PMR5010_2018_Aula01_INTRODUCAO

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PMR5010 – Elementos Finitos em 
Sist. Multifísicos: Fundamentos
Profa. Dra. Larissa Driemeier
Prof. Dr. Marcilio Alves
Prof. Dr. Rafael Traldi Moura
And so these men of Indostan,
Disputed loud and long,
Each in his own opinion,
Exceeding stiff and strong,
Though each was partly in the right,
And all were in the wrong!
John Godfrey Saxe (1816-1887)
Aula 01: Introdução
Conteúdo da disciplina
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 219 de Fevereiro de 2018
Aula Data Assunto Professor
1 19/2
• Modelagem em engenharia
• Mecânica dos Sólidos
• Análise Matricial das estruturas 1D
Rafael
2 26/2
• Introdução ao Método dos Elementos Finitos
• Aplicações: estruturas, fluidos, corpos rígidos
Rafael
3 05/3 • Elementos finitos: exercícios Rafael
4 12/3 • Prova 1 : Teoria e Exercício Programa 1 Rafael
5 19/3
• Elementos finitos para vigas
• Programação do método dos elementos finitos
Marcilio
6 26/3
• Análise modal de vigas
• Experimento: modal
Marcilio
7 09/4 • Resposta dinâmica de vigas: implícito/explícito Marcilio
8 16/4 • Prova 2 : Teoria e Exercício Programa 2 Marcilio
9 23/4
• Elementos finitos planos
• Elementos finitos isoparamétricos
Larissa
10 07/5 • Elementos finitos isoparamétricos Larissa
11 14/5 • Integração numérica Larissa
12 21/5 • Prova 3 : Teoria e Exercício Programa 3 Larissa
A média final é composta por:
Média final = Media prova
• Media prova significa média harmônica das 3 provas;
• Programas: podem ser feitos em dupla;
• Parte teórica da prova: com consulta ao próprio material;
• Parte do programa da prova: apesar do programa poder ser feito em
dupla, cada aluno deve resolver o exercício de aplicação do programa
da prova individualmente, no seu próprio notebook.
Avaliação
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 319 de Fevereiro de 2018
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 419 de Fevereiro de 2018
Bibliografia Básica
• AVELINO ALVES FILHO “Elementos Finitos, A base da tecnologia CAE”, 
5ª Edição – Editora Érica.
• AVELINO ALVES FILHO “Elementos Finitos - A Base da Tecnologia CAE -
Análise Dinâmica”, 2ª Edição – Editora Érica.
• M. ASGHAR BHATTI “Fundamental Analysis and Applications with
Mathematica and MatLab computations”, 1ª Edição – Editora 
Wiley.
• KLAUS-JURGEN BATHE “Finite Element Procedures”, 2ª Edição –
Editora Prentice Hall.
Em nossas aulas aprenderemos…
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 519 de Fevereiro de 2018
• Um pouco de engenharia...
– MEF.
• Um pouco de postura de engenheiro...
– Curiosidade;
– Cuidado;
– Capricho;
– Responsabilidade;
– Atitude.
Mecânica
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 619 de Fevereiro de 2018
Lida com leis fundamentais e princípios da mecânica, com intrínseco
valor científico.
Resolve problemas específicos através de simulações utilizando
ferramentas numéricas implementadas em computadores.
Transfere o conhecimento teórico para aplicações científicas e de
engenharia: construção de modelo matemático do fenômeno físico.
Segundo Prof. Dr. Avelino Alves Filho (livro texto),
“Um dos pontos mais importantes que contribui comprovadamente para o 
sucesso e progresso dos recursos de CAE, e que tive a oportunidade de 
verificar nos anos de trabalho nesta área, está relacionado aos CONCEITOS 
OBRIGATÓRIOS NA UTILIZAÇÃO DA TECNOLOGIA CAE. Muitos profissionais 
que iniciam suas aplicações na área de Elementos Finitos encontram 
dificuldades, pois o aprendizado de uso de software é feito sem base 
conceitual, confundindo o aprendizado de manuseio de programa com o 
conhecimento do Método dos Elementos finitos. Justifica-se portanto, a 
filosofia de abordagem:
SE O ENGENHEIRO NÃO SABE MODELAR O PROBLEMA SEM TER O 
COMPUTADOR, ELE NÃO DEVE FAZÊ-LO TENDO O COMPUTADOR!”
Fisolofia do Curso
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 719 de Fevereiro de 2018
The Blind Men and the Elephant
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 819 de Fevereiro de 2018
And so these men of Indostan,
Disputed loud and long,
Each in his own opinion,
Exceeding stiff and strong,
Though each was partly in the right,
And all were in the wrong!
The blind men and the elephant.
Poem by John Godfrey Saxe
Modelamento e Análise
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 919 de Fevereiro de 2018
Problema real
Modelo físico
Modelo matemático
Modelo numérico
Análise
Simplificações e aproximações
Eq. Diferencial governante
Discretização
Solução de Sistemas de Equações
MODELO FÍSICO
O mundo é tridimensional, dinâmico e não linear
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 1119 de Fevereiro de 2018
• O engenheiro
constrói um modelo,
a partir de um
problema que não
possui solução exata,
e acha uma solução
aproximada ótima.
Modelo
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 1219 de Fevereiro de 2018
Modelar é o processo de escrever uma
equação ou sistema de equações que
descreve o movimento de um mecanismo
físico. O sucesso do modelo é determinado
por quão bem a solução da equação prevê
o comportamento observado no sistema
real.
O mundo é tridimensional, dinâmico e não linear
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 1319 de Fevereiro de 2018
SISTEMA 
REAL
O tronco tem seção 
transversal constante e a 
madeira é um material 
homogêneo
Apoios 
ideais
Peso concentrado na posição 
correspondente ao centro de 
gravidade do corpo
Serão desprezados 
quaisquer efeitos 
dinâmicos
MODELO FÍSICO
Viga bi-apoiadaa
L
W EI
MODELO MATEMÁTICO
Teoria simples de Viga
 xp
dx
vd
EI 
4
4
• Um bom modelo deve:
– Considerar os aspectos essenciais do problema;
– Desprezar os fatores secundários;
– Fornecer resultados próximos o suficiente das respostas reais.
• Habilidade em modelamento é baseada na visualização do problema 
físico e relacionamento com o que queremos analisar: 
– Distribuição de temperatura?
– Campo de tensões?
– Campo de deformações?
• Se as previsões do modelo não estão de acordo com as respostas reais 
ou esperadas é necessário refinar o modelo:
– Incluir aspectos inicialmente desprezados.
Modelo de engenharia (modelo físico)
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 1419 de Fevereiro de 2018
MODELO MATEMÁTICO
As forças de volume são descritas sempre por unidade
de massa ou de volume e não necessitam de contato
para transmissão. São exemplos:
• Gravidade;
• Forças eletromagnéticas;
• Forças de inércia;
• Coriolis, centrifuga, etc.
Forças de volume
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 1619 de Fevereiro de 2018
Forças de volume: Se o corpo é acelerado, 
então as forças de inércia,











3
2
1
b
b
b
b











w






 v
u
u
ubX 
Forças totais de volume:
Superfície (S)
x
Volume (V)
u
v
w
b1 dV
b2 dV
b3 dV
Volume 
elementar dV
As forças de superfície são descritas sempre por
unidade área e necessitam de contato para transmissão.
São exemplos:
• Atrito;
• Força normal;
• Força cisalhante;
• Pressão, etc.
Forças de superfície
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 1719 de Fevereiro de 2018
Força distribuída por
unidade de superfície Superfície (S)x
Volume (V)
u
v
w
b1 dV
b2 dV
b3 dV
Volume 
elementar dV
p2
p3
p1











z
y
x
S
p
p
p
T
Forças internas
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 1819 de Fevereiro de 2018
By Sanpaz - Own work, CC BY-SA 3.0, 
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5736462
Se extrairmos um volume
elementar do corpo vamos
ver que, devido às forças
externas aplicadas, há
forças de reação.
Para o cubo, as forças internas por
unidade de área (setas azuis), em
cada face, podem ser decompostas
em três componentes ortogonais.
Estado de tensõesPMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 1919 de Fevereiro de 2018
https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_stress_tensor
Pode-se decompor os vetores de tensão em components normais e cisalhantes













zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx



σ





















zx
yz
xy
zz
yy
xx
σ
σ
σ



σ
xzzx
zyyz
yxxy






Equilíbrio
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 2019 de Fevereiro de 2018
Considere o equilíbrio de um volume diferencial
para obter as 3 equações de equilíbrio,
0
0
0
3
3
33
2
32
1
31
2
3
23
2
22
1
21
1
3
13
2
12
1
11



























b
xxx
b
xxx
b
xxx
z


𝜎22 −
𝜕𝜎22
𝑥2
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 2119 de Fevereiro de 2018
De forma compacta, temos:
2
2
t
mT
u
bσ





















































13
23
12
3
2
1
0
0
0
00
00
00
xx
xx
xx
x
x
x
Onde e
EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Forma forte de 
equilíbrio
Formulação diferencial
0 bσT
Equilíbrio Dinâmico





















13
23
12
33
22
11







Equilíbrio Estático
Problema
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 2219 de Fevereiro de 2018
“Dado o carregamento externo aplicado (em ST e em V) 
e os deslocamentos prescritos (em Su) queremos
encontrar deslocamentos, deformações e tensões, 
que mantêm o corpo em equilíbrio.”
Equações de equilíbrio
Condições de contorno
upresc Semuu 
2. Forças no contorno: Forças são especificadas na parte ST do contorno.
VT em 0Xσ 
1. Deslocamentos no contorno: Deslocamentos são prescritos na parte Su do 
contorno
Lei constitutiva
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 2319 de Fevereiro de 2018
• A lei constitutiva relaciona tensões e deformações.
• A lei constitutiva elástica linear é a mais simples lei constitutiva!
• Por definição, o material elástico apresenta as seguintes características,
i. Relação tensão deformação é linear;
ii. O comportamento do material é completamente reversível; 
iii. A tensão em um ponto depende apenas da medida de deformação total naquele 
ponto; 
iv. Deformações são pequenas.
E

Caso 
unidimensional:

Lei de Hooke
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 2419 de Fevereiro de 2018
Material elástico linear isotrópico:
































2
21
00000
0
2
21
0000
00
2
21
000
0001
0001
0001
)21)(1(







E
Rigidez: 𝑫
Flexibilidade = 𝑫−1
𝑫
𝝈 = 𝑫𝜺
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 2519 de Fevereiro de 2018








































































yz
xz
xy
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
E



















2
2
2
2
21
00000
0
2
21
0000
00
2
21
000
0001
0001
0001
)21)(1(
Rigidez
Outros materiais
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 2619 de Fevereiro de 2018
Casos particulares
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 2719 de Fevereiro de 2018
Tensão plana:
Deformação
plana:
 
2
1 0
1 0
1
0 0 1 / 2
E




 
 
  
  
c𝑫 =
 
2
1 0
1 0
1
0 0 1 / 2
E




 
 
  
  
cD𝑫 =
Vamos acordar! Determinando eq. governante
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 2819 de Fevereiro de 2018
m=Adx
𝐹 +
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝑑𝑥
dx
F q
ሷ𝑢
𝐴 𝑥 𝜌𝑑𝑥 ሷ𝑢 + 𝐹 = 𝑞𝑑𝑥 + 𝐹 +
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝑑𝑥 𝐴𝜌 ሷ𝑢 = 𝑞 +
𝜕𝐹
𝜕𝑥
• Fazer somatório de forças igual a massa
vezes aceleração!
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 2919 de Fevereiro de 2018
m=Adx
𝐹 +
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝑑𝑥
dx
F q
ሷ𝑢• Utilizando a lei de Hooke e as definições
de tensão e deformação, encontre a
equação governante do sistema.
Dica: utilizar a definição de força e lei de Hooke, depois a
definição de deformação e por último a resultante do
equilíbrio de forças!
Vamos acordar! Determinando eq. governante
𝐴𝜌 ሷ𝑢 = 𝑞 +
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜎 =
𝐹
𝐴
𝜎 = 𝐸𝜀
𝐹 = 𝐴𝐸𝜀
𝜀 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝐹 = 𝐴𝐸
𝜕𝑢
𝜕𝑥 𝜕
𝜕𝑥
𝐴𝐸
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑞 = 𝐴𝜌 ሷ𝑢
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 3019 de Fevereiro de 2018
Determinando as condições de contorno
m=Adx
𝐹 +
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝑑𝑥
dx
F q
𝜕
𝜕𝑥
𝐴𝐸
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑞 = 𝐴𝜌 ሷ𝑢
Precisamos de:
• Duas condições de contorno;
• Duas condições iniciais.
𝑢 𝑥, 0 = 𝑢0 ሶ𝑢 𝑥, 0 = 𝑣0
𝐴 𝑥𝑞 𝐸 𝑥𝑞
𝜕𝑢 𝑥𝑞 , 𝑡
𝜕𝑥
= 𝑃𝑥𝑞 𝑡
𝑢 𝑥𝑞 , 𝑡 = 𝑢𝑥𝑞 ou
ሷ𝑢
Exercício exemplo
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 3119 de Fevereiro de 2018
A barra de alumínio (E=72GPa) ao lado
tem 300mm de comprimento e seção
transversal constante A=120 mm2.
Calcule os deslocamentos da barra,
considerando:
1. Força P;
2. Peso próprio;
3. Peso próprio + força P.
P
L
=
3
0
0
m
m
x
g
1. Força P
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 3219 de Fevereiro de 2018
P
L
E, A,
x
x,u
u(x)
Cinemática:
Lei constitutiva:
Elástica linear
Equilíbrio estático:
dx
du

 E
0
dx
d
1. Força P
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 3319 de Fevereiro de 2018
Equação diferencial (ODE):
Condições de contorno:
Solução analítica do problema:
0,00E+00
4,00E-05
8,00E-05
1,20E-04
1,60E-04
2,00E-04
0 100 200 300
u
[m
m
]
x[mm]
P=0,1
P=1,0
P=5,0
  x
EA
P
xu 
L=300mm
E=72GPa
A=120 mm2
0





g
dx
du
E
dx
d

 
EA
P
dx
du
dx
du
EAPF
u
LxLx
Lx 



00
  x
EA
P
xu 
P
L
=
3
0
0
m
m
x
g
2. Peso Próprio
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 3419 de Fevereiro de 2018
P=0
L
E, A,
x
gA
F
F+dF
dx
x,u
u(x)
g
Cinemática:
Lei constitutiva:
Elástica linear
Equilíbrio estático:
dx
du

 E
g
dx
d



2. Peso Próprio
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 3519 de Fevereiro de 2018
P=0
L
E, A,
x
gA
F
F+dF
dx
x,u
u(x)
g
Equação diferencial (ODE):
Condições de contorno:
Solução analítica do problema:
0





g
dx
du
E
dx
d

 
00
00




LxLx
Lx
dx
du
dx
du
EAP
u
  x
x
L
E
g
xu 






2

2. Peso Próprio
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 3619 de Fevereiro de 2018
L=300mm
E=72GPa
A=120 mm2
P
L
=
3
0
0
m
m
x
g
0,00E+00
4,00E-06
8,00E-06
1,20E-05
1,60E-05
2,00E-05
0 100 200 300
u
[m
m
]
x[mm]
  x
x
L
E
g
xu 






2

g=9,81 m/s2
L=300mm
E=72GPa
A=120 mm2
= 2,7000E-06 kg/mm3
3. Peso próprio + Força P
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 3719 de Fevereiro de 2018
P
L
E, A,
x
gA
F
F+dF/dx
dx
x,u
u(x)
g
Cinemática:
Lei constitutiva:
Elástica linear
Equilíbrio estático:
dx
du

 E
g
dx
d



3. Peso próprio + Força P
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 3819 de Fevereiro de 2018
Equação diferencial (ODE):
Condições de contorno:
Solução analítica do problema:
0





g
dx
du
E
dx
d

 
EA
P
dx
du
dx
du
EAPF
u
LxLx
Lx 



00
  x
EA
Px
L
E
g
xu 












2

P
L
E, A,
x
gA
F
F+dF
dx
x,u
u(x)
3. Peso próprio + Força P
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 3919 de Fevereiro de 2018
L=300mm
E=72GPa
A=120 mm2
P
L
=
3
0
0
m
m
x
g
  x
EA
Fx
L
E
g
xu












2

g=9,81 m/s2
L=300mm
E=72GPa
A=120 mm2
= 2,7000E-06 kg/mm3
0,00000
0,00004
0,00008
0,00012
0,00016
0,00020
0 100 200 300
u
[m
m
]
x[mm]
P=0,1N
P=1N
P=10N
Desafio para casa!
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 4019 de Fevereiro de 2018
Supondo um problema mais complexo de uma 
barra de alumínio de comprimento L, com seção 
variável: AR=2A e Ar=A.
Supondo que a barra esteja tracionada por uma 
força P, calcule analiticamente seus 
deslocamentos, desprezando o peso próprio.
P
x
AR=2A
Ar=A
gA(x)
F
F+dF
dx
L
 
 
















x
L
AA
A
A
AAE
PL
xu
rR
R
R
rR
ln
Acadêmico x Realidade
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 4119 de Fevereiro de 2018
P
L
x
g
A medida que nos distanciamos dos problemas
acadêmicos e nos aproximamos dos problemas reais
de engenharia, estes vão se tornando mais complexos!
Dessa forma, encontrar a solução da equação
diferencial, quando esta existir, é um trabalho árduo...
Além disso, os casos foram unidimensionais…
Engenharia é uma arte!
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 4219 de Fevereiro de 2018
O problema é bem resumido pelo
Dr A. R. Sykes, do British Institution
of Engineers, que, em 1976, disse:
Engineering is the art of modelling
materials we do not wholly understand, 
into shapes we cannot precisely analyse, 
so as to withstand forces we cannot
precisely assess, in such a way that the
public has no reason to suspect the
extent of our ignorance.
Então como fazer?
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 4319 de Fevereiro de 2018
Problemas devem ser simplificados usando certas aproximações…
Métodos numéricos são aproximações dos modelos matemáticos.
MODELO NUMÉRICO
28 de Setembro de 2017PMR5211 – Mecânica dos Sólidos Experimental 44
Métodos numéricos
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 4519 de Fevereiro de 2018
• A análise de estruturas envolve a solução de equações diferenciais parciais.
• Soluções analíticas exatas (fechadas) só existem em casos especiais:
– Geometria e condições de contorno simples.
– Certos tipos de carregamento.
– Material homogêneo.
• A solução de problemas reais requer a utilização de métodos numéricos 
(aproximados):
– Método das Diferenças Finitas.
– Método dos Elementos Finitos.
– Método dos Elementos de Contorno
– Método espectral...
Discretização do problema
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 4619 de Fevereiro de 2018
Determinação do 
perímetro de um 
círculo.
R
Discretizando o círculo em n partes:
RL
dRL



2
2
0

 

a
 
 
 2
2
2
2 2
22quetal 





sen
RL
nn
RsenanaL



A medida que  tende a zero, 
sen tende a 
Solução exata x numérica
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 4719 de Fevereiro de 2018
 
 2
2
2



sen
RL 
A solução numérica de um problema não é 
melhor do que o modelo matemático
utilizado.
A medida que 
tende a zero, 
sen tende a 
Um método numérico é confiável se ele
converge para a solução exata do modelo
matemático, com o refinamento.
RL 2
Para n=360: 
Erro (%)=0,00127
Esse é um exemplo clássico da literatura, para retratar que a idéia do método dos elementos finitos pode ser 
considerada dos matemáticos egípcios (aprox. 1800 a.C.) ou de Archimedes em seus famosos estudos sobre
aproximação de círculo (aprox. 250 a.C.).
Discretização
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 4819 de Fevereiro de 2018
Os modelos numéricos
devem ser implementados
e utilizados com facilidade, 
além de serem eficientes
computacionalmente.
Analisar a velocidade 
de convergência!
0
2
4
6
8
10
01020304050
Er
ro
 (
%
)
Número de elementos n
Passos em uma análise em elementos finitos
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 4919 de Fevereiro de 2018
• Pré-Processamento
• Criação da geometria;
• Atribuição da propriedade de material;
• Seleção do tipo de elemento;
• Discretização do modelo.
• Análise
• Aplicação das condições de contorno;
• Aplicação da carga;
• Submissão para solução.
• Pós-Processamento
• Seleção do tipo de variável de campo de interesse;
• Visualização da variável selecionada;
• Geração de Gráficos/Formas
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 5019 de Fevereiro de 2018
Vários softwares disponíveis no mercado
Ansys 
– Ansys Workbench
– Ansys - LS Dyna
Abaqus
– CAE
– Standard
– Explicit
MSc Products
Patran
Nastran
Dytran
LS-Dyna
Hyper mesh, Ideas, Unigraphics, 
Pro-Mechanica, Adina, Cosmos, 
...
Exemplo
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 5119 de Fevereiro de 2018
A Dynamic Finite Element Analysis of Human Foot Complex in the 
Sagittal Plane during Level Walking
Zhihui Qian Lei Ren Yun Ding John R. Hutchinson Luquan Ren
November 11, 2013https://doi.org/10.1371/journal.pone.0079424
ESTRUTURA DE UM PROGRAMA MEF
EQUAÇÕES E MATRIZES
TRELIÇAS
28 de Setembro de 2017PMR5211 – Mecânica dos Sólidos Experimental 52
Discretização unidimensional
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 5319 de Fevereiro de 2018
Da Mecânica dos sólidos elementar, uma barra
uniforme de comprimento L, área da seção transversal
A, e módulo de elasticidade E podem ser modeladas
como uma mola de rigidez keq
deslocamento
u
F
Força externa 
aplicada
F=Keq u
FF
A, E
L
x
L
AE
keq 
F Feq
k
com:
Considere uma mola linear de rigidez k.
Supõe-se que os deslocamentos em
suas extremidades, chamadas nós,
sejam ui e uj, conhecidos como
deslocamentos nodais. Vamos
considerar que as forças atuando nas
duas extremidades, chamadas forças
nodais, sejam fi e fj.
Forças e deslocamentos nodais
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 5419 de Fevereiro de 2018
y
x
i j
fjfi
ujui
k
As forças nodais e deslocamentos
nodais estão relacionados conforme as
equações.
Relação Força - deslocamento nodal
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 5519 de Fevereiro de 2018
y
x
i j
fjfi
ujui
k
 
 ijj
jii
uukf
uukf


As relações anteriores podem ser
colocadas na forma matricial, ou seja:
Matriz de rigidez do elemento
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 5619 de Fevereiro de 2018
y
x
i j
fjfi
ujui
k
 
 ijj
jii
uukf
uukf























j
i
j
i
f
f
u
u
kk
kk
kd=F
Matriz de rigidez do elemento
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 5719 de Fevereiro de 2018
y
x
i j
fjfi
ujui
k




























2
1
2
1
11
11
11
11
f
f
u
u
L
EA
k
sempre simétrica
Matriz de rigidez do elemento
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 5819 de Fevereiro de 2018
Uma coluna i de K será sempre multiplicada pelo valor de deslocamento da linha i
do vetor u (isto é, em um grau de liberdade).
Define-se a coluna da matriz K – Ki1, por exemplo – como forças correspondentes
a deslocamentos unitários no grau de liberdade 1.









11
11
L
EA
K
Portanto, Kij é a força necessária no grau de liberdade j para deslocamento
unitário no grau de liberdade i.
1
EA/L-EA/L
Teorema de reciprocidade Betti-Maxwell
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 5919 de Fevereiro de 2018
" O deslocamento do ponto k, provocado por uma força unitária aplicada no ponto i, é igual ao 
deslocamento do ponto i, provocado por uma força unitária aplicada no ponto k, desde que 
as direções das forças e deslocamentos coincidam nos respectivos pontos”
A dor no peito por ter levado um soco no rosto
= 
dor no rosto por ter levado um chute no peito!
O que??????
Portanto, as matrizes de Rigidez e Flexibilidadesão sempre simétricas.
i j
fjfi
ujui
k
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=380064778689955&set=a.379051445457955.102144.100000593083958&type=1&ref=nf
Singularidade da matriz de rigidez do elemento
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 6019 de Fevereiro de 2018
A equação Kd=F não pode ser resolvida (i. é,
encontrar deslocamentos nodais) para um valor
arbitrário de F porque a matriz K é singular.
Fisicamente, isso quer dizer que, em equilíbrio
estático, os deslocamentos nodais não podem
ser determinados unicamente por um par de
forças aplicadas nos nós.
Um dos nós deve ser fixo ou com deslocamento
prescrito e, daí, o deslocamento da outra
extremidade pode ser unicamente determinado.
1 2
u1=0 u2
Restringir alguns nós da estrutura significa aplicar condições de contorno.
Solução para um único elemento
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 6119 de Fevereiro de 2018
Nó i é fixo (i.é seu deslocamento é nulo) : 





















2
1
2
0
11
11
f
f
u
k
jj fku  k
f
u jj 
fj
ujui=0
k
Redução da matriz
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 6219 de Fevereiro de 2018
Note que quando um deslocamento ou GL está restrito e vale zero, linhas e
colunas de k associadas àquele deslocamento são eliminadas e apenas o
restante da matriz é resolvida.
Linha 
associada com 
ui
Coluna
associada com 
ui





















j
i
j
i
f
f
u
u
kk
kk
Vários elementos
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 6319 de Fevereiro de 2018
Considere agora duas molas de rigidez diferente unidas uma a outra.
Os nós são numerados globalmente como nós 1,2 e 3.
ui,j
(1,2) - índice inferior refere-se ao número local do nó , representado pelas
letras i e j, e o índice superior refere-se ao número global do elemento
u1,2,3 - índice inferior representa o número global do nó..
1k
F1
2k
1 2 3F2 F3
1 2
 2
3 juu 
   21
2 ij uuu 
 1
1 iuu 
Relações de continuidade
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 6419 de Fevereiro de 2018
Quando dois elementos estão ligados, os nós nós de ligação (final do primeiro
elemento e inicial do segundo) se tornam um só e DEVEM ter o mesmo
deslocamento
deslocamento do nó final do elemento 1 (nó j) deve ser igual ao
deslocamento do nó inicial do elemento 2 (i).
1k
F1
2k
1 2 3F2 F3
1 2
 2
3 juu 
   21
2 ij uuu 
 1
1 iuu 
   21
2 ij uuu 
Equilíbrio de forças
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 6519 de Fevereiro de 2018
A soma das forças nodais externas atuando em cada nó devem ser iguais à soma
das forças nodais de cada elemento, em todos os nós.
 
   
 2
3
21
2
1
1
j
ij
i
fF
ffF
fF



onde F1, F2, F3 são forças nodais externas numeradas globalmente.
Equações de equilíbrio globais
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 6619 de Fevereiro de 2018
Quando continuidade e equilíbrio de forças são impostos, as equações de
equilíbrio global resultante são,


































3
2
1
3
2
1
22
2211
11
0
0
F
F
F
u
u
u
kk
kkkk
kk
kd=F
Problema global
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 6719 de Fevereiro de 2018
Matriz de rigidez global 
(sempre simétrica)
Vetor de deslocamentos
nodais global
Vetor global de forças
nodais
k
d
F
Os deslocamentos nodais globais são também conhecidos como graus de 
liberdade globais.














22
2211
11
0
0
KK
KKKK
KK











3
2
1
u
u
u











3
2
1
F
F
F
Montagem da matriz de rigidez global
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 6819 de Fevereiro de 2018
A matriz de rigidez global é montada através da união das 
matrizes de rigidez de cada elemento, da seguinte forma:
Os termos de rigidez das duas
matrizes se somam nos GL 
coincidentes
Matriz de rigidez do 
elemento 1
Matriz de rigidez do 
elemento 2













22
2211
11
0
0
KK
KKKK
KK
Singularidade da matriz de rigidez global
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 6919 de Fevereiro de 2018
• Como no caso da matriz de rigidez local do elemento a matriz de rigidez
global K é singular. Alguns nós da estrutura devem ser restritos (i.é, 
deslocamento conhecido ou nulo) para tornar o problema estaticamente
determinado ou hiperestático. Então os GL restantes podem ser
determinados. 
• Restringir alguns nós da estrutura significa aplicar condições de contorno.
Condição de contorno homogênia
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 7019 de Fevereiro de 2018
u1 = 0,
 
32223
322212
211
3
2
1
3
2
1
22
2211
11
0
0
uKuKF
uKuKKF
uKF
F
F
F
u
u
u
KK
KKKK
KK





































0
Força de reação desconhecida no nó 1
Forças nodais desconhecidas
Condição de contorno homogênia
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 7119 de Fevereiro de 2018
PORTANTO:
1. Para condições de contorno homogêneas delete as linhas e colunas
apropriadas da matriz de rigidez global e resolva o conjunto reduzido de
equações para os deslocamentos nodais desconhecidos.
2. Deslocamentos e forças NÃO PODEM ser conhecidos no mesmo nó. Se o
deslocamento é desconhecido, a força naquele nó é conhecida e vice-versa.


































3
2
1
3
2
1
22
2211
11
0
0
F
F
F
u
u
u
KK
KKKK
KK Linha
associada
com u1
Coluna associada com u1
Condição de contorno não homogênea
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 7219 de Fevereiro de 2018
 
32223
3222112
21111
3
2
1
3
2
1
22
2211
11
0
0
uKuKF
uKuKKKF
uKKF
F
F
F
u
u
u
KK
KKKK
KK








































Força de reação desconhecida no nó 1
Forças nodais desconhecidas
u1 = , um valor conhecido diferente de zero
Condição de contorno não homogênea
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 7319 de Fevereiro de 2018


















 


3
2
3332
2322
3
112
3332223
323222112
u
u
KK
KK
F
KF
uKuKF
uKuKKF


PORTANTO: 
Para condições de contorno não homogêneas
1. Delete as linhas e colunas apropriadas da matriz de rigidez global e resolva o 
conjunto reduzido de equações para os deslocamentos nodais desconhecidos.
2. Não esqueça de modificar o lado direito da equação!!!
 
32223
3222112
21111
3
2
1
3
2
1
22
2211
11
0
0
uKuKF
uKuKKKF
uKKF
F
F
F
u
u
u
KK
KKKK
KK







































Exercício exemplo
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 7419 de Fevereiro de 2018
Calcule os deslocamentos nodais da estrutura abaixo:
K1
K2
K3
K4
K6K5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) (6)
A
B
C
D
E
FB
FC
FD
K1=200 Kgf/mm
K2=100 Kgf/mm
K3=150 Kgf/mm
K4=300 Kgf/mm
K5=400 Kgf/mm
K6=500 Kgf/mm
FB=400 Kgf
FC=300 Kgf
FD=500 Kgf
Exercício adaptado de:
Elementos Finitos, A base da tecnologia 
CAE
Avelino Alves Filho
5ª. Edição – Editora Érica
Exercício exemplo
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 7519 de Fevereiro de 2018
(1)
(2)
(4)
(5)
(6)
1
2
3
4
6
F2
F3
F5
(3)
5
K1
K2
K3
K4
K6K5
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) (6)
A
B
C
D
E
FB
FC
FD
Exercício exemplo
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 7619 de Fevereiro de 2018
Usyst =
1.9208
2.2044
1.6317
Exercício exemplo
PMR5010– Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 7719 de Fevereiro de 2018
Sequência de passos sugerida no livro
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 7819 de Fevereiro de 2018
1. No exemplo já foi fornecido o modelo constituído de elementos de mola. 
Defina os nós em comum para cada elemento;
2. Determine a matriz de rigidez de cada elemento;
3. Monte matriz de rigidez da estrutura e o vetor de forças nodais;
4. Defina as condições de contorno e aplique à matriz de rigidez; 
5. Determine os deslocamentos nodais
Para você treinar!
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 7919 de Fevereiro de 2018
Você achou a solução analítica para uma barra de 
alumínio – L=300mm, com seção variável: AR=160mm
2 e 
Ar=80mm
2 e tracionada pela força P=450 N. Calcule os 
deslocamentos da barra por análise matricial.
P
L
x
AR=160mm
2
R  7,14mm
Ar=80 mm
2
R  5,05mm
gA(x)
F
F+dF
dx
450 N
100 mm 100 mm 100 mm
Para você treinar!
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 8019 de Fevereiro de 2018
A seção transversal de cada barra pode ser obtida assumindo-se a média
de cada segmento,
 
   
  2
03
2
2
2
1
mm 93
3
2
2
1
mm 120
3
2
32
1
mm 147
32
1











 












 





 












 

A
AA
AA
AA
A
AA
AA
AA
AAA
rR
R
rR
R
rR
R
rR
RR
100 mm 100 mm 100 mm
AR = 160 mm
2 Ar = 80 mm
2
Para você treinar!
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 8119 de Fevereiro de 2018
• A rigidez equivalente de cada barra é dada por em N/mm.
i
ii
i
L
EA
k 
N/mm 66960
100
7200093
N/mm 86400
100
72000120
N/mm 105840
100
72000147
3
2
1



x
k
x
k
x
k
450 N1 2 3 4
1 2 3
u1=0 u2 u3 u4
k1=105840 N/mm k2=86400 N/mm k3=66960 N/mm
Solução para um único elemento
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 8219 de Fevereiro de 2018









































4
3
2
1
4
3
2
1
33
3322
2211
11
00
0
0
00
F
F
F
F
u
u
u
u
KK
KKKK
KKKK
KK
u1 = 0,
Linha e coluna
associada a u1
Força associada
com o GL 
restrito (força de 
reação)
 
 
4333
4333222
32221
450
0
0
uKuK
uKuKKuK
uKuKK



Redução da matriz de rigidez,
Condição de contorno homogênea
Solução para um único elemento
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 8319 de Fevereiro de 2018











































01618,0
00946,0
00425,0
450
0
0
3,600002,102230,94482
2,102232,102230,94482
0,944820,944820,94482
10 5
4
3
2
u
u
u
x=0 u=0
x=100 u=0,00425 mm
x=200 u=0,00946 mm
x=300 u=0,01618 mm 
(condição de contorno do problema...)
AINDA, se utilizarmos a linha da matriz de rigidez que foi retirada, e 
multiplicarmos pelo vetor deslocamentos, agora conhecido,
    N 450apoio de Reação
016180,0
009460,0
004252,0
0
00105840105840 















Obviamente... reação de apoio vale - 450 N!
Solução para um único elemento
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 8419 de Fevereiro de 2018
Comparação com resultados exatos
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0,016
0,018
0 50 100 150 200 250 300
u
[m
m
]
x[mm]
analítico
numérico
Nesse caso, os resultados produzidos pelo MEF são exatos, porém, 
discretos.
Para você treinar em casa!
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 8519 de Fevereiro de 2018
1. Na estrutura montada abaixo, os blocos
rígidos estão unidos a molas lineares.
Imagine que são somente permitidos
deslocamentos horizontais. Escreva as
equações de equilíbrio global Kd=F depois
de aplicar as condições de contorno em
deslocamentos em termos de: rigidez das
molas ki, graus de liberdade, ui, e forças
aplicadas, Fi.
K1 K2
K3
K4
F
F2
F1
u1 u2
u3
Para você treinar em casa!
PMR5010 – Elementos Finitos em Sist. Multifísicos: Fundamentos 8619 de Fevereiro de 2018
F
1
2
3
A
Parede
K1
K2
K3
2. Uma força F=2N é aplicada ao
sistema ao lado. Determine 
os deslocamentos x1 e x2 do 
sistema. F
L1=10 L2=4
E1 =100 N/mm
2
A1 =2 mm
2 E2 =100 N/mm
2
A2 =0.5 mm
2
x1
x2
3. Seja um conjunto de três elementos 
de barra sujeitos a uma força externa F 
em uma extremidade e fixo a uma 
parede na outra. O movimento está 
restrito a uma dimensão (x). Determine o 
deslocamento do elemento rígido A, as 
forças nos elementos 1,2 e 3 e as forças 
de reação na parede. Admita K1=50 
N/cm, K2=30 N/cm, K3=70 N/cm e F=50 
N/cm.