Aula_01_-_Potenciação,_Radiciação,_Produt _Notável_e_Fatoração_-_CN_2024-268-270

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Prof. Ismael Santos 
 
 
 
AULA 01 – POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
Gabarito: C 
 (CN-1999) 
Se 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟎 𝒆 𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟒𝒛 = 𝟎, com 𝒛 ≠ 𝟎, o valor da expressão 
𝒙𝟐+𝟑𝒙𝒚
𝒚𝟐+𝒛𝟐
 é: 
a) 7 
b) 2 
c) 0 
d) −
𝟐𝟎
𝟏𝟕
 
e) −2 
 
Comentários: 
Somando as 2 equações, temos que 
(𝟐𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝒛) + (𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟒𝒛) = 𝟑𝒙 − 𝟏𝟓𝒛 = 𝟎 
𝒙 = 𝟓𝒛 
Substituindo na primeira equação, temos que 
𝟐. 𝟓𝒛 − 𝟑𝒚 − 𝒛 = 𝟗𝒛 − 𝟑𝒚 = 𝟎 → 𝟑𝒚 = 𝟗𝒛 
𝒚 = 𝟑𝒛 
Dessa forma 
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚
𝒚𝟐 + 𝒛𝟐
=
(𝟓𝐳)𝟐 + 𝟑. 𝟓𝒛. 𝟑𝒛
(𝟑𝒛)𝟐 + 𝒛𝟐
=
𝟐𝟓𝒛𝟐 + 𝟒𝟓𝒛𝟐
𝟗𝒛𝟐 + 𝒛𝟐
=
(𝟕𝟎𝒛𝟐)
𝟏𝟎𝒛𝟐
= 𝟕 
Gabarito: A 
 Dois números reais não-nulos a e b são tais que 𝒂𝒃 = 𝒂 − 𝒃. Um possível valor de 
𝒂
𝒃
+
𝒃
𝒂
− 𝒂𝒃 é: 
a) – 2 
b) – 0,5 
c) 1 
d) 0,5 
e) 2 
 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
 
 
Comentário: 
 Do enunciado, temos: 
𝑎𝑏 = 𝑎 − 𝑏 
 Queremos: 
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
− 𝑎𝑏 
𝑎
𝑏
+
𝑏
𝑎
− 𝑎 + 𝑏 
𝑎
𝑏
− 𝑎 +
𝑏
𝑎
+ 𝑏 
𝑎 . (
1
𝑏
− 1) + 𝑏 . (
1
𝑎
+ 1) 
𝑎 . (
1 − 𝑏
𝑏
) + 𝑏 . (
1 + 𝑎
𝑎
) 
(
𝑎 − 𝑎𝑏
𝑏
) + (
𝑏 + 𝑎𝑏
𝑎
) 
(
𝑎 − 𝑎 + 𝑏
𝑏
) + (
𝑏 + 𝑎 − 𝑏
𝑎
) 
(
𝑏
𝑏
) + (
𝑎
𝑎
) 
1 + 1 
2 
Gabarito: E 
 
Os inteiros positivos a, b, c, d são tais que 𝒂𝒃𝒄𝒅 + 𝒂𝒃𝒄 + 𝒃𝒄𝒅 + 𝒄𝒅𝒂 + 𝒅𝒂𝒃 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝒄 + 𝒄𝒅 +
𝒅𝒂 + 𝒂𝒄 + 𝒃𝒅 + 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 = 𝟐𝟎𝟎𝟗. O valor de 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 é: 
a) 73 
b) 75 
c) 77 
 
 
 
 
 
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AULA 01 – POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO, PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
d) 79 
e) 81 
 
Comentário: 
 Do enunciado, temos que: 
𝑎𝑏𝑐𝑑 + 𝑎𝑏𝑐 + 𝑏𝑐𝑑 + 𝑐𝑑𝑎 + 𝑑𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑑 + 𝑑𝑎 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 2009 
𝑎𝑏𝑐𝑑 + 𝑏𝑐(𝑎 + 𝑑) + 𝑐𝑑𝑎 + 𝑑𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑑 + 𝑐𝑑 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑑𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 2009 
𝑎𝑏𝑐𝑑 + 𝑏𝑐(𝑎 + 𝑑) + 𝑐𝑑𝑎 + 𝑑𝑎𝑏 + 𝑏(𝑎 + 𝑑) + 𝑐(𝑎 + 𝑑) + 𝑏𝑐 + 𝑑𝑎 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 2009 
𝑏𝑐(𝑎 + 𝑑) + 𝑏(𝑎 + 𝑑) + 𝑐(𝑎 + 𝑑) + (𝑎 + 𝑑) + 𝑎𝑏𝑐𝑑 + 𝑐𝑑𝑎 + 𝑑𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑑𝑎 + 𝑏 + 𝑐
= 2009 
(𝑎 + 𝑑)(𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑐 + 1) + 𝑎𝑑(𝑏𝑐 + 𝑐 + 𝑏) + 𝑑𝑎 + 𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑐 = 2009 
(𝑎 + 𝑑)(𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑐 + 1) + 𝑎𝑑(𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑐 + 1) + 𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑐 = 2009 
(𝑎 + 𝑑)(𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑐 + 1) + 𝑎𝑑(𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑐 + 1) + 𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑐 + 1 = 2010 
(𝑎𝑑 + 𝑎 + 𝑑 + 1)(𝑏𝑐 + 𝑏 + 𝑐 + 1) = 2010 
[𝑎(𝑑 + 1) + 𝑑 + 1][𝑏(𝑐 + 1) + 𝑐 + 1] = 2010 
(𝑎 + 1)(𝑏 + 1)(𝑐 + 1)(𝑑 + 1) = 2010 
(𝑎 + 1)(𝑏 + 1)(𝑐 + 1)(𝑑 + 1) = 2. 3 . 5 .67 
 Como a, b, c, d são inteiros positivos, podemos assumir, sem perda de generalidade, que: 
𝑎 + 1 = 2 
𝑎 = 1 
 
𝑏 + 1 = 3 
𝑏 = 2 
 
𝑐 + 1 = 5 
𝑐 = 4