A4_Critérios de Dimensionamento_FLEXÃO SIMPLES_exemplo

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Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
IPUC - Instituto Politécnico
Disciplina:
7078.1.00 : ESTRUTURAS DE MADEIRA
• CONSIDERAÇÕES
• TRAÇÃO SIMPLES
• FLEXÃO SIMPLES (EXEMPLO)
4. CRITÉRIOS DE DIMENSIONAMENTO
EXERCÍCIO DE APLICAÇÃO
1. DIMENSIONAR UMA VIGA, COM MADEIRA DE CLASSE D-60, PRIMEIRA CATEGORIA,
CLASSE DE UMIDADE 2.
CONSIDERAR COMO CARREGAMENTO MAIS CRÍTICO O COMPOSTO PELA AÇÃO
PERMANENTE (0,5 kN / m) E PELA AÇÃO VARIÁVEL (1 kN ) DE LONGA DURAÇÃO
RELATIVA À PREVISÃO DE UM HOMEM FAZENDO MANUTENÇÃO.
0,5 kN/m
1 kN
3,75 m
b
h
RESOLUÇÃO
A – Pré Dimensionamento da seção transversal
B – Solicitação : Carregamento Atuante
B.1 – Esforços Atuantes Característicos
B.2 – Esforços Solicitantes de Cálculo
C – Resistência da Madeira
D – Verificações :
D.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
• TENSÃO NORMAL
• TENSÃO DE CISALHAMENTO
• INSTABILIDADE LATERAL
D.2 ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO ( ELS)
• FLECHA MÁXIMA
4
Peças Principais Isoladas :
Smin = 50 cm²
Espessura Mínima = 5 cm
A – Pré Dimensionamento da seção transversal
BITOLAS COMERCIAIS (cm) : b
h
VIGOTA : 6 x 12 cm
6
12
dd
XS VERIFICAÇÃO
B – Solicitação : Carregamento Atuante
B.1 – Esforços Atuantes Característicos
B.2 – Esforços Solicitantes de Cálculo
B.1. ESFORÇOS SOLICITANTES CARACTERÍSTICOS
nos apoios
Carga Uniformemente Distribuída (ao longo do vão)
𝑀𝑔 = 𝟎, 𝟖𝟖 𝒌𝑵 .𝒎
Assim,
𝑉𝑔 = 𝟎, 𝟗𝟒 𝒌𝑵
Carga Concentrada : móvel
ATENÇÃO:
Carga Concentrada : PRÓXIMA DO APOIO A ou B
SITUAÇÃO MAIS DESFAVORÁVEL PARA ESFORÇO CORTANTE
𝑽𝑨 = 𝑭 ou 𝑽𝑩 = 𝑭
𝑀𝑞 = 𝟎, 𝟗𝟒 𝒌𝑵 .𝒎
𝑉𝑞 = 𝟏, 𝟎 𝒌𝑵
NO MEIO DO VÃO AB






++= 
=
kQj
n
j
jkQQkGiGid
FFFF
,
2
0,1,
.. 
Ação permanente
Ação variável 
principal
Ação variável 
secundária
B.2. ESFORÇOS SOLICITANTES DE CÁLCULO
Combinação de Ações
Coeficientes de Ponderação
(Majoração)
Fatores de Combinação
Coeficientes de Ponderação Fator de Combinação
Coeficientes de Ponderação das Ações Permanentes
Tabela 1 pag 11 NBR 8681/2004
Madeiras 
em geral
Elementos 
industrializados 
de Madeira
1,3 1,25
1,2 1,15
1,15 1,10
NBR 7190 item 6.1 
pag 16
Tabela 2 pag 11 NBR 8681/2004
Tabela 3 pag 12 NBR 8681/2004
Coeficientes de Ponderação das Ações Variáveis
Tabela 4 pag 12 NBR 8681/2004
Tabela 5 pag 12 NBR 8681/2004
COMBINAÇÃO DE AÇÕES item 5.1.3 pág 9 NBR 8681/2004
AULA A4_1_Ações e Segurança_Complemento.pptx
Tabela 6 pág 13 NBR 8681 (2004) FATORES DE COMBINAÇÃO
exerc
COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO
𝛾𝑔 = 𝟏, 𝟒
Assim,
Considerando: Ações permanentes consideradas agrupadas e edificação Tipo 2
Tabela 2 pag 11 NBR 8681/2004
17
𝛾𝑞 = 𝟏, 𝟒
Assim,
Tabela 5 pag 12 NBR 8681/2004
Considerando: Ações variáveis : edificação Tipo 2
18






++= 
=
kQj
n
j
jkQQkGiGid
FFFF
,
2
0,1,
.. 
Ação permanente
Ação variável 
principal
Ação variável 
secundária
Assim, tem-se que os Esforços de Cálculo são dados por:
𝑀𝑑 = 𝟏, 𝟒 . 𝟎, 𝟖𝟖 + 𝟏, 𝟒 . ( 𝟎, 𝟗𝟒 )
𝑀𝑑 = 𝟐, 𝟓𝟓 𝒌𝑵.𝒎 = 𝟐𝟓𝟓 𝒌𝑵. 𝒄𝒎
𝑉𝑑 = 𝟏, 𝟒 . 𝟎, 𝟗𝟒 + 𝟏, 𝟒 . ( 𝟏)
𝑉𝑑 = 𝟐, 𝟕𝟐 𝒌𝑵
19
RESISTÊNCIAS CARACTERÍSTICAS
C – RESISTÊNCIA DA MADEIRA
Tabela 2 - NBR 7190 : Parte 1 pag 12
madeira serrada de espécie nativa classe D60
𝒇𝒄𝟎,𝒌 = 𝟔𝟎 𝐌𝐏𝐚 𝒇𝒗𝟎,𝒌 = 𝟖 𝐌𝐏𝐚 𝑬𝒄𝟎,𝒎𝒆𝒅 = 𝟏𝟗𝟓𝟎𝟎 𝐌𝐏𝐚
Assim,
kmod 1 = 0,70
RESISTÊNCIAS DE CÁLCULO
kmod 2 = 0,90
kmod = 0,70 . 0,90 𝐤𝐦𝐨𝐝 = 𝟎, 𝟔𝟑
fc0,k = 60 MPa 
𝑓𝑐𝑜,𝑑 = 27 MPa = 2,7 kN/cm²
𝑓𝑚,𝑑 = 27 MPa = 2,7 kN/cm²
𝑓𝑐𝑜,𝑑 = 0,63 .
60
1,4
Utilizou-se a Tabela 2, então considera-se 𝑓𝑚,𝑑 = 𝑓𝑐0,𝑑
kmod = kmod 1 . kmod 2
CLASSE DE CARREGAMENTO:
(longa duração)
TABELA 4
NBR 7190 pag. 14
CLASSE DE UMIDADE 2
TABELA 5
NBR 7190 : Parte 1 (pag. 15 )
23
𝑓𝑣0,𝑘 = 8 MPa 𝑓𝑣𝑜,𝑑 = 0,63 .
8
1,8
𝑓𝑣𝑜,𝑑 = 2,8 MPa = 0,28 kN/cm²
D. VERIFICAÇÕES
D.1. ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
VERIFICAÇÃO DAS TENSÕES NORMAIS
σM,d
fm,d
=
Md
W
fm,d
≤ 1
𝜎𝑐𝑑 =
255
144
= 1,77
𝑘𝑁
𝑐𝑚2 σM,d
fm,d
=
1,77
2,7
fm,d = 2,7 kN/cm²
< 1
σM,d
fm,d
= 0,66
OK !
25
𝐼𝑧 =
𝑏 . ℎ3
12h
b
VIGOTA : 6 x 12 cm S = 72 cm² I = 864 cm4 W = 144 cm³ 
6
12
c
c
y
I
W =
t
t
y
I
W =
𝑦𝑐 : coordenada da fibra comprimida mais afastada da L. N.
𝑦𝑡 : coordenada da fibra tracionada mais afastada da L. N.
LN
Tração
Compressão
VERIFICAÇÃO DA TENSÕES DE CISALHAMENTO
τvd,max =
3 . 2,72
2 . 6 . 12
= 0,057
kN
cm2
OK !
fvo,d = 0,28 kN/cm²τvd,max =
3 Vd
2 b h
≤ fvo,d
< fv0,d = 0,28 kN/cm²
VERIFICAÇÃO ESTABILIDADE LATERAL DA VIGA
𝐿1 = 375 cm
𝑏 = 6 cm
𝐸0,𝑒𝑓 = 𝑘𝑚𝑜𝑑 . 𝐸0,𝑚𝑒𝑑 Ec0,med = 19500 MPa
𝐸0,𝑒𝑓 = 0,63 . 19500 = 12285 𝑀𝑃𝑎
𝐸0,𝑒𝑓 = 1229 kN/cm²
3,75 m
L1
b
≤
E0,ef
βM fm,d
Utilizou-se a Tabela 2 então, conforme item 5.8.7
pag 15 NBR 7190, considera-se
E0,med = Ec0,med
h
b
=
12
6
= 2
βM = 8,8
L1
b
=
375
6
= 62,5
𝐸0,𝑒𝑓
𝛽𝑀 𝑓𝑚,𝑑
=
1228,5
8,8 . 2,7
= 51,70
NÃO OK !
COEFICIENTE M EM FUNÇÃO DA RELAÇÃO h/b
h/b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
M 6,0 8,8 12,3 15,9 19,5 23,1 26,7 30,3 34,0 37,6 41,2 44,8 48,5 52,1 55,8 59,4 63,0 66,7 70,3 74,0
>
E0,ef
βM fm,d
Assim,
29
SE L1
b
>
Ec0,ef
βM fc0,d
fm,d =
E0,ef
βM
L1
b
Verifica-se a Tensão Máxima de Compressão: σc,d =
Md
Wc
≤ fm,d
E0,ef
βM
L1
b
=
1228,5
8,8 . 62,5
= 2,23 kN/cm²
< fm,d = 2,23 kN/cm² OK !
com,
D.2 ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO (ELS)
VERIFICAÇÃO DAS FLECHAS MÁXIMAS 𝛿𝑚á𝑥 ≤ 𝛿𝑙𝑖𝑚
𝐹𝑑,𝑢𝑡𝑖 = ෍
𝑖=1
𝑚
𝐹𝐺𝑖,𝑘 + 𝐹𝑄1,𝑘 +෍
𝑗=2
𝑛
ψ1,𝑗 𝐹𝑄𝑗,𝑘
Adota-se a Combinação Rara de serviço (NBR 8681/2004) para a avaliação das
Flechas Instantâneas
𝐹𝐺𝑑 = 𝑔 = 0,5
𝑘𝑁
𝑚
= 0,005 kN/cm
FQd = 1 kN
Fgd
= FQd
𝛿𝑖𝑛𝑠𝑡,𝐺 =
5 . 0,005 . 3754
384 1950 864
= 0,76 𝑐𝑚
Assim,
OBS. Para o cálculo dos deslocamentos instantâneos deve-se considerar o Módulo de 
Elasticidade Médio E0,m
E0,med = 19500 MPa = 1950 kN/cm²
𝛿𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑄1
=
0,2 . 3753
48 . 1950 . 864
= 0,13 𝑐𝑚
𝛿𝑖𝑛𝑠𝑡 = 0,76 + 0,13 = 0,89 cm 𝛿𝑙𝑖𝑚 =
𝐿
300
=
375
300
= 1,25 𝑐𝑚<
OK !
As flechas máximas devem atender aos limites para o plano de flexão conforme 
Tabela 21 pag 67 NBR 7190/2022
𝛿𝑚á𝑥 ≤ 𝛿𝑙𝑖𝑚
Determinação da Flecha Final:
𝛿𝑓𝑖𝑛,𝐺,𝑘 = 𝛿𝑖𝑛𝑠𝑡,𝐺𝑘
( 1 + ∅ )
𝛿𝑓𝑖𝑛,𝑄𝑗,𝑘 = 𝛿𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑄𝑗,𝑘 ψ2 (1 + ∅ )
𝛿𝑓𝑖𝑛 = 𝛿𝑖𝑛𝑠𝑡 + 𝛿𝑐𝑟𝑒𝑒𝑝
∅ : coeficiente de Fluência dado pela Tabela 20 da NBR 7190/2022 pag 66
∅ = 0,8
ψ2 : fator de combinação dado pela Tabela 6 da NBR 8681/2004 pag 13
ψ2 = 0,3
𝛿𝑓𝑖𝑛,𝐺,𝑘 = 𝛿𝑖𝑛𝑠𝑡,𝐺𝑘
( 1 + ∅ )
𝛿𝑓𝑖𝑛,𝑄𝑗,𝑘 = 𝛿𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑄𝑗,𝑘 ψ2 (1 + ∅ )
𝛿𝑓𝑖𝑛 = 𝛿𝑓𝑖𝑛,𝐺,𝑘 + 𝛿𝑓𝑖𝑛,𝑄𝑗,𝑘
𝛿𝑖𝑛𝑠𝑡,𝐺 = 0,76 𝑐𝑚
𝛿𝑖𝑛𝑠𝑡,𝑄1
= 0,13 𝑐𝑚
𝛿𝑓𝑖𝑛,𝐺,𝑘 = 0,76 ( 1 + 0,8 )
𝛿𝑓𝑖𝑛,𝐺,𝑘 = 1,37 𝑐𝑚
𝛿𝑓𝑖𝑛,𝑄𝑗,𝑘 = 0,13 . 0,3 (1 + 0,8 )
𝛿𝑓𝑖𝑛,𝑄𝑗,𝑘 = 0,07 𝑐𝑚
𝛿𝑓𝑖𝑛 = 1,37 + 0,07
𝛿𝑓𝑖𝑛 = 1,44 cm 𝛿𝑙𝑖𝑚 =
𝐿
150
=
375
150
= 2,5 𝑐𝑚< OK !
35
CONCLUSÃO:
A seção 6 x 12 cm, de madeira classe D60, atende todas as verificações previstas 
na NBR 7190 para ELU e ELS. 
Assim, dentre as seções disponíveis para o projeto da estrutura em questão, 
deverá ser utilizada a uma peça com seção 6 x 12 cm.
37
TAREFA (entrega): FLEXÃO SIMPLES 
Verificar as condições de segurança da viga de madeira indicadas nas figuras.
DADOS:
• Situação de Projeto : E.L.U. = Combinação normal de ações 
• Madeira FOLHOSA D-40, 2a. classe de umidade 2. 
• Carregamento atuante : 
gk = 1,5 kN/m (permanente),
Pk = 1 kN (carga variável com duração acumulada permanente). 
gk
4,5 m
PkPk
1,5 m1,5 m1,5 m
x
7,5 
20 cm 
Seção
Transversal