8 Lista Derivadas Direcioanis Plano e Espaço

Prévia do material em texto

8ª Lista – Derivadas Direcionais Plano e Espaço – Prof. William 
1. Nos itens abaixo encontre (i) o gradiente z de cada campo escalar; (ii) o valor de z no ponto (x0; 
y0) e (iii) a derivada direcional ⃗⃗ em (x0; y0) na direção do vetor unitário ⃗ . 
 ( ( ⃗ 
√ 
 
 
 
 
 
 ( ( ⃗ ( ( 
 
 
 
2. Nos itens abaixo encontre (i) o gradiente f(x0; y0 e z0) e (ii) a derivada direcional 
 ⃗⃗ ( para a função f dada para o ponto (x0; y0 e z0) e para o vetor ⃗ . 
 ( ( ( ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ 
 ( ( ( 
 
 
 ) ⃗ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⃗ 
3. Encontre (i) o valor máximo da derivada direcional e (ii) um valor unitário ⃗ . No sentido em que 
a a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no ponto indicado 
 ( ( ( 
 ( ( ( 
4. Determinar (i) o valor máximo direcional e (ii) um vetor unitário ⃗ na direção da derivada direcional 
máxima para cada função no ponto indicado. 
 ( ( ( 
 ( ( ( 
 
 
) 
5. A temperatura T no ponto (x;y) de uma placa de metal circular aquecida em centro na origem é 
dada por: 
 
 
 
 
 Onde T é medido em ° C e x e y são medidos em cm. 
a) Que direção se deve tomar a partir do ponto (1;1) a fim de que T aumenta mais 
rapidamente? 
b) Qual a velocidade de aumento de T quando passamos por (1;1) na direção escolhida no 
item a? 
 
6. Dada ( , encontre o valor máximo de ⃗⃗ ( no ponto (1;-2). 
 
Gabarito: 
1. ( ( ( 
 √ 
 
 ( ( ( 
2. a)( ⃗ (ii) 
 
 
 b) (i) ⃗ (ii) 
 
 
 
3. a)( 
√ 
 
 (ii) 
 √ 
 
 
√ 
 
 
 √ 
 
 ⃗ b) (i) e1 (ii) 
4. ( √ ( 
 √ 
 
 
 √ 
 
 ( √ ( 
 
√ 
 
 
√ 
 
5. 
√ 
 
 
√ 
 
 √ 6) √