Resumo | Produtos notáveis e fatoração

Prévia do material em texto

PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
 
Quadrado da soma e da diferença 
(𝑎 ± 𝑏)! = 𝑎! ± 2𝑎𝑏 + 𝑏! 
 
Produto da soma pela diferença 
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎! − 𝑏! 
 
Cubo da soma e da diferença 
(𝑎 ± 𝑏)" = 𝑎" ± 3𝑎!𝑏 + 3𝑎𝑏! ± 𝑏" 
 
Fatoração 
Fatorar significa transformar somas e subtrações 
em multiplicações (fatores), o que é muito útil em 
diversas situações, especialmente para realizar 
simplificações. As técnicas de fatoração são: 
fator comum em evidência, agrupamento, 
diferença de dois quadrados e trinômio quadrado 
perfeito. 
 
Fator comum em evidência 
Colocamos em evidência o fator comum de todos 
os termos, em seguida basta dividir cada termo 
pelo fator em evidência para obter o que estará 
dentro do parênteses no outro fator do produto. 
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎(𝑥 + 𝑦) 
Exemplo: 
• Calcule o valor da expressão 
2𝑥 + 4𝑦
𝑥 + 2𝑦 . 
Basta fatorar o numerador da fração utilizando o 
fator comum em evidência, e em seguida realizar 
a simplificação: 
2𝑥 + 4𝑦
𝑥 + 2𝑦 =
2(𝑥 + 2𝑦)
𝑥 + 2𝑦 = 2. 
 
Agrupamento 
Consiste em sucessivas aplicações da técnica 
anterior. 
𝑎𝑥 + 𝑎𝑦/0102 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦/0102
= 𝑎(𝑥 + 𝑦) + 𝑏(𝑥 + 𝑦)
	= (𝑥 + 𝑦)(𝑎 + 𝑏)												
 
Diferença de dois quadrados 
Sabemos que o produto da soma pela diferença 
resulta o quadrado do primeiro termo menos o 
quadrado do segundo. Então, é possível fatorar 
uma diferença de dois quadrados escrevendo o 
produto da soma pela diferença: 
𝑎! − 𝑏! = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) 
 
Exemplo: 
• Calcule 99! − 98!. 
A ideia não é resolver as potências, note que 
trata-se de uma diferença de dois quadrados: 
99! − 98! = (99 + 98)(99 − 98)	
= 197 ∙ 1					
= 197										 
 
Trinômio quadrado perfeito 
Assim como na diferença de dois quadrados, 
essa técnica também baseia-se em um produto 
notável, que é o quadrado da soma ou da 
diferença. 
𝑎! ± 2𝑎𝑏 + 𝑏! = (𝑎 ± 𝑏)! 
Exemplo: 
• Simplifique a expressão 
𝑥! − 8𝑥 + 16
𝑥 − 4 . 
O numerador da fração apresenta um trinômio 
quadrado perfeito, pois a metade do termo 8𝑥 é 
4𝑥, exatamento o produto dos termos cujos 
quadrados são 𝑥! e 16. 
𝑥! − 8𝑥 + 16
𝑥 − 4 =
(𝑥 − 4)!
𝑥 − 4 = 𝑥 − 4. 
 
	
 
 
RESUMOS