cos(2x) + 3sen(2x)) + k
1
2 e
2x(−cos(2x) − sen(2x)) + k
1
4 e
2x(cos(2x) + sen(2x)) + k
∫ 81
4u8+U 2 8√u−2
u2
189
2
295
2
103
2
295
2
2
Índice de questões
1 de 10
Corretas (3) Incorretas (7) Em branco (0)
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10
Questão 1 de 10
C 6,67
D 8,67
E 10,67
Resposta incorreta Resposta correta: B
Gabarito comentado
Para resolver a integral definida, é necessário calcular a antidecivaga da funçäo
e, em seguida, avaliá-la nos limites de integração.
A antiderivada de é:
Avaliando-a nos limites de integração de 0 a 2 , temos:
4
As substituiçōes trigonométricas säo artificios que säo utilizados para a resolução e
integrais. Utilizando da técnica mencionada, calcule a integral de .
A
B
C .
D .
E
Resposta correta
Gabarito comentado
Utilizando a relaçäo trigonométrica:
Substituindo na integral:
Sabemos que . Assim:
Fatorando 
Integrando:
Retornando o valor de :
f(x) = x2 + 3x − 2
F(x) = (1/3)x3 + (3/2)x2 − 2x
F(2) − F(0) = (1/3)8 + (3/2)4 − 4 − (1/3)0 − (3/2)0 + 0 = 4
∫ √1 − 4x2dx
[ arcsen(x)4 +
1
8 sen(2 arcsen(x))] + C
[ arcsen(2x)8 +
1
4 sen(2 arcsen(2x))] + C
[ arcsen(2x)4 +
1
8 sen(2 arcsen(2x))] + C
[2 arcsen(2x) + 18 sen(2 arcsen(2x))] + C
[ arcsen(2x)4 + sen(2 arcsen(2x))] + C
cos2(θ) = 1 − sen2(θ)
2x = sen(θ) → dx =
cos(θ)
2
dθ
√1 − 4x2dx = ∫ √1 − (2x)2dx = ∫ √1 − sen2 θ( cos(θ)
2
dθ)
 Como √1 − sen2 θ = cos θ.  Assim:  ∫ 1
2
cos2(θ)dθ
cos2(θ) = 12 +
cos(θ)
2
∫ 1
2
( 1
2
+
cos(2θ)
2
)dθ
1
2
∫ 1
4
dθ + ∫ 1
4
cos(2θ)dθ = [ θ
4
+
1
8
sen(2θ)] + C
x
Índice de questões
1 de 10
Corretas (3) Incorretas (7) Em branco (0)
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10
Questão 1 de 10
Substituindo na equaçăo:
Assim, temos que:
5
Determine o valor da soma 
A
B
C
D
E
Resposta correta
Gabarito comentado
A resposta correta é: 
6
A escolha da técnica de integração irá depender da complexidade da integral. Tendo
isso em mente, calcule a integral indefinida 
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
2x = sen(θ) → θ = arcsen(2x)
θ
[ arcsen(2x)
4
+
1
8
sen(2 arcsen(2x))] + C
∫ √1 − 4x2dx = [ arcsen(2x)
4
+
1
8
sen(2 arcsen(2x))] + C
∫ 20
x
(x2+1)2
dx + ∫
π
2
0 x sen(2x)dx
π
4 +
2
5
π
4 + 2 ln2
π
4 −
2
5
π
4 − 2 ln2
π
4 + 4
π
4 +
2
5
∫ 3e
2x2ex
(ex−2)(e2x+4) dx
ln (e2x − 2) −
ln(e2x+4)
2 +
arctg( 4
2
)
2
ln (ex − 2) − ln(e
x+4)
2 +
arctg( ex2 )
2
ln (ex − 4) −
la(e2x+4)
4 +
arctg( ex2 )
4
ln (ex − 2) −
ln(e2x+4)
2 +
arct g( ex2 )
2
ln (ex − 3) −
ln(e2x+4)
3 +
arctg( ex2 )
3
Índice de questões
1 de 10
Corretas (3) Incorretas (7) Em branco (0)
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10
Questão 1 de 10
Resolvendo por integral por frações parciais:
Resolvendo o sistema resultante:
Retornando para a integral:
Resolvendo cada uma delas separadamente:
Para a última integral, dividimos por 4, para levar a uma integral conhecida:
Fazendo:
Juntando as respostas das 3 integrais:
Substituindo 
7
Determine a família de funções representada por 
A , k real
B , k real
C , k real
D , x real
∫ 3e
2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
dx.
∫ = ex → du = exdx
∫ 3e
2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
dx = ∫ 3e
x + 2
(ex − 2) (e2x + 4)
exdx = ∫ 3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
du
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
=
A
u − 2
+
Bu + C
u2 + 4
3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
=
A (u2 + 4) + (Bu + C)(u − 2)
(u − 2) (u2 + 4)
(0)u2 + (3)u + (2)
(u − 2) (u2 + 4)
=
(A + B)u2 + (C − 2B)u + (4A − 2C)
(u − 2) (u2 + 4)
⎧⎪⎨⎪⎩ A + B = 0C − 2B = 34A − 2C = 2A = 1;B = −1;C = 1∫ 3u + 2(u − 2) (u2 + 4) du = ∫ ( 1u − 2 + −uu2 + 4 + 1u2 + 4 )du∫ 1u − 2 du, y = u − 2 → dy = du∫ 1y dy = ln y = ln(u − 2)∫ −uu2 + 4 du, z = u2 + 4 → dz = 2udu∫ − 12 ( dzz ) = ln z−2 = − ln (u2 + 4)2∫ ( 1u2 + 4 )du = ∫ ( 1/4( u2 )2 + 1)duw = u2 , → w = du2 → dw2 = du4
∫ ( 1/4
( u2 )
2
+ 1
)du = ∫ (
dw
2
(w)2 + 1
) = arctg(w)
2
=
arctg ( u2 )
2
∫ 3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
du = ∫ ( 1
u − 2
+
−u
u2 + 4
+
1
u2 + 4
)du
∫ 3u + 2
(u − 2) (u2 + 4)
du = ln(u − 2) −
ln (u2 + 4)
2
+
arctg ( u2 )
2
u = ex
∫ 3e
2x2ex
(ex − 2) (e2x + 4)
dx = ln (ex − 2) −
ln (e2x + 4)
2
+
arctg ( e
x
2 )
2
∫ 5
x2−25
5 ln x−5
x+5 + k∣ ∣arctg(x + 5) + k12 ln x−5x+5 + k∣ ∣5 arctg (x − 5) + k Índice de questões1 de 10Corretas (3) Incorretas (7) Em branco (0)1 2 3 4 5 6 78 9 10Questão 1 de 10
E , k real
Resposta correta
Gabarito comentado
A resposta correta é:  , k real
8
Constantemente mais de uma técnica é empregada na resoluçäo de integrais. Dessa
forma, determine o valor da equaçāo .
A π/3
B π
C 2π
D 3π/2
E 0
Resposta incorreta Resposta correta: B
Gabarito comentado
Fica mais fácil resolver trabalhando com as derivadas de seno e cosseno ao
invés de integrar diretamente:
Derivando , temos:
Logo
Ea integral
Agora, juntando tudo temos:
9
A técnica de substituiçäo é uma das técnicas mais empregadas em resoluçăo de
integrais. Utilizando a técnica de substituiçảo, a resoluçảo de é
A
ln x−5
x+5 + k∣ ∣ 12 ln x−5x+5 + k∣ ∣ ∫ π/30 3 + cos(3x)dx
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = ∫
π/3
0
3dx + ∫
π/3
0
cos(3x)dx
sen(3x)/3
d
dx
sen(3x)/3 = cos(3x)
∫ cos(3x)dx = sen(3x)/3
∫ 3dx = 3x
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = ∫
π/3
0
3dx + ∫
π/3
0
cos(3x)dx
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = 3x + sen(3x)/3|
x= π2
x=0 = π + sen(π)/3 − sen(0)/3 = π
∫
π/3
0
3 + cos(3x)dx = π
∫ t sec2 (t2)tg4 (t2)dt
1
10 tg
2 (t2) + C
Índice de questões
1 de 10
Corretas (3) Incorretas (7) Em branco (0)
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10
Questão 1 de 10
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: D
Gabarito comentado
Substituindo:
Usando integraçäo trigonométrica:
Logo,
10
Determine o valor da integral 
A
B
C
D
E
Resposta incorreta Resposta correta: E
Gabarito comentado
A resposta correta é: 
1
10 tg
3 (t2) + C
1
10 tg
4 (t2) + C
1
10 tg
5 (t2) + C
1
10 tg
6 (t2) + C
∫ t sec2 (t2)tg4 (t2)dt
u = t2 → du = 2tdt → tdt =
1
2
du
∫ t sec2 (t2) tg4 (t2)dt = ∫ 1
2
sec2(u)tg4(u)du
v = tg(u) → dv = sec2(u)du
∫ 1
2
sec2(u) tg4(u)du = ∫ 1
2
v4dv =
1
2
⋅
1
5
v5 + C =
1
10
tg5(u) + C
∫ t sec2 (t2) tg4 (t2)dt = 1
10
tg5 (t2) + C
∫
√2
2
0
10x
1+4x4 du
5π
3
5π
7
3π
8
π
8
5π
8
5π
8
Índice de questões
1 de 10
Corretas (3) Incorretas (7) Em branco (0)
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10
Questão 1 de 10