Aula 4 - Teoria das Estruturas - Método dos Deslocamentos

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TEORIA DAS 
ESTRUTURAS
PROFª. DANIELLE FREIRE DE ARAÚJO
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Um dos modelos mais empregados para análise estrutural, permite a modelagem computacional por admitir uma única
solução , diferente do método das forças (método dos esforços).
No método dos deslocamentos a incógnita é o deslocamento rotacional, no ponto (vínculo) e a partir dele, no qual
calculamos os esforços da estrutura.
Para composição da Equação geral, os fatores são obtidos por equações complementares.
Equação Geral: i0 + kij . Dn = 0
Sendo:
i0 = momento de engastamento perfeito (kN.m);
kij = momento devido ao coeficiente de rigidez da barra (kN.m/rad);
Dn = deslocabilidade do ponto de estudo (rad).
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Na implantação do método dos deslocamentos temos uma análise de barras isoladas, ou seja, no(s) ponto(s) de
deslocamento(s) a ser(em) calculado(s) há uma cisão/separação da estrutura em barras isoladas.
1º) Passo: Apresentação do Sistema Hipergeométrico (SH)
Exemplo: Viga contínua com 3 apoios.
O SH define o ponto de cálculo da deslocabilidade. Para vigas, a deslocabilidade se dá nos apoios intermediários. A
incógnita no método dos deslocamentos é definida como sendo o deslocamento rotacional no sentido positivo
(sentido anti-horário).
Barra 1 Barra 2
D1
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
2º) Passo: Análise das Barras Isoladas
Exemplo: Viga contínua com 3 apoios.
Barra 1 Barra 2
D1
A B C
CA
Barra 1 Barra 2
Importante: nos pontos onde há deslocabilidade e por consequência divisão das barras, na análise isolada este
ponto terá apoio engastado.
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
3º) Passo: Cálculo dos Momentos de Engastamento Perfeito ()
Exemplo: Viga contínua com 4 apoios.
A B C D
(1) (2)
MA
Barra 1
Barra 2 MD
Barra 3
10, B2
10, B1
20, B2
20, B3
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
MA
Barra 1
Barra 2 MD
Barra 3
10, B2
10, B1
20, B2
20, B3
Temos:
10 = 10, B1 + 10, B2
20 = 20, B2 + 20, B3
Sendo:
MA = Momento de Engastamento Perfeito no ponto A, análise da barra 1;
10, B1 = Momento de Engastamento Perfeito na deslocabilidade 1, análise da barra 1;
10, B2 = Momento de Engastamento Perfeito na deslocabilidade 1, análise da barra 2;
20, B2 = Momento de Engastamento Perfeito na deslocabilidade 2, análise da barra 2;
20, B3 = Momento de Engastamento Perfeito na deslocabilidade 2, análise da barra 3;
MD = Momento de Engastamento Perfeito no ponto D.
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
4º) Passo: Cálculo dos Coeficientes de Rigidez (k)
Exemplo: Viga contínua com 4 apoios.
Para a obtenção dos coeficientes de rigidez (k), a análise deve ser feita de acordo com o efeito da deslocabilidade.
Cálculo:
kA kB
l
kB
l
 
 = 1 𝑘𝐴 =
4𝐸𝐼
𝑙
𝑘𝐵 =
2𝐸𝐼
𝑙
𝑘𝐴 =
3𝐸𝐼
𝑙
Unidade: kN.m/rad
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Importante: no ponto de efeito da deslocabilidade (esquerda ou direita) o momento será o dobro do outro abaixo.
kA
Barra 1
Barra 2
kD
Barra 3
k11, B2
k11, B1
k21
k22, B3
Barra 2
k12 K22, B2
Efeito da deslocabilidade: D1
k11 = k11, B1 + k11, B2
Efeito da deslocabilidade: D2
k22 = k22, B2 + k22, B3
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Portanto:
Efeito da deslocabilidade: D1 k11 = k11, B1 + k11, B2
Efeito da deslocabilidade: D2 k22 = k22, B2 + k22, B3
Sendo:
kA = coeficiente de rigidez no ponto A
kD = coeficiente de rigidez no ponto D
k11 = coeficiente de rigidez no ponto da deslocabilidade 1, sob o efeito de D1;
k21 = coeficiente de rigidez no ponto da deslocabilidade 2, sob o efeito de D1;
k12 = coeficiente de rigidez no ponto da deslocabilidade 1, sob o efeito de D2;
k22 = coeficiente de rigidez no ponto da deslocabilidade 2, sob o efeito de D2;
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5º) Passo: Equação Geral
Para uma deslocabilidade: 10 + k11 . D1 = 0
Para duas deslocabilidade: 10 + k11 . D1 + k12 . D2 = 0
i0 + k21 . D1 + k22. D2 = 0
Unidade (D): radianos (rad)
6º) Passo: Aplicação e Cálculo dos Esforços
Para o esforço MA (Reação no Engaste): MA0 = MA + kA . D1
Sendo D1 = deslocabilidade
Temos: MB,esq. = 10, B1 + k11, B1 . D1
Barra 1 Barra 2
D1A
C
Mi = i + ki . Dn
Momento de Engaste Perfeito
Coeficiente de Rigidez
𝐷1 = −
𝛽10
𝑘11
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
EXERCÍCIO RESOLVIDO:
Calcular as reações de apoio pelo método dos deslocamentos para a viga hiperestática abaixo:
40 kN
10 kN/m
30 kN/m
4,0 m 5,0 m
2,5 m
Dado: EI = 180.000 kN.m²
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
SOLUÇÃO:
1º) Passo: Apresentação do Sistema Hipergeométrico (SH)
2º) Passo: Análise das Barras Isoladas
Barra 1 Barra 2
D1
A D
(1)
(2)
A
D
Barra 1:
Barra 2:
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
3º) Passo: Cálculo do Momento de Engaste Perfeito ( Coeficiente )
Barra 1:
10, B1
MA
𝑀𝐴 =
𝑞. 𝑙²
30
𝛽10,𝐵1 = −
𝑞. 𝑙²
20
Observação:
No diagrama de momento fletor:
𝑀𝐴 = +
𝑞. 𝑙²
20
𝑀𝐵 = −
𝑞. 𝑙²
30
A B
Inverte!
𝑀𝐴 =
𝑞. 𝑙2
30
=
30. (4)²
30
= +16 𝑘𝑁.𝑚
𝛽10,𝐵1 = −
𝑞. 𝑙2
20
= −
30. 4 2
20
= −24 𝑘𝑁.𝑚
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
Barra 2:
10, B2
MD
𝑀𝐷 = −
𝑃. 𝑙
8
+
𝑞. 𝑙²
12
𝛽10,𝐵2 =
𝑃. 𝑙
8
−
𝑞. 𝑙²
12
𝛽10,𝐵2 =
40.5
8
−
10. 5 2
12
= +4,1667 kN.m
𝑀𝐷 = −
40.5
8
+
10. 5 2
12
= −4,1667 𝑘𝑁.𝑚
Portanto:
10 = 10, B1 + 10, B2
10 = (-24,0 kN.m) + (4,1667 kN.m)
10 = -19,833 kN.m
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
4º) Passo: Cálculo do Coeficiente de Rigidez (k)
Barra 1, efeito da deslocabilidade D1:
4,0 m
kA
k11, B1
𝑘𝐴 =
2𝐸𝐼
𝑙
𝑘11,𝐵1 =
4𝐸𝐼
𝑙
𝑘𝐴 =
2𝐸𝐼
𝑙
=
2. (180.000)
4,0
= 90.000 𝑘𝑁.𝑚/𝑟𝑎𝑑
𝑘11,𝐵1 =
4𝐸𝐼
𝑙
=
4. (180.000)
4,0
= 180.000 𝑘𝑁.𝑚/𝑟𝑎𝑑
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
5,0 m
kDk11, B2
4º) Passo: Cálculo do Coeficiente de Rigidez (k)
Barra 2, efeito da deslocabilidade D1:
𝑘𝐷 =
2𝐸𝐼
𝑙
𝑘11,𝐵2 =
4𝐸𝐼
𝑙
𝑘𝐷 =
2𝐸𝐼
𝑙
=
2. (180.000)
5,0
= 72.000 𝑘𝑁.𝑚/𝑟𝑎𝑑
𝑘11,𝐵2 =
4𝐸𝐼
𝑙
=
4. (180.000)
5,0
= 144.000 𝑘𝑁.𝑚/𝑟𝑎𝑑
Portanto:
k11 = k11, B1 + k11, B2
k11 = (180.000) + (144.000)
k11 = 324.000 kN.m/rad
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
5º) Passo: Equação Geral
Para uma deslocabilidade: 10 + k11 . D1 = 0 𝐷1 = −
𝛽10
𝑘11
𝐷1 = −
𝛽10
𝑘11
=
−19,833 𝑘𝑁.𝑚
324.000 𝑘𝑁.
𝑚
𝑟𝑎𝑑
𝐷1 = 6,121 𝑥 10
−5 𝑟𝑎𝑑
6º) Passo: Cálculo dos Esforços
Para a barra 1, teremos:
MA0 = MA + kA . D1
MA0 = 16 + (90.000) . (6,121x10
-5)
MA0 = 21,509 kN/m
MB,esq. = 10, B1 + k11, B1 . D1
MB,esq. = (-24,0) + (180.000) . (6,121x10
-5)
MB,esq. = - 12,981 kN.m
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Para a barra 2, teremos:
MD0 = MD + kD . D1
MD0 = (-4,1667) + (72.000) . (6,121x10
-5)
MD0 = 0,241 kN/m
MB,dir. = 10, B2 + k11, B2 . D1
MB,dir. = (4,1667) + (144.000) . (6,121x10
-5)
MB,dir. = 12,981 kN.m
7º) Passo: Cálculo das Reações de Apoio
MB = 0:
4. 𝑅𝐴 + 12,981 − 21,509 −
30 . 4
2
∙
1
3
∙ 4 = 0
4. 𝑅𝐴 = 88,528
𝑅𝐴 = 22,132 𝑘𝑁
TEORIA DAS ESTRUTURAS – MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS
5. 𝑅𝐷 + 12,981 + 10.5.2,5 + 0,241 − 40.2,5 = 0
5. 𝑅𝐷 = −38,222
𝑅𝐷 = −7,644 𝑘𝑁
MB = 0:
FY = 0: 𝑅𝐵 + 22,132 + 10.5 −
30 . 4
2
− 40 − 7,644 = 0
𝑅𝐵 = 35,512 𝑘𝑁