Resumo Resistência dos Materiais I | Torção Equilíbrio estático, hipóteses no estudo da torção, comportamento da seção durante a torção, tensões no regime elástico

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Equilíbrio estático, hipóteses no estudo da torção,
comportamento da seção durante a torção, tensões no
regime elástico
TORÇÃO
RESUMO | RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Quando temos um eixo circular submetido a um momento torçor nós temos a
situação abaixo no equilíbrio estático (onde a velocidade é igual a 0, corpo parado)
Entenda a representação: temos 3 eixos
perpendiculares entre si, o eixo x, o y e o z. A
figura mostra apenas um plano com os eixos y e
z, logo estamos vendo um corte do cilindro,
mostrando então sua área transversal, a
profundidade/altura dele está em um eixo que
não conseguimos ver, o eixo x. O eixo x está na
direção de "sair da tela".
Se pegarmos uma área bem pequena,
infinitesinal, dA dentro dessa área maior que
vemos do cilindro encontramos uma força
também infinitesimal dF. Observe que essa
força dF gera no cilindro uma tendência de
girar no sentido anti-horário (representada
pela seta curva). Logo, pela regra da mão
direita o torque é no eixo x, no sentido de
sair da tela!
Como existem diversas outras forças
atuando em diversas outras áreas
infinitesimais, o que gera o torque final é a
soma do torque de todas essas forças, cada
uma a uma distância ρ do centro de rotação
(coincide com o centro de gravidade nos
eixos circulares). 
Por isso representamos o torque final como
uma integral da força em toda a área do
cilindro.
y
z
x
EQUILÍBRIO ESTÁTICO
Como essas forças atuam de maneira
paralela à seção de corte que fizemos, se
recordarmos bem, elas geram uma tensão de
cisalhamento (𝜏). Sabemos que a tensão de
cisalhamento é dada pelo quociente da força
pela área. Como são forças e áreas
infinitesimais, temos a relação ao lado. 
Aplicando na primeira relação, temos:
Além do cisalhamento na seção, que foi utilizado na dedução anterior, há também
um cisalhamento na direção longitudinal:
O que precisamos entender, então, é que o esforço de torção gera tensões de
cisalhamento e é a partir disso que projetamos as peças submetidas à torção para
resitir ao seu esforço.
HIPÓTESES UTILIZADAS NO ESTUDO DA TORÇÃO
Para fazermos o estudo da torção utilizamos algumas hipóteses simplificadoras,
logo partimos delas para a resolução dos problemas:
HIPÓTESE 1: A barra é reta e a seção transversal é constante e circular/na forma de um
anel. Ou seja, teremos um cilindro maciço ou um cilindro vazado (cano).
HIPÓTESE 2: As seções transversais inicialmente planas, permanecem planas durante e
após a torção (Lei de Bernoulli). Ou seja, não existe empenamento, a seção
transversal não se inclina durante a torção.
Círculos permanecem circulares: sem empenamento;
Comprimento e raio do eixo não se alteram: regime de pequenas deformações;
As mudanças nos ângulos originalmente retos (ângulos entre as linhas
longitudinais) ocasionam uma distorção.
COMPORTAMENTO DA SEÇÃO CIRCULAR DURANTE A TORÇÃO
Quando aplicamos um momento torçor em um pedaço da barra circular, ela sofre
uma distorção, observe as linhas longitudinais na figura abaixo. Antes da
deformação as linhas estão retas e após a deformação elas estão "inclinadas", são
torcidas.
Em contrapartida, como sugerido pela hipótese 2, as retas radiais não sofrem
deformação, continuam retas.
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
ENTENDENDO A DISTORÇÃO
Se observarmos um cubo infinitesinal, quando
aplicamos uma tensão de cisalhamento nele é gerada
uma deformação, existe uma movimentação relativa
entre as faces. Essa deformação pode ser entendida
como o desvio angular em relação ao ângulo reto
original.
Numericamente, o ângulo de distorção γ é dado por
π/2 (90°) menos o ângulo novo após a deformação
(θ')
No nosso caso, a deformação é o ângulo gerado após a torção entre o plano original
e o plano deformado.
Arco = Ângulo . Raio 
por isso podemos dizer:
Então, um elemento submetido, unicamente, à
torção está submetido apenas à tensão de
cisalhamento. Os eixos circulares ao sofrerem
torção apresentam deformação de
cisalhamento γ.
Antes da torção, temos o plano original. ao
torcermos o eixo surge um novo plano
deformado e o ângulo entre o plano original e
o plano deformado é a distorção angular γ =
deformação de cisalhamento.
O nosso ângulo de deformação num ponto
qualquer é dado por semelhança entre ele e o
ângulo de torção:, já que os dois geram o
mesmo arco BB'
Pela relação de arcos com ângulos temos que: 
BB' = φ . ρ = γ . L
Se tivermos um ponto que está na borda da
seção, teremos que ρ = Raio da seção. Então
teremos o maior distorção nessa situação.
Podemos concluir que quanto mais próximo do
raio o ponto estiver maior vai ser a distorção
de cisalhamento. Como trabalhamos com
estruturas elásticas, já conseguimos inferir
que onde temos a maior deformação de
cisalhamento será onde teremos a maior
tensão de cisalhamento e então, onde estará
o ponto crítico (no raio R).
TENSÕES NO REGIME ELÁSTICO
No regime elástico é valida a Lei de Hooke
para o cisalhamento, então, sabemos que por
definição a tensão de cisalhamento é dada
pelo produto do módulo de elasticidade
transversal (G) pela deformação de
cisalhamento (γ).
Com essa relação conseguimos substituir a
tensão que temos em um ponto qualquer, que
varia da origem ao R, para chegar na tensão
máxima. Vemos então que a tensão máxima
estará aplicada na borda do cilindro.
Na situação vazada teremos além da tensão
máxima, uma tensão mínima também.
Como definimos anteriormente que o torque é
a integral do produto de ρ pela tensão de
cisalhamento em relação a área dA e, agora,
que a tensão de cisalhamento é o quociente
de ρ com o raio pela tensão máxima,
conseguimos uma nova relação para o torque
apresentada ao lado.
Essa nova relação nos mostra que o momento
polar de inércia está relacionado com a
tensão desenvolvida.
MÓDULO DE RESISTÊNCIA À TORÇÃO
O módulo de resistência à torção (Wt) é a forma de expressar todas as propriedades
geométricas em uma única variável universal, para o cálculo das tensões de torção.
O módulo representa que, quanto maior for o seu valor, maior o torque que temos
que aplicar para extrapolar a tensão máxima. Ou, por outro lado, se tivermos um
módulo de resistência menor vamos atingir uma tensão máxima com um torque
menor.
CONDIÇÃO DE RESISTÊNCIA
Temos que garantir que a tensão máxima seja menor ou igual à tensão admissível
(conceituada como o quociente da tensão última de cisalhamento pelo coeficiente de
segurança)
REFERÊNCIAS DE ESTUDO:
BEER, F. P., JOHNSTON, E. R., DEWOLF, J. T. e MAZUREK, D. F. Mecânica dos Materiais. 5ª ed. Porto
Alegre: McGrawHill, 2011. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7ª ed. São Paulo: Pearson, 2009.