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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS Universidad del Perú. Decana de América FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS EXAMEN FINAL DE ANÁLISIS FUNCIONAL 1.- Sea E un espacio normado con dimE ≥ 3. Considere aplicación T : E → E definida como Tu = u si ‖u‖ ≤ 1,u ‖u‖ si ‖u‖ > 1. tal que ‖Tu− Tv‖ ≤ 2‖u− v‖. Demuestre que existe un producto escalar (·, ·) en E tal que (u, u)1/2 = ‖u‖, ∀u ∈ E. 2.- Sean X, Y espacios normados, T : X −→ Y una aplicación tal que T0 = 0 y ‖Tx−Ty‖ = ‖x−y‖ para todo x, y ∈ X. Demostrar que T es lineal. 3.- Sea H un espacio de Hilbert y F : H → R una función convexa de clase C1. Sea K ⊂ H convexo y sea u ∈ H. Demuestre que las siguientes propiedades son equivalentes: (i) F (u) ≤ F (v) ∀v ∈ K, (ii) (F ′(u), v − u) ≥ 0 ∀v ∈ K. 3.- Demuestre que todo espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isomórficamete isomé- trico a `2. 4.- Sean X un espacio de Banach. Sean G y L dos subespaclos cerrados de X. Demuestre que las siguientes propiedades son equivalentes: a) G + L es cerrado en X. b) G⊥ + L⊥ es cerrado en X. c) G + L = ( G⊥ ∩ L⊥ )⊥ . d) G⊥ + L⊥ = (G ∩ L)⊥. FCM/CPM 1
