Avaliação 3 (base, subespaço, dimensão, intersecção de planos)

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Universidade Federal de Itajuba´ - Campus Itabira
Nome Matr´ıcula
Avaliac¸a˜o a ser feita individualmente. NA˜O use calculadoras, celulares, tablets ou semelhantes
e na˜o consulte outro colega. E´ necessa´ria correta soluc¸a˜o para pontuac¸a˜o.
Avaliac¸a˜o 3 - A3
Data: 07/05/2018
(1.6 ponto)
QUESTA˜O 1: Considere os vetores ~v1 = (4, 2,−3), ~v2 = (2, 1,−2) e ~v3 = (−2,−1, 0).
(a) Mostre que o conjunto {~v1, ~v2, ~v3} e´ linearmente dependente.
(b) Se for poss´ıvel, escreva ~v1 como combinac¸a˜o linear dos vetores ~v2 e ~v3.
(c) Mostre que o conjunto {~v1, ~v2} e´ linearmente independente.
(d) Qual a dimensa˜o do subespac¸o gerado por {~v1, ~v2, ~v3}.
1
(1.2 ponto)
QUESTA˜O 2: Considere o sistema homogeˆneo AX = 0 onde
A =
 1 1 2 −12 3 6 −2
−2 1 2 2

(a) Escreva o subespac¸o W de R4 dado pelo conjunto soluc¸a˜o deste sistema linear homogeˆneo
(b) Encontre um conjunto de geradores para W .
(c) Determine uma base para W .
2
(2.4 ponto)
QUESTA˜O 3: Considere os planos
pi1 : 2x+ y + 4z − 4 = 0
pi2 : 2x− y + 2z = 0.
(a) Quais sa˜o os vetores normais N1 e N2, respectivamente, aos planos pi1 e pi2?
(b) Determine o vetor diretor da reta r determinada pela intersec¸a˜o destes planos, pi1 ∩ pi2.
(c) Encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta r que passa pelo ponto P0 = (0, 4/3, 2/3).
(e) Escreva o conjunto gerador da intersec¸a˜o pi1 ∩ pi2.
(f) Este conjunto gerador e´ linearmente dependente ou linearmente independente? Justifique.
(g) Escreva uma base para a reta r.
3