Metodologia do ensino da matematica Unopar

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Metodologia do Ensino 
da Matemática
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Metodologia do Ensino da 
Matemática
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Renata Karoline Fernandes
© 2015 por Editora e Distribuidora Educacional S.A
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida 
ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, 
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Editoração e Diagramação: eGTB Editora
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) 
 Kirnev, Debora Cristiane Barbosa
K59m Metodologia do ensino da matemática / Debora 
Cristiane Barbosa Kirnev, Renata Karoline Fernandes. – 
Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S. A., 2015.
 192 p.
 ISBN 978-85-8482-103-7
1. Educação Básica. 2. Diretrizes. 3. Didática. I. Fernandes, 
Renata Karoline. II. Título.
 CDD 510
Sumário
Unidade 2 | Documentos norteadores do ensino da matemática
Seção 1 - Documentos norteadores nacionais
Seção 2 - Documentos norteadores regionais
Unidade 3 | Tendências em educação matemática e análise do livro 
didático de matemática
Seção 1 - Teorias de aprendizagem
1.1 | Behaviorismo e a teoria da aprendizagem de skinner
1.2 | A teoria de aprendizagem de Bruner 
1.3 | A teoria de aprendizagem de Piaget 
1.4 | Vygotsky: transformação do biológico no sócio-histórico 
1.5 | Outras teorias de aprendizagem 
Seção 2 - A relação entre o livro didático e as aulas de 
matemática
2.1 | A utilização de livros didáticos e as aulas de matemática
Seção 3 - Apresentação de conceitos em livros didáticos
3.1 | Os conteúdos matemáticos e os livros didáticos
Unidade 4 | Elaboração de propostas didáticas
Seção 1 - Propostas didáticas para a aula de matemática
1.1 | A chamada “aula tradicional”
1.2 | Metodologia de resolução de problemas 
1.3 | Investigação matemática 
1.4 | Metodologia de projetos 
1.5 | Modelagem matemática
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51
93
97
97
104
114
120
122
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125
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147
149
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157
162
55
77
Unidade 1 | O planejamento para o ensino de matemática na 
educação básica 
Seção 1 - O ensino da matemática na educação básica 
Seção 2 - Sobre a avaliação no ensino da matemática na educação 
básica
Seção 2 - A educação matemática realística
2.1 | A educação matemática realística
Seção 3 - A trajetória hipotética de aprendizagem
3.1 | A teoria da trajetória hipotética de aprendizagem 
3.2 um exemplo de trajetória hipotética de aprendizagem a tha: noções de 
equação do 1º grau
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173
173
175
165
Apresentação
Este material impresso apresenta informações de grande importância para 
profissionais da educação em formação, para o(a) futuro(a) professor(a) de 
Matemática, pois abordaremos assuntos e conceitos de grande relevância para o 
processo de ensino e de aprendizagem.
No decorrer deste aprenderemos a respeito da organização do ensino 
da Matemática em sala de aula, a importância de planejar aula por aula, tendo 
em mente que cada turma tem suas especificidades e por isso, uma aula que 
funciona muito bem em uma turma pode não funcionar tão bem assim em outras. 
Aprenderemos também a respeito de documentos de grande importância para 
a educação como um todo e a respeito das teorias de aprendizagem, além da 
relação existente entre os livros didáticos e a condução de aulas de Matemática.
Este material impresso está dividido em quatro unidades que contemplam 
os conceitos da Ementa da disciplina, ou seja, o planejamento para o Ensino 
de Matemática na Educação Básica; Documentos Norteadores do Ensino da 
Matemática; Tendências em Educação Matemática; Análise do livro didático de 
Matemática e Elaboração de Propostas Didáticas.
Na Unidade 1 abordaremos o planejamento para o Ensino de Matemática na 
Educação Básica, como organizar o ensino nessa etapa, a elaboração do plano 
de aula, os tipos de avaliações, a avaliação do PISA e também a reflexão que 
devemos realizar para elaborar ou escolher questões para uma avaliação, visto que 
as questões de uma avaliação devem ser coerentes com o objetivo que temos 
com ela.
A Unidade 2 é destinada para que você aprenda a respeito dos Documentos 
Norteadores do Ensino da Matemática, entre eles, os Parâmetros Curriculares 
Nacionais (PCN) do Ensino Fundamental e também do Ensino Médio (PCN+); 
Documentos nacionais e regionais norteadores do Ensino da Matemática e suas 
relações.
A unidade 3 é voltada para o estudo de tendências em Educação. Aprenderemos 
a respeito de Teorias de Aprendizagem e os pesquisadores que as desenvolveram. 
Refletiremos também a respeito dos livros didáticos e sua importância nas aulas 
de Matemática.
Na última unidade desse livro, na Unidade 4, aprenderemos a respeito de 
propostas didáticas de grande importância, como a investigação matemática, 
a metodologia de resolução de problemas, a educação Matemática Realística, 
metodologia de projetos e também teremos contato com a teoria da Trajetória 
Hipotética de Aprendizagem.
A disciplina de Metodologia não tem por intenção oferecer receitas prontas de 
como devem acontecer as aulas de Matemática, principalmente porque não existe 
uma receita infalível para uma boa aula, mas tem como intenção proporcionar 
momentos de reflexão a respeito da prática, oferecer ideias e também teorias, 
teorias essas que servem como base para o desenvolvimento de um trabalho 
satisfatório. 
O material impresso utiliza-se de uma linguagem dialógica para auxiliar na 
construção do conhecimento. Para melhor aproveitar este material, faça as 
atividades e leituras sugeridas, organize seu tempo. Além dessa organização, é 
necessário que nos momentos de estudo, sua atenção esteja voltada apenas para 
eles.
Bons estudos!
Profª Renata Karoline Fernandes
O PLANEJAMENTO PARA O 
ENSINO DE MATEMÁTICA NA 
EDUCAÇÃO BÁSICA
Na primeira seção abordamos sobre o ensino da matemática. Vamos 
primeiramente tecer considerações que contribuem para a prática do 
professor em sala de aula. Posteriormente apresentaremos orientações 
sobre planejamentos, planos de ensino e estratégias metodológicas para 
aplicações em planos de aula.
Seção 1 | O Ensino da Matemática na Educação Básica
Objetivos de aprendizagem: Há um estigma de que aprender matemática 
não é uma tarefa fácil, mas precisamos mudar isso e inovar o ensino. 
Um modo é demonstrar a importância dessa área do conhecimento em 
aplicações cotidianas. Outra forma é a mediação do professor promovendo 
reflexões e atribuições de significados para que não haja apenas uma 
aprendizagem mecânica e sim uma reflexão sobre o que se está aprendendo. 
O desenvolvimento do raciocínio matemático deve ocorrer de modo seguro 
e dinâmico estimulando o aluno a aprender e construir evolutivamente 
o seu aprendizado, superando assim as dificuldades ocorridas durante a 
aprendizagem. Temos como objetivo nesta unidade compreender algumas 
práticas que favorecem a aprendizagem matemática e que estratégias adotar 
nos planos e planejamento de ensino para beneficiar a aprendizagem dos 
alunos, além de abordar sobre o processo avaliativo no processo de ensino 
e aprendizagem.
Debora Cristiane Barbosa Kirnev
Unidade 1
O planejamento para o ensino de matemática na educação básica
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Na segunda seção abordaremos sobre avaliação inserida no processo 
de ensino e aprendizagem diferenciando as avaliações diagnósticas, 
formativas e as avaliações somativas. Também abordaremos os tipos de 
avaliações e o que considerar na escolha de questões para avaliações 
somativas.
Seção 2 | Sobre a Avaliação no Ensinoda Matemática na 
Educação Básica
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Introdução à unidade
No processo de ensino da Matemática nos deparamos com dificuldades 
relacionadas aos alunos e professores no desenvolvimento de atividades 
matemáticas. Em muitos casos, o aluno não compreende o que lhe é ensinado 
na matemática. Há casos em que isso implica reprovação na disciplina, ou ainda, 
mesmo que seja aprovado, acumula defasagens de conteúdos que prejudicarão 
a etapa seguinte. Nessas circunstâncias cabe ao professor esgotar todas as 
possibilidades de intervenção para favorecer a aprendizagem dos alunos e para 
isso precisa de estratégias e procedimentos para a sua prática de sala de aula.
Para mediar a aprendizagem se faz necessário planejar e traçar estratégias 
metodológicas e utilizar-se de planejamentos e avaliações continuadas é uma 
forma de buscar os melhores resultados no desenvolvimento de atividades 
matemáticas.
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O planejamento para o ensino de matemática na educação básica
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Seção 1
O Ensino da Matemática na Educação Básica
A Educação Básica, a partir da Lei de Diretrizes e Bases da Educação (BRASIL, 
1996) foi estruturada em partes, a saber: a Educação Infantil, o Ensino Fundamental 
obrigatório de nove anos e o Ensino Médio.
A Educação Infantil é fornecida por creches e pré-escolas, ou ainda, por 
instituições. Essas entidades são responsáveis pelo cuidado de crianças de 0 a 5 anos 
em período integral ou parcial. O Ensino fundamental atualmente é subdividido em 
Fundamental I do 1º ao 5º ano, com crianças de 6 a 10 anos, e o Fundamental II do 
6º ao 9º ano com pré-adolescentes de 11 a 14 anos. O Ensino Médio contempla da 
1ª a 3ª série, com jovens de faixa etária de 15 a 17 anos. Existem casos específicos 
de crianças que ingressam antecipadamente à idade escolar recomendada desde 
que se integrem à turma e acompanhem o desenvolvimento do conteúdo, ou 
ainda, em casos de alunos com altas habilidades pode ser ofertada a aceleração 
para o ano escolar seguinte. Existem mudanças a serem adequadas a partir de 
metas estabelecidas pelo Plano Nacional de Educação que prevê mudanças na 
educação para essa década.
Considerações sobre o ensino da matemática
Nas muitas escolas brasileiras é aplicado o ensino tradicional para o ensino 
da matemática. Neste modelo há prioritariamente a exposição do conhecimento 
pelo professor que geralmente escreve no quadro negro aquilo que acredita ser 
importante em sua área de conhecimento. Cabe ao aluno copiar o que está no 
quadro em seu caderno e realizar os exercícios aplicando um modelo de solução 
que foi apresentado pelo professor. Mesmo com a utilização de outros recursos, 
neste modelo de ensino há a transferência de informação, considerando que o 
papel fundamental da educação escolar é garantir a propagação do saber. 
Neste sentido, no ensino tradicional, se o professor possuir domínio dos 
conteúdos é suficiente para ensinar bem, e ainda, as falhas do processo de ensino 
e aprendizagem, em muitos casos, são justificadas pela pouca atenção, capacidade 
ou interesse do aluno.
Segundo D’Ambrósio (1989), pesquisas em educação matemática discutiram 
essas práticas e apontaram alguns aspectos:
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I) Nota-se que os alunos passam a acreditar que 
a aprendizagem da matemática se dá por meio 
de um acúmulo de fórmulas e algoritmos.
II) Considerar a matemática algo que não se pode 
duvidar ou questionar, assim, os alunos passam a 
supervalorizar o potencial da matemática formal, 
desvinculando o conhecimento matemático de 
situações reais. 
Geralmente há uma grande preocupação em relação à quantidade de 
conteúdos a serem trabalhados. Nesta concepção, o aluno só aprende se resolver 
uma grande quantidade de exercícios. Neste sentido, a quantidade de conteúdo 
trabalhado é a prioridade de sua ação pedagógica, ao invés da aprendizagem dos 
alunos.
Em busca de outras concepções para o ensino da matemática, autores como 
Ubiratan D’Ambrósio (1986), J. M. Matos (1989), M. O. de Moura (1992) e Dário 
Fiorentini (1994) em discussões sobre concepções da educação matemática 
apontam que o ensino de matemática necessita de contribuições de outras 
áreas do conhecimento, como a psicologia e a antropologia, para promover 
uma discussão sobre o processo educativo e refletir sobre novas propostas de 
ensino que consideremos inúmeros elementos presentes na ação pedagógica do 
professor.
No ensino de matemática já existem muitas possibilidades de trabalhar os 
conceitos desta disciplina, não utilizando o ensino tradicional, mas levando em 
consideração outras propostas metodológicas. Nesta seção destacaremos 
elementos que favorecem o ensino da matemática.
Estratégias para o ensino da matemática
Popularmente, muitos consideram que aprender matemática é um 
conhecimento possível somente pelas mentes privilegiadas. Frequentemente 
estudantes influenciados por essa ideia chegam aos bancos escolares com 
aversão à matemática que mal conhecem. Cabe aos professores modificarem 
esta ideia.
Temos que trabalhar com objetivo de proporcionar ao aluno um interesse maior 
pelo que ele está aprendendo, promovendo a construção de um aluno reflexivo 
em tudo que ele aprender no seu período escolar, e motivá-lo de modo que 
as dificuldades que encontrar se tornem desafiadoras.
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As situações de conflito podem encorajar 
a criança a colocar as coisas em relação ao 
conteúdo aplicado sendo ele de forma lúdica. O 
que proporcionara ao aluno uma facilidade de 
aprendizagem na qual não irá mais se esquecer 
do que foi aplicado, assimilando o que será usado 
na vida cotidiana. As crianças que são encorajadas 
a tomar decisões, são encorajadas a pensar, 
contudo do ponto de vista do desenvolvimento à 
autonomia da criança faz uma enorme diferença 
se ela for encorajada a decisões por si mesma. Essa 
autonomia tem que ser indissociavelmente social, 
moral e intelectual, os conceitos de matemáticos 
tradicionais como primeiro, segundo, antes e 
depois e a correspondência um a um são partes 
das relações que a crianças criam na vida cotidiana 
quando são encorajadas. (KAMII, 2007, p.46).
O ensino da matemática pode ocorrer de forma clara, lúdica e adaptada aos 
contextos escolares, proporcionando às crianças e jovens, compreensão sobre o 
conteúdo a ser ensinado.
Segundo Kamii (2007), utilizar-se de investigações matemáticas a serem 
observadas a todo o momento e na vida cotidiana, proporciona o desenvolvimento 
do julgamento moral e o pensamento lógico quando as crianças são encorajadas 
a discutir. O ensino da matemática deve ser fundamentado em uma teoria lógica 
e construtivista, para que o aluno adquira uma aprendizagem ao longo de um 
processo e ensino e se aprimore no decorrer da vida escolar.
No ensino direcionado a crianças e pré-adolescentes utilizar-se de recursos 
lúdicos para estimular a aprendizagem do aluno torna-se relevante uma vez que, 
segundo a teoria piagetiana, temos o:
Estágio das operações concretas, 
aproximadamente dos 7 aos 11 anos: a 
criança já possui uma organização mental 
integrada, os sistemas de ação reúnem-se em 
todos integrados. Piaget fala em operações 
de pensamento ao invés de ações. É capaz de 
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Utilizar o lúdico como ferramenta de ensino pode favorecer a aprendizagem e 
assimilação de conteúdos por parte dos alunos. Um exemplo de atividade prática 
é utilizar pizzas ou bolos para representar frações na introdução deste conteúdo 
ao 6º ano. A aula se tornará mais interessantes para que os alunos se envolvam 
no processo de ensino e aprendizagem. Para tanto se faz necessário um plano de 
aula adequado para inserção desta atividade e do professor estabelecer regras de 
condutaspara a viabilidade da atividade.
Atividades dessa natureza permitem que os alunos aprendam de forma natural, 
desenvolvendo o cognitivo e o afetivo, contribuindo para formação do sujeito. 
Torna-se uma prática prazerosa para ambas as partes, professores e alunos. 
Cabe ao professor propor atividades desafiadoras que provoquem a reflexão, a 
descoberta, a criatividade, o desenvolvimento do raciocínio, de modo que os 
alunos construam ou reformulem esquemas da mente, a fim de desenvolver 
estratégias que aprimorem conhecimentos.
No desenvolvimento de atividades matemáticas o que seria 
um problema a se resolver?
Espera-se que o estudante ao se familiarizar com as relações matemáticas 
diante de um problema a resolver, realize as seguintes etapas: a primeira, 
ver a totalidade de diferentes ângulos. Conclui 
e consolida as conservações do número, 
da substância e do peso. Apesar de ainda 
trabalhar com objetos, agora representados, sua 
flexibilidade de pensamento permite um sem 
número de aprendizagens. (BIAGGIO, 1976 apud 
PRÄSS, 2012, p. 17).
[...] é uma fase de análise consciente e deliberada 
do problema. A segunda é uma fase de 
trabalho inconsciente. Parece um abandono 
provisório da tarefa. No entanto, o que se passa 
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Estes autores explicitam como se desenvolve o raciocínio matemático diante 
de um problema a resolver. Esse tipo de raciocínio requer que o aluno confronte 
inúmeras situações de aprendizagem a fim de estabelecer relações entre as 
elas, ainda exige que o aluno desenvolva competências e habilidades acerca de 
conteúdos a serem trabalhados.
No processo de ensino da matemática, precisamos proporcionar aos estudantes 
reflexões para que tirem suas próprias conclusões sobre os resultados de atividades 
propostas, promover estímulos para que autoavaliem sua aprendizagem, e deste 
modo, sejam inseridos no processo avaliativo. Devemos mostrar que o erro faz 
parte desse processo de aprendizagem, e que devem aprender a julgar por si só 
promovendo a autocorreção, formando, deste modo, mentes criativas e críticas.
é que o eu inconsciente ou subliminar, explora, 
sistematicamente, todos os elementos que lhe 
foram fornecidos pela primeira etapa do trabalho. 
Após certo tempo, num momento qualquer em 
que o espírito se afasta do problema a resolver, 
algumas combinações desses elementos, 
provenientes do trabalho do inconsciente, 
aparecem na mente na forma de uma inspiração 
súbita. Numa terceira etapa, há uma análise 
consciente e rigorosa dessas ideias que poderão 
ser aceitas, modificadas ou rejeitadas. Neste 
último caso, o inconsciente recomeçará de novo 
o seu trabalho na procura de uma nova solução. 
(PONTE et al., 1997, p. 20).
O homem, desde os primórdios, encontrou-
se envolvido com Matemática procurando 
atender às necessidades das suas condições 
de vida iniciais, ele contava, media e calculava 
mesmo sem possuir ainda uma formalização 
de conceitos matemáticos. Tais atividades 
longe ainda estavam de reflexões científicas 
ou operações abstratas, em sua origem a 
matemática constitui-se a partir de uma coleção 
de regras isoladas, decorrentes da experiência e 
diretamente conectadas coma a vida diária, não 
se tratava, portanto de um sistema logicamente 
unificado, no entanto, agindo e operando sobre 
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No ensino da matemática compreender estabelecendo relações 
entre alunos, professores e saberes, por meio de situações a serem 
experimentadas e analisadas cientificamente promove a racionalidade 
do indivíduo. Por racionalidade entendemos que: “[...] densa em toda 
a vida do ser humano, seja em um indivíduo ou em um nível coletivo. 
Por ‘racionalidade’ entendemos o sistema dos critérios ou regras 
mobilizados quando se tem que fazer escolhas, tomar decisões, ou para 
realizar julgamentos. [...] Essas regras e critérios poderiam originar-se de 
opinião, crença ou saber, mas em todos os casos, eles são organizados 
em uma estrutura, que permite a tomada de decisão.” (BALACHEFF, 
2004, p. 1).
Quanto aos conteúdos que compõem o currículo de matemática no Ensino 
Básico, devemos promover um processo de ensino e aprendizagem pela 
descoberta para matemática e para aplicação na vida em sociedade, mostrando a 
necessidade de acrescentar a esses conteúdos a sua vivência. Desde a antiguidade 
os pensadores gregos contribuíram para o avanço nas descobertas matemáticas e 
buscaram uma maneira para ter certeza da validade das leis elaboradas:
o meio em que vivia, o homem obteve seus 
primeiros conhecimentos a respeito de formas 
e grandezas e a partir deles passou a estabelecer 
diversas relações dentro da realidade que o 
cercava, à medida que isso acontecia se fazia 
sua própria matemática. (MENDES, 2002, p. 68).
Um dos passos dados pelos gregos, para 
poder raciocinar sobre conceitos matemáticos 
abstratos, foi estabelecer axiomas, verdades de 
uma tal autoevidência que ninguém poderia 
negar. Esses axiomas diziam respeito ao espaço 
e aos números inteiros. O segundo passo foi 
garantir a correção das conclusões obtidas a 
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A aprendizagem pela descoberta promove a compreensão dos conteúdos 
tratados e permite que o aluno compreenda o processo matemático. 
Consequentemente esses alunos devem ter bons resultados nas provas e na 
realização de exercícios propostos pelos professores em sala de aula.
“Além de ser um objeto sociocultural em que a matemática se encontra 
presente, o jogo é uma atividade natural no desenvolvimento dos 
processos psicológicos básicos, supõe um fazer sem obrigação externa 
e imposta, embora demande exigências, normas e controles. No jogo 
mediante a articulação entre o conhecido e o imaginado, desenvolve-
se o autoconhecimento até onde se pode chegar e o conhecimento dos 
outros os que se podem esperar e em circunstâncias, para as crianças 
pequenas os jogos são as ações que eles repetem sistematicamente, 
mas que possuem um sentido funcional isto são fontes de significados e, 
portanto possibilitam compreensão geram satisfação, formam hábitos 
que se estruturam num sistema, essa repetição funcional também deve 
estar presente na atividade escolar, pois é importante no sentindo de 
ajudar a criança a perceber regularidades.” (MENDES, 2002, p.95).
partir dos axiomas. Para tal, usaram raciocínio 
dedutivo, que consideravam como o único que 
garantia a correlação das conclusões. Assim, uma 
vez que se partia de axiomas, verdades sobre 
o espaço e os números inteiros considerados 
autoevidentes, este raciocínio poderia ser um 
veículo para encontrar as verdades eternas sobre 
a Natureza que eles ansiavam descobrir. (PONTE 
et al., 1997, p. 9).
Neste sentido, Sadovsky (apud BENCINI, 2014) defende o ensino com 
participação ativa direta e objetiva do aluno na produção de conhecimento, 
julga que é preciso aumentar a participação dos alunos no processo de ensino 
e aprendizagem, pois já não suportam mais regras e técnicas que não fazem 
sentido. A autora defende que estudar só faz sentido se o estudo promover uma 
profunda compreensão das relações matemáticas, para que o aluno seja capaz de 
entender uma situação problema e utilizar as ferramentas adquiridas para resolver 
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[...] de linguagens criadoras de convenções 
capacitando-se para se submeterem às 
regras e a dar explicações, além disso, passam 
a compreender e a utilizar convenções e 
regras que serão empregadas no processo de 
ensino e aprendizagem. Essa compreensão 
favorece um mundo social bastante complexo 
e proporciona as primeiras aproximações com 
futuras teorizações. No estágio mais avançado 
as crianças aprendem a lidar com situações 
mais complexas e passam a compreender 
que regras podem ser combinações que os 
jogos definem, percebem também que só 
podem jogar dependendo da jogada do outro.A participação em jogos de grupo também 
representa uma conquista cognitiva, emocional, 
moral e social para a criança e um estímulo para 
o desenvolvimento do seu raciocínio lógico. 
(MENDES, 2002, p.95).
Apresentaremos um exemplo de jogo que pode ser aplicado em práticas de 
sala de aula, trata-se do jogo torre de Hanói:
uma questão. Aqueles alunos que não dominam um conhecimento acabam 
dependentes do que o professor espera que eles respondam. 
O processo de aprendizagem deve ocorrer articulado dentro e fora de sala 
de aula. Devemos promover, enquanto professores, propostas de atividades 
relacionadas com a realidade vivida e experimentada. Neste sentido, jogos, por 
sua vez, possuem um valor fundamental, devendo ser explorados em sala de aula 
como um ponto de partida para estabelecer relações entre o mundo real e o 
conhecimento que podem adquirir com o aprendizado. Quando utilizamos jogos 
em conteúdos trabalhados, promovendo uma ação significativa para o aluno, estes 
auxiliam efetivamente na aprendizagem. 
A utilização de jogos favorece a resolução de situações problemas, como 
realizar comparações e analogias, atribuir significados, estimular a criatividade e a 
imaginação, lidar com diferentes situações. O ensino por meio de jogos contribui 
ainda para a produção:
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Figura 1.1 | Torre de Hanói
O material é composto por uma base, onde estão afixados três pequenos 
bastões em posição vertical, e cinco ou mais discos de diâmetros decrescentes, 
perfurados ao centro, que se encaixam nos bastões. Ao invés de discos, 
também se podem também utilizar argolas ou outros materiais. A torre é 
formada, então, pelos discos empilhados no bastão de uma das extremidades, 
que será chamada de casa A. O objetivo do jogo é transportar a torre para a 
casa C, usando a intermediária B.
As regras são:
• Movimentar uma só peça (disco) de cada vez.
• Uma peça maior não pode ficar acima de uma menor.
• Não é permitido movimentar uma peça que esteja abaixo de outra.
Inicialmente utilize apenas quatro peças.
• Questão 1 – Qual é o número mínimo de movimentos? (Não desperdiçar 
movimentos).
• Questão 2 – Quais são as peças que mais se movimentam? E as que menos 
se movimentam?
Fonte: Piaget (1997).
Segundo Cabral (2006), no nono ano do Ensino Fundamental, em que é 
estudado o conceito de função, este jogo pode ser utilizado como uma ferramenta 
motivadora para o ensino deste conceito matemático. O autor elaborou uma 
tabela para descrever a lei da função:
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Tabela 1.1 | Exemplo de função com a torre de Hanói
Número de peças
Número mínimo 
de movimentos
Número mínimo de movimentos 
+1
1 1 2
2 3 4
3 7 8
4 15 16
5 31 32
6 63 64
7 127 128
8 255 256
9 511 512
10 1023 1024
N 2 n – 1 2 n
Fonte: Cabral (2006, p. 35)
O autor afirma que, se imediatamente depois de apresentar a torre, o professor 
se apressar em apresentar as regras que garantem o pleno êxito, sem se preocupar 
em fazê-las resultar de um processo de construção, o jogo se torna trivial, e 
com isto não despertará maior interesse nos alunos. O ideal é que depois de 
“brincar” com a torre e descobrir a técnica de transferência que resulta de uma 
boa movimentação, podemos organizar e analisar os dados da tabela anterior. 
Observemos que: (o número de jogadas +1) é um número do tipo 2 x , podemos 
então concluir que o número de jogadas é igual a: 2 n -1.
Carreta (2014) utiliza como estratégia metodológica a inserção de jogos e mídias, 
uma tendência no ensino atualmente. No desenvolvimento do trabalho buscou 
minimizar dificuldades dos alunos em lidarem com a linguagem matemática, a 
autora defende que:
[...] a ideia de que jogos são estratégias 
imprescindíveis para a construção de conceitos 
matemáticos, pois trazem impregnados a alegria, 
a interatividade e, se bem orientados durante as 
jogadas e os registros, proporcionam a aquisição 
de habilidades de cálculo mental, de raciocínio, 
de interpretação, dentre outras. (CARRETA, 2014, 
p. 418).
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Acesse o link a seguir e estude o plano de ensino, aplicando jogos 
matemáticos:
<http://www.pucrs .br/edipucrs/erematsul/comunicacoes/ 
5angelasusana.pdf>.
Para saber mais: na página a seguir há links para diversos artigos 
sobre o ensino da matemática, acesse: Disponível em: <http://www.
somatematica.com.br/artigos.php>.
Após abordarmos sobre o uso de jogos como estratégias de ensino, outro 
ponto relevante é a participação da família na vida escolar do aluno. Segundo Fraga 
(1988 p. 103) a “apologia à articulação do trivial e familiar, para o aluno, ao modelo 
formal matemático, não descarta, nem pretende substituir a necessidade que 
se impõe do oferecimento de problemas”. A participação da família é fundamental 
para que o aluno seja dedicado a aprender e a resolver problemas. Em casa, o 
aluno pode auxiliar e posteriormente realizar as compras de supermercado, dividir 
e organizar as despesas do orçamento doméstico e realizar as demais práticas que 
favoreçam o desenvolvimento do raciocínio matemático. Construa conhecimentos 
matemáticos práticos e reelabore suas experiências adquiridas na vivência escolar. 
Cabe ao professor valorizar tudo aquilo que o aluno traz de bagagem, acerca dos 
conhecimentos prévios. Segundo Dante (2000, p. 13) a “oportunidade de usar 
os conceitos matemáticos no seu dia a dia favorece o desenvolvimento de uma 
atitude positiva do aluno em relação à matemática”.
Outra estratégia que favorece a aprendizagem dos alunos são projetos 
interdisciplinares. Sadovsky (apud BENCINI, 2014) aborda que na maioria das vezes 
os conhecimentos matemáticos abordados em uma tarefa interdisciplinar, já são 
dominados pelos alunos. Ao planejar um projeto, este deve visar à aprendizagem 
de um novo saber ou conteúdos matemáticos. Não basta ser interdisciplinar para 
ser interessante, nem fazer parte do cotidiano para ser pertinente. Fundamental 
é ter um compromisso com a matemática neste momento, verificar os prós e 
contras, em se tratando de ensinar é fundamental.
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Outros aspectos a serem tratados, nesta seção, são os fatores que favorecem o 
ensino da matemática. A seguir elencamos elementos relacionados à elaboração 
de planos de aulas.
Algumas considerações sobre planejamentos
Cabe aos professores o preparo de planos gerais das disciplinas, planos de 
ensino e o preparo das aulas, o que é o mais fundamental. Planejar é mais do que 
preencher formulários para a secretaria escolar. Planejar é definir os objetivos gerais 
e específicos, sejam anuais, trimestrais, bimestrais ou mensais, e ainda realizar o 
planejamento pontual de cada aula que denominamos de plano de aula. Este 
processo de reflexão precisa permear a prática docente devendo ser vivenciado 
de modo articulado, crítico e rigoroso. 
Qual é a diferença entre planejamento de ensino e plano de 
ensino?
Neste sentido, temos dois aspectos a serem tratados: o “planejamento de ensino” 
e “plano de ensino”, também denominado de “plano de aula”. O planejamento do 
ensino é o “processo que envolve "a atuação concreta dos educadores no cotidiano 
do seu trabalho pedagógico, envolvendo todas as suas ações e situações, o tempo 
todo, envolvendo a permanente interação entre os educadores e entre os próprios 
educandos". (VACCAS, 2012, p. 23). 
Enquanto o plano de ensino é um momento de documentação do processo 
educacional escolar como um todo, elaborado pelos docentes para explicitar 
as etapas a serem trabalhadas na prática pedagógica, ou seja, um documento 
Segundo Saviani (1987, p. 23), "a palavra reflexão vem do verbo latino 'reflectire' 
que significa 'voltar atrás'. É, pois um (re)pensar, ou seja, um pensamento em 
segundo grau. [...] Refletir é o ato de retomar, reconsiderar os dados disponíveis, 
revisar, vasculharnuma busca constante de significado. É examinar detidamente, 
prestar atenção, analisar com cuidado. E é isto o filosofar”. Deste modo, o 
planejamento do ensino abrange a elaboração, execução e avaliação de planos de 
ensino, a partir de uma atitude crítica do educador diante de seu trabalho docente.
O planejamento para o ensino de matemática na educação básica
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orientador da prática em sala de aula, o plano de ensino é direcionado a uma 
prática mais pontual. Adotamos a definição: procedimentos e tomadas de decisões 
que estimulam o processo da aprendizagem; a fim de controlar a ordem na qual a 
sequência de operações deve ser realizada.
A ação docente deve levar em conta o processo de reflexão realizado 
no planejamento, transformar em realidade a proposta do plano de ensino 
considerando as necessidades específicas da prática de sala de aula. Vimos que 
planejamento e plano de ensino se complementam na prática docente, porém há 
necessidade da ação docente para viabilizar a aplicação de ambos. Um plano de 
ensino pode ter eventuais limites, deste modo, cabe ao profissional preparar-se para 
eventualidades. Por outro lado, sem planejar o ensino, associado às dificuldades 
enfrentadas pelos docentes no exercício do seu trabalho, leva a uma contínua 
improvisação pedagógica nas aulas. Ou seja, o que deveria ser eventualidade 
torna-se uma "regra", prejudicando a aprendizagem dos alunos e o próprio trabalho 
escolar como um todo.
Torna-se evidente a discussão da questão da "forma" e do "conteúdo" no 
processo de planejamento e elaboração de planos de ensino, precisamos de 
alternativas para superar dicotomias entre “fazer e pensar”, “teoria e prática”, 
presentes no cotidiano do trabalho dos nossos professores. Preparar as aulas 
consiste em uma importante atividade no exercício do trabalho profissional. Cada 
encontro com os alunos deve ser realizado de modo articulado a fim de fazer 
sentido, precisa de conexões para que a aprendizagem acorra. 
Ao preparar aulas deve-se considerar: quem é seu aluno, quais são os objetivos 
com o conteúdo, qual será a rotina das aulas, como será a sistematização do 
conteúdo, quais atividades são propostas, que tarefas serão indicadas.
O aluno precisa construir sua aprendizagem no decorrer das aulas, 
compreendendo o processo de ensino e aprendizagem em que está inserido, para 
que avance, como diz Saviani (1987), do "senso comum" à "consciência filosófica".
Cabe ao professor mediar a aprendizagem, de modo que os alunos 
compreendam os conteúdos de forma competente e crítica. Neste sentido, a 
ação docente deve propiciar o desenvolvimento aos alunos: da percepção crítica 
da realidade e de seus problemas; de atitudes de tomada de posição diante dos 
problemas; de ações que propiciam a superação dos problemas. Quanto ao livro 
didático, é um dos meios de comunicação no processo de ensinar e aprender. 
Faz parte do método e da metodologia de trabalho do professor, para atingir 
determinados objetivos educacionais. Porém é apenas um instrumento que auxilia 
a prática docente, a capacidade do professor deve ser mais abrangente, não se 
limitando ao livro didático. 
O planejamento para o ensino de matemática na educação básica
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A necessidade de encontrar outras formas de lidar com o planejamento do 
ensino e com seus desdobramentos em planos e projetos, adequados à prática 
de sala de aula e não apenas o preenchimento de planejamentos e planos que 
são arquivados e não vivenciados em sala de aula. Neste sentido, ao repensar o 
processo de ensino, busca-se um significado transformador para os elementos 
curriculares básicos contidos em um plano de ensino:
• Objetivos: estes se desdobram em imediatos e ao longo do tempo, 
comportamentais e instrucionais. O imediato é o que é aprendido ao fim da 
execução do plano de ensino, que repercutirá no desenvolvimento de outros 
planos desenvolvidos ao longo do tempo. O comportamental reflete na 
mudança de atitude diante de uma tarefa a se resolver, e os instrucionais são o 
tipo de prática que o aluno precisa fazer ou realizar para mostrar que o objetivo 
foi atingido.
• Conteúdos: constituem no conjunto de conhecimentos acumulados e que 
devem ser aprendidos pelos alunos, se desdobram em conteúdos estruturantes 
e conteúdos específicos.
• Metodologia: constitui no planejamento de procedimentos e das situações de 
aprendizagem em que os alunos serão submetidos. Deve ser considerada cada 
etapa, por exemplo: como será a abordagem do conteúdo, que atividades serão 
propostas, qual é o tempo adequado para execução das etapas da aula, entre 
outros. Devem ser propostos momentos de orientações, de atividades práticas e 
de avaliação do processo. 
• Avaliação: Na fase de avaliação analisa-se se os objetivos propostos foram 
atingidos, que estratégias foram adequadas e quais são as mudanças necessárias 
para o próximo plano de ensino, isso é possível se os objetivos e metodologia 
forem bem definidos. 
Na aplicação do plano de ensino, para desenvolver o conteúdo, as estratégias 
de ensino serão selecionadas, ou ainda, referênciadas com o termo procedimentos 
de ensino. Destacamos que essas estratégias são organizadas em três momentos: 
a introdução, o desenvolvimento e o fechamento da aula, caracterizadas a seguir:
• Introdução da aula: ao iniciar a aula cabe ao professor esclarecer os objetivos e 
as atividades a serem desenvolvidas na aula, observando que podem ser neces-
sárias adequações no desenvolvimento das mesmas. Após apresentar o tema 
ou conteúdo, situá-lo dentro dos assuntos já abordados anteriormente, ou que 
serão abordados posteriormente, formando assim uma sequência lógica para o 
conteúdo a ser ministrado. É válido também informar quais são os procedimen-
tos adotados, ou os recursos didáticos disponíveis a serem utilizados durante a 
O planejamento para o ensino de matemática na educação básica
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aula.
As estratégias metodológicas de ensino necessitam induzir o aluno a refletir, 
e ser agente participante da aula, deste modo temos que buscar alternativas para 
estimular os alunos a aprender, desenvolvendo a autonomia da aprendizagem. Uti-
lizar-se de diálogos para os alunos expressarem suas experiências anteriores, ou 
ainda, retomar o conteúdo por meio de uma revisão de conteúdo, sendo essas 
estratégias utilizadas para realizar avaliações diagnósticas e adequar o plano de 
ensino. Outro modo é abordar uma situação problema dentro do contexto dos 
alunos para motivar a participação na aula, podendo ser um desafio, uma pergunta. 
• Desenvolvimento: existem diferentes formas de formular perguntas e propor 
atividades. Por exemplo, podemos propor questões fechadas, que exigem uma 
única resposta, ou questões abertas, que exigem a exploração e a investigação 
podendo surgir possibilidades de respostas diferentes. Recomenda-se oportuni-
zar ambas as formas de perguntas, sempre estimulando a reflexão do estudante, 
estipulando o tempo adequado para cada resolução, posteriormente realizar a 
discussão e sistematição do conteúdo abordado. 
Durante a aula o professor deve ministrar as explicaões de forma clara e objeti-
va, utilizando a linguagem matemática correta e introduzindo a linguagem simbóli-
ca gradativamente de modo que o aluno compreenda as notações e compreenda 
seu uso. A entonação de voz também é uma estratégia para destacar os aspectos 
relevantes a serem abordados, juntamentamente com o uso de gestos corporais 
adequados à prática de sala de aula. A utilização da tecnologia pode auxiliar a atin-
gir os objetvos estabelecidos.
• Fechamento: nesta etapa o professor sistematiza o conteúdo trabalhado, retoma 
conteúdos anteriores e provoca a reflexão dos alunos acerca das atividades de-
senvolvidadas. Utiliza esse momento para estabelecer relações entre diferentes 
contextos. Precisa relacionar o tema inicial com o desenvolvimento das ativida-
des e os resultados obtidos e indicar que tarefas e atividades complementares 
são adequadas.
Sobre a alegria no desenvolvimentode práticas escolares ressaltamos que:
[...] encontrar a alegria na escola no que ela oferece de 
particular, de insubstituível é um tipo de alegria que a escola 
é a única ou pelo menos a mais bem situada para propor: 
que seria uma escola que tivesse a audácia de apostar 
tudo na satisfação da cultura elaborada, das exigências 
culturais mais elaboradas, de uma extrema ambição cultural 
(SNYDERS, 1988, p. 13).
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Neste sentido, entendemos que propor atividades ou tarefas que provoquem e 
desafiem os alunos levando-os à satisfação e à alegria de realizá-las, fará com que 
a aprendizagem seja mais prazerosa e que se atribua significados para as práticas 
escolares. Ou seja, os alunos participam ativamente no processo de aprendizagem.
Diagnosticar quais problemas permeiam a prática escolar é essencial para a 
tomada de decisão sobre qual o melhor modo de superá-lo. Portanto, diante 
de manifestações de problemas escolares como evasão, retenção, indisciplina, 
desinteresse, faltas, atrasos e tantos outros, os educadores necessitam identificar 
suas causas, tendo em vista a sua superação. Analisar o contexto em que os 
problemas se manifestam é uma estratégia para identificar suas causas. Devemos 
pensar em propostas para superar situações problemas pautadas em suas origens. 
Neste sentido, podemos buscar problemas relacionados às práticas diárias dos 
alunos para promovermos propostas de atividades inseridas nos planos de ensino 
para que os alunos sintam-se instigados a resolvê-los.
Para que a prática em sala de aula promova o processo de ensino e aprendizagem 
além do professor estar preparado quanto ao conteúdo, vimos que há necessidade 
da inserção de práticas que favoreçam este processo, e o planejamento junto com 
os planos de aulas são meios para que isso ocorra. 
Na página a seguir você terá a disponibilização de planos de aulas 
postados no site da Nova Escola: 
<http://www.gentequeeduca.org.br/planos-de-aula>.
1) O que considerar na elaboração de planejamentos para o 
ensino da Matemática?
2)Quais são as etapas para a elaboração de planos de ensino?
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01. A sociedade brasileira, marcada por profundas diferenças 
sociais, gera sujeitos diferentes. O papel da escola é:
(A) ignorar as diferenças e realizar o trabalho pedagógico.
(B) superar a concepção de que a diferença é deficiência e saber 
trabalhar com a diferença.
(C) reconhecer que diferença intelectual gera déficit intelectual.
(D) negar as diferenças e buscar a equidade.
(E) reconhecer as diferenças e formar turmas homogêneas.
02. A escola brasileira contemporânea enfrenta um grande 
desafio, qual seja, o de garantir a aprendizagem a todos os 
seus alunos. Só se consegue atingir esse objetivo, quando a 
escola assume que as dificuldades de alguns alunos não são 
apenas deles, mas resultam em grande parte do modo como 
o ensino é ministrado, como a aprendizagem é concebida 
e avaliada. A escola precisa se tornar apta para responder às 
necessidades de cada um de seus alunos, de acordo com suas 
especificidades. Neste sentido, um dos temas mais relevantes a 
serem considerados na atuação docente é: 
(A) A autonomia da escola.
(B) A questão da inclusão e da diversidade.
(C) A questão democrática.
(D) O conselho escolar.
(E) A direção participativa.
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Seção 2
Sobre a Avaliação no Ensino da Matemática na 
Educação Básica
Faz parte da vivência do ser humano o processo de avaliação. Em muitos casos, 
avaliamos o processo em que uma atividade foi realizada a fim de superar os erros 
enfrentados, outras vezes nos submetemos a avaliações sistematizadas que visam 
medir e quantificar um saber.
A avaliação através do ato de planejar e de 
executar; por isso, contribui em todo percurso da 
ação planificada. A avaliação se faz presente não 
só na identificação da perspectiva político-social, 
como também na seleção de meios alternativos 
e na execução do projeto, tendo em vista a sua 
construção. [...] A avaliação é uma ferramenta da 
qual o ser humano não se livra. Ela faz parte de 
seu modo de agir e, por isso, é necessário que 
seja usada da melhor forma possível. (LUCKESI, 
2002, p.118).
Neste sentido, temos o processo de avaliação não intencional ou natural, e o 
processo de avaliação institucional em que destacaremos as:
• Avaliações diagnósticas: são aquelas realizadas no início de um processo de 
ensino, a fim de verificar os conhecimentos prévios dos alunos sobre um tema a 
ser estudado.
• Avaliações formativas: são realizadas no decorrer do processo, espera-se que 
haja a integração de professores e alunos nessa etapa, para que os alunos 
desenvolvam a autorregulação da aprendizagem, neste sentido cabe ao professor 
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mediá-los e ensinar o aluno a aprender a aprender.
• Avaliações somativas: são realizadas ao final de um estudo, de uma unidade ou 
conteúdo, ou por um determinado período de tempo, de modo a quantificar os 
resultados alcançados no desenvolvimento desse estudo. 
Existem diferentes concepções que predominam na escola, a literatura 
sobre o assunto aborda sobre: a concepção de avaliação concebida 
pelos exames; a concepção de avaliação como instrumento para 
classificação e regulação do desempenho do educando, estas dentro 
da Pedagogia Tradicional; a concepção que adota avaliação como 
medida dentro da Pedagogia Tecnicista e, por fim, a concepção 
qualitativa da avaliação que surgiu em oposição aos modelos e práticas 
avaliativas adotados nas concepções tecnicista e quantitativa, baseados 
nas Pedagogias Críticas.
Avaliações no processo de ensino e aprendizagem
Na prática escolar, avaliar, segundo Chueiri (2008), constitui-se em prática 
intencional e organizada e se realiza a partir de objetivos pedagógicos claros, que 
são o reflexo de valores, códigos e convenções sociais. Ao avaliar retomamos todo 
o processo pedagógico, de modo a estabelecer critérios desde as etapas iniciais 
até as finais, ou seja, deve ser realizada de modo planejado e orientado dentro do 
processo de ensino.
Porém, a avaliação ainda é utilizada apenas como mecanismos de classificação 
dos alunos por meio de provas e notas, sendo utilizada para legitimar o fracasso e 
o sucesso e alunos. Este contexto social escolar,
(...) não se restringe aos educadores em geral. 
É idêntica à visão dos alunos a respeito desse 
tema, das famílias e da sociedade. O significado 
da avaliação na escola alcança um significado 
próprio e universal, muito diferente do sentido 
que se atribui a essa palavra no nosso dia a dia. 
Percebe-se o aluno sendo observado apenas 
em situações programadas (HOFFMANN, 2009, 
p. 24).
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Nesta forma de avaliar paraclassificar ou para regular temos como característica 
a concepção tradicional de avaliar em que os alunos são comparados a um padrão 
estipulado pelo professor, que quer se certificar que o aluno adquiriu conhecimento 
sobre algum conteúdo. O foco desta avaliação está no resultado final e não 
no processo desenvolvido pelo aluno, ou seja, há uma análise quantitativa dos 
resultados medidos pela nota do aluno.
Deste modo, obtêm-se apenas algumas informações a respeito dos 
conhecimentos adquiridos pelo aluno, documentadas pelas provas que servem 
como parâmetro para determinar se o aluno está em condições para avançar de 
ano ou série. Utilizam-se nessa perspectiva testes padronizados de rendimento 
que por muitas vezes não expressam conclusões reais sobre a compreensão do 
aluno sobre o conteúdo trabalhado.
Ao professor, nesta perspectiva, é proporcionada certa segurança, pois há 
um programa definido, previsto com encaminhamentos metodológicos pré-
estabelecidos, sendosua tarefa cumprir o cronograma estabelecido e após a 
avaliação quantificar os resultados. Considerando que o sistema e ensino exigem 
a nota, e não permitem que os resultados sejam expressos de outra forma, há 
apenas a preocupação em transformar os resultados apresentados em números.
Saul realiza uma crítica a esse modelo de avaliação:
Uma nova sistemática de avaliação poderá 
gerar tensões por vezes difíceis de suportar, 
e os professores poderão sentir-se privados 
das satisfações que o sistema tradicional lhes 
proporcionava. Associa-se ao prazer gerado 
por aquela segurança a satisfação gerada pelo 
poder da avaliação. Será preciso, ao tratar da 
nova perspectiva de avaliação, trabalhar estes 
aspectos pessoais e coletivos no contexto da 
escola (2014, s/p).
Em oposição a essa prática avaliativa, emerge a avaliação baseada no processo 
em que o aluno está inserido, ou seja, há a avaliação qualitativa em que o professor 
se empenha em ensinar o aluno a aprender e o insere no processo avaliativo por 
meio de autoavaliações em que no final do processo é aplicada a prova para 
validar os conhecimentos adquiridos. Nesta perspectiva, o foco da avaliação está 
no desenvolvimento das aulas, e só será avaliado na prova escrita aquilo que foi 
desenvolvido durante o processo.
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Neste sentido, entendemos que os mecanismos de avaliação são elementos 
essenciais na prática pedagógica, porém o processo de ensino e aprendizagem não 
pode se reter a apenas essa etapa de avaliação, não se resume em apenas atribuir 
notas e analisar quantitativamente o aluno, e sim avaliar o processo avaliativo de 
modo qualitativo em que a prova escrita é parte integrante desse processo.
Como relacionar os objetivos definidos no planejamento 
com o processo avaliativo?
A partir dos estudos de Chaves (1998) adaptamos alguns procedimentos 
relevantes para a avaliação, a saber:
- atentar para os processos e não só para os resultados; 
- dar possibilidades aos protagonistas de se expressarem e de se avaliarem;
- utilizar procedimentos e instrumentos variados para avaliar a aprendizagem;
- intervir, com base nas informações obtidas via avaliação, em favor da superação 
das dificuldades detectadas;
- intervir, com base nas informações obtidas via avaliação, em favor da superação 
das dificuldades detectadas;
- configurar a avaliação a serviço da aprendizagem, como estímulo aos avaliados e 
não como ameaça;
- contextualizar e integrar a avaliação ao processo ensino–aprendizagem;
- definir as regras do jogo avaliativo desde o início do processo;
- difundir as informações e trabalhar os resultados, visando retroalimentar o 
processo;
- realizar meta-avaliação, paralela aos processos de avaliação propriamente ditos;
- considerar e respeitar as diferenças e as dificuldades manifestadas em sala de 
aula.
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Faz parte desse processo a escola adequada das questões que irão compreender 
as avaliações escritas. Segundo Luckesi (2011), as questões elaboradas devem:
a) Contemplar os conteúdos essenciais que 
foram trabalhados dentro do planejamento.
b) Apresentar o mesmo grau de dificuldade dos 
conteúdos trabalhados, bem como a mesma 
linguagem e notação.
c) Apresentar níveis de complexidade 
diferenciados para um mesmo assunto para 
atingir diferentes níveis de dificuldades, 
de acordo com o nível de complexidade 
trabalhado em sala.
d) Adotar a mesma perspectiva metodológica 
trabalhada em sala de aula.
e) Utilizar uma linguagem clara e compreensível.
f) Ser preciso nas questões elaboradas.
g) Auxiliar o aluno a aprofundar seu 
conhecimento.
As provas escritas podem contemplar questões dissertativas, 
normalmente com nível de complexidade mais elevado em que se 
avalia o processo de resolução das questões, ou questões objetivas, 
em que se avalia um conceito específico, ou ambos. As questões 
objetivas podem ser testes, completes, análises de sentenças, entre 
outros.
Existe diferença entre provas objetivas e testes? Se existem, 
quais são tais diferenças?
Provas que contemplam apenas testes têm finalidades específicas, ou 
seja: classificatório, celetista e estatístico. Será realizada apenas uma avaliação 
quantitativa das respostas obtidas. O recomendado é que em uma avaliação de 
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um processo de ensino e aprendizagem contemple uma variedade de questões 
dissertativas e objetivas, incluindo os testes, para que seja realizada uma avaliação 
quantitativa e qualitativa do processo.
Neste processo cabe ao professor o papel de avaliador. Para tanto, é necessário 
atribuir critérios avaliativos. Muitos destes emergem na prática de acordo com suas 
experiências e conhecimentos. Há a necessidade de ser coerente com o método de 
trabalho e com os objetivos estabelecidos. Segundo Sordi (apud CHUEIRI, 2008, p. 
52): “uma avaliação espelha um juízo de valor, uma dada concepção de mundo e de 
educação, e por isso vem impregnada de um olhar absolutamente intencional que 
revela quem é o educador quando interpreta os eventos da cena pedagógica”.
Recomenda-se, ao término de cada etapa do planejamento, realizar a 
autoavaliação do processo desenvolvido também denominado de meta-avaliação, 
dentro dessa etapa o aluno deve estar inserido e ser crítico sobre os pontos 
favoráveis ou não ao seu processo de ensino e aprendizagem.
Além disso, Saul (apud CHUEIRI, 2008, p. 59), afirma que a avaliação qualitativa 
tem outra característica que é o “delineamento flexível que permite um enfoque 
progressivo, isto é, a avaliação centrada em processos é em si mesma um processo 
que evolui em virtude de descobertas sucessivas e de transformações do contexto”
Entendemos que nesta abordagem o professor atua como mediador da 
aprendizagem e regulador desse processo, e cabe ao aluno o papel ativo e 
responsável sobre a sua aprendizagem que será construída dentro desse processo. 
Sobre isso Demo (2004, p. 156) afirma:
A avaliação qualitativa pretende ultrapassar 
a avaliação quantitativa, sem dispensar esta. 
Entende que no espaço educativo os processos 
são mais relevantes que os produtos, não 
fazendo jus à realidade, ser reduzida apenas às 
manifestações empiricamente mensuráveis.[…] 
A avaliação qualitativa gostaria de chegar até a 
face qualitativa da realidade, ou pelo menos de 
se aproximar dela.
A abordagem qualitativa da avaliação requer a integração de professores, alunos 
equipe pedagógica e familiares, todos envolvidos no processo educacional, em 
uma ação conjunta para que haja um processo democrático de aprendizagem 
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com o foco na aprendizagem do aluno. Conforme sustenta Loch será preciso 
compreender
[...] que avaliar não é dar notas, fazer médias, 
reprovar ou aprovar os alunos. Avaliar, numa 
nova ética, é sim avaliar participativamente 
no sentido da construção, da conscientização, 
busca da autocrítica, autoconhecimento de 
todos os envolvidos no ato educativo, investindo 
na autonomia, envolvimento, compromisso e 
emancipação dos sujeitos (2000, p.31).
Segundo o autor, é preciso romper com práticas que não contribuam com o 
processo avaliativo para que sejam implementadas novas práticas pedagógicas que 
deem sentido à avaliação escolar, sendo esta integrante do processo de ensino 
e aprendizagem, e não como um propósito em si mesmo na quantificação das 
notas.
Se considerarmos o desempenho dos alunos nas provas escritas, aqueles que 
apresentam um rendimento abaixo ou na média são aqueles que mais precisam de 
intervenções e de estratégias metodológicas que favoreçam a sua aprendizagem, 
neste contexto emerge a necessidade das recuperações de conteúdos. 
Caracterização das modalidades de avaliação
Neste texto propormos em diversos momentos reflexões sobre as práticas 
metodológicas e processos avaliativos, porém o professor podese deparar com a 
dificuldade de aplicar propostas muitas vezes não vivenciadas na sua trajetória na 
Educação Básica, devido a uma vivência escolar baseada nos modelos tradicionais 
em que prevalecia a conservação, a transmissão e a avaliação classificatória em 
momentos pontuais.
Reflita sobre as modalidades da avaliação da aprendizagem.
O planejamento para o ensino de matemática na educação básica
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Apresentaremos, neste texto, as características das seguintes modalidades da 
avaliação da aprendizagem, a saber: avaliação diagnóstica, avaliação formativa e 
avaliação somativa, além da meta-avaliação.
A avaliação diagnóstica não tem como característica a atribuição de nota, e 
sim diagnosticar conhecimentos prévios dos alunos, além de verificar defasagens 
de conteúdos, a fim de propor estratégias para minimizarem as dificuldades de 
aprendizagem, para propor novas ações que possam levar o aluno a se apropriar 
da proposta curricular. Devemos recorrer a essa avaliação sempre que um novo 
processo de ensino e aprendizagem é inserido na prática de sala de aula, para 
direcionar e otimizar a prática pedagógica. Essa modalidade avaliativa
[...] identifica certas características do aprendiz 
e faz um balanço, certamente mais ou menos 
aprofundado, de seus pontos fortes e fracos. 
A avaliação [...] tem a função de permitir um 
ajuste recíproco aprendiz/programa de estudos 
(seja pela modificação do programa, que será 
adaptado aos aprendizes, seja pela orientação 
dos aprendizes para subsistemas de formação 
mais adaptados a seus conhecimentos e 
competências atuais). (HADJI, 2001, p. 19).
Quanto à avaliação formativa, esta é processual e contínua, tem o objetivo 
de verificar aspectos qualitativos e não quantitativos, indicando ao professor a 
oportunidade de promover adequações na proposta de trabalho a curto, médio 
e longo prazo. Com seus resultados é possível definir objetivos de ensino para 
elaborar diferentes estratégias de ação para o processo de ensino e aprendizagem. 
Ao professor é possibilitado avaliar seu próprio trabalho e a partir dos resultados 
direcionar os caminhos a serem percorridos, permitindo ao aluno acompanhar seu 
processo de construção do conhecimento, possibilitando ajustes. Neste sentido, 
temos que esta é considerada uma avaliação reguladora, à medida que possibilita 
mudanças no processo.
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[...] o professor, que será informado dos efeitos 
reais de seu trabalho pedagógico poderá 
regular sua ação a partir disso. O aluno, que não 
somente saberá onde anda, mas poderá tomar 
consciência das dificuldades que encontra e 
tornar-se-á capaz, na melhor das hipóteses, de 
reconhecer e corrigir ele próprio os seus erros. 
(HADJI, 2001, p. 20).
[...] se relaciona mais ao produto demonstrado 
pelo aluno em situações previamente estipuladas 
e definidas pelo professor, e se materializa na 
nota, objeto de desejo e sofrimento dos alunos, 
de suas famílias e até do próprio professor. 
Predomina nessa lógica o viés burocrático que 
empobrece a aprendizagem, estimulando ações 
didáticas voltadas para o controle das atividades 
exercidas pelo aluno, mas não necessariamente 
geradoras de conhecimento (1999, p. 173).
Porém, a avaliação somativa possui uma abordagem diferente das anteriores. 
É considerada classificatória, ou seja, atende aos princípios quantitativos, sendo 
praticada ao final de um determinado tempo, de um curso, de um semestre. É 
de responsabilidade do professor atribuir nota ao aluno segundo critérios pré-
estabelecidos. É realizada em momentos pontuais, não tem como finalidade 
interferir no planejamento e sim avaliar se os objetivos propostos foram atingidos 
de maneira satisfatória, ou seja, não permite mudanças, pois finaliza o processo. 
Os alunos são classificados a partir de critérios, mas podemos utilizar os resultados 
em um processo formativo, quando elaborarmos planejamentos de conteúdos 
relacionados aos avaliados. Partindo do princípio que a avaliação somativa, em 
geral, é uma prática de forma excludente, Perrenoud relata que ela:
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Quadro 1.1 | Três modalidades
Avaliação Diagnóstica Formativa Somativa
Objetivos 
Identifica problemas 
de aprendizagem, 
buscando solucioná-
los.
Aperfeiçoa o 
processo ensino e 
aprendizagem.
Classificar os 
resultados de 
aprendizagem de 
acordo com os níveis 
de aproveitamento 
estabelecidos.
Período de realização
Início de um curso, 
ou unidade de 
ensino.
Contínua e processual.
No término da 
unidade de ensino ou 
final de período.
Nível de 
conhecimento 
esperado
Competências 
e habilidades 
necessárias para a 
aprendizagem.
Habilidades ou pré-
requisitos detalhados 
para cada objetivo 
amplo.
Detém-se mais na 
capacidade geral 
de construir e 
interpretar.
Encaminhamento dos 
resultados
Possibilita aos 
professores 
identificar os 
conhecimentos 
prévios dos alunos.
Domínio de 
determinada tarefa 
de aprendizagem. 
Desenvolvimento de 
competências.
Verifica o alcance dos 
objetivos de ensino.
Atribuição de notas Não atribui notas. Não atribui notas.
Atribui notas que são 
divulgadas
Fonte: Adaptado de (BLOOM; HASTINGS; MADAUS, 1983)
Considerando alguns conceitos que permeiam a prática da avaliação da 
aprendizagem, como por exemplo, testar, medir e avaliar, é importante diferenciá-
los para compreender melhor sua dimensão conceitual. Haidt (1999, p. 289) buscou 
caracterizar cada termo e ao definir a testagem salientou que ela permite:
[...] verificar um desempenho através de situações 
previamente organizadas, chamadas testes. A 
medida se utiliza do teste para coletar dados e 
utiliza um sistema de unidades convencionais, 
atribuindo a nota. Medir é descrever um 
fenômeno do ponto de vista quantitativo; e avaliar 
é interpretar dados quantitativos e qualitativos 
para obter um parecer ou julgamento de valor, 
tendo por base padrões ou critérios.
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Ao longo do tempo a avaliação foi considerada prática de medir. Considerando 
que a avaliação fornece subsídios à prática pedagógica, podemos caracterizá-la 
como um ato pedagógico que subsidia o desenvolvimento do aluno, por meio de 
um processo construtivo, propiciando ao aluno a compreensão da sua realidade e 
tomada de decisões, a partir da averiguação de seus resultados.
Para avaliar temos procedimentos de coleta, análise e síntese dos dados que 
configuram o objeto da avaliação, além de complementar uma atribuição de valor 
ou qualidade, a partir da comparação da configuração do objeto avaliado com um 
determinado padrão de qualidade previamente estabelecido para aquele tipo de 
objeto. 
Segundo Luckesi (1998), a valoração ou qualidade atribuída ao objeto conduzem 
a uma tomada de posição favorável ou contra ele. E, o posicionamento a favor ou 
contra o objeto, ato ou curso de ação, a partir do valor ou qualidade atribuído, 
conduz a uma decisão nova, a uma ação nova: manter o objeto como está ou atuar 
sobre ele.
No processo avaliativo, cabe ao professor utilizar uma variedade de técnicas 
e instrumentos avaliativos como, por exemplo: portfólios, relatórios, seminários. 
Neste sentido podemos organizar:
[...] uma pasta individual, onde são colecionados 
os trabalhos realizados pelo aluno, no decorrer 
dos seus estudos de uma disciplina, de um curso, 
ou mesmo durante alguns anos, [...] registro de 
suas reflexões e impressões sobre a disciplina 
ou curso, opiniões, dúvidas, dificuldades, 
reações aos conteúdos e aos textos indicados, 
às técnicas de ensino, sentimentos, situações 
vividas nas relações interpessoais e outros 
aspectos. (VILLAS BOAS, 2004, p. 89).
Também temos que as provas escritas que comtemplem questões objetivas e 
dissertativas. De acordo com Masetto (2001, p. 101) “a prova discursiva pode ajudar 
o aluno a aprender a fazer síntese, ser lógico, escolher argumentos, adquirir clareza 
de redação”.Corroborando com essa idéia temos que esse tipo de instrumento:
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Quadro 1.2 | Caracterizaçãodos instrumentos de avaliação 
TÉCNICAS INSTRUMENTOS OBJETIVOS BÁSICOS
Observação
Registro da observação:
• Fichas.
• Caderno.
Verificar o desenvolvimento: cognitivo, 
afetivo e psicossocial do educando, em 
decorrência das experiências vivenciadas.
Autoavaliação
Registro da 
autoavaliação.
Determinar o aproveitamento cognitivo do 
aluno, em decorrência da aprendizagem.
Aplicação de provas:
• Arguição.
• Dissertação.
• Testagem.
Prova oral.
Prova escrita:
• Dissertativa.
• Objetiva.
Fonte: Haidt (1994, p. 296)
Segundo Luckesi (2005), o professor pode utilizar os instrumentos que conheça, 
ou pesquisar e criar novos, desde que estejam adequados às suas finalidades. A co-
leta de dados precisa ser planejada após o levantamento dos conteúdos que serão 
avaliados e o instrumento selecionado com antecedência. Cabe lembrar que o 
nível de dificuldade do instrumento deve estar adequado ao nível de complexidade 
do trabalhado desenvolvido em sala. Uma boa sugestão é organizar as questões por 
blocos de conteúdos, para que o instrumento não esteja fragmentado.
Permite verificar certas habilidades intelectuais 
que constituem processos mentais superiores, 
como a capacidade reflexiva – capacidade de 
analisar, sintetizar, aplicar o conhecimento, 
relacionar fatos e ideais, interpretar dados e 
princípios, realizar inferências e julgar, emitindo 
juízos de valor. Possibilita saber se o aluno é capaz 
de organizar suas ideais e opiniões e expressá-
las por escrito de forma clara e concreta. Pode 
ser facilmente elaborada e organizada. Pode 
ser copiada da lousa. Reduz a probabilidade de 
acerto casual, isto é, de acerto por adivinhação 
ou casualidade, pois o aluno deve organizar a 
resposta e usar sua linguagem para exprimi-la. 
(HAIDT, 1994, p. 303).
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Os instrumentos de avaliação da aprendizagem necessitam de planejamento e 
precisam estar adequados aos objetivos e, assim, possibilitar a coleta qualitativa de 
seus resultados. Em geral, o ato de avaliar a aprendizagem do aluno se restringe em 
tirar uma medida do que o aluno aprendeu dentro do que o professor programou 
para ensinar. Porém não deve ser realizada de maneira isolada e sim integrante de 
um processo de ensino e aprendizagem. Vale ressaltar que a autoavaliação do aluno 
e do professor faz parte do processo avaliativo e esta modalidade de avaliação é 
denominada meta-avaliação.
Avaliações externas em larga escala 
Em outras perspectivas sobre avaliação, denominadas de avaliações de larga 
escala, aplicadas, por exemplo, em nível nacional, são analisados, por exemplo, 
índices de referências. Essas avaliações têm objetivos e procedimentos diferenciados 
das avaliações realizadas pelos professores nas salas de aula. Dentre tais objetivos 
podemos destacar a certificação, o credenciamento, o diagnóstico e a rendição de 
contas. Em geral, são organizadas a partir de um sistema de avaliação cognitiva dos 
alunos e são aplicadas de forma padronizada para um grande número de pessoas, 
e não somente a alunos, mas também professores, diretores, coordenadores. 
Destacaremos a avaliação do Programme for International Student Assessment 
(Pisa) – Programa Internacional de Avaliação de Estudantes – que, segundo o INEP, 
é uma iniciativa internacional de avaliação comparada, aplicada a estudantes na 
faixa dos quinze anos, idade em que se pressupõe o término da escolaridade básica 
obrigatória na maioria dos países. 
Tem como meta medir o conhecimento e a habilidade em leitura, matemática 
e ciências de estudantes com quinze anos de idade tanto de países membros da 
OCDE como de países parceiros.  Entre os países membros da OCDE Alemanha, 
Grécia, Chile, Coreia do Sul, México, Holanda e Polônia. Países como Argentina, 
Brasil, China, Peru, Catar e Sérvia aparecem como parceiros e também fazem parte 
da avaliação.
Este programa levanta questões do tipo: 
Os estudantes estão preparados para os desafios do futuro? 
Eles conseguem refletir, argumentar e se comunicar efetivamente? 
Eles têm capacidade de continuar aprendendo por toda a vida? 
O principal objetivo do Pisa é apresentar indicadores que contribuam para a 
discussão da qualidade da educação nos países participantes, para subsidiar 
políticas de melhoria do ensino básico. A avaliação procura verificar até que ponto 
as escolas de cada país participante estão preparando seus jovens para exercer o 
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1) Como diferenciar avaliações qualitativas e quantitativas?
2) O que são avaliações externas e em larga escala, aplicadas 
na Educação Básica brasileira?
papel de cidadãos na sociedade contemporânea.
Segundo o INEP, as avaliações do Pisa acontecem a cada três anos e contemplam 
três áreas do conhecimento – Leitura, Matemática e Ciências – havendo, a cada 
edição do programa, maior ênfase em cada uma dessas áreas. Em 2000, o foco 
foi em Leitura; em 2003, Matemática; e em 2006, Ciências. O Pisa 2009 iniciou 
um novo ciclo do programa, com o foco novamente recaindo sobre o domínio de 
Leitura; em 2012, é novamente Matemática; e em 2015, Ciências. Além de observar 
as competências dos estudantes em Leitura, Matemática e Ciências, o Pisa coleta 
informações para a elaboração de indicadores contextuais, os quais possibilitam 
relacionar o desempenho dos alunos a variáveis demográficas, socioeconômicas 
e educacionais. Essas informações são coletadas por meio da aplicação de 
questionários específicos para os alunos e para as escolas.
Uma das aplicações dos resultados desse estudo pelos governos dos países 
envolvidos é como instrumento de trabalho na definição e refinamento de políticas 
educativas, procurando tornar mais efetiva a formação dos jovens para a vida futura 
e para a participação ativa na sociedade.
01. O ato de avaliar, segundo Rios não é algo estático, que ocorre 
em determinado momento, mas deve estar continuamente 
presente no trabalho do educador. Para a autora, entre outras 
ações, avaliar pressupõe:
(A) Selecionar os conteúdos que apresentam maiores 
dificuldades para os alunos. 
(B) Escolher instrumentos objetivos a serem utilizados na 
avaliação. 
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(C) Delimitar os conteúdos, de acordo com o momento da avaliação. 
(D) Definir princípios em função dos objetivos que se deseja alcançar. 
(E) Informar os alunos sobre os critérios adotados, após a avaliação.
02. Segundo Romão, algumas vezes os docentes usam o termômetro 
para medir a velocidade. Ao fazer essa afirmação ele está fazendo uma 
analogia com o fato de que, às vezes, os docentes:
(A) Acreditam que medir o conhecimento é o mesmo que avaliar 
aaprendizagem. 
(B) Podem utilizar qualquer tipo de instrumento de avaliação para 
avaliar a aprendizagem. 
(C) Sabem que os instrumentos de avaliação podem ser usados apenas 
para aprendizagem que são observáveis. 
(D) Utilizam instrumentos de medida inadequados para avaliar a 
aprendizagem. 
(E) Escolhem os instrumentos com os quais estão mais familiarizados 
para avaliar a aprendizagem.
Nesta unidade, você aprendeu sobre:
• Estratégias metodológicas para compor o planejamento de 
aulas.
• Características de planejamentos de ensinos e planos de 
ensino.
• Quais são os elementos norteadores para a prática de sala de 
aula.
• A avaliação como parte integrante dos processos de ensino 
e aprendizagem.
• O que considerar nas elaborações de avaliações somativas.
• Avaliações em larga escala como indicadores da educação.
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Neste capítulo, na primeira seção, destacamos o uso de 
jogos nas práticas de sala de aula, apresentamos propostas 
demonstrando que é possível a sua aplicação em sala de aula 
em diferentes aspectos,uma vez que os jogos estimulam a 
criatividade, autonomia, interesse, interação e capacidade de 
generalização. Além disso, inserir outras práticas que estimulem 
ao aluno aprender. Cabe ao professor mediar o processo de 
aprendizagem, ensinando aos alunos a lidarem com seus erros e 
superá-los e se esforçarem para obterem resultados satisfatórios.
Na prática docente, elaborar, executar e avaliar planos de ensino 
exige que o professor tenha clareza dos objetivos gerais da 
educação escolar e se comprometa com a formação do aluno; 
que considere os conteúdos como meios para a formação 
do cidadão consciente, competente e crítico promovendo as 
articulações entre conteúdos, métodos, técnicas e meios de 
comunicação e envolvendo o aluno no processo da avaliação 
no ensino-aprendizagem. Neste sentido, a elaboração dos 
planos de ensino depende da visão de mundo que temos e do 
mundo que queremos.
Na segunda seção abordamos sobre avaliação diferenciando 
aspectos metodológicos dos processos avaliativos. Destacamos 
algumas concepções sobre a avaliação e diferenciamos sobre 
avaliações quantitativas e qualitativas, além das modalidades 
avaliativas e suas respectivas caracterizações. Também 
abordamos sobre avaliações em larga escala. Apresentamos 
alguns referenciais teóricos que auxiliam na compreensão 
do processo avaliativo, evidenciando a carência que temos 
na educação de professores que utilizem a avaliação como 
instrumento de aprendizagem para os alunos.
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01. O artigo 23 da Lei de Diretrizes e Bases da Educação 
Nacional (Lei nº 9.394/96)diz que:
"a educação básica poderá organizar-se em séries anuais, 
períodos semestrais, ciclos, alternância regular de períodos 
de estudos, grupos não seriados, com base da idade, na 
competência e outros critérios, ou por forma diversa de 
organização, sempre que o interesse do processo de 
aprendizagem assim recomendar".
De acordo com esse artigo:
(A) A idade é o único critério possível para a organização da 
escolaridade inicial.
(B) Apenas o ensino fundamental pode ser organizado a 
partir de critérios flexíveis, tendo em vista o processo de 
aprendizagem.
(C) A educação básica deve ser organizada tendo em vista 
o desenvolvimento biológico dos alunos, pois esse 
desenvolvimento é pressuposto para a aprendizagem.
(D) Não há possibilidade de flexibilizar a organização e tempos 
escolares.
(E) A Educação Básica pode ser organizada a partir de critérios 
pedagógicos e não apenas etários, assim como não precisa 
ser organizada em uma periodicidade bimestral o semestral.
2. (Adaptação Vunesp/2010) – A formação dos profissionais da 
educação, visando complementar os objetivos da cada nível 
e modalidade de ensino e as peculiaridades dos educandos, 
deve ter como fundamentos:
(A) Aquisição de domínio de sua área de ensino e habilidade 
para controle de grupos.
(B) Aproveitamento de experiências anteriores e 
fundamentação de conhecimento teórico.
(C) Aquisição de capacidade de transmissão de teorias e 
seleção de práticas de ensino eficazes.
(D) Aproveitamento de experiências anteriores e domínio da 
prática docente.
(E) Associação entre teorias e práticas anteriores e 
aproveitamento da formação e experiências anteriores.
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03. “A avaliação não deveria ser fonte de decisão sobre o castigo, 
mas de decisão sobre os caminhos do crescimento sadio e 
feliz.” (LUCKESI). Acerca desse tema, a escola pode contribuir 
para o sucesso da aprendizagem do aluno, assegurando sua 
permanência quando:
(A) Considera o erro como fonte de punição e não como 
possibilidade de nova conduta.
(B) Despreocupa com a individualidade do aluno.
(C) Utiliza medidas punitivas para adequar a criança à escola.
(D) Possibilita um ambiente de liberdade e de atenção à 
singularidade do aluno.
(E) Exige dos alunos capacidade de compreensão além da 
capacidade do grupo.
04. O planejamento define os resultados e os meios a serem 
atingidos; a execução constrói os resultados; e a avaliação 
serve de instrumento de verificação dos resultados planejados 
que estão sendo obtidos, assim como fundamenta decisões 
que devem ser tomadas para que os resultados sejam 
construídos. Nessa perspectiva, conforme Luckesi, a avaliação 
da aprendizagem é um(a):
(A) Mecanismo subsidiário do planejamento e da execução.
(B) Atividade subsidiária e totalmente desarticulada da execução.
(C) Atividade que existe e subsiste por si mesma.
(D) Instrumento que não subsidia o processo do planejamento.
(E) Ação independente da proposta pedagógica.
05. Concordando com o princípio do atendimento à diversidade, 
Silva (2003, p. 11)
chama atenção para o fato de que a avaliação, numa perspectiva 
formativa reguladora, deve reconhecer as diferentes trajetórias 
de vida dos estudantes e, para isso, é preciso:
(A) Flexibilizar os objetivos, os conteúdos, as formas de ensinar 
e avaliar, ou seja, contextualizar e recriar o currículo.
(B) Dominar todos os conteúdos independentes de sua 
relevância social e cognitiva do ensinado.
(C) Desconsiderar os pressupostos da avaliação que se limita 
a produzir notas e conceitos para fins de aprovação e 
reprovação.
(D) Que os professores acompanhem de forma assistemática 
e individualizada, os progressos dos estudantes com quem 
trabalham a cada ano.
(E) Promover situações em que os professores sejam cada vez 
mais autônomos nas suas práticas avaliativas.
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