Base, dimensão e produto interno.

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GAAL - Lista de Exerc´ıcios - 4
Vetores LI e LD. Base e Dimensa˜o. Produto escalar em Rn.
Exerc´ıcio 1: Considere os seguintes vetores em R3.
V1 = (1,−1, 1) V2 = (4,−2, 0) V3 = (0,−1, 2).
(a) Estes vetores sa˜o LI ou LD?
(b) Caso sejam LD, expresse um deles como combinac¸a˜o linear dos demais.
Exerc´ıcio 2: Sejam U , V e W vetores quaisquer de Rn. Mostre que os vetores
R = U + 3V − 2W , S = 4U + 7V + 2W e T = 5U + 8V + 4W
sa˜o linearmente dependentes exibindo explicitamente uma combinac¸a˜o linear nula
(na˜o trivial) entre R, S e T .
Exerc´ıcio 3: Considere o seguinte subespac¸o de R3.
W = {(a− b+ c, 2a+ b+ 5c, b+ c) ∈ R3, ∀ a, b, c ∈ R}.
(a) Determine uma base e a dimensa˜o de W .
(b) Complete esta base ate´ uma base de R3.
Exerc´ıcio 4: Considere o seguinte subconjunto de R3.
W = {(a− b+ 5c, 2a+ 3b, a+ 4b− 5c) ∈ R3, ∀ a, b, c ∈ R}.
Ele e´ um subespac¸o de R3? Se for, determine uma base ortogonal para W .
Exerc´ıcio 5: Considere o seguinte subconjunto de R3:
W =
{
V ∈ R3 tal que V e´ ortogonal ao vetor V0 = (2,−1, 1)
}
.
Descreva geometricamente este conjunto W e determine sua equac¸a˜o geral. Determine
tambe´m um par de vetores unita´rios em W e que sejam perpendiculares entre si, ou
seja, determine uma base ortonormal de W .
Exerc´ıcio 6: Se V1 = (1, 0, 0,−1) e V2 = (1, 1, 1, 0), considere o seguinte subespac¸o W
de R4:
V ∈ W se, e somente se, V e´ ortogonal a V1 e V e´ ortogonal a V2.
(a) Calcule uma base e a dimensa˜o de W .
(b) Os vetores V1 e V2 e V3 = (4, 3, 3,−2) sa˜o LI ou LD? Justifique sua resposta.
Exerc´ıcio 7: Seja W o subespac¸o de R4 gerado pelos vetores
V1 = (1, 2, 0, 1), V2 = (0, 1, 1,−1), V3 = (2, 6, 2, 0) e V4 = (−1, 1, 3,−4).
(a) Mostre que os vetores V1, V2, V3 e V4 sa˜o linearmente dependentes.
(b) Determine a dimensa˜o de W .
(c) Encontre uma base ortogonal para W .
Exerc´ıcio 8: Seja W o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear homogeˆneo AX = 0, em que
A =
 1 −1 −1 04 −5 −5 −1
−2 3 3 1
 .
(a) W e´ um subspac¸o de qual Rn?
(b) Determine a dimensa˜o e uma base para W .
(c) Determine uma base ortogonal de W .
Exerc´ıcio 9: Considere o sistema linear homogeˆneo (A− λI3)X = 0 em que
A =
 1 1 20 1 0
0 1 3
 .
(a) Determine os valores de λ para os quais o sistema tem soluc¸a˜o na˜o trivial.
(b) Para cada valor encontrado no item anterior, calcule a dimensa˜o e uma base para
o conjunto soluc¸a˜o do sistema linear correspondente.
Exerc´ıcio 10:
(a) Existem dois vetores que geram R3 ?
(b) Existem quatro vetores LI em R3 ?
(c) Se W e´ um subespac¸o de dimensa˜o 3 de R5, qual e´ o nu´mero ma´ximo de vetores
LI em W ?
(d) Se W e´ um subespac¸o de R5 e se V1, V2 e V3 sa˜o vetores LI em W , o que podemos
dizer sobre dim(W ) ?
- FIM -