EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Equações diferenciais são equações que envolvem derivadas de uma função desconhecida em relação a uma ou mais variáveis independentes. Elas são muito importantes para modelar fenômenos naturais e físicos, como o movimento de corpos, o crescimento de populações, a propagação de calor, etc.
Existem vários tipos de equações diferenciais, mas vamos nos concentrar nas equações diferenciais ordinárias (EDO), que são aquelas que envolvem apenas uma variável independente. A ordem de uma EDO é dada pela maior ordem da derivada que aparece na equação. Por exemplo, a equação y' = 2x é de primeira ordem, enquanto a equação y\" + x^2 y' - 40y = 0 é de segunda ordem.
Uma EDO é dita linear se ela for da forma y^(n) + a_(n-1) y^(n-1) + ... + a_1 y' + a_0 y = f(x), onde a_(n-1), ..., a_0 e f(x) são funções conhecidas de x. Uma EDO linear é homogênea se f(x) = 0 e não homogênea caso contrário. Uma EDO não linear é aquela que não pode ser escrita na forma linear.
Para resolver uma EDO, precisamos encontrar uma função y(x) que satisfaça a equação, ou seja, que ao substituir na equação, obtenhamos uma identidade. A solução geral de uma EDO é aquela que contém n constantes arbitrárias, onde n é a ordem da EDO. A solução particular de uma EDO é obtida da solução geral impondo condições iniciais ou de contorno, que são valores dados para a função ou suas derivadas em determinados pontos.
Vamos ver dois exemplos de resolução de EDOs:
Exemplo 1: Resolva a EDO y' = 2x.
Essa é uma EDO linear de primeira ordem e separável, ou seja, podemos escrevê-la na forma dy/dx = 2x e separar as variáveis x e y em lados opostos do sinal de igualdade. Assim, temos:
dy = 2x dx
Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos:
y = x^2 + C
onde C é uma constante arbitrária. Essa é a solução geral da EDO. Para obter uma solução particular, precisamos de uma condição inicial. Por exemplo, se y(0) = 1, temos:
y(0) = 0^2 + C = 1
C = 1
Portanto, a solução particular é y = x^2 + 1.
Exemplo 2: Resolva a EDO y\" - 3y' - 4y = 0.
Essa é uma EDO linear homogênea de segunda ordem e com coeficientes constantes. Para resolvê-la, vamos usar o método das raízes características, que consiste em procurar soluções da forma y = e^(rx), onde r é uma constante. Substituindo na EDO, temos:
(e^(rx))\" - 3(e^(rx))' - 4e^(rx) = 0
r^2 e^(rx) - 3r e^(rx) - 4e^(rx) = 0
e^(rx) (r^2 - 3r - 4) = 0
Como e^(rx) nunca é zero, temos que resolver a equação quadrática r^2 - 3r - 4 = 0. As raízes dessa equação são r_1 = -1 e r_2 = 4. Portanto, as soluções da forma y = e^(rx) são y_1 = e^(-x) e y_2 = e^(4x). Pelo princípio da superposição, qualquer combinação linear dessas soluções também é solução da EDO. Logo, a solução geral é:
y = C_1 e^(-x) + C_2 e^(4x)
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Para obter uma solução particular, precisamos de duas condições iniciais. Por exemplo, se y(0) = 2 e y'(0) = -5, temos:
y(0) = C_1 e^(0) + C_2 e^(0) = 2
C_1 + C_2 = 2
y'(0) = -C_1 e^(0) + 4C_2 e^(0) = -5
-C_1 + 4C_2 = -5
Resolvendo o sistema de equações para C_1 e C_2, obtemos:
C_1 = 3/5
C_2 = 7/5
Portanto, a solução particular é y = (3/5)e^(-x) + (7/5)e^(4x).
Referências bibliográficas:
[1] Equações diferenciais - Só Matemática. Disponível em: https://www.somatematica.com.br/superior/equacoesdif/eq.php
[2] Equação diferencial – Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial
[3] Equações Diferenciais - Matemática - InfoEscola. Disponível em: https://www.infoescola.com/matematica/equacoes-diferenciais/