Gabarito lista 3 Teoria de Filas

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Lista 3 – Teoria de Filas 
 
 
1. Como se caracteriza o processo de chegada nos modelos clássicos de fila? 
 
 
2. Como se caracteriza o processo de atendimento nos modelos clássicos de fila? 
 
 
 
3. Qual é a importância da fórmula de Little? 
 
 
 
4. Explique a propriedade da “falta de memória” da distribuição exponencial. 
 
 
 
5. Defina “Processo de Poisson”. 
 
 
 
 
6. Quais são as premissas do modelo M/M/c que limitam sua aplicação prática? (liste 
pelo menos quatro) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios 
 
 
1. (*) Duas máquinas A e B operam simultaneamente e apresentam tempos de falha 
exponenciais, com médias 20 e 25 h, respectivamente. Pede-se: 
a) Para a máquina A, as probabilidades de não falhar em até 10, 20 e 50h; 
 
 
 
 
b) Idem para a máquina B; 
 
 
 
c) Qual é a probabilidade de B falhar antes de A? 
 
 
 
d) Qual é a probabilidade de não ocorrer nenhuma falha nas próximas 10 horas? 
 
 
 
2. Em média, chegam 10 carros por hora ao drive through de um fast food. Se o tempo 
de atendimento tem distribuição exponencial com média 4 min, determine: 
 
a) número médio de carros atendidos por hora. 
 
 
 
 
 
b) número médio de carros aguardando atendimento (incluindo o carro em 
atendimento) 
 
 
 
c) tempo médio de permanência dos carros no sistema, 
 
 
 
d) taxa média de utilização do caixa 
 
 
 
e) probabilidade de um carro esperar mais de 15 min para ser atendido. 
 
𝐿𝑞 = 𝐿 − 𝜌 𝐿𝑞 = 2 −
2
3
=
4
3
 
 
𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆
=
4/3
10
= 0,1333 ℎ = 8 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
A média da espera na fila é de 8 minutos, então λx = 1/8. A probabilidade de não 
atendimento em até 15 minutos (P(x > 15)): P(x > 15) = e^(-λA * 15) 
P(x > 15) = e^(-1/8 * 15) = 15,34% 
 
 
3. (Cont.2) Refaça o exercício anterior, considerando um tempo médio de atendimento 
de 5 min. Compare os resultados obtidos. 
 
a) número médio de carros atendidos por hora. 
b) número médio de carros aguardando atendimento (incluindo o carro em 
atendimento) 
c) tempo médio de permanência dos carros no sistema, 
d) taxa média de utilização do caixa 
 
 
 
 
 
e) probabilidade de um carro esperar mais de 15 min para ser atendido. 
 
𝐿𝑞 = 𝐿 − 𝜌 𝐿𝑞 = 5 −
5
6
=
25
6
 
 
𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆
=
25/6
10
= 0,4166 ℎ = 25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
A média da espera na fila é de 25 minutos, então λx = 1/25. A probabilidade de não 
atendimento em até 15 minutos (P(x > 15)): P(x > 15) = e^(-λA * 15) 
P(x > 15) = e^(-1/25 * 15) = 54,88% 
 
4. Considere uma fila M/M/2 com taxa de chegadas de 10 clientes por hora e tempo 
médio de atendimento de 10 minutos por cliente. Pede-se: 
 
a) tamanho médio da fila 
 
 
b) tempo médio de espera na fila 
 
 
 
c) ocupação dos servidores 
 
𝜋0 =
1
∑
(𝑠𝜌)𝑖
𝑖! +
(𝑠𝜌)𝑠
𝑠! (1 − 𝜌)
𝑠−1
1=0
= 0,091 
 
𝜋1 =
(𝑠𝜌)1 ∗ 𝜋0
1!
= 0,1517 
 
𝑳𝒔 = 𝟏 − (𝝅𝟎 + 𝟎, 𝟓𝝅𝟏) = 𝟏 − (𝟎, 𝟎𝟗𝟏 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟏𝟓𝟏𝟕) = 𝟎, 𝟖𝟑𝟑 = 𝟖𝟑, 𝟑% 
 
d) probabilidade de o tempo de fila superar 5 minutos. 
 
 
5. (Cont.4) Refaça o exercício anterior considerando c=3 servidores. 
 
a) tamanho médio da fila 
b) tempo médio de espera na fila 
 
 
 
 
c) ocupação dos servidores 
 
𝜋0 =
1
∑
(𝑠𝜌)𝑖
𝑖! +
(𝑠𝜌)𝑠
𝑠! (1 − 𝜌)
𝑠−1
1=0
= 0,1728 
 
𝜋1 =
(𝑠𝜌)1 ∗ 𝜋0
1!
= 0,2877 
 
𝑳𝒔 = 𝟏 − (𝝅𝟎 + 𝟎, 𝟓𝝅𝟏) = 𝟏 − (𝟎, 𝟏𝟕𝟐𝟖 + 𝟎, 𝟓 ∗ 𝟎, 𝟐𝟖𝟕𝟕) = 𝟎, 𝟔𝟖𝟑 = 𝟔𝟖, 𝟑% 
 
d) probabilidade de o tempo de fila superar 5 minutos. 
 
𝑾𝒒 = 𝟐, 𝟐𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 
A média da espera na fila é de 2,25 minutos, então λx = 1/2,25. A probabilidade de não 
atendimento em até 5 minutos (P(x > 5)): P(x > 5) = e^(-λA * 5) 
P(x > 5) = e^(-1/2,25 * 5) = 10,84% 
 
 
 
 
6. (Cont.2) Refaça o exercício 1, considerando que, quando houver cinco carros no drive 
through (incluindo o carro em atendimento), os carros que chegam desistem de entrar 
na fila. 
 
Em média, chegam 10 carros por hora ao drive through de um fast food. Se o tempo 
de atendimento tem distribuição exponencial com média 4 min, determine: 
 
a) número médio de carros atendidos por hora. 
 
μ = 60/4 μ = 15 carros 
 
b) número médio de carros aguardando atendimento (incluindo o carro em 
atendimento) 
 
𝜌 =
𝜆
𝜇
=
10
15
=
2
3
= 0,666 
 
𝑳 =
𝝆[𝟏 − (𝒄 + 𝟏)𝝆𝒄 + 𝒄𝝆𝒄+𝟏]
(𝟏 − 𝝆𝒄+𝟏)(𝟏 − 𝝆)
= 𝟏, 𝟒𝟗𝟓 
 
 
c) tempo médio de permanência dos carros no sistema. 
 
𝝅𝟎 =
(𝟏 − 𝝆)
(𝟏 − 𝝆𝟓+𝟏)
= 𝟎, 𝟑𝟔𝟓𝟒 
 
𝝅𝟓 = 𝝆
𝟓𝝅𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟖𝟏 
 
 
 
𝑊 =
𝐿
𝜆(1 − 𝜋5)
=
1,495
10(1 − 0,0481)
= 𝑾 = 𝟎, 𝟏𝟓𝟕 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔 = 𝟗, 𝟓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔 
 
 
d) taxa média de utilização do caixa 
 
 
𝜋0 =
(1 − 𝜌)
(1 − 𝜌5+1)
= 0,3654 
 
𝑳𝒔 = 𝟏 − 𝝅𝟎 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟒𝟔 = 𝟔𝟑, 𝟒𝟔% 
 
 
 
e) probabilidade de um carro esperar mais de 15 min para ser atendido. 
 
𝐿𝑞 = 𝐿 − 𝐿𝑠 = 1,495 − 0,6346 = 0,8604 
 
𝑊𝑞 =
𝐿𝑞
𝜆
=
0,8604
10
= 0,086 ℎ = 5,16 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
A média da espera na fila é de 5,16 minutos, então λx = 1/5,16. A probabilidade de não 
atendimento em até 15 minutos (P(x > 15)): P(x > 15) = e^(-λA * 15) 
P(x > 15) = e^(-1/5,16 * 15) = 5,46% 
 
 
 
7. Considere uma agência bancária com taxa de chegada de 100 clientes por hora e 
tempo médio de atendimento de 5 minutos por cliente. Os tempos de atendimento e 
intervalos entre chegadas são exponenciais. O gerente do banco quer garantir que no 
máximo 1% dos clientes tenha que esperar mais de 5 min na fila. Supondo que a 
agência utilize o modelo de fila única, determine quantos caixas devem ser abertos 
para o atendimento aos clientes.