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ANÁLISE REAL 
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
 > Definir função contínua utilizando a ideia de limites.
 > Reconhecer funções contínuas em conjuntos conexos e em conjuntos com-
pactos.
 > Identificar os tipos de descontinuidade de uma função.
Introdução
Informalmente, quando pensamos em função contínua, podemos associá-la 
àquela cujo gráfico pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel, ou seja, de 
maneira interrupta (sem quebras ou saltos). No entanto, é importante evidenciar 
que o estudo da continuidade de uma função está vinculado ao estudo de limite. 
Isso implica, formalmente, que uma função f(x) será contínua em x = a quando 
algumas condições forem satisfeitas. Podemos reconhecer as funções contínuas 
em conjuntos conexos, aqueles em que não há qualquer maneira de dividir seus 
elementos em dois conjuntos dicotômicos e bem separados, e em conjuntos 
compactos, aqueles em que “[...] para um dado espaço métrico (K, dK) e para toda 
f:K → contínua existir um x* ∈ K tal que f(x*) = infx∈Kf(x). Se K X, dizemos que 
K é compacto se K é compacto com a métrica induzida por X” (OLIVEIRA, 2014).
Neste capítulo, vamos definir função contínua de forma mais intuitiva e pela 
ideia de limites. Também ensinaremos o leitor a reconhecer funções contínuas 
em conjuntos conexos e compactos e, por fim, explicaremos os três tipos básicos 
de descontinuidade de uma função.
Continuidade 
de funções
Cristiane da Silva
Função contínua
Para compreendermos o significado de função contínua, vamos pensar em 
uma bola que é arremessada. Ela seguirá uma trajetória como uma curva 
sem interrupções, ou seja, uma trajetória contínua, como vemos na Figura 1.
Figura 1. Lançamento de uma bola.
Podemos definir uma função contínua por seu gráfico ou sua definição. 
O gráfico é um recurso visual que auxilia no entendimento da definição. No 
caso da função contínua, é como se você utilizasse um lápis para desenhar 
uma curva sem tirá-lo do papel (Figura 2).
Figura 2. Função contínua.
Perceba que não há qualquer quebra, qualquer salto. A Figura 2 apresenta 
uma linha contínua, sem descontinuidade. Isso posto, precisamos enten-
der quais propriedades de uma função podem causar quebras ou buracos. 
Acompanhe a Figura 3.
Continuidade de funções2
Figura 3. Funções descontínuas.
Fonte: Anton, Bivens e Davis (2014, p. 110).
Anton, Bivens e Davis (2014) explicam que uma função terá uma quebra 
ou buraco em um ponto x = c, como mostra a Figura 3, nos seguintes casos:
1. a função f não está definida em c, como mostra a Figura 3a;
2. o limite de f(x) não existe quando x tende a c, como mostram as Figuras 
3b e c;
3. o valor da função e o valor do limite em c são diferentes, como mostra 
a Figura 3d. 
Isso nos leva à definição de continuidade (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014):
Dizemos que uma função f é contínua em x = c se as seguintes condições 
forem satisfeitas: 1) f(c) estiver definida; 2) existir; 3) 
Quando uma das condições da definição falha, existe uma descontinui-
dade. Na Figura 3, observamos que f(x) tem uma descontinuidade em x = c. 
Na Figura 3a, ocorre a violação da primeira condição da definição, quando 
a função não está definida em c. Na Figura 3b, os limites laterais da função 
quando x tende a c não são iguais, então não existe o que viola a 
segunda condição da definição. Chamamos esse caso de descontinuidade 
de salto em c. Na Figura 3c, os limites laterais são infinitos, então não existe 
 e, aqui, dizemos que a função tem uma descontinuidade infinita em 
c. Na Figura 3d, a função está definida em c e o existe; porém, esses 
dois valores são diferentes, o que viola a terceira condição da definição. Na 
última situação, dizemos que a função tem uma descontinuidade removível 
em c (ANTON; BIVENS; DAVIS, 2014).
Outra definição importante diz que uma função f é contínua à di-
reita em um número a se e contínua à esquerda em a se 
 Além disso, a função será contínua em um intervalo se for 
Continuidade de funções 3
contínua em todos os números do intervalo (STEWART, 2016). Vejamos um 
exemplo de Stewart (2016).
Mostre que a função é contínua no intervalo 
[–1,1].
Solução:
Se –1 < a < 1, então, usando as propriedades dos limites:
Por definição, f é contínua em a se –1 < a < 1. Cálculos análogos mostram que:
Logo, f é contínua à direita em –1 e contínua à esquerda em 1. Consequen-
temente, f é contínua em [–1,1]. Confira o gráfico da função e veja que ele é a 
metade inferior do círculo:
Figura 4. Gráfico da metade inferior do círculo x² + (y – 1)² = 1.
Fonte: Stewart (2016, p. 101).
Continuidade de funções4
Para facilitar o trabalho, especialmente quando estivermos tratando de 
funções contínuas complicadas, convém utilizar o seguinte teorema, que 
possibilita trabalhar com funções mais simples:
Se f e g forem contínuas em a e c for uma constante, então 
as seguintes funções também são contínuas em a: 
1) f + g;
2) f – g;
3) cf;
4) fg;
5) f/g, se g(a) ≠ 0.
Saber quais funções são contínuas nos permite calcular mais rapidamente 
alguns limites.
Existem funções que são sempre contínuas em seus domínios. Isso 
significa que você não precisa realizar uma análise para esses casos, 
basta conhecê-las. Veja-as a seguir (STEWART, 2016).
 � Polinômios.
 � Funções raízes, para x ≥ 0 em raízes pares 
 � Funções seno e cosseno.
 � Funções trigonométricas inversas, como arcsen, arctag, etc.
 � Funções exponenciais.
 � Funções logarítmicas, para todo x > 0.
 � Funções racionais.
Para Stewart (2016), outra possibilidade de combinar as funções contínuas 
f e g para obter novas funções contínuas é a função composta f ° g, que vem 
do seguinte teorema: 
Seja f é contínua em b e então 
 Dito de outra forma, 
Confira um exemplo de Stewart (2016).
Continuidade de funções 5
Calcule 
Solução:
Uma vez que arcsen é uma função contínua:
Nesta seção, vimos a definição de continuidade de uma forma mais in-
tuitiva e, depois, no contexto das funções. Ensinamos que podemos analisar 
a continuidade de uma função por meio do recurso gráfico e por meio da 
definição. Além disso, estabelecemos sua relação com limite e conhecemos 
teoremas que nos permitem trabalhar com funções contínuas mais simples.
Funções contínuas em conjuntos conexos e 
compactos
Nesta seção, estudaremos funções contínuas em conjuntos conexos e com-
pactos. Neri e Cabral (2011) afirmam que A é um conjunto conexo se A é 
um dos intervalos da seguinte definição:
Sejam a, b ∈ com a ≤ b, um intervalo é um subconjunto 
de R de qualquer uma das formas abaixo:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Continuidade de funções6
Quando a = b, temos [a,a] = {a} e [a,a) = (a,a) = (a,a] = ∅. Logo, o conjunto 
vazio e os conjuntos unitários são intervalos. Esses dois tipos de intervalos são 
ditos degenerados, enquanto outros são ditos não degenerados. O intervalo 
∅ e os intervalos dos tipos (3), (6), (8) e (9) são ditos abertos. O intervalo ∅ e 
os intervalos dos tipos (1), (5), (7), (9) são ditos fechados” (NERI; CABRAL, 2011). 
Note que, de acordo com essa definição, o conjunto dos reais e o conjunto 
vazio são os únicos intervalos que possuem a propriedade de ser abertos e 
fechados ao mesmo tempo. Também podemos observar que existem intervalos 
que não são abertos nem fechados.
Dito isso, Neri e Cabral (2011) destacam que uma função contínua leva 
conexo em conexo, mas, para apresentar o teorema que trata dessa questão, 
precisamos do teorema do valor intermediário:
Se f ∈ C([a,b]) e f(a) < k < f(b), então existe c ∈ (a,b) tal que 
f(c) = k. A mesma conclusão vale quando f(a) > k > f(b).
Assim, podemos seguir para o próximo teorema, que diz que a imagem 
de conexo é conexo:
Seja I R um conexo e f: I → contínua, então f(I) é um conexo.
Stewart (2016) explica que o teorema do valor intermediário afirma que 
uma função contínua assume todos os valores intermediários entre os valores 
da função f(a) e f(b). Observe a Figura 5 e verifique que o valor de k pode ser 
assumido uma vez (Figura 5a) ou mais (Figura 5b).
Figura5. Representação gráfica do teorema do valor intermediário.
Fonte: Adaptada de Stewart (2016).
Continuidade de funções 7
Stewart (2016) destaca que o teorema do valor intermediário será verda-
deiro para aquelas funções contínuas cujo gráfico não apresente saltos ou 
quebras. No entanto, quando as funções forem descontínuas, o teorema se 
torna falso.
Quanto às funções contínuas em compactos, vale lembrar que, por de-
finição, um subconjunto não vazio de R é compacto se, e somente se, ele é 
fechado e limitado. Dito isso, podemos dizer que a imagem de compacto é 
compacto, como afirmam Neri e Cabral (2011) no seguinte teorema:
Seja K um compacto e f: K → contínua, então f(K) é um compacto.
Antes de apresentar o corolário de Weierstrass, Neri e Cabral (2011) reto-
mam a definição de pontos de máximo, mínimo e extremo global:
Sejam f: A → e B A. Se f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ B, então dizemos 
que x0 é um ponto de máximo de f em B. Neste caso, f(x0) é o valor máximo 
de f em B. Se f(x0) ≤ f(x) para todo x ∈ B, então x0 é dito ponto de mínimo 
de f em B e f(x0) é o valor mínimo de f em B. Se x0 é ponto de máximo ou de 
mínimo em B, então x0 é chamado de extremo em B. Em particular, quando 
B = A, trata-se de máximo global ou mínimo global ou extremo global de f.
Com essa definição, podemos seguir com o corolário de Weierstrass, 
que diz:
Se f: [a,b] → é contínua, então f tem pontos de máximo e de mínimo em [a,b]. 
Outra definição importante trata da função uniformemente contínua: 
Seja f: A → , diz-se que f é uniformemente contínua se 
tal que implica que 
De onde segue que uma função contínua em compacto é uniformemente 
contínua. Acompanhe o teorema: 
Seja K um compacto e f: K → contínua, então f é 
uniformemente contínua em K (NERI; CABRAL, 2011).
Continuidade de funções8
Adicionalmente, Neri e Cabral (2011) trazem a definição de função Lipschitz 
contínua, importante em aplicações de análise, como nas equações diferen-
ciais. A definição diz o seguinte: 
Uma função f: A → é dita Lipschitz contínua se existe K > 0 tal 
que para todo x, y ∈ A. Além disso, se f é 
Lipschitz contínua em A, então f é uniformemente contínua em A.
Abordaremos, agora, os pontos fixos para funções contínuas. Para tanto, 
vamos recorrer à definição que diz: 
Seja f: A → , dizemos que x é ponto fixo de f se f(x) = x. Para compre-
ender melhor, vejamos um exemplo.
A função f(x) = x² – x – 2 pode ser reescrita como:
onde g(x) = x²– 2. Essa função tem, como ponto fixo, o valor x = 2, pois:
Esse é exatamente o valor da raiz de f(x), pois: 
Ou seja, no ponto x que corresponde à raiz de f(x), ao substituirmos o valor 
de x na função g(x), teremos, como resultado, o próprio valor de x. Portanto, a 
raiz de f(x) será o ponto fixo de g(x), ou seja, o valor que, ao ser substituído em 
g(x), retorna o próprio valor de x.
Vejamos mais alguns teoremas e definições importantes reportados por 
Neri e Cabral (2011).
Continuidade de funções 9
Teorema do ponto fixo de Brouwer: 
Se f: [0,1] → [0,1] é contínua, então f tem um ponto fixo.
Definição: Seja f: A → , dizemos que f é uma contração se existe α ∈ (0,1) 
tal que para todo x,y ∈ A.
Teorema do ponto fixo de Banach: 
Sejam f: A → contração e X A fechado, não vazio e tal que f(X) X, então 
existe um único a ∈ X que é ponto fixo de f. Mais precisamente, dado x0 ∈ X, a 
sequência (xn)n∈N, definida recursivamente por converge 
para a. 
Esse teorema também é conhecido como “método das aproximações suces-
sivas de Picard” ou “lema da contração”.
Nesta seção, vimos como reconhecer funções contínuas em conjuntos 
conexos e em conjuntos compactos. Também conhecemos os pontos fixos 
para funções contínuas. Direcionamos a atenção para vários teoremas e 
definições importantes a respeito das funções contínuas.
Tipos de descontinuidade
Conforme discutimos nas seções anteriores, quando uma função é contínua, 
espera-se que ela esteja definida para todos os valores de seu domínio. 
Quando isso não ocorre, há uma descontinuidade, que pode ser classificada 
em três tipos básicos: 
1. removível; 
2. de salto (ou de primeira espécie); 
3. infinita (ou de segunda espécie). 
Ávila (2006, p. 155) apresenta a definição:
Sendo a um ponto de acumulação do domínio D de uma função f, dizemos 
que f é descontínua em x = a, ou f não tem limite com x → a, ou esse limite 
existe e é diferente de f(a), ou f não está definida em x = a. Analogamente, 
definimos descontinuidade à direita e descontinuidade à esquerda. 
Essa definição permite admitir que um ponto pode ser descontinuidade 
de uma função mesmo que não pertença ao domínio desta. Isso porque se 
Continuidade de funções10
considera o que acontece nas proximidades dos pontos de acumulação do 
domínio da função, ainda que eles não pertençam ao domínio (ÁVILA, 2006). 
Vejamos um exemplo envolvendo descontinuidade removível de uma função.
Uma função tem uma descontinuidade removível em x = a se o limite 
de f(x) existe em a, mas se f(a) é indefinida ou se o 
valor de f(a) difere do limite. Se nos for solicitado, por exemplo, para encontrar 
os valores de x, no caso de existirem, nos quais não é contínua, e 
determinar se cada um desses valores é uma descontinuidade removível, fazemos 
o seguinte. Primeiramente, reescrevemos a função:
que representa uma reta. Lembrando que a função não está definida em x = 2, 
pois torna o denominador nulo. Nos outros pontos, a função é contínua e possui 
limite em todo o domínio, mas também temos o ponto de descontinuidade em 
x = 2, que é removível. Observe a Figura 6.
Figura 6. Representação da função f(x).
Fonte: Adaptada de Descontinuidade removível de uma função (2017).
Portanto, ao completar a definição da função com o ponto f(x) = 4 para x = 
2, tem-se uma função contínua.
Em outras palavras, a descontinuidade removível que pode ser removida a 
partir do momento que se redefine uma nova função cujo ponto em questão 
seja igual ao limite da função nesse mesmo ponto. 
A descontinuidade de primeira espécie, ou do tipo salto, ocorre quando 
a função possui, no ponto considerado, limites à direita e à esquerda, mas 
esses limites são diferentes. Ou seja, existem limites laterais em determinado 
Continuidade de funções 11
ponto, mas eles não coincidem, havendo saltos no valor da função. Nesse 
caso, a descontinuidade é mais evidente do que a removível. Vejamos um 
exemplo envolvendo descontinuidade de salto de uma função.
Vamos calcular o quando: 
Nesse caso, temos que, embora a função seja definida no ponto 2, não existe 
 pois e Observe a Figura 7.
Figura 7. Representação da função f(x).
Fonte: Adaptada de Santos e Bianchini, ([2020]).
Note que, nesse caso, como os limites laterais existem, são finitos, mas 
diferentes, não importa qual seja o valor de f(2): a função sempre apresentará 
uma descontinuidade nesse ponto. Por esse motivo, dizemos que a função f 
apresenta, nesse ponto, uma descontinuidade essencial de salto.
Por fim, a descontinuidade de segunda espécie, ou do tipo infinita, ocorre 
quando a função tende a ±∞ no ponto considerado ou quando não tem li-
mite nesse ponto (ÁVILA, 2006). Isso significa que algum dos limites laterais 
inexiste ou tende ao infinito no ponto x = a, no qual estamos analisando a 
continuidade. Isso ocorre, por exemplo, na função trigonométrica tangente 
de x. Acompanhe o exemplo.
Continuidade de funções12
Vamos analisar o limtg(x) nas seguintes situações:
Nesse caso, temos que Além disso, e
 Observe a Figura 8.
Figura 8. Representação da função.
Note que a função tangente de x cresce ilimitadamente quando pela 
esquerda e que a função tangente de x decresce ilimitadamente quando 
pela direita. Isso implica uma descontinuidade infinita.
Nesta seção, identificamos os tipos básicos de descontinuidade de uma 
função: removível, de salto (ou de primeira espécie) e infinita (ou de segunda 
espécie). Além disso, vimos exemplos e representações gráficas. De modo 
geral, este capítulo contribuiupara definir função contínua a partir da ideia 
de limites e para reconhecer essas funções em conjuntos conexos e em 
conjuntos compactos.
Continuidade de funções 13
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I. C.; DAVIS, S. L. Cálculo: volume 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
ÁVILA, G. Análise matemática para licenciatura. 3. ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006.
DESCONTINUIDADE REMOVÍVEL DE UMA FUNÇÃO. Dicas de Cálculo, 2017. Disponível em: 
https://www.dicasdecalculo.com.br/descontinuidade-removivel-de-uma-funcao/. 
Acesso em: 14 abr. 2021.
NERI, C.; CABRAL, M. Curso de análise real. 2. ed. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática, 
Universidade Federal do Rio de Janeiro, 2011. Disponível em: https://www.labma.ufrj.
br/~mcabral/livros/livro-analise/curso-analise-real-a4.pdf. Acesso em: 14 abr. 2021.
OLIVEIRA, R. I. Topologia e espaços métricos. Rio de Janeiro: IMPA, 2014. Disponível em: 
http://w3.impa.br/~rimfo/reta_v14/topologia.pdf. Acesso em: 14 abr. 2021.
SANTOS, A. R.; BIANCHINI, W. Continuidade. In: SANTOS, A. R.; BIANCHINI, W. Aprendendo 
cálculo com o Maple: cálculo I. Rio de Janeiro: UFRJ, [2020]. Cap. 8. Disponível em: http://
www.im.ufrj.br/waldecir/calculo1/calculo1html/cap1_8.html. Acesso em: 14 abr. 2021.
STEWART, J. Cálculo: volume I. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
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