Mecânica_dos_fluidos_ARAÚJO_2022

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
uma abordagem voltada ao ensino 
e aprendizagem em nível universitário
Camila Pacelly Brandão de Araújo
Mecânica dos Fluídos
uma abordagem voltada ao ensino e 
aprendizagem em nível universitário
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Mecânica dos Fluídos
uma abordagem voltada ao ensino e 
aprendizagem em nível universitário
Camila Pacelly Brandão de Araújo
Natal, 2022
Araújo, Camila Pacelly Brandão de. 
 Mecânica dos fluidos [recurso eletrônico] : uma abordagem voltada ao 
ensino e aprendizagem em nível universitário / Camila Pacelly Brandão de 
Araújo. – Dados eletrônicos (1 arquivo : 30 Mb). – Natal, RN : EDUFRN, 2022. 
 285 p.
 Modo de acesso: World Wide Web 
 <http://repositorio.ufrn.br>.
 Título fornecido pelo criador do recurso
 ISBN 978-65-5569-274-7
1. Mecânica dos fluidos. 2. I. Título.
CDD 532
 RN/UF/BCZM 2021/22 CDU 532
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UFRN. A seleção da obra foi realizada pelo Conselho Editorial 
da EDUFRN, com base em avaliação cega por pares, a partir dos 
critérios definidos no Edital n°04/2019, para a linha editorial 
Recursos didático-pedagógicos.
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(EDUFRN) permanece até hoje dedicada à sua 
principal missão: produzir livros com o fim 
de divulgar o conhecimento técnico-científico 
produzido na Universidade, além de promover 
expressões culturais do Rio Grande do Norte. 
Com esse objetivo, a EDUFRN demonstra o 
desafio de aliar uma tradição de seis décadas 
ao espírito renovador que guia suas ações 
rumo ao futuro.
A todos os meus alunos, 
passados, presentes e futuros. 
Essa obra foi feita 
pensando em vocês.
Agradecimentos
A Deus;
A TODOS os meus colegas de trabalho, em especial ao Prof. 
Dr. Carlson Pereira de Souza, pelo aprendizado ao longo de toda 
a minha jornada discente e docente, e ao Prof. Dr. Douglas do 
Nascimento Silva, pelo apoio durante o desenvolvimento dessa obra;
À minha família, em especial aos meus pais e meus irmãos, 
meu esposo, Breno, e ao nosso maravilhoso filho, Davi, pelo apoio, 
pelo carinho, pela compreensão e pela paciência durante essa jornada;
Aos meus professores, que me trouxeram até aqui com suas 
orientações.
Aos meus amigos, que me acompanham de perto ou à dis-
tância. Sou muito feliz por tê-los na minha vida.
A todos que contribuíram para que essa experiência literária 
se concretizasse. 
Apresentação
O presente livro foi concebido na premissa de fornecer ao 
aluno de um curso de nível superior, que necessite dos conheci-
mentos de Mecânica dos Fluidos, uma base sólida de conteúdos 
e elucidações.
Por vezes, o aluno se depara com textos em linguagem 
que não lhe é familiar, ou que não se aproxima de sua reali-
dade durante os seus estudos. O presente texto foi elaborado na 
perspectiva de contornar essas dificuldades, transportando os 
conteúdos dos livros para o dia a dia. 
No capítulo 1, é fornecida uma visão global da Mecânica 
dos Fluidos, apresentando conceitos iniciais e fundamentais ao 
desenvolvimento e ao aprofundamento das análises.
O capítulo 2 se volta ao tratamento da condição estática 
dos f luidos, enquanto o capítulo 3 apresenta a ferramenta do 
Teorema de Transporte de Reynolds e o início do tratamento do 
escoamento de f luidos, na perspectiva integral. Já o capítulo 4 
continua o desenvolvimento do escoamento de f luidos, porém, 
com uso da perspectiva diferencial.
No capítulo 5, a ferramenta de análise dimensional é apre-
sentada, e no capítulo 6, ela é aplicada ao escoamento viscoso 
de f luidos.
Sumário
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais 11
1.1 Por que estudar a Mecânica dos Fluidos? 12
1.2 O que é um fluido? 13
1.3 Equações básicas 16
1.4 Métodos de análise 19
1.5 Fluido como contínuo 20
1.6 Propriedades dos fluidos e seus campos 22
1.7 Classificação dos escoamentos de fluidos 44
2 Estática 61
2.1 Estática dos fluidos – o que é? 62
2.2 Condição estática 63
2.3 Isotropia da pressão 64
2.4 Equação Geral da Estática 67
2.5 Aplicações da Equação Geral da Estática 78
3 Análise integral do escoamento de fluidos 110
3.1 Escoamento de fluidos 111
3.2 Alguns conceitos necessários 112
3.3 Leis básicas 116
3.4 Teorema de Transporte de Reynolds 124
3.5 Equações para um volume de controle 130
3.6 Equação de Bernoulli 145
1
4 Análise diferencial do escoamento de fluidos 157
4.1 Análise diferencial versus análise integral 158
4.2 Conservação da massa – equação da continuidade 160
4.3 Cinemática da partícula fluida 168
4.4 Conservação do momento linear 184
4.5 Equações de Navier-Stokes 191
4.6 Equação de Euler 193
5 Análise dimensional 198
5.1 Introdução 199
5.2 Homogeneidade dimensional 200
5.3 Análise dimensional 203
5.4 Teorema dos π’s de Buckingham 206
5.5 Semelhança entre modelos 209
5.6 Grupos adimensionais importantes 212
6 Escoamento viscoso 222
6.1 Introdução 223
6.2 Uma breve retomada 224
6.3 Camada-limite 226
6.4 Escoamento viscoso interno 228
6.5 Considerações de energia no escoamento interno viscoso 247
6.6 Perda de Carga 250
6.7 Bombas 261
6.8 Escoamento viscoso externo 265
6.9 Escoamento Fluido em torno de corpos submersos 269 
Lista de figuras 277
Lista de símbolos 282 
Referências 283 
Sobre a autora 284
Introdução à Mecânica dos 
Fluidos e conceitos fundamentais
1
1 Introdução à Mecânica dos 
Fluidos e conceitos fundamentais 
1.1 Por que estudar a Mecânica dos Fluidos?
A primeira grande pergunta que a maioria dos estudantes 
tem quando entra na sala de aula de Mecânica dos Fluidos é: 
“por que é que eu devo estudar isso?”, a qual geralmente encontra 
um olhar de exasperação por parte do professor. Imagine só! O 
estudante está em contato com a Mecânica dos Fluidos desde 
antes do seu nascimento e não se dá conta! Quando falamos em 
líquido embrionário, em respiração, em fluxo sanguíneo, todos 
são fenômenos relacionados ao escoamento de fluidos no interior 
do corpo humano. Porém, não só de fluidos corporais se faz a 
Mecânica dos Fluidos!
Enquanto ciência, a Mecânica dos Fluidos passou a se desen-
volver a partir da necessidade de conhecimento sobre fenômenos 
do cotidiano (abastecimento de água, navegação e construção de 
hidrelétricas) e permeou a evolução da civilização e as buscas por 
novos continentes. Imagine que a escavação de poços, a constru-
ção de canais para distribuiçãode água, o uso de rodas d’água 
como fonte de potência para moagem de grãos e a instalação dos 
famosos aquedutos em Roma são todos exemplos de aplicações 
dos conhecimentos que iremos desenvolver juntos. A partir de 
Roma até os dias atuais, temos o desenvolvimento da navegação, da 
aeronáutica, da indústria aeroespacial e de automóveis, que encontra 
na Mecânica dos Fluidos a base para sua evolução. Na Figura 1, 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
13
você vai encontrar algumas das aplicações mais recorrentes da 
Mecânica dos Fluidos na área de Engenharia.
Figura 1 – Escopo da Mecânica dos Fluidos 
Fonte: autoria própria
1.2 O que é um fluido?
Já vimos que a Mecânica dos Fluidos é uma ciência plural e 
que abrange diversos aspectos da nossa vida cotidiana; portanto, 
podemos passar para a segunda grande questão que os alunos 
sofrem quando chegam à componente de Mecânica dos Fluidos: 
“o que é esse tal de fluido?”.
Então, vamos tentar responder? Quando falamos sobre os 
estados da matéria, é costume se identificar o estado da matéria 
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
14
que um determinado corpo apresenta com base na força de coesão 
entre as moléculas que o constituem. É dessa forma que atribuímos 
as designações de estado sólido, líquido ou gasoso aos materiais. A 
Figura 2 ilustra isso. As forças de coesão destes estados decrescem 
do sólido ao líquido e deste ao gasoso (Sólido > Líquido > Gás).
Figura 2 – Estados físicos da matéria e forças intermoleculares
Fonte: autoria própria
A questão é: do ponto de vista da mecânica dos fluidos, esta 
classificação não é boa o suficiente. Veremos que o comportamento 
de um dado material frente à aplicação de esforços mecânicos será 
a base para sua classificação como sólido ou fluido.
Vamos ver o que acontece quando aplicamos esforços mecâ-
nicos a sólidos? A Figura 3 ilustra um material submetido à tração, 
à compressão e ao esforço tangencial (ou cisalhante).
Camila Pacelly Brandão de Araújo
15
Figura 3 – Alguns tipos de esforços mecânicos aplicados a um material
Fonte: autoria própria
Quando um sólido é submetido a um esforço de tração a 
níveis abaixo de seu limite de ruptura e acima do limite elástico, 
por exemplo, observa-se que, mesmo cessado o esforço, o corpo 
deforma-se de maneira permanente, não readquirindo seu formato 
original. Diferentemente, líquidos e gases, em função da baixa força 
de coesão molecular, não resistem a esse tipo de movimento, por 
menor que ele seja, e escoam.
A compressão de sólidos também lhe impõe deformações 
permanentes, ao passo que, nos líquidos e gases, esse esforço é mais 
ou menos resistido de acordo com a compressibilidade do fluido. 
Neste aspecto, os líquidos apresentam capacidade de compressão 
bem menor do que os gases.
Porém, quando sujeitos a esforços cisalhantes ou tangenciais, 
observam-se grandes diferenças de comportamento entre sólidos 
e líquidos. O sólido deforma-se, escoando até um novo estado, 
em que volta a se comportar como sólido rígido, não permitindo 
a continuidade da deformação. Já os fluidos (gases, líquidos e 
pastosos), por sua vez, não apresentam limitação na deformação e, 
enquanto o esforço permanecer, mantém-se o escoamento fluido. 
A Figura 4 ilustra essa diferença em comportamento.
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
16
Desta forma, define-se fluido como todo material 
que se deforma continuamente quando submetido 
a esforços tangenciais.
Figura 4 – Comportamento de sólidos e fluidos frente a 
um esforço cisalhante 
Fonte: adaptado de Fox, Mcdonald e Pritchard (2011)
1.3 Equações básicas
Excelente! Agora que já sabemos o que é um fluido, podemos 
começar a entender melhor o que a Mecânica dos Fluidos faz. 
Vamos por partes? A palavra Mecânica diz respeito ao ramo 
da Física responsável pelo estudo do movimento dos corpos. Assim 
sendo, é responsável pela análise do movimento e do repouso dos 
corpos, bem como a evolução desse movimento ao longo do tempo, 
ou o deslocamento de corpos sob a ação de forças. Fluidos, em 
adição, se referem a uma parcela da matéria cujo comportamento 
segue a definição que já postulamos. 
Então, podemos entender a Mecânica dos Fluidos como 
o estudo do movimento e do repouso de fluidos, mediante a 
ação de forças.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
17
Assim, para que possamos evoluir nesse estudo, se faz neces-
sário verificar se todos os seguintes termos e equações já fazem 
parte do seu vocabulário pregresso.
Equações básicas Formulação tradicional
Conservação da massa
“Na natureza nada se cria, nada 
se perde, tudo se transforma”
�massasistema � 0
2ª Lei de Newton
“A força resultante (soma vetorial de todas as forças 
aplicadas) é diretamente proporcional ao produto da 
aceleração de um corpo pela sua massa”
F m aR
� �� �
= .
1ª Lei da Termodinâmica
“A energia total transferida para um sistema na 
forma de calor ou trabalho é igual à variação de 
sua energia interna, ou seja, em todo processo 
natural, a energia do universo se conserva”
�U Q W� �
Princípio da quantidade de 
movimento angular
“O momento angular total do sistema é conservado 
se o torque total externo que age sobre ele é nulo”



H r xVm= ��
2ª Lei da Termodinâmica
“A variação da entropia total de um sistema em 
um processo termodinâmico será sempre maior 
ou igual a zero”
dS
dT
Q≥ 
 
Quadro 1 – Equações básicas para a Mecânica dos Fluidos
Fonte: autoria própria
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
18
É óbvio que as leis básicas com as quais lidaremos são as 
mesmas usadas na mecânica e na termodinâmica. A nossa tarefa 
será formular essas leis de modo adequado para resolver proble-
mas de escoamento de fluidos e, então, aplicá-las a uma grande 
variedade de situações.
Na forma tradicionalmente abordada dessas equações, você 
provavelmente utilizou o conceito de sistema fechado para chegar 
a uma ou outra delas. 
Vamos retomar esse conceito?
Sistema é uma quantidade de massa fixa e 
identificável, separada do ambiente por suas 
fronteiras, que se escolhe como objeto de estudo.
Não existem fluxos de massa pelas fronteiras que deli-
mitam o sistema. As fronteiras que o definem podem ser físicas 
ou imaginárias. Tudo que for externo ao sistema é chamado de 
vizinhança e, a depender do tipo de sistema, existe um tipo de 
interação entre eles.
Sistemas isolados não permitem a troca nem de quantidades 
de energia, nem de massa, por meio de suas fronteiras. Já sistemas 
fechados permitem a transferência de energia, mas não de massa, 
entre as fronteiras. Os sistemas ditos abertos permitem a transfe-
rência de energia e de massa pelas suas fronteiras e são chamados 
de volumes de controle.
Volume de controle é um volume arbitrário no 
espaço que se deseja observar. Podem existir 
fluxos mássicos através de suas fronteiras.
A sua superfície pode ser imaginária ou física e é delimitada 
pela superfície de controle.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
19
1.4 Métodos de análise
Agora que já sabemos que ferramentas teremos à mão para 
utilizar ao longo do nosso curso, podemos nos debruçar sobre 
o problema de como adaptar esse equacionamento para nossas 
necessidades analíticas em cada caso.
A mecânica lida quase que exclusivamente com sistemas. 
Você já deve ter usado intensivamente as equações básicas apli-
cadas a uma quantidade de massa identificável e fixa. Já deve 
ter, por exemplo, calculado a força necessária para que uma bola 
de 5kg adquira uma dada aceleração. Por outro lado, ao tentar 
analisar dispositivos termodinâmicos, como bombas, válvulas, 
ou outros, você pode ter achado necessário usar um volume de 
controle (sistema aberto) para descrever seu problema.
Claramente, o tipo de análise depende do problema em 
questão. Quando os elementos de massa identificáveis (ou a 
partícula f luida de interesse) são facilmente acompanhados, 
lançamos mão de um método de descrição que acompanha a 
partícula. Referimos a isso,usualmente, como o método de 
descrição Lagrangeano.
Quando, porém, é difícil de acompanhar as partículas 
individuais, a formulação em termos de volume de controle 
é a alternativa mais conveniente e dizemos estar usando um 
método de descrição Euleriana, no qual as propriedades do fluido 
são descritas na forma de campo, ou seja, possuem um valor 
determinado em cada ponto do espaço a cada instante de tempo.
Você pode verificar a Figura 5, que esclarece essas diferenças.
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
20
Figura 5 – Métodos de descrição do escoamento de fluidos
Fonte: autoria própria
1.5 Fluido como contínuo
Imagine só como uma coisa leva a outra, e a outra e a mais 
uma, em seguida! Dissemos que a perspectiva Euleriana descrevia 
as propriedades do fluido seguindo um campo, de tal maneira 
que essas propriedades possuíam um valor determinado em cada 
ponto do espaço e a cada instante de tempo. Assim, propriedades, 
como temperatura, massa específica, velocidade etc. são funções 
da posição e do tempo.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
21
Se essas propriedades devem ser descritas a cada ponto, 
precisamos saber de que tamanho seria um ponto para os fins 
necessários aos nossos estudos, e isso nos leva diretamente à hipó-
tese do fluido como um meio contínuo.
Sabemos claramente que a estrutura molecular dos fluidos 
não está distribuída de forma contínua no espaço, mas concentrada 
em moléculas que estão separadas por regiões relativamente grandes 
de espaço. Isso é fácil de imaginar quando pensamos em uma massa 
de gás, por exemplo. Apesar disso, tratamos os fluidos (para os fins 
deste curso) como sendo suaves, ou seja, um meio contínuo. Nós 
não estamos interessados na natureza estatística e molecular do 
fluido e tratamos suas propriedades como funções matemáticas 
contínuas que variam suavemente de um ponto a outro.
Tomemos, para efeito de exemplificação, a forma pela qual 
determinamos a massa específica de um dado fluido.
A massa específica é a relação entre a massa contida em 
um dado volume do espaço. Se tomarmos uma região do espaço 
preenchida por um fluido estacionário (por exemplo, o ar em uma 
garrafa, tratado como um único gás), ele parecerá um meio contínuo, 
mas, se ampliarmos um pequeno cubo da região, poderemos ver que 
a maior parte do espaço é vazia, com moléculas de gás espalhadas 
ao redor, se movendo em alta velocidade. Assim, qual deverá ser o 
mínimo volume que um ponto C deve ter, de modo a podermos falar 
sobre propriedades de fluido contínuo tal como a massa específica?
A Figura 6 apresenta essa relação. Podemos observar que 
diminuições excessivas do volume considerado para a determi-
nação poderão levar a oscilações imprevisíveis da relação massa/
volume, indicando a entrada ou a saída de moléculas individuais 
de maneira discreta no nosso volume de controle. Nesse ponto, 
podemos perceber o limite da hipótese do contínuo. 
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
22
Para o ar nas condições padrões de temperatura e pressão, 
esse volume mínimo do volume de controle é aproximadamente 
de 0,001mm³ (aproximadamente o tamanho de um grão de areia).
Figura 6 – A hipótese do contínuo e a determinação da massa específica
Fonte: adaptado de Fox (2008)
1.6 Propriedades dos fluidos e seus campos
Para caracterizar o estado de um fluido, segundo uma 
perspectiva Euleriana, portanto, é importante a definição de um 
número de campos de propriedades que o caracterize a cada ins-
tante de tempo dentro do domínio em estudo.
Dentre os mais importantes para a mecânica dos fluidos, 
podem ser citados os campos de massa específica (e suas relações), 
o campo de velocidade e o estado de tensões do fluido. O campo 
de massa específica relaciona-se diretamente com a propriedade de 
massa específica. Já o estado de tensões do fluido relaciona-se com 
a composição de tensões cisalhantes e viscosas, sendo uma relação 
tanto da pressão quanto da propriedade de viscosidade. O campo 
de velocidades, por sua vez, não se relaciona diretamente a uma 
propriedade específica do fluido, mas será também elencado nessa 
seção por afinidade temática.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
23
1.6.1 Campo de massa específica
A propriedade massa específica representa a relação entre a 
quantidade de massa ou matéria do fluido por unidade de volume 
e, para um volume ∀ que contém uma massa m de fluido, pode 
ser definida como:
� �
�
m
que pode diferir da massa específica do fluido em cada ponto do 
volume ∀.
� �� � �x y z t, , ,
Como todas as quantidades envolvidas são escalares, o 
campo de massa específica também o é. Assim, não se faz necessária 
a informação de direção para o campo ser completamente descrito, 
apenas o valor da massa específica do fluido em cada ponto.
Essa constatação de que podem existir valores diferentes 
de massa específica em cada ponto de um domínio pode parecer 
estranha a princípio, mas podemos esclarecer rapidamente com 
o seguinte exemplo.
Imagine uma sala de aula com 30 alunos (que saudade das 
aglomerações!), dotada de um sistema de condicionamento de ar, 
conforme a figura a seguir. A razão pela qual os equipamentos de 
ar-condicionado são instalados nas regiões mais altas das salas é 
devido ao fato de que o ar mais frio tem massa específica maior 
que o ar mais quente (podemos considerá-lo como um gás ideal):
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
24
� �
P
RT
Dessa forma, se tomarmos essa sala hipotética, ilustrada 
na Figura 7, por exemplo, podemos observar várias regiões com 
massas específicas do ar distintas, a depender da distribuição de 
temperatura do ambiente. Próximo às janelas, o calor irradiado 
do sol pode aquecer o ar local, mudando sua massa específica. 
Próximo à saída de ar-condicionado, o ar com temperatura menor 
apresentará massa específica maior.
Além disso, como tanto a irradiação solar que entra no 
ambiente pela janela quanto o funcionamento do ar-condicionado 
apresentam variações ao longo de um dia, podemos entender esse 
campo de massa específica como dependente do tempo, também.
Figura 7 – Sala de aula hipotética e regiões de massa específica 
distintas no domínio
Fonte: autoria própria
Outras propriedades também interessantes ao estudo de 
Mecânica dos Fluidos e relacionadas com a massa específica são:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
25
• Densidade relativa (DR): é a razão entre a massa específica 
de um fluido qualquer e a densidade da água a 4°C (1000kg/m³ 
ou 1g/cm³). Também pode ser encontrada como SG ou Specific 
Gravity, do inglês. Notem que, por ser uma relação entre massas 
específicas, a densidade relativa é adimensional.
DR FLUIDO
H C
�
�� �
�
�
20 4
 • Peso específico (γ): representa a relação entre o peso 
de um dado fluido em relação ao volume por ele ocupado. Pode 
ser compreendido como o resultado da ação da gravidade sobre a 
massa fluida por unidade de volume ou, simplesmente, o produto 
entre a massa específica do fluido e a aceleração da gravidade.
� �
�
W
 Ou
� �
�
mg
 Ou
� �� g
 
• Volume específico (v): representa o volume ocupado por 
cada unidade de massa do fluido. É a relação inversa da massa 
específica do fluido:
v
m
�
�
�
1
�
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
26
Vamos exercitar esses conceitos?
Ao final do capítulo, vocês vão encontrar algumas questões 
relacionadas ao que vimos até agora.
1.6.2 Viscosidade
Agora que já sabemos como podemos expressar a proprie-
dade da massa específica do fluido e como podemos descrever o 
campo de massa específica como uma função temporal e espacial, 
vamos começar a entender outra propriedade fundamental para o 
estudo de Mecânica dos Fluidos: a viscosidade. Essa propriedade 
estará diretamente relacionada com o campo de tensões ao qual 
um fluido está sujeito. Esse estado de tensões vai ser definido 
ainda neste capítulo, certo?
Todos sabemos que gases são muito diferentes de líquidos, e 
que, mesmo entre os líquidos,existem fluidos com comportamentos 
muito distintos. O mel de abelha, por exemplo, é um líquido, 
mas é muito mais difícil de escoar do que a água, não é mesmo? 
Podemos fazer esse mesmo tipo de comparação entre vários fluidos 
e veremos que dificilmente encontraremos fluidos com a mesma 
“dificuldade para escoar”. Chamamos isso de comportamento 
reológico do fluido, e o comportamento reológico de cada fluido 
depende da sua própria natureza.
O vídeo deste link mostra um experimento bastante simples 
para podermos observar essa natureza viscosa de vários fluidos.
Viscosidade é a propriedade do material que mede 
sua resistência ao escoamento ou à deformação 
associada à ação de tensões cisalhantes.
https://www.youtube.com/watch?v=YHqI5PKmG-A
Camila Pacelly Brandão de Araújo
27
Já pensaram o que seriam essas tensões cisalhantes? Nós 
já definimos o que seriam esforços cisalhantes no início dessa 
unidade, lembram?
Tensões são relações entre força aplicada e uma área de 
atuação. A pressão é um tipo de tensão da qual você provavelmente 
já ouviu falar antes, não é mesmo?
Existem dois tipos de forças que podem atuar sobre um meio 
fluido: forças de superfície e forças de campo. Forças de superfície 
são geradas pela ação de forças de superfície (pressão, atrito) que 
atuam pelo contato com outras partículas ou com superfícies 
sólidas. Por outro lado, forças de campo (tais como forças de 
gravidade e eletromagnética) agem por meio das partículas.
A força de campo gravitacional atuando sobre um elemento 
de volume, d∀ , é dada por �gd� , no qual ρ é a massa específica 
(massa por unidade de volume) e g é a aceleração local da gravidade. 
Portanto, a força de campo gravitacional por unidade de volume é:

F gB � �
E por unidade de massa é:

F gB =
 Forças de superfície agindo sobre uma partícula fluida 
geram tensões. O conceito de tensão é útil para descrever como 
é que forças, agindo sobre as fronteiras de um meio (fluido ou 
sólido), são transmitidas através do meio.
Imagine um meio contínuo como o mostrado na Figura 
8, no qual uma força resultante infinitesimal δF
� ���
 atua sobre um 
dado ponto C de área infinitesimal δ A
� ���
, cuja direção normal 
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
28
(perpendicular) é representada pelo vetor unitário n. Se decompu-
sermos essa força resultante em duas direções, normal e tangencial 
à área δ A , teremos duas componentes da força, que poderemos 
denominar de δFN com relação à componente na direção normal 
e δFt com respeito à componente na direção tangencial.
Figura 8 – Forças atuantes sobre um meio contínuo
Fonte: autoria própria
Então, podemos definir dois tipos fundamentais de tensão 
como sendo:
�
�
�cisalhante
tangencialF
A
� �
�
�
�normal
normalF
A
� �
Assim, tensões cisalhantes correspondem à ação de forças 
cisalhantes sobre um elemento fluido, enquanto tensões normais 
correspondem à ação de forças normais sobre um elemento fluido.
Ainda de acordo com a Figura 8, poderíamos notar que a ten-
são cisalhante discriminada está relacionada com a força cisalhante, 
^
Camila Pacelly Brandão de Araújo
29
e que não foi feita qualquer menção sobre o fato de este componente 
estar orientado de acordo com qualquer dos eixos coordenados.
Se fizermos isso (orientarmos o elemento fluido com respeito 
aos eixos coordenados x, y, z) conforme a Figura 9, veremos que 
podemos ter mais de uma componente para a tensão cisalhante 
(τ): uma orientada segundo o eixo y, uma orientada segundo o 
eixo z e uma única tensão normal (σ).
Além disso, convém destacar, na Figura 9, a indicação da 
direção normal (em vermelho). O vetor unitário normal represen-
tante da área sempre aponta na direção para fora da superfície de 
controle a qual se refere.
Figura 9 – Componentes da força e das tensões sobre o elemento de 
área orientado conforme os eixos coordenados x, y, z
Fonte: autoria própria
Percebemos, portanto, a necessidade de expressar o campo 
de tensões, ou o estado de tensão de um fluido por um tensor, 
um elemento matricial que representará todas essas componentes 
para uma partícula f luida tridimensional, conforme mostrado 
na Figura 10.
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
30
Figura 10 – Estado de tensões de uma partícula fluida e tensor de tensões 
Fonte: adaptado de Fox, McDonald e Pritchard (2011)
Perceba que o tensor de tensões emprega uma notação em 
índice duplo para identificar tanto a área em relação a qual a tensão 
é definida, como também a direção em que ela atua. Um primeiro 
índice indica a direção normal à área considerada, e um segundo 
encarrega-se de definir a direção segundo a qual a tensão atua. Desta 
forma, a tensão τxy é a tensão tangencial que atua numa superfície 
cuja normal é paralela à direção x orientada segundo a direção y.
A necessidade de que a tensão esteja correlacionada a uma 
área faz surgir uma nova entidade matemática, denominada de 
tensor. Enquanto os vetores são completamente especificados pelo 
módulo, pela direção e pelo sentido, os tensores necessitam, ainda, 
da área em relação à qual estão definidos, para complementar 
sua informação.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
31
Ótimo! Agora sabemos que forças geram tensões e que estas 
podem ser normais ou cisalhantes, a depender da orientação com 
respeito à área. Porém, e quanto à relação com a característica 
viscosa? Calma! Vamos chegar lá!
Comportamento reológico de fluidos
Dissemos anteriormente que o critério de definição sobre 
a natureza fluida de um determinado material se baseia no seu 
comportamento quando submetido a esforços tangenciais. Esse tipo 
de esforço impõe ao material deformações angulares que ocorrem 
de forma diferenciada para cada tipo de fluido.
Imagine o seguinte experimento descrito pela Figura 11 
ilustrativamente: duas placas planas paralelas têm o espaço entre 
elas preenchido por um fluido. A placa inferior permanece fixa, 
enquanto a superior move-se com velocidade constante. Para que 
este movimento ocorra, uma força deve ser aplicada nessa placa, 
de modo a vencer a resistência viscosa que o fluido impõe ao seu 
movimento. Essa força, portanto, agirá sobre uma área de atuação, 
gerando uma tensão cisalhante correspondente.
Figura 11 – Escoamento de um fluido entre duas placas planas paralelas
Fonte: adaptado de Fox, McDonald e Pritchard (2011)
Uma característica importante do comportamento de fluidos 
é que o fluido é solidário ao contorno que o limita. Como assim? 
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
32
Foi verificado experimentalmente que a camada fluida imedia-
tamente em contato com a superfície sólida encontra-se agregada a ela 
e movimenta-se com a mesma velocidade desta superfície. Diz-se que 
o fluido obedece à condição de não escorregamento nesse ponto. 
Essa condição tem sido confirmada experimentalmente em todas 
as situações nas quais a hipótese do contínuo pode ser admitida.
Assim, podemos dizer que o fluido, em contato com a placa 
superior, desloca-se solidário à mesma, enquanto a camada fluida 
sobreposta à placa inferior permanece imóvel (também de maneira 
solidária a esse contorno sólido).
Queremos avaliar como essa força aplicada para mover a 
placa se relaciona com a característica viscosa do fluido. Vamos lá?
Sabemos que a força se relaciona com a tensão cisalhante por:
�
�
�yx
x
y
x
y
F
A
dF
dA
� �� �
transferida pela placa superior para cada uma das camadas de fluido.
A cada intervalo dt, o fluido deforma-se de um ângulo dα 
pelo fato de cada camada de fluido ser puxada na direção da força 
aplicada para movê-lo. A razão entre o quanto o fluido se deformou 
angularmente e o intervalo de tempo considerado é o que chama-
mos de taxa de deformação angular. Obviamente, a velocidade de 
deformação verificada depende das características constitutivas do 
fluido entre as placas. Matematicamente, podemos expressá-la como:
�
��
�
�
� �
t
d
dt
�
 Pela geometria podemostambém afirmar que, para ângulos 
pequenos:
.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
33
tg d d l
y
� �
�
�
� � � �
 Sabendo que o deslocamento infinitesimal δ l ocorreu em 
um intervalo dt, podemos calcular a velocidade relativa para ser:
du l
dt
�
�
 Podemos obter a taxa de deformação angular para ser:
d
dt
du
dy
�
�
 Esse resultado nos informa que, para determinar a taxa 
instantânea de deformação angular em qualquer ponto entre as 
duas placas, basta conhecer a maneira pela qual a velocidade varia 
ao longo da distância entre as placas, ou seja, a derivada do perfil 
de velocidades com respeito à espessura y.
Quer tentar uma outra forma de visualizar esse conteúdo? 
Assista ao vídeo deste link.
Formuladas a tensão e a deformação sofrida pelo fluido, resta 
conhecer qual a relação que existe entre elas. 
A reologia é o estudo de como se dá o comportamento viscoso 
de materiais e tem como objetivo estabelecer suas relações consti-
tutivas onde as deformações angulares sofridas são associadas às 
tensões aplicadas. 
Fluidos newtonianos
A relação mais simples entre a tensão cisalhante e a taxa de 
deformação é a que se verifica para os chamados fluidos newto-
nianos, que são aqueles cuja relação é proporcional, ou seja:
https://www.youtube.com/watch?v=5wuockYfa7Y&list=PLf1lowbdbFICGuf8AgDT9Dy9ulNwK7tVa&index=10&t=0s
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
34
yx
du
dy
E a constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta 
do fluido.
� �yx
du
dy
�
 Nesse caso, a relação é linear e o fluido se deforma, por menor 
que seja a tensão aplicada. Os fluidos incluídos nessa classificação (ar, 
água, glicerina, melaço, por exemplo) apresentam relação de propor-
cionalidade entre as tensões aplicadas e as deformações observadas.
Observa-se, no entanto, que, quando diferentes fluidos são 
submetidos a um mesmo esforço tangencial, taxas de deformação 
de valores distintos são verificadas. Esse comportamento particular 
de cada fluido é associado, portanto, a uma propriedade física deles, 
denominada de viscosidade absoluta ou dinâmica.
�
�
� xydu
dy
A viscosidade absoluta, no S.I., tem unidades de Pa.s, 
enquanto no CGS, a unidade é P (Poise). Usualmente, sua subdi-
visão, o centipoise, é a unidade mais utilizada para representação 
da viscosidade absoluta.
Para converter esses valores, basta atentar-se que:
 Ou
Camila Pacelly Brandão de Araújo
35
Fluidos não newtonianos
Qualquer fluido cujo comportamento reológico seja distinto 
daquele verificado para os fluidos newtonianos é dito fluido não 
newtoniano. Os hidrocarbonetos de cadeias longas (derivados de 
petróleo, por exemplo), em sua maioria, são exemplos desse tipo 
de fluido. Fluidos de perfuração de petróleo, pasta de dente, enfim, 
vários outros, são fluidos não newtonianos.
Em boa parte dos casos, a relação entre tensão e taxa de 
deformação não segue a linearidade, e as equações constitutivas 
apresentam-se da seguinte forma:
� yx
n
k du
dy
�
�
�
�
�
�
�
 Para que essa equação fique expressa de maneira semelhante 
àquela dos fluidos newtonianos, podemos definir a viscosidade 
aparente para ser:
� �
�
�
�
�
�
�
�
k du
dy
n 1
 tal que:
� �yx
du
dy
�
 Assim, a viscosidade aparente, diferentemente da viscosi-
dade absoluta, representa uma propriedade dependente não somente 
da constituição física do fluido, mas também das características 
do escoamento (taxa de deformação).
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
36
Dentre os fluidos não newtonianos podemos destacar os 
fluidos Plásticos de Bingham, cujo comportamento se assemelha 
ao apresentado pelos fluidos newtonianos, uma vez que um deter-
minado nível de tensão (mínima de escoamento) seja superado. 
Sua relação constitutiva pode ser expressa por:
� � �� �0
du
dy
 É o caso da pasta de dentes, de suspensões de argila, de 
tintas a óleo e de fluidos de perfuração de poços. Nesse último 
caso, em particular, essa característica é fundamental para que 
os sólidos removidos durante a perfuração permaneçam em sus-
pensão na coluna de perfuração, sem sedimentar. Dessa maneira, 
é possível realizar operações de subida/descida de elementos da 
coluna de perfuração. 
Além desse tipo de comportamento, outros fluidos do nosso 
cotidiano também são não newtonianos. Fluidos pseudoplásticos, 
por exemplo, apresentam diminuição da viscosidade aparente 
mediante o aumento da taxa de deformação. Se formos tentar 
traduzir esse comportamento, poderíamos imaginá-los tornan-
do-se sucessivamente mais finos, na medida em que se aumenta a 
taxa de deformação. Dessa maneira, se observarmos a expressão 
para a viscosidade aparente, podemos verificar que o expoente 
n (ou índice de comportamento do fluido) deve ser menor que 
a unidade, gerando um valor de expoente negativo sobre a taxa 
de deformação. Como exemplos de pseudoplásticos, podem ser 
citadas as soluções polímeras, como graxa, tinta de impressão e 
BPF, soluções coloidais e a polpa de papel diluída em água. 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
37
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
k du
dy
n
n 1
1
 Fluidos ditos dilatantes apresentam comportamento análogo 
e inverso aos fluidos pseudoplásticos. Assim, os fluidos dilatantes 
aumentam a resistência ao escoamento à medida que este ocorre, ou 
seja, sua viscosidade aparente cresce com a deformação. Dessa forma, 
a equação constitutiva de tais fluidos apresenta expoente (n) maior 
que a unidade, justificando o comportamento desse fluido se tornar 
aparentemente mais viscoso. Exemplos de fluidos dilatantes são as 
suspensões de amido e de areia, bem como o silicato de potássio.
� �
�
�
�
�
�
� � �
�
k du
dy
n
n 1
1
 O comportamento reológico desses fluidos pode ser visu-
alizado nos gráficos apresentados na Figura 12.
Figura 12 – Comportamento reológico de fluidos newtonianos e 
não newtonianos
Fonte: autoria própria
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
38
Outros fluidos apresentam, também, comportamento reo-
lógico dependente do tempo. Fluidos tixotrópicos apresentam 
diminuição da viscosidade aparente com o aumento do tempo 
sob um determinado nível de tensão. Fluidos reopéticos apre-
sentam comportamento oposto. Algumas tintas são classificadas 
no primeiro grupo e os materiais que contêm solventes voláteis 
(como colas e vernizes) constituem exemplos do segundo. Esses 
comportamentos, contudo, estão além do escopo do nosso texto.
Fatores que alteram a viscosidade de um fluido
Agora que já sabemos como relacionar a ação de uma tensão 
cisalhante com a resposta do fluido, podemos trabalhar com alguns 
conhecimentos empíricos que já temos.
O que acontece com a viscosidade de um fluido se o aque-
cermos? E se exercermos pressão sobre ele? Vamos verificar?
Provavelmente você já aqueceu mel, por exemplo, e viu que 
ele passou a escoar bem mais facilmente, não? É quase intuitivo da 
nossa parte esperar que, mediante um aumento de temperatura, a 
viscosidade de um fluido diminua, porque estamos acostumados 
a ver isso no comportamento de vários líquidos. Porém, isso não 
é verdade para todos os fluidos! Cuidado!
Quando falamos de líquidos, de fato, o efeito de um aumento 
de temperatura é o de diminuir a viscosidade. Isso ocorre porque, ao 
ceder energia para as moléculas do líquido, elas passam a se agitar 
mais, enfraquecendo as interações intermoleculares existentes. 
Para gases, porém, o efeito é inverso. Aumentando a temperatura, 
verifica-se, também, um aumento da energia cinética das moléculas; 
porém, mediante esse aumento de energia cinética, também ocorre 
um aumento do número de choques das moléculas na fase gasosa. 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
39
Isso leva a um efeito líquido de aumento da viscosidade dos gases. 
A Figura 13 retrata esse fenômeno graficamente.
Se tratarmos agora da segunda outra grande variável de 
processos e seu efeito sobre a viscosidade, verificaremos que a 
pressão, na realidade, não exerce qualquer mudança significativa 
na viscosidadeabsoluta de fluidos, sejam eles gases ou líquidos. 
Porém, se tomarmos a razão entre a viscosidade absoluta e a massa 
específica, denominada viscosidade cinemática dos fluidos, veremos 
a dependência com a pressão surgir para o caso de gases.
�
�
�
�
Essa dependência surge na medida em que a massa específica 
de uma massa gasosa depende da pressão à qual ela está sujeita. 
Podemos nos recordar na equação dos gases ideais para 
verificarmos isso:
� �
P
RT
Figura 13 – Comportamento da viscosidade de fluidos em função da 
temperatura
Fonte: autoria própria
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
40
1.6.3 Tensão superficial
Você já deve ter se perguntado, em algum momento da sua 
vida, uma das seguintes questões: por que as gotas são esféricas? 
Por que insetos conseguem andar por sobre as águas?
A propriedade dos fluidos que explica esses fenômenos é a 
tensão superficial, e a Figura 14 ilustra alguns desses exemplos.
Figura 14 – Alguns exemplos de efeitos da tensão superficial
Fonte: Pixabay
A tensão superficial, diferentemente das tensões normais 
ou cisalhantes, representa a força por unidade de comprimento 
na superfície livre de um líquido em função do desbalanceamento 
de forças intermoleculares observada nessa região.
 
� superficial
F
l
�
Camila Pacelly Brandão de Araújo
41
Sempre que um líquido está em contato com outros líqui-
dos ou gases, ou com uma superfície gás/sólido, uma interface 
se desenvolve agindo como uma membrana elástica esticada e 
criando tensão superficial.
O surgimento dessa tensão superficial diz respeito às 
interações entre as moléculas do fluido e do outro meio com o 
qual ele se relaciona.
Imagine só, uma molécula no seio da fase líquida tem a 
totalidade de suas interações intermoleculares satisfeitas por 
suas vizinhas mais próximas. Na superfície (ou na interface do 
líquido com o outro meio), as forças intermoleculares de uma 
molécula nessa posição não estão completamente satisfeitas. A 
Figura 15 ilustra essa situação.
Figura 15 – Forças não balanceadas na superfície de um líquido
Fonte: autoria própria
Esse desequilíbrio de forças intermoleculares entre as cama-
das acima e abaixo de uma molécula na superfície do líquido faz 
surgir uma força de atração desta para o interior da massa fluida. 
Essa atração faz com que as moléculas se aglutinem umas em 
relação às outras, formando uma espécie de membrana superficial.
Essa membrana exibe duas características: o ângulo de 
contato θ e o módulo da tensão superficial σ (N/m). Ambas 
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
42
dependem do tipo de líquido e do tipo da superfície sólida (ou do 
outro líquido ou gás) com a qual ele compartilha uma interface. 
A Figura 16 indica o ângulo de contato para uma superfície 
molhada e não molhada pelo f luido.
Figura 16 – Ângulo de contato para avaliação da molhabilidade de um 
fluido sobre uma superfície
Fonte: adaptado de Fox, McDonald e Pritchard (2011)
Em engenharia, o efeito provavelmente mais importante 
da tensão superficial é o surgimento de um menisco curvo nos 
tubos de leitura de manômetros ou de barômetros, causando a 
(normalmente indesejável) ascensão (ou depressão) capilar. Esse 
fenômeno é particularmente importante na execução de expe-
rimentos químicos e sempre que tubos de pequenos diâmetros 
são utilizados, tais como no caso da administração de drogas 
intravenosas, por exemplo.
Na Figura 17, é mostrado como podemos estimar a altura 
de um menisco quando um dado fluido se encontra em um tubo 
fino. Para tanto, a componente vertical da tensão superficial é 
igualada ao peso do fluido na coluna do menisco.
Na Figura 18, é mostrado o efeito da capilaridade para 
tubos com água e com mercúrio. Pode ser observado que, à 
medida que o diâmetro da tubulação aumenta, se torna menos 
importante esse efeito.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
43
Figura 17 – Estimativa da altura de um menisco de um dado fluido
Fonte: autoria própria
Figura 18 – Efeito capilar para água e para o mercúrio
Fonte: adaptado de Fox, McDonald e Pritchard (2011)
Obviamente, essas não são todas as propriedades que os 
fluidos apresentam, mas, com essas que apresentamos até aqui, 
podemos dar seguimento com qualidade à nossa aventura na 
Mecânica dos Fluidos. Outras propriedades serão apresentadas à 
medida que formos necessitando do seu conhecimento.
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
44
1.7 Classificação dos escoamentos de fluidos
Agora que já entendemos como algumas das propriedades 
dos fluidos se relacionam para produzir campos de interesse ao 
nosso estudo, é importante que sejamos capazes de distinguir um 
tipo de situação de outra no universo da Mecânica dos Fluidos.
Inicialmente, temos que fazer distinção entre os casos de 
estudo de fluidos em repouso (Estática, que será nosso próximo 
tópico de interesse) e escoando. Se um fluido está escoando, obvia-
mente, ele tem uma velocidade, ou, de maneira mais completa, 
uma distribuição espacial e temporal de velocidades.
Isso nos leva diretamente ao conceito de campo de velo-
cidade. Um fluido que escoa, por exemplo, entre as duas placas 
planas usadas no caso da explicação da viscosidade, apresenta 
uma distribuição espacial de velocidades.
Como assim? Cada camada de fluido foi considerada como 
dona de um dado valor de velocidade tal que, ao longo da espes-
sura da camada fluida, a velocidade variava desde zero (na placa 
parada) até o valor máximo de U (na placa que se movia). Podemos 
perceber, portanto, que a velocidade do fluido num dado domínio 
do escoamento pode variar de um ponto a outro; sendo assim, é 
uma função das coordenadas espaciais.
Para além da dependência espacial, há de se considerar que, 
num instante inicial, as placas estavam paradas e, em seguida, uma 
delas inicia o seu movimento. Assim, a distribuição de velocidades 
também é uma função do tempo.
Assim, podemos dizer:
 
V V x y z t� � �, , ,
Camila Pacelly Brandão de Araújo
45
Ou seja, o campo de velocidades é um campo vetorial, o 
qual requer tanto a informação do seu módulo, quanto da sua 
direção, para sua completa descrição. Há de se notar que ele se 
refere à velocidade da partícula que passa através do ponto de 
coordenadas x, y e z no instante de tempo t. Isso quer dizer que o 
ponto x, y, z não é a posição em curso de uma partícula individual, 
mas um ponto do domínio do escoamento que escolhemos olhar.
O campo de velocidades pode ser descrito também em 
termos de seus componentes nas direções x, y, z, quais sejam u, 
v, w, respectivamente.
Assim:
  ̂ V u i v j wk= + +

 Onde cada componente pode ser uma função das coorde-
nadas espaciais x, y, z e temporais.
  ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , ,ˆ V ui v j wk u u x y z t v v x y z t w w x y z t= + + → = = =

  ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , ,ˆ V ui v j wk u u x y z t v v x y z t w w x y z t= + + → = = =

  ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , ,ˆ V ui v j wk u u x y z t v v x y z t w w x y z t= + + → = = =

Excelente! De posse da informação do que seja um campo de 
velocidade, podemos, agora, iniciar a classificação do escoamento 
de fluidos.
A configuração de um escoamento depende de uma série 
de parâmetros. Podemos destacar, por exemplo, a geometria do 
escoamento, o nível de velocidade, se o escoamento depende 
fortemente dos efeitos da viscosidade ou não, entre outras.
De forma geral, os escoamentos podem ser classificados 
de acordo com os seguintes parâmetros:
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
46
1. Número de coordenadas do problema
Unidimensional: se somente uma única coordenada espacial 
é necessária para a descrição do campo de velocidades, o esco-
amento é dito unidimensional. Pode ser observado esse tipo de 
escoamento em tubos retilíneos de seção constante, por exemplo.
Bidimensional: são necessárias duas coordenadas espaciais 
para a completa descrição do campo de velocidades. Em tubula-
ções nas quais seobservam diferenças de diâmetros, entre seções 
subsequentes, é possível verificar esse tipo de escoamento.
Tridimensional: todas as três coordenadas espaciais são 
necessárias para a descrição do campo de velocidades. Esse tipo 
de escoamento é o mais comum na realidade.
A Figura 19 apresenta essas três classificações.
Figura 19 – Dependência do campo de velocidades e classificação 
com respeito às coordenadas espaciais
Fonte: autoria própria
Camila Pacelly Brandão de Araújo
47
Observação! 
Coordenada espacial ≠ Componente do campo de velocidade 
Coordenadas espaciais → x, y, z, r, θ, α... 
Componente do campo de velocidade → u, v, w...
2. Dependência temporal
Escoamento em regime permanente: caracteriza-se pelo 
fato de todas as propriedades do fluido e do escoamento perma-
necerem constantes com relação ao tempo:
��
�
�
t
0
Onde ø pode representar qualquer propriedade (ρ, 

V , T, P 
etc.) Essas propriedades podem, no entanto, apresentar variação 
no domínio espacial do problema, ou seja, podem permanecer 
funções espaciais.
� ��� �x y z, ,
 Escoamento transiente: refere-se ao escoamento cujas pro-
priedades apresentam variações temporais, sejam elas de massa 
específica, de velocidade, de pressão ou de temperatura. Assim, 
haverá uma dependência desses campos em termos da variável tempo.
3. Efeitos viscosos
Escoamento invíscido ou de fluido perfeito ou ideal: 
Apesar de não existir fluido sem viscosidade, admite-se a hipótese 
de fluido invíscido ou de viscosidade nula nesse tipo de escoamento. 
Apesar de não corresponder fielmente à realidade, esse tipo de 
análise permitiu importantes conclusões a respeito da natureza 
dos escoamentos fluidos.
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
48
Escoamento viscoso: quando os efeitos de viscosidade são 
percebidos e representam importante efeito no escoamento, estes 
são chamados de viscosos.
4. Regime de escoamento
Verificou-se experimentalmente que existiam formas dife-
rentes de um fluido escoar dentro de uma mesma tubulação. A 
essas formas distintas, deu-se o nome de regimes de escoamento, 
representados na Figura 20. O número de Reynolds, usado como 
parâmetro para avaliação dos regimes de escoamento, é dado 
pela razão entre forças inerciais e viscosas e pode ser represen-
tado conforme abaixo. Os limites apresentados na Figura 20 são 
relativos a escoamentos internos e diferem dos valores referentes 
aos escoamentos externos.
Re VD� �
�
Figura 20 – Regimes de escoamento interno de fluidos
Fonte: adaptado de Alé (2001)
Escoamento laminar: o fluido escoa em camadas sobre-
postas, deslizando umas sobre as outras, sem a ocorrência de 
qualquer tipo de mistura entre as partículas fluidas. Ocorre a 
baixos números de Reynolds.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
49
Escoamento turbulento: caracteriza-se pelo movimento 
aleatório de partículas que apresentam, no entanto, uma deter-
minada orientação de escoamento. Ocorre a elevados números de 
Reynolds. Um dos modelos de turbulência mais difundidos tem 
por base a subdivisão do campo de velocidade (u, por exemplo) 
em uma parcela responsável pelo movimento global na direção 
preferencial ( u ) e uma parcela relacionada às flutuações e efeitos 
de vórtices e aleatoriedade do escoamento (u’), ou seja, u = u + u’. 
A maioria dos escoamentos reais acontecem de forma turbulenta. 
A Figura 21 ilustra essa diferença.
Figura 21 – Trajetórias de partículas em escoamentos laminar e 
turbulento unidimensionais
Fonte: adaptado de Fox, McDonald e Pritchard (2011)
5. Efeitos de compressibilidade
Escoamento compressível: Escoamentos compressíveis se 
caracterizam pelas alterações na massa específica do fluido, seja 
ele um líquido ou um gás. Um parâmetro usado para avaliar se 
um escoamento é ou não incompressível é o número adimensional 
de Mach.
Ma v
s
=
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
50
Onde v representa a velocidade do escoamento e s representa 
a velocidade do som. Podemos observar, do gráfico apresentado 
na Figura 22, que variações significativas (>7%) de massa espe-
cífica (ou peso específico conforme o eixo coordenado plotado) 
ocorrem para Ma≥0,3.
Esse critério geralmente é empregado como limite entre os 
escoamentos compressível e incompressível. Em função de suas 
constituições, tais efeitos são mais frequentes em gases do que 
em líquidos.
Escoamento incompressível: as variações de massa especí-
fica do fluido podem ser desprezadas, sendo admitida constante 
em todo o domínio do problema.
Figura 22 – Razão de pesos específicos inicial e final com respeito ao Ma 
Fonte: adaptado de Alé (2001)
6. Existência de superfície limitante
Escoamento interno: existe um contorno sólido que limita a 
região através da qual o fluido escoa. Na maior parte dos casos, esse 
contorno sólido é impermeável. Escoamentos no interior de tubos, 
de dutos, de bocais e de difusores são exemplos desta categoria.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
51
Escoamento externo: o fluido escoa livremente, sem limi-
tação nem orientação imposta pela existência de paredes sólidas. 
Massas fluidas não limitadas interagindo com contornos sólidos são 
observadas, por exemplo, na análise da placa plana, de aerofólios 
e de outros corpos completamente imersos.
Escoamento em canal: algumas características dos escoa-
mentos interno e externo são percebidas quando um fluido escoa 
dentro de uma tubulação ou um canal aberto, não preenchendo 
completamente a seção disponível para tal. O fluido, além de 
interagir com uma parede sólida, mantém interface com um outro 
fluido em sua superfície livre. Tubos não preenchidos e canais de 
uma forma geral estão incluídos neste item. A Figura 23 ilustra 
essas diferentes configurações do escoamento.
Figura 23 – Configurações espaciais do escoamento
Fonte: autoria própria, Pixabay e Ben Frantz Dale
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
52
1.7.1 Visualização dos escoamentos de fluidos
É melhor ver para crer, não é mesmo? Essa última seção está 
voltada simplesmente para a visualização do escoamento. Às vezes, 
observar as equações que descrevem um campo de velocidades 
pode não ser suficiente para compreendermos completamente a 
forma pela qual as variáveis se relacionam.
Então, diversas formas de se observar o escoamento de 
fluidos foram desenvolvidas. Cada uma delas dá origem a uma linha 
de visualização que caracteriza a forma pela qual o experimento 
foi conduzido.
Modelos de escoamentos podem ser visualizados usando 
linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão ou linhas de corrente.
Se, em um campo de escoamento, várias partículas fluidas 
adjacentes forem marcadas em um dado instante, formarão uma 
linha no fluido naquele instante; esta linha é chamada linha de 
tempo. Observações subsequentes da linha podem fornecer infor-
mações a respeito do campo de escoamento. A Figura 24 ilustra 
linhas de tempo para visualização de um escoamento.
Figura 24 – Linhas de tempo como forma de visualização de um 
escoamento
Fonte: autoria própria
Camila Pacelly Brandão de Araújo
53
Linhas de trajetória são formadas quando observamos o 
percurso ou o caminho percorrido por uma única partícula fluida 
em movimento dentro do campo de escoamento. Para torná-la 
visível, a partícula fluida deve ser identificada por alguma marcação 
(de cor, por exemplo) em um dado instante e, em seguida, tiramos 
uma fotografia de exposição prolongada do seu movimento. A 
linha traçada pela partícula é sua linha de trajetória. Na Figura 
25, é possível observar linhas de trajetória para partículas de ar 
marcadas com fumaça de um cigarro, bem como as linhas de 
trajetória de diversos carros passando por uma avenida.
 
Figura 25 – Linhas de trajetória
Fonte: Pixabay
De maneira ligeiramente similar ao realizado para se obser-
var linhas de trajetória, linhas de emissão são formadas pela 
marcação de todas as partículas que passam por um local fixo 
do escoamento. Após um curto período, teríamoscerto número 
de partículas fluidas identificáveis no escoamento, e todas elas, 
em algum momento, passaram pelo mesmo local fixo no espaço. 
Na Figura 26, pode-se visualizar linhas de emissão em um túnel 
de vento para teste aerodinâmico de um veículo e de maneira 
didaticamente ilustrada em uma seção convergente.
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
54
Figura 26 – Linhas de emissão
Fonte: adaptado de divulgação/Mercedes-Benz
Linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de 
escoamento de modo que, em um dado instante, são tangentes à 
direção do escoamento em cada ponto do campo. Como as linhas de 
corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo 
de escoamento, não pode haver fluxo de matéria através delas. O uso 
de linhas de corrente é uma das técnicas de visualização mais comu-
mente utilizadas. Elas são utilizadas, por exemplo, para estudar o 
escoamento sobre um automóvel em uma simulação computacional. 
A Figura 27 ilustra as linhas de corrente e os vetores de velocidade 
em cada ponto. Pode-se observar a direção do escoamento em cada 
ponto, bem como a intensidade da velocidade.
Figura 27 – Linhas de corrente para uma região de um escoamento
Fonte: adaptado de Çengel (2002)
Camila Pacelly Brandão de Araújo
55
Como pode ser observado na Figura 28, os componentes 
da velocidade nas direções x e y, respectivamente, u e v formam 
entre si triângulos semelhantes.
Figura 28 – Ilustração de uma linha de corrente e sua relação com os 
componentes do campo de velocidades
Fonte: adaptado de Çengel (2002)
Assim, é possível escrever a seguinte relação:
Desta maneira é possível a determinação da equação da 
linha de corrente por integração simples.
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
56
Resumo
Neste capítulo, respondemos a quatro perguntas funda-
mentais: qual o escopo do estudo da mecânica dos fluidos, o que 
é um fluido, como podemos analisá-los e que propriedades os 
caracterizam. Desse modo, descrevemos os fluidos por meio de 
algumas de suas principais propriedades, relacionadas à sua massa 
específica (densidade relativa, volume específico, peso específico), à 
velocidade e às tensões atuantes. Para tanto, descrevemos o campo 
de velocidades e classificamos o escoamento e, além disso, des-
crevemos as forças que atuam em meios fluidos, as características 
reológicas e como visualizar um escoamento.
✓ Definição de fluidos e 
propriedades fundamentais;
✓ Descrição das forças atuantes em fluidos;
✓ Avaliação das características reológicas de 
fluidos (newtonianos e não newtonianos);
✓ Classificação e visualização dos 
escoamentos de fluidos. 
Exercícios
1. A massa específica de um fluido é uma relação que depende 
de sua massa e do volume ocupado pelo fluido. Sabendo que 
a massa específica do mercúrio é 26,3 slug/ft³, determine 
seu volume específico em m³/kg e estime seu peso específico 
em lbf/ft³ na Terra e na Lua. Considere que a aceleração da 
gravidade na Lua seja de 5,47 ft/s².
Camila Pacelly Brandão de Araújo
57
2. Os campos de velocidade indicam as equações que explicam 
como a velocidade muda de um ponto a outro e ao longo 
do tempo em uma dada região de estudo. Para os campos 
de velocidade abaixo, determine se o escoamento é uni, bi 
ou tridimensional e por quê. Quais escoamentos podem ser 
considerados em regime permanente?
a) 
�
V ax t e iby^
b) 
�
V ax by î
c) 
�
V axi e jbx^ ^
d)
�
V axi by axkj2
e) 
�
V axi e j aykbt
f) 
�
V axi e j azkb
3. O campo de velocidade para um dado escoamento é assim 
especificado:
ˆ ² ˆV axyi by j= +

Onde a= 4m-1s-1 e b=-7m-1s-1 e as coordenadas são medidas 
em metros. O campo de escoamento é uni, bi ou tridimen-
sional? Por quê? Calcule as componentes da velocidade no 
ponto (1, 1/2), no ponto (2, 1) e no ponto (2, 4). Deduza 
a equação para a linha de corrente que passa pelo ponto 
(2,1). Trace algumas linhas de corrente para esse campo 
de escoamento.
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
58
4. A distribuição de velocidade para o escoamento laminar 
desenvolvido entre placas paralelas é dada por:
u
u
y
hmax
� ��
�
�
�
�
�1
2
2
onde h é a distância separando as placas; a origem está 
situada na linha mediana entre as placas. Considere 
um escoamento de água a 15°C (viscosidade dinâmica 
= 10-3 N.s/m²) com umax = 0,60 m/s e h = 0,15 mm. Calcule 
o módulo da tensão de cisalhamento na placa superior.
5. O comportamento reológico de fluidos é muito importante 
na determinação de diversos parâmetros de escoamento. O 
parâmetro perda de carga, inclusive, é uma medida da perda 
da energia fornecida para colocar o fluido em movimento, 
devido ao atrito dele com os diversos obstáculos que existem 
ao longo do seu caminho de escoamento. Diferencie fluidos 
newtonianos e não newtonianos, apresentando as relações 
entre as tensões cisalhantes desenvolvidas e as respectivas 
taxas de deformação. Apresente as características de alguns 
fluidos não newtonianos e exemplifique.
6. A viscosidade é uma propriedade do fluido que representa 
a resistência apresentada por ele ao escoamento. Alguns 
fluidos resistem mais ou menos ao escoamento, e a visco-
sidade é a propriedade que descreve esse comportamento. 
De que maneira a viscosidade dos líquidos e dos gases é 
afetada por variáveis do escoamento como a temperatura 
e a pressão? Por quê?
Camila Pacelly Brandão de Araújo
59
7. Um pistão cai dentro de um cilindro com velocidade 
constante de 3,5m/s. Entre o pistão e o cilindro, existe 
uma película de óleo de viscosidade cinemática de 
10-3 m²/s e de peso específico 8850 N/m³. Sendo o diâmetro 
do pistão 12cm, seu comprimento 5cm e o diâmetro do 
cilindro 12,3cm, determine o peso do pistão. Use g = 10m/s².
8. Um fluido newtoniano de densidade relativa e viscosidade 
cinemática respectivamente iguais a 0.92 e 4.10-4m²/s escoa 
sobre uma superfície imóvel. O perfil de velocidade desse 
escoamento, na região próxima à superfície, é o descrito 
pela equação:
u
U
y y
� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
3
2
1
2
3
� �
Determine o valor, a direção e o sentido da tensão de cisa-
lhamento que atua na placa. Expresse seu resultado em 
função de U e delta (δ).
9. A respeito do comportamento reológico e da classificação dos 
escoamentos dos fluidos, leia as afirmativas abaixo e indique 
se são verdadeiras ou falsas, justificando em cada caso.
a) A viscosidade cinemática (ν = m²/s) é a relação entre a visco-
sidade dinâmica (µ = Kg/m.s) e o peso específico (γ = N/m³).
b) O número de Reynolds é um número adimensional 
definido como uma relação entre forças inerciais e forças 
viscosas, sendo: Re = ρvd/µ
1 Introdução à Mecânica dos Fluidos e conceitos fundamentais
60
Onde: ρ = massa específica (Kg/m³) / v = velocidade de 
escoamento do fluido (m/s) / d = diâmetro da tubulação 
(m) / µ = viscosidade absoluta (Pa.s).
c) Para fluidos newtonianos, a relação entre tensão de cisa-
lhamento e taxa de deformação é não linear.
d) Um fluido plástico de Bingham resiste a baixas tensões 
de cisalhamento e, assim, comporta-se inicialmente como 
um sólido, mas se deforma continuamente quando a ten-
são de cisalhamento excede o limite de carga, passando a 
comportar-se como um fluido novamente.
10. Considere o escoamento de um fluido com viscosidade 
µ através de um tubo circular. O perfil de velocidade no 
tubo é mostrado na figura abaixo, onde umax é a velocidade 
máxima de escoamento, a qual ocorre no eixo central; r é 
a distância radial do eixo central e u(r) é a velocidade do 
escoamento em qualquer posição r. Desenvolva uma relação 
para a força de cisalhamento exercida sobre a parede do 
tubo no sentido do escoamento. 
2
Camila Pacelly Brandão de Araújo
61
Estática
2
2 Estática
2.1 Estática dos fluidos – o que é?
Bem-vindos ao nosso segundo grande bloco de conteúdos 
da primeira unidade de Mecânica dos Fluidos! Começaremos, 
agora, a estudar a condição estática dos fluidos. No início dos 
nossos estudos,comentamos que a Mecânica dos Fluidos era 
responsável pelo estudo do movimento e do repouso de fluidos, 
mediante a ação de forças.
Assim sendo, a fluidostática representa justamente o repouso 
desses fluidos. Essa importante seção da Mecânica dos Fluidos é 
responsável por inúmeros benefícios ao desenvolvimento humano, 
tendo sido estudada desde os primórdios dessa ciência.
A notícia neste link reporta o fato de uma das 
maiores barragens do estado do Rio Grande do 
Norte ter atingido seu maior nível desde 2012.
Isso é notícia boa para todo lado que 
se olhe, não é mesmo?
A próxima notícia já não é tão animadora, mas, 
com certeza, todos nós a sentimos profundamente 
quando do seu acontecimento. Quem não se 
lembra do caso do rompimento da Barragem do 
Feijó em Brumadinho? 
http://www.tribunadonorte.com.br/noticia/barragem-armando-ribeiro-gona-alves-atinge-maior-na-vel-desde-2012/481257
Camila Pacelly Brandão de Araújo
63
Será que podemos aplicar nossos conhecimentos de Mecânica 
dos Fluidos, em especial os de estática de fluidos, nesse caso?
Nós desenvolveremos, ao longo dessa aula, ferramentas para 
permitir tratar de problemas como estes, e como tantos outros 
relacionados à Estática de Fluidos. Alguns exemplos, como os 
princípios de funcionamento de prensas hidráulicas, o dimensio-
namento de reservatórios de líquidos, o projeto de comportas e 
de paredes de barragens de armazenamento de fluidos e a deter-
minação de esforços sobre corpos submersos em massas fluidas 
estagnadas, demonstram a importância de aplicação dessa área 
de conhecimento.
Vamos trabalhar, então?
2.2 Condição estática
Na aula anterior, quando começamos a falar sobre o tipo 
de forças que atuavam sobre massas fluidas, dividimos as forças 
de superfície em duas componentes (normal e cisalhante), as 
quais eram responsáveis por gerar, por sua vez, tensões normal 
e tangencial.
Dissemos também que o fluido, quando sujeito à ação de 
esforços cisalhantes, escoa, se deformando continuamente. De tal 
modo, podemos inferir que, na ausência de tensões cisalhantes, 
não haverá movimento do fluido e, portanto, ele estará na sua 
condição estática.
Os esforços normais são verificados tanto para um fluido 
que escoa, como para massas fluidas estagnadas. Nesta condição, 
o fluido encontra-se unicamente submetido a uma das parcelas 
da tensão normal - que é a pressão - e às forças originárias da 
existência de campos magnético ou gravitacional.
2 Estática
64
2.3 Isotropia da pressão
Isotropia da pressão é um termo feio, não é?
Mas não é de se assustar!
“ISO” se refere a tudo que é igual. Assim, nos fluidos está-
ticos, a isotropia da pressão diz respeito ao fato de que se observa 
um único valor de pressão em um ponto do fluido e que a pressão 
não depende da direção considerada.
Para comprovar essa característica isotrópica da pressão, 
podemos tomar um elemento triangular e realizar o balanço de 
forças sobre ele. A Figura 29 apresenta esse elemento prismático 
triangular e as forças atuantes sobre ele. Para efeitos de simplificação 
da figura, a força gravitacional foi omitida, porém, a consideraremos 
atuante na direção do y negativo.
Figura 29 – Elemento prismático triangular e forças sobre ele atuantes
Fonte: adaptado de Duarte (1997)
Considerando que o fluido se encontra em repouso, podemos 
usar a primeira condição de equilíbrio, qual seja a de que o soma-
tório de forças atuantes sobre o elemento é nulo, para determinar 
a relação entre as pressões Ps, Px e Py.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
65
� �

F 0
Na direção x, temos:
P y z P z sx SX� � � �� � 0
Pela geometria do problema, podemos inferir que:
sen y
s
�
�
�
� � �
E que:
cos x
s
�
�
�
� � �
Assim,
P y z P y zx S� � � �� � 0
P y z P sen z zx S� � � � �� � � � 0
P Px S=
Na direção y, temos:
P x z P z s g x y zy Sy� � � � � � � �� � �
1
2
0
Onde o termo 1
2
� � � �g x y z corresponde ao produto do peso 
específico do fluido pelo volume (∀ ) do elemento:
A z x y ztriangulo 2
2 Estática
66
Assim, utilizando as identidades trigonométricas:
P x z P z scos g x y zy S� � � � � � � � �� � � � �
1
2
0
P x z P z x g x y zy S� � � � � � � �� � �
1
2
0 
P P g yy S� � �
1
2
0� �
 
Tomando o limite em que o elemento se torna um ponto, ou seja, 
quando y tende a zero, temos:
P Py S=
Desse modo, podemos verificar que
P P Py x S= =
Isso nos comprova que o valor da pressão em um ponto é 
único e independe da direção. Essa relação é conhecida como o 
Princípio de Pascal, e pode ser enunciada como:
“A pressão exercida num ponto no interior 
de um fluido transmite-se com a mesma 
intensidade em todas as direções”.
Em outras palavras:
“A pressão aplicada em um ponto de um fluido 
incompressível em repouso é transmitida 
integralmente a todos os pontos do fluido.”
Essa é uma informação importante e que é muito usada 
no nosso cotidiano. Quem nunca viu um carro em uma oficina 
mecânica, sendo facilmente levantado pelos elevadores mecânicos? 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
67
Provavelmente você já conhece essa relação de algum momento 
anterior dos seus estudos em nível médio, e deve ter trabalhado com 
ela em sistemas como os indicados pela Figura 30, na qual se ilustra 
a ação de uma força de pequena magnitude (F1) em uma pequena 
área (A1), gerando uma pressão, que se transmite integralmente 
em todo o meio fluido e realiza uma força de grande magnitude 
(F2) em uma área maior (A2).
Figura 30 – Aplicação do Princípio de Pascal em um elevador mecânico
Fonte: autoria própria
2.4 Equação Geral da Estática
Nosso objetivo principal nesse momento será o de obter 
uma equação que represente o campo de pressão para um fluido 
que esteja na condição estática.
Vamos, portanto, deduzir o que já sabemos da experiência 
do dia a dia: a pressão aumenta com a profundidade. Para isso, 
vamos aplicar a segunda lei de Newton a um elemento de fluido 
diferencial infinitesimal, de massa dm d� �� com lados dx, dy 
e dz, conforme a Figura 31.
2 Estática
68
Figura 31 – Elemento fluido infinitesimal em um sistema de 
coordenadas cartesianas
Fonte: adaptado de Fox, McDonald e Pritchard (2011)
Estando o elemento fluido em repouso em relação ao sistema 
inercial de coordenadas retangulares mostrado, podemos usar a 
primeira condição de equilíbrio estático para avaliar a relação 
entre a pressão e a profundidade.
� �Fr
���
0
Sendo a força resultante o resultado da ação da força de 
campo gravitacional e da força de superfície, devido à pressão em 
cada uma das faces do elemento.
Teríamos, portanto, algo como:
F gdB
� �� �
� ��
e, em relação aos esforços que agem na superfície do ele-
mento, precisaríamos, primeiro, saber o valor da pressão em cada 
uma das faces do elemento.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
69
A função expansão em série de Taylor serve com o propósito 
de fazer justamente isso: extrapolar o valor que já se conhece de 
uma função contínua em um ponto, para as suas vizinhanças.
Considerando que x seja o ponto no qual se deseja determinar 
o valor da função, e A seja o ponto no qual esse valor já se conhece, 
a expansão em série de Taylor estabelece que:
f x f A
f A x a f A x a1 2
1 2! !
Ou seja, para determinar o valor da função do ponto x, basta 
termos a informação do valor da função no ponto A, sua derivada 
(primeira e segunda, se for o caso), e a distância entre os pontos (x-A).
Se você precisar dar uma revisada nisso, olhe o 
material disponível neste link para lhe auxiliar, ok? 
Considerando que saibamos o valor da pressão no ponto O 
no centro da nossa partícula fluida infinitesimal, podemos aplicar 
a expansão em série de Taylor para a face direita da partícula fluida 
para obtermos a força nessa face, como:
p p
y
y y x z j
2
^
Onde o produto δ δx z representa a área na qual a pressão 
atua. Como consideramos que a pressão atua sobre o elemento 
fluido, a força resultante nessa face aponta para a direção de -y, 
ou seja -j, tal que:
^
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Taylor2 Estática
70
p p
y
y x z j
2
^
O mesmo pode ser feito para a face esquerda, resultando em:
p p
y
y x z j
2
^
p p
y
y x z j
2
^
Para essa direção, portanto, a força líquida, devido à pressão, 
pode ser calculada como o somatório dessas duas para ser:
p
y
y x z p
dy
y x z jsy 2 2
F p
y
y x z jsy
^
Esse mesmo raciocínio pode ser replicado para as direções x 
e z, produzindo a força resultante de superfície conforme descrito:
p p
y
y x z p
y
y x z j
2 2
p
x
x z y p
x
x z y is 2 2
 
p p
z
z x y p
z
z x y k
2 2
Camila Pacelly Brandão de Araújo
71
Assim:
 
F p
x
z x y i p
y
x y z j p
zs
x z y k
Sendo o gradiente de uma quantidade escalar dado por:
�
x
i
y
j
z
k
Podemos escrever:
� � � �F P z x ys
� ��� �
� �� .�
Dessa forma, a força resultante total reduz-se a:
� �gd P z x y 0
� �F FB s
� ���� � ���
� � 0
 
�� � �

P g� 0
que representa a Equação Geral da Estática dos Fluidos.
Note que essa equação é vetorial e pode ser representada 
de forma escalar, para cada uma das componentes nas direções 
x, y e z, para ser:
�
�
�
� �
P
x
gx� 0
�
�
�
� �
P
y
gy� 0
2 Estática
72
�
�
�
� �
P
z
gz� 0
Ufa! Ainda bem que acabou!
Essas três formas representam a Equação Geral da Estática, a 
qual nos fornece justamente essa relação entre o campo de pressão 
e o campo gravitacional ao qual uma massa fluida está sujeita. A 
depender da forma pela qual o sistema esteja arranjado espacial-
mente, uma ou mais dessas componentes podem ser nulas.
Analisando esse conjunto de equações, podemos verificar que:
As pressões em um mesmo plano horizontal não 
variam em um fluido em repouso.
Essa é uma das maneiras de enunciarmos o Princípio de 
Stevin, o qual está ilustrado na Figura 32.
Figura 32 – Princípio de Stevin
Fonte: autoria própria
Vamos resumir o que fizemos até aqui?
O quadro da Figura 33 representa as considerações que fize-
mos e faz as devidas simplificações para o caso em que se oriente o 
eixo Z para cima (no sentido oposto ao da aceleração gravitacional), 
de tal maneira que g gx y= = 0 e g gz � � .
Camila Pacelly Brandão de Araújo
73
Para a maioria das aplicações, podemos considerar que a 
aceleração da gravidade local é constante com valor de 9,81m/s²; 
porém, para cálculos mais robustos em que se considere que haja 
variação dessa variável, ela deve ser considerada. Isso pode acontecer 
no caso em que se deseje realizar cálculos para veículos aeroespaciais, 
por exemplo.
Figura 33 – Considerações na obtenção da Equação Geral da Estática
Fonte: autoria própria
Como se pode verificar na Figura 33, são indicadas duas condi-
ções que devemos observar quando formos usar essa equação e ambas 
dizem respeito à mesma propriedade do fluido: a massa específica.
2.4.1 Fluidos incompressíveis
Para fluidos incompressíveis, a integração da expressão da 
Equação Geral da Estática é trivial e podemos realizá-la conforme 
demonstrado a seguir para determinar a maneira pela qual a 
pressão varia no interior de um fluido. A Figura 34 ilustra dois 
planos de referência dentro de uma massa fluida, distantes entre 
si de uma cota h.
2 Estática
74
Figura 34 – Variação de pressão no interior de uma massa fluida
Fonte: autoria própria
Separando as variáveis da Equação Geral da Estática e rea-
lizando a integração entre os limites de P1 1 2 2 temos:
P
P
z
z
dP gdz
1
2
1
2
� �� � �
Assim:
P P g z z
2 1 2 1
� � � �� ��
Chamando de h a diferença entre as cotas z2 e z1, temos:
P P gh
2 1
� � ��
Como sabemos que a pressão aumenta com a profundidade, 
a quantidade P P
2 1
− produz um resultado negativo, indicando 
que, no nível mais profundo, a pressão é maior. Assim, podemos 
reescrever para obtermos:
P P gh
1 2
� � �
Camila Pacelly Brandão de Araújo
75
Vocês provavelmente já tiveram a oportunidade de conhecer 
essa expressão em algum momento anterior – no Ensino Médio, 
por exemplo.
Podemos observar que a pressão cresce linearmente com a 
profundidade a partir da superfície livre a uma taxa determinada 
pelo peso específico do fluido. A Figura 35 apresenta essa relação.
Figura 35 – Relação linear da pressão com a profundidade em uma 
massa de fluido incompressível
Fonte: adaptado de Duarte (1997)
Podemos, convenientemente, aplicar esses conhecimentos a 
situações em que P0 é conhecida, bem como a diferença de cotas h 
entre os pontos considerados. Em muitas destas situações, a massa 
fluida apresenta uma superfície livre aberta para a atmosfera, 
onde a pressão atuante é a pressão atmosférica local. Para estes 
casos, costuma-se escolher, como referência, esta superfície onde 
P0 = Patm.
Nas próximas seções, iremos aplicar esses conhecimentos 
para determinar o valor da pressão atmosférica local no uso de 
diversos instrumentos de medição, entre outros.
2 Estática
76
2.4.2 Fluidos compressíveis
A variação da pressão estática é diferente em líquidos e 
gases. Os gases são fluidos compressíveis, já que apresentam uma 
variação significativa da massa específica em função da pressão 
e da temperatura.
Contudo, a variação de pressão em uma coluna de ar com 
centenas de metros pode ser considerada desprezível, como vere-
mos a seguir. Basta termos em mente que, enquanto a massa 
específica da água é de 1000 kg/m³, a massa específica do ar é da 
ordem de 1,2 kg/m³, o que representa uma significativa mudança 
de ordem de grandeza.
Nas aplicações de Engenharia, as alturas verticais das 
tubulações que trabalham com líquidos representam desníveis 
energéticos significativos que devem ser vencidos pelas bombas. 
No caso de sistemas que trabalham com gases, como, por exemplo, 
os sistemas de ventilação industrial, a variação de pressão devido 
às alturas verticais dos dutos considera-se desprezível.
Quando a variação da altura é da ordem de milhares de 
metros, devemos considerar a variação da massa específica nos 
cálculos da variação de pressão. No caso de um gás perfeito, é 
válida a equação:
� �
P
R T*
onde ρ é a pressão absoluta (Pa), a massa específica é medida 
em kg/m³, T é a temperatura absoluta (K) e R*, a constante de cada 
gás. Para o ar, R*=287 J/kg. K. Não confundir R* com a constante 
universal dos gases, R, pois R* corresponde à relação da constante 
universal R pela massa molar do gás considerado.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
77
Assim, novamente separando as variáveis da Equação Geral 
da Estática, temos:
P
P
z
z
dP gdz
1
2
1
2
� �� � �
E:
P
P
z
z
dP P
R T
gdz
1
2
1
2
� �� � *
Tal que:
P
P
z
zdP
P
gdz
R T1
2
1
2
� �� � *
Admitindo que a temperatura seja constante no intervalo 
considerado, temos:
ln ln P
P
g
R T
z z*
2
1
2 1
Se, por outro lado, não for possível considerar que haja um 
valor único de temperatura para o intervalo de elevação conside-
rado, há de se inserir uma relação funcional dessa variável com 
respeito à elevação. A Figura 36 mostra o comportamento da 
temperatura a diferentes níveis de elevação na atmosfera terrestre. 
É possível observar que existem intervalos de valor constante de 
temperatura, bem como intervalos em que o comportamento é 
linear, seja com incremento ou com diminuição da temperatura 
no trecho considerado.
2 Estática
78
Figura 36 – Variação de temperatura com a altitude na atmosfera-
padrão nos Estados Unidos
Fonte: adaptado de Fox (2008)
2.5 Aplicações da Equação Geral da Estática
Ficou clara a importância das pressões no estudo de Mecânica 
dos Fluidos? Por esse motivo, muitas técnicas e instrumentos foram 
desenvolvidos para a medição desta propriedade em uma massa 
fluida. A esta ciência, convencionou-se chamar de manometria.
Para além das medições de pressão, a determinação das 
forças oriundas da ação da pressão de um fluido também é de 
grande interesse prático e de engenharia. Nesta seção analisaremos 
alguns desses casos.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
79
2.5.1 Níveis de pressão
Qualquer que seja o valor da pressão observada em um fluido, 
ele deverá ser expresso em relação a um nível de referência. Esta 
característicarelativa da pressão introduz o conceito dos níveis de 
pressão e das pressões absoluta e efetiva. A Figura 37 ilustra essa situ-
ação, indicando os níveis 1, atmosférico e 2, e as respectivas leituras 
de pressão em escala absoluta (verde) e manométrica (vermelha).
Figura 37 – Níveis de pressão
Fonte: adaptado de Vilanova (2011)
A propriedade de pressão do fluido pode ser, ainda, expressa 
na forma de pressões absolutas e de pressões manométricas. A 
pressão absoluta é medida tendo como referência a pressão de 
zero absoluto, enquanto a pressão manométrica é medida tendo 
como referência a pressão atmosférica.
Perceba que, quando a pressão manométrica tem valor 
nulo (0), a pressão absoluta mede aproximadamente 101 KPa. Esse 
valor corresponde ao valor da pressão atmosférica local. Podemos 
expressar essa relação da seguinte forma:
P P Pabsoluta atmosférica manométrica� �
2 Estática
80
Quando a pressão é expressa pela diferença entre o seu 
valor e a pressão atmosférica local, ela é associada ao conceito 
de pressão efetiva. Vamos agora usar esses conhecimentos para 
obter informações importantes sobre fluidos estáticos?
2.5.2 Medição de pressão
As medições de pressão podem ser realizadas através de 
instrumentos simples. Abaixo, encontraremos exemplos de como 
alguns deles funcionam.
i. Barômetro
A pressão atmosférica em um determinado local é medida por 
um instrumento chamado barômetro, cuja configuração mais simples 
constitui-se simplesmente de um tubo de vidro cheio de mercúrio.
O extremo aberto é submerso na superfície de um reservatório 
cheio de mercúrio e ali permanece até que alcance o equilíbrio, como 
se observa na Figura 38. Na parte superior do tubo, produz-se um 
vácuo muito próximo do vácuo perfeito, contendo vapor de mercúrio 
a uma pressão (Pvapor) de somente 0,17 Pa a 20°C.
Figura 38 – Barômetro
Fonte: autoria própria
Camila Pacelly Brandão de Araújo
81
Escrevendo a Equação Geral da Estática para um fluido incom-
pressível, como o mercúrio, na base da coluna de fluido, se verifica:
P gh Patm vapor� ��
Como o termo referente à pressão de vapor do mercúrio é 
muito pequeno à temperatura ambiente, considera-se desprezível 
e desta forma:
P ghatm Hg� �
Determina-se, assim, a pressão atmosférica diretamente em 
função da coluna de mercúrio.
Como o peso específico do mercúrio é aproximadamente 
constante, uma mudança na pressão atmosférica ocasionará uma 
mudança na altura da coluna de mercúrio. Esta altura representa a 
pressão atmosférica. Você já ouviu falar que a pressão atmosférica 
é de 760mm de mercúrio? É exatamente esse o valor da altura da 
coluna de mercúrio medida por um barômetro. No presente material, 
utilizaremos o peso específico do mercúrio igual a 132.8 kN/m³.
Vamos testar nossos conhecimentos?
Qual seria a altura da coluna se o fluido usado fosse água?
E se fosse gasolina gasolina m840 ³?
ii. Tubo piezométrico
O tubo piezométrico é o manômetro mais simples para 
medição de pressão em um reservatório contendo um líquido 
pressurizado. Consiste em um tubo graduado conectado a um 
reservatório cuja altura de líquido indica o valor da pressão dentro 
do reservatório. A Figura 39 ilustra esse instrumento.
2 Estática
82
Figura 39 – Tubo piezométrico
Fonte: adaptado de Vilanova (2011)
Note que, por sua configuração intrínseca, o tubo piezo-
métrico não permitiria a medição de pressão de um reservatório 
de gases, pois ele escaparia. Além disso, o uso desse dispositivo 
não é conveniente quando se deseja medir níveis elevados de 
pressão, porque produziria colunas de grande altura de fluido. 
Em adição, esse instrumento não se presta à medição de pressões 
mais baixas que a atmosférica, porque, nesse caso, o reservatório 
estaria puxando ar atmosférico para seu interior.
Aplicando a Equação Geral da Estática para um fluido 
incompressível entre a extremidade aberta e o nível 1, temos:
P P ghA � �0 �
iii. Manômetro em U
Claramente, alguns pontos precisavam ser contornados 
na configuração dos tubos piezométricos para que sua aplicação 
fosse aumentada.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
83
Nesse intuito, surgiram os manômetros em U, os quais, 
mediante o uso de um fluido manométrico de massa específica 
diferente da massa específica do fluido contido no reservatório, 
podem medir valores de pressão mais elevados. Esse arranjo é 
mostrado na Figura 40.
O problema da medição da pressão em recipientes contendo 
gases pode ser eliminado utilizando-se o manômetro de tubo 
em U, podendo, neste caso, a pressão no recipiente ser negativa 
ou positiva, porém, dentro de parâmetros que permitam alturas 
razoáveis de colunas de líquido para serem construídos. 
Alguns requerimentos são de que o f luido cuja pressão 
se deseja medir deva ter uma massa específica menor que a do 
fluido manométrico e que os fluidos de medição e manométrico 
não se misturem.
Figura 40 – Tubo em U
Fonte: elaborado a partir de Vilanova (2011)
2 Estática
84
Para avaliar a pressão no reservatório A, devemos percorrer 
o caminho do fluido, desde uma das extremidades até o ponto 
desejado. Assim, poderíamos, partindo da superfície livre, descer 
a coluna de fluido manométrico (verde-claro) de profundidade 
h2 até o ponto 2, o qual se encontra no mesmo nível do ponto 1 
do mesmo fluido.
P P gh
2 0 2 2
� � �
Pelo Princípio de Pascal enunciado anteriormente, sabemos 
que as pressões em um mesmo plano horizontal não variam em 
um fluido em repouso. Assim:
P P
1 2
=
Estando o ponto A acima do ponto 1, a pressão deverá ser 
menor naquele do que neste, tal que:
P P ghA � �1 1 1�
Combinando as equações, temos, portanto:
P P gh ghA � �� � �0 2 2 1 1� �
Alternativamente, o manômetro em tubo em U pode ser 
conectado a um vaso pressurizado em dois pontos, ou entre dois 
reservatórios, ou ser anexado a uma tubulação em que um fluido 
escoa, permitindo a medição da diferença de pressão entre eles.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
85
Seguindo o mesmo procedimento realizado acima, se esco-
lhermos partir do ponto B até o ponto A da Figura 41a, teríamos, 
por exemplo:
P P gh
4 5 3 3
� � �
P PB = 5
 
P P gh
3 4 2 2
� � �
P P
2 3
=
P P P ghA A� � �1 2 1�
As quais, combinadas, resultam em:
P P gh gh ghA B A� �� � ��� �� �� � �3 3 2 2 1
Ou:
P P gh gh ghA B A� � � �� � �3 3 2 2 1
Um procedimento similar poderia ser realizado para o 
arranjo mostrado na Figura 41b.
Figura 41a – Medição de diferenças de pressão usando um tubo em U
Fonte: adaptado de Vilanova (2011)
2 Estática
86
Figura 41b – Medição de diferenças de pressão usando um tubo em U
Fonte: adaptado de Vilanova (2011)
iv. Manômetro inclinado
 Apesar da versatilidade alcançada com o arranjo em U 
mostrado anteriormente, ainda algumas dificuldades surgiam 
quando do uso desse instrumento para medições de pequenas 
variações de pressão, como no caso de gases. 
Observando-se a última equação, podemos ver que, se o 
fluido de medição for um gás, ou seja, possuir massa específica 
bastante inferior à do fluido manométrico, a equação se reduz a:
P P ghA B man� � �
Assim, para pequenas variações de pressão, as variações na 
altura da coluna h também seriam pequenas. 
No intuito de contornar esse tipo de situação, foram desen-
volvidos os manômetros de tubo inclinado, ilustrados na Figura 
42. Uma perna do manômetro é inclinada, formando um ângulo 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
87
θ com a horizontal, e a leitura diferencial l2 é medida ao longo do 
tubo inclinado. Mesmo que o diferencial de pressão seja pequeno, 
a inclinação possibilita realizar uma leitura.
Figura 42 – Manômetro de tubo inclinado
Fonte: adaptado de Alé (2011)
p gh gl sen gh pA B� � � � � �� � � �1 1 2 2 3 3
p p gl sen gh ghA B� � � � � �� � � �2 2 3 3 1 1
p p gl senA B� � � �� �2 2
l p p
gsen
A B
2
2
�
�
� �� � 
Os manômetros apresentados até aqui são amplamente 
utilizados, mas apresentam muitas desvantagens em relação à sua 
aplicação quando comparados a outros dispositivos mecânicos 
ou elétricos, como o medidorde pressão de Bourdon (Figura 43) 
ou os transdutores piezoelétricos. Na prática, esses dispositivos 
são mais ágeis e mais práticos para a realização da medição das 
pressões do que os primeiros e, por isso, são os mais utilizados 
em plantas industriais.
Vamos conhecer um pouco sobre eles?
2 Estática
88
v. Manômetro de Bourdon
O funcionamento desse tipo de manômetros é baseado 
na alteração da curvatura originada num tubo de seção elíptica 
pela pressão exercida no seu interior. A seção elíptica tende para 
uma seção circular com o aumento da pressão no interior do 
tubo levando a que o tubo se desenrole. Você já deve ter visto o 
funcionamento do brinquedo de criança conhecido por língua de 
sogra; se não viu, ele está indicado na Figura 43, juntamente com 
um manômetro de Bourdon e com o seu mecanismo interno de 
funcionamento.
Figura 43 – Língua de sogra (à esq.) e Manômetro de Bourdon (à dir.) 
Fonte: Pixabay
A medida da pressão pelo uso desse instrumento é relativa, 
uma vez que o exterior do tubo está sujeito à pressão atmosférica.
vi. Transdutores de pressão
Por sua vez, os transdutores de pressão são dispositivos 
de medição que fornecem uma grandeza de saída, a qual tem 
uma relação especificada com uma grandeza de entrada. Nesses 
dispositivos, a pressão, que é um sinal mecânico, é convertida em 
um sinal analógico elétrico.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
89
Nesse caso, a pressão aplicada ao transdutor de pressão 
produz uma deflexão do diafragma, que causa deformação aos 
sensores. Essa deformação, por sua vez, produzirá uma alteração 
de resistência elétrica proporcional à pressão e essa informação 
é enviada a um sistema de controle. A Figura 44 ilustra esse tipo 
de dispositivo.
Figura 44 – Transdutor de pressão
Fonte: divulgação Honeywell
Agora que já sabemos como a pressão varia em uma massa 
fluida podemos entender que, quando uma superfície qualquer 
está submersa em uma massa fluida, forças oriundas do fluido 
agem sobre essa superfície.
O estudo dessas forças é particularmente importante no 
projeto de grandes tanques de armazenamento de f luidos, de 
navios e de represas.
Lembra que comentamos no começo desse material a respeito 
das barragens para armazenamento de água no sertão, na construção 
de hidrelétricas e no armazenamento de rejeitos de mineração? É 
nesse tipo de problema que iremos começar a trabalhar agora.
2 Estática
90
Para determinar completamente a resultante de força atu-
ando sobre uma superfície submersa, devemos especificar:
1. O módulo da força;
2. O sentido da força;
3. A linha de ação da força.
Consideraremos tanto superfícies submersas planas quanto curvas.
i. Superfícies planas
Vamos começar analisando superfícies planas?
Nas seções anteriores, vimos que a pressão em uma superfície 
de referência varia linearmente com a profundidade ou com a dis-
tância dessa superfície submersa à superfície livre da massa fluida.
a) Horizontais
Em superfícies horizontais, como a apresentada na Figura 
45, é fácil perceber que teremos um determinado nível de pressão 
igualmente distribuído na totalidade da área da superfície, con-
forme mostrado a seguir.
Assim, a determinação da força resultante é direta e pode 
ser realizada pela aplicação da Equação Geral da Estática na pro-
fundidade da superfície.
F P AR
� �� �
= .
Sendo
P P gh� �0 �
Camila Pacelly Brandão de Araújo
91
No caso em que a pressão atmosférica atue em ambos os 
lados da placa, o termo referente a P0 pode ser omitido.
Figura 45 – Distribuição da pressão em uma superfície horizontal plana
Fonte: autoria própria
Por se tratar de uma distribuição uniforme da carga de 
pressão em toda a superfície horizontal, podemos considerar que 
a força resultante atua no centro geométrico da superfície e sua 
direção é perpendicular à própria superfície.
b) Verticais ou inclinadas
Em se tratando de superfícies verticais ou inclinadas, a carga 
de pressão, conforme vimos anteriormente, aumenta linearmente 
com a profundidade. Assim, em superfícies planas verticais ou 
inclinadas, não podemos simplesmente multiplicar a pressão 
pela área da superfície para calcular uma força resultante, já que 
a pressão, a cada novo nível, apresenta um novo valor. A Figura 
46 retrata essa distribuição.
2 Estática
92
Figura 46 – Distribuição da carga de pressão hidrostática em uma 
superfície plana vertical
Fonte: autoria própria
Módulo da força resultante:
Portanto, para determinar o módulo da força resultante, se 
faz necessária a integração da expressão para a força atuante em 
uma área infinitesimal da superfície, ao longo de toda a superfície 
a ser considerada.
dF pdA=
Em um ponto a uma altura qualquer, a pressão poderá ser 
calculada para ser:
p p ghi i� �0 �
E a força resultante deverá ser:
F PdA p gh dAR i( )0
Camila Pacelly Brandão de Araújo
93
Analisando a Figura 47, verificamos que, para uma superfície 
inclinada, haverá a formação de um ângulo θ qualquer entre a 
superfície submersa e a superfície livre do líquido. Caso a superfície 
seja vertical, esse ângulo assume o valor de 90°. Essa informação 
é particularmente importante se levarmos em consideração que 
o aumento da carga de pressão ocorre segundo a relação:
Figura 47 – Superfície plana inclinada e a composição de força
Fonte: adaptado de Çengel (2006)
Assim, a integração fica:
F pdA p gysen dAR A A� � � � �� � [ ]0 � �
F p dA gsen ydAR A A� � � �� �0 � �
Se você se recordar bem, em outras disciplinas, você pode 
já ter tido contato com a última integral apresentada na equação.
Quando desejamos determinar as coordenadas do centro 
geométrico de uma superfície, usamos as relações da Figura 48 
para tanto.
2 Estática
94
Figura 48 – Determinação do centro geométrico de uma superfície
Fonte: autoria própria
Podemos, então, reconhecer o termo:
A c
ydA y dA� ��
De tal maneira que:
F p dA gsen y dAR A c A� � � �� �0 � �
F p A gsen y AR c� � � �0 � �
Reconhecendo que o termo p gsen y Pc c0 � � � �� � cor-
responde à pressão que atua no centro geométrico da superfície, 
podemos reescrever a equação acima para ser:
F P AR c=
Não é ótimo isso?
Podemos calcular o módulo da força resultante 
atuando sobre uma superfície submersa simplesmente 
tomando o produto da pressão que atua sobre o centro 
geométrico dela e multiplicando pela sua área.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
95
Linha de ação da força resultante:
Como dissemos anteriormente, determinar completamente a 
força resultante não diz respeito somente ao cálculo do seu módulo, 
mas também à indicação da sua linha de ação e à sua direção.
Apesar de podermos dizer que a força resultante pode ser 
calculada usando-se as coordenadas do centro geométrico da 
superfície, não podemos dizer o mesmo sobre a sua linha de ação, e 
a razão disso é bastante simples: se a pressão aumenta linearmente 
com a profundidade, evidentemente, a contribuição para a força 
total das porções mais profundas é maior. Dessa forma, a linha de 
atuação da força resultante se encontra deslocada para um ponto 
mais abaixo que o centro geométrico, chamado de centro de pressão.
Para estabelecer as coordenadas do centro de pressão (y’, x’), 
trabalharemos com a igualdade dos momentos da força resultante 
e da carga de pressão distribuída.
� � � � �� �y F yp dA y gsen ydAR A A0 � �
� � �y F ypdAR A
 
Vimos da dedução anterior que a quantidade:
A c
ydA y dA� ��
Assim, temos:
� � � � � �y F p y A gsen y dAR C A0 � � ²
2 Estática
96
O termo da integral refere-se ao momento de inércia da área 
da superfície em relação ao eixo x. Se nos referirmos novamente à 
Figura 47, veremos que o eixo x corresponde a um eixo que sai do 
plano da página e tem sua localização no ponto em que a superfície 
livre do líquido encontra a linha da superfície inclinada.
I y dAxx A
2
Contudo, as tabelas de momentos de inércia de diversas 
figuras geralmente apresentam essa informação quando o eixo 
de rotação considerado é o que passa pelo centro geométrico dela.
O Teoremados Eixos Paralelos permite transladar o 
momento de inércia da área para um eixo que passe pelo seu 
centro geométrico pela seguinte relação:
I I Ayx CG c
2
Ao final dessa dedução, você vai encontrar uma tabela 
com os momentos de inércia (ICG) de várias figuras geométricas 
comuns (Figura 49).
� � � � � �� �y F p y A gsen I AyR C CG c0 2� �
Evidenciando os termos repetentes:
� � � �y F y p gh A gsen IR C c CG( )0 � � �
� � � � � �y F y A p gsen y gsen IR C c CG( )0 � � � �
Reconhecendo o termo entre parênteses como o módulo 
da força resultante calculada no item anterior:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
97
� � �y F y F gsen IR c R CG� �
Isolando as coordenadas da linha de ação da força resultante:
� � �y y gsen I
Fc
CG
R
� �
Essa relação nos apresenta a informação de que a linha de 
ação da força resultante sempre estará em um ponto abaixo do 
centro geométrico da superfície plana. Eu, particularmente, prefiro 
utilizar essa expressão, em detrimento da expressão anterior:
� � �y y I
y Ac
CG
c
A qual é obtida quando se considera a ação de uma pressão 
externa de igual magnitude sobre ambos os lados da superfície.
Figura 49 – Coordenadas do centro geométrico e o momento de 
inércia de algumas figuras
Fonte: adaptado de Çengel (2006)
2 Estática
98
ii. Superfícies curvas
Para superfícies curvas, deduziremos, novamente, expressões 
para a força resultante por integração da distribuição de pressões 
sobre a superfície. Contudo, diferentemente da superfície plana, 
temos um problema mais complicado — a força de pressão é 
normal à superfície em cada ponto; contudo, agora, os elementos 
infinitesimais de área apontam em diversas direções, por causa 
da curvatura da superfície. Isso significa que, em vez de integrar 
sobre um elemento de área dA, nós devemos integrar sobre o 
elemento vetorial �dA
� ��
.
A forma mais simples de se determinar a força hidrostática 
resultante que age sobre uma superfície curva bidimensional é 
por meio da determinação dos componentes horizontal e vertical 
FH e FV separadamente. Isso é feito considerando o diagrama de 
corpo livre do bloco de líquido englobado pela superfície curva 
e pelas duas superfícies planas, uma horizontal e outra vertical, 
passando pelas duas extremidades da superfície curva. Isso fica mais 
claramente explicado com o diagrama apresentado na Figura 50.
Figura 50 – Determinação da força hidrostática em superfícies 
curvas submersas
Fonte: adaptado de Çengel (2006)
Camila Pacelly Brandão de Araújo
99
A superfície vertical do bloco de líquido pode ser conside-
rada, simplesmente, como a projeção da superfície curva em um 
plano vertical. Já a superfície horizontal é a projeção da superfície 
curva em um plano horizontal.
Assim, a força resultante que age sobre a superfície sólida 
curva é igual e oposta à força que age sobre a superfície líquida 
curva, de acordo com a terceira lei de Newton.
Para a horizontal, temos que: 
A componente horizontal da força (FH) é igual à força FX na 
parede imaginária vertical.
F FH X=
Para a vertical, podemos dizer que:
A componente vertical da força (FV) é igual à força Fy na 
parede imaginária horizontal mais (ou menos) o peso do bloco 
de fluido. Dizemos “mais (ou menos)” o peso do fluido, pois a 
configuração espacial da superfície não necessariamente é a apre-
sentada na Figura 50, e pode apresentar configurações como a da 
Figura 51, por exemplo.
Figura 51 – Determinação da força hidrostática em superfície está 
acima do líquido
Fonte: adaptado de Çengel (2006)
2 Estática
100
Onde:
W gdV� �
Somando-se as duas componentes vetorialmente, temos:
F F FR H V
� �� � �� � ��
� �
Cujo módulo pode ser calculado para ser:
F F FR H V
a. Empuxo
Nosso próximo tema é bastante presente na vida de quem 
mora no litoral ou nas proximidades de rios e lagoas. A Figura 52 
ilustra várias situações em que o empuxo está presente.
Figura 52 – Exemplos de situações em que o empuxo pode ser verificado
Fonte: Unsplash
Sempre que um objeto está imerso em um líquido, ou flutu-
ando em sua superfície, surge uma força líquida vertical agindo sobre 
ele, devido à pressão do líquido. Essa força é denominada empuxo.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
101
Provavelmente você tenha ouvido falar dessa força se relacio-
nando com Arquimedes e a história da determinação da quantidade 
de ouro na coroa do rei. Vamos entender como essa força surge?
Considere um objeto totalmente imerso em um líquido 
estático, conforme mostrado na Figura 53. Observa-se um desbalan-
ceamento das forças nas superfícies superior e inferior, produzindo 
uma resultante para cima. 
F F Fr inf sup� �
Reconhecendo que a força na face inferior da superfície 
submersa a pressão se refere à de uma coluna de líquido de pro-
fundidade (h+s) e que, na superfície superior, a coluna é de pro-
fundidade (h), temos:
F g s h A gsr f f� �� � �� �
F ghAr f� �
Assim, podemos obter a expressão para o empuxo para ser:
F gVB f� �
Figura 53 – Empuxo sofrido por um elemento submerso
Fonte: adaptado de Çengel (2006)
2 Estática
102
Esse resultado é bastante interessante, pois indica que:
A força de flutuação que age sobre um corpo é 
igual ao peso do líquido deslocado por ele, e age 
para cima no centroide do volume deslocado.
Esse é o enunciado do chamado Princípio de Arquimedes. 
Essa relação foi usada por Arquimedes no ano 220 a.C. para 
determinar o teor de ouro na coroa do rei Hiero II. Nas aplicações 
técnicas mais correntes, a expressão para o empuxo é empregada 
no projeto de embarcações, de peças flutuantes e de equipamentos 
submersíveis.
Do que se lê da expressão para o empuxo, podemos verificar que:
✓ Não depende da distância entre o corpo e a superfície livre;
✓ Não depende da massa específica do corpo sólido;
✓ É válida para qualquer corpo, independente da sua forma.
Da equação para o empuxo, podemos predizer a força 
líquida vertical decorrente da pressão sobre um corpo que está 
totalmente submerso em um único fluido. Nos casos de imersão 
parcial, um corpo flutuante desloca um volume de líquido com 
peso igual ao peso do corpo.
F WB = 
F gB f sub� ��
W gcorpo total� ��
 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
103
Assim,
� �corpo total f subg g� � �
Tal que,
�
�
�sub
total
corpo
f
�
�
Portanto, a fração de volume submersa 
�
�
�
�
�
�
�
�sub
total de um 
corpo flutuante é igual à razão entre as massas específicas do 
fluido e do corpo.
Você já ouviu falar que não se consegue afundar 
no Mar Morto? Você conseguiria fornecer uma 
explicação para isso agora?
A linha de ação da força de empuxo, que pode ser determi-
nada usando os métodos anteriormente descritos, age por meio 
do centroide do volume deslocado. Como os corpos flutuantes 
estão em equilíbrio sob a ação de forças de campo e de empuxo, 
a localização da linha de ação da força de empuxo determina 
a estabilidade. A Figura 54 ilustra a composição de forças de 
empuxo e de peso e a formação de conjugados (pares de força) 
que tendem a aprumar a embarcação na esquerda (A), enquanto, 
na direita, a tendência é de rotacionar a embarcação.
Perceba que, em ambos os casos, o volume submerso da 
embarcação é o mesmo e, portanto, gera o mesmo empuxo. 
Porém, no item (b), a disposição da carga da embarcação promove 
uma elevação do centro de gravidade, alterando o conjugado de 
forças resultante.
2 Estática
104
Figura 54 – Empuxo sofrido por um elemento submerso
Fonte: adaptado de Fox (2008)
Resumo
Neste capítulo, construímos o conceito de estática de fluidos 
e verificamos que, para um fluido estar nessa condição, é necessário 
que não haja nenhum componente de força tangencial. Realizamos 
um balanço de forças para obtermos a Equação Geral da Estática 
e os demais princípios governantes do comportamento de fluidos 
nessa condição. Utilizamos essas ferramentas para construir formas 
de medição de pressão (manometria) e acessar o efeito da ação de 
massas de fluidos estáticas sobre superfícies submersas.
✓ Dedução das equaçõesbásicas de estática de fluidos 
(Princípio de Pascal, Stevin e Equação Geral da Estática);
✓ Aplicação destes princípios para o desenvolvimento 
de dispositivos para medição de pressão (manometria);
✓ Aplicação destes princípios para avaliação das forças 
resultantes da ação de massas de fluidos estáticas;
✓ Descrição e utilização da força e do empuxo 
(Princípio de Arquimedes).
Camila Pacelly Brandão de Araújo
105
Exercícios
1) Considerando g = 10m/s² e Patm = 105Pa, qual será a 
profundidade associada ao valor da pressão manométrica atuante 
nos ouvidos de um mergulhador na água (densidade relativa = 1,0), 
correspondente a 6,5 vezes a pressão atmosférica?
2) Um fluido de viscosidade cinemática de 21mm²/s des-
loca-se por uma tubulação de 35mm de diâmetro. Para que esse 
fluido não escoa em regime laminar, sua velocidade deve ser, no 
mínimo, de:
a) 125cm/s 
b) 1.125mm/s
c) 1,4m/s
d) 110cm/s
e) 13dm/s
3) O recipiente da figura ao lado contém água (densidade 
relativa = 1,0), óleo (ρ = 800kg/m³) e ar (ρ = 1,2kg/m³). Sabendo-se 
que a pressão atmosférica local é de 105Pa e que a aceleração da 
gravidade local é de 10m/s², a pressão manométrica no fundo da 
coluna de óleo será (em Pa):
a) 1400
b) 12000
c) 26000
d) 30000
e) 130000
2 Estática
106
4) Um líquido foi ensaiado em um reômetro de cilindros 
concêntricos para avaliação do seu comportamento reológico. Foi 
constatado que a sua viscosidade aparente diminuía quando a taxa 
de cisalhamento aumentava, sem apresentar efeitos de histerese. 
Esse fluido pode ser classificado como sendo, portanto:
A) De Bingham
B) Dilatante
C) Newtoniano
D) Pseudoplástico
E) Reopético
5) A figura abaixo representa um manômetro em U desti-
nado a medir a pressão no reservatório 1 (P1). Estime o valor de 
P1 (em kPa), sabendo que a extremidade aberta está sujeita à ação 
da pressão atmosférica (760mmHg) e que a cota d vale 90mm.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
107
6) Na figura a seguir, ambas as extremidades do manômetro 
estão abertas para a atmosfera. Sabe-se que a densidade do óleo 
SAE 30 é igual a 0,8740. Calcule a densidade do fluido X.
7) Na figura a seguir, todos os fluidos estão a 20ºC. Determine 
a diferença de pressão entre os pontos A e B.
2 Estática
108
8) Manômetros de Bourdon são colocados no sistema a 
seguir. Sabendo que as pressões manométricas P’A, P’B e P’C são, 
respectivamente, 4,0 atm; 1,8 atm e 2,2 atm, e considerando que 
a pressão atmosférica seja de 1 atm, qual será a pressão absoluta 
no recipiente A?
a) 2 atm
b) 5 atm
c) 6 atm
d) 8 atm
e) 9 atm 
9) A porta mostrada na lateral do tanque é articulada ao 
longo de sua borda inferior. Uma pressão de 5000Pa (manométrica) 
é aplicada na superfície livre do líquido. Determine a força Ft 
requerida para manter a porta fechada.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
109
10) A superfície inclinada mostrada, articulada ao longo de 
A, tem 5m de largura. Ela é uma vista lateral de uma barragem 
para produção de energia elétrica a partir do movimento da água. 
Determine a força resultante (FR) da água sobre a superfície incli-
nada para o caso em que o fluido está estático.
Análise integral do 
escoamento de fluidos
3
3 Análise integral do escoamento de fluidos
3.1 Escoamento de fluidos
Bem-vindos à nossa segunda unidade de conteúdos de 
Mecânica dos Fluidos! Começaremos, agora, a estudar a condição 
de fluidos em escoamento.
No início dos nossos estudos, comentamos que a Mecânica 
dos Fluidos era responsável pelo estudo do movimento e do repouso 
de fluidos, mediante a ação de forças.
Assim sendo, a fluidodinâmica representa justamente o 
caso do movimento desses f luidos. Essa importante seção da 
Mecânica dos Fluidos é responsável por inúmeras situações do 
nosso cotidiano, desde o abastecimento de água na nossa residência 
ao escoamento de sangue em nossas veias e artérias e ao movimento 
das massas de ar. 
A notícia neste link reporta a construção de 
um gasoduto para escoamento da produção do 
pré-sal. Podemos ver claramente a importância 
do escoamento de fluidos, portanto, para 
diversos aspectos da nossa vida, desde o 
abastecimento de gás para o funcionamento 
das indústrias, até a produção de derivados e 
petróleo, entre vários outros.
https://epbr.com.br/cosan-licencia-projeto-indicado-pela-epe-para-escoamento-de-gas-do-pre-sal/
3 Análise integral do escoamento de fluidos
112
Nós desenvolveremos, ao longo dessa aula, ferramentas 
para permitir tratar de problemas como esses e tantos outros 
relacionados ao Escoamento de Fluidos.
Vamos trabalhar, então?
3.2 Alguns conceitos necessários
No início da nossa disciplina, quando começamos a falar 
sobre o tipo de forças que atuavam sobre massas fluidas, dividimos 
as forças de superfície em duas componentes (normal e cisalhante), 
as quais eram responsáveis por gerar, por sua vez, tensões normais 
e tangenciais.
Dissemos também que o fluido, quando sujeito à ação de 
esforços cisalhantes, escoa, se deformando continuamente. De tal 
modo, podemos inferir que, na ausência de tensões cisalhantes, não 
haverá movimento do fluido e, portanto, ele estará na sua condição 
estática; e que, na presença desses esforços, haverá o escoamento.
Os esforços normais são verificados tanto para um fluido 
que escoa, como para massas fluidas estagnadas. 
Quando trabalhamos na etapa introdutória desse curso, 
dissemos que usaríamos ferramentas que vocês já conhecem para 
modelar o escoamento de fluidos, mas que essas ferramentas de 
equacionamento iriam precisar de modificações. É o que come-
çaremos a fazer agora. Para isso, vamos trabalhar em termos de 
propriedades genéricas (quaisquer) do fluido.
Propriedades ditas intensivas são aquelas que indepen-
dem do tamanho do sistema que está sendo estudado. Podemos 
enquadrar, nessa categoria, propriedades como: calor específico 
(cp), massa específica (ρ), temperatura (T) e pressão (P). Imagine 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
113
uma massa de água de 300ml em um copo e uma massa de água 
também de 1m³ em um tanque. Conseguem perceber que essas 
propriedades serão as mesmas para ambos os casos?
Propriedades ditas extensivas são aquelas que dependem do 
tamanho do sistema que se está estudando. Os valores totais das 
propriedades extensivas podem ser obtidos somando-se os valores 
em parcelas individuais do sistema. Assim, podemos pensar em 
propriedades como a massa do sistema, o volume por ela ocupada, 
sua energia total, entre outras.
De maneira geral, podemos dizer que uma dada propriedade 
intensiva pode se relacionar com a sua propriedade extensiva 
correspondente por:
P INTENSIVA PEXTENSIVA
TAMANHODOSISTEMA
� � �
� �
=
Assim, podemos representar propriedades intensivas, como 
energia interna específica, massa específica e entalpia específica, 
para serem razões dos valores de energia interna total (U), de 
entalpia total (H) ou de Volume total (∀ ).
u U
M
=
h H
M
=
� �
�
M
3 Análise integral do escoamento de fluidos
114
Então, partindo dessas definições, chamaremos de N qual-
quer uma das propriedades extensivas do sistema, e as propriedades 
intensivas, de η. Assim:
Quando falamos em estudar o comportamento dos fluidos 
em movimentos, é convencional analisarmos uma região do espaço 
que é o nosso objeto de estudo, o nosso volume de controle, ao 
invés de uma massa fixa e definida do fluído (sistema). Porém, as 
Leis Básicas que conhecemos dos nossos estudos pregressos em 
outras disciplinas foram formuladas para sistemas.
Você se recorda dessas definições? Adiante, você pode 
encontrar essas definições mais uma vez, enquanto, na Figura 
55, se apresenta a diferença entre essas abordagens para o caso 
simples de se considerar o escoamento de spray por meio de um 
recipiente de aerossol.
Sistema é uma quantidade de massa fixa e 
identificável, separada do ambiente por suas 
fronteiras, que se escolhe como objeto de estudo. 
E
Volume de controle é um volume arbitrário no 
espaço que se deseja observar. Podem existir 
fluxosmássicos através de suas fronteiras.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
115
Figura 55 – Abordagem por sistemas x abordagem por volume de controle
Fonte: adaptado de Çengel (2006).
Ainda a respeito de volumes de controle (VC), podemos 
definir as fronteiras do volume de controle pelo uso de superfí-
cies de controle (SC), em meio às quais se dará o fluxo do fluido 
(Vilanova, 2011). A Figura 56 representa tanto um volume de 
controle estipulado, quanto a sua respectiva superfície de controle.
Figura 56 – Representação do volume de controles e superfície de 
controle em uma tubulação 
Fonte: autoria própria
3 Análise integral do escoamento de fluidos
116
No próximo tópico, apresentaremos as Leis Básicas que 
governam o comportamento geral dos fluidos na sua formulação 
original e destacaremos a maneira recorrente como elas podem ser 
expressas. Em seguida, vamos conhecer o Teorema de Transporte 
de Reynolds, que permitirá unificar as equações desenvolvidas 
para sistemas, com a formulação de volume de controle. Por fim, 
vamos aplicar esse conhecimento para três das Leis Básicas de maior 
importância: conservação da massa, conservação da quantidade 
do movimento linear e conservação da energia.
3.3 Leis básicas
Como dissemos no início das nossas tratativas, os princípios 
e as leis básicas que vocês já conhecem e utilizam com frequência 
nos estudos referentes a outras disciplinas também serão utilizados 
aqui. São eles: o princípio da conservação da massa, o princípio da 
conservação do momento linear, a primeira Lei da Termodinâmica, 
o princípio da conservação do momento angular e a segunda Lei 
da Termodinâmica. Aqui, eles serão descritos conforme o nosso 
uso futuro.
3.3.1 Conservação da massa
O sistema, por definição, se constitui de uma quantidade 
de massa fixa e identificável - assim, é composto pela mesma 
quantidade de matéria em todos os instantes de tempo. Portanto, 
o conceito de sistema já representa semanticamente o próprio 
equacionamento deste princípio de conservação. Como o sistema 
contém sempre as mesmas partículas fluidas, a massa identificada 
pelo sistema não varia com o tempo, ou seja,
Camila Pacelly Brandão de Araújo
117
dM
dt Sistema
| = 0
Desse modo, a massa específica do fluido pode apresentar 
variações no interior do sistema. À medida que o sistema se movi-
menta com o escoamento, a massa específica destas partículas 
pode variar em função da geometria do problema ou do campo de 
pressão observado. Para manter a sua massa, o sistema deforma-se, 
encolhendo ou fazendo crescer o seu volume, na medida exata para 
compensar estas expansões ou contrações do fluido.
3.3.2 Conservação do momento linear
Como vocês já sabem, o momento linear de um dado objeto 
pode ser calculado pelo produto da sua velocidade pela sua massa. 
É devido ao fato de o momento linear de um caminhão carregado 
descendo uma serra ser maior que o de um carro (ambos à mesma 
velocidade) que os motoristas daqueles precisam de cuidados 
redobrados nesses momentos e contam com o auxílio de sistemas 
de frenagem específicos:
� ���
P mV= .
Se nos propusermos ao cálculo da taxa de variação do 
momento linear de uma partícula, podemos fazer:
3 Análise integral do escoamento de fluidos
118
dP
dt
m dV
dt
Vdm
dt
  
� �
Onde o termo dm/dt representaria a taxa de variação da 
massa do sistema, que já vimos ser nulo no item acima. Assim,
dP
dt
ma


=
De tal maneira que podemos dizer que a taxa de variação 
do momento linear de um sistema é igual ao somatório de forças 
atuantes sobre ele, de acordo com a Segunda Lei de Newton:
dP
dt
FR
� � ��
=
Dessa forma, podemos escrever (mantendo a formatação 
usada para a conservação da massa):
dP
dt
F
Sistema
� �
| �
3.3.3 Conservação da energia
A Primeira Lei da Termodinâmica, ou o Princípio de 
Conservação da Energia, estabelece que as trocas energéticas entre 
um sistema fechado e sua vizinhança somente podem ocorrer sob 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
119
as formas de trabalho ou calor. Define-se calor como toda forma 
de energia em trânsito que surge em decorrência de diferenças de 
temperatura, e trabalho como toda forma organizada de trans-
ferência de energia (cilindro-pistão, força eletromagnética etc.).
Sendo a energia total de um sistema a contabilização da 
energia nas formas mecânica e interna, podemos dizer:
E E E Utotal C P� � �
E mV mgz Utotal � � �
2
2
Ou, por unidade de massa do sistema:
e E
m
V gz u� � � �
2
2
Dessa maneira, podemos escrever esse princípio de con-
servação para ser:
dE
dt
Q W
Sistema
| � �
A convenção de sinais usados para o uso dessa equação é 
a apresentada na Figura 57, na qual a realização de trabalho pelo 
sistema e o recebimento de calor pelo sistema são contabilizados 
com sinal positivo, enquanto o fornecimento de calor e a realização 
de trabalho sobre o sistema são contabilizados com sinal negativo.
3 Análise integral do escoamento de fluidos
120
Figura 57 – Convenção de sinais para a Primeira Lei da Termodinâmica 
Fonte: autoria própria
Além disso, podemos também dizer:
dm e dSistema M sistema sistema
3.3.4 Conservação do momento angular
Inúmeras são as máquinas em que um fluido rotaciona em 
torno de um eixo cuja dinâmica do movimento deve ser formulada 
por este princípio. Sendo o torque atuante sobre o sistema dado 
pelo produto vetorial da força resultante e a distância ao eixo 
considerado, temos:
� � � ��T r x FR= ��
A qual pode ser expressa como:
Sendo a quantidade de momento angular dada por:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
121
O princípio da conservação da quantidade de movimento 
angular estabelece que a taxa de variação dessa quantidade é resul-
tado da ação dos torques observados em relação a um referencial 
inercial que age sobre o sistema. Assim, escreve-se:
dH
dt
T
Sistema
� �
| �
Note que, na equação supracitada, se recorre, mais uma vez, 
à diferenciação do sistema em volumes elementares infinitesimais 
para contabilizar tanto a variação das propriedades do fluido (r 
e ), como o "braço" , segundo o qual a partícula rotaciona em 
relação à origem do sistema de coordenadas.
3.3.5 Segunda Lei da Termodinâmica
O conceito de entropia diz respeito ao nível de desordem 
de um sistema. Em qualquer processo termodinâmico, como a 
deformação de um fluido, a transferência de calor ou a realização 
de trabalho sobre um sistema, por exemplo, exige que haja uma 
mudança de estado do sistema considerado. 
Em processos de transferência de calor, o nível de desordem 
do sistema pode variar desde aquele preconizado para processos 
ditos reversíveis (usando diferenças de temperatura infinitesimais 
entre as partes envolvidas) até valores maiores, que seriam carac-
terísticos dos processos reais nos quais ocorrem irreversibilidades.
3 Análise integral do escoamento de fluidos
122
Várias são as fontes de irreversibilidade na natureza. 
Processos termodinâmicos que envolvem o atrito, a expansão 
espontânea de um gás e a deformação plástica de um material 
apresentam geração de irreversibilidades superiores ao processo 
de transferência de calor de um processo reversível.
Assim, a Segunda Lei da Termodinâmica representa essa 
relação na forma de inequação, indicando que a taxa de variação 
de entropia de um sistema em que há um fluxo de calor a uma 
dada temperatura deve ser maior ou igual àquele estipulado para 
o processo reversível:
dS
dt
Q
TSistema
| �
�
Onde
3.3.6 Leis básicas – formulação genérica
Do que foi exposto até agora, podemos dividir as proprie-
dades em intensivas e extensivas, como dissemos anteriormente.
Se as equações integrais que mensuram a quantidade de 
cada uma das propriedades no interior do sistema descritas nos 
itens anteriores forem comparadas entre si, será possível perceber 
grande semelhança entre elas.
Desse modo, se chamarmos de N uma propriedade qualquer 
do sistema (a qual pode representar a massa, a quantidade de 
movimento, a quantidade de movimento de angular, a energia ou 
a entropia)e sua forma específica por η, estas equações podem ser 
representadas genericamente pela expressão:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
123
Assim, a Tabela 1 apresenta a relação entre as propriedades 
extensivas e suas intensivas correspondentes:
Propriedade 
Extensiva
Propriedade 
Intensiva
M 1
E e
S s
Tabela 1 – Propriedades extensivas e suas correspondentes 
propriedades intensivas
Fonte: autoria própria
Podemos, também, perceber que todos esses princípios 
fundamentais podem ser expressos em termos de equações de 
taxa de uma dada propriedade extensiva do sistema.
Dessa forma, para que se obtenha uma equação de conserva-
ção válida para volumes de controle, devem ser correlacionadas as 
taxas de variação de cada uma destas propriedades no interior do 
sistema e do volume de controle. Ou seja, empregando a propriedade 
genérica N, busca-se estabelecer a seguinte relação:
dN
dt
dN
dtSistema volume de controle
�⌋ ⌋
 
3 Análise integral do escoamento de fluidos
124
Logo, deve ser verificada a condição na qual os primeiros 
membros dos princípios de conservação são os mesmos para 
sistema e para volume de controle (VC). Note que isto pode ser 
conseguido simplesmente selecionando sistema e volume de con-
trole coincidentes no instante de tempo considerado.
É o que faremos agora!
3.4 Teorema de Transporte de Reynolds
Vamos imaginar uma porção qualquer de fluido em esco-
amento num instante inicial t0 (Figura 58); essa forma inicial do 
nosso sistema de fluído coincide, nesse instante, com o volume de 
controle. Após um tempo infinitesimal ∆t, o sistema (de massa fixa 
e identificável) terá se movimentado para um novo local (Figura 
58b), enquanto o volume de controle permanecerá o mesmo que 
o determinado no instante inicial.
Figura 58 – Porção de fluido em escoamento nos instantes t0 (a) e t0 + ∆t (b) 
Fonte: adaptado de Fox (2008)
Camila Pacelly Brandão de Araújo
125
As leis que acabamos de discutir se aplicam a essa porção de 
fluido; utilizando a conservação da massa, por exemplo, observa-
mos que a massa do fluido é constante. Além disso, examinando 
a geometria do sistema/volume de controle em t = t0 e t = t0 + ∆t, 
vamos ser capazes de obter formulações das leis para o volume 
de controle (Fox, 2008). 
É importante ressaltar, também, que no instante t0, o sistema 
e o volume de controle estipulado são coincidentes; já no instante 
t0 + Δt, podem ser identificadas 3 (três) regiões:
✓ I e II correspondem à região que chamamos de volume 
de controle;
✓ II e III correspondem ao sistema (lembra que sistema se 
refere a uma porção de massa fixa e identificável?).
Como nosso objetivo é correlacionar qualquer propriedade 
extensiva do sistema com suas quantidades do volume de controle, 
tomemos a taxa de variação temporal de uma propriedade N 
qualquer do sistema para ser:
dN
dt t∆
⌋
⌋
⌋∆
Analisando a Figura 58, podemos identificar as regiões 
correspondentes ao sistema nos instantes t e t0 como:
E
⌋ ⌋
3 Análise integral do escoamento de fluidos
126
Substituindo esses termos na definição de derivadas, temos:
Sabemos, também, que o limite da soma é a soma dos limites, então:
Analisando cada um dos termos isoladamente, podemos 
identificar, para o primeiro termo, a expressão da taxa de variação 
temporal da propriedade N no volume de controle conforme descrito:
Para avaliarmos tanto o segundo termo da equação, quanto 
o terceiro, precisamos obter uma expressão para a propriedade que 
sai do volume de controle na região III, NIII
∆
0
⌋ . Considere a 
sub-região de III representada pela Figura 59.
Figura 59 – Vista ampliada da sub-região III 
Fonte: adaptado de Fox (2008)
Camila Pacelly Brandão de Araújo
127
Para essa sub-região, pode se afirmar que o elemento vetorial 
de área dA tem o módulo do elemento de área dA da superfície 
de controle, e o sentido de dA é normal à superfície para fora do 
elemento. Em termos gerais, o vetor velocidade V fará um ângulo 
qualquer α em relação a dA.
dN dIII
∆
0
∆
0
⌋
Além disso, se considerarmos esse infinitesimal cilíndrico, 
podemos expressar o seu volume como sendo:
dV l dA� .∆
isso se o relacionarmos com o caminho percorrido pelo 
fluido desde a superfície de controle aos limites da região III. Ou 
seja:
t�∆ ∆
Teremos:
∆ ∆
Assim,
∆
0
⌋ ∆
Dessa forma, podemos integrar toda a região III e obter, 
para o segundo, o termo necessário da equação.
3 Análise integral do escoamento de fluidos
128
De forma semelhante para a sub-região I, podemos obter:
V dA
SCI
∆
0
⌋
∆
Para a sub-região I, o vetor velocidade aponta para dentro 
do volume de controle, mas o vetor normal que caracteriza a área 
sempre aponta (por convenção) para fora do volume de controle 
(α = π/2), de modo que o produto escalar entre esses dois vetores 
na equação anterior é negativo. Podemos ilustrar o conceito do 
produto escalar na Figura 60.
Figura 60 – Avaliação do produto escalar 
Fonte: adaptado de Fox (2008)
Substituindo todos os termos individuais na equação de 
taxa de variação inicial, temos:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
129
As duas últimas integrais constituem a superfície de controle, 
de tal maneira que podemos combiná-las em uma única integral 
ao longo da totalidade da superfície de controle, obtendo, assim:
Essa é a equação que desejávamos obter desde o início: 
uma equação que representa como relacionar uma propriedade 
do sistema (expressa em termos da sua taxa de variação temporal) 
com a sua variação dentro do volume de controle e com o seu fluxo 
através da superfície de controle desse VC. Essa equação também 
é conhecida como o Teorema de Transporte de Reynolds.
Podemos interpretar cada um dos termos como: 
representa a taxa de variação temporal da pro-
priedade extensiva N do sistema.
representa a taxa de variação da quantidade 
da propriedade N dentro do volume de controle. Se for M a pro-
priedade N, teremos η=1, de tal maneira que o termo dentro da 
integral representará a massa contida no volume de controle, e a 
sua derivada, com respeito ao tempo, representará o seu aumento 
ou diminuição dentro do VC.
 representa a taxa com a qual a propriedade N 
flui pelo volume de controle (entradas e saídas de N) através da 
superfície de controle.
3 Análise integral do escoamento de fluidos
130
3.5 Equações para um volume de controle
Agora que já aprendemos como relacionam-se as proprieda-
des do sistema com as propriedades do volume de controle, vamos 
aplicar o TTR sobre as principais equações de conservação para 
nosso estudo de Mecânica dos Fluidos. Faremos o uso do TTR 
para avaliar a equação da conservação da massa, do momento 
linear e da energia nesse texto.
Vamos começar?
3.5.1 Conservação da massa – Equação da continuidade
Conforme dissemos anteriormente, na equação para a con-
servação da massa para um sistema vale:
Sendo M a nossa propriedade extensiva N, e η=1, a ser subs-
tituída no TTR, temos:
Assim, podemos reescrever o TTR usando a equação da 
taxa de variação para o sistema para ser:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
131
O primeiro termo do segundo membro representa a taxa 
de variação da massa do volume de controle, enquanto o segundo 
termo representa o fluxo líquido de massa através da superfície. 
Essa equação poderia ser reescrita na forma:
Se nós recuperarmos a definição de produto escalar e 
verificarmos as relações geométricas entre o vetor velocidade 
e o vetor elemento de área em seções de saída e de entrada de 
fluido (tais como na Figura 60), poderemos observar que haverá 
acúmulo de massa positivo no interior do volume de controle 
somente quando o fluxo para seu interior for maior que o fluxo 
de saída; no caso inverso, ocorre um esgotamento do conteúdo 
do volume de controle.
A Figura 61 nos fornece uma representação gráfica bastante 
simples e de fácil entendimento do que se trata a equação de 
conservação da massa para um volume de controle. Imagine um 
tanque como o mostrado na Figura 61. O volume de controle está 
delimitado pela superfíciede controle ali destacada. Suponha que 
o volume de controle tenha um dado volume inicial de líquido, 
de tal maneira que este apresente o nível L. O aumento do fluxo 
na seção de entrada acarretará (se não se alterar o fluxo de saída 
do líquido) em um aumento do nível do líquido, concordam? 
3 Análise integral do escoamento de fluidos
132
Isso se reflete no termo do lado esquerdo da equação, no termo 
representativo da taxa de variação da massa contida no volume de 
controle. Como a região de entrada (pela Figura 60) é uma região 
em que o produto escalar entre o vetor velocidade e a área gerará 
um valor negativo, isso se reflete em um termo de acúmulo (taxa 
de variação no volume de controle) positivo.
O oposto se verifica quando há um aumento no fluxo de 
saída com a manutenção do mesmo fluxo de entrada. Essa situação 
vai se caracterizar por uma diminuição da quantidade de massa 
presente no volume de controle.
Figura 61 – Representação da conservação da massa para um V.C. 
Fonte: autoria própria
Duas possibilidades de simplificação da equação da con-
servação da massa na forma integral para um volume de controle 
podem ser facilmente aplicadas.
A admissão de fluido incompressível e de regime perma-
nente podem ser realizadas obtendo um equacionamento para a 
conservação da massa nos seguintes formatos:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
133
a) Fluido incompressível (ρ constante em todo o volume 
de controle)
Caso o volume do volume de controle não varie com o tempo,
Note que o produto V.A tem dimensões de L³/t (unidades 
SI de M³/s) e é denominado vazão volumétrica Q.
Para um escoamento incompressível, a vazão de entrada 
deve ser igual à vazão de saída, ainda que não se trate de um 
escoamento em regime permanente.
A velocidade média do escoamento em uma seção pode ser 
estimada conhecendo-se a vazão volumétrica como:
3 Análise integral do escoamento de fluidos
134
b) Regime permanente
Para os escoamentos em regime permanente, não há variação 
temporal de qualquer propriedade do fluido. Assim:
Note que o produto ρV.A tem dimensões de M/t (unidades 
SI de kg/s) e é denominado vazão mássica (m. ). Desse modo, em 
regime permanente, a vazão mássica (ρVA) que entra no volume 
de controle é igual à vazão mássica que deixa o volume de controle.
c) Escoamento uniforme:
A consideração de escoamento uniforme implica em uma 
velocidade constante ao longo de toda a área da seção transversal. 
Se a massa específica também puder ser considerada uniforme na 
seção, então:
E, ao invés de se realizar a integração de uma função que 
represente o perfil de velocidades ao longo da seção do escoamento, 
simplesmente se realiza a multiplicação dos referidos termos.
3.5.2 Conservação do momento linear
Aplicando o mesmo raciocínio que desenvolvemos para 
chegar à expressão da equação da conservação da massa, podemos 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
135
determinar a equação para a conservação do momento linear de 
um volume de controle por meio do TTR, sendo a propriedade 
extensiva N e a correspondente propriedade intensiva:
Perceba que a coincidência entre sistema e volume de controle 
garante que as forças que agem sobre o sistema sejam as mesmas 
que atuam sobre o volume de controle no instante em que eles 
envolvem a mesma porção fluida.
Assim, podemos escrever:
Se compreendermos que a força atuando sobre o volume 
de controle pode ser dividida em forças de campo e forças de 
superfície, a expressão fica mais claramente descrita por:
onde 

FS e 

FB representam as forças resultantes que atuam 
sobre a superfície e sobre a massa do volume de controle, res-
pectivamente. As forças de superfície representam o somatório 
da ação de tensões (normais e tangenciais) sobre a superfície de 
controle, enquanto a força de campo geralmente é a força do campo 
gravitacional atuando sobre a massa de fluido.
3 Análise integral do escoamento de fluidos
136
F Bdm B dB vc
� �� � �
� � �� � �
Como sabemos, as forças são quantidades vetoriais. Logo, 
podemos descrever a expressão da conservação do momento 
linear por meio das suas componentes em cada uma das direções 
do sistema de coordenadas adequado à geometria do problema. 
Para o sistema cartesiano, essas componentes resumem-se em:
A rigor, esta equação foi deduzida considerando-se que, em 
um determinado instante, sistema e volume de controle envolvem 
uma mesma porção fluida e apresentam fronteiras coincidentes.
Como estratégia didática, analisa-se o problema como se o 
VC permanecesse fixo em relação à referência xyz da Figura 62, 
apesar da equação permanecer válida para todas as situações em 
que a velocidade representar a velocidade relativa entre o sistema 
(ou seja, o fluido) e o volume de controle, não importando o tipo 
de movimento descrito por este último.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
137
Figura 62 – Volume de controle fixo 
Fonte: adaptado de Duarte (1997)
Essa consideração torna-se ainda mais clara se for observado 
que é essa velocidade relativa que provoca os fluxos de entrada e 
de saída da propriedade N através da superfície de controle. Na 
condição em que o volume de controle esteja fixo em relação a 
um referencial inercial, a equação de conservação da quantidade 
de movimento linear assume o formato da expressão onde as 
velocidades e derivadas são tomadas em relação ao sistema inercial 
(por simplicidade, fixo) xyz.
Como ambos, sistema de referência e volume de controle, 
não se movimentam, a velocidade do fluido medida em relação às 
coordenadas xyz da ilustração é a própria velocidade relativa entre 
o fluido e o VC. Poderia ter-se optado por representar a origem 
deste sistema sobre o volume de controle sem ocorrer em qualquer 
prejuízo à validade da equação (4-34) e, assim, concluir que, para 
obter essa velocidade relativa, basta medir a velocidade do fluido em 
relação a um sistema de coordenadas solidário ao volume de controle. 
Lembre-se de que a escolha dessa posição é arbitrária, desde que se 
garanta a característica inercial do sistema de referência.
3 Análise integral do escoamento de fluidos
138
Figura 63 – Volume de controle em movimento uniforme 
Fonte: adaptado de Duarte (1997)
O volume de controle se movimenta agora, uniformemente, 
em relação ao sistema xyz da ilustração seguinte, com velocidade 

VVC . A velocidade do fluido também é medida em relação a este 
sistema e, para obter a velocidade relativa (

VXYZ ), basta subtrair 

V de 

VVC , ou seja:
A equação da conservação do momento linear para um 
volume de controle assume o formato, portanto, de:
onde a única alteração foi o uso das velocidades relativas Vxyz
� ���
.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
139
3.5.3 Conservação de energia
A conservação de energia é um dos princípios de grande 
importância em Mecânica dos Fluidos por ter implicações prá-
ticas e diretas em atividades corriqueiras para engenheiros das 
mais diversas áreas. O dimensionamento de equipamentos de 
bombeamento e de compressão de gases, bem como a avaliação 
da perda de energia do fluido em decorrência dos efeitos de atrito, 
são diretamente atendidos por esse princípio.
Em qualquer situação em que agentes externos realizam 
conversão de energia em trabalho e vice-versa, tais como o bom-
beamento de líquidos, a geração de potência mecânica com uma 
turbina hidráulica ou a compressão de gases em reservatórios, 
faz-se necessário empregar a equação da energia para, por exemplo, 
determinar adequadamente as características destas unidades.
Se recorrermos novamente ao TTR,
Em conjunto com a equação para a Primeira Lei da 
Termodinâmica:
Podemos escrever:
3 Análise integral do escoamento de fluidos
140
Substituindo os termos respectivos à taxa de variação da 
energia do sistema e à energia específica, a qual reúne as parcelas 
interna, cinética e potencial, temos:
Pela convenção de sinais, a taxa de transferência de calor 
(sempre em decorrência de uma diferença de temperatura) é 
positiva quando é adicionadoao VC, e negativa quando sai do VC. 
Em contrapartida, a taxa de realização de trabalho, por qualquer 
uma das diversas formas que iremos descrever adiante, é positiva 
quando realizado pelo VC e negativa quando realizado sobre o VC.
Analisando a taxa de realização de trabalho sobre ou pelo 
volume de controle , verifica-se que esse trabalho total é o 
resultado da ação de vários agentes que transferem ou absorvem 
trabalho por meio da superfície de controle. Esses agentes podem 
ser resumidos nas forças que agem sobre essa superfície (normais e 
tangenciais), fontes mecânicas externas (bombas, turbinas, ventila-
dores etc.) que interagem com o VC e com outras fontes de trabalho, 
como aquele associado à ação do campo eletromagnético percebido 
em equipamentos elétricos (transformadores, por exemplo). Assim,
a) Trabalho de eixo 
Todo o trabalho é realizado por equipamentos como tur-
binas, bombas ou compressores que operam pelo movimento de 
um eixo. Nas turbinas, ocorre a produção de trabalho (+) pela 
desaceleração de um fluido que provoca o movimento de suas 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
141
partes internas móveis (giratórias). Nos compressores e bombas, 
uma quantidade de trabalho ou potência é requerida (-) para que 
seja imposto um aumento de pressão na corrente de fluido. 
b) Trabalho exercido pelas tensões normais Wnormal
Podemos imaginar que o volume de controle, quando 
sujeito a esforços decorrentes da ação de tensões normais, tende 
a se comprimir ou expandir o seu volume V. Para determinar o 
trabalho resultante da ação de tensões normais sobre a superfície 
de controle, considere um elemento de área diferencial definido 
sobre a superfície de controle, conforme a Figura 64.
Figura 64 – Trabalho realizado sobre o volume do controle 
Fonte: adaptado de Duarte (1997)
Onde a força normal pode ser expressa por:
3 Análise integral do escoamento de fluidos
142
Assim,
Ou
Assim, podemos expressar o trabalho realizado pelas forças 
normais para ser:
Como o trabalho realizado pelas forças normais é um tra-
balho de compressão e a tensão normal pode ser expressa em 
termos da pressão termodinâmica do escoamento, ao longo de 
toda a superfície de controle, ficamos com:
c) Trabalho realizado pelas tensões cisalhantes Wcisalhamento
Considere um elemento de área dA na superfície de controle 
que é submetido à ação de esforços tangenciais que provocam uma 
deformação ds representada no esquema anterior. Tal como no caso 
dos esforços normais, esta deformação ocorre durante um intervalo 
de tempo dt e é provocada pelo fluido que atua sobre a vizinhança 
da superfície de controle com velocidade V.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
143
Sendo a força tangencial expressa por:
Podemos escrever:
E, similarmente ao realizado para o caso das tensões nor-
mais, temos:
Sempre que um dos termos do integrando ou o próprio 
produto escalar for nulo, o trabalho associado aos esforços tan-
genciais deixará de existir. Essa condição é de interesse para nós 
para simplificação da equação da conservação de energia.
Regiões de interface com contornos: contornos invaria-
velmente encontram-se estacionários e, pela condição do não 
escorregamento, o fluido permanece fixo em relação à mesma.
Regiões de fluxo: se a superfície de controle for proposi-
tadamente selecionada segundo uma orientação normal ao vetor 
velocidade em todas as áreas por onde ocorrem fluxos: tensão 
tangencial perpendicular à velocidade em toda a área de escape. 
Assim, o produto � se anulará nesta área e pode ser descon-
siderado da equação da energia.
3 Análise integral do escoamento de fluidos
144
Dessa maneira, fazemos, em geral, a opção por volumes de 
controle que permitam que o produto escalar descrito há pouco 
assuma o valor nulo, para que possamos desconsiderar esse termo 
na equação da conservação de energia.
d) Outros tipos de trabalho outros
As outras formas de realização de trabalho, em geral, se 
relacionam com a energia eletromagnética, elétrica etc. Esse tipo 
de trabalho é, portanto, associado à ação do campo eletromag-
nético percebido em equipamentos elétricos (transformadores, 
por exemplo).
Retornando à equação da conservação da energia, temos:
Substituindo os termos referentes ao trabalho, temos:
Assim:
Sendo a tensão normal tida como o negativo da pressão ter-
modinâmica (-p) e multiplicando o termo por 1 (sendo expresso pelo 
produto do volume específico pela massa específica (� �1/ v ), temos:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
145
Sendo essa uma integral em toda a superfície de controle, 
pode ser adicionada ao termo da direita mais externa para ser:
Reconhecendo o termo referente a entalpia como sendo
temos:
3.6 Equação de Bernoulli
A Equação de Conservação de Energia descrita anterior-
mente, quando aplicada a escoamentos de fluidos invíscidos (ou 
seja, escoamentos nos quais os efeitos da viscosidade podem ser 
considerados desprezíveis) e dentro de alguns limites operacionais, 
pode ser bastante simplificada.
Essas simplificações, apesar de, aparentemente, serem mui-
tas, retratam uma grande parcela do comportamento de fluidos 
em escoamento.
Imagine que os efeitos viscosos e a ideia da existência de 
uma camada-limite na qual esses efeitos são percebidos só foi 
elaborada e aceita após muitos séculos com os estudos de Prandtl. 
Antes disso, muito foi possível graças às equações aparentemente 
simples das quais vamos tratar agora.
3 Análise integral do escoamento de fluidos
146
A Equação de Bernoulli é uma das mais importantes e 
simples equações da Mecânica dos Fluidos, mas também uma 
das mais mal utilizadas. O conjunto de restrições às quais ela 
se aplica é fundamental para sua compreensão e boa utilização. 
Apresentaremos duas formas de compreensão da Equação de 
Bernoulli: uma partindo-se da perspectiva de energia, conforme a 
análise integral, e uma avaliando-se as forças atuantes sobre uma 
partícula fluida que escoa, segundo a análise diferencial. Cada 
uma dessas será apresentada no tópico correspondente.
Para avaliação de um escoamento que atenda aos critérios
1. ocorra em regime permanente �
�
�
�
t
0 ,
2. cujos efeitos viscosos sejam desprezíveis, ou seja, sem 
efeitos de atrito, como a dissipação de calor ou o aumento 
da energia interna do fluido ∆ ,
3. cujo fluido possa ser considerado incompressível � �� CTE ,
4. e na ausência de máquinas ou outras formas de realização 
de trabalho ,
podemos verificar que a Equação da Conservação da Energia 
assume a seguinte forma:
Tal que:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
147
Sabemos que, para um escoamento em regime permanente, 
a equação da continuidade nos fornece a seguinte relação, a qual 
nos indica que os fluxos mássicos de entrada e de saída do volume 
de controle devem ser iguais:
Considerando um volume de controle com uma única seção 
de entrada e uma única seção de saída, temos:
Também podemos expandir a equação para ser:
Assim, é possível escrever:
3.6.1 Interpretações
Alternativamente, essa relação pode ser expressa por:
Na qual a massa específica é utilizada, ao invés do volume 
específico. Nessa forma, os termos da equação apresentam dimen-
são de (L/t)², a qual é um tipo de representação de energia por 
unidade de massa. Em termos das unidades do SI, podemos verificar 
isso para ser:
3 Análise integral do escoamento de fluidos
148
Se optarmos por expressar a equação de Bernoulli usando 
o peso específico (dividindo a equação acima por g), temos:
Dessa forma, a equação de Bernoulli apresenta dimensão 
de L (comprimento) representando cada um dos termos, portanto, 
uma altura equivalente de coluna de fluido.
A Equação de Bernoulli é uma relação aproximada entre 
pressão, velocidade e elevação e é válida em regiões de escoamento 
incompressível e em regime permanente ao longo de uma linha de 
corrente, na qual as forças de atrito resultantes são desprezíveis. A 
Figura 65 apresenta uma representação do escoamento por sobre 
um aerofólio. Podemos verificar que, nas proximidadesdo objeto, 
os efeitos viscosos são pronunciados e, portanto, a Equação de 
Bernoulli não é válida.
Figura 65 – Regiões de escoamento viscoso e não viscoso de 
um escoamento sobre um aerofólio 
Fonte: adaptado de Çengel (2008)
Camila Pacelly Brandão de Araújo
149
Podemos interpretar a relação entre essas pressões expres-
sando a Equação de Bernoulli, ainda, de uma terceira maneira, 
conforme demonstrado a seguir:
Algumas maneiras de se interpretar essa relação são for-
necidas no que segue:
A soma das energias cinética, potencial e de escoamento 
de uma partícula de fluido é constante ao longo de uma linha de 
corrente durante um escoamento em regime permanente quando 
os efeitos da compressibilidade e do atrito são desprezíveis.
Sob a luz da Segunda Lei de Newton, a Equação de Bernoulli 
também pode ser vista como o trabalho realizado pelas forças de 
pressão e de gravidade sobre uma partícula de fluido sendo igual 
ao aumento da energia cinética da partícula.
3.6.2 Aplicações
Quando a Equação de Bernoulli é escrita de maneira que 
seus termos expressem dimensões de pressão, podemos designar 
e atribuir, a cada um dos seus termos, interpretações pertinentes:
Pressão estática (P): corresponde à pressão exercida sobre 
a partícula fluida em movimento e representa a pressão termodi-
nâmica real do fluido. Não incorpora nenhum efeito dinâmico.
3 Análise integral do escoamento de fluidos
150
Pressão hidrostática (ρgz): representa os efeitos de uma 
possível mudança na pressão, devido à variação de energia poten-
cial do fluido como resultado na alteração de elevação. Seu valor 
depende do nível de referência selecionado.
Pressão dinâmica (1/2 ρV2 ): representa o aumento de pres-
são quando o fluido em movimento é parado de forma isentrópica 
(reversível e sem troca de calor). Surge da conversão da energia 
cinética em pressão devido à sua desaceleração (de V=V para V=0).
Pressão total (Ptotal ): representa a soma das contribuições 
dinâmica, estática e hidrostática ao aumento de pressão quando 
o fluido em movimento é estacado de forma isentrópica. Assim, 
a Equação de Bernoulli também diz que “a pressão total ao longo 
de uma linha de corrente é constante” (para os escoamentos que 
atendem às demais restrições).
Pressão de estagnação (Pestag ): representa a pressão em um 
ponto no qual o fluido é parado totalmente de forma isentrópica. 
Corresponde à soma das parcelas da pressão dinâmica e estática.
É fácil perceber a diferença de interpretação entre a pressão 
dinâmica e a pressão de estagnação se você se atentar aos termos 
que as descrevem individualmente. Enquanto a pressão dinâmica 
diz respeito ao aumento da pressão em decorrência de se levar 
o f luido ao repouso, a pressão de estagnação se refere ao valor 
da pressão num ponto em que esse fenômeno ocorra. Caso não 
haja qualquer valor de pressão termodinâmica (vácuo absoluto), 
essas duas quantidades serão iguais; porém, em qualquer outra 
situação, há de se acrescentar a parcela referente à pressão ter-
modinâmica local.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
151
A informação da pressão de estagnação é útil para determi-
nação da velocidade do fluido em um dado local do escoamento. 
Podemos rearranjar a expressão para ser:
O instrumento de medição de velocidade do escoamento, 
conhecido como Tubo de Pitot, na realidade, é um dispositivo 
de medição de pressão estática e de estagnação do fluido para 
estimativa da velocidade.
A Figura 66 ilustra seu funcionamento de maneira didática, 
ainda que os equipamentos mais modernos sejam capazes de 
embutir e de diminuir os espaços necessários para tanto.
Figura 66 – Funcionamento de um dispositivo Tubo de Pitot para 
medição de velocidades 
Fonte: autoria própria
3 Análise integral do escoamento de fluidos
152
Resumo
Neste capítulo, descrevemos as leis básicas para um sistema: 
conservação da massa, Segunda Lei de Newton, Primeira Lei da 
Termodinâmica, conservação do momento angular e Segunda 
Lei da Termodinâmica. Em seguida, desenvolvemos o Teorema 
de Transporte de Reynolds para formular essas mesmas leis na 
perspectiva da análise do escoamento de fluidos em um volume 
de controle. Assim, descrevemos a equação da continuidade, a 
conservação do momento linear e a conservação da energia para 
um volume de controle. Finalmente, aplicamos a última para o 
escoamento de um fluido invíscido e incompressível para obtermos 
a Equação de Bernoulli.
Exercícios
1) Na condição de voo de cruzeiro, no qual não se observam 
maiores variações no voo de um avião, a sua turbina consome 
0,35kg/s de combustível e 29,5kg/s de ar. A velocidade média dos 
produtos de combustão em relação à turbina é igual a 460m/s. 
Estime a massa específica média dos gases produzidos na combustão, 
sabendo que a área da seção de descarga da turbina é igual a 0,35m².
2) Ar é comprimido em um compressor, conforme a figura 
abaixo. O equipamento é alimentado com 0,3m³/s de ar na con-
dição padrão. O ar é descarregado através de uma tubulação com 
diâmetro de 30,5mm. A velocidade e a massa específica do ar que 
escoa no tubo de descarga são, respectivamente, 215m/s e 1,80kg/m³.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
153
Determine a taxa de variação de massa de ar contido no 
tanque em kg/s e a taxa média de variação da massa específica 
do ar contido no tanque.
3) A figura abaixo mostra o escoamento de um fluido viscoso 
na região próxima a uma placa plana. Note que a velocidade do 
escoamento é nula na placa e que aumenta continuamente até atingir 
um valor constante ao longe. Esta região que apresenta variação de 
velocidade é denominada camada limite. O perfil de velocidade do 
escoamento pode ser considerado uniforme no bordo de ataque da 
placa e o valor da velocidade neste local é U. A velocidade também 
é constante e igual a U na fronteira externa da camada limite. Se o 
perfil de velocidade longitudinal na seção 2 é dado por
Desenvolva uma expressão para calcular a vazão em volume na 
fronteira externa da camada limite de imitada entre o bordo de ataque 
e a seção transversal que apresenta espessura de camada limite δ.
3 Análise integral do escoamento de fluidos
154
4) Um jato d'água com diâmetro de 10mm incide sobre 
um bloco que pesa 6N, do modo indicado pela figura abaixo. A 
espessura, a largura e a altura do bloco são, respectivamente, 15, 
200 e 100mm. Determine a vazão de água do jato necessária para 
tombar o bloco.
5) O bocal curvo mostrado na figura abaixo está instalado 
num tubo vertical e descarrega água na atmosfera. Quando a vazão 
é igual a 0,1m³/s, a pressão relativa no flange é de 40kPa. Determine 
a componente vertical da força necessária para imobilizar o bocal. O 
peso do bocal é de 200N e o volume interno do bocal é de 0,012m³. 
O sentido da força vertical é para cima ou para baixo?
Camila Pacelly Brandão de Araújo
155
6) Jatos de água estão sendo usados cada vez com maior 
frequência para operações de cortes de metais. Se uma bomba gera 
uma vazão de 63 × 10–6 m3/s através de um orifício de diâmetro 
0,254 mm, qual é a velocidade média do jato? Que força (N) o jato 
produzirá por impacto, considerando como uma aproximação que 
a água segue pelos lados depois do impacto?
7) Calcule a força requerida para manter o tampão fixo na saída 
do tubo de água. A vazão é 1,5 m³/s e a pressão a montante é 5MPa.
8) Ar a 20ºC escoa em regime permanente e com baixa 
velocidade através de um bocal horizontal (por definição, um 
equipamento para acelerar um escoamento) que o descarrega para 
a atmosfera. Na entrada do bocal, a área é de 0,1m2 e, na saída, 
0,02m2. Determine a pressão manométrica necessária na entrada 
do bocal para produzir uma velocidade de saída de 50m/s.
3 Análise integral do escoamento de fluidos
156
9) A figura mostra uma turbina a vapor. A velocidade e a 
entalpia específica na seção de alimentação do equipamento valem, 
respectivamente, 50m/s e 4850kJ/kg. O vapor deixa a turbina como 
uma mistura líquido-vapor cuja entalpia específica vale 2520kJ/kg. Sabendo que a velocidade na seção de descarga é de 80m/s, 
determine o trabalho no eixo da turbina por unidade de massa de 
fluido que escoa. Considere o escoamento adiabático.
10) Ar a 110kPa e 50ºC (ρ = 1,19kg/m3) escoa para cima 
através de um duto inclinado com 6cm de diâmetro a uma vazão 
de 45L/s. O diâmetro do duto é reduzido para 4cm por meio de 
um redutor. A variação de pressão através do redutor é medida 
por um manômetro de água. A diferença de elevação entre os dois 
pontos do tubo onde os dois braços do manômetro estão ligados é 
de 0,20m. Determine a altura diferencial entre os níveis de fluido 
dos dois braços do manômetro.
4
Camila Pacelly Brandão de Araújo
157
Análise diferencial do 
escoamento de fluidos
4
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
4.1 Análise diferencial versus análise integral
Olá, pessoal! Bem-vindos à nossa segunda etapa da análise 
do escoamento de fluidos! Vamos começar essa segunda unidade 
retomando algumas das principais conclusões que obtivemos da 
análise integral dos escoamentos e, em seguida, iremos fazer um 
comparativo das razões pelas quais escolhemos uma ou outra 
abordagem de estudo do movimento dos fluidos.
A análise de fenômenos envolvendo escoamento fluido por 
meio da ferramenta das equações integrais apresenta-se bastante 
útil quando se deseja conhecer o comportamento global do fenô-
meno mediante parâmetros como vazão, esforços sobre superfícies, 
variações de velocidades médias, entre outros (Figura 67). 
Figura 67 – Análise integral para um VC 
Fonte: adaptado de Çengel (2008)
Camila Pacelly Brandão de Araújo
159
A análise de volumes globais torna-se particularmente ade-
quada quando não há interesse em se conhecer, por exemplo, os campos 
(velocidade, pressão, temperatura etc.) associados ao escoamento.
Em problemas nos quais os detalhes (vórtices, redemoinhos, 
descolamento e transição da camada limite) do escoamento são 
determinantes de seu comportamento, as equações integrais tor-
nam-se inadequadas, em função da grande diferença de ordem de 
grandeza entre o espaço em que os mesmos ocorrem e as dimensões 
do domínio do problema.
Assim, o escoamento deve ter o seu comportamento estu-
dado ponto a ponto, de forma a compreender, controlar e manipular 
as variáveis geométricas e físicas que determinam o processo. 
Enquanto, na abordagem integral, era possível calcular a força 
atuante sobre qualquer elemento que estivesse dentro da caixa 
preta que era o volume de controle (Figura 67), sem se preocupar 
com o formato dele, na abordagem diferencial, é possível fazer 
mudanças em cada detalhe de sua geometria que possa resultar 
em melhorias de um ou outro parâmetro, como, por exemplo, a 
formação de vórtices após o elemento (Figura 68).
Figura 68 – Análise diferencial 
Fonte: adaptado de Çengel (2008)
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
160
Dessa forma, nosso objetivo é o de estabelecer as equações 
que governam o escoamento do ponto de vista diferencial que, 
após suas soluções (exatas ou numéricas), produzem uma descrição 
mais detalhada do escoamento e dos fenômenos associados a ele 
em todo domínio de interesse por meio dos campos de velocidade, 
de pressão, de temperatura, de densidade, de tensões ou outros.
4.2 Conservação da massa – equação da continuidade
Quando tratamos da análise integral, aplicamos o TTR 
a um volume de controle e obtivemos, para a representação da 
conservação da massa, a seguinte equação:
dM
dt t
d V dASistema VC SC1 1 .⎦
Usando a definição de sistema, podemos obter a equação a 
seguir para representá-la:
0
t
d V dA
VC SC
� �
.
A qual podemos escrever como sendo:
t
d V dA
VC SC
� �
.
Ou, de maneira mais simples:
t
d m m
VC entradas saídas
� �
Camila Pacelly Brandão de Araújo
161
Essa relação, deduzida para um volume de controle na pers-
pectiva integral, é válida também para qualquer volume de controle, 
por menor que ele seja. Assim, podemos diminuir o volume de 
controle até uma quantidade infinitesimal, de tal maneira que 
tratemos de um ponto no campo de escoamento (Figura 69).
Figura 69 – Transformação das equações integrais para 
a formulação diferencial 
Fonte: adaptado de Çengel (2008)
Se considerarmos um volume de controle infinitesimal, 
conforme a Figura 70, em coordenadas cartesianas de volume:
d dx dy dz� � . .
Cujas propriedades tenham um valor definido no seu centro 
geométrico, sejam elas velocidade, massa específica ou qualquer 
outra, conforme ilustrado na Figura 70:
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
162
Figura 70 – Elemento infinitesimal e respectivas componentes da 
velocidade e valores de massa específica e pressão 
Fonte: adaptado de Çengel (2008)
Usando a expansão em série de Taylor para representar o 
produto da massa específica pela componente da velocidade em 
cada direção, que são quantidades que são expressas na equação da 
conservação da massa (da mesma maneira que fizemos na primeira 
unidade, lembram? Vocês podem consultar aquele material para 
relembrar algum detalhe, se desejarem), temos:
� �
� �
u u
u
x
dx u
x
dx
direita� � � � � �
� � �
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
2
1
2 2
2
2
2
!
Desprezando termos de segunda ordem, temos:
� �
�
u u
u
x
dx
direita� � � � � �
� � �
� 2
Camila Pacelly Brandão de Araújo
163
Estendendo esse procedimento para todas as faces do ele-
mento, podemos observar, na Figura 71, os valores relativos a cada 
uma delas. Observe que alguns termos apresentam sinal positivo 
(sendo relativos a seções de saída), enquanto outros apresentam 
sinal positivo para os termos de derivação.
Figura 71 – Expansão em série de Taylor para o produto 
componente da velocidade em cada direção 
Fonte: adaptado de Çengel (2008)
Retomando a equação de conservação da massa desenvolvida 
na perspectiva integral:
t
d m m
VC entradas saídas
� �
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
164
E substituindo os termos atualmente desenvolvidos na 
perspectiva de diminuição do volume de controle para um VC 
infinitesimal, temos o primeiro termo podendo ser expresso por:
�
�
� �
�
��t d t dx dy dzVC�
� . .
O termo referente às seções de entrada:
entradas
u
x
dx dydz v
v
y
dy dxd�
2 2
z
w
z
dz dydx
2
E nas seções de saída:
saida
u
x
dx dydz v
v
y
dy dxdz�
2 2
w
w
z
dz dydx
2
De tal maneira que é possível perceber que os termos, sem 
a presença de derivada parciais, são cancelados ao substituir na 
equação inicial. Isso é ilustrado na Figura 72:
Figura 72 – Manipulação matemática para conservação da massa diferencial 
Fonte: autoria própria
Camila Pacelly Brandão de Araújo
165
Resultando em:
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
t
dxdydz u
x
dxdydz v
y
dxdydz w
z
dxdydz�
Cancelando os termos referentes ao volume do volume de 
controle infinitesimal, temos:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
t
u
x
v
y
w
z
0
Essa equação representa a equação da conservação da massa, 
ou também chamada de equação da continuidade, em coordenadas 
cartesianas.
Utilizando o operador del para esse sistema de coordenadas:
�
i
x
j
y
k
z
Podemos também expressar essa equação como sendo:
�
�
�� � � �� �t V
 
. 0
Similarmente ao feito no caso integral, em que consideramos 
algumas hipóteses simplificadoras para avaliar o comportamento 
da equação de conservação da massa, repetiremos o procedimento.
I) Escoamento incompressível: Sabemos que um escoa-
mento incompressível é caracterizado pela constância da massa 
específica, não havendo qualquer variação dessa propriedade nem 
com respeito às coordenadas espaciais, nem com ao tempo. Assim, 
verificamos que a equação da continuidade pode ser expressa como:
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
166
�
�
�
�
�
�
�
�
�
u
x
v
y
w
z
0
Ou
 
� � � �. V 0
Assim, para averiguar se um escoamento é incompressível, 
basta avaliar se o campo de velocidade obedece à relação descrita. 
Caso se verifique a igualdade, é possível afirmar que o escoamento 
é incompressível.
II) Escoamento em regimepermanente: Para escoamentos 
em regime permanente, as propriedades são independentes do 
tempo. Desse modo, o campo de massa específica, que é designado 
normalmente como uma função � � � �f x y z t, , ,� , se limita a apre-
sentar, no máximo, a dependência com as coordenadas espaciais, 
tal que � � � �f x y z, , ; assim:
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �� � � �ux
v
y
w
z
V
 
. 0
Similarmente ao realizado em coordenadas cartesianas, 
podemos avaliar a conservação da massa em qualquer sistema de 
coordenadas geométricas, cilíndricas ou polares, por exemplo. 
No caso das coordenadas cilíndricas, usando o volume de 
controle infinitesimal apresentado na Figura 73, podemos obter 
a equação da continuidade de duas maneiras: ou realizando o 
mesmo procedimento descrito anteriormente, o qual está compilado 
na Tabela 2, ou simplesmente mudando o operador del para as 
coordenadas adequadas, obtendo a equação:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
167
� � �
�
�
� � �
�
�
� � �
�
�
�
�
�
r V
r
V
r
V
z
r
t
r z� �
�
� �� 0
Onde é importante observar a necessidade de aplicação da 
regra da cadeia na derivação dos termos de derivadas de produtos.
Figura 73 – Volume de controle infinitesimal em coordenadas cilíndricas 
Fonte: Adaptado de Fox (2008)
Figura 74 – Conservação da massa em coordenadas cilíndricas – 
avaliação de termos 
Fonte: adaptado de Fox (2008)
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
168
4.3 Cinemática da partícula fluida
As partículas fluidas estão inseridas em um campo de velo-
cidades que assume valores diferentes em diferentes posições e a 
cada instante de tempo (regime transiente ou permanente). Nosso 
objetivo agora é o de descrever o movimento das partículas fluidas 
no campo de escoamento, para que possamos, em seguida, avaliar 
a ação de forças, a relação delas com o campo de tensões etc.
Portanto, a nossa pergunta fundamental nesse momento é: 
como se movimenta uma partícula fluida?
Veremos que a partícula fluida “se remexe muito”, estando 
sujeita a diferentes valores de velocidade em cada ponto do campo 
do escoamento, os quais podem ocasionar sua aceleração, sua 
desaceleração, sua deformação linear ou angular e a sua rotação. 
Trataremos de cada um desses movimentos isoladamente 
agora, apesar de sabermos que todos podem ocorrer simultaneamente. 
A Figura 75 ilustra esses componentes do movimento da partícula 
fluida de maneira conjunta (esquerda) e isoladamente (direita da seta).
Figura 75 – Componentes do movimento de uma partícula fluida 
Fonte: adaptado de Fox (2008)
Camila Pacelly Brandão de Araújo
169
4.3.1 Translação
A translação da partícula fluida diz respeito à sua mudança 
de posição desde um instante inicial até um momento posterior, da 
mesma maneira que a translação da Terra ao redor do Sol caracte-
riza o seu deslocamento. Então, a translação pode ser compreendida 
como o puro deslocamento da partícula desde uma posição inicial 
até um local mais adiante no campo de escoamento. A Figura 76 
ilustra esse movimento.
Figura 76 – Componentes do movimento de uma partícula fluida 
Fonte: adaptado de Duarte (1997)
No instante t inicial, a partícula fluida na posição 
r está 
sujeita ao campo de velocidades naquele ponto, com velocidade 
V V x y z tP t , , , . Num instante posterior (t+dt), ela deverá ter se 
movimentado para uma posição �
���
r dr+ , na qual o campo de veloci-
dade pode ser expresso por V V x dx y dy z dz t dtP t dt| , , ,� � � � � �� �
� ����� �
.
Desse modo, podemos avaliar a variação infinitesimal da 
velocidade da partícula fluida para ser:
dV V
t
dt V
x
dx V
y
dy V
z
dzP p p p
� ���� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
170
Uma vez que o campo de velocidades é uma função das 
coordenadas espaciais (x, y,z) e do tempo (t). Tomando a taxa de 
variação da velocidade, podemos verificar que:
dV
dt
V
t
dt
dt
V
x
dx
dt
V
y
dy
dt
P V
z
dz
dt
p
Compreendendo que os termos 
dx
dt
dy
dt
dz
dt
p p p,� ,� correspondem 
às taxas de deslocamento da partícula fluida em cada uma das 
direções, podemos escrever:
a V
t
V
x
u V
y
v V
z
wp
��� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ou 
a DV
Dtp
��� �
=
Percebam que essa forma de derivação é um tanto diferente 
da que usualmente estamos habituados a usar. Diz-se que a derivada 
material (também chamada de derivada substancial) é uma derivada 
tomada ao longo de um caminho movendo-se com velocidade 
v. Ela é descrita como a taxa de variação em relação ao tempo 
do valor de alguma propriedade (tal como calor ou momento) 
de matéria/substância que está sendo transportada – ou seja, de 
alguma matéria que está sujeita a um campo de velocidade que 
varia no espaço e no tempo.
Podemos interpretar a aceleração de uma partícula fluida 
desmembrando-a em dois grandes termos: aceleração convectiva 
e aceleração local. A Figura 77 apresenta esquematicamente esses 
termos de aceleração da partícula fluida.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
171
O termo de aceleração local 
�
�
�
�
�
�
�
�

V
t contabiliza, como o próprio 
nome indica, as variações do campo de velocidades em um mesmo 
local (em uma mesma posição) ao longo do tempo. Em escoamentos 
em regime permanente, esse termo é nulo, e não existem variações 
temporais no campo de velocidade que promovem o surgimento 
de aceleração local.
Já o termo referente à aceleração convectiva contabiliza 
as variações de velocidade devido às mudanças de posição da 
partícula fluida. Em determinado local, o campo lhe atribui uma 
velocidade mais baixa, porém, em um local mais adiante (por 
qualquer mudança na geometria do escoamento, por exemplo), a 
velocidade pode ser maior. 
Figura 77 – Aceleração da partícula fluida 
Fonte: adaptado de Duarte (1997)
A Figura 78 apresenta um escoamento em regime permanente, 
no qual o campo de velocidades sofre variações do valor da compo-
nente u, desde a seção 1 até a seção 2. Perceba que a configuração 
geométrica do sistema proporcionou esse aumento de velocidade 
de uma seção para outra, ainda que o escoamento ocorresse em 
regime permanente. Essa variação de velocidade em decorrência da 
mudança de posição das partículas fluidas é contabilizada na forma 
de aceleração convectiva.
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
172
Figura 78 – Aceleração convectiva em um escoamento em 
regime permanente 
Fonte: autoria própria
É importante perceber que a equação descrita para a repre-
sentação da aceleração de uma partícula fluida é uma equação 
vetorial. Portanto, pode ser decomposta em suas componentes 
nas direções x, y e z para ser:
a u
t
u
x
u u
y
v u
z
wpx �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a v
t
v
x
u v
y
v v
z
wpy �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
a w
t
w
x
u w
y
v w
z
wpz �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
Na qual tratamos, ao invés da totalidade do campo de veloci-
dades 

V , somente das componentes do campo em uma dada direção.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
173
4.3.2 Deformação linear
Agora que já entendemos que o campo de velocidades pode 
assumir valores distintos em cada ponto do escoamento, apre-
sentando componentes u, v e w em franca variação de valores, 
podemos nos dedicar aos efeitos dessas variações. A partir de 
agora, vamos trabalhar essencialmente com os efeitos que essas 
diferenças nos valores da velocidade em pontos da partícula fluida 
podem causar sobre ela. 
A deformação linear de uma partícula fluida diz respeito 
à taxa de elongação da partícula fluida em cada direção (alonga-
mento/compressão). Durante a deformação linear, não há nenhuma 
distorção do elemento, permanecendo retos os ângulos entre os 
lados do prisma que identifica a partícula. A Figura 79 ilustra 
essa situação para um plano x, y da partícula fluida.
Figura 79 – Deformação linear pura de uma partícula fluida 
Fonte: adaptado de Duarte (1997)
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
174
Considere a elongação de um dado segmento de partícula 
fluida como a relação entre a variação de dimensão verificadaem 
relação ao tamanho original do segmento para ser:
x
t t t
t tx x
�
Tomando a taxa de elongação, temos:
x
x
t
tt
lim
.0
Onde o valor �� só existe caso haja diferença entre os 
valores da velocidade de pontos diferentes da partícula fluida.
Imagine dois pontos de uma mesma corda, distantes entre si 
de um valor igual ao comprimento �xt. Considere que ambos os 
pontos se movimentam a uma dada velocidade u1. Se, por qualquer 
razão, um dos pontos passar a se movimentar com uma velocidade 
maior (u2>u1), você concorda que ele tenderá a se distanciar do 
outro? Essa situação é ilustrada esquematicamente na Figura 80. 
É o que ocorre com a partícula fluida quando ela está sujeita a um 
campo de velocidades na qual a componente u adquire valores 
diferentes em diferentes pontos.
Figura 80 – Diferenças de velocidade ao longo da direção x para 
uma partícula fluida 
Fonte: autoria própria
Camila Pacelly Brandão de Araújo
175
A diferença entre as distâncias percorridas por cada ponto 
pode ser dada por:
u u txt� �0
Na qual podemos entender a velocidade no ponto ∆xt como 
dada pela expansão em série de Taylor do valor conhecido na 
origem u0 . Assim:
u u
x
t u
x
∆∆ ∆ ∆
Substituindo:
x t
t
t
lim
u ∆ ∆
x
t x0 .∆∆∆
Verificamos que:
� x
u
x
�
�
�
A taxa segundo esta se deforma é contabilizada consideran-
do-se a taxa de deformação relativa sofrida por cada um destes 
lados, assim: 
� y
v
y
�
�
�
� z
w
z
�
�
�
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
176
Para a totalidade da partícula fluida, podemos considerar 
uma taxa de dilatação volumétrica para ser dada pelo somatório 
das deformações lineares em cada direção, tal que:
u
x
v
y
w .
z
V taxa dedilataçãovolumétrica
Perceba que a expressão para a estimativa da taxa de dilata-
ção volumétrica de uma partícula fluida é uma quantidade escalar 
cuja expressão muito se assemelha à equação da continuidade 
para escoamentos incompressíveis. Nestes, se verifica que a taxa 
de dilatação volumétrica é nula. 
4.3.3 Rotação
Uma partícula, ao mover-se em um escoamento, também 
pode, simultaneamente, rotacionar em torno de cada um dos 
eixos coordenados.
Assim como a deformação linear, a rotação não altera 
qualquer característica dos ângulos internos da partícula fluida, 
permanecendo-os retos. A Figura 81 ilustra o processo para um 
elemento no plano x-y, que rotaciona em torno do eixo z.
Figura 81 – Rotação pura da partícula fluida em torno do eixo z 
Fonte: adaptado de Duarte (1997)
Camila Pacelly Brandão de Araújo
177
A rotação é provocada pelo fluido na vizinhança da partícula. É 
a componente tangencial desta ação que provoca a rotação do elemento, 
sendo medida pela velocidade angular. Essa grandeza é definida como 
uma grandeza vetorial que representa a taxa de rotação média de duas 
retas, perpendiculares entre si, que se interceptam em um ponto.
Para cada plano considerado, esta velocidade é definida como 
a média das velocidades angulares de duas linhas mutuamente 
perpendiculares que identificam a partícula. Considere a partícula 
fluida apresentada na Figura 82, inicialmente descrita conforme 
a imagem da esquerda. Mediante sua rotação ao longo do eixo z, 
uma quantidade angular α é percorrida no sentido anti-horário pela 
reta o-a, sendo a quantidade Δη o seu correspondente em distância 
linear. Já para a reta o-b, o ângulo β é varrido, sendo a distância Δε 
o seu correspondente linear.
Figura 82 – Rotação de uma partícula fluida em torno de z 
Fonte: autoria própria
Percebemos, pela definição da velocidade angular, que:
� � �z oa ob� �� �
1
2
Assim, devemos obter expressões para cada uma das retas 
ωoa e ωob .
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
178
Sendo a velocidade angular ωoa dada pelo ângulo varrido 
em um intervalo de tempo, podemos escrever:
oa t
∆
∆
Para ângulos pequenos
tan
x
∆
∆
Assim,
oa
x
t
∆
∆
∆
Perceba que a rotação do eixo o-a e a deflexão Δη são conse-
quências da diferença de valores da componente v observada entre os 
pontos extremos deste eixo (o e a). A Figura 83 ilustra essa situação. 
Pode-se observar que, caso exista uma diferença de velocidades entre 
esses pontos, ela produzirá um momento resultante.
Figura 83 – Variação de valores da componente v da velocidade 
Fonte: autoria própria
Camila Pacelly Brandão de Araújo
179
Assim, a quantidade Δη representa a diferença entre os 
percursos na direção y dos pontos o e a que ocorreram durante 
o intervalo Δt.
v v ta o∆ ∆
Sendo
v v v
x
xa o ∆
Logo:
oa
x
t
v
x
x
x
t
t
v
x
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
O mesmo raciocínio pode ser aplicado para a reta o-b e, de 
maneira análoga, podemos calcular:
ob t
∆
∆
tan
y
∆
∆
E descrevermos ∆ε como decorrente das variações do com-
ponente da velocidade. Porém, há de se notar que, nesse caso, a 
componente u da velocidade no ponto b, para promover uma 
rotação no sentido proposto pela Figura 82, deve apontar no sentido 
do eixo x negativo. Assim,
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
180
∆ ∆u u tb 0
Sendo
u u u
y
yb 0 ∆
Portanto,
ob
y
t
u
y
y
y
t
t
u
y
Δ
Δ
Δ Δ
Δ
Δ
Δ
De posse dessas duas informações, podemos substituir na 
definição de velocidade angular:
� � �z oa ob� �� �
1
2
Para obter
z
v
x
u
y
1
2
O mesmo procedimento pode ser realizado para avaliar a 
velocidade angular com respeito à rotação em torno do eixo x e 
y, para ser:
x
w
y
v
z
1
2
Camila Pacelly Brandão de Araújo
181
E
y
u
z
w
x
1
2
Logo, podemos descrever o vetor velocidade angular de 
uma partícula fluida para ser:
� 1
2
w
y
v
z
i u
z
w
x
j v
x
u
y
k^^^
Essa equação estabelece a relação entre a intensidade de rota-
ção de uma partícula e o rotacional do vetor velocidade. Podemos 
escrever que o vetor velocidade angular resulta do produto vetorial 
do operador del sobre o campo de velocidade, produzindo um vetor:
� � �1
2
xV
Nessa perspectiva, podemos entendê-lo como sendo calcu-
lado a partir do determinante da seguinte matriz:
uv�
�1
2
1
2
xV i j k
x y z
w^ ^
^
A existência do fenômeno de rotação das partículas é con-
sequência da ação de esforços tangenciais.
 Desse modo, na condição de escoamento irrotacional, não 
se verificam tensões tangenciais que, por sua vez, implicam na 
ausência de deformação angular. A condição de escoamento não 
rotacional somente é verificada quando se trata de escoamento 
de fluido ideal ou não viscoso. Matematicamente, essa condição 
resume-se simplesmente à expressão: 
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
182
xV
�
0
Observe que a característica viscosa de um escoamento induz, 
necessariamente, a ocorrência de rotação das partículas fluidas.
4.3.4 Deformação angular
Diferentemente dos modos anteriores de movimentação 
da partícula fluida, a deformação angular impõe mudanças nos 
ângulos originais da partícula fluida ou em linhas imaginárias dela.
Se tomarmos novamente a partícula fluida infinitesimal 
representada na Figura 84, podemos perceber que a taxa segundo 
o elemento se deforma é determinada pela velocidade com que o 
ângulo γ entre as retas o-a e o-b varia. Este ângulo decresce de 
forma inversamente proporcional ao crescimento dos ângulos β e 
α, ou seja, na medida em que β e α aumentam, o ângulo γ formado 
entre elas diminui.
� � �
d
dt
d
dt
d
dt
� � �
Figura 84 – Partícula fluida em deformação angular pura 
Fonte: autoria própria
Camila Pacelly Brandão de Araújo
183
Similarmente ao desenvolvido no caso do movimento de 
rotação pura, a taxa de variação do ângulo α será dada por:
d
dt t
x
t
∆
∆
∆
∆ ∆
O qual pode ser expresso por:
d
dt
v
x
x
x
t
t
v
x
∆
∆
∆
∆
Para o ângulo β, realizando o mesmo desenvolvimento, 
podemos chegar em:
d
dt t
y
t
∆
∆
∆∆
∆
Porém, diferentemente do caso da rotação, para que haja a 
deformação linear, a componente u da velocidade deve apontar 
para a direção do x positivo. 
Assim, 
u u tb 0 ∆∆
u u u
y
yb 0 ∆
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
184
E,
d
dt
y
t
u
y
y
y
t
t
u
y
∆
∆
∆
∆
∆
∆
∆
Logo:� �
�
�
�
�
�
d
dt
v
x
u
yxy
�
Nos demais planos, podemos obter também:
� �
�
�
�
�
�
d
dt
u
z
w
xxz
�
E
� �
�
�
�
�
�
d
dt
w
y
v
zyz
�
4.4 Conservação do momento linear
Sobreviveu até aqui? Ótimo! Já estamos quase acabando 
nossa análise diferencial do escoamento de f luidos!
Lembra que, no início da disciplina, prometemos trabalhar 
fundamentalmente com as forças que atuam sobre uma partícula 
fluida e os efeitos dessas forças sobre seu movimento ou repouso? 
É o que faremos agora.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
185
Uma vez que já temos em mãos informações sobre como uma 
partícula fluida pode acelerar, então, podemos utilizar a Segunda 
Lei de Newton para modelar a relação entre a ação das forças e o 
movimento da partícula fluida.



F m a dP
dt Sistema
= =. |
Para uma partícula infinitesimal, podemos escrever:
dF dm DV
Dt


= .
Onde 
DV
Dt

 representa a aceleração da partícula fluida, con-
forme apresentamos na seção 3.1. Assim:
dF dm V
x
u V
y
v V
z
w V
t
� � � � �
Descrevendo a massa infinitesimal da partícula fluida em 
termos do volume do volume de controle infinitesimal e da massa 
específica do fluido, temos, portanto:
dF dx dy dz V
x
u V
y
v V
z
w V
t
� � � � �
. . .
Esse já é um excelente começo! Resolvemos metade do nosso 
problema com bastante simplicidade, não foi mesmo? Vamos, 
agora, analisar a composição de forças que podem estar atuando 
sobre a partícula fluida?
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
186
Como dissemos no início da nossa conversa sobre Mecânica 
dos Fluidos, existem dois tipos de forças que podem estar atuando 
sobre uma massa qualquer de fluido: forças de campo (FB) e forças 
de superfície (Fs). Definimos as forças de superfície como aquelas 
que surgem da interação entre a partícula e o fluido na vizinhança 
dessa partícula, e as forças de campo como aquelas que surgem 
em decorrência da presença de campos – gravitacional, magnético 
ou outros – que agem sobre a massa f luida da partícula.
Portanto:
� � �F F Fpart B s
� ���� � �� ���
Na maioria das situações aplicadas, o campo gravitacional 
configura-se no único campo que age sobre fluidos em escoa-
mentos. Dessa forma:
dF Bdm g dx dy dzB
� ��� � �
� � . . . .�
Como essa é uma equação vetorial, podemos escrever uma 
para cada uma das componentes dos eixos coordenados. Conforme 
indicado na Figura 85, a aceleração pode apresentar componentes 
em mais de um eixo, a depender da orientação espacial da partícula 
fluida no campo de escoamento.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
187
Figura 85 – Decomposição da força de campo gravitacional para 
uma partícula fluida 
Fonte: adaptado de Çengel (2008)
F g dx dy dzBx x
� ��� � ��
� . . . .�
F g dx dy dzBy y
� ��� � ��
� . . . .�
F g dx dy dzBz z
� ��� ���
� . . . .�
As forças de superfície, por sua vez, subdividem-se nas 
componentes normal e tangencial e, para contabilizá-las, nos uti-
lizamos do tensor de tensões que foi descrito na primeira unidade.
� � � � � � � � �xx xy xz yx yy yz zx zy zz� � � � � � � � ��� ��
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
188
Porém, como já vem se tornando praxe nos nossos desen-
volvimentos, consideramos que, no centro da partícula fluida, 
possamos tomar os valores dessas tensões conforme o descrito 
pelo tensor, mas precisamos usar a expansão em série de Taylor 
(novamente, eu sei!) para avaliar os valores de cada uma delas em 
cada face da partícula fluida.
Vamos fazer isso? Considere as tensões referentes à direção x 
mostradas na Figura 86. A expansão em série de Taylor dessas tensões 
para cada uma das faces (+dx/2 e –dx/2) está descrita na figura. 
Figura 86 – Tensões em cada uma das faces da partícula fluida para a direção X 
Fonte: adaptado de Çengel (2008)
Somando todas as parcelas para a direção x, temos:
(formula)
A qual resulta em:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
189
dF
x y z
dxdydzsx xx
yx zx
Para as direções y e z, temos, realizando o mesmo procedimento:
dF
x y z
dxdydzsy
xy yy zy
dF
x y z
dxdydzsz xz
yz zz
A Figura 87 ilustra a composição da equação da Segunda 
Lei de Newton, contabilizando todas essas parcelas para as três 
componentes.
Figura 87 – Composição de forças de campo e superfície e suas 
componentes para uma partícula fluida 
Fonte: autoria própria
Cancelando os termos referentes ao volume da partícula 
fluida e decompondo o termo de aceleração da partícula em suas 
componentes em cada uma das direções, podemos obter o ilustrado 
na Figura 88.
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
190
Figura 88 – Somatório de forças atuando sobre uma partícula fluida 
Fonte: autoria própria
Esse conjunto de equações representa as equações de con-
servação da quantidade de movimento no interior de fluidos que 
admitem a hipótese do contínuo. 
Para completá-las, no entanto, são necessárias equações que 
correlacionem as tensões normal e tangencial ao campo de velocidade, 
de modo a se obter equações diferenciais para u, v e w. Tais equações 
representam as relações entre o estado de deformação do fluido e o 
campo de tensões observado e denominam-se equações constitutivas.
Uma equação desse tipo é bastante conhecida por nós e a 
utilizamos desde o começo do nosso estudo em Mecânica dos Fluidos. 
A Lei da Viscosidade de Newton relaciona a tensão cisalhante à taxa 
de deformação do fluido, a qual se expressa por meio da derivada do 
perfil de velocidades para um escoamento unidimensional, como:
� �xy
du
dy
�
Camila Pacelly Brandão de Araújo
191
4.5 Equações de Navier-Stokes
O conjunto de equações denominado Equações de Navier-
Stokes representa as equações de conservação da quantidade 
de movimento para o escoamento de f luidos newtonianos e 
incompressíveis.
Para um escoamento tridimensional, podemos relacionar 
as tensões cisalhantes com a taxa de deformação angular para ser:
yx xy
v
x
u
y
yz zy
w
y
v
z
zx xz
u
z
w
z
Para as tensões normais, a seguinte relação pode ser usada 
para relacioná-las com as componentes da velocidade:
xx p V
u
x
2
3
2.
yy p V
v
y
2
3
2.
zz p V
w
z
2
3
2.
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
192
Sendo o escoamento incompressível, vimos na seção 3.1 que a 
taxa de dilatação volumétrica da partícula fluida era nula . 
Assim, podemos escrever, substituindo, na equação da conservação 
do movimento, as relações das forças de superfície descritas ante-
riormente, para a direção x:
g p
x x
u
x y
v
x
u
y zx
2 uu
z
w
x
Du
Dt
A qual pode ser reescrita para ser conforme descrito a seguir, 
quando separamos todos os termos derivativos isoladamente:
g p
x
u
x
u
x y
v
x
u
y
u
z z
w
x .
2
2
2
2
2 2
2
2
2 xx
Du
Dt
Compreendendo que a ordem de derivação para uma função 
exata não impõe qualquer diferença, podemos escrever:
g p
x
u
x
u
y
u
z
u
x x
v
y x
w
x .
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
Du
Dt
A qual podemos tornar:
g p
x
u
x
u
y
u
z x
u
x
v
y
w
zx
2
2
2
2
2
2
Du
Dt
Se nos recordarmos que o escoamento é incompressível, a 
equação da continuidade impõe que:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
u
x
v
y
w
z
0
E nos resta:
g p
x
u
x
u
y
u
z
Du
Dtx
2
2
2
2
2
2
Camila Pacelly Brandão de Araújo
193
ou
g p
x
u
x
u
y
u
z
u
t
u
x
u u
y
vx
2
2
2
2
2
2
uu
z
w
O mesmo pode ser feito para as direções y e z para obtermos:
(formula)
g p
z
w
x
w
y
w
z
w
t
w
x
u w
y
v wz
2
2
2
2
2
2 z
w
4.6 Equação de Euler
As equações de Euler resultam da consideração de que o 
fluido incompressível que escoa é também um fluido invíscido, 
ou seja, os efeitos viscosos podem ser desprezados.
Dessa maneira, podemos simplificar as equações de Navier-
Stokes para obtermos:
g p
x
u
t
u
x
u u
y
v u
z
wx .� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
g p
y
v
t
v
x
u v
y
v v
z
wy� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
g p
z
w
t
w
x
u w
y
v w
z
wz� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
194
Resumo
Neste capítulo, utilizamos a equação de conservação damassa 
descrita na formulação integral para obter expressão equivalente em 
uma formulação diferencial. Além disso, foram avaliados os modos 
pelos quais uma partícula fluida pode se movimentar em um campo 
de escoamento; assim, descrevemos os fenômenos de translação, de 
rotação, de deformação linear e de deformação angular. 
Também exploramos ideias referentes a como determinar se 
um escoamento é incompressível usando o campo de velocidade e, 
dada uma componente da velocidade de um campo de escoamento 
incompressível e bidimensional, como deduzir as outras compo-
nentes da velocidade. Em seguida, aplicamos esses conceitos para 
avaliar as forças atuantes sobre uma partícula de fluidos com uso 
da Segunda Lei de Newton, de tal modo que obtivemos as equações 
para conservação do momento linear diferencial. Aplicamos essa 
equação para um fluido incompressível e newtoniano e obtivemos 
as equações de Navier-Stokes. Consideramos, então, o caso invíscido 
para obtermos as expressões de Euler. 
Exercícios
1) Uma série de experimentos realizados num escoamento 
tridimensional e incompressível indicou que u = 6xy² e v = -4y²z. 
Entretanto, os dados relativos à velocidade na direção z apresentam 
conflitos. Um conjunto de dados experimentais indica que w = 4yz² 
e outro indica w = 4yz² - 6y²z. Qual dos dois conjuntos é o correto? 
Justifique sua resposta. 
2) Os conjuntos de equações a seguir representam possíveis 
casos de escoamento incompressível?
Camila Pacelly Brandão de Araújo
195
Vr Ucos
Vr Ucos a
r
V Usen a
r
2 2
3) A componente x da velocidade em um campo de escoa-
mento permanente e incompressível, no plano xy, é u = A/x, onde 
A = 2m2/s e x é medido em metros. Determine a mais simples 
componente y da velocidade para esse campo de escoamento.
4) Uma aproximação grosseira para a componente x da
velocidade em uma camada limite laminar e incompressível é uma 
variação linear de u = 0 na superfície (y = 0) até a velocidade de 
corrente livre, U, na borda da camada limite (y = δ). A equação do 
perfil é u = Uy/δ, onde δ = cx (1/2), sendo c uma constante. Mostre 
que a expressão mais simples para a componente y da velocidade 
é v = uy/4x. Avalie o valor máximo da razão v/U (que ocorre em 
y = δ) em um local onde x = 0,5 m e δ = 5 mm.
5) Uma aproximação útil para a componente x da velocidade 
em camada limite laminar e incompressível é uma variação para-
bólica de u = 0 na superfície (y = 0) até a velocidade de corrente 
livre, U, na borda da camada limite (y = δ). A equação do perfil é 
u
U
y y
� �
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�2
2
� �
, onde � � � �cx 1 2/ , sendo c uma constante. Mostre 
que a expressão mais simples para a componente y da velocidade é: 
v
U x
y y1
2
1
3
2 3
4 Análise diferencial doescoamento de fluidos
196
6) Considere o campo de velocidade no plano xy:
�
V A x x y i A xy x y jy4 2 4 36 4 4 3
2
^^ ^
onde A = 0,25 m-3s-1 e as coordenadas são medidas em metros. 
Este é um possível campo de escoamento incompressível? Calcule 
a aceleração de uma partícula fluida no ponto (x, y)=(2,1).
7) Um escoamento é representado pelo campo de velocidade 
V xi y j k10 10 30 . O escoamento é uni, bi ou tridimensional? 
É incompressível? É rotacional?
8) Um fluido incompressível escoa entre duas placas para-
lelas verticais (separadas pela distância “b”). A da esquerda está 
fixa e a outra move-se para cima com velocidade constante, V0. 
Considerando-se o fluido newtoniano (μ = cte) e o fluxo laminar, 
determine o perfil de velocidade e de tensão de cisalhamento para 
este escoamento (unidirecional e permanente).
9) Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel 
comporta-se como um dispositivo pistão-cilindro. 
No instante em que o pistão está afastado de uma distância 
L = 0,20m da extremidade fechada do cilindro, a massa específica 
do gás ρ = 19kg/m³ é uniforme e o pistão começa a se mover, afas-
tando-se da extremidade fechada do cilindro com uma velocidade 
V = 15m/s.
O movimento do gás é unidimensional e proporcional à 
distância em relação à extremidade fechada; varia linearmente de 
zero, na extremidade, a u = V no pistão. Avalie a taxa de variação 
da massa específica do gás nesse instante.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
197
10) Um líquido escoa para baixo sobre uma superfície plana 
inclinada em um filme laminar, permanente e completamente 
desenvolvido, de espessura l. Descreva esse escoamento a partir de 
simplificações das equações de Navier-Stokes para obter expressões 
para o perfil de velocidades no filme líquido, a distribuição de 
tensões de cisalhamento e a vazão volumétrica. 
5
198
Análise dimensional
5
5 Análise dimensional
5.1 Introdução
Olá, pessoal! Bem-vindos à nossa terceira e última unidade 
do curso de Mecânica dos Fluidos. Agora, nós vamos nos distan-
ciar um pouco da nossa realidade puramente teórica para nos 
aproximarmos mais da experimentação em Mecânica dos Fluidos.
É bem verdade que as ferramentas desenvolvidas na unidade 
anterior – análise integral e análise diferencial – são fundamen-
tais para a compreensão dos fenômenos envolvidos em um dado 
escoamento fluido. Alguns processos, contudo, são complexos 
demais para prover uma solução analítica simples, ou o excesso 
de simplificação (para permitir chegar a uma solução analítica) 
pode ocasionar perda na compreensão dos fenômenos envolvidos. 
Veremos que a análise dimensional é uma ferramenta pode-
rosa, que permitirá que estabeleçamos relações entre as variáveis 
de interesse do problema e façamos uma abordagem experimental 
mais racional e com menos custos do que faríamos na sua ausência. 
Além disso, veremos que, com o uso dessa ferramenta, seremos 
capazes de descartar naturalmente as variáveis que não são impor-
tantes para o estudo de um dado processo e poderemos, também, 
aumentar ou diminuir a escala de um dado experimento.
Finalmente, poderemos analisar os problemas de escoa-
mentos mais complexos de maneira mais simples e completa, sem 
perda de fidelidade ao processo real, com o seu auxílio.
Vamos trabalhar?
5 Análise dimensional
200
5.2 Homogeneidade dimensional
Antes de começarmos a falar em análise dimensional e em 
como achar os grupos adimensionais que caracterizam um dado 
problema físico, é importante que reconheçamos duas coisas: a 
existência de dimensões – e que possamos identificá-las – e de 
grandezas de base que as representam.
Devemos ter em mente os seguintes conceitos de maneira clara:
Dimensão: é uma medida de uma quantidade física (sem 
valores numéricos);
Unidade: é a forma de atribuir um número à dimensão.
Assim, para a dimensão comprimento, por exemplo, pode-
mos usar várias unidades (ft, km, cm, m, jardas etc.). A Figura 89 
ilustra esse exemplo.
Figura 89 – Dimensão versus unidade de medida 
Fonte: adaptado de Çengel (2008)
Um sistema de unidades, como SI ou o sistema inglês, é 
formado por um conjunto de grandezas primárias ou básicas que 
não dependem de qualquer outra para serem definidas. Para o SI, 
por exemplo, temos a grandeza de comprimento sendo representada 
pela unidade padrão metros (m). Em um outro sistema de unidades, 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
201
como o inglês, essa mesma grandeza é representada pela unidade 
padrão pés (ft). A Figura 90 apresenta as unidades que representam 
as sete grandezas primárias nas quais o SI se baseia.
Figura 90 – SI e suas grandezas e unidades básicas 
Fonte: autoria própria
Todas as dimensões não primárias podem ser formadas 
por alguma combinação dessas sete. A Segunda Lei de Newton, 
por exemplo, apresenta uma forma de relacionar a massa com o 
tempo e o comprimento para produzir uma dimensão ou grandeza 
secundária nesse sistema. Assim, no SI, a grandeza força é uma 
grandeza secundária obtida pela relação:
� �F m a.
Na qual podemos observar que há uma relação entre as 
dimensões M, L e t conforme:
F M L
t
� �
�
�
�
�
�. 2
Já no sistema inglês, que tem como grandezas de base força, 
comprimento e tempo (F, L e t), podemos observar quea Segunda Lei 
de Newton nos proporciona a massa como uma grandeza secundária:
5 Análise dimensional
202
F
L
t
m
2
�
�
�
�
�
�
�
É importante, também, lembrar que, em uma dada equação 
física, ambos os lados da igualdade devem apresentar a mesma 
dimensão física e que todo termo aditivo de uma equação deve 
apresentar as mesmas dimensões, para que ela seja homogênea 
dimensionalmente. 
Além disso, quando utilizamos uma equação qualquer, é fun-
damental verificar se todos os termos também apresentam as mesmas 
unidades. Isso porque, se na Equação de Bernoulli apresentada a 
seguir, um termo estiver expresso em unidades de comprimento, 
como o metro, e outro resulte uma quantidade em centímetros, 
obviamente a adição desses termos resultará em um valor incorreto. 
Afinal, não podemos somar maçãs e melancias e achar que vai estar 
tudo certo no final. A Figura 91 ilustra essa situação.
Figura 91 – Homogeneidade dimensional na soma de frutas 
Fonte: autoria própria
v
g
p z v
g
p z1 1 1 2 2 22 2
² ²
Camila Pacelly Brandão de Araújo
203
5.3 Análise dimensional
Agora que já podemos confortavelmente avaliar as dimensões 
de qualquer quantidade que tenhamos interesse, temos condições 
para começar a trabalhar na perspectiva de análise dimensional.
Em engenharia, os projetos de Mecânica dos Fluidos con-
sideram o uso de muitos resultados experimentais. Estes dados 
são frequentemente difíceis de apresentar num formato de fácil 
acesso e compreensão. Até mesmo os gráficos destes resultados 
são difíceis de interpretar. 
Imagine a situação em que se deseje estudar o escoamento 
de um fluido ao redor de um corpo rombudo – como uma bola, 
por exemplo. Evidentemente, esperamos que a força de arrasto 
dependa do tamanho da esfera (caracterizado pelo diâmetro D), da 
velocidade do fluido V e da sua viscosidade μ. Além disso, a massa 
específica do fluido, ρ, também pode ser importante. Representando 
a força de arrasto por F, podemos escrever a equação simbólica: 
F f D V� � �, , ,� �
Um experimentador, então, poderia supor que o caminho 
para avaliar esse processo passaria por realizar um número de 
ensaios com o escoamento de diferentes fluidos (mudando a massa 
específica do fluido e mantendo a viscosidade, e vice-versa) ao 
redor da esfera (de diferentes diâmetros), conforme as Figuras 92 
e 93 apresentam.
5 Análise dimensional
204
Figura 92 – Experimentação envolvida no estudo do escoamento ao 
redor de uma esfera 
Fonte: adaptado de Brunetti (2002)
Figura 93 – Descrição dos experimentos e dados para o problema do 
escoamento ao redor da esfera 
Fonte: adaptado de Brunetti (2002)
Poderíamos estabelecer um procedimento experimental para 
a determinação da dependência de F em relação a V, D, ρ e μ. Para 
verificar como o arrasto F é afetado pela velocidade V, colocaríamos 
a esfera em um túnel de vento e mediríamos F para uma faixa de 
valores de V. Em seguida, faríamos mais testes para explorar o efeito 
de D sobre F, utilizando esferas com diâmetros diferentes. 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
205
Já estaríamos gerando uma grande quantidade de dados: se 
fizermos experimentos em um túnel de vento com 10 velocidades 
diferentes e 10 tamanhos de esferas diferentes, teríamos dados de 
100 pontos experimentais. Poderíamos apresentar estes resultados 
sobre um gráfico (por exemplo, 10 curvas de F em função de V, uma 
para cada tamanho da esfera), mas um bom tempo seria consumido 
na obtenção dos dados se considerarmos que cada experimento 
consome 1/2 hora – já teríamos acumulado 50 horas de trabalho! 
E ainda não terminamos – em um tanque de água, deveríamos 
repetir todos esses experimentos para valores diferentes de ρ e de μ.
Nesta etapa, talvez fosse necessário pesquisar meios de 
utilizar outros fluidos, de modo a criar condições de testes em uma 
faixa de valores de ρ e de μ (digamos, 10 valores de cada). Findos 
os testes (de fato, ao final de 2 anos e meio, com a semana de 40 
horas!), teríamos realizado em torno de 104 testes experimentais. 
Em seguida, viria a etapa de tratamento de dados e análise 
de resultados: como traçaríamos gráficos de F em função de V, 
tendo D, ρ e μ como parâmetros? Essa seria uma tarefa gigantesca, 
mesmo sendo o fenômeno relativamente simples como o arrasto 
sobre uma esfera!
Felizmente, não temos que fazer todo esse trabalho.
A análise dimensional fornece uma estratégia para escolher 
dados relevantes e a forma de serem apresentados. Trata-se de uma 
técnica útil aplicada aos resultados experimentais de diferentes 
áreas de Engenharia, ou seja, não é exclusiva para a Mecânica 
dos Fluidos. 
Numa experiência, devem ser identificados os fatores envol-
vidos na situação física para que a análise dimensional possa avaliar 
o relacionamento entre eles com o uso de parâmetros adimensio-
nais. A análise dimensional é uma ferramenta que nos permite 
obter o máximo de informação com um mínimo de experiências. 
5 Análise dimensional
206
Os parâmetros adimensionais obtidos podem, também, ser usados 
para correlacionar os dados para apresentação sucinta, usando o 
número mínimo possível de gráficos.
O resultado da análise dimensional sobre um 
problema é uma equação relacionando a forma 
como os fatores físicos interagem
5.4 Teorema dos π’s de Buckingham
O Teorema dos grupos π adimensionais de Buckingham 
proporciona um algoritmo para determinar os parâmetros adi-
mensionais relacionados com uma dada situação física que se 
deseje analisar. Assim como qualquer algoritmo, ele envolve uma 
sequência de etapas que precisam ser vencidas na ordem proposta, 
para que a resposta seja alcançada.
Sabemos que uma equação dimensionalmente homogênea 
que envolve k variáveis pode ser reduzida a uma relação de k-j 
produtos adimensionais independentes, onde j é o número mínimo 
de dimensões de referência necessário para descrever as variáveis.
Portanto, o procedimento proposto envolve expressar ini-
cialmente a relação funcional entre as variáveis que se relacionam 
com um dado problema físico na forma:
x f x x x xn� �� �1 2 3, , , .
Como
f x x x x xn, , ..1 2 3
Camila Pacelly Brandão de Araújo
207
Sendo a dimensão do lado direito da equação igual à dimen-
são do lado esquerdo (para que a homogeneidade dimensional seja 
mantida), podemos escrever esse conjunto dimensional na forma 
de menos parâmetros adimensionais, tal que:
, ,
Sendo essa quantidade k de parâmetros adimensionais 
menor que o número inicialmente considerado n.
A diferença entre o número necessário de parâmetros adi-
mensionais П (k) e o número de variáveis original (n) é igual a j, 
sendo j o número mínimo de dimensões de referência utilizado 
para descrever todas as variáveis originais da equação.
Tipicamente j = 3 = MLT ou FLT, mas essa não é uma regra!
Algoritmo:
a) Listar os parâmetros do problema e contar seu 
número total n 
Nessa etapa, deve-se incluir qualquer quantidade (incluindo 
constantes dimensionais e adimensionais) que se considere impor-
tante para o fenômeno investigado. Geralmente, nos problemas 
de mecânica dos fluidos, devemos incluir variáveis:
• Geométricas
• De propriedades dos fluidos
• Efeitos externos
b) Listar as dimensões primárias dos n parâmetros 
identificados no item a
Nessa etapa, é importante escrever cada um dos parâmetros 
do item a em termos de suas dimensões primárias (usando qualquer 
um dos sistemas: FLT ou MLT).
5 Análise dimensional
208
c) Definir a redução j como o número de dimensões 
primárias do problema. 
Nessa etapa, deve-se contar o número de dimensões primá-
rias que caracterizam os parâmetros que você identificou.
d) Calcular k, o número esperado de parâmetros 
adimensionais π's k = n-j
e) Escolher os j parâmetros repetidos
A escolha dos parâmetros repetidos é crucial para o sucesso 
do processo. Algumas regras gerais devem ser obedecidas e outras 
ferramentas para uma escolha interessante surgem da prática e do 
exercício. Há de se considerar, por exemplo, que:
• Os parâmetros repetidos devem poderformar, ao serem 
combinados com cada uma das restantes, um termo adimensional;
• Os parâmetros repetidos devem conter todas as dimensões 
de referência que foram listadas no item b;
• Os parâmetros repetidos não podem formar, por si sós, 
um grupo adimensional;
• É interessante escolher pelo menos um parâmetro que 
caracterize cada um dos grandes grupos de variáveis presentes 
nos problemas de Mecânica dos Fluidos: propriedades dos fluidos, 
efeitos externos e geometria.
f) Determinar os k Пs e manipulá-los
g) Escrever a relação funcional final e checar os cálculos
Camila Pacelly Brandão de Araújo
209
5.5 Semelhança entre modelos
Agora que já sabemos como determinar que grupos adimen-
sionais são relevantes para um dado fenômeno físico, podemos usar 
essa informação para fazer aumentos (ou diminuição) de escala.
Retomando a ideia do escoamento sobre uma esfera, rea-
lizando-se a análise dimensional daquele processo poderíamos 
verificar que a força de arrasto observada depende fundamental-
mente do número de Reynolds, e essa relação pode ser expressa 
graficamente conforme a Figura 94. Assim, a mudança de qualquer 
variável do processo (D, ρ , μ, V) resultaria, igualmente, em mudar 
o número de Reynolds que caracteriza o regime de escoamento, 
de tal maneira que não faria mais sentido usar milhares de fluidos 
diferentes para avaliar o processo, mas sim, formas quaisquer de 
se modificar o parâmetro adimensional como um todo.
Figura 94 – Relação entre arrasto e número de Reynolds para o 
escoamento sobre uma esfera 
Fonte: adaptado de Fox (2008)
Essa racionalização da experimentação é um dos grandes 
pontos positivos da ferramenta de análise dimensional. Outro 
ponto positivo é o que estudaremos agora.
5 Análise dimensional
210
De posse dos parâmetros adimensionais que são pertinentes 
ao fenômeno físico, podemos transpor os resultados obtidos em 
ensaios com modelos em escala para as condições de operação 
do protótipo (real).
Nós nos valemos dos critérios de semelhança para que esse 
processo seja realizado de maneira segura. Semelhança é o estudo 
da previsão das condições de um protótipo a partir das observações 
de modelos. O princípio da similaridade dá confiança ao engenheiro 
com relação ao aumento de escala do seu processo ou projeto.
O uso de modelos facilita nos casos em que os protótipos 
são muito grandes e pequenos também. É necessário desenvolver 
os meios pelos quais uma quantidade medida no modelo possa 
ser usada para prever as quantidades associadas no protótipo.
Similaridade geométrica: Todas as dimensões características 
do problema devem, em escala apropriada, ser mantidas, ou seja, 
existe um fator de escala que relaciona as dimensões geométricas 
de um modelo com as dimensões do protótipo. A Figura 95 ilustra 
isso para uma casa modelo (15m) (escala de 1:100) com relação à 
casa protótipo (15cm).
� � �fator deescala Dmodelo
D protótipo
� � �
�
Figura 95 – Critério de similaridade geométrica 
Fonte: autoria própria
Camila Pacelly Brandão de Araújo
211
Similaridade cinemática: A velocidade em determinado 
ponto do escoamento do modelo deve ser proporcional à velocidade 
no ponto correspondente de escoamento do protótipo. A Figura 96 
ilustra isso para um carro de Fórmula 1 modelo (280km/h) com 
relação ao carro protótipo (100km/h). Lembrando que velocidade 
é uma quantidade vetorial; essa condição de similaridade impõe 
tanto a proporcionalidade para o módulo da velocidade quanto a 
obrigatoriedade da mesma direção. Assim, essa condição representa 
que a razão de velocidades seja constante entre todos os pontos 
correspondentes dos escoamentos.
� � �fator deescala Vmodelo
Vprotótipo
� � �


Figura 96 – Critério de similaridade cinemática 
Fonte: autoria própria
Similaridade dinâmica: Todas as forças de escoamento 
atuando no modelo devem ser proporcionais, por um fator de 
escala constante, às forças de escoamento atuantes no protótipo. 
É quando as forças que agem em massas correspondentes no 
escoamento do modelo e no escoamento do protótipo estão na 
mesma razão em toda a extensão do escoamento. Essa condição 
é ilustrada na Figura 97, na qual se observa a ação de uma força 
5 Análise dimensional
212
Fp no protótipo (magnitude indicada pelo comprimento da seta) 
em relação à força Fm correspondente, no modelo (magnitude 
diminuída, e indicada pela seta).
Figura 97 – Critério de similaridade dinâmica 
Fonte: autoria própria
“Para garantir a similaridade completa, o 
modelo e o protótipo devem ser geometricamente 
similares e todos os grupos П independentes 
devem coincidir no modelo e no protótipo.” 
(ÇENGEL, 2007, p. 239).
5.6 Grupos adimensionais importantes
Durante o desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos e de 
outras ciências, vários grupos adimensionais importantes para a 
engenharia foram identificados.
 Alguns desses grupos são tão fundamentais e ocorrem com 
tanta frequência que é importante que lhe dediquemos algum tempo 
para compreensão de suas definições e suas aplicações. O entendi-
mento do significado físico desses grupos permite que possamos 
compreender mais amplamente os fenômenos que estudamos.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
213
As forças encontradas nos fluidos em escoamento incluem 
as de inércia, de viscosidade, de pressão, de gravidade, de tensão 
superficial e de compressibilidade. A razão entre duas forças quais-
quer será adimensional. 
Podemos demonstrar que a força de inércia pode ser expressa:
Outras forças podem também ser descritas de maneira similar, 
tais como:
5 Análise dimensional
214
Podemos, agora, comparar as intensidades relativas das 
várias forças fluidas em relação às forças de inércia, conforme a 
Tabela 2:
Fviscosa /Finércia
�
�
�
�
VL
LV LV2 2 2
�
Fpressão /Finércia
pL
LV
p
V
2
2 2 2
Fgravidade /Finércia
�
�
gL
LV
gL
V
3
2 2 2
�
Ftensão superficial /Finércia
�
�
�
�
L
LV LV2 2 2
�
Fcompressibilidade /Finércia
E L
LV
E
V
v v
2
2 2 2� �
�
Tabela 2 – Relações entre forças importantes da Mecânica dos Fluidos 
Fonte: autoria própria
A Tabela 3 apresenta alguns desses números adimensionais, 
os quais são obtidos a partir de pequenas alterações (geralmente 
tomando-se o inverso, ou adicionando alguma constante multipli-
cativa) das relações há pouco apresentadas.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
215
Tabela 3 – Grupos adimensionais e aplicações em Mecânica dos Fluidos 
Fonte: adaptado de Fox (2008)
Número de Reynolds: É provavelmente o número adimen-
sional mais famoso da Mecânica dos Fluidos, sendo responsável 
pela descrição do regime de escoamento de um dado fluido. Como 
o número de Reynolds surge da razão entre forças inerciais e 
viscosas para produzir
Re VD ,
valores elevados de Reynolds implicam uma predominância 
dos efeitos inerciais sobre os efeitos viscosos, caracterizando o 
escoamento como turbulento. Já valores pequenos de Reynolds 
indicam a predominância dos efeitos viscosos, caracterizando, 
assim, um escoamento ordenado e de característica laminar. 
Equação Nome Aplicação Relação de forças
VD
Reynolds, Re Determinação de regimes de escoamento
Inércia/Pressão
V
gL Froude, Fr
Escoamentos com 
superfície livre
Inércia/
Gravitacional
P
V 2 Euler, Eu
Problemas com pressão 
ou gradientes de pressão 
importantes (Cavitação 
em bombas, p.ex.)
Pressão/Inércia
V
c
Mach, Ma
Avaliação dos efeitos de 
compressibilidade em 
escoamentos de gases
Inércia/
Compressibilidade
σ
V L2 Weber, We
Problemas com necessidade 
de avaliação da importância 
da tensão superficial
Inércia/Tensão 
superficial
5 Análise dimensional
216
Número de Mach: Análises e experimentos têm mostrado 
que o número de Mach é um parâmetro chave que caracteriza os 
efeitos de compressibilidade em um escoamento. O número de 
Mach pode ser escrito como
M V
c
V
dp
d
V
Ev
� � �
� �
ou 
M V
Ev
2
2
�
�
O qual pode ser interpretado como uma razão entre forças 
de inércia e forças de compressibilidade. Para um escoamento 
verdadeiramente incompressível(e note que, sob algumas con-
dições, mesmo os líquidos são bastante compressíveis), c = ∞, de 
modo que M = 0.
Número de Euler: O número de Euler é a razão entre forças 
de pressão e de inércia.
Eu p∆
V1
2
2
Em testes de modelos aerodinâmicos e outros, é conveniente 
modificar o segundo parâmetro, Δp/ρV2, inserindo um fator de 
1/2 para fazer o denominador representar a pressão dinâmica (o 
fator, evidentemente, não afeta as dimensões e atribui um valor 
físico ao denominador).
Camila Pacelly Brandão de Araújo
217
Essa razão é usada de forma que Δp é a pressão local menos 
a pressão da corrente livre, e ρ e V são propriedades do escoamento 
na corrente livre:
Ca P P
V
v�
�
1
2
2�
No estudo dos fenômenos de cavitação, a diferença de 
pressão, Δp, é tomada como Δp = p − pυ, em que p é a pressão na 
corrente líquida e pυ é a pressão de vapor do líquido na tempe-
ratura de teste. Mediante esse uso, se obtém o número ou índice 
de cavitação, que é um fenômeno físico que conheceremos mais 
à fundo nas próximas aulas.
Resumo
Neste capítulo, descrevemos as dimensões fundamentais e 
os princípios básicos de homogeneidade dimensional. Em seguida, 
enunciamos o teorema dos grupos π de Buckingham e o utilizamos 
para determinar parâmetros adimensionais dependentes e inde-
pendentes que caracterizavam uma dada situação física de estudo. 
Apresentamos os principais números adimensionais usados na 
Mecânica dos Fluidos, tais como número de Reynolds, de Mach 
e de cavitação. O significado físico desses números adimensionais 
foi discutido, bem como as situações em que se aplicam.
Exercícios 
1) A análise dimensional, juntamente com a homogeneidade 
dimensional, permitem uma avaliação da consistência física de uma 
dada equação. A equação abaixo é dimensionalmente homogênea. 
5 Análise dimensional
218
Se A representa vazão mássica, B é pressão, C é o raio de uma 
circunferência, E é a viscosidade absoluta de um fluido, F é um 
comprimento e H é área, determine as unidades de D e G no 
sistema internacional de unidades (SI).
A BC D
EF
DGH� �
4
2) Um aluno de ensino médio sabe que a pressão representa 
a atuação de uma força em uma dada área. Você aprendeu no 
segundo capítulo que a medida da variação de pressão de um fluido 
hidrostático depende da massa específica dele, da aceleração local 
da gravidade e da profundidade em questão. Ambas as pressões 
são representadas pela mesma dimensão? Explique justificando 
seu raciocínio.
3) A ferramenta de homogeneidade dimensional permite 
verificar, além de vários outros aspectos, se todos os termos de 
uma equação estão sendo usados de maneira adequada e com 
unidades coerentes. Na equação abaixo, A representa força, B é 
densidade relativa, C é aceleração, F é velocidade, D é volume e E 
é viscosidade. A equação é homogênea dimensionalmente? 
A BCD DEF� �3
4) Os critérios de semelhança são fundamentais para que o 
engenheiro tenha segurança durante a realização de uma proposta 
de condições de experimentação referentes a um problema físico 
qualquer. Descreva os critérios de semelhança principais. Os fatores 
que relacionam as características de protótipo e de modelo devem 
ser iguais em todos os critérios? Explique e justifique.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
219
5) Uma placa fina e retangular está imersa num escoamento 
uniforme com velocidade ao longe igual a V. A placa apresenta 
largura e altura respectivamente iguais a w e h, e está montada 
perpendicularmente ao escoamento principal. Admita que o arrasto 
na placa FD é função de l e h, da massa específica do fluido, da 
viscosidade dinâmica e da velocidade do escoamento ao longe. 
Determine o conjunto de termos pi adequado para o estudo expe-
rimental deste problema.
6) Uma ponte está sujeita à ação da formação de vórtices 
ao longo de um componente estrutural, conforme a figura. O 
desenvolvimento desses vórtices na parte posterior do corpo ocorre 
de maneira regular e com frequência definida quando o vento 
escoa em torno desse corpo. Como esse fenômeno pode ocasio-
nar o surgimento de forças periódicas que atuam na estrutura, é 
importante determinar a frequência com que eles são emitidos.
5 Análise dimensional
220
Para a estrutura mostrada na figura, D = 0,5m e H = 0,8m 
e a velocidade do vento é de 60km/h. Admita que as condições 
do ar são as normais (ρ = 1,23 kg/m³ e µ = 1,79. 10-5kg/m.s). A 
frequência de emissão dos vórtices deve ser determinada com a 
utilização de um pequeno modelo (Dm = 70mm) para ser testado 
em um túnel de água a 20°C (ρ = 998 kg/m³ e µ = 10-3 kg/m.s). 
Realize a análise dimensional deste problema, mostrando a 
obtenção dos parâmetros π que o caracterizam. Se a frequência do 
desprendimento de vórtices ωm no modelo for igual a 60Hz, qual 
será a frequência de desprendimento de vórtices ωp no protótipo?
7) A potência W fornecida a uma bomba centrífuga é 
uma função da vazão volumétrica Q, do diâmetro do rotor D, da 
velocidade de rotação ω e da massa específica do fluido ρ, e da 
viscosidade µ do fluido que escoa. Um protótipo de uma bomba de 
água tem diâmetro de rotor de 61cm e é projetada para trabalhar 
a uma vazão de 0,34m³/s com rotação de 750rpm. Um modelo de 
bomba com diâmetro de rotor de 30,5cm é avaliado com ar (ρ = 
1,24 kg/m³) com rotação de 1800 rpm. Desprezam-se os efeitos 
do número de Reynolds. Para condições similares, qual deve ser 
a vazão volumétrica do modelo? Se o modelo da bomba requer 
uma potência de 0,082HP para ser acionado, qual será a potência 
de acionamento do protótipo?
8) O número de Reynolds é o número adimensional mais 
utilizado em Mecânica dos Fluidos. Descreva sua importância, 
o seu uso e os limites para caracterização entre os regimes de 
escoamento.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
221
9) Escoamentos hipersônicos são caracterizados por números 
de Mach maiores do que 1. Obtenha a expressão usual do número 
de Mach a partir das forças às quais ele se refere.
10) Ao realizar um estudo de análise dimensional de um 
processo, um engenheiro pediu para que seu colega conferisse 
as etapas realizadas para validação. Nessa verificação, o colega 
optou por usar força, comprimento e tempo como dimensões 
fundamentais, ao invés de comprimento, massa e tempo, que o 
primeiro tinha utilizado. Você acha que a verificação produzirá 
o mesmo resultado? Explique. 
6
222
Escoamento viscoso
6
6 Escoamento viscoso6 Escoamento viscoso
6.1 Introdução
 Olá, pessoal! Agora que nós já dominamos a análise dimen-
sional, vamos usar essa ferramenta para facilitar nossa análise de 
casos complexos de escoamento de fluidos?
Quando trabalhamos com as equações de conservação da 
quantidade de movimento na perspectiva diferencial, tivemos a 
oportunidade de observar a necessidade de se descrever as tensões 
cisalhantes para avaliar as forças que atuavam sobre a partícula 
fluida. Vimos, também, que os problemas eram exponencialmente 
simplificados quando essas podiam ser desprezadas. Foi o que 
aconteceu quando usamos a Equação de Euler e a Equação de 
Bernoulli, que se aplicam aos escoamentos invíscidos.
Iniciamos, neste capítulo, o estudo dos escoamentos viscosos, 
ou seja, aqueles nos quais os efeitos promovidos pela ação do atrito 
interno entre as partículas de fluido são importantes. Isso quer dizer 
que consideraremos todos os termos referentes à ação do atrito e 
às características viscosas para explicar o escoamento de fluidos.
Vamos trabalhar?
6 Escoamento viscoso
224
6.2 Uma breve retomada
Até agora, em nossos estudos de Mecânica dos Fluidos, 
fizemos algumas considerações acerca da natureza viscosa dos 
fluidos e dos escoamentos.
Primeiramente, dissemos que a propriedade viscosidade 
dizia respeito à tendência de um fluido a resistir ao movimento, 
sendo associada à resistência que um fluido oferece à deformação 
por cisalhamento. E entendemos, naquela ocasião, que a viscosidade 
se relacionava com o atrito interno nos fluidos devido às interações 
intermoleculares, sendo, geralmente, umafunção da temperatura.
A Lei da Viscosidade de Newton nos mostrava que, para os 
fluidos que a obedeciam, a tensão cisalhante aplicada e a taxa de 
deformação sofrida pelo fluido eram diretamente proporcionais, 
sendo a constante de proporcionalidade a viscosidade do fluido.
� �xy
du
dy
� � �
Nesse sentido, podíamos idealizar o escoamento do fluido 
entre duas placas ocorrendo de modo que a tensão cisalhante fosse 
transferida camada por camada do fluido, como ilustrado na Figura 98:
Figura 98 – Característica viscosa dos fluidos newtonianos em um 
escoamento laminar entre placas planas 
Fonte: adaptado de Fox (2008)
Camila Pacelly Brandão de Araújo
225
Em seguida, para os escoamentos viscosos, avaliamos que o 
grupo adimensional número de Reynolds apresentava a importância 
relativa dos efeitos viscosos em relação aos efeitos inerciais. Com 
base nesse critério, tínhamos estipulado dois regimes de escoamento 
distintos. 
F
F LV
viscosa
inércia
Re VD� �
�
No regime laminar, os efeitos viscosos eram tão pronun-
ciados que o fluido escoava em camadas, sendo a quantidade de 
movimento transferida sucessivamente de uma camada para a 
próxima. Dessa maneira, conseguíamos resolver as equações de 
conservação do momento linear analiticamente.
Já no regime turbulento, se verificam as interações entre as 
camadas sucessivas de fluido, havendo mistura entre elas. Assim, 
os efeitos inerciais sobrepunham-se aos efeitos viscosos resultando 
em elevado número de Reynolds. Esse movimento aleatório de 
partículas apresentava, entretanto, uma orientação global de esco-
amento. A Figura 99 ilustra os regimes de escoamento segundo 
esse critério.
6 Escoamento viscoso
226
Figura 99 – Experimento de Reynolds e regimes de escoamento para tubos 
Fonte: adaptado de Fox (2008)
Uma pergunta, porém, ainda precisava ser respondida com 
relação aos efeitos viscosos e ao papel da viscosidade no escoamento: 
como a informação da existência de um contorno sólido, percebida 
inicialmente pela porção de fluido imediatamente em contato com 
o mesmo, se propaga pelas outras regiões do fluido?
É o que trataremos de responder agora.
6.3 Camada-limite
Dissemos, no começo do nosso curso, que o f luido era 
solidário ao contorno sólido com o qual estava em contato. No 
caso do escoamento entre duas placas planas em que uma delas 
se movia a uma dada velocidade u, o fluido em contato com a 
placa em movimento adquiria a sua velocidade, enquanto o fluido 
em contato com a placa parada adquiria velocidade zero. Esse 
comportamento foi chamado de condição de não deslizamento.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
227
Nosso olhar agora se volta para a avaliação de como a infor-
mação da existência deste contorno, percebida inicialmente pela 
porção de fluido imediatamente em contato com o mesmo, se 
propaga por meio das outras regiões do fluido.
A forma mais simples de lidar com essa avaliação é aplican-
do-a para o escoamento laminar de fluido incompressível sobre uma 
placa plana estacionária, considerando que o fluido se aproxime 
dessa com um perfil de velocidade uniforme caracterizado pela 
velocidade U∞, conforme a Figura 100. Podemos imaginar essa 
situação simplesmente como escoamento de ar, forçado por um 
ventilador ou soprador, por sobre uma mesa parada, por exemplo.
Figura 100 – Desenvolvimento de camada-limite sobre uma placa plana 
Fonte: adaptado de Alé (2011)
O fluido, inicialmente escoando à velocidade U∞, ao se deparar 
com o contorno sólido estacionário, adere-se à superfície deste, 
adquirindo a sua velocidade nessa interface, qual seja, u = 0. À 
medida que o fluido escoa sobre a mesma superfície a partir da 
borda de ataque, ou ponto de estagnação, a informação de que ali 
existe uma superfície estacionária é transferida à camada fluida 
imediatamente superior. A viscosidade é o agente envolvido nesta 
transmissão, que tende a desacelerar o fluido, o qual antes se des-
locava com velocidade U∞.
6 Escoamento viscoso
228
A cada nova posição posterior na direção do escoamento 
x, mais e mais fluido passa ser perturbado pela presença da placa, 
permanecendo, porém, sempre uma região afastada dela e que 
ainda não foi afetada pela sua presença, na qual o fluido ainda 
escoa com velocidade U∞. Nessa região, o fluido pode ser tratado 
como ideal e as equações desenvolvidas nos primórdios da hidro-
dinâmica servem para sua formulação. Por outro lado, a região do 
escoamento entre a superfície e esta posição limite y é fortemente 
influenciada pelo contorno por meio da força viscosa.
Prandtl foi o primeiro a sugerir a existência de uma camada- 
limite. Ela seria uma camada imaginária que limita a região do 
escoamento próxima à interface entre o fluido que escoa e um outro 
corpo, nas quais os efeitos viscosos determinam a configuração do 
escoamento. No interior da camada-limite, a velocidade do fluido 
varia desde o valor nulo (em contato com a placa estacionária) até 
a velocidade de escoamento não perturbado.
Perceba que a camada-limite não para de crescer. Enquanto 
houver placa (ou cotas na direção x do escoamento), haverá cres-
cimento da camada-limite, pois mais e mais fluidos passarão a ser 
perturbados pela presença do contorno sólido.
Apesar desta apresentação do conceito de camada-limite 
ter considerado, por hipótese, o escoamento como laminar, ele 
continua válido também para casos em que fenômenos associados 
à turbulência (tais como vórtices e redemoinhos) são percebidos.
6.4 Escoamento viscoso interno
Agora que já sabemos como a informação da existência de 
um contorno sólido é transferida pelas camadas de fluido para uma 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
229
placa plana, podemos analisar esse fenômeno em um escoamento 
interno e seus efeitos sobre as variáveis do nosso interesse.
Você deve se recordar que escoamentos internos são aqueles 
nos quais o fluido encontra-se completamente restrito por paredes 
sólidas, sejam elas de tubos, de dutos, de restrições, de difusores 
etc. Assim, o fluido deverá entrar em contato com esses contornos 
sólidos e uma camada-limite também deverá surgir.
6.4.1 Aspectos qualitativos
Imaginemos uma tubulação através da qual deve escoar um 
fluido, conforme ilustrado na Figura 101. Se o tubo estivesse imerso 
em um reservatório (ou na saída de um reservatório), a velocidade 
na sua entrada poderia ser considerada uniforme em toda a seção. 
Figura 101 – Aspectos qualitativos do escoamento interno viscoso 
Fonte: adaptado de Munson, Young e Okiishi (2005)
6 Escoamento viscoso
230
A partir da região de entrada, à medida que o fluido se 
depara com o contorno sólido da tubulação os efeitos viscosos 
provocam aderência do fluido às paredes do tubo, em consequ-
ência da condição de não deslizamento. Da mesma maneira que 
observamos para o caso da placa plana, também nas paredes da 
tubulação se verificará o desenvolvimento de uma camada-limite.
O desenvolvimento da camada-limite ocorre tal qual na placa 
plana; verificamos uma região próxima às paredes da tubulação 
nas quais os efeitos viscosos são pronunciados e uma região na 
qual esses efeitos ainda não são percebidos. Na região do núcleo 
ainda não atingida pela camada-limite, os efeitos viscosos são 
desprezíveis e essa região é denominada região invíscida.
A existência da camada-limite provoca uma mudança 
no perfil de velocidades do escoamento, para que a equação da 
continuidade permaneça válida. Assim, o perfil de velocidades 
muda a cada nova seção na direção do escoamento e ao longo 
da direção radial:
u u r x� � �,
A extensão de tubulação na qual se verifica essa situação 
denomina-se região de entrada. Na medida em que avança para 
o interior do tubo, a camada-limite cresce, restando, a cada nova 
seção posterior na direção do escoamento, uma porção cada vez 
menor de fluido não perturbado pela presença da tubulação. 
Em determinada posição x, a porção do fluido atingida pelos 
efeitos viscosos corresponde à totalidade da seção transversal. Em 
outras palavras, emdeterminada posição x da tubulação, a camada 
-limite cresce ao ponto de atingir a linha central da tubulação. A 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
231
partir desse ponto, o perfil de velocidade não se altera mais de 
uma posição x para outra e dizemos que o escoamento atingiu 
seu completo desenvolvimento.
u u r somente� � �
Chamamos de comprimento de entrada (Le) a distância 
da seção de entrada até o local no qual a camada-limite atinge a 
linha central (de simetria) do tubo. A partir deste ponto, o perfil 
de velocidade é plenamente desenvolvido, significando que seu 
formato não varia mais na direção de x.
Evidentemente, o comprimento de entrada para um dado 
escoamento depende do regime de escoamento, uma vez que esse 
parâmetro terá influência direta no crescimento da camada-limite. 
Como, no regime turbulento, se tem mistura entre as camadas de 
fluido, a camada-limite se desenvolve mais rapidamente que no 
caso laminar. Logo, modelos empíricos estimam o comprimento 
de entrada em função do regime de escoamento para ser:
L
D
Re escoamentoe 0 06 laminar
E
L
D
Re escoamentote 4 4
1
6 uurbulento
Substituindo os limites de cada regime de escoamento, 
podemos ver que, para o escoamento laminar, o comprimento 
de entrada ocorre a aproximadamente 140D, enquanto que, para 
o escoamento em regime turbulento, esse comprimento está na 
ordem de 40D.
6 Escoamento viscoso
232
6.4.2 Aspectos quantitativos
Embora não sejam comuns, na prática, como forma de 
simplificação, muitos escoamentos podem ser considerados com-
pletamente desenvolvidos, permanentes e laminares. Considere o 
elemento infinitesimal de fluido conforme indicado na Figura 102:
Figura 102 – Elemento infinitesimal para análise do escoamento 
viscoso incompressível 
Fonte: adaptado Alé (2011)
Pelo Teorema do Transporte de Reynolds, para uma pro-
priedade genérica do escoamento:
dN
dt t
d V dA
Sistema VC sc
Para a conservação do momento linear, temos:
dP
dt t
dA F F
Sistema VC sc Sx Bx
Camila Pacelly Brandão de Araújo
233
Considerando:
1) Escoamento completamente desenvolvido� � � �u u r somente
2) Em regime permanente � �
�
�
t
0
3) De um fluido incompressível � �� cte
4) Em um tubo horizontal � �

FBx 0
Assim, vemos que: 
FSx
� ���
= 0
Por análise das forças atuantes sobre o volume de controle, 
conforme indicado na Figura 103, podemos avaliar que:
Figura 103 – Elemento infinitesimal e forças atuantes sobre o V.C. 
Fonte: adaptado Alé (2011)
Considerando que a pressão tenha um valor definido p no 
centro da partícula fluida infinitesimal, podemos ver que, usando 
expansão em série de Taylor, essa tem os seguintes valores nas 
faces esquerda e direita, respectivamente: 
p p
x
dx
2
p p
x
dx
2
6 Escoamento viscoso
234
Considerando a ação da tensão cisalhante atuante em decor-
rência dos efeitos viscosos, na superfície do elemento cilíndrico, 
temos que o somatório das forças de superfície pode ser expresso por:
p p
x
dx p
x
dx r rdxrx2 2
2 0.
p
x
r rx .2
Se os efeitos gravitacionais são desprezados, a pressão é 
constante em qualquer seção transversal do tubo, mas varia de 
uma seção para outra:
rx
p
x
r
2
Podemos, então, verificar que a tensão de cisalhamento no 
fluido varia linearmente na direção transversal ao tubo, de zero 
na linha de centro até um máximo na parede. 
Se desejarmos saber a tensão de cisalhamento na parede 
da tubulação, temos r=R e 
A Figura 104 apresenta a distribuição de tensão de cisalha-
mento em uma dada seção do escoamento e o correspondente perfil 
de velocidades. É interessante perceber que a tensão é máxima 
na parede, onde a condição de não escorregamento impõe um 
valor nulo para a velocidade do fluido, e é mínima na linha de 
centro da tubulação, onde também se verifica o máximo valor de 
velocidade do fluido.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
235
Figura 104 – Distribuição de tensão de cisalhamento e perfil de 
velocidades em uma seção do escoamento 
Fonte: adaptado Alé (2011)
Há de se notar, também, que o termo (∂p/∂x) diz respeito 
à variação de pressão entre duas seções do escoamento. Assim:
p
x
p p p∆
L
cte
2 1
Onde podemos observar que ∆p representa a queda de 
pressão de uma seção 1 até uma seção 2. A Figura 105 ilustra a 
diferença entre a variação da pressão e a queda da pressão entre 
uma seção e outra.
Figura 105 – Diferenças de pressão ao longo do escoamento em 
uma tubulação 
Fonte: adaptado Alé (2011)
6 Escoamento viscoso
236
Assim, podemos escrever, finalmente:
w
p∆
L
R
2
Perceba que, nesse nosso desenvolvimento, não estabe-
lecemos qualquer dependência com o regime de escoamento. 
Veremos que a consideração acerca do regime de escoamento 
impõe várias condicionantes na modelagem do processo e que, 
no regime laminar, podemos chegar a uma solução puramente 
analítica, enquanto no escoamento turbulento, teremos que nos 
apoiar na ferramenta de análise dimensional e em dados empíricos 
para formular uma modelagem.
6.4.3 Para o escoamento laminar
a) Perfil de velocidades
Conforme dissemos, o fato de um escoamento ocorrer em 
regime laminar não é o mais representativo da realidade: a maioria 
dos escoamentos é turbulento. O escoamento laminar, porém, nos 
permite relacionar as quantidades analiticamente.
Usando a relação funcional entre a tensão cisalhante e a 
variação de pressão obtida anteriormente:
p
x
r rx .2
E admitindo que o fluido que escoa é newtoniano:
� ��
du
dr
Camila Pacelly Brandão de Araújo
237
Podemos escrever:
p
x
r du
dr
2
Sabendo que 
p
x
cte em uma dada seção do escoamento, 
temos:
p
x
du
dr
r
2
Rearranjando:
du p
x
rdr1
2
Realizando a integração mediante as condições de contorno:
r r u u r� � � � ��
 
r R u condiçãodenãoescorregamento0
Temos: 
u
u u r
R
r
du p
x
rdr
0
1
2
O que nos fornece:
u r p
x
r R� � � � �
�
�� �0 1
4
2 2
�
6 Escoamento viscoso
238
u r p∆
L
R r1
4
2 2
 
u r p∆
L R
2 2
4
1
Esta equação representa o perfil de velocidades para esco-
amento laminar em tubos. Você deve notar que é uma equação 
de segundo grau com dependência com a direção radial, caracte-
rizando, assim, uma parábola.
b) Velocidade máxima
A velocidade máxima em uma seção do escoamento pode 
ser determinada entendendo-se que um ponto de máximo é um 
ponto de inflexão do perfil de velocidades e, portanto, neste ponto, 
a derivada primeira da função deve ser igual a zero:
u
d u r
drmáx
�
� �� �
� 0
d pR∆
l
r
R
dr
2 2
4
1
0
p∆
l
r
4
2 0
Desse modo, podemos verificar que o ponto de máximo 
ocorre quando a coordenada radial tiver valor zero, ou seja, na 
linha central da tubulação:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
239
u rmáx � � 0
Substituindo essa condição na equação do perfil de velo-
cidades para determinar o valor da velocidade máxima, temos:
u p∆
l
Rmáx 4
2
c) Vazão volumétrica
Definimos vazão volumétrica durante nosso estudo de 
conservação da massa na perspectiva integral para ser:
Q u r dA� � ��
Sendo o infinitesimal de área caracterizado pela área através 
da qual o fluido escoa, podemos ver que:
dA rdr� 2�
Assim,
Q u r rdr� � �� 2�
Substituindo a equação do perfil de velocidades:
Q p∆
l
R r rdr
R
0
2
4
2²
Q p∆
l
R r rdr
R
2 0
2
6 Escoamento viscoso
240
Realizando a integração, temos:
Q p∆
l
R
2 2 4
2
2 4
.
Considerando a totalidade da seção de escoamento (r = R):
Q R p
l
D p
l
4 4
8 128
Essa equação recebe o nome de Equação de Hagen-Poiseuille 
e permite a estimativa da vazão de escoamento do fluido mediante 
informações da queda de pressão por unidade de comprimento da 
tubulação e do diâmetro dela, sendo de grande importância prática.
d) Velocidade média
Também durante nossos estudos de conservação da massa 
na perspectiva integral, estipulamos que a velocidade média de um 
dado escoamento era fornecida pela razão entre a vazão volumétrica 
e a área disponível para que o fluido escoasse:
V Q
Amédia
�
Dessa maneira,
V
R p
l
Rmédia
4
2
8
V R p
lmédia
2
8
Camila Pacelly Brandão de Araújo
241Relacionando-a com a velocidade máxima do escoamento, 
podemos escrever:
V umédia máx�
1
2
6.4.4 Para o escoamento turbulento
Muitos escoamentos não podem ser considerados como 
laminares e as simplificações adotadas nas seções anteriores do 
texto podem gerar erros importantes nas análises dos escoamentos. 
Escoamentos turbulentos são muito comuns e desejáveis na prática, 
como, por exemplo, os processos de mistura ou de transferência 
de calor em resfriadores ou em trocadores de calor. Além disso, as 
velocidades necessárias aos escoamentos para atender os requeri-
mentos de fornecimentos de produto, produção etc. em geral são 
muito acima do limite do escoamento laminar.
No desenvolvimento que realizamos para o escoamento 
laminar, simplesmente nos valemos da relação entre a tensão 
cisalhante e o gradiente de pressão para, em seguida, usarmos a 
expressão da Lei da Viscosidade de Newton e obtermos todas as 
informações acima.
Para o escoamento turbulento, porém, o comportamento 
da tensão cisalhante com relação ao perfil de velocidades não é 
tão direto como no caso laminar e, infelizmente, não existe uma 
equação equivalente da tensão para escoamento turbulento, de 
modo que não podemos repetir o procedimento anterior para 
esse tipo de escoamento.
O escoamento turbulento é representado, em cada ponto, 
pela velocidade média temporal mais as componentes u’ e ν’ nas 
6 Escoamento viscoso
242
direções x e y (para um escoamento bidimensional) da flutuação 
aleatória de velocidade (neste contexto, y representa a distância a 
partir da parede do tubo). A Figura 106 ilustra esse comportamento.
Figura 106 – Comportamento da velocidade no escoamento turbulento 
Fonte: adaptado de Fox (2008)
Essas flutuações aleatórias da velocidade continuamente 
transferem quantidade de movimento entre as camadas de fluido 
adjacentes, promovendo a mistura entre as partículas fluidas, o que 
tende a reduzir qualquer gradiente de velocidade presente. Esse efeito, 
que é o mesmo de uma tensão aparente, foi introduzido pela primeira 
vez por Osborne Reynolds, e denominado de tensões de Reynolds.
Portanto, no escoamento turbulento, dizemos que o fluido 
está sujeito a uma tensão global que contabiliza as contribuições de 
uma parcela laminar (referente à velocidade média do escoamento) 
e uma parcela turbulenta (referente às flutuações de velocidade).
A Figura 107 apresenta o comportamento das tensões cisa-
lhantes no caso laminar e no caso turbulento.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
243
Figura 107 – Tensão cisalhante para o escoamento laminar 
(esquerda) e turbulento (direita) 
Fonte: Yokisih (2000)
� � �� �laminar turbulenta
�
�
�� �
du
dy
u v' '
É interessante notar que podemos chegar a esse resultado a 
partir da definição de momento e da informação de que as flutuações 
de velocidade o transferem. De maneira simplificada, teríamos:
P mV= .

dP
dt
m dV
dt
F
 

= =.
� �� � � �
�
�
�
�
�
F
A
dV
dt A
1
�
�
�
dL
dt
V.
� �� u v' '
6 Escoamento viscoso
244
O sinal negativo surge devido ao fato de u’ e v’ estarem 
negativamente correlacionadas, tal que o termo -ρu'v' produz uma 
quantidade positiva, resultando em uma tensão efetivamente maior 
que a verificada para o escoamento laminar.
Se formos analisar como se comporta a tensão cisalhante 
ao longo da seção transversal de um tubo, poderemos verificar 
que, próximo à parede, o termo referente à tensão turbulenta, 
ou às tensões de Reynolds, tendem a zero. Isso ocorre porque a 
condição de não deslizamento prevalece, de modo que não apenas 
a velocidade média tende a zero, mas também as flutuações de 
velocidade, uma vez que a parede tende a suprimir as flutuações. 
Assim, a tensão turbulenta se aproxima do valor nulo conforme 
nos aproximamos da parede, e vale zero na parede.
Se a tensão de Reynolds é zero na parede, podemos esperar 
que a tensão de cisalhamento de parede seja dada somente por:
w
y
du
dy 0
Isso significa que, na região muito próxima à parede do tubo, 
ou seja, na camada de parede, o cisalhamento viscoso é dominante. 
Na região entre a camada de parede e a porção central do tubo, 
tanto o cisalhamento viscoso quanto o turbulento são importantes. 
Esse comportamento é ilustrado na Figura 108.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
245
Figura 108 –Distribuição da tensão cisalhante em uma seção 
transversal para o escoamento turbulento 
Fonte: adaptado de Munson (2004)
Infelizmente, no escoamento turbulento, não dispomos de 
uma relação como a Lei da Viscosidade de Newton para relacionar 
diretamente a tensão cisalhante com o gradiente de velocidades. 
Por isso, perfis de velocidade empíricos são adotados. 
Em geral, uma lei de potência como
É capaz de representar, com algum sucesso, esse tipo de 
escoamento. Note que essa relação não pode ser aplicada próxima 
à parede (R = 0), já que o gradiente de velocidade seria infinito.
Porém, para regiões até o limite em que:
y
R
sendo y R r0 004
podemos considerar a sua adequação ao comportamento 
da velocidade do escoamento.
6 Escoamento viscoso
246
O expoente n depende do número de Reynolds segundo:
E pode ser determinado também, graficamente, de acordo 
com a Figura 109.
De maneira geral, quanto maior o expoente n, mais achatado 
se torna o perfil de velocidades para o escoamento turbulento. A 
Figura 110 ilustra essa diferença de comportamento de maneira 
comparativa entre valores de n para o escoamento turbulento e 
com relação ao escoamento laminar.
Figura 109 – Relação entre o número de Reynolds e o expoente n da 
lei de potência 
Fonte: adaptado de Alé (2011)
Figura 110 – Efeito do número de Reynolds sobre o perfil de velocidades 
Fonte: adaptado de Duarte (1997)
Camila Pacelly Brandão de Araújo
247
6.5 Considerações de energia no escoamento interno viscoso
Quando tratamos da equação da conservação da energia 
na unidade 2, dissemos que poderíamos desprezar qualquer efeito 
de troca térmica ou variação da energia interna do fluido para 
chegarmos à Equação de Bernoulli.
A Equação de Bernoulli, porém, trata do caso de escoamento 
de fluidos invíscidos. No nosso cenário atual, não podemos fazer 
mais esse tipo de consideração e os termos referentes ao atrito 
interno e à variação da energia interna do fluido deverão perma-
necer na equação da conservação da energia.
Devemos nos lembrar que o atrito é consumidor da energia 
disponível do fluido e que energia é um custo de operação impor-
tante e impacta diretamente no custo, também, dos equipamentos 
necessários para se realizar uma dada operação (de bombeamento, 
de agitação ou de mistura de tanques).
Desse modo, se tomarmos a equação de conservação de 
energia na perspectiva integral: 
Q W W W
t
e d u V gz pveixo cis outros VC sc
2
2
A
E considerarmos:
1) Escoamento em regime permanente;
2) De um fluido incompressível;
3) Na ausência de qualquer outra forma de trabalho que 
não seja o de escoamento;
4) Uniformidade dos valores de pressão e energia interna 
em cada seção.
6 Escoamento viscoso
248
Podemos escrever:
� �Q m u u m p p mg z z V V dA V
A a2 1 2 1 2
2
2
2 2 12
11
2
1 12
V dA
Para que seja possível trabalhar com essa equação sem 
necessitar do uso de integrais, e ainda mantê-la capaz de ser aplicada 
para escoamentos laminares e turbulentos, é definido um fator de 
correção da energia cinética, que nos permite usar uma velocidade 
média para computar a energia cinética em cada seção transversal.
Fator decorreçãodaenergiacinética
V dA
mV ²
3
�
O fator de energia cinética nada mais é do que uma pon-
deração entre a energia cinética obtida por meio da integração do 
perfil de velocidades e o valor médio da energia cinética ao longo 
da seção. Quanto mais próximo de uma uniformidade ao longo da 
seção, mais próximo de 1 o fator de correção da energia cinética 
se torna, indicando que pouca ou nenhuma diferença faz se optar 
pela integração ao longo da seção ou não.
Em geral, escoamentos turbulentos tendem a produzir perfis 
mais próximos da uniformidadeque escoamentos laminares, 
conforme ilustrado na Figura 110. Assim, α ≈ 1 para escoamentos 
turbulentos e se pode provar que α = 2 para escoamentos laminares.
Dessa maneira, a equação da conservação da energia poderia 
ser reescrita para ser:
Camila Pacelly Brandão de Araújo
249

    Q m u u m p p mg z z mV m
V
� �� � � ��
�
�
�
�
� � �� � � �2 1 2 1 2 1 2
2
2
1
2
1
2 2� �
� �
Se o escoamento estiver plenamente desenvolvido, o perfil de 
velocidades será o mesmo entre duas seções quaisquer e 2 1
Rearranjando:
�
�
Q
m
u u
p p
g z z V V2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
2 2
u u Q
m
p gz V p gz2 1 1 1 1 1
2
2
2
2
2 2
�
�
O termo da esquerda da igualdade representa a diferença 
em energia mecânica entre as duas seções e contabiliza, portanto, 
as perdas de energia mecânica sob a forma de calor e energia 
interna do fluido:
p gz gz hlT1 1
2
2
2
2
2 2
Quando escrita dessa maneira, a conservação da energia para 
o escoamento viscoso tem dimensões de (L²/t²), que representa uma 
quantidade de energia por unidade de massa. Nessa configuração:
p
g
z
g
p
g
z
g
h
g
HlT lT1 1
2
2
2
2
2 2
tem dimensão de L e pode ser interpretada como altura de 
uma coluna manométrica para cada termo da equação. Ambos os 
6 Escoamento viscoso
250
termos HlT e hlT são denominados perda de carga indistintamente; 
portanto, o aluno deve ser capaz de distinguir qual é a equação 
adequada em cada caso.
A variação da pressão num duto resulta da variação de 
elevação, de velocidade e do atrito. Se não houver perdas por 
atrito, a variação da pressão poderá ser determinada pelo uso da 
Equação de Bernoulli. Se o escoamento for viscoso, porém, há de 
se estimar a perda de carga.
6.6 Perda de carga
A perda de carga hlT, contabiliza toda a perda de energia 
mecânica entre duas seções do escoamento. Podemos, didatica-
mente, dividir essa perda em duas grandes porções: aquelas causa-
das somente pelos efeitos de atrito no escoamento completamente 
desenvolvido em tubos de seção constante, e aquelas causadas pela 
presença de elementos que alteram as características do escoamento, 
como entradas, acessórios, regiões de variações de área e outras. 
Dizemos, portanto, que a perda de carga total é dada pela 
soma das contribuições da perda de carga principal hL(ou maior) 
com a perda de carga secundária hac (ou menor). 
h h hLT L ac� �
A nomenclatura maior ou menor não é a mais adequada, 
pois as perdas secundárias podem, por vezes, causar maior perda 
de energia mecânica entre duas seções do que as perdas principais. 
Dese modo, usaremos os termos principal e secundária na maioria 
dos casos.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
251
a) Perda de carga principal
O termo de perda de carga principal refere-se somente ao 
atrito no escoamento plenamente desenvolvido entre pontos da 
tubulação com área constante. Consideremos um escoamento ple-
namente desenvolvido numa tubulação horizontal de comprimento 
L com área de seção transversal constante. Então, podemos escrever:
Onde a variação de cotas foi desprezada pelo fato de a tubu-
lação ser horizontal, e a velocidade ser a mesma entre duas seções 
de mesma área. Assim, vemos que:
H p p
g
p
gL
( )1 2
h p p pL
( )1 2
Esse resultado nos informa que a perda de carga principal 
independe da orientação da tubulação, ou sua inclinação. De fato, 
podemos ponderar que o atrito entre o fluido e a tubulação não 
faz, realmente, distinção acerca da sua disposição geométrica.
• Perda de carga principal no escoamento laminar:
Na seção precedente, quando trabalhamos com variáveis 
de interesse para o escoamento laminar, vimos que: 
6 Escoamento viscoso
252
V R p
l
2
8
A qual poderia ser expressa em termos do diâmetro da 
tubulação para ser:
V D p
l
2
32
Isolando a variação de pressão:
p VL
D
32
2
Dividindo por: 
H p
g
VL
gDL
32
2
Retomando a definição do número de Reynolds, podemos 
escrever:
VD
Re
H
VD
Re
VL
gD
V
Re
L
D gL
32
32 1
2
2
H
Re
L
D
V
gL
�
64
2
2
Similarmente, 
h
Re
L
D
V
L �
64
2
2
Ou
Camila Pacelly Brandão de Araújo
253
Assim, para o escoamento laminar, a perda de carga pode ser 
calculada a partir de dados da tubulação (diâmetro, comprimento 
e velocidade do escoamento) e do número de Reynolds.
• Perda de carga principal no escoamento turbulento:
Para o escoamento turbulento, como dito anteriormente, a 
queda de pressão não pode ser avaliada analiticamente, de modo 
que não dispomos de uma equação relacionando a velocidade 
média, por exemplo. Para contornar essa situação, usaremos da 
ferramenta de análise dimensional do problema, em conjunto 
com experimentação.
É observado que a queda de pressão causada pelos efeitos 
de atrito em tubulações horizontais de diâmetro constante em 
escoamento turbulento depende do diâmetro da tubulação D, do 
comprimento do tubo L, da velocidade média do escoamento V, 
da massa específica do fluido que escoa ρ e da sua viscosidade µ, 
além da rugosidade da parede da tubulação (e).
p p D L V e, , ,
Pelo procedimento de análise dimensional, podemos verifi-
car que são sete (n = 7) as variáveis de importância para o processo, 
e que elas podem ser descritas por um conjunto de três dimensões 
fundamentais (M, L e t), tal que j = 3, de tal forma que 4 grupos 
adimensionais podem ser formados pelo algoritmo de Buckingham.
Escolhendo como variáveis repetidas ρ, V e D, podemos 
escrever a seguinte relação entre os adimensionais:
p∆
V
f
VD
e
D
L
D2
, ,
6 Escoamento viscoso
254
Ou
p∆
V
e e
D
L
D2
, ,
Os experimentos mostram que a perda de carga é diretamente 
proporcional a L/D. Assim, podemos representar o processo por:
h
V
L
D
f Re e
D
L
2
� �
�
�
�
�
�,
Como f permanece indeterminada, é permitido introduzir 
uma constante no lado direito da relação. A constante ½ é adi-
cionada para que o termo do lado esquerdo represente a razão 
entre a perda de carga principal e a energia cinética por unidade 
de massa do escoamento.
h
V
L
D
f Re e
D
L
1
2
2
� �
�
�
�
�
�,
Essa função denominamos de fator de atrito de Darcy (f), 
e podemos escrever:
h f L
D
V
L =
2
2
Ou 
H f L
D
V
gL
= .
2
2
Dedicaremos o próximo tópico para a avaliação do com-
portamento do fator de atrito.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
255
b) Fator de atrito
O fator de atrito, conforme indicado, é expresso por uma 
relação funcional do regime de escoamento e das características 
da tubulação.
f f Re e
D
� �
�
�
�
�
�,
Para determinar o fator de atrito, utiliza-se o Diagrama de 
Moody. Para tal, deve-se ter o valor do número de Reynolds e a 
rugosidade relativa e = ε/D. A rugosidade absoluta depende do tipo 
de material da tubulação e do seu acabamento e representa o valor 
médio das alturas da rugosidade da parede interna da tubulação. 
A Figura 111 ilustra esse fenômeno.
Figura 111 – Rugosidades em uma tubulação 
Fonte: adaptado de Alé (2011)
O diagrama de Moody apresenta a relação entre a rugosidade 
relativa de uma tubulação e o regime de escoamento para um esco-
amento completamente desenvolvido sob condições conhecidas. 
6 Escoamento viscoso
256
Conhecendo-se o número de Reynolds e avaliando-se a rugosidade 
relativa da tubulação, é possível avaliar o fator de atrito para uma 
dada condição. A Figura 112 apresenta as regiões de comportamento 
descritas no diagrama de Moody.
Figura 112 – Representação do Diagrama de Moody 
Fonte: adaptado de Alé (2011)
Vários aspectos da Figura 112 merecem discussão. É possível 
observar que o diagrama de Moody apresenta uma zona laminar 
(Re < 2000), uma zona crítica (Re de 2000 e 4000), uma zona de 
transição e uma zona inteiramente rugosa. Nestas zonas, o fator de 
atrito f apresenta diferentes dependências em relação ao número 
de Reynolds (Re) e em relação a rugosidade relativa.
I) Na zona laminar, o fator de atrito f é independente da 
rugosidade relativa e inversamente proporcional ao número de 
Reynolds. Podemos verificar que, nessa situação:
f
Re
=
64
Camila Pacelly Brandão de Araújo
257
II) Na zonacrítica, o fator de atrito apresenta aumentos 
bruscos. Essa zona crítica para o fator de atrito coincide com a 
região de transição entre os regimes de escoamento laminar e 
turbulento.
III) Na zona de transição para o fator de atrito (não para 
os regimes de escoamento!), se pode observar que, para um deter-
minado Re, o fator de atrito f diminui conforme a rugosidade 
relativa diminui. Alternativamente, podemos verificar que, para 
uma determinada rugosidade relativa, o fator de atrito f diminui 
ao aumentar o Re até alcançar a zona inteiramente rugosa.
IV) Dentro da zona inteiramente rugosa, indicada no 
diagrama da Figura 112 pela linha tracejada, para uma determinada 
rugosidade relativa, o fator de atrito f se mantém praticamente 
como um valor constante, independente do Re.
Resumindo a discussão precedente, vimos que o fator de 
atrito decresce com o aumento do número de Reynolds enquanto 
o escoamento permanecer laminar. Na transição, f aumenta brus-
camente. No regime de escoamento turbulento, o fator de atrito 
decresce gradualmente e, por fim, nivela-se em um valor constante 
para grandes números de Reynolds. Assim, concluímos que a perda 
de carga sempre aumenta com a vazão mássica, e mais rapidamente 
quando o escoamento é turbulento.
Para evitar a necessidade do uso de métodos gráficos na 
obtenção de f para escoamentos turbulentos, diversas expressões 
matemáticas foram criadas por ajuste de dados experimentais. 
A expressão mais usual para o fator de atrito é a de Colebrook:
1 2
3 7
2 51
0 5 0 5f
log
e
D
Re . f. ..
.
6 Escoamento viscoso
258
Essa equação é implícita em f, mas, atualmente, a maior parte 
das calculadoras científicas possui programas para resolver equações 
que podem ser prontamente utilizadas na determinação de f, para 
uma dada razão de rugosidade e/D e um dado número de Reynolds.
Usando um simples processo interativo com algumas inte-
rações, é possível alcançar a convergência. Iniciamos com um 
valor estimado para f no lado direito e, depois de muito poucas 
iterações, teremos um valor convergido para f com três algarismos 
significativos. Observando o diagrama de Moody, podemos ver 
que, para escoamentos turbulentos, f < 0,1; logo, um chute inicial 
de f = 0,1 poderia ser um bom valor.
c) Perda de carga secundária
A perda de carga secundária surge devido ao escoamento 
através de acessórios como válvulas, joelhos, registros e em porções 
do sistema de área variável, tais como saídas de reservatórios, bocais 
convergentes e divergentes. Essas perdas serão, em geral, menores 
que a perda de carga principal e concentradas nas regiões de aces-
sórios do escoamento. A depender do equipamento e dos dados 
disponíveis, duas formas podem ser utilizadas para o cálculo das 
perdas de carga secundárias.
O método dos coeficientes de perda K estabelece o valor desse 
coeficiente experimentalmente para cada acessório do escoamento:
h K Vac =
2
2
Onde K é o coeficiente de perda de carga e V a velocidade média. 
O coeficiente de perda de carga será maior quanto mais abrupto for o 
elemento originando zonas de recirculação de fluxo e altos níveis de 
turbulência, aumentando, dessa forma, a energia dissipada. A tabela 
4 mostra o coeficiente de perda e carga de diversos elementos.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
259
Acessório K
Ampliação gradual 0,20
Bocais 2,75
Comporta aberta 1,00
Controlador de vazão 2,50
Cotovelo 90º 0,90
Cotovelo 45º 0,40
Crivo 0,75
Curva 90 0,40
Curva 0,20
Curva 22,5 0,10
Entrada normal 0,50
Entrada de borda 1,00
Existência de derivação 0,03
Junção 0,40
Medidor Venturi 2,50
Redução gradual 0,15
Registro de ângulo aberto 5,0
Registro de gaveta aberto 0,20
Registro de globo aberto 10,00
Saída de canalização 1,00
Tê passagem direta 0,60
Tê saída de lado 1,30
Tê saída bilateral 1,80
Válvula de pé 1,75
Válvula de retenção 2,05
Velocidade 1,00
Tabela 4 – Coeficiente de perda de carga para alguns acessórios comuns 
Fonte: adaptado de Alé (2011)
6 Escoamento viscoso
260
Já o método dos comprimentos equivalentes, ilustrado na 
Figura 113, avalia a perda de carga causada pelo elemento em 
comparação com aquela que o escoamento experimentaria caso o 
elemento fosse substituído por um dado comprimento de tubulação 
nas mesmas condições de fluxo.
O comprimento equivalente em metros de canalização retilí-
nea (Leq) é tabelado segundo o tipo de acessório, o material utilizado 
e o diâmetro da tubulação. Se substituirmos certo acessório por 
uma tubulação retilínea com o comprimento igual ao comprimento 
equivalente (com igual material e diâmetro), ambos originariam a 
mesma perda de carga. A tabela 5 a seguir mostra o comprimento 
equivalente adimensional (Leq/D) de diversos acessórios:
Figura 113 – Método dos comprimentos equivalentes 
Fonte: adaptado de Alé (2011)
Acessório Leq/D
Válvula de globo aberta 340
Válvula de gaveta aberta 8
Válvula de gaveta 3/4 aberta 35
Válvula gaveta 1/2 aberta 160
Válvula gaveta 1/4 aberta 900
Válvula borboleta aberta 45
Válvula esfera aberta 3
Válvula retenção globo 660
Válvula retenção em ângulo 55
Camila Pacelly Brandão de Araújo
261
Acessório Leq/D
Válvula de pé com crivo, 
de disco móvel
75
Cotovelo padronizado 90º 30
Cotovelo padronizado 45º 16
Tê padronizado fluxo direto 20
Tê padronizado fluxo ramal 60
Tabela 5 – Coeficiente de perda de carga para alguns acessórios comuns 
Fonte: adaptado de Alé (2011)
6.7 Bombas
Como dissemos no início das nossas considerações energé-
ticas, no fluido viscoso se verifica significativa perda de energia 
mecânica, entre uma seção e outra no escoamento, em decorrência 
do atrito e das suas interações com os acidentes presentes na 
tubulação. Os equipamentos de bombeamento, como bombas e 
ventiladores ou sopradores servem, também, ao propósito de manu-
tenção do fluxo fluido, apesar das perdas durante o escoamento.
A força motriz para manter o escoamento contra o atrito é 
fornecida por uma bomba (para líquidos) ou por um ventilador ou 
soprador (para gases). Aqui, vamos considerar as bombas, embora 
todos os resultados sejam igualmente aplicáveis a ventiladores 
ou a sopradores. Se desconsiderarmos a transferência de calor e 
as variações na energia interna do fluido (vamos incorporá-las 
mais tarde, juntamente com a definição de eficiência da bomba), 
a primeira lei da termodinâmica aplicada através da bomba é
6 Escoamento viscoso
262
Produzindo:
Em muitos casos, os diâmetros das tubulações de entrada 
e de saída são iguais, o que impõe, pela conservação da massa, 
que as velocidades nas seções de entrada e saída sejam as mesmas 
(Ventrada = Vsaída), e não se observam variações significativas de 
elevação ao longo do equipamento de bombeio.
Assim:
bomba
saída entrada
����
Em se tratando de um fluido incompressível:
p∆
bomba
bomba
Podemos expressar esse resultado, também, como:
h∆ W
m
p∆
bomba
bomba bomba
.
.
 E verificar que o bombeamento proporciona um ganho de 
energia do fluido na forma de pressão (e não de energia cinética do 
fluido). Essa constatação advém do fato de a carga cinética, repre-
sentada pela velocidade média na seção, permanecer inalterada, 
em virtude de a seção da tubulação não mudar desde a entrada 
até a saída da bomba.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
263
A ideia é que, em um sistema bomba-tubulação, a altura 
de carga produzida pela bomba (Δhbomba) é usada para superar 
a perda de carga de toda a tubulação. Portanto, a vazão em tal 
sistema depende das características da bomba e das perdas de 
carga maiores e menores da tubulação.
Lembrando que a bomba é um equipamento que fornece 
energia ao fluido e, portanto, deve ser acionada para funcionar. 
Podemos expressar a sua eficiência de funcionamento relacio-
nando a potência por ela desenvolvida (e transferida ao fluido) e 
o requerimento para o seu funcionamento:
bomba
bomba
entrando
W
W .
.
Notamos que, na aplicação da equação da energia a um 
sistema de tubos, podemos, algumas vezes, escolher os pontos 1 e 2 
de modo a incluiruma bomba no sistema. Para esses casos, podemos 
simplesmente incluir a altura de carga da bomba como uma perda 
negativa, uma vez que a bomba adiciona energia ao fluido.
p gz gz h hLT bomba1 1
2
2
2
2
2 2 
6.7.1 Cavitação
Uma propriedade dos fluidos de grande importância para 
a operação de bombeamento é a pressão de vapor ou de saturação 
do fluido na temperatura da operação.
Estamos acostumados a imaginar a mudança de fases 
de líquido para vapor ocorrendo sempre por um processo de 
6 Escoamento viscoso
264
fornecimento de calor ao líquido, até que este ganhe energia sufi-
ciente para mudar de fase a uma dada temperatura.
A Figura 114, porém, nos mostra que a mudança de fases L-V 
pode também ocorrer de outra maneira. A Figura 114 representa 
um diagrama P-v-T para uma substância pura. Nesse diagrama, a 
porção mais à direita do domo representa a fase de vapor, enquanto a 
porção mais à esquerda representa a região da fase líquida. Podemos 
observar que um líquido a uma dada temperatura pode ser par-
cialmente vaporizado mediante uma diminuição da pressão do 
escoamento. Quando, ao diminuir a pressão, o ponto de trabalho 
cruza a curva de saturação do fluido, verifica-se que o fluido passa 
a ser uma mistura líquido-vapor.
Figura 114 – Diagrama P-v-T para uma substância pura 
Fonte: adaptado de Moran et al (2018)
Assim, se a Psistema < Pvapor em algum ponto do escoamento, são 
geradas bolhas de vapor ou bolhas de cavitação. Tipicamente, esse é 
Camila Pacelly Brandão de Araújo
265
um potencial problema que envolve as operações de bombeamento, 
devido ao fato de se verificar, no interior dos equipamentos, regiões 
de baixa pressão (necessárias para que o fluido seja succionado). 
Se a pressão nessas regiões ficar em um valor abaixo do valor de 
saturação do fluido à temperatura de escoamento, surgirão as 
bolhas de vapor, as quais implodem na medida que atingem zonas 
de alta pressão novamente (dentro do próprio equipamento) e 
criam ondas de choques dentro do fluido.
O fenômeno de cavitação é causa comum para a queda 
de desempenho e até mesmo para a erosão de pás de hélices, de 
turbinas e de bombas e deve ser evitada porque reduz a eficiência 
da operação, gera vibrações e ruídos e causa severas avarias.
Um critério simples para evitar a ocorrência de cavitação é o 
de que a carga líquida de pressão disponível na sucção (NPSH – Net 
Pressure Suction Head) da bomba seja superior a um valor mínimo, 
o qual está relacionado com a pressão de saturação do fluido.
NPSH NPSHdisponível requerido>
 
6.8 Escoamento viscoso externo
Oba! Você chegou até aqui! Está muito orgulhoso de ter 
chegado ao nosso último tópico em Mecânica dos Fluidos? Eu estou!
Agora, começaremos a tratar do escoamento viscoso quando 
ele ocorre por sobre algum elemento, ou seja, o escoamento 
externo viscoso! Os escoamentos externos são observados em 
diversas situações:
• na análise do escoamento do ar em torno dos vários com-
ponentes de uma aeronave;
6 Escoamento viscoso
266
• no escoamento de um fluido em torno das pás de turbinas;
• em torno de automóveis, em edificações, em estádios 
esportivos, em pilares de pontes;
• no projeto das chaminés industriais e nas gotículas de 
pulverização;
• no projeto de submarinos, na previsão da sedimentação 
de rios, em glóbulos vermelhos do sangue etc.
No início deste capítulo, tratamos do caso simples do desen-
volvimento de camada-limite em uma placa plana. Esse é o caso de 
análise mais simples para o escoamento externo. Nessa situação, o 
fluido tem sua inércia consumida apenas por efeitos viscosos, sendo 
a velocidade e a quantidade de movimento do fluido determinadas 
apenas por esses dois parâmetros. A pressão, que normalmente é 
o principal agente do escoamento, foi admitida como constante 
para efeito didático na apresentação da camada-limite.
Quer retomar um pouco da nossa discussão? Volte para a 
seção 3.0 para refrescar a memória!
Agora trataremos do caso em que existem gradientes de 
pressão no escoamento externo. A Figura 115 apresenta o esco-
amento por sobre um elemento cilíndrico submerso quando os 
efeitos viscosos são desprezados (a) e considerados (b).
Camila Pacelly Brandão de Araújo
267
Figura 115 – Escoamento por sobre um objeto cilíndrico submerso 
Fonte: adaptado de Fox (2008)
Ao contrário do caso de placa plana, a seção disponível para 
o escoamento do fluido é reduzida pela disposição do cilindro, a 
qual força o fluido a se desviar dele, mesmo para o escoamento 
de fluido ideal (a). É possível observar que as linhas de corrente 
se aproximam na medida que o fluido se desvia do tubo. Como 
vimos anteriormente, quando isso ocorre, inferimos o aumento da 
velocidade do escoamento, já que as linhas de corrente são sempre 
tangentes ao vetor velocidade e, por definição, não há escoamento 
por meio delas.
Na perspectiva da equação de Bernoulli, para o escoamento 
invíscido entre dois pontos ao longo de uma linha de corrente, 
um aumento da velocidade corresponde sempre a um decréscimo 
da pressão no escoamento de fluido ideal. Para o escoamento em 
análise, a pressão apresenta um valor máximo no ponto A da Figura 
115a e decresce até atingir o menor valor, quando a velocidade é 
máxima, no ponto B. A pressão volta a crescer entre os pontos 
B e C, retornando o valor máximo do ponto A e o escoamento 
torna-se simétrico em relação aos eixos x e y. 
6 Escoamento viscoso
268
Muito embora a relação entre a pressão e a velocidade não seja 
descrita pela mesma equação, qualitativamente observa-se o mesmo 
comportamento da pressão em torno do cilindro sob a carga do fluido 
real da Figura 115b. A pressão também cresce entre os pontos B e D, 
mas não atinge o valor máximo verificado no ponto de estagnação A. 
Essa diferença de pressão entre as faces anterior e posterior do corpo 
submerso que faz surgir uma força que tende a arrastar o cilindro na 
direção do escoamento é conhecida como força de arrasto. 
A consideração da natureza viscosa do escoamento também 
impõe ao processo a formação de uma camada-limite a partir do ponto 
de estagnação A. Essa camada-limite, inicialmente laminar, cresce, 
similarmente ao observado para o caso da placa plana, até se tornar 
instável em determinado ponto onde qualquer perturbação (ruído, 
vibração ou transferência de calor) pode concorrer para sua transição 
para o regime turbulento. Este fenômeno é identificado pelo ponto B 
na Figura 115b e esse ponto é denominado de ponto de transição. A 
camada-limite turbulenta mantém-se desenvolvendo até que ocorre 
o fenômeno do descolamento em algum ponto posterior (D).
O descolamento da camada-limite pode ser analisado consi-
derando-se uma partícula fluida no interior da camada-limite entre 
os pontos A e D. Entre A e B, a partícula com uma certa quantidade 
de movimento é impulsionada pela diferença favorável de pressão 
entre estes pontos para vencer a resistência viscosa ao seu escoamento. 
Entre os pontos B e D, no entanto, ambas a diferença de pressão e 
a força de atrito viscoso reúnem-se para impedir que a partícula 
escoe entre esses pontos. Como a partícula já não dispõe de inércia 
suficiente para vencer este duplo campo contrário ao movimento, a 
partícula é desacelerada até o repouso e passa a deslocar-se segundo 
a orientação D-B, caracterizando o descolamento designado pelo 
ponto B na ilustração.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
269
Após o descolamento, o escoamento torna-se completamente 
desordenado e ocorre a formação da esteira de vórtices, que perdura 
até que a turbulência seja amortecida por efeitos viscosos. 
6.9 Escoamento Fluido em torno de corpos submersos
Agora que já entendemos como ocorre a formação de uma 
camada-limite sobre um objeto submerso, vamos analisar as forças 
que sobre ele irão atuar em decorrência desse escoamento?
Inicialmente, devemos ter em mente que, sempre que houver 
movimento relativo entre um corpo sólido e o fluido viscoso que 
o circunda, o corpo experimentará uma força resultante.O módulo dessa força poderá depender de muitos fatores 
– certamente da velocidade relativa, mas também da forma e 
do tamanho do corpo, e das propriedades do fluido (ρ, μ etc.). 
Conforme o fluido escoa em torno do corpo, ele gerará tensões 
superficiais sobre cada elemento da superfície, e é isso que fará 
aparecer a força resultante.
Suponha a ação de uma força resultante conforme ilustrado 
na Figura 116, atuando sobre um objeto de forma qualquer sub-
merso em um fluido viscoso que escoa.
Essa força resultante pode ser decomposta em duas com-
ponentes: uma na direção do movimento (FD – Força de arrasto) 
e uma na direção perpendicular (FL – Força de sustentação) ao 
movimento do fluido.
�
  
F F FR D L� �
6 Escoamento viscoso
270
Da geometria do processo, podemos inferir que:
F F cosD R� � ��
E
F FL R� � �� �
Figura 116 – Força resultante no escoamento externo viscoso 
Fonte: adaptado de Çengel (2008)
Tendo em vista que as tensões superficiais atuantes sobre 
o objeto submerso são compostas de tensões tangenciais (devido 
à ação viscosa) e de tensões normais (devido à pressão local), 
podemos escrever:
dF PdAcoscos da senD � � � �� � �� � �� � �
dF PdA dacosL � � � �� � �� � �� �
Camila Pacelly Brandão de Araújo
271
Se imaginarmos uma placa plana horizontal, como a descrita 
na Figura 117, podemos observar que a força de arrasto será depen-
dente somente da contribuição dos efeitos cisalhantes (θ = 90°).
F dF PdAcoscos da senD D dA� � � � �� � �� � � � �� � �
Se, ao contrário, a placa plana tem orientação vertical, a 
força de arrasto será dependente exclusivamente da componente 
relativa às tensões normais (P) (θ = 0°).
Figura 117 – Avaliação da força de arrasto sobre uma placa plana 
horizontal e vertical 
Fonte: adaptado de Çengel (2008)
Dividimos, portanto, a força de arrasto em duas compo-
nentes: o arrasto de atrito e o arrasto de pressão.
F F FD D atrito D pressão� �,� ,�
6 Escoamento viscoso
272
Resumo
Neste capítulo, utilizamos a equação de conservação do 
momento linear e a Lei da Viscosidade de Newton para descrever o 
escoamento viscoso laminar em termos quantitativos e descrevê-lo 
completamente. Para o escoamento turbulento, por não haver uma 
expressão tal como a de Newton, utilizamos a ferramenta de análise 
dimensional para descrever a perda de energia mecânica em um 
escoamento viscoso. Em seguida, relacionamos a perda de carga 
ao fator de atrito e apresentamos formas de estimá-lo: por meio 
do diagrama de Moody e de correlações empíricas. 
Aplicamos a equação de conservação para um escoamento 
viscoso para descrevermos o comportamento de bombas e fizemos 
análise similar para o escoamento externo viscoso; descrevemos 
as forças de arrasto e de sustentação que surgem nesse tipo de 
escoamento. Também descrevemos o arrasto de atrito e de pressão 
e os calculamos.
Exercícios 
1) Em um conjunto cilindro-pistão, uma região de alta 
pressão é criada. O diâmetro do pistão é 8mm e ele penetra 50mm 
no cilindro. A folga radial entre o pistão e o cilindro é de 0,3mm. 
O óleo SAE 10W a 350°C (viscosidade absoluta = 0,04 N.s/m²) 
é utilizado como fluido de lubrificação nessa folga. Considere 
que o escoamento de óleo nessas condições é laminar e despreze 
deformações elásticas do pistão e do cilindro causadas pela pres-
são. Estime a vazão por unidade de largura para uma pressão no 
cilindro de 500 MPa.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
273
2) Um mancal de deslizamento selado é formado por cilin-
dros concêntricos. Os raios interno e externo são 25 e 26mm, 
respectivamente, o comprimento do cilindro interno é 100mm e ele 
tem velocidade angular de 2800 rpm. A folga radial é preenchida 
com óleo em movimento laminar. Considerando que o perfil de 
velocidade é linear através da folga e que o torque necessário para 
girar o cilindro interno é 0,03 N.m., estime a viscosidade do óleo.
3) Um medicamento líquido, com a viscosidade e a massa 
específica da água, deve ser administrado através de uma agulha 
hipodérmica. O diâmetro interno da agulha é de 0,25mm e o seu 
comprimento é de 50mm. Sabendo que, em valores de Reynolds até 
o valor de 2100, o escoamento é laminar, determine: (a) A máxima 
vazão em volume para o qual o escoamento será laminar; (b) A 
queda de pressão requerida para fornecer a vazão máxima.
4) Perda de carga pode ser definida como sendo a perda de 
energia que o fluido sofre durante o escoamento viscoso. Representa 
a perda de energia mecânica em um escoamento viscoso devido 
ao atrito entre o fluido e a tubulação e pode ter sua magnitude 
variável em função de características geométricas do escoamento, 
das propriedades do fluido e das condições de fluxo de fluido. A 
respeito disso, julgue os seguintes itens como verdadeiros ou falsos. 
Justifique suas escolhas.
( ) A perda de carga da válvula de retenção é igual à perda 
de carga da válvula de gaveta.
( ) Para duas tubulações de mesmo material, de mesmo 
comprimento e de mesmo diâmetro, a perda de carga é maior no 
tubo em que se observa a menor vazão. 
6 Escoamento viscoso
274
( ) O regime de escoamento (laminar ou turbulento) não 
influencia na perda de carga que ocorre no escoamento de um 
fluido através de uma tubulação.
( ) A perda de carga ao longo de um tubo de uma insta-
lação predial depende do comprimento, do diâmetro interno, da 
espessura e da rugosidade da superfície interna do tubo. 
( ) A perda de carga de um fluido ao longo de uma tubulação 
é proporcional ao quadrado da sua vazão. 
5) Osborne Reynolds, por meio de experimentos, verificou 
que fluidos reais (viscosos) escoam em regimes caracterizados 
como laminar ou turbulento. Sabendo que o fluido escoa em regime 
laminar, sendo a massa específica do fluido de 1800kg/m³, viscosi-
dade de 0,20kg/m.s, ao longo de 10m da tubulação com diâmetro 
de 2cm e o regime de escoamento obedece a função de velocidade 
para qualquer valor do raio do tubo v (r) = 8 (1 - (r/R)²), determine 
o número de Reynolds e a vazão volumétrica em m³/h. Calcule o 
comprimento de entrada e esquematize abaixo a camada -limite 
de uma tubulação e a região onde o escoamento se apresenta com 
o regime plenamente em desenvolvimento. Determine a tensão de 
cisalhamento na parede da tubulação.
6) O petróleo bruto recém-extraído do pré-sal apresenta 
peso específico de 8500N/m³ e viscosidade dinâmica de 4.10-3 
Pa.s. Esse óleo deve escoar em um oleoduto de 1,2m de diâmetro 
em uma tubulação rugosa (ε = 0,091mm). Determine a tensão de 
cisalhamento na parede da tubulação de 300 metros de compri-
mento, onde o fluido escoa a uma velocidade média igual a 3,0 m/s. 
A velocidade para r = R/2,5.
Camila Pacelly Brandão de Araújo
275
7) Numa certa instalação de ar-condicionado, é requerida 
uma vazão de 35m³/min de ar nas condições padrão. Um duto 
quadrado fabricado em chapa de aço fina (e = 0,045mm), com 0,3m 
de lado, deve ser usado. Determine a queda de pressão para um 
trecho de 30m de um duto horizontal. Considere a massa específica 
do ar sendo 1,23kg/m³ e sua viscosidade dinâmica de 1,45.10-5Pa.s.
8) Em um campo de exploração, água para resfriamento de 
perfuratrizes de rocha é bombeada em uma tubulação de alumínio 
com rugosidade de 1,5.10-6m de um reservatório para o local da 
perfuração, conforme a figura abaixo. A vazão deve ser de 40L/s 
e a água (ρ = 1000kg/m³ e υ = 8.10-7m²/s) deve deixar o tubo com 
uma velocidade de 37m/s. a) Calcule o número de Reynolds e 
determine o fator de atrito usando a Equação de Colebrook e pelo 
gráfico de Moody; b) calcule a perda de carga distribuída e a perda 
de carga localizada e, c) determine a potência de acionamento da 
bomba com um rendimento de 80%.
6 Escoamento viscoso
276
9) A esfera mostrada na figura abaixo apresenta diâmetro 
e massa iguais a 51mm e 64g. Observe que a esfera está sendo 
sustentada por um jato de ar. O coeficiente de arrasto da esfera vale 
0,5. Determine a pressão indicada no manômetro, considerando 
que os efeitos gravitacionais e os devidosao atrito são desprezíveis 
no escoamento entre a seção onde está instalado o manômetro e 
a seção de descarga do bocal.
10) Um caminhão, com massa total igual a 22,7 toneladas, 
perde o freio e desce a ladeira de concreto indicada na figura 
abaixo. A velocidade terminal do caminhão, V, é determinada 
pelo equilíbrio das forças peso, pela resistência ao rolamento e 
pelo arrasto aerodinâmico. Admita que a resistência ao rolamento 
é igual a 1,2% do peso do caminhão e que o coeficiente de arrasto é 
0,96 quando o defletor de ar montado na cabine não está presente 
e 0,70 quando o defletor está presente. Determine a velocidade 
terminal do caminhão nestas duas situações.
Lista de figuras
Figura 1 – Escopo da Mecânica dos Fluidos...................................................8
Figura 2 – Estados físicos da matéria e forças intermoleculares................9
Figura 3 – Alguns tipos de esforços mecânicos aplicados a um material...9
Figura 4 – Comportamento de sólidos e fluidos frente a um 
esforço cisalhante................................................................................................10
Figura 5 – Métodos de descrição do escoamento de fluidos........................13
Figura 6 – A hipótese do contínuo e a determinação da massa específica...14
Figura 7 – Sala de aula hipotética e regiões de massa específica distintas 
no domínio...........................................................................................................16
Figura 8 – Forças atuantes sobre um meio contínuo..................................19
Figura 9 – Componentes da força e das tensões sobre o elemento de área 
orientado conforme os eixos coordenados x, y, z........................................20
Figura 10 – Estado de tensões de uma partícula fluida e tensor de tensões....20
Figura 11 – Escoamento de um fluido entre duas placas planas paralelas...21
Figura 12 – Comportamento reológico de fluidos newtonianos e 
não newtoniano...................................................................................................25
Figura 13 – Comportamento da viscosidade de fluidos em 
função da temperatura..................................................................................26
Figura 14 – Alguns exemplos de efeitos da tensão superficial.................27
Figura 15 – Forças não balanceadas na superfície de um líquido...........28
Figura 16 – Ângulo de contato para avaliação da molhabilidade de um 
fluido sobre uma superfície..............................................................................28
Figura 17 – Estimativa da altura de um menisco de um dado fluido....29
Figura 18 – Efeito capilar para água e para o mercúrio.............................29
Figura 19 – Dependência do campo de velocidades e classificação com 
respeito às coordenadas espaciais...................................................................32
Figura 20 – Regimes de escoamento interno de fluidos............................33
Figura 21 – Trajetórias de partículas em escoamentos laminar e turbulento 
unidimensionais.................................................................................................................34
Figura 22 – Razão de pesos específicos inicial e final com respeito ao Ma....34
Figura 23 – Configurações espaciais do escoamento......................................35
Figura 24 – Linhas de tempo como forma de visualização de um escoamento.....36
Figura 25 – Linhas de trajetória..................................................................................36
Figura 26 – Linhas de emissão....................................................................................37
Figura 27 – Linhas de corrente desenhadas para uma região de um escoamento..37
Figura 28 – Ilustração de uma linha de corrente e sua relação com os compo-
nentes do campo de velocidades..............................................................................38
Figura 29 – Elemento prismático triangular e forças sobre ele atuantes...........43
Figura 30 – Aplicação do Princípio de Pascal em um elevador mecânico........45
Figura 31 – Elemento fluido infinitesimal em um sistema de coordenadas 
cartesianas.............................................................................................................45
Figura 32 – Princípio de Stevin..................................................................................48
Figura 33 – Considerações na obtenção da equação geral da estática........49
Figura 34 – Variação de pressão no interior de uma massa fluida......................50
Figura 35 – Relação linear da pressão com a profundidade em uma massa 
de fluido incompressível........................................................................................51
Figura 36 – Variação de temperatura com a altitude na atmosfera-padrão nos 
Estados Unidos...........................................................................................................53
Figura 37 – Níveis de pressão....................................................................................54
Figura 38 – Barômetro................................................................................................55
Figura 39 – Tubo piezométrico...............................................................................56
Figura 40 – Tubo em U.............................................................................................57
Figura 41 – Medição de diferenças de pressão usando um tubo em U...........58
Figura 42 – Manômetro de tubo inclinado...............................................................59
Figura 43 – Manômetro de Bourdon.........................................................................60
Figura 44 – Transdutor de pressão.........................................................................61
Figura 45 – Distribuição da pressão em uma superfície horizontal plana.....63
Figura 46 – Distribuição da carga de pressão hidrostática em uma superfície 
plana vertical.............................................................................................................63
Figura 47 – Superfície plana inclinada e a composição de força..................64
Figura 48 – Determinação do centro geométrico de uma superfície.................65
Figura 49 – Coordenadas do centro geométrico e o momento de inércia de 
algumas figuras.........................................................................................................68
Figura 50 – Determinação da força hidrostática em superfícies curvas 
submersas...........................................................................................................69
Figura 51 – Determinação da força hidrostática em superfície está acima 
do líquido...............................................................................................................70
Figura 52 – Exemplos de situação em que o empuxo pode ser verificado.......70
Figura 53 – Empuxo sofrido por um elemento submerso.........................71
Figura 54 – Estabilidade de embarcações......................................................73
Figura 55 – Abordagem por sistemas versus abordagem por volume de 
controle............................................................................................................................79
Figura 56 – Representação do volume de controles e superfície de controle 
em uma tubulação...................................................................................................79
Figura 57 – Convenção de sinais para a Primeira Lei da Termodinâmica.........82
Figura 58 – Porção de fluido em escoamento nos instantes t0 (a) e t0 + ∆t (b).......85
Figura 59 – Vista ampliada da sub-região III.......................................................87
Figura 60 – Avaliação do produto escalar..................................................................88
Figura 61 – Representação da conservação da massa para um V.C...........91
Figura 62 – Volume de controle fixo.....................................................................94Figura 63 – Volume de controle em movimento uniforme...............................95
Figura 64 – Trabalho realizado sobre o volume do controle.................................97
Figura 65 – Regiões de escoamento viscoso e não viscoso de um escoamento 
sobre um aerofólio....................................................................................................102
Figura 66 – Funcionamento de um dispositivo Tubo de Pitot para medição 
de velocidades..........................................................................................................104
Figura 67 – Análise integral para um V.C..........................................................109
Figura 68 – Análise diferencial................................................................................109
Figura 69 – Transformação das equações integrais para a formulação 
diferencial.........................................................................................................................111
Figura 70 – Elemento infinitesimal e respectivas componentes da velocidade e 
valores de massa específica e pressão....................................................................111
Figura 71 – Expansão em série de Taylor para o produto componente da 
velocidade em cada direção...................................................................................112
Figura 72 – Manipulação matemática para conservação da massa 
diferencial...................................................................................................................113
Figura 73 – Volume de controle infinitesimal em coordenadas cilíndricas..115
Figura 74 – Conservação da massa em coordenadas cilíndricas - avaliação de 
termos.......................................................................................................................115
Figura 75 – Componentes do movimento de uma partícula fluida........116
Figura 76 – Translação de uma partícula fluida.....................................................117
Figura 77 – Aceleração da partícula fluida.......................................................118
Figura 78 – Aceleração convectiva em um escoamento em regime permanente..119
Figura 79 – Deformação linear pura de uma partícula fluida........................120
Figura 80 – Diferenças de velocidade ao longo da direção x para uma partícula 
fluida.....................................................................................................................121
Figura 81 – Rotação pura da partícula fluida em torno do eixo z....................122
Figura 82 – Rotação de uma partícula fluida em torno de z........................123
Figura 83 – Variação de valores da componente v da velocidade.....................124
Figura 84 – Partícula fluida em deformação angular pura...........................126
Figura 85 – Decomposição da força de campo gravitacional para uma 
partícula fluida........................................................................................................129
Figura 86 – Tensões em cada uma das faces da partícula fluida para a 
direção X...............................................................................................................130
Figura 87 – Composição de forças de campo e superfície e suas componentes 
para uma partícula fluida.....................................................................................131
Figura 88 – Somatório de Forças atuando sobre uma partícula fluida......132
Figura 89 – Dimensão versus unidade de medida......................................139
Figura 90 – SI e suas grandezas e unidades básicas.............................................140
Figura 91 – Homogeneidade dimensional na soma de frutas.............................141
Figura 92 – Experimentação envolvida no estudo do escoamento ao redor 
de uma esfera..........................................................................................................142
Figura 93 – Descrição dos experimentos e dados para o problema do esco-
amento ao redor da esfera.....................................................................................142
Figura 94 – Relação entre arrasto e nº de Reynolds para o escoamento 
sobre uma esfera..................................................................................................146
Figura 95 – Critério de similaridade geométrica................................................147
Figura 96 – Critério de similaridade cinemática.................................................147
Figura 97 – Critério de similaridade dinâmica.....................................................148
Figura 98 – Característica viscosa dos fluidos newtonianos em um escoa-
mento laminar entre placas planas.......................................................................156
Figura 99 – Experimento de Reynolds e regimes de escoamento para tubos....157
Figura 100 – Desenvolvimento de camada-limite sobre uma placa plana...158
Figura 101 – Aspectos qualitativos do escoamento interno viscoso......160
Figura 102 – Elemento infinitesimal para análise do escoamento viscoso 
incompressível......................................................................................................162
Figura 103 – Elemento infinitesimal e forças atuantes sobre o V.C...............163
Figura 104 – Distribuição de tensão de cisalhamento e perfil de velocidades 
em uma seção do escoamento...............................................................................164
Figura 105 – Diferenças de pressão ao longo do escoamento em uma tubulação...164
Figura 106 – Comportamento da velocidade no escoamento turbulento......169
Figura 107 – Tensão cisalhante para o escoamento laminar (esquerda) e 
turbulento (direita)................................................................................................169
Figura 108 – Distribuição da tensão cisalhante em uma seção transversal 
para o escoamento turbulento...............................................................................171
Figura 109 – Relação entre o número de Reynolds e o expoente n da lei 
de potência.......................................................................................................172
Figura 110 – Efeito do número de Reynolds sobre o perfil de velocidades......172
Figura 111 – Rugosidades em uma tubulação..................................................178
Figura 112 – Representação do Diagrama de Moody.......................................179
Figura 113 – Método dos comprimentos equivalentes..................................181
Figura 114 – Diagrama P-v-T para uma substância pura...............................184
Figura 115 – Escoamento por sobre um objeto cilíndrico submerso.............186
Figura 116 – Força resultante no escoamento externo viscoso.........................188
Figura 117 – Avaliação da força de arrasto sobre uma placa plana horizontal 
e vertical...............................................................................................................189
Lista de símbolos
ρ – massa específica (kg/m³)
σ – tensão normal (N/m²)
τ – tensão cisalhante (N/m²) 
η – viscosidade aparente
μ – viscosidade absoluta (Pa.s)
ω – velocidade angular (rad/s)
δ – espessura da camada limite
ν – viscosidade cinemática (m²/s²)
 – Campo de velocidade
∀∀ - Volume (m³)
SG – Densidade relativa
d – Densidade absoluta
γ – peso específico (N/m³)
v – volume específico (m³/kg)
Fs – Forças de superfície (N)
FB – Forças de campo (N)
 – Taxa de realização de trabalho (W)
eixo – Taxa de realização de trabalho de eixo (W)
normal – Taxa de realização de trabalho pelas tensões normais (W)
cisalhamento – Taxa de realização de trabalho pelas tensões cisalhantes (W)
outros – Taxa de realização de trabalho por outras fontes (W)
Referências
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Alegre, 2011. 209p.
BRUNETTI, Franco. Mecânica dos fluidos. 2. ed. São Paulo: Pearson 
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ÇENGEL, Yunus A. et al. Mecânica dos fluidos: fundamentos e 
aplicações.São Paulo: McGraw-Hill, 2007, 816p. ISBN: 9788586804588.
DERIVADA. In: WIKIPEDIA, 2021. Disponível em <https://
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DUARTE, Raimundo N. C. Mecânica dos Fluidos Aplicada – Volume 
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FOX, Robert W.; MCDONALD, Alan T.; PRITCHARD, Philip J. 
Introdução à mecânica dos fluidos. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros 
Técnicos e Científicos Editora LTDA., 2011. 710p. ISBN: 9788521617570.
MAGALHÃES, C. O Sistema Internacional de Unidades (SI), Rev. 
Ciência Elem., V9(01):003. doi.org/10.24927/rce2021.003, 2021.
MORAN, Michael J., SHAPIRO, Princípios de termodinâmica para 
engenharia. 6ª. ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos 
Editora LTDA., 2009, 800p. ISBN 978-85-216-1689-4.
MUNSON, Bruce Roy; YOUNG, Donald F; OKIISHI, T. H. 
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MUNSON, Bruce Roy; YOUNG, Donald F; OKIISHI, T. H. Uma introdução 
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WHITE, Frank M. Mecânica dos fluidos. 6. ed. Porto Alegre: AMGH, 
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VILANOVA, Luciano C. Mecânica dos fluidos. 3. ed. Santa Maria, Rio 
Grande do Sul: Colégio Técnico Industrial de Santa Maria, Curso em 
Automação Industrial, 2011, 82p.
WHITE, Frank M. Mecânica dos fluidos. 4. ed. São Paulo: McGraw-
Hill, 1999. 448p.
 Sobre a autora
Graduada, mestre e doutora em Engenharia Química pela 
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN (2013, 
2015 e 2018, respectivamente). Atualmente, é Professora Adjunta 
do Magistério Superior na Universidade Federal do Rio Grande 
do Norte (UFRN), atuando na disciplina de Mecânica dos Fluidos 
para a Escola de Ciência e Tecnologia e na linha de pesquisa de 
Fluidodinâmica Computacional aplicada à escoamentos hiper-
sônicos para a área de Engenharia Aeroespacial e com Processos 
Químicos e Catálise, com ênfase em Reatores Heterogêneos para o 
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química da UFRN.