Webaula 2 - Matemática aplicada e bioestatística - Prof. Iury Sousa e Silva

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MATEMÁTICA APLICADA E 
BIOESTATÍSTICA
WEBAULA 2
Prof. Dr. Iury Sousa e Silva
O CONCEITO DE LIMITE
• As operações relacionadas à ideia de limite serão necessárias para 
compreensão das ideias de diferenciação e de integração
• Será usada uma abordagem intuitiva que será feita através de exemplos 
específicos
O CONCEITO DE LIMITE
O CONCEITO DE LIMITE
O CONCEITO DE LIMITE
O CONCEITO DE LIMITE
O CONCEITO DE LIMITE
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA
• Os gregos definiram a reta tangente a um ponto de uma circunferência 
como sendo a reta que toca a circunferência neste ponto e é perpendicular 
ao raio no ponto de tangência
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA
• Definimos a reta tangente à uma curva em como sendo aquela que passa 
por P e que tem declive “m ” (podemos interpretar a tangente como o 
limite de uma família de secantes). 
• Observe que fazer Q se aproximar de P é o mesmo que fazer Δx se 
aproximar de zero na razão incremental.
• Quando fazemos Δx → 0 , e a razão incremental se aproxima de um valor 
finito, dizemos que “m ” é o limite da razão incremental com Δx → 0 , e 
escrevemos:
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA
• Esse quociente que representa a taxa instantânea de variação é chamado 
de derivada da função f, que é expressa por uma das notações a seguir:
INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA
Exemplo
Exemplo
Regras de derivação – Derivadas de funções 
básicas
Regras de derivação
Exemplo
Derivando um monômio (regra do tombo)
Calcule a derivada da seguinte função f’(x):
Regra: o expoente cai multiplicando e subtraímos 1 do 
expoente.
Exemplo
Derivando um monômio (regra do tombo)
Calcule a derivada da seguinte função f’(x):
Regra: o expoente cai multiplicando e subtraímos 1 do 
expoente.
Exemplo
Calcule a derivada da seguinte função f’(x):
Exemplo
Calcule a derivada da seguinte função f’(x):
Exemplo
Calcule a derivada das seguintes funções f’(x):
Exemplo
Calcule a derivada das seguintes funções f’(x):
Exemplo
Calcule a derivada das seguintes funções f’(x):
Regra do produto
Exemplo
Calcule a derivada das seguintes funções f’(x):
Derivadas das funções logarítmica e exponencial
Derivadas das funções logarítmica e exponencial
Exemplo
Exemplo: Solução
 
2
21')(''
P
k
PkPk
dP
d
dP
dS
PS −=−=== −−
Noções sobre Integração
• Antidiferenciação: a integral indefinida
• Em muitos problemas, a derivada de uma função é conhecida, e o objetivo 
é encontrar a própria função. 
• Por exemplo, um físico que conhece a velocidade de um corpo em 
movimento pode querer calcular a posição do corpo em um tempo 
qualquer; um biólogo que conhece a taxa de variação de uma população 
pode estar interessado em usar essa informação para prever qual será a 
população em algum instante.
• A operação inversa da diferenciação (derivação) é chamada 
antidiferenciação ou integração indefinida, e a função obtida por esse 
processo é chamada antiderivada. Assim, temos a seguinte definição : “ 
Uma função F é uma antiderivada de f em um intervalo I se F’(x) = f(x) para 
todo x em I ”.
A notação:
• onde F’(x) = f(x) e C é uma constante arbitrária, denota a família de todas 
as antiderivadas de f(x) em um intervalo I.
Propriedades da integral indefinida
Propriedades da integral indefinida
Exemplo
Exemplo
Exemplo
• De acordo com uma das leis de Poiseuille para o fluxo de sangue em 
uma artéria, se V(r) é a velocidade do sangue a r cm do eixo central da 
artéria, a taxa de variação da velocidade com r é inversamente 
proporcional a r, ou seja:
V’(r) = - ar,
onde a é uma constante positiva. Escreva uma expressão para V(r), 
supondo V(R) = 0, onde R é o raio da artéria.
Exemplo
Exemplo
Integral definida e teorema fundamental do 
cálculo
• Propriedades da integral definida (existe um limite de integração)
Teorema fundamental do cálculo
Teorema fundamental do cálculo
Teorema fundamental do cálculo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Cálculo de área sob curva f(x) no intervalo [a,b]
Exemplo
Exemplo
Prof. Dr. Iury Sousa e Silva
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OBRIGADO
	MODELO DE ENTRADA
	Slide 1
	MODELO TEXTO
	Slide 2: O CONCEITO DE LIMITE
	Slide 3: O CONCEITO DE LIMITE
	Slide 4: O CONCEITO DE LIMITE
	Slide 5: O CONCEITO DE LIMITE
	Slide 6: O CONCEITO DE LIMITE
	Slide 7: O CONCEITO DE LIMITE
	Slide 8: INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA
	Slide 9: INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA
	Slide 10: INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA
	Slide 11: INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADA
	Slide 12: Exemplo
	Slide 13: Exemplo
	Slide 14: Regras de derivação – Derivadas de funções básicas
	Slide 15: Regras de derivação
	Slide 16: Exemplo
	Slide 17: Exemplo
	Slide 18: Exemplo
	Slide 19: Exemplo
	Slide 20: Exemplo
	Slide 21: Exemplo
	Slide 22: Exemplo
	Slide 23: Exemplo
	Slide 24: Derivadas das funções logarítmica e exponencial
	Slide 25: Derivadas das funções logarítmica e exponencial
	Slide 26: Exemplo
	Slide 27: Exemplo: Solução
	Slide 28: Noções sobre Integração
	Slide 29: A notação:
	Slide 30: Propriedades da integral indefinida
	Slide 31: Propriedades da integral indefinida
	Slide 32: Exemplo
	Slide 33: Exemplo
	Slide 34: Exemplo
	Slide 35: Exemplo
	Slide 36: Exemplo
	Slide 37: Integral definida e teorema fundamental do cálculo
	Slide 38: Teorema fundamental do cálculo
	Slide 39: Teorema fundamental do cálculo
	Slide 40: Teorema fundamental do cálculo
	Slide 41: Exemplo
	Slide 42: Exemplo
	Slide 43: Exemplo
	Slide 44: Exemplo
	Slide 45: Exemplo
	Slide 46: Cálculo de área sob curva f(x) no intervalo [a,b]
	Slide 47: Exemplo
	Slide 48: Exemplo
	MODELO FINAL
	Slide 49