Formulação Conservativa X Não-Conservativa para Sistemas Hiperbólicos

Prévia do material em texto

1
Formulação Conservativa X Não-Conservativa 
para Sistemas Hiperbólicos
Prof. Diomar Cesar Lobão
UFF - Volta Redonda, RJ
Nov 2008
2
Índice
•Método Não-Conservativo
•Método Conservativo
•Definição do Problema de Riemann
•Método de Diferenças Finitas para Forma Não-conservativa
•Métodos de Diferenças Finitas para Forma Conservativa
•Teoremas Relacionados aos Métodos Conservativos
•Lei Escalar da Conservação
•Propriedade Telescópica dos Métodos Conservativos
•Formulação de Volumes Finitos com Termo Fonte
•Esquema “Upwind” de Godunov
•Sistema Linear Hiperbólico
•Sistema Não-Linear Hiperbólico
•Definição de um Sistema de Equações Hiperbólicas
•Condição de Estabilidade
•Equação de Burgers
•Simulações: Resultados
•Referências bibliográficas
MotivaMotivaçção: Aplicaão: Aplicaççõesões
3
• Aeroespacial
Motivação - Aplicações
4
• Automotiva e Motores
– CFD é usada para melhorar o desempenho dos carros 
e caminhões modernos
– Escoamento externo sobre carros, escoamento interno 
em motores
Motivação - Aplicações
5
Motivação - Aplicações
• Eletrodomésticos
6
Motivação - Aplicações
• Projeto de Barcos
7
Método Não-Conservativo
),( ,0 txQQQQQ xt ==¶+¶
[ ]2/12/11 -++ -
D
D
-= inininni
n
i QQQx
t
QQ
),...,,,...,( 1
~
2/1
n
ri
n
i
n
i
n
kii
n QQQQQQ ++-+ =
Fluxo Numérico
Explícito
),...,,,...,,,...,,,...,( 111
11
1
~
2/1
1 +
+
+
+
++
-++-+
+ = n si
n
i
n
i
n
ki
n
ri
n
i
n
i
n
lii
n QQQQQQQQQQ Implícito
8
Método Conservativo
0)( =¶+¶ QFQ xt
[ ] 22/12/11
2
1
:Sendo , QFFF
x
t
QQ ininni
n
i =-D
D
-= -++
),...,,,...,(
~
12/1
n
ri
n
i
n
i
n
kii
n QQQQFF ++-+ =
Fluxo Numérico
Explícito
),...,,,...,,,...,,,...,(
~ 11
1
11
12/1
+
+
+
+
++
-++-+ =
n
si
n
i
n
i
n
ki
n
ri
n
i
n
i
n
lii
n QQQQQQQQFF Implícito
9
Definição do Problema de Riemann
Considere o sistema 1D de equações diferenciais escrito na lei da conservação 
da seguinte forma: 
com t > 0, x Є R, Q(x, t) Є R², e F: R² → R² uma aplicação suave. 
O mais básico problema de valor inicial do sistema acima é o problema de problema de 
RiemannRiemann, no qual os dados iniciais são discretos e constante com uma 
descontinuidade simples em x=0:
î
í
ì
>
<
=
0 para 
0 para 
)0,(
xQ
xQ
xQ
R
L
0)( =¶+¶ QFQ xt
10
Métodos de Diferenças-Finitas para Forma Não-Conservativa
0=¶+¶ QQQ xt
[ ]2/12/11 -++ -
D
D
-= inininni
n
i QQQx
t
QQ
)( 12
1
2/1
n
i
n
ii QQQ ++ +=
Esquema FTCS: Forward Time Central Space
[ ]
[ ]
[ ])()(
2
))()(())()((
11
12
1
12
1
2/12/1
1
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
nn
i
n
i
n
i
QQQ
x
t
Q
QQQQQ
x
t
Q
QQQ
x
t
QQ
-+
-+
-+
+
-
D
D
-=
+-+
D
D
-=
-
D
D
-=
Equação Linear de Advecção:
[ ]nininini qqx
t
qq 11
1
2 -+
+ -
D
D
-= l
Sendo; Substituindo na equação:
11
0)( =¶+¶ QFQ xt
[ ]2/12/11 -++ -
D
D
-= ininni
n
i FFx
t
QQ
))()(( 12
1
2/1
n
i
n
ii QFQFF ++ +=
Esquema FTCS
[ ]
[ ]
[ ])()(
2
))()(())()((
11
12
1
12
1
2/12/1
1
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
nn
i
n
i
QFQF
x
t
Q
QFQFQFQF
x
t
Q
FF
x
t
QQ
-+
-+
-+
+
-
D
D
-=
+-+
D
D
-=
-
D
D
-=
Equação Linear de Advecção:FTCS
[ ]nininini qqx
t
qq 11
1
2 -+
+ -
D
D
-= l
Métodos de Diferenças-Finitas para Forma Conservativa
Sendo; Substituindo na equação:
12
Métodos de Diferenças-Finitas para Forma Conservativa
0)( =¶+¶ QFQ xt
[ ]2/12/11 -++ -
D
D
-= ininni
n
i FFx
t
QQ
)(
2
1
))()((
2
1
112/1
n
i
n
i
n
i
n
ii
n QQ
x
t
QFQFF +
D
D
-+= +++
Esquema de Lax-Friedrichs -LF
Equação Linear de Advecção:LF
n
i
n
i
n
i qqq 12
1
12
11 )1()1( +-
+ -++= ll
13
Esquema Upwind de Godunov P/ Sistema Linear com Matriz de 
Coeficientes Constantes A
[ ]2/12/11 -++ -
D
D
-= ininni
n
i FFx
t
QQ
AQQFQFQQAQ xtxt ==¶+¶=¶+¶ )( :sendo ,0)( 0
),()(2/1 txAQQF in =+ Fluxo Numérico
ï
þ
ï
ý
ü
î
í
ì
>³³
<££
=
=¶+¶
++
++
+ n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
in
i
xt
QQQFQQQ
QQQFQQQ
QF
QFQ
11
11
2/1 se ,)(),max(
 se ,)(),min(
)(
0)(
Não-Conservativa
Conservativa
Esquema upwind de Godunov 1° Ordem
14
Métodos de Diferenças-Finitas para Forma Conservativa
0)( =¶+¶ QFQ xt
[ ]2/12/11 -++ -
D
D
-= ininni
n
i FFx
t
QQ
ï
î
ï
í
ì
=Þ=
=Þ>
=Þ<
=
++
+++
+++
++
2/
)max(
)min(
];2/[
2/11
*
2/12/11
*
2/12/11
2/12/1
*
n
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
ii
QFQQ
FFQQ
FFQQ
se
QQFF
Esquema centrado de Godunov 1° Ordem
15
Métodos de Diferenças-Finitas para Forma Conservativa
0)( =¶+¶ QFQ xt
[ ]2/12/11 -++ -
D
D
-= ininni
n
i FFx
t
QQ
))()(()(
2
1
)(
112/1
2/12/1
n
i
n
i
n
i
n
i
GodC
i
GodC
ii
n
QFQF
x
t
QQQ
QFF
-
D
D
-+=
=
+++
++
Esquema centrado de Godunov 2° Ordem
16
Métodos de Diferenças-Finitas para Forma Conservativa
0)( =¶+¶ QFQ xt
[ ]2/12/11 -++ -
D
D
-= ininni
n
i FFx
t
QQ
))()((
2
1
)(
2
1
)(
11
2
2/1
2
2/12/1
n
i
n
i
n
i
n
i
LW
i
LW
ii
n
QFQF
x
t
QQQ
QFF
-
D
D
-+=
=
+++
++
Esquema de Dois passos de Lax-Wendroff:LW2
[ ]
[ ]* 2/1* 2/11*1
2/12/1
*
-+
+
-+
-
D
D
-=
-
D
D
-=
ii
n
i
n
i
n
i
n
ii
FF
x
t
QQ
FF
x
t
QQ
ï
î
ï
í
ì
17
Teoremas Relacionados aos Métodos Conservativos
Teorema de Lax-Wendroff (1960)
Se um método na forma conservativa converge, então ele converge para a
solução fraca “weak solution” da lei de conservação. 
Teorema de Lax-Wendroff e condição de Entropia de Harten (1983)
Se o esquema conservativo satisfaz a condição de entropia e converge, então
converge para a única solução física satisfazendo a entropia, “weak solution”.
Teorema de Hou-LeFloch (1994)
Se um método na forma não-conservativa converge, então na presença
de uma onda de choque, converge para a solusoluçção erradaão errada.
18
Lei Escalar da Conservação
Seja Q=Q(x,t) uma quantidade conservada e o fluxo F=F(Q). 
Para uma região [a,b]Є R durante um intervalo de tempo [t¹,t²]. A lei lei 
escalar de conservaescalar de conservaççãoão permite escrever:
[ ]ò ò --=-
b
a
t
t
dttaQFtbQFdxtxQtxQ
2
1
))],(()),(([),(),( 12
Que representa a forma integral da lei escalar de conservação da quantidade Q. 
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, pode-se escrever:
ò
ò
¶
¶
=-
¶
¶
=-
b
a
t
t
dx
x
F
taQFtbQF
dt
t
Q
txQtxQ
)),(()),((
e ),(),(
2
1
12
Levando isto na equação que 
define a Lei de Conservação, vem:
19
Lei Escalar da Conservação
ou 0
)(
)(
2
1
2
1
2
1
=úû
ù
êë
é
¶
¶
+
¶
¶
¶
¶
-=
¶
¶
ò ò
ò ò ò ò
dxdt
x
QF
t
Q
dxdt
x
QF
dtdx
t
Q
t
t
b
a
b
a
t
t
t
t
b
a
0
)(
=
¶
¶
+
¶
¶
x
QF
t
Q
Esta é a Forma Conservativa da Lei Escalar de 
Conservação. SoluSoluçções descontinuas da forma ões descontinuas da forma 
integral são chamadas de soluintegral são chamadas de soluçções fraca ões fraca 
““weakweak solutionssolutions”” da forma diferencial.da forma diferencial.
20
Lei Escalar da Conservação: Forma Conservativa
0
)(
=
¶
¶
+
¶
¶
x
QF
t
Q Discretizando no espaço e tempo, vem:
)(
2 2/12/1
1 n
i
n
i
n
i
n
i FFx
t
QQ -+
+ -
D
D
-= Considerando no domínio dois 
nodos quaisquer M e N Є [a,b]
i=N i=N+1/2i=N-1/2i=M-1/2 i=M i=M+1/2 i=M+1 i=M+3/2
) 
(
2
)(
2
2/32/12/12/12/3
2/52/12/32/12/1
1
2/12/1
1
KK +-+-++-
+-+-
D
D
-=
-
D
D
-=
---++
+++-+
==
+
= = =
-+
+
åå
å å å
n
N
n
N
n
N
n
N
n
M
n
M
n
M
n
M
n
M
n
M
N
Mi
n
i
N
Mi
n
i
N
Mi
N
Mi
N
Mi
n
i
n
i
n
i
n
i
FFFFF
FFFFF
x
t
QQ
FF
x
t
QQ
21
Lei Escalar da Conservação: Forma Conservativa
)(
2 2/12/1
1 n
M
n
N
N
Mi
n
i
N
Mi
n
i FFx
t
QQ -+
==
+ -
D
D
-= åå
Mostra que houve conservação do fluxo em todo domínio, mostrando 
que: o que entra, assim como o que sai de cada interface dos volumes 
(i+1/2 e i-1/2) é conservado.
Para M=N=i reconstituímos a equação geral do método.
22
Lei Escalar da Conservação: Forma Não-Conservativa
[ ]2/12/11 -++ -
D
D
-= inininni
n
i QQQx
t
QQ
{
}))()() 
()()(
2
)(
2
2/32/112/12/12/3
2/522/12/312/12/11
2/12/1
1
KK +-+-++-
+-+-
D
D
-=
-
D
D
-=
----++
+++++-+
==
+
= = =
-+
+
åå
å å å
n
N
n
N
n
N
n
N
n
N
n
N
n
M
n
M
n
M
n
M
n
M
n
M
n
M
n
M
n
M
N
Mi
n
i
N
Mi
n
i
N
Mi
N
Mi
N
Mi
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
QQQQQQQ
QQQQQQQQ
x
t
QQ
QQQ
x
t
QQ
Observe que devido os termos dos coeficientes Q os termos interiores não se 
cancelam. Logo a equação escrita nesta forma não não éé ConservativaConservativa
23
Propriedade Telescópica dos Métodos Conservativos
[ ]2/12/11 -++ -
D
D
-= ininni
n
i FFx
t
QQ
[ ]
2/12/1
1
+-
-D-D=D åå
=
=
=
=
+
LeftRight
Right
Left
Right
Left
ii
ii
ii
n
i
ii
ii
n
i FFtxQxQ
Também válido em 2 e 3 dimensões.
24
Formulação de Volume Finitos com termo Fonte 
)()( QSQFQ xt =¶+¶
òò
òò
DD
=
D
=
D
=
+
+
-
++
i
n
n
i
i
Ii
t
t ii
x
x
nn
i
dxdttxQS
xt
S
dttxQF
t
FdxtxQ
x
Q
)),((
1
.
1
 
)),((
1
 ),(
1
 
1
2/1
2/1
2/12/1
[ ] iiinini StFFx
t
QQ D+-
D
D
-= -+
+
2/12/1
1
25
Volume Finitos com termo Fonte
)()( QSQFQ xt =¶+¶
[ ] [ ]12/12/1 ,, ++- ´= nniii ttxxI
òòò òòò D+úû
ù
êë
é
D
-
DD
D
-
D
=
D -+
+
+ +
+
-
+
- i
n
n
n
n
i
i
i
i I
i
t
t
t
ti
x
x
nx
x
n dxdttxQS
x
dttxQF
t
dttxQF
tx
t
dxtxQ
x
dxtxQ
x
)),((
1
)),((
1
)),((
1
),(
1
),(
1
2/12/1
1
1 1
2/1
2/1
2/1
2/1
[ ] iiinini StFFx
t
QQ D+-
D
D
-= -+
+
2/12/1
1
26
•• A principal diferenA principal diferençça entre DF e VFa entre DF e VF é a 
interpretação da solução nos pontos da malha 
(veja figura ao lado).
– No VF a solução Qjn é vista como a 
média de Q na célula.
– Em DF a solução Qjn é vista como uma 
função de ponto (isto é, a solução no 
ponto yj e tempo tn. Isto implica que Q
em qualquer ponto pode ser interpolado 
de Q em diferente pontos de malha e em 
diferentes níveis de tempo.
Volume Finitos com termo Fonte
27
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
=L
)()2()1(
)(
2
)2()1(
2
)(
1
)2(
1
)1(
1
)(
)2(
)1(
...
............
...
...
 ; 
000
............
0...0
0...0
m
mmm
m
m
m
m rrr
rrr
rrr
R
l
l
l
[ ]Tkmkkk rrrR )()(2)(1)( ...=
0=+ xt AQQ
Sistema Linear Hiperbólico
A é uma matriz constante
Os autovalores e autovetores direitos de A são
)()2()1(
)()2()1(
...
...
m
m
RRR
lll
Define-se as matrizes:
 11 ARRRRA -- =L«L=
28
Sistema Não-Linear Hperbólico
 0)( =¶+¶ QQAQ xt
)()1( ,....,0 )det( mAI lll ®=-
Dado a matriz A pode-se definir autovalores e autovetores de A.
Os autovalores de A são as raízes do chamado polinômio característico
)()()( A kkk LL l=
Os autovetores esquerdo de A correspondente aos autovalores que satisfaz:
)()()(A kkk RR l=
Os autovetores direitos de A correspondente aos autovalores que satisfaz:
29
Definição de sistema de Equações Hiperbólicas
Seja um sistema de m equações
É hiperbhiperbóólicolico se:
• A tem m autovalores reaisautovalores reais
• A tem um conjunto completo correspondente de m autovetoresautovetores linearmente independenteslinearmente independentes
 0)( =¶+¶ QQAQ xt
ExemploExemplo: As equações “shallow water” são hiperbólicas
0)( =¶+¶ QFQ xt
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
+=ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+=úû
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
= 2
1
1
2
2
2
22
2
1
2
1
2
1
2
1)(,
gq
q
q
q
ghhu
hu
f
f
QF
hu
h
q
q
Q
30
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
=
2
2
1
2
2
1
1
1
)(
q
f
q
f
q
f
q
f
QA
onde gha =
a é chamada de celeridade (análogo a velocidade do som nos gases)
Verifique que os autovalores de A são:
auau +=-= 21 ; ll
ú
û
ù
ê
ë
é
-
=
uua
QA
2
10
)( 22
u
q
q
q
f
ghugq
q
q
q
f
q
f
q
f
2
2
;
1,0
1
2
2
22
12
1
2
2
1
2
2
1
1
1
==
¶
¶
+-=+
-
=
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
( ) Þ=----Þ=ú
û
ù
ê
ë
é
--
-
=- 0)2(0
2
10 22
22 uauuua
IA ll
l
l
l
auau +=-= 21 ; ll
Definição de sistema de Equações Hiperbólicas
31
Condição de Estabilidade
10
110
10
constant0
£<´=D
´£D££
££=
Þ=¶+¶
D
D
D
D
D
D
CFL
x
CFL
x
x
t
x
t
xt
CCt
t
cc
qq
l
l
l
l
ll
Para sistema Linear:
{ } njSCt jnS xCFL n ££=´=D D 1 maxmaxmax l
Seja a equação escalar:
Número de Courant-Friedrich-LewyCFLC
32
Equação de Burgers
10
110
10
constant,2
£<´=D
´£D££
££=
Þ¶=¶+¶
D
D
D
D
D
D
CFL
x
CFL
x
x
t
x
t
xxt
CCt
t
cc
qqq
l
l
l
l
klkl
Para sistema Linear de Burgers:
{ } niqSCt innS xCFL n ££=´=D D 1 maxmaxmax
Seja a equação escalar: Difusão
33
Equação de Burgers
Observações:
• Para sistemas hiperbólicos lineares com coeficientes constantes 
a velocidade característica são os autovalores do sistema e são 
idênticas as velocidades de onda no problema de problema de RiemannRiemann.
• Para sistemas não-lineares a velocidade características são 
distintas das velocidades de onda.
• Cuidado especial na escolha da velocidade de onda máxima 
para a condição de CFL é requerido.
34
Simulações
• Formulação Não-Conservativa
• Formulação Conservativa
35
Simulação: Resultados
36
Simulação: Resultados
37
Simulação: Resultados
38
Simulação: Resultados
39
•P.D. LAX AND B. WENDROFF, Systems of conservation laws, Comm. Pure Appl. 
Math., Vol 13, 217-237, 1960.
•Harten, A., High resolution schemes for hyperbolic conservation laws. J. Comp. Phys., 
49, 357, 1983. 
•T. Y. HOU AND P. G. LEFLOCH, Why nonconservative schemes converge to wrong
solutions: error analysis, Math. of Comp., Vol 62, No 206, 497-530, 1994. 
•J. D. ANDERSON, Modern Compressible Flow, McGraw-Hill 2004, 3rd revised edition, 
ISBN 0071241361.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
•ConNonHyperbolic.m
•GodunovDioUP.m
www.professores.uff.br/diomar_cesar_lobao