Resumo Resistência dos Materiais I | Torção Momento polar de inércia e ângulo de torção no regime elástico

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Momento polar de inércia e ângulo de torção
no regime elástico,
TORÇÃO
RESUMO | RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
O momento polar de inércia é uma medida da resistência de uma seção transversal
à torção. Quanto maior o momento polar de inércia, mais resistente será a seção à
torção. Ele é uma propriedade fundamental nas estruturas sujeitas a esforços de
torção e representa a distribuição da massa ou da área em torno de um eixo central. 
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA
Exemplos:
Imagine uma barra cilíndrica. O momento polar de inércia dessa barra depende do raio da
seção transversal. Quanto maior o raio, maior será o momento polar de inércia e, portanto,
maior será a resistência da barra à torção.
Agora imagine um tubo. Nesse caso, o momento polar de inércia é calculado considerando
tanto o raio externo quanto o raio interno da seção. A diferença entre os dois raios
influencia diretamente o valor do momento polar de inércia e, consequentemente, a
resistência à torção.
Lembrando que ρ é a distância a origem e o elemente de
área dA.
Faremos a dedução do momento polar de inércia para seções transversais vazadas e
maciças:
A partir da relação acima de uma integral, vamos
encontrar uma nova relação para descrever o
momento polar de inércia. Vamos partir de um eixo
vazado, porém conseguiremos a relação para eixos
maciços também.
A área da área infinitesimal dA, se obseravarmos o
desenho, pode ser dada por (dρ.dθ). Isso porque por
ser muito pequena, conseguimos desconsiderar a
parte curva de dθ.
Como estamos analisando um eixo vazado,
precisamos variar, em ρ, o raio do raio menor r ao
raio maior R. e, em θ, de 0 a 2π (toda a
circunferência em radianos).
Quando integramos o dθ, chegamos ao primeiro
resultado e, depois, quando integramos o dρ
chegamos ao resultado final.
Se o eixo fosse maciço o raio variaria de 0 a R e não
de r a R, então para a seção maciça basta por o 0 no
lugar do r.
Outra forma mais simples de calcular o momento de inércia polar de uma superfície é
a partir dos momentos de inércia retangulares Ix e Iy da superfície, como
aprendemos em Mecânica. 
Já falamos da deformação de cisalhamento, ou distorção, agora falaremos sobre o
ângulo de torção, que é o ângulop relativo entre uma face e outra, o ângulo φ.
ÂNGULO DE TORÇÃO 
Da relação que já vimos do arco BB', temos a
relação de φ com o ângulo de torção γ. Porém, agora
queremos a relação de φ com o momento de torção
T.
REFERÊNCIAS DE ESTUDO:
BEER, F. P., JOHNSTON, E. R., DEWOLF, J. T. e MAZUREK, D. F. Mecânica dos Materiais. 5ª ed. Porto
Alegre: McGrawHill, 2011. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7ª ed. São Paulo: Pearson, 2009.
De maneira geral, podemos dizer que a rotação
entre B e A é dada pelo ângulo dφ. A rotação
relativa de B em relação ao ponto A é a integral de
dφ considerando B em relação a A.
Podemos dizer que temos a deformação devido ao
cisalhamento sobre R em dx. Daí substituímos a
deformação de cisalhamento para a sua relação com
a tensão de cisalhamento.
Desenvolvendo, chegamos à relação do ângulo de
torção com o momento de torção e o momento polar
de inércia.
Como trabalhamos no caso particular em que o G.J é
constante e o momento de torção também é
constante, temos a relação simplificada.