Profmat MA11 - Slide01 1 - Noção de Conjuntos e Inclusão de Conjuntos

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Aviso
Este material e´ apenas um resumo de parte do conteu´do da
disciplina.
O material completo a ser estudado encontra-se no Cap´ıtulo 1 -
Sec¸o˜es 1.1, 1.2 do livro texto da disciplina:
• Nu´meros e Func¸o˜es Reais, E. L. Lima, Colec¸a˜o PROFMAT.
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Nu´meros e Func¸o˜es Reais
Conjuntos: noc¸a˜o de conjunto e inclusa˜o de
conjuntos
Carlos Humberto Soares Ju´nior
PROFMAT - SBM
Conjunto
“Toda a matema´tica atual e´ formulada na linguagem de conjuntos.
Portanto, a noc¸a˜o de conjunto e´ a mais fundamental: a partir dela,
todos os conceitos matema´ticos podem se expressos. Ela e´
tambe´m a mais simples das ideias matema´ticas.”
(E. L. Lima. Nu´meros e func¸o˜es reais)
A noc¸a˜o de conjunto:
Um conjunto e´ completamente definido por seus elementos
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Pertineˆncia
Dado um conjunto X e um objeto a, cabe a pergunta seguinte:
a e´ ou na˜o e´ um elemento do conjunto X ?
Se sim, diremos que a pertence ao conjunto X e escrevemos
a ∈ X
Se na˜o, diremos que a na˜o pertence ao conjunto X e
escrevemos
a /∈ X
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Inclusa˜o
Definic¸a˜o
Sejam A e B conjuntos. Diremos que A e´ subconjunto de B (ou
que A esta´ contido em B) quando todo elemento de A for tambe´m
um elemento de B
Notac¸a˜o:
A ⊂ B.
Exemplo: Sejam P o conjunto dos nu´meros primos e Z o conjunto
dos nu´meros inteiros. Enta˜o P ⊂ Z.
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Inclusa˜o
Observac¸a˜o: Usaremos a notac¸a˜o
A 6⊂ B
para indicar que A na˜o e´ um subconjunto de B.
Exemplo: Sejam P o conjunto dos nu´meros primos e I o conjunto
dos nu´meros ı´mpares. Claramente P 6⊂ I pois 2 ∈ P mas 2 /∈ I .
Exerc´ıcio: Denotamos por ∅ o conjunto vazio (sem elementos).
Mostre que, dado qualquer conjunto A, tem-se que ∅ ⊂ A.
Soluc¸a˜o: se ∅ 6⊂ A, existiria x ∈ ∅ tal que x /∈ A o que e´ uma
contradic¸a˜o.
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propriedades × conjuntos
Os conjuntos substituem as “propriedades“.
Isto significa que em vez de dizermos que ”o elemento x goza da
propriedade P“ podemos escrever que x ∈ A em que A e´ o
conjunto dos elementos que gozam da propriedade P.
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propriedades × conjuntos
Exemplo: Seja P a propriedade de um nu´mero inteiro x ser
divis´ıvel por 3.
Por outro lado, seja A = {. . . ,−6,−3, 0, 3, 6, . . . }.
Enta˜o, tanto faz dizer que x tem a propriedade P ou escrever
x ∈ A.
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Propriedades da inclusa˜o
Reflexividade: A ⊂ A;
Antissimetria: Se A ⊂ B e B ⊂ A, enta˜o A = B;
Transitividade: Se A ⊂ B e B ⊂ C , enta˜o A ⊂ C .
A relac¸a˜o de inclusa˜o esta´ intimamente ligada a` implicac¸a˜o lo´gica.
Por exemplo: Sejam P e Q propriedades sobre os elementos de
um conjunto U e suponha que desejamos mostrar que P ⇒ Q.
Sejam A e B conjuntos formados pelos elementos de U que
gozam, respectivamente, das propriedades P e Q.
Observe que:
A ⊂ B e´ equivalente a P ⇒ Q.
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Propriedades da inclusa˜o
A propriedade antissime´trica e´ muito usada nos racioc´ınios
matema´ticos.
Por exemplo: Sejam P e Q propriedades sobre os elementos de
um conjunto U e suponha que desejamos mostrar que P ⇔ Q.
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Propriedades da inclusa˜o
Sejam A e B conjuntos formados pelos elementos de U que
gozam, respectivamente, das propriedades P e Q.
Observe que:
A ⊂ B e´ equivalente a P ⇒ Q e B ⊂ A e´ equivalente a Q ⇒ P.
Portanto
A ⊂ B e B ⊂ A e´ equivalente, por antissimetria, a A = B que e´
equivalente a P ⇔ Q.
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Complementar
Obrigado.
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