Apresentacao_IT751_Aula_09_2023_1

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Departamento de Engenharia Química – IT - UFRRJ
IT751 – Métodos Computacionais I – Teórica
Professor: Maurício Mancini
Módulo Temático 02
Soluções de Problemas de Engenharia Química Envolvendo 
Ajuste de Modelos Matemáticos a Dados Tabelados
Cinética de secagem de maçãs
t(h) Ys (b.s.)
0,20 7,0430
0,50 6,0130
1,00 4,4852
1,50 3,3311
2,00 2,4879
2,50 1,8367
3,50 0,9884
5,00 0,4170
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00
Y
s
(b
.s
.)
t (h)
Ys(t) = ?
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AJUSTE DE DADOS TABELADOS
Cinética de secagem de maçãs
t(h) Ys (b.s.)
0,20 7,0430
0,50 6,0130
1,00 4,4852
1,50 3,3311
2,00 2,4879
2,50 1,8367
3,50 0,9884
5,00 0,4170
OBS1: No caso de Ajuste de Dados, reconhece-se que os valores tabelados têm
incertezas: 𝑡 = ҧ𝑡 ± ∆𝑡 e 𝑌s = ഥ𝑌𝑠 ± ∆𝑌𝑠.
Elipses de 
confiança:
regiões onde o 
valor exato da 
variável pode 
estar.
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FUNDAMENTOS PARA O AJUSTE DE DADOS
No ajuste de dados, deseja-se, dentre um conjunto de modelos matemáticos
propostos, determinar os coeficientes de cada modelo, de modo a assegurar que
os valores calculados serão os mais próximos possíveis dos valores observados
(para TODOS os pontos tabelados).
1) Propor modelos matemáticos → para descrever o comportamento da variável
dependente frente às variações da variável independente.
2) Determinar os valores dos parâmetros → de modo a minimizar as diferenças entre os
valores observados e os valores calculados:
𝑖 = 1…𝑁𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 ; 𝑀𝑖𝑛(𝑦𝑜𝑏𝑠.𝑖 − 𝑦𝑐𝑎𝑙𝑐.𝑖).
3) Discriminar o melhor modelo → definir, dentre os modelos disponíveis, qual é o que
melhor descreve os dados.
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O QUE SÃO MODELOS MATEMÁTICOS?
São correlações, funções da variável independente (ou das variáveis
independentes), com parâmetros de ajuste p (coeficientes dos modelos que
assumirão valores constantes) que visam descrever o comportamento de uma
variável dependente.
1) Modelos teóricos → Baseados em equações relacionadas à fundamentação teórica das
“leis naturais”.
2) Modelos empíricos → Baseados em simples ajustes de dados experimentais a uma
determinada equação.
3) Modelos semi-empíricos → Originados de correlações baseadas em “leis naturais”, nas
quais são inseridos fatores de correção e coeficientes de ajuste.
𝑦 𝒙 = 𝑚(𝒙, 𝒑)
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No caso da cinética de secagem de maçã
1) Modelo linear no comportamento e nos
parâmetros (os parâmetros são coeficientes
em combinações lineares de parcelas).
Exemplo:𝑦 𝑥 = 𝐴1𝑥 + 𝐴𝑜 𝑜𝑢 𝑦 𝑥 = 𝐴1𝑥
2) Modelo não linear no comportamento e
linear nos parâmetros
Exemplo:𝑦 𝑥 = 𝐴2𝑥
2 + 𝐴1𝑥 + 𝐴𝑜
𝑜𝑢 𝑦 𝑥 = 𝐴2𝑥
2 + 𝐴1𝑥
−2 + 𝐴𝑜𝑥
−1
3) Modelo não linear no comportamento e
nos parâmetros (os parâmetros são
argumentos de funções não lineares).
Exemplo:𝑦 𝑥 = 𝐴𝑜 + 𝐴1𝑒
−𝐴2𝑥
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Nomenclatura deste módulo! Precisamos nos entender!
i – Índice do contador de pontos observados (i = 1 ... Np).
Np – Número de pontos observados (experimentais ou tabelados).
x – Vetor de variáveis independentes (no caso de uma única variável independente,
x será um escalar).
xi ou xi – Valor (ou vetor de valores) da(s) variável(eis) independente(s) nos pontos
de observação (tabelados).
yei – Valor observado (experimental, tabelado) da variável dependente em x = xi.
yci – Valor calculado (pelo modelo) da variável dependente em x = xi.
di – Resíduo em x = xi.
𝛿𝑖 = 𝑦𝑐𝑖 − 𝑦𝑒𝑖
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i xi yei
1 x1 ye1
2 x2 ye2
3 x3 ye3
4 x4 ye4
5 x5 ye5
y é função só de x
𝑦 = 𝑓(𝑥)
y é função só de x1 e x2
𝑦 = 𝑔(𝑥1, 𝑥2)
i x1i x2i yei
1 x11 x21 ye1
2 x12 x22 ye2
3 x13 x23 ye3
4 x14 x24 ye4
5 x15 x25 ye5
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Estimativa de Parâmetros em Ajuste de Dados
O que desejamos? → determinar o conjunto de parâmetros (p) de um determinado
modelo de ajuste, de forma a garantir que os resíduos serão os menores possíveis
em todos os pontos.
𝛿𝑖𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 → 𝐷𝑒𝑣𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜𝑦𝑐𝑖 = 𝑚(𝑥𝑖 , 𝒑)
Para i = 1...Np
Mas:
𝛿𝑖 = 𝑚 𝑥𝑖 , 𝒑 − 𝑦𝑒𝑖 < 0𝛿𝑖 = 𝑚 𝑥𝑖 , 𝒑 − 𝑦𝑒𝑖 > 0 𝛿𝑖 = 𝑚 𝑥𝑖 , 𝒑 − 𝑦𝑒𝑖 = 0
OBS2: Fazer a soma simples dos resíduos pode resultar num resíduo total bem
pequeno e, ainda assim, o modelo ser muito ruim, pois os valores positivos
poderão cancelar os valores negativos dos resíduos, gerando uma falsa
conclusão sobre o modelo.
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Visualizando o que foi dito antes
𝑦𝑐𝑖 𝑥𝑖 = 𝑚1(𝑥𝑖 , 𝒑𝟏)
෍
𝑖=1
𝑖=3
𝛿𝑖 = −2 + 0 + 2 = 0
𝑦𝑐𝑖 𝑥𝑖 = 𝑚2(𝑥𝑖 , 𝒑𝟐)
෍
𝑖=1
𝑖=3
𝛿𝑖 = 0,5 + 0,5 + 0,5 = 1,5
𝑦𝑐𝑖 𝑥𝑖 = 𝑚3(𝑥𝑖 , 𝒑𝟑)
෍
𝑖=1
𝑖=3
𝛿𝑖 = 0,3 + 0,2 − 0,3 = 0,2
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OBS3: A soma simples dos resíduos não é um bom critério para avaliar e
discriminar os modelos. O ideal seria a soma de parcelas sempre positivas.
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝛿𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑚 𝑥𝑖 , 𝒑 − 𝑦𝑒𝑖 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝛿𝑖
2 = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑚 𝑥𝑖 , 𝒑 − 𝑦𝑒𝑖
2
Temos duas possibilidades de fazer isto:
Qual função é
mais fácil para
trabalhar?
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෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝛿𝑖
2 = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑚 𝑥𝑖 , 𝒑 − 𝑦𝑒𝑖
2
OBS4: Certamente o Quadrado do Resíduo é mais suave do que o Módulo do
Resíduo, embora ambos sirvam como critério inicial para discriminar modelos.
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𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐹𝑂 = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝛿𝑖
2 = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑚 𝑥𝑖 , 𝒑 − 𝑦𝑒𝑖
2
ESTIMATIVA DE PARÂMETROS USANDO
O MÉTODO DE MÍNIMOS QUADRADOS - MMQ
Baseado na determinação do vetor de parâmetros (p) que assegure que a
Soma dos Quadrados dos Resíduos (Função Objetivo) será a mínima
possível para aquele modelo em estudo.
Função Objetivo → é uma função que depende apenas dos elementos do vetor de
parâmetros (p), uma vez que os valores de xi e yei são conhecidos e estão
tabelados.
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MÉTODO DE MÍNIMOS QUADRADOS – MMQ
Quais são as nossas incógnitas?
𝑦𝑐𝑖 = 𝑚1 𝑥𝑖 , 𝒑 = 𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜
𝑦𝑐𝑖 = 𝑚2 𝑥𝑖 , 𝒑 = 𝐴3𝑥𝑖
3 + 𝐴2𝑥𝑖
2 + 𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜
𝑦𝑐𝑖 = 𝑚3 𝑥𝑖 , 𝒑 = 𝐴3𝑥𝑖
2 + 𝐴2𝑥𝑖 +
𝐴1
𝑥𝑖
+
𝐴𝑜
𝑥𝑖
2
𝑦𝑐𝑖 = 𝑚4 𝑥𝑖 , 𝒑 = 𝐴3cos(𝐴2𝑥𝑖) + 𝐴1𝑒
𝐴𝑜𝑥𝑖
OBS5: Nos quatro modelos apresentados acima os valores de xi são todos conhecidos,
apenas os elementos do vetor de parâmetros (p) precisarão ser determinados, logo, são
estas as nossas incógnitas no MMQ.
𝒑 =
𝐴1
𝐴𝑜
𝒑 =
𝐴3
𝐴2
𝐴1
𝐴𝑜
Modelos 
lineares nos 
parâmetros
Modelo não 
linear nos 
parâmetros
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Voltando à nossa secagem de maçãs
Cinética de secagem de maçãs
t(h) Ys (b.s.)
0,20 7,0430
0,50 6,0130
1,00 4,4852
1,50 3,3311
2,00 2,4879
2,50 1,8367
3,50 0,9884
5,00 0,4170OBS6: O modelo m4 é conhecido na literatura como Modelo Cinético de Overhults, muito
utilizado para descrever a cinética de secagem de material particulado. Seus parâmetros
são: 𝒑 = 𝑘 𝑛 e Yso e Yse são os valores da umidade inicial e no equilíbrio, respectivamente.
𝑌𝑠𝑐𝑖 = 𝑚1 𝑡𝑖, 𝐴1, 𝐴𝑜 = 𝐴1𝑡𝑖 + 𝐴𝑜
𝑌𝑠𝑐𝑖 = 𝑚2 𝑡𝑖, 𝐴2, 𝐴1, 𝐴𝑜 = 𝐴2𝑡𝑖
2 + 𝐴1𝑡𝑖 + 𝐴𝑜
𝑌𝑠𝑐𝑖 = 𝑚3 𝑡𝑖, 𝐴3, 𝐴2, 𝐴1, 𝐴𝑜 = 𝐴3𝑡𝑖
3 + 𝐴2𝑡𝑖
2 + 𝐴1𝑡𝑖 + 𝐴𝑜
𝑌𝑠𝑐𝑖 = 𝑚4 𝑡𝑖, 𝑘, 𝑛 = 𝑌𝑠𝑒 + 𝑌𝑠𝑜 − 𝑌𝑠𝑒 𝑒
− 𝑘𝑡𝑖
𝑛
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𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑂𝑏𝑗𝑒𝑡𝑖𝑣𝑜 𝐹𝑂 = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝛿𝑖
2 = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑚 𝑥𝑖 , 𝒑 − 𝑦𝑒𝑖
2
Como equacionar o Método de Mínimos Quadrados (MMQ)?
O método é baseado na determinação dos elementos do vetor de
parâmetros (p) que minimizam a Soma dos Quadrados dos Resíduos.
Ou seja, para j = 1 ... j = Npar (Número de parâmetros )
𝜕(𝐹𝑂)
𝜕𝑝𝑗
=
𝜕
𝜕𝑝𝑗
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝛿𝑖
2 = 0
OBS7: Não confundir: 
Np → Número de pontos tabelados.
Npar → Número de parâmetros do modelo.
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𝐹𝑂 = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝛿𝑖
2 = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖
2
Aplicando a um modelo linear: 𝑦𝑐𝑖 = 𝑚 𝑥𝑖 , 𝐴1, 𝐴𝑜 = 𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜
Teremos:
𝜕(𝐹𝑂)
𝜕𝐴1
=
𝜕
𝜕𝐴1
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖
2 = 0
OBS8: Façam uma boa revisão de:
Cálculo I → Regras de Derivação,
e Determinação de Máximos e
Mínimos;
Cálculo II → Derivadas Parciais.
𝜕(𝐹𝑂)
𝜕𝐴𝑜
=
𝜕
𝜕𝐴𝑜
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖
2 = 0
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Aplicando a regra da derivada da soma:
𝜕(𝐹𝑂)
𝜕𝐴1
= ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝜕
𝜕𝐴1
𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖
2 = 0
𝜕 𝐹𝑂
𝜕𝐴𝑜
= ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝜕
𝜕𝐴𝑜
𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖
2 = 0
Aplicando a regra da cadeia:
𝜕 𝐹𝑂
𝜕𝐴1
= ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
2 𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖
𝜕
𝜕𝐴1
𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖 = 0
𝜕 𝐹𝑂
𝜕𝐴𝑜
= ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
2 𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖
𝜕
𝜕𝐴𝑜
𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖 = 0
Mas:
𝜕
𝜕𝐴1
𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖 = 𝑥𝑖
𝜕
𝜕𝐴𝑜
𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖 = 1
𝑑𝑓(𝑔 𝑥 )
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓(𝑔)
𝑑𝑔
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
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Temos:
𝜕 𝐹𝑂
𝜕𝐴1
= 2 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝐴1𝑥𝑖
2 + 𝐴𝑜𝑥𝑖 − 𝑦𝑒𝑖𝑥𝑖 = 0
𝜕 𝐹𝑂
𝜕𝐴𝑜
= 2 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖 = 0
Aplicando as propriedades do somatório:
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝐴1𝑥𝑖
2 + 𝐴𝑜𝑥𝑖 − 𝑦𝑒𝑖𝑥𝑖 = 0
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 − 𝑦𝑒𝑖 = 0
𝐴1 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖
2 + 𝐴𝑜 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖 − ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑦𝑒𝑖𝑥𝑖 = 0
𝐴1 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
1 − ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑦𝑒𝑖 = 0
𝐴1 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖
2 + 𝐴𝑜 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑦𝑒𝑖𝑥𝑖
𝐴1 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖 + 𝐴𝑜𝑁𝑝 = ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑦𝑒𝑖
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Escrevendo na forma matricial:
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖
2 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖 𝑁𝑝
𝐴1
𝐴𝑜
=
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑦𝑒𝑖𝑥𝑖
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑦𝑒𝑖
OBS9: Agora, basta resolver o sistema
de equações algébricas lineares (que
tal um Gauss-Jordan?), obter os
valores de A1 e Ao e determinar os
valores de yci.
Mostre que você aprendeu e demonstre 
que se 𝑦𝑐𝑖 = 𝐴2𝑥𝑖
2 + 𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜 , tem-se:
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖
4 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖
3 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖
2
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖
3 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖
2 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖
2 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑥𝑖 𝑁𝑝
𝐴2
𝐴1
𝐴𝑜
=
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑦𝑒𝑖𝑥𝑖
2
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑦𝑒𝑖 𝑥𝑖
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑦𝑒𝑖
Equacione, também, para o caso de: 
𝑦𝑐𝑖 = 𝐴3𝑥𝑖
3 + 𝐴2𝑥𝑖
2 + 𝐴1𝑥𝑖 + 𝐴𝑜
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Aplicando o MMQ à cinética de secagem de maçãs
Cinética de secagem de maçãs
t(h) Ys (b.s.)
0,20 7,0430
0,50 6,0130
1,00 4,4852
1,50 3,3311
2,00 2,4879
2,50 1,8367
3,50 0,9884
5,00 0,4170
OBS10: Para resolver o sistema serão necessários os valores de: 
σ
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑡𝑖
2 ; σ
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑡𝑖 ; σ𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑌𝑠𝑒𝑖𝑡𝑖 𝑒 σ𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑌𝑠𝑒𝑖 . 
𝑌𝑠𝑐𝑖 = 𝑚1 𝑡𝑖 , 𝐴1, 𝐴𝑜 = 𝐴1𝑡𝑖 + 𝐴𝑜
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑡𝑖
2 ෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑡𝑖
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑡𝑖 𝑁𝑝
𝐴1
𝐴𝑜
=
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑌𝑠𝑒𝑖𝑡𝑖
෍
𝑖=1
𝑖=𝑁𝑝
𝑌𝑠𝑒𝑖
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Aplicando o MMQ à cinética de secagem de maçãs
Cinética de secagem de maçãs
t(h) Ys (b.s.)
0,20 7,0430
0,50 6,0130
1,00 4,4852
1,50 3,3311
2,00 2,4879
2,50 1,8367
3,50 0,9884
5,00 0,4170
t(h) Ys (b.s.) ti
2 tiYsei
0,20 7,0430 0,04 1,4086
0,50 6,0130 0,25 3,0065
1,00 4,4852 1,00 4,4852
1,50 3,3311 2,25 4,9966
2,00 2,4879 4,00 4,9758
2,50 1,8367 6,25 4,5918
3,50 0,9884 12,25 3,4593
5,00 0,4170 25,00 2,0851
Sxi 16,2000 Syie 26,6023
Sxi
2 51,0400 Sxiyie 29,0090
51,04 16,20
16,20 8,00
𝐴1
𝐴𝑜
=
29,0090
26,6023
𝐴1 = −1,3633 ℎ
−1
𝐴𝑜 = 6,0861
𝑌𝑠𝑐𝑖 = −1,3633𝑡𝑖 + 6,0861
t(h) Ys (b.s.) ti
2 tiYsei Ysci
0,20 7,0430 0,04 1,4086 5,8134
0,50 6,0130 0,25 3,0065 5,4044
1,00 4,4852 1,00 4,4852 4,7227
1,50 3,3311 2,25 4,9966 4,0410
2,00 2,4879 4,00 4,9758 3,3594
2,50 1,8367 6,25 4,5918 2,6777
3,50 0,9884 12,25 3,4593 1,3143
5,00 0,4170 25,00 2,0851 -0,7307
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Aplicando o MMQ à cinética de secagem de maçãs
Cinética de secagem de maçãs
t(h) Ys (b.s.)
0,20 7,0430
0,50 6,0130
1,00 4,4852
1,50 3,3311
2,00 2,4879
2,50 1,8367
3,50 0,9884
5,00 0,4170
t(h) Ys (b.s.) ti
2 tiYsei
0,20 7,0430 0,04 1,4086
0,50 6,0130 0,25 3,0065
1,00 4,4852 1,00 4,4852
1,50 3,3311 2,25 4,9966
2,00 2,4879 4,00 4,9758
2,50 1,8367 6,25 4,5918
3,50 0,9884 12,25 3,4593
5,00 0,4170 25,00 2,0851
t(h) Ys (b.s.) ti
2 tiYsei Ysci
0,20 7,0430 0,04 1,4086 5,8134
0,50 6,0130 0,25 3,0065 5,4044
1,00 4,4852 1,00 4,4852 4,7227
1,50 3,3311 2,25 4,9966 4,0410
2,00 2,4879 4,00 4,9758 3,3594
2,50 1,8367 6,25 4,5918 2,6777
3,50 0,9884 12,25 3,4593 1,3143
5,00 0,4170 25,00 2,0851 -0,7307
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Para encerrar a aula, teste com outros modelos
Cinética de secagem de maçãs
t(h) Ys (b.s.)
0,20 7,0430
0,50 6,0130
1,00 4,4852
1,50 3,3311
2,00 2,4879
2,50 1,8367
3,50 0,9884
5,00 0,4170
𝑌𝑠𝑐𝑖 = 𝐴1𝑡𝑖 + 𝐴𝑜
𝑌𝑠𝑐𝑖 = 𝐴2𝑡𝑖
2 + 𝐴1𝑡𝑖 + 𝐴𝑜
𝑌𝑠𝑐𝑖 = 𝐴3𝑡𝑖
3 + 𝐴2𝑡𝑖
2 + 𝐴1𝑡𝑖 + 𝐴𝑜
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