Base

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Base
Integrantes: Leonardo Krutzsch, Gustavo 
Weldt, Guilherme Weldt e Fabricio Sartor.
DE UM ESPAÇO VETORIAL
Conceito de Base
A base é um conjunto mínimo de vetores que podem ser usados 
para representar todos os outros vetores do espaço vetorial através 
de combinações lineares. 
Ou seja, são linearmente independentes e que geram o espaço por 
meio das combinações lineares.
● Linearmente independente: Os vetores na base não podem ser 
expressos como uma combinação linear dos outros vetores da 
base. Isso significa que nenhum vetor na base pode ser 
redundante.
● Geração do espaço: Qualquer vetor no espaço vetorial pode ser 
expressado como uma combinação linear dos vetores da base. 
Propriedades da Base
O que são as combinações lineares da 
base de um espaço vetorial?
São as expressões formadas ao multiplicar os vetores da base por 
constantes e consequentemente, somá-los. 
Em um espaço vetorial, qualquer vetor pode ser representado 
como uma combinação linear dos vetores da base.
 
 Os vetores e = (1,0) e ē₂ = (0,1) formam uma base para R².
os vetores ē = (1,0,0), ē₂ = (0,1,0) e ē3 = (0,0,1) formam uma base para R³.
Exemplo 1
{(1, 1),(0, 1)} é uma base para R². 
Tomando a equação: α1(1, 1) + α2(0, 1) = (0, 0) ⇒ ⇒ α1 = 0 α1 + α2 = 0 
Obtemos um sistema que tem solução: α1 = α2 = 0. Logo, {(1, 0),(0, 1)} é L.I. 
Além disso, {(1, 0),(0, 1)} gera todo o R² , uma vez que todo v = (x, y) ∈ R². 
pode ser escrito como (x, y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1). Assim, {(1, 0),(0, 1)} é 
uma base para R² . 
Como era de se esperar, dim(R²) = 2
Exemplo 2
{(1, 0),(0, 1),(2, 1)} NÃO é uma base para R² . 
Podemos escrever o elemento (2, 1) como combinação linear de (1, 0) e 
(0, 1) da forma: (2, 1) = 2(1, 0) + 1(0, 1) ⇒ 2(1, 0) + 1(0, 1) − 1(2, 1) = 
(0,0). 
Portanto, temos que {(1, 0),(0, 1),(2, 1)} não é L.I., então não pode ser 
uma base para R² .
● É utilizada em diversos campos de atuação, como na matemática, 
física e ciência da computação.
● Aplicações comuns:
○ Sistema de coordenadas
○ Compreensão de dados 
Aplicações reais da Base
Dúvidas?