Análise de Viabilidade Econômica com HP12C

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7ºAula
Análises de Viabilidade Econômica
Objetivos de aprendizagem
Ao término desta aula, vocês serão capazes de:
•	 compreender as principais funções e teclas da calculadora financeira HP12C;
•	 utilizar a HP12C para cálculo de juros compostos e de critérios de investimentos/financiamentos;
•	 entender o que são análises de investimento e qual sua finalidade;
•	 calcular o Valor Presente Líquido (VPL) de um investimento; 
•	 conhecer a Taxa Mínima de Atratividade (TMA) de um projeto; 
•	 encontrar a Taxa Interna de Retorno (TIR); 
•	 medir a viabilidade de um projeto através do Payback simples e descontado.
Caros(as) alunos(as)!
Nesta aula, veremos que os juros compostos podem ser 
facilmente calculados através da calculadora financeira HP12C, 
a qual é uma ferramenta de suma importância para a matemática 
financeira e de grande uso na análise de viabilidade econômica 
de projetos de investimento. Desta forma, aprenderemos a 
construir e analisar critérios de decisão, para a escolha entre as 
alternativas de investimento. 
Veremos os principais métodos usados pelo mercado para 
realizar análises de investimentos, sendo eles: Valor Presente 
Líquido (VPL), Taxa Mínima de Atratividade (TMA), Taxa 
Interna de Retorno (TIR) e o Payback. 
Bons estudos!
56Elaboração e Análise de Projetos
1 – Comunicado inicial
2 – Funções iniciais HP12C
3 – Cálculos de juros compostos HP12C
4 – Cálculos investimento/financiamento HP12C
5 – Análise de investimentos 
6 – Valor Presente Líquido (VPL)
7 – Taxa Mínima de Atratividade (TMA)
8 – Taxa Interna de Retorno (TIR)
9 – Payback
1 - Comunicado Inicial
Nesta aula, aprenderemos a utilizar os principais 
comandos da calculadora financeira HP12C. Peço para que se 
atentem aos seguintes recados:
•	 Não existe obrigatoriedade do uso da HP12C 
neste curso, o conteúdo será apresentado para 
simplificar contas extensas e para permitir que, quem 
trabalha no meio financeiro ou faça investimentos 
pessoais, possam usar essa ferramenta excepcional.
•	 Todos os cálculos serão apresentados de duas 
formas: cálculo através da HP12C e através da 
fórmula, de forma que, quem não quiser utilizar a 
HP12C não será prejudicado, pois poderá realizar 
todos os cálculos na fórmula. 
•	 Quem optar por não adquirir a HP12C, poderá usar 
um aplicativo no celular, disponível para Android 
e IOS. 
•	 Na prova, quem tiver a calculadora HP12C poderá 
utilizá-la para realizar as contas, quem estiver usando 
o aplicativo no celular NÃO poderá utiliza-lo no 
momento da prova, devendo então realizar as contas 
através das fórmulas. Em hipótese alguma será 
permitido o uso de celular no momento da prova, 
nem que seja para acesso a qualquer calculadora. 
2 - Funções Iniciais HP12C
Os cálculos referentes a juros compostos também 
podem ser realizados na calculadora financeira HP12C, o que 
facilita grandemente os estudos nas disciplinas de matemática 
financeira e também para a análise de viabilidade econômica 
de projetos. 
Vejamos algumas informações básicas, para uso da 
calculadora financeira HP12C:
•	 Função liga e desliga – pode ser acionada através do 
botão “ON” no canto inferior esquerdo;
Seções de estudo
FIGURA 1 – CALCULADORA HP12C COM 
INDICAÇÃO DE BOTÃO LIGA E DESLIGA.
Fonte: elaborado pela autora.
Ativar a função composto – clicar na tecla “STO” e em 
seguida na tecla “EEX”. Deverá aparecer no visor um “c”, 
conforme ilustrado na figura abaixo. 
FIGURA 2 – CALCULADORA HP12C COM 
INDICAÇÃO DE BOTÃO “STO” E “EEX”.
Fonte: elaborado pela autora. 
•	 Alteração do número de casas decimais que aparece 
no visor – pressionar a tecla “f ” e em seguida o 
número no teclado número que represente o número 
de casas decimais desejadas (no exemplo abaixo a 
tecla selecionada foi “f ” e depois 4, de forma que no 
visor ficaram 4 casas decimais);
FIGURA 3 –CALCULADORA HP12C COM 
INDICAÇÃO DE BOTÃO “F” E DO TECLADO 
NUMÉRICO.
Fonte: elaborado pela autora. 
57
Fazer operações como soma, subtração, multiplicação 
e divisão – a ordem para inserir os dígitos é reversa. Por 
exemplo, para fazer 2 + 3 = 5 a ordem seria: 2 ENTER 3 + e 
você já terá o resultado no visor;
FIGURA 4 – CALCULADORA HP12C COM 
INDICAÇÃO DE BOTÕES NA SEQUÊNCIA PARA 
REALIZAR A OPERAÇÃO 2+3=5.
Fonte: elaborado pela autora. 
Funções de limpeza – apesar da calculadora HP12C 
possuir diversas funções de limpeza, aqui nós usaremos 
apenas duas. A primeira delas é a tecla “CLX” que pode ser 
utilizada para limpar apenas o número digitado no visor. A 
segunda é a combinação das teclas “f ” e em seguida “X><Y”, 
de forma que estaremos usando a função laranjada “FIN”, 
para limpeza da memória financeira da calculadora, ou seja, os 
dados que foram armazenados nas teclas financeiras. 
FIGURA 5 – CALCULADORA HP12C COM 
INDICAÇÃO DE BOTÃO “CLX” E BOTÕES “F” “FIN”.
Fonte: elaborado pela autora. 
Utilização das teclas brancas, azuis e laranjadas – as 
teclas brancas são as utilizadas normalmente ao ligar a 
calculadora, porém para acionar algum comando que esteja 
em azul ou alaranjado, deveremos usar as teclas “g” e “f ”, 
respectivamente, imediatamente antes de acionar o comando 
desejado. A figura abaixo indica na primeira linha teclas da 
calculadora, as teclas laranjadas e azuis, sendo que essas são as 
principais para uso em matemática financeira. 
FIGURA 6 – CALCULADORA HP12C COM 
INDICAÇÃO DE BOTÃO “F” PARA ACIONAR AS TECLAS 
LARANJADAS E BOTÃO “G” PARA ACIONAR AS TECLAS 
AZUIS.
Fonte: elaborado pela autora. 
 Ao longo dessa disciplina, utilizaremos os seguintes 
comandos:
TABELA 1 – DETALHAMENTO DAS TECLAS 
ALARANJADAS E AZUIS DA HP12C.
ALARANJADAS 
TECLA SIGNIFICADO
NPV Resultado	 para	 Valor	
Presente	Líquido	(VPL)
IRR Resultado	 para	Taxa	 In-
terna	de	Retorno	(TIR)
AZUIS 
TECLA SIGNIFICADO
CF0 Equivalente	 ao	 Valor	
Presente	(PV).	É	o	valor	
na	 data	 de	 hoje	 (n=0).	
Pode	ser	o	valor	total	in-
vestido	 ou	 o	 valor	 total	
financiado.		
CFJ Aproximadamente	 equi-
valente	 ao	 PMT	 (parce-
lamento).	A	principal	di-
ferença	é	que,	o	CFJ	pode	
ser	 utilizado	 para	 dife-
rentes	valores	e	linhas	do	
tempo	com	intervalos	de	
pagamento.	
Fonte: elaborado pela autora. 
•	 Principais teclas financeiras – a primeira linha da 
HP12C é onde ficam as principais funções de uso 
da matemática financeira, sendo elas: PV, FV, n, i e 
PMT. A figura abaixo representa o significado de 
cada uma delas. 
58Elaboração e Análise de Projetos
FIGURA 7 – CALCULADORA HP12C COM 
INDICAÇÃO DE BOTÕES FINANCEIROS E SEUS 
SIGNIFICADOS.
Fonte: elaborado pela autora. 
TABELA 2 – COMANDOS FINANCEIROS MAIS 
IMPORTANTES DA HP12C.
TECLA SIGNIFICADO 
n Número	de	períodos	da	
amortização	do	emprés-
timo	ou	recebimento	de	
juros,	pode	ser	calculado	
em	dias,	meses,	anos,	
etc.,	desde	que	esteja	de	
acordo	com	o	período	de	
tempo	da	taxa	de	juros.	
i Taxa	de	juros	incidente	
sobre	o	financiamento/
investimento.	Deve	sem-
pre	estar	de	acordo	com	
o	período	de	tempo	infor-
mado	no	“n”.	
PV Valor	presente	–	é	o	valor	
na	data	de	hoje	(n=0).	
Pode	ser	o	valor	total	
investido	ou	o	valor	total	
financiado.	
PMT Parcelamento	–	refere-se	
a	parcelas	constantes	em	
relação	ao	período	de	
tempo	(mês	a	mês,	ano	
a	ano,	dia	a	dia,	etc.)	e	
constantes	em	relação	ao	
valor	(sempre	o	mesmo	
valor	exatamente).	Se	
houver	alguma	alteração	
em	algum	desses	itens	
expostos	não	poderá	ser	
usada	a	tecla	PMT.	
FV Valor	futuro	–	é	o	valor	
residual	no	futuro,	o	
quanto	receberá	ao	final	
de	uma	aplicação	ou	o	
quanto	você	pagará	como	
valor	residual	ao	final	de	
um	empréstimo.	
CHS Troca	o	sinal	do	valor	
inserido	no	visor	da	HP,	
muito	importante	quando	
informamos	os	dados	de	
PV	e	FV	ao	mesmo	tem-
po,	uma	vez	que	a	HP12C	
não	aceita	que	esses	dois	
valores	sejam	inseridos	
no	mesmo	sinal,	ela	apre-
sentará	o	erro	“Error 5”.	
Assim,	sempre	quando	
esses	dois	valores	forem	
informados	ao	mesmo	
tempo,	um	deles	deve	ser	
negativo	e	o	outro	posi-
tivo,	para	isso	usamos	a	
tecla	CHS.	
Fonte: elaborado pela autora.
•	 Inversãode sinal – quando desejamos inserir 
um número negativo na memória financeira da 
calculadora, basta digitarmos o número e clicar 
na tecla “CHS”. Essa função será de extrema 
importância quando iniciarmos os cálculos, isso 
porque não podemos inserir nas teclas financeiras 
o PV e o FV com o mesmo sinal, de forma que, 
quando um for positivo o outro é negativo e vice-
versa. 
FIGURA 8 – CALCULADORA HP12C COM 
INDICAÇÃO DE BOTÃO “CHS”.
Fonte: elaborado pela autora. 
3 - Cálculos de Juros Compostos 
HP12C
Vejamos o exemplo do Frederico, que aplicou R$ 100,00 
na caderneta de poupança de seu banco, de forma que essa 
aplicação lhe rende juros compostos com taxa de 10% 
59
a.a. Suponha que Frederico queira saber qual será o saldo 
acumulado dessa aplicação ao final de quatro anos.
Solução por meio da fórmula 
VF = VP * (1 + i)n
VF = 100 * (1 + 0,1)4
VF = 100 * (1,1)4
VF = 100 * (1,4641)
VF = R$ 146,41
Solução por meio da calculadora
100 → PV
10 → i
4 → n
FV = 146,41
Em detalhes, as informações são inseridas na HP12C da 
seguinte forma:
TABELA 3- INFORMAÇÕES INSERIDAS NA HP12C 
PARA CÁLCULO. 
Tecle Visor Comando executado
CLX 0,0000 Limpando o visor
f FIN 0,0000 Limpando os registros financeiros 
100 PV 100,0000 Inserindo o valor presente
10 i 10,0000 Inserindo a taxa de juros
4 n 4,0000 Inserindo o prazo
FV 146,41
Calculando o valor futuro (ao 
clicar no FV após inserir os dados 
anteriores na HP retornará no 
visor a informação do valor)
Fonte: elaborado pela autora. 
ATENÇÃO!
•	 Quando usamos a HP12C para cálculo de juros 
compostos, podemos inserir a taxa de juros “i” 
na forma percentual. Por exemplo, 10% pode ser 
inserido como 10 n.
•	 Os valores de “i” e de “n” deverão ser compatíveis, 
ou seja, se “i” for expresso ao ano, “n” deverá 
também ser expresso em anos.
3.1 – Exemplos juros compostos 
HP12C
•	 Exemplo 1
Um lojista vende uma mercadoria à vista por R$1.400,00. 
Nas compras a prazo incide juros de 5% ao mês. Para 
pagamento em 3 meses, qual o valor a prazo?
Solução por meio da calculadora
1400 PV
5 i
4 n
FV = 1.701,71
•	 Exemplo 2
Joaquim tem uma dívida de R$ 20.000,00 para ser 
liquidada daqui a 5 meses, mas ele deseja quitar hoje. 
Qual o valor que ele deve pagar, se o banco trabalha com 
uma taxa de juros mensal de 4% ao mês?
Solução por meio da calculadora
20000 FV
 4 i
5 n
PV = 16.438,54
•	 Exemplo 3
A Cia do sapato vende um tênis por R$ 800,00 à vista ou 
por R$ 980,00, para pagamento em 3 meses. Calcule as 
taxas de juros mensal.
Solução por meio da calculadora
800 PV
950 CHS FV
3 n
i = 7% ao mês
ATENÇÃO!
Neste exemplo, podemos ver a aplicação da tecla CHS, quando temos 
que cadastrar na memória financeira da calculadora, tanto o valor de PV 
quanto o valor de FV, devendo um dos dois ser cadastrados com sinal 
negativo. No exemplo, o valor cadastrado como negativo foi o FV. 
4 - Cálculos Investimento/
Financiamento Hp12c
Quando se trata da HP12C em relação a investimentos/
financiamentos, podemos encontrar o que desejamos, como 
período de tempo (n), taxa de juros incidente (i), Valor 
Presente (PV), Valor Futuro (FV) ou Parcelamento (PMT). 
Para isso, devemos informar 3 ou 4 parâmetros para a HP e 
pedir para que ela te retorne um deles, sendo esse o que você 
deseja conhecer. Desta forma:
•	 quando desejo saber a taxa de juros (i): devo inserir 
PV (e/ou PMT), FV (e/ou PMT) e n. De forma que 
a calculadora retornará o valor da taxa;
•	 quando desejo saber o período (n): devo inserir PV 
(e/ou PMT), FV (e/ou PMT) e i. De forma que a 
calculadora retornará a quantidade de períodos;
•	 quando desejo saber o Valor Presente (PV): devo 
inserir FV (e/ou PMT i e n. De forma que a 
calculadora retornará o valor presente;
•	 quando desejo saber o Valor Futuro (FV): devo 
inserir PV (e/ou PMT i e n. De forma que a 
calculadora retornará o valor futuro.
 
A seguir, veremos alguns exemplos que tornarão mais 
claro o que foi explicado aqui. 
60Elaboração e Análise de Projetos
4.1 – Exemplos Cálculos 
investimento/financiamento HP12C
•	 Exemplo 1 (encontrando a taxa i)
A Cia do Campo vende calças jeans por R$ 200,00 a 
vista ou R$ 215,00 a prazo, para pagamento com 30 dias. 
Informe a taxa de juros mensal que esta empresa cobra 
de seus clientes para pagamento a prazo. 
RESPOSTA: 
Observe que o período de tempo deve estar de acordo 
com o período da taxa de juros. Desta forma, como o 
enunciado pede a taxa de juros em meses, devo informar o 
n em meses. 
Neste exemplo, utiliza-se a tecla CHS de inversão de sinal 
para que a HP12C não dê erro. Neste caso, podemos utilizar 
tanto no PV quando no FV que o resultado será o mesmo. 
200 PV
215 CHS FV
1 n
Tecle i = 7,5% ao mês
Note que: informamos o PV, FV e n, “pedimos” a taxa 
de juros para a calculadora ao clicar na tecla i, depois de ter 
inserido os outros 3 parâmetros. 
•	 Exemplo 2 (encontrando o período n)
 João deve ao banco R$ 1.500,00 por um empréstimo 
que pegou. Ele deveria ter pago o valor total no mês de 
maio de 20X1, porém ele se esqueceu e não realizou o 
pagamento. Quando João lembrou de liquidar sua dívida 
ele teve que pagar ao banco R$ 1.690,00, isso porque os 
juros são de 2,0076% ao mês. Quantos meses depois do 
vencimento da dívida, João realizou o pagamento?
RESPOSTA: 
Neste exemplo, utiliza-se a tecla CHS de inversão de sinal 
para que a HP12C não dê erro. Neste caso, podemos utilizar 
tanto no PV quando no FV que o resultado será o mesmo. 
1500 PV
1690 CHS FV
2,0076 i
Tecle n = 6 meses
João lembrou de pagar a dívida 6 meses depois do seu 
vencimento.
Note que: informamos o PV, FV e i, “pedimos” o 
período para a calculadora ao clicar na tecla n, depois de ter 
inserido os outros 3 parâmetros. 
 
Exemplo 3 (encontrando o valor presente – PV)
Mariana investiu uma determinada quantia em Janeiro de 
20XX, passados 5 anos, ela resgatou o valor de R$157.900,00, 
sabendo que a taxa de juros é de 14,0023% ao ano, qual foi o 
valor investido por Mariana? 
RESPOSTA: 
157900 FV
5 n
14,0023 i
Tecle PV = 82.000
Mariana investiu R$ 82.000,00.
Note que: informamos o FV, n e i, “pedimos” o valor 
presente para a calculadora ao clicar na tecla PV, depois de ter 
inserido os outros 3 parâmetros.
•	 Exemplo 3 (encontrando o valor presente – PV)
Suponhamos agora que Mariana tenha recebido por sua 
aplicação 60 parcelas mensais de R$ 2.600,00, sabendo 
que a taxa de juros é de 1,2% ao mês, qual foi o valor 
investido por Mariana? 
RESPOSTA: 
2600 PMT
60 n
1,2 i
Tecle PV = 110.750,7201
Mariana investiu R$ 110.750,7201.
Note que: informamos agora o PMT, n e i, “pedimos” o 
valor presente para a calculadora ao clicar na tecla PV, depois 
de ter inserido os outros 3 parâmetros.
•	 Exemplo 4 (encontrando o valor futuro – FV)
 Joaquim deseja realizar um empréstimo em um 
banco para a compra de um terreno. Ele precisa de R$ 
300.000,00 para pagar de uma única vez ao final de 2 
anos. O banco oferece a taxa de juros de 11% ao ano. 
Quanto Joaquim pagará pelo empréstimo?
RESPOSTA: 
300000 PV
2 n
11 i
Tecle FV = 369.630
Joaquim pagará R$ 369.630,00 pelo empréstimo. 
Note que: informamos o PV, n e i, “pedimos” o valor 
futuro para a calculadora ao clicar na tecla FV, depois de ter 
inserido os outros 3 parâmetros.
 
5 - Análise de Investimentos
A análise de investimentos é uma operação que permite 
medir o valor de projetos com base na comparação de seus 
benefícios gerados em relação ao capital investido e custos 
decorrentes de sua operacionalização. Para que possam 
realizar análises e tomar as suas decisões, os gestores devem 
comparar os resultados projetados por meio de diferentes 
critérios, considerando os possíveis limites determinados pela 
alta direção da empresa.
61
Dessa forma, o processo de análise consiste em adequarcritérios que possibilitem identificar a escolha da alternativa 
mais interessante dentre as diversas possibilidades. Além de 
identificar a alternativa mais atraente, é possível definir se é 
ou não justificável investir recursos financeiros em um dado 
projeto de investimento (ELIA, 2018). São exemplos típicos 
da utilização dessas técnicas as alternativas de investimento 
financeiro, ampliação de planta fabril, aquisição e substituição 
de equipamentos da produção, opções de lançamentos dentro 
da engenharia de produto, etc.
Existe um conjunto de técnicas que permitem a 
comparação de alternativas de investimentos de formas 
diferentes. Veremos nos próximos tópicos alguns desses 
recursos que podem ser utilizados, e perceberemos que um 
investimento será viável se seu retorno for maior que o de 
qualquer outro tipo de aplicação, quando empregada a mesma 
quantia.
6 - Valor Presente Líquido (Vpl)
O método do valor presente líquido (VPL) é a diferença 
entre o valor de um ativo e o custo desse ativo. Porém, não 
podemos somar valores em datas diferentes, de forma que 
esse método se caracteriza pela transferência para a data zero 
de todas as variações de caixa esperadas, descontadas à taxa 
mínima de atratividade (PAMPLONA & MONTEVECHI, 
2011). 
O conceito de valor do dinheiro no tempo (VDT) explica 
que o dinheiro muda de valor no decorrer do tempo. Assim, 
uma determinada quantia teria significados econômicos 
diferentes em épocas diferentes. 
atenção!
“não se soma ou subtrai quantias em dinheiro que não estejam na 
mesma data”
“recursos só são comparáveis na mesma data”
Neste sentido, o cálculo do VPL consiste em calcular 
a soma dos valores equivalentes de todos os fluxos de caixa 
no período zero utilizando a Taxa Mínima de Atratividade 
(TMA). Em outras palavras, seria o transporte para a data zero 
de um diagrama de fluxos de caixa, de todos os recebimentos 
e desembolsos esperados, descontados à taxa de juros 
considerada (ELIA, 2018).
Portanto, o VPL é a diferença entre o que você investe 
(I0) e o que você recebe (VP), trazidos para a data zero, 
indicando o lucro ou o prejuízo que o ativo proporcionará:
VPL = VP – I0
Onde:
VP = valor presente (n=0) de tudo o que você vai receber 
ao longo do tempo desse investimento.
I0 = investimento (n=0), ou seja, tudo o que você vai 
investir nesse projeto trazido a data zero.
A figura abaixo ilustra o que foi dito, em que o diagrama 
de fluxo de caixa, contendo todos os recebimentos e 
desembolsos esperados para um projeto, é transportado para 
a data zero, descontado à taxa de juros considerada.
FIGURA 9 – FLUXO DE CAIXA DE UM 
INVESTIMENTO NA DATA ZERO, COM RETORNO EM N 
PERÍODOS.
Fonte: elaborado pela autora.
Observe que a determinação do valor presente líquido 
(VPL) de um projeto de investimento usa o conceito de 
fluxo de caixa descontado, calculando o somatório do valor 
presente dos fluxos de caixa (FC) que ocorrem nos instantes t 
= 0, 1, 2, 3, ..., n, a uma taxa de desconto (LEÃO, 2012). 
FIGURA 10 – TRAZENDO TODOS OS FLUXOS PARA 
A	DATA	ZERO	TEMOS	O	VALOR	PRESENTE	LÍQUIDO.
Fonte: elaborado pela autora. 
DICA
Sempre desenhe o fluxo de caixa em análise, de forma a ficar mais 
evidente as entradas e saídas, facilitando o cálculo.
Para o cálculo do VPL, podemos seguir os seguintes 
passos:
1) Calcula-se o Valor Presente (VP) do projeto através 
da fórmula:
Onde:
VP = Valor presente 
FC = Fluxo de Caixa em n=1, n=2, ....
i = taxa de juros 
2) O valor do Investimento Inicial (I0) já está na data 
zero, pois geralmente é realizado antes do início da 
operação do projeto.
3) Podemos aplicar a fórmula do VPL. 
62Elaboração e Análise de Projetos
VPL = VP – I0
 
O VPL também pode ser calculado na HP12C
FC0 →	g	→	CF0 → Inserimos o investimento inicial na 
data 0, mesmo que I0 for 0,00 informaremos 0 na HP
FC1
 →	g	→	CF1
FC2	→	g	→	CFj
FC3 →	g	→	CFj
FC4
 →	g	→	CFj
 ...
FCn →	g	→	CFj
TMA%	→	i	→ Informamos a taxa de juros (TMA)
f 	→	NPV	→ O resultado do VPL está na tecla NPV, 
em alaranjado na calculadora, por isso, clicamos no “f ” 
imediatamente antes de clicar no NPV
ATENÇÃO
Quando optamos por calcular o VPL pela HP12C, precisamos usar as 
teclas azuis da calculadora (CF0 e CFj), então não podemos esquecer 
de toda vez que formos ativar algum comando em azul, temos que 
imediatamente antes clicar na tecla “g”.
ATENÇÃO!
É fundamental observar o sinal dos respectivos fluxos de caixa na hora 
de calcular o VPL, tanto através da fórmula, quanto através da HP. 
•	 Se estiver calculando através da fórmula, basta colocar um sinal 
negativo na equação, subtraindo ao invés de somar o FC que for 
negativo. 
•	 Já través da HP12C devemos utilizar a tecla CHS de inversão de sinal 
antes de inserir determinado FC.
Depois de encontrarmos o resultado do VPL, precisamos 
agora analisar o que ele significa em relação ao projeto. O 
projeto de investimento mais indicado é aquele que apresenta 
o maior retorno em relação a um investimento, ou o menor 
custo (ELIA, 2018). 
A análise mais importante do VPL é o sinal do resultado, ou seja, se ele é 
negativo ou positivo. O valor (módulo) do resultado representa apenas a 
dimensão da viabilidade.
•	 VPL positivo (VPL>0) significa que o Valor 
Presente dos retornos é maior que o Valor Presente 
do investimento e despesas (ELIA, 2018), ou seja, 
VPL maior que zero significa lucro. Desta forma, 
para que um investimento seja considerado viável, o 
VPL deve ser maior que zero, o que representa que 
o valor do projeto é maior que o custo do projeto 
(ABREU, 2020). 
•	 VPL negativo (VPL<0) significa que o Valor 
Presente dos desembolsos supera o Valor Presente 
dos recebimentos (ELIA, 2018), ou seja, VPL 
menor que zero significa prejuízo, o que inviabiliza 
Inserimos todos os Fluxos de 
Caixa (FC) do período 1 até n.}
economicamente o projeto. No caso da escolha 
obrigatória entre alternativas com VPL<0, a opção 
mais econômica será a que apresentar o menor VPL 
negativo.
•	 VPL é zero (VPL=0) significa que o projeto 
oferece a mesma rentabilidade que a alternativa de 
investimento financeiro remunerada pela TMA 
(ELIA, 2018), ou seja, em linhas gerais, podemos 
dizer que você receberá exatamente o que investiu. 
FIGURA 11 – RESUMO DA ANÁLISE DO SINAL DO 
VPL.
Fonte: elaborado pela autora. 
6.1 – Exemplos VPL
Exemplo 1
O projeto PLANO DE AÇÃO, será implantado em n=0 
e demanda o investimento inicial (I0) de R$ 1.000.000,00. O 
Fluxo de Caixa do projeto para os próximos cinco anos possui 
os seguintes retornos: R$ 200.000,00 em n=1, R$ 200.000,00 
em n=2, R$ 200.000,00 em n=3, R$ 400.000,00 em n= 4 e R$ 
500.000,00 em n= 5. A taxa de retorno adequada para esse 
projeto é de 8% a.a. Determine o VPL desse projeto e analise 
a sua viabilidade.
TABELA 4- DISTRIBUIÇÃO DE VALORES DE FLUXO 
DE CAIXA PELO TEMPO. 
Período Fluxo de caixa
n=0 FC0	=	-	1.000.000
n=1 FC1	=	200.000
n=2 FC2	=	200.000
n=3 FC3	=	200.000
n=4 FC4	=	400.000
n=5 FC5	=	500.000
Fonte: elaborado pela autora.
FIGURA 12 – FLUXO DE CAIXA DO EXEMPLO 1.
Fonte: elaborado pela autora.
63
TABELA 5- RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 1 ATRAVÉS 
DA FÓRMULA E ATRAVÉS DA HP12C. 
Resolvendo através da fórmula:
VP	=	FC1/(1+i)	+	FC2/(1+i)
2	+	FC3/(1+i)
3	+	FC4/(1+i)
4+	FC5/
(1+i)5
VP	 =	 200.000/(1+0,08)	 +	 200.000/(1+0,08)2	 +	 200.000/
(1+0,08)3	+	400.000/(1+0,08)4	+	500.000/(1+0,08)5
VP	=	185.185,185	+	171.467,764	+	158.767,96	+	294.031,167	
+	340.298,101
VP	=	1.149.750,177
I0	=	1.000.000,00
VPL	=	VP	–	I0
VPL	=	1.149.750,177	-	1.000.000,00	=	149.750,177
Resolvendo através da HP12C:
1000000		→			CHS	→			g		→			CF0
200000				→			g			→		CFj
200000				→			g			→		CFj
200000				→			g			→		CFj
400000				→			g			→		CFj
500000				→			g			→		CFj
8		→			i	
f			→		NPV	=	149.722,9
Fonte: elaborado pela autora.
Obs.: A pequena diferença entre os valores apresentados 
se trata de arredondamentos de casas decimais quando 
usamos a fórmula. 
 Como o VPL é positivo, podemos afirmar que o 
projeto PLANO DE AÇÃO é viável deacordo com esse 
critério de avaliação. 
 
b. Exemplo 2
O projeto NOTA 1000 custa um investimento inicial 
de R$ 3.000.000,00, a previsão é de que esse projeto gere 
os seguintes fluxos de caixa para os próximos três anos: R$ 
1.100.000 em n=1, R$ 800.000 em n=2 e R$ 1.500.000 em 
n=3. Determine e analise o VPL deste projeto, sabendo que 
a TMA é de 11%. 
TABELA 6- DISTRIBUIÇÃO DE VALORES DE FLUXO 
DE CAIXA PELO TEMPO.
Período Fluxo de caixa
n=0 FC0	=	-	3.000.000
n=1 FC1	=	1.100.000
n=2 FC2	=	800.000
n=3 FC3	=	1.500.000Fonte: elaborado pela autora.
FIGURA 13 – FLUXO DE CAIXA DO EXEMPLO 2.
Fonte: elaborado pela autora.
TABELA 7- RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2 ATRAVÉS 
DA FÓRMULA E ATRAVÉS DA HP12C.
Resolvendo através da fórmula:
VP = FC1/(1+i) + FC2/(1+i)
2 + FC3/(1+i)
3 
VP = 1.100.000/(1+0,11) + 800.000/(1+0,11)2 + 1.500.000/(1+0,11)3 
VP = 990.990,99 + 649.297,95 + 1.096.811,93
VP = 2.737.100,87
I0 = 3.000.000,00
VPL = VP – I0
VPL = 2.737.100,87 - 3.000.000,00 = - 262.899,13
Resolvendo através da HP12C:
3000000 → CHS → g → CF0
1100000 → g → CFj
800000 → g → CFj
1500000 → g → CFj
11 → i 
f → NPV = - 262.923,99
Fonte: elaborado pela autora.
Obs.: A pequena diferença entre os valores apresentados 
se trata de arredondamentos de casas decimais quando 
usamos a fórmula. 
Como o VPL é negativo podemos afirmar que o projeto 
NOTA 1000 não é viável de acordo com esse critério de 
avaliação. 
c. Exemplo 3
O projeto TDB custa um investimento inicial de R$ 
2.000.000,00, a previsão é de que esse projeto gere os seguintes 
fluxos de caixa para os próximos cinco anos: R$ 800.000 
em n=1, R$ 1.100.000 em n=2, R$ 1.000.000 em n=3, R$ 
1.500.000,00 em n=4 e -R$ 600.000,00 em n=5 . Determine 
e analise o VPL deste projeto, sabendo que a TMA é de 5%. 
Tabela 8- Distribuição de valores de Fluxo de caixa pelo 
tempo.
Período Fluxo de caixa
n=0 FC0	=	-	2.000.000
64Elaboração e Análise de Projetos
n=1 FC1	=	800.000
n=2 FC2	=	1.100.000
n=3 FC3	=	1.000.000
n=4 FC4	=	1.500.000
n=5 FC5	=	-	600.000
Fonte: elaborado pela autora.
FIGURA 14 – FLUXO DE CAIXA DO EXEMPLO 3.
Fonte: elaborado pela autora.
TABELA 9- RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 3 ATRAVÉS 
DA FÓRMULA E ATRAVÉS DA HP12C.
Resolvendo através da fórmula:
VP = FC1/(1+i) + FC2/(1+i)
2 + FC3/(1+i)
3 + FC4/(1+i)
4+ FC5/(1+i)
5
VP = 800.000/(1+0,05)+1.100.000/(1+0,05)2+1.000.000/
(1+0,05)3+1.500.000/(1+0,05)4– 600.000/(1+0,05)5
VP = 761.904,76+997.732,42+863.856,25+1.234.060,06 – 470.145,74
VP = 3.387.407,75
I0 = 2.000.000,00
VPL = VP – I0
VPL = 3.387.407,75 - 2.000.000,00 = 1.387.407,75
Resolvendo através da HP12C:
2000000 → CHS → g → CF0
800000 → g → CFj
1100000 → g → CFj
1000000 → g → CFj
1500000 → g → CFj
600000 → CHS → g → CFj
5 → i 
f → NPV = 1.387.412,799
Fonte: elaborado pela autora.
Obs.: A pequena diferença entre os valores apresentados 
se trata de arredondamentos de casas decimais quando usamos 
a fórmula. 
Como o VPL é positivo podemos afirmar que o projeto 
TDB é viável de acordo com esse critério de avaliação. 
7 - Taxa Mínima de Atratividade (Tma)
A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é a taxa a partir 
da qual o investidor considera que está obtendo ganhos 
financeiros, ou seja, é a taxa mínima que leva alguém a aplicar 
ou investir recursos financeiros em determinado investimento 
(ELIA, 2018). Não existe, na literatura, uma fórmula exata 
para calcular esta taxa, alguns autores afirmam que a taxa de 
juros a ser usada pela engenharia econômica é a taxa de juros 
equivalente à maior rentabilidade das aplicações correntes 
e de pouco risco, ou ainda, pode ser considerada como o 
custo de capital empresa mais o risco envolvido em cada 
alternativa de investimento. Naturalmente, haverá disposição 
de investir se a expectativa de ganhos, já deduzido o valor do 
investimento, for superior ao custo de capital (PAMPLONA 
& MONTEVECHI, 2011).
8 - Taxa Interna de Retorno (Tir)
A taxa interna de retorno (TIR) também é um método 
utilizado para medir a taxa de retorno que um investimento 
proporcionará ao seu investidor (ABREU, 2020). A TIR 
é a remuneração exata de um investimento em termos 
percentuais, é a taxa de remuneração do capital.
Podemos interpretar a TIR como a taxa de juros 
para a qual o valor presente das receitas torna-se igual aos 
desembolsos, ou seja, quando receitas e despesas igualam-se 
na data zero, transformando o valor atual do investimento 
em zero. Isto significa dizer que a TIR é taxa que torna nulo 
o valor presente líquido do projeto. Ou ainda, a taxa para a 
qual o Valor Presente dos retornos do projeto é igual ao Valor 
Presente dos investimentos necessários (ELIA, 2018).
 
 VPL = VP – I0 = 0 (TIR)VP 
= I0
Onde:
VPL = Valor Presente Líquido
I0 = Investimento inicial
Partindo da definição que a Taxa Interna de Retorno é a 
taxa de desconto, que torna o Valor Presente Líquido (VPL) 
de um Fluxo de Caixa igual a Zero, podemos chegar até a 
fórmula de cálculo da TIR:
 
 O cálculo da TIR, através da fórmula, deve ser 
feito através de tentativa e erro, uma vez que a fórmula é 
muito grande, gerando grande polinômios. Para isso, uma 
das ferramentas que podemos usar para cálculo da TIR é a 
HP12C. 
 
A TIR também pode ser calculada na HP12C
FC0 →	g	→	CF0 → Inserimos o investimento inicial na 
 data 0, mesmo que I0 for 0,00 informaremos 0 na HP
FC1	→	g	→	CF1 
FC2	→	g	→	CFj
FC3	→	g	→	CFj
FC4	→	g	→	CFj
 ...
FCn	→	g	→	CFj
Inserimos todos os Fluxos de Caixa 
(FC) do período 1 até n. }
65
f 	→	IRR	→ O resultado da TIR está na tecla IRR, em alaranjado 
na calculadora, por isso, clicamos no “f” imediatamente antes de clicar no 
IRR (O RESULTADO JÁ É EXPRESSO EM PERCENTUAL)
ATENÇÃO!
É fundamental observar o sinal dos respectivos fluxos de caixa na hora 
de calcular a TIR. 
Através da HP12C devemos utilizar a tecla CHS de inversão de sinal antes 
de inserir determinado FC.
Note que o cálculo da TIR na HP12C é bastante 
semelhante ao cálculo do VPL visto no tópico anterior. 
Agora que já sabemos calcular a TIR, devemos entender 
como interpretá-la. A TIR deve sempre ser comparada com 
a TMA. Para isso, antes de iniciar o cálculo da TIR, devemos 
saber qual o valor esperado de retorno, ou seja, a Taxa Mínima 
de Atratividade (TMA). Isso porque a TIR por si só não se 
relaciona com as taxas de juros vigentes no mercado, é por 
isso que é chamada de Taxa Interna de Retorno, de forma que 
só depende do fluxo de caixa do projeto (ELIA, 2018).
•	 quando a TIR for maior que a TMA (TIR > TMA) 
indica que o retorno do investimento superou 
o retorno de alguma aplicação financeira com a 
rentabilidade da TMA e, por isso, o investimento 
pode ser considera-lo viável. Neste cenário, 
podemos dizer que o investimento retornará uma 
taxa suficiente para pagar a taxa do custo do capital 
do projeto. A diferença da TIR para mais significa 
que o investidor terá lucro;
•	 caso a TIR seja igual à taxa do custo capital (TIR 
= TMA) podemos dizer que a rentabilidade do 
investimento é igual à da aplicação financeira e, 
por isso, o resultado será zero. Isso quer dizer que 
todo o investimento recebido como TIR terá de ser 
pago como taxa do custo do capital, ou seja, não 
sobrará nada. Como consequência, se a TIR de um 
investimento for igual à taxa do custo do capital, o 
VPL desse investimento será igual a zero. Por essa 
razão, dizemos que a TIR é a taxa que faz o VPL ser 
igual a zero (ABREU, 2020);
•	 por fim, se a TIR for menor que a taxa do custo do 
capital investido (TIR < TMA), o investidor deve 
considerar o projeto inviável, uma vez que propicia 
um retorno inferior ao de uma aplicação financeira 
com rentabilidade da TMA, ou seja, pagará mais do 
que conseguirá receber. 
FIGURA 15 – RESUMO DA ANÁLISE DA TIR.
Fonte:elaborado pela autora. 
8.1 – Exemplos TIR
a. Exemplo 1
Marta deseja abrir uma fábrica de caixas de sapato, para 
isso ela precisará de um investimento inicial de R$ 2.000.000,00 
o qual ela já possui, ou seja, não precisará de financiamentos. 
Os retornos previstos para sua fábrica pelos próximos 5 anos 
são de: 
TABELA 10- DISTRIBUIÇÃO DE VALORES DE 
FLUXO DE CAIXA PELO TEMPO.
Período Fluxo de caixa
n=1 FC1 = 800.000
n=2 FC2 = 500.000
n=3 FC3 = 600.000
n=4 FC4 = 800.000
n=5 FC5 = 1.000.000
 Fonte: elaborado pela autora.
Sabendo que o dinheiro que Marta dispõe para montar 
sua fábrica poderia ser investido em um título no banco que 
remunere uma taxa de 24% a.a. (TMA), verifique se Marta 
deveria ou não abrir a fábrica. 
FIGURA 16 – FLUXO DE CAIXA DO EXEMPLO 1 TIR.
Fonte: elaborado pela autora.
Tabela 11- Resolução do exemplo 1 através da HP12C.
Resolvendo através da HP12C:
2000000 → CHS → g → CF0
800000 → g → CFj
500000 → g → CFj
600000 → g → CFj
800000 → g → CFj
1000000 → CHS → g → CFj
f → IRR = 23,1821%
Fonte: elaborado pela autora.
Conforme apresentado TIR < TMA (23,1821 < 24), o 
que faz com que o projeto não seja viável de acordo com esse 
método, logo Marta não deveria realizar o investimento na 
fábrica, e sim, manter o seu capital aplicado a 24% a.a. 
b. Exemplo 2
Francisco possui hoje R$ 1.500.000,00 aplicado no banco 
em um investimento seguro a uma taxa de juros de 10% a.a. 
(TMA). Joaquim procura Francisco para abrirem juntos uma 
fábrica de ventiladores e apresenta o retorno esperado para 
Joaquim nos próximos 3 anos:
TABELA 12- DISTRIBUIÇÃO DE VALORES DE 
FLUXO DE CAIXA PELO TEMPO.
Período Fluxo de caixa
n=1 FC1	=	600.000
66Elaboração e Análise de Projetos
n=2 FC2	=	800.000
n=3 FC3	=	500.000
Fonte: elaborado pela autora.
FIGURA 17 – FLUXO DE CAIXA DO EXEMPLO 2 TIR.
Fonte: elaborado pela autora.
TABELA 13- RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 2 ATRAVÉS 
DA HP12C.
Resolvendo através da HP12C
1500000 → CHS → g → CF0
600000 → g → CFj
800000 → g → CFj
500000 → g → CFj
f → IRR = 13,1611%
Fonte: elaborado pela autora.
Conforme apresentado TIR > TMA (13,1611 > 10), o 
que faz com que o projeto seja viável de acordo com esse 
método, logo Francisco poderia aceitar a proposta de Joaquim 
em realizar o investimento na fábrica.
c. Exemplo 3
Daiane está em dúvida em qual investimento colocar seu 
dinheiro, ela possui duas opções e deve optar por apenas uma 
delas. Sabendo que os fluxos de caixa anual de cada um dos 
projetos estão expostos a seguir, calcule a TIR para as duas 
alternativas de investimento e diga a Daiane qual a melhor 
opção. 
TABELA 14- DISTRIBUIÇÃO DE VALORES DE 
FLUXO DE CAIXA PELO TEMPO.
PROJETO A PROJETO B
Período Fluxo de caixa Período Fluxo de caixa
n=0 FC0 = - 2.000.000 n=0 FC0 = - 4.000.000
n=1 FC1 = 750.000 n=1 FC1 = 1.500.000
n=2 FC2 = 1.200.000 n=2 FC2 = 2.800.000
n=3 FC3 = 1.300.000 n=3 FC3 = 2.600.000
Fonte: elaborado pela autora.
TABELA 15- RESOLUÇÃO DO EXEMPLO 3 ATRAVÉS 
DA HP12C.
Resolvendo através da HP12C
PROJETO A
2000000 → CHS → g → CF0
750000 → g → CFj
1200000 → g → CFj
1300000 → g → CFj
f → IRR = 26,03%
PROJETO B
4000000 → CHS → g → CF0
1500000 → g → CFj
2800000 → g → CFj
2600000 → g → CFj
f → IRR = 29,90%
Fonte: elaborado pela autora.
Através do método da TIR, o projeto B é mais viável que 
o projeto A, uma vez que o retorno de capital é maior. 
9 - Payback
O critério do payback é utilizado para medir o tempo 
de retorno de um investimento. O valor encontrado para o 
Payback deve ser comparado com a vida útil do projeto, de 
forma que, para que um investimento seja considerado viável, 
o payback deve ser menor que a vida útil do projeto, em outras 
palavras, o projeto é capaz de “se pagar” (ABREU, 2020).
Existem dois tipos de payback, o simples e o descontado, 
que serão vistos em detalhe nos tópicos a seguir.
9.1 – Payback simples
O payback simples considera apenas em quantos períodos 
a receita levará para igualar o investimento. O problema desse 
método é o fato de somar valores que não estão na mesma data 
que, como vimos, não é correto de acordo com a matemática 
financeira, por não considerar remuneração alguma de capital, 
tão pouco o conceito visto de valor do dinheiro no tempo. 
Por esse motivo, o payback simples não é utilizado no mercado 
(PAMPLONA & MONTEVECHI, 2011).
 Para cálculo do payback simples podemos usar uma 
tabela da seguinte forma:
TABELA 16- TABELA PARA CÁLCULO DO PAYBACK 
SIMPLES.
Período Fluxo de Caixa Fluxo de Caixa Acumulado
0 - FC0 - FC0
1 FC1 - FC0 + FC1
2 FC2 - FC0 + FC1 + FC2
3 FC3 - FC0 + FC1 + FC2 + FC3
...
n FCn - FC0 + FC1 + FC2 + FC3 + ... + FCn 
Fonte: elaborado pela autora.
 Queremos encontrar o período em que a soma do 
fluxo de caixa acumulado iguale a zero:
 
Onde:
 FC = fluxo de caixa
Dificilmente esse valor será exato, por exemplo, um 
projeto pode se pagar em 3 anos e 2 meses, 5 meses e 20 dias 
e assim sucessivamente. Por esse motivo, temos que aprender 
a fracionar o resultado encontrado quando não tivermos um 
valor exato. 
 A análise a ser feita com o resultado do payback é se 
o projeto se paga dentro de sua vida útil, ou dentro de certo 
prazo estipulado pelo investidor. É muito comum quando 
- FC0 + FC1 + FC2 + FC3 + ... + FCn = 0
67
alguém vai realizar um investimento, estipular em quanto 
tempo precisa recuperar seu capital, desta forma, usamos o 
cálculo do payback para verificar se é possível ter o retorno de 
acordo com o esperado. 
 Vejamos como funciona através de um exemplo. O 
projeto WWW apresenta um custo de R$ 3.500.000,00 em n 
= 0 e tem previsão de fornecer os seguintes fluxos de caixa: 
R$ 1.200.000,00 em n = 1 ano, R$ 1.600.000,00 em n = 2 anos, 
R$ 1.220.000,00 em n = 3 anos e, finalmente, R$ 1.240.000,00 
em n = 4 anos. Determine o período payback simples deste 
projeto.
TABELA 17- TABELA PARA RESOLUÇÃO DO 
EXEMPLO DE PAYBACK SIMPLES.
Período Fluxo de 
Caixa
Fluxo de Caixa Acumulado
0 - 3.500.000 = - 3.500.000
1 1.200.000 - 3.500.000 + 1.200.000 = - 2.300.000
2 1.600.000 - 3.500.000 + 1.200.000 + 
1.600.000 
= - 700.000
3 1.220.000 - 3.500.000 + 1.200.000 + 
1.600.000 + 1.220.000 
= 520.000
4 1.240.000
Fonte: elaborado pela autora.
 
Note que, do período 2 para o período 3 o projeto “se 
pagou” e deixou um “excedente” de 520.000, já que o payback 
simples é quando o acumulado do fluxo de caixa se iguala a 
zero. Logo, temos que calcular a fração correspondente. 
Fração Payback Simples = 700.000 / 1.220.000 = 0.5738
 
Observe que o projeto levou 2 anos completos e mais 
0,5727 do terceiro ano, ou seja, 2,5738 anos ou 2 anos e 7 
meses aproximadamente para se pagar, sendo esse o resultado 
do Payback Simples. Podemos perceber também que se trata 
de um projeto viável pois seu pagamento está dentro do prazo 
de vida útil do projeto. 
9.2 – Payback descontado 
O payback descontado também é uma ferramenta 
para medir quanto tempo um projeto demora para pagar o 
capital investido, mas, ao contrário do payback simples, inclui 
a remuneração do capital. Desta forma, para saber se um 
projeto é viável, primeiramente devemos descontar esses 
fluxos de caixa a valor presente, trazendo tudo para a data 
zero, para depois fazer a comparação com o investimento 
realizado também na data zero (ABREU, 2020). 
 Podemos calcular o payback descontado através de 
uma tabela para facilitar as contas, da seguinte forma:
Passo 1: determinar os fluxos de caixa ao longo do 
tempo;
Passo 2: trazer todos os valores do fluxo de caixa a valor 
presente, para ter o fluxo de caixa descontado na data 
zero; 
Passo 3: subtrair do investimento inicial (FC0) os fluxos 
de caixa seguintes já trazidos a valor presente (FC1, 
FC2, FC3 ... FCn) um a um em ordem, até que o valor 
acumulado encontre zero, ou saia do negativo. 
 A tabela abaixo ilustra o passo a passoapresentado. 
TABELA 18- TABELA PARA CÁLCULO DO PAYBACK DESCONTADO.
Período Fluxo de Caixa Valor Presente 
do Fluxo de Caixa
Fluxo de Caixa Acumulado
0 - FC0 - FC0 - FC0
1 FC1
+ 
2 FC2
+ + 
3 FC3
+ + + 
... ... ... ...
n FCn
+ + + +...+
Fonte: elaborado pela autora.
68Elaboração e Análise de Projetos
Da mesma forma que no Payback simples, queremos 
encontrar o período em que a soma do fluxo de caixa 
acumulado iguale a zero. 
 
Onde:
 FC = fluxo de caixa
 i = taxa de juros 
 n = número de períodos
Novamente, será difícil esse valor ser exato, então 
teremos que fracionar o resultado encontrado através da 
mesma fórmula para o Payback Fracionado. 
Se o capital investido, incluindo a remuneração de capital 
(taxa de retorno), for pago dentro da vida útil do projeto, 
podemos afirmar que ele viável, de forma que a análise do 
resultado do payback descontado é a mesma análise do payback 
simples. 
 Vejamos o exemplo anterior agora para payback 
descontado. O projeto WWW apresenta um custo de 
R$ 3.500.000,00 em n = 0 e tem previsão de fornecer os 
seguintes fluxos de caixa: R$ 1.200.000,00 em n = 1 ano, R$ 
1.600.000,00 em n = 2 anos, R$ 1.220.000,00 em n = 3 anos 
e, finalmente, R$ 1.240.000,00 em n = 4 anos. Determine o 
período payback simples deste projeto, sabendo que a taxa de 
desconto adequada para esse projeto é de 15,00%.
TABELA 19- TABELA PARA RESOLUÇÃO DO 
EXEMPLO DE PAYBACK DESCONTADO.
Período Fluxo de 
Caixa
Valor Presente 
do Fluxo de 
Caixa
Fluxo de Caixa 
Acumulado
0 - 3.500.000 - 3.500.000 - 3.500.000
1 1.200.000 1.200.000/1,15
=1.043.478,26
- 3.500.000 + 1.043.478,26
= - 2.456.521,74
2 1.600.000 1 . 6 0 0 . 0 0 0 /
(1,15)2
=1.209.829,87
- 3.500.000 + 1.043.478,26 
+ 1.209.829,87= - 
1.246.691,87
3 1.220.000 1 . 2 2 0 . 0 0 0 /
(1,15)3
=802.156,62
- 3.500.000 + 1.043.478,26 
+ 1.209.829,87 + 
802.156,62
= - 444.535.25
4 1.240.000 1 . 2 4 0 . 0 0 0 /
(1,15)4
=708.976,56
- 3.500.000 + 1.043.478,26 
+ 1.209.829,87
= 264.441,31
Fonte: elaborado pela autora.
Note que, do período 3 para o período 4 o projeto 
“se pagou” e deixou um “excedente” de 264.441,31, já 
que o payback descontado é quando o acumulado do fluxo 
de caixa se iguala a zero. Logo, temos que calcular a fração 
correspondente. 
Fração Payback Descontado = 444.535,25 / 708.976,56 
= 0,6270
O projeto levou 3 anos completos e mais 0,6270 
do quarto ano, ou seja, 3,6270 anos ou 3 anos e 8 meses 
aproximadamente para se pagar, sendo esse o resultado do 
Payback Descontado. Podemos perceber também que se trata 
de um projeto viável, pois seu pagamento está dentro do 
prazo de vida útil do projeto. 
9.3 Exemplos Payback 
a. Exemplo 1
O projeto SHOW apresenta um custo inicial de R$ 
1.900.000,00. A previsão dos fluxos de caixa futuro para os 
próximos 5 anos são: R$ 520.000,00 em n = 1, R$ 600.000,00 
em n = 2 anos, R$ 690.000,00 em n = 3 anos, R$ 750.000,00 
em n = 4 anos e R$ 790.000,00 em n=5. Determine o período 
payback simples do projeto SHOW e diga se ele é viável.
TABELA 20- TABELA PARA RESOLUÇÃO DO 
EXEMPLO 1 DE PAYBACK SIMPLES.
Período Fluxo de 
Caixa
Fluxo de Caixa Acumulado
0 - 
1.900.000
= - 1.900.000
1 520.000 - 1.900.000 + 520.000 = - 1.380.000
2 600.000 - 1.900.000 + 520.000 + 
600.000 
= - 780.000
3 690.000 - 1.900.000 + 520.000 + 
600.000 + 690.000
= - 90.000
4 750.000 - 1.900.000 + 520.000 + 
600.000 + 690.000 + 750.0000
= 660.000
5 790.000
Fonte: elaborado pela autora.
Note que, do período 3 para o período 4 o projeto “se 
pagou” e deixou um “excedente” de 660.000. Logo, temos 
que calcular a fração correspondente. 
Fração Payback Simples = 90.000 / 750.000 = 0,12
 
Observe que o projeto levou 3 anos completos e mais 
0,12 do quarto ano, ou seja, 3,12 anos ou 3 anos e 2 meses 
aproximadamente para se pagar, sendo esse o resultado do 
Payback Simples. Podemos perceber também que se trata de 
um projeto viável pois seu pagamento está dentro do prazo 
de vida útil do projeto. 
b. Exemplo 2
O projeto SENSAÇÃO apresenta um custo de R$ 
850.000,00 em n = 0 e tem previsão de fornecer os 
69
seguintes fluxos de caixa positivos anuais: R$ 200.000,00 em 
n = 1, R$ 360.000,00 em n = 2, R$ 440.000,00 em n = 3 e R$ 
480.000,00 em n = 4 anos. Considere que a taxa de desconto 
adequada para esse projeto é de 20,00% ao ano. Determine o 
período payback descontado do projeto SENSAÇÃO.
TABELA 21- TABELA PARA RESOLUÇÃO DO 
EXEMPLO 2 DE PAYBACK DESCONTADO.
Período Fluxo de 
Caixa
Valor Presente 
do Fluxo de 
Caixa
Fluxo de Caixa 
Acumulado
0 - 850.000 - 850.000 - 850.000
1 200.000 200.000/1,2
=166.666,67
- 850.000 + 166.666,67
= - 683.333,33
2 360.000 360.000/(1,2)2
= 250.000
- 850.000 +166.666,67 + 
250.000 = - 433.333,33
3 440.000 440.000/(1,2)3
254.629,93
- 850.000 +166.666,67 + 
250.000 + 254.629,93
= - 178.703,40
4 480.000 480.000/(1,2)4
= 231.481,48
- 850.000 +166.666,67 + 
250.000 + 254.629,93 + 
231.481,48 = 52.779,08
Fonte: elaborado pela autora.
Note que, do período 3 para o período 4 o projeto “se 
pagou” e deixou um “excedente” de 52.779,08. Logo, temos 
que calcular a fração correspondente. 
Fração Payback Descontado = 178.703,40 / 231.481,48 
= 0,7720
O projeto levou 3 anos completos e mais 0,7720 
do quarto ano, ou seja, 3,7720 anos ou 3 anos e 10 meses 
aproximadamente para se pagar, sendo esse o resultado do 
Payback Descontado. Podemos perceber também que se trata 
de um projeto viável pois seu pagamento está dentro do prazo 
de vida útil do projeto. 
c. Exemplo 3
Voltamos ao projeto SHOW, o qual apresenta um custo 
inicial de R$ 1.900.000,00. A previsão dos fluxos de caixa 
futuro para os próximos 5 anos são: R$ 520.000,00 em n = 
1, R$ 600.000,00 em n = 2 anos, R$ 690.000,00 em n = 3 
anos, R$ 750.000,00 em n = 4 anos e R$ 790.000,00 em n=5. 
Considere agora, que a taxa de desconto adequada para esse 
projeto é de 22,00% ao ano. Determine o período payback 
descontado do projeto SHOW e diga se ele é viável.
TABELA 22- TABELA PARA RESOLUÇÃO DO 
EXEMPLO 3 DE PAYBACK DESCONTADO.
Período Fluxo de 
Caixa
V a l o r 
P r e s e n t e 
do Fluxo de 
Caixa
Fluxo de Caixa 
Acumulado
0 - 1.900.000 - 1.900.000 - 1.900.000
1 520.000 520.000/1,22
= 426.229,51
- 1.900.000 + 426.229,51
= - 1.473.770,49
2 600.000 6 0 0 . 0 0 0 /
(1,22)2 = 
403.117,44
- 1.900.000 + 426.229,51 
+ 403.117,44 = - 
1.070.653,05
3 690.000 6 9 0 . 0 0 0 /
(1,22)3 =
371.367,06
- 1.900.000 + 426.229,51 
+ 403.117,44 + 371.367,06
= - 699.285,99
4 750.000 7 5 0 . 0 0 0 /
(1,22)4 = 
338.554,59
- 1.900.000 + 426.229,51 + 
403.117,44 + 371.367,06 + 
338.554,59 = - 360.731,40
5 790.000 7 9 0 . 0 0 0 / 
(1,22)5 =
292.300,2923
- 1.900.000 + 426.229,51 + 
403.117,44 + 338.554,59 + 
338.554,59 + 292.300,2923
= - 68.431,1047
Fonte: elaborado pela autora.
 O projeto não “se pagou” dentro da vida útil do 
projeto de 5 anos, logo, não pode ser considerado um projeto 
viável. Perceba que, diferente do exemplo 1, quando se tratava 
do payback simples, quando inserimos o custo do capital, o 
projeto precisa ser mais lucrativo para cobrir os custos e valer 
a pena. 
Chegamos, assim, ao final de nossa aula. Espera-se 
que agora tenha ficado mais claro o entendimento 
de vocês sobre Análises de viabilidade econômica. 
Vamos, então, recordar?
Retomando a aula
1 – Comunicado inicial
Se atentem aos recados dados no início desta aula. 
2 – Funções iniciais HP12C
Os cálculos referentes a juros compostos também 
podem ser realizados na calculadora financeira HP12C, o que 
facilita grandemente os estudos nas disciplinas de matemática 
financeira e também para a análise de viabilidade econômica 
de projetos. 
Na seção 2, são demonstradas algumas informações 
básicas para uso da calculadora financeira HP12C como, por 
exemplo: função liga e desliga; ativar a função composto; 
alteração do número de casas decimais que aparece no 
visor; fazer operações como soma, subtração, multiplicação 
e divisão; funções de limpeza; utilização das teclas brancas, 
azuis e laranjadas; principaisteclas financeiras e inversão de 
sinal.
3 – Cálculos de juros compostos HP12C
Vimos que os cálculos referentes a juros compostos 
também podem ser realizados na calculadora financeira 
HP12C, o que facilita grandemente os estudos nas disciplinas 
70Elaboração e Análise de Projetos
de matemática financeira e também de engenharia econômica.
4 – Cálculos investimento/financiamento HP12C
Quando se trata da HP12C em relação aos 
investimentos/financiamentos, podemos encontrar o que 
desejamos, como período de tempo (n), taxa de juros incidente 
(i), Valor Presente (PV), Valor Futuro (FV) ou Parcelamento 
(PMT).
5 – Análise de investimentos 
A análise de investimentos é uma operação que permite 
medir o valor de projetos com base na comparação de seus 
benefícios.
6 – Valor Presente Líquido (VPL)
O método do valor presente líquido (VPL) é a diferença 
entre o valor de um ativo e o custo desse ativo.
7 – Taxa Mínima de Atratividade (TMA)
A Taxa Mínima de Atratividade (TMA) é a taxa a partir 
da qual o investidor considera que está obtendo ganhos 
financeiros. 
8 – Taxa Interna de Retorno (TIR)
A taxa interna de retorno (TIR) também é um método 
utilizado para medir a taxa de retorno que um investimento 
proporcionará ao seu investidor. A TIR deve sempre ser 
comparada com a TMA.
9 – Payback
O critério do payback é utilizado para medir o tempo de 
retorno de um investimento. Existem dois tipos de payback: o 
simples e o descontado.
ABREU, JOSÉ CARLOS. Matemática Financeira. 
Apostila do curso de pós administração FGV. Rio de 
Janeiro, 2020.
ELIA, BRUNO DE SOUSA. Matemática Financeira. 
Apostila do curso de MBA em Gestão: Finanças, 
Controladoria E Auditoria FGV. Rio de Janeiro, 2018. 
Vale a pena ler
Vale a pena
Aula 1 Aprenda Utilizar a HP12C – Introdução. 
Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=vlPxFndgAHM. Acesso em: 15 maio 2022.
Aula 2 - Aprenda Utilizar a HP12C. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=5uTT6l4UBbU. 
Acesso em: 15 maio 2022.
Matemática Financeira - Juros Compostos 1 Calculando 
o Capital. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=stXl3KwqT8g. Acesso em: 15 maio 2022.
Viabilidade de Projetos. Disponível em: https://www.
youtube.com/watch?v=GBNZ88az0v8. Acesso em: 15 
maio 2022.
Vídeo COMO CALCULAR VPL E TIR NA 
HP 12C. Disponível em: https://www.youtube.com/
watch?v=IezD70JZPAg. Acesso em: 15 maio 2022.
Vale a pena assistir
LEÃO, ÁLVARO GEHLEN DE. Engenharia Econômica 
Avançada: Tópicos Avançados – Material De Apoio. 
Apostila PUC-RS. Rio Grande do Sul, 2012. Disponível 
em: http://www.politecnica.pucrs.br/professores/alvaro/ 
Engenharia_Economica_Avancada/Topicos_Avancados.
pdf. Acesso em: 15 maio 2022.
Vale a pena acessar
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