Atividade A1

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Como já é sabido o teorema de Stokes constitui uma generalização do teorema de 
Green (que trata de integrais sobre contorno fechados, em que se é necessário distinguir 
entre as duas orientações possíveis do contorno, uma das quais é escolhida como a 
orientação positiva), para o espaço tridimensional e pode ser utilizado para transformar 
determinadas integrais curvilíneas em integrais de superfície ou vice-versa. 
Proposta 
Com base no teorema de Stokes ou no processo de cálculo direto (sem o teorema de 
Stokes), calcule, apresentando os cálculos, o valor da integral: 
∬Fn dS 
Onde: 
Fx,y, z=y i+x+yk, u,v=u,v,2-u2-v2 
Com: 
u2+v2≤1 
 Sendo n, a normal apontando para cima. 
R: 
𝐼2. 𝑌 = 1𝐼2 
2𝑌 
𝐽2. 𝑌 = 0𝐽 
2𝑍 
�⃗⃗⃗�2. 𝑋 = 1𝐼𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ 
2𝑋 
�⃗⃗⃗�2. 𝑌 = 1. �⃗⃗⃗� (−) 
− 
2𝑌 
𝐼2. 𝑋 = 0𝐼 
2𝑍 
𝐽2. 𝑌 = 0𝐽 
2𝑋 
∇𝑋𝑓 = (1𝐼 + 0𝐼) + (0𝐽 + 0𝐽) + (1�⃗⃗⃗� − 1�⃗⃗⃗�) 
∇𝑋𝑓 = 1𝐼 
∬(∇𝑋𝑓). (�⃗⃗�𝑑𝑠) 
 
∬(∇𝑋𝑓). 𝑟𝑑𝑟𝑑∅ 
∬(1,0,0). 𝑟𝑑𝑟𝑑∅ 
 
∬ 1𝑟𝑐𝑜𝑠∅𝑑𝑟𝑑∅ 
∫ −𝑠𝑒𝑛𝑑∅
2𝜋
0
 
∬ 𝐹𝑛𝑑𝑠 = 𝑐𝑜𝑠2𝜋 = 1 
 
∬ 𝑭𝒏𝒅𝒔 = 𝟏