Tópico 4 MF - Cinematica dos Fluidos parte 2

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Pato Branco
Departamento de Engenharia Mecânica
Cinemática dos 
Fluidos
Cap 4 – Eq. Básicas na forma integral para 
um volume de controle
Fox – Introdução à Mecânica dos Fluidos
Profª Geocris Rodrigues
Tópicos
Quantidade de movimento para volume de • controle 
inercial
Teorema de Transporte de Reynolds 
Chega• -se a Equação geral do Teorema de Reynolds:
Taxa de variação da 
propriedade extensiva N do 
sistema
Taxa da variação da 
propriedade N dentro 
do volume de controle
Taxa líquida de 
fluxo da 
propriedade 
extensiva N 
através da 
superfície de 
controle
Digite a equação aqui.
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Quantidade de Movimento ou Segunda 
Lei de Newton para Sistemas 
𝐺 = 𝑃 = 𝑚𝑉
𝑔 =
𝑚𝑉
𝑚
= 𝑉
𝑑𝐺𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
∀𝐶
𝑔𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑔𝜌𝑉. 𝑑 Ԧ𝐴
𝑑𝑃𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
∀𝐶
𝑉𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑉𝜌𝑉. 𝑑 Ԧ𝐴
𝑑(𝑚𝑉)𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
න
∀𝐶
𝑉𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑉𝜌𝑉. 𝑑 Ԧ𝐴
𝑚
𝑑(𝑉)𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
= Ԧ𝐹 =
𝜕
𝜕𝑡
න
∀𝐶
𝑉𝜌𝑑∀ + න
𝑆𝐶
𝑉𝜌𝑉. 𝑑 Ԧ𝐴
Quantidade de Movimento ou Segunda 
Lei de Newton para Sistemas 
Quando o SC e o VC coincidem, • as forças que atuam sobre o 
sistema são iguais as forças sobre o volume de controle, e 
aplicando o Teorema de Transporte de Reynolds para o 
volume de controle coincidente, tem-se:
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑠 + 𝐹𝐵 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝜌𝑑∀ +න
𝑆𝐶
𝑉𝜌𝑉. 𝑑 Ԧ𝐴
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ou seja, o somatório de todas as forças (de superfície e de campo) 
atuando sobre um volume de controle não submetido à aceleração 
é igual à soma da taxa de variação do momentum no interior do 
volume de controle com a taxa líquida de fluxo de momentum 
saindo da superfície de controle.
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Quantidade de Movimento ou Segunda 
Lei de Newton para Sistemas 
• Força de campo total que age sobre o volume de controle:
Ԧ𝐹𝐵 = න
∀𝐶
𝜌 Ԧ𝑔𝑑∀ = 𝑚∀𝐶 Ԧ𝑔
Força de superfície total que •
sobre a superfície de controle:
Ԧ𝐹𝑠 = න
𝑠𝐶
𝑝 ො𝑛𝑑𝐴 = 𝑝ෝ𝑛𝐴
𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝜎𝑖𝑗
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Quantidade de Movimento ou Segunda 
Lei de Newton para Sistemas 
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑠 + 𝐹𝐵 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝜌𝑑∀ +න
𝑆𝐶
𝑉𝜌𝑉. 𝑑 Ԧ𝐴
Para os casos de escoamento uniforme em cada entrada e saída:
saída:
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑠 + 𝐹𝐵 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝜌𝑑∀ +෍
𝑆𝐶
𝑉𝜌𝑉. Ԧ𝐴
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Quantidade de Movimento ou Segunda 
Lei de Newton para Sistemas 
Lembrando que:
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑠 + 𝐹𝐵 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝜌𝑑∀ +෍
𝑆𝐶
𝑉𝜌𝑉. Ԧ𝐴
𝐹𝑥 = 𝐹𝑠𝑥 + 𝐹𝐵𝑥 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑢 𝜌𝑑∀ +෍
𝑆𝐶
𝑢 𝜌𝑉. Ԧ𝐴
𝐹𝑦 = 𝐹𝑠𝑦 + 𝐹𝐵𝑦 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑣 𝜌𝑑∀ +෍
𝑆𝐶
𝑣 𝜌𝑉. Ԧ𝐴
𝐹𝑧 = 𝐹𝑠𝑧 + 𝐹𝐵𝑧 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑤 𝜌𝑑∀ +෍
𝑆𝐶
𝑤 𝜌𝑉. Ԧ𝐴
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Quantidade de Movimento ou Segunda 
Lei de Newton para Sistemas 
Outra maneira de escrever:
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑠 + 𝐹𝐵 =
𝜕
𝜕𝑡
න
𝑉𝐶
𝑉𝜌𝑑∀ +෍
𝑆𝐶
ሶ𝑚𝑉
Em regime permanente:
Ԧ𝐹 = 𝐹𝑠 + 𝐹𝐵 =෍
𝑆𝐶
ሶ𝑚𝑉
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Resposta: 668,4 N
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Problema 6.42 Cengel – As grandes turbinas eólicas disponíveis 
comercialmente incluem diâmetros de até 100m e geram mais de 
3MW de potência elétrica em condições ótimas de projeto. 
Considere uma turbina eólica com envergadura das pás de 60m e 
sujeita a ventos constante de 30km/h. Como já é conhecido, parte 
da energia cinética do vento é convertida em potência e parte da 
energia cinética que não é usada, sai da turbina com uma 
velocidade de 24 km/h. 
Calcule a força horizontal exercida pelo vento sobre o mastro de 
suporte da turbina. Despreze o atrito.
Considere 
densidade do ar: 
1,25 kg/m3
Exercícios
Problema • 5.38 Munson Uma placa circular com diâmetro de 
300mm é mantida perpendicular à um jato horizontal 
axissimétrico de ar que apresenta velocidade e diâmetro 
iguais a 40m/s e 80mm. Um furo no centro da placa cria um 
outro jato de ar que também apresenta velocidade igual a 
40m/s mas 20mm de diâmetro. Determine a componente 
horizontal da força necessária para imobilizar a placa circular.
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Resposta: 9,27N
Considere 
densidade do ar: 
1,23 kg/m3
Exercícios
Problema • 5.50 Munson A figura mostra um jato vertical e 
circular de ar atingindo um defletor cônico. Note que é 
necessária uma força de 0,1 N para imobilizar o cone. Nestas 
condições, determine a massa do defletor. Admita que o 
módulo do vetor velocidade é constante em todo o 
escoamento. 
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Considere 
densidade do ar: 
1,23 kg/m3
Resposta: 0,108 kg
Exercícios
Problema • 5.66 Munson A figura mostra a interação de um 
jato horizontal de água com uma pá de uma turbina Pelton. O 
jato deixa o bocal com velocidade de 30m/s. Determine a 
componente na direção x da força necessária para imobilizar a 
pá. 
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Resposta: 754,2 N
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FOX – 8ª edição:
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