Resumo Resistência dos Materiais I | Propriedades Geométricas Momento estático de área, centroide e momento de inércia

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Momento estático de área, centroide,
momento de inércia.
PROPRIEDADES
GEOMÉTRICAS
RESUMO | RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
O momento estático de área, também conhecido como momento de primeira ordem ou
momento de área, é uma propriedade geométrica de uma seção transversal de um objeto.
Ele descreve a distribuição da área em relação a um eixo de referência e representa a
contribuição da área para o momento total em relação a esse eixo.
O momento estático infinitesimal em
relação ao eixo x, dQx, é a área dA
multiplicada pela distância da área até o
eixo x, que é y;
O momento estático infinitesimal em
relação ao eixo y, dQy, é a área dA
multiplicada pela distância da área até o
eixo y, que é x. 
Por definição, se temos uma área A qualquer
posicionada em relação à um eixo xy, os
momentos estáticos infinitesimais de uma
área infinitesimal dA são dados da seguinte
forma:
Ao integrarmos os dois lados da equação
chegamos às relações do momento estático
em relação ao eixo x e ao eixo y apresentadas
ao lado.
MOMENTO ESTÁTICO DE ÁREA - MOMENTO DE PRIMEIRA ORDEM
CENTROIDE
O centroide de uma figura é o ponto que representa o centro médio de massa ou peso da
figura. Ele é calculado com base na distribuição de massa ou de área e é usado em vários
cálculos como o momento de inércia e a resistência à flexão, que veremos adiante.
Veremos de forma simplificada como é calculada a posição do centróide de uma figura.
Não faremos a dedução da determinação das coordenadas do centróide das figuras, porém
apresentaremos abaixo as principais formas geométricas com suas respectivas
coordenadas de x e y do centróide para uso nas resoluções de problemas:
Seja o momento estático de área de uma
figura qualquer em relação ao eixo y, dado
pela integral de x dA. Ele também pode ser
escrito como a distância do centróide até o
eixo vezes a área. Quando rearranjamos a
equação, encontramos a posição x do
centróide.
Analogamento, podemos fazer o mesmo com o
momento estático em relação ao eixo x para
encontrarmos a posição y do centróide.
Outra maneira de obter o centróide de uma
area é pensando nos eixos de simetria, já que
o centróide sempre estará posicionado em
cima do eixo de simetria.
RE
TÂ
N
G
U
LO
TR
IÂ
N
G
U
LO
Q
U
A
RT
O
 D
E
C
ÍR
C
U
LO
*eixos posicionados com a origem no centróide
Quando temos uma figura mais complexa,
podemos dividí-la em diversas sub-figuras no
formato de áreas onde conhecemos a
enquação de centróides.
A figura ao lado por exemplo pode ser
decomposta em vários retângulos. 
Basta encontrarmos as coordenadas de cada
retângulo e depois somá-las para
encontrarmos as coordenadas do centróide
da figura final.
Dessa maneira temos que os valores de x do
centróide e y do centróide.
CENTROIDE DE ÁREAS COMPOSTAS
O momento de inércia também é uma propriedade geométrica de uma seção transversal que
descreve a distribuição da área em relação a um eixo específico. Ele é uma medida da
resistência da seção à flexão e é amplamente utilizado em análises e cálculos estruturais.
MOMENTO DE INÉRCIA - MOMENTO DE SEGUNDA ORDEM
O momento de inércia em relação ao eixo
x, é dado pela integral de y² em relação à
área dA;
O momento de inércia em relação ao eixo
y, é dado pela integral de x² em relação à
área dA;
Sempre lembrar que é a distância
perpendicular ao eixo que estamos
considerando! Perceba que quanto mais a
área se afasta do eixo, maior é o momento de
inércia.
Isso nos lembra do braço de giro/braço de
alavanca. O momento de inércia está
relacionado com a capacidade de uma seção
resistir ao giro em relação ao eixo.
Novamente, não faremos a dedução da determinação dos momentos de inércia das figuras,
porém apresentaremos abaixo as mesmas formas geométricas com seus respectivos
momentos de inércia.
*eixos posicionados com a origem no centróide
RE
TÂ
N
G
U
LO
TR
IÂ
N
G
U
LO
Q
U
A
RT
O
 D
E
C
ÍR
C
U
LO
O teorema dos eixos paralelos, também conhecido como teorema de Steiner, é uma
importante relação utilizada no cálculo do momento de inércia de uma figura em relação a
um eixo paralelo a um eixo conhecido. Esse teorema permite determinar o momento de
inércia de uma figura em relação a um eixo paralelo, conhecendo o momento de inércia da
mesma figura em relação a um eixo de referência.
TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
O momento de inércia de uma figura em relação a
um eixo paralelo é igual à soma do momento de
inércia em relação ao eixo de referência
conhecido e do produto da área da figura pela
distância ao quadrado entre os dois eixos.
Esse teorema é útil quando queremos calcular o
momento de inércia de uma figura em relação a
um eixo que não passa pelo centroide da figura.
Ele permite que o cálculo seja realizado de
maneira mais simples, aproveitando o
conhecimento do momento de inércia em relação
a um eixo de referência passando pelo centroide
da figura.
REFERÊNCIAS DE ESTUDO:
BEER, F. P., JOHNSTON, E. R., DEWOLF, J. T. e MAZUREK, D. F. Mecânica dos Materiais. 5ª ed. Porto Alegre: McGrawHill, 2011. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7ª ed. São Paulo: Pearson, 2009.
Assim como no cálculo das coordenadas de
figuras mais complexas, no cálculo do
momento de inércia delas também podemos
dividí-las em sub-figuras no formato de áreas
onde conhecemos a enquação de momento de
inércia.
A figura ao lado por exemplo pode ser
decomposta em 3 retângulos. 
O momento de inércia da figura completa em
relação ao eixo de interesse é dado pela soma
dos momentos de inércia de cada uma das
figuras separadas.
MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREAS COMPOSTAS