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Aula 07 Matemática p/ PM-SP (Soldado) - Com videoaulas Professores: Arthur Lima, Equipe Arthur Lima MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1 AULA 06: RACIOCÍNIO LÓGICO SUMÁRIO PÁGINA 1. Introdução 01 2. Resolução de questões 02 3. Questões apresentadas na aula 113 4. Gabarito 158 Caro aluno, Hoje entraremos no seguinte tópico do seu edital: Raciocínio lógico. Resolução de situações-problema. Média aritmética simples e ponderada. Este é um tópico bastante abrangente, cobrindo praticamente tudo o que pode ser cobrado em termos de Raciocínio Lógico. É por este motivo que esta aula é bastante extensa, de modo a permitir que você exercite bastante. Tenha uma boa aula, e entre em contato comigo sempre que precisar! 1. INTRODUÇÃO A melhor forma de tratar esses assuntos é através da resolução de vários exercícios. Sempre que houver necessidade, introduzirei alguns comentários antes ou durante a resolução. Por fins didáticos, separei as questões por “tipo”. A sua prova não virá dessa maneira, portanto vá desenvolvendo a habilidade de detectar o “tipo” de questão que você está diante! MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2 2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 2.1 QUESTÕES DE ASSOCIAÇÕES LÓGICAS Nas questões sobre associações você normalmente será apresentado a um conjunto de pessoas e a uma série de informações com objetivo de associar à cada pessoa algumas características (ex.: idade, profissão etc). Veja logo na primeira questão abaixo a técnica básica para resolver esse tipo de questão. Ela consiste em montar uma tabela, contendo todas as possíveis associações, para então analisar as informações dadas no enunciado. 1. FCC – TRT/19ª – 2011) Ricardo, Mateus e Lucas são três amigos que cursam faculdades de medicina, engenharia e direito. Cada um dos três usa um meio diferente de transporte para chegar à faculdade: ônibus, automóvel e bicicleta. Para descobrir o que cada um cursa e o meio de transporte que utilizam, temos o seguinte: − Mateus anda de bicicleta; − Quem anda de ônibus não faz medicina; − Ricardo não cursa engenharia e Lucas estuda direito. Considerando as conclusões: I. Lucas vai de ônibus para a faculdade de direito. II. Mateus estuda medicina. III. Ricardo vai de automóvel para a faculdade. Está correto o que consta em a) I, apenas. b) III, apenas. c) II e III, apenas. d) I e III, apenas. e) I, II e III. RESOLUÇÃO: Temos 3 amigos (Ricardo, Mateus e Lucas), 3 cursos (medicina, engenharia e direito) e 3 meios de transporte (ônibus, automóvel e bicicleta). Gosto de resolver este tipo de questão montando a tabela abaixo, onde coloco todas as possibilidades e então, analisando as informações dadas pelo enunciado, vou “cortando” aquelas alternativas erradas: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3 Nome Curso Transporte Ricardo Medicina, engenharia, direito ônibus, automóvel e bicicleta Mateus Medicina, engenharia, direito ônibus, automóvel e bicicleta Lucas Medicina, engenharia, direito ônibus, automóvel e bicicleta Veja que já grifei “bicicleta” para Mateus e cortei os outros meios de transporte dele. Também cortei a opção “bicicleta” dos outros 2 rapazes, uma vez que ela já tem dono. Isso porque a primeira informação era “Mateus anda de bicicleta”. Vejamos outra informação do enunciado: − Ricardo não cursa engenharia e Lucas estuda direito. Com isso, podemos cortar “engenharia” dos cursos de Ricardo, grifar “direito” como sendo o curso de Lucas, e cortar “direito” de Ricardo e Mateus. Veja o que sobra: Nome Curso Transporte Ricardo Medicina, engenharia, direito ônibus, automóvel e bicicleta Mateus Medicina, engenharia, direito ônibus, automóvel e bicicleta Lucas Medicina, engenharia, dire ito ônibus, automóvel e bicicleta Veja que sobrou apenas Medicina para Ricardo. Conseqüentemente, o curso de Mateus é engenharia. Colocando isso na tabela, temos: Nome Curso Transporte Ricardo Medicina , engenharia, direito ônibus, automóvel e bicicleta Mateus Medicina, engenharia , direito ônibus, automóvel e bicicleta Lucas Medicina, engenharia, di reito ônibus, automóvel e bicicleta A informação que ainda não analisamos é: − Quem anda de ônibus não faz medicina; Deixamos ela por último pois ela era a mais vaga. Sabemos que Ricardo faz medicina, portanto essa informação nos diz que ele não anda de ônibus, sobrando apenas automóvel para ele. Dessa forma, o meio de transporte de Lucas será o ônibus. Temos o seguinte: Nome Curso Transporte Ricardo Medicina , engenharia, direito ônibus, automóvel e bicicleta Mateus Medicina, engenharia , direito ônibus, automóvel e bicicleta Lucas Medicina, engenharia, direito ônibus , automóvel e bicicleta Vamos analisar agora as conclusões que o exercício apresentou: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4 I. Lucas vai de ônibus para a faculdade de direito. verdadeiro II. Mateus estuda medicina. falso, ele estuda engenharia III. Ricardo vai de automóvel para a faculdade. verdadeiro. Dessa forma, apenas as alternativas I e III estão corretas (letra D). Resposta: D. 2. FGV – Polícia Civil/MA – 2012) Abelardo, Benito e Caetano conversam sobre futebol em um bar. Dois deles são irmãos e o outro é filho único. O dono do bar ouviu parte da conversa e ficou sabendo que um deles torce pelo Sampaio Corrêa, outro pelo Maranhão e o outro pelo Moto Club. Prestando mais atenção percebeu ainda que: • Abelardo não torce pelo Sampaio Corrêa. • Benito não torce pelo Maranhão. • O irmão de Caetano torce pelo Moto Club. • O que não tem irmão torce pelo Sampaio Corrêa. Pode-se concluir que: (A) Abelardo é irmão de Benito. (B) Benito é irmão de Caetano. (C) Benito torce pelo Moto Club. (D) Caetano torce pelo Maranhão. (E) Abelardo torce pelo Maranhão. RESOLUÇÃO: A tabela abaixo reflete as possibilidades de associação: Nome Parentesco Time Abelardo Irmão, irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club Benito Irmão, irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club Caetano Irmão, irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club Vejamos o que fazer com as informações adicionais: • Abelardo não torce pelo Sampaio Corrêa: podemos cortar esse time de Abelardo. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 5 • Benito não torce pelo Maranhão: podemos cortar esse time de Benito. • O irmão de Caetano torce pelo Moto Club: Caetano tem um irmão. • O que não tem irmão torce pelo Sampaio Corrêa: Caetano não torce para esse time, pois ele tem irmão. Assim: Nome Parentesco Time Abelardo Irmão, irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club Benito Irmão, irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club Caetano Irmão, irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club Note que apenas Benito pode torcer para o Sampaio Corrêa. E, como “o que não tem irmão torce pelo Sampaio Corrêa”, Benito é filho único. Com isso, temos: Nome Parentesco Time Abelardo Irmão,irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club Benito Irmão, irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club Caetano Irmão, irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club Lembrando ainda que “O irmão de Caetano torce pelo Moto Club”, então Abelardo torce para o Moto Club, sobrando o Maranhão para Caetano: Nome Parentesco Time Abelardo Irmão, irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club Benito Irmão, irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club Caetano Irmão, irmão ou filho único Sampaio Corrêa, Maranhão ou Moto Club MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 6 Julgando as alternativas, temos: (A) Abelardo é irmão de Benito: ERRADO. Benito é filho único. (B) Benito é irmão de Caetano: ERRADO, pois Benito é filho único. (C) Benito torce pelo Moto Club: ERRADO, ele torce para o Sampaio Corrêa. (D) Caetano torce pelo Maranhão: CORRETO. (E) Abelardo torce pelo Maranhão: ERRADO, ele torce para o Moto Club. Resposta: D 3. FGV – MEC – 2009) Abel, Gabriel e Daniel são amigos. Um deles mora em uma casa branca, o outro, em uma casa azul e o terceiro, em uma casa amarela. Entre eles, um é pintor, o outro, escultor e o terceiro, professor. Abel não mora na casa azul. Gabriel é escultor e não mora na casa branca. O professor mora na casa azul. A esse respeito, é correto afirmar que: (A) Abel mora na casa amarela. (B) Abel é pintor. (C) Daniel não é professor. (D) Daniel mora na casa branca. (E) Gabriel mora na casa azul. RESOLUÇÃO: Temos 3 amigos, 3 casas e 3 profissões. A tabela abaixo permite relacionar cada amigo às 3 opções de casa e de profissões que ele possui: Amigo Casa Profissão Abel Branca, azul ou amarela Pintor, escultor ou professor Daniel Branca, azul ou amarela Pintor, escultor ou professor Gabriel Branca, azul ou amarela Pintor, escultor ou professor Podemos analisar as informações dadas pelo enunciado e ir anotando na tabela as conclusões que chegarmos. Vamos começar pelas informações mais “diretas”: Abel não mora na casa azul. Podemos “cortar” a opção Casa Azul de Abel. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 7 Gabriel é escultor e não mora na casa branca. Podemos “cortar” a opção Casa Branca de Gabriel. Podemos também marcar em negrito a opção Escultor para ele, cortando as demais opções de profissão. E também é possível cortar a opção Escultor dos demais amigos. Veja todas essas alterações na tabela abaixo: Amigo Casa Profissão Abel Branca, azul ou amarela Pintor, escultor ou professor Daniel Branca, azul ou amarela Pintor, escultor ou professor Gabriel Branca, azul ou amarela Pintor, escultor ou professor O professor mora na casa azul. Abel não pode ser o professor, pois já cortamos a opção Casa Azul para ele. Gabriel também não pode ser o professor, pois já descobrimos que ele é Escultor. Sobra apenas Daniel. Ele é professor e mora na casa azul. Podemos marcar em negrito a sua casa e profissão, e cortar essa opção dos demais: Amigo Casa Profissão Abel Branca, azul ou amarela Pintor, escultor ou professor Daniel Branca, azul ou amarela Pintor, escultor ou professor Gabriel Branca, azul ou amarela Pintor, escultor ou professor Veja que sobrou apenas a opção Casa Amarela para Gabriel. Esta será a sua casa. Assim, sobra a casa Branca para Abel. E sobro apenas a profissão Pintor para Abel. Com isso, temos: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 8 Amigo Casa Profissão Abel Branca , azul ou amarela Pintor , escultor ou professor Daniel Branca, azul ou amarela Pintor, escultor ou professor Gabriel Branca, azul ou amarela Pintor, escultor ou professor Feito isso, fica fácil analisar as alternativas dadas. Como Abel é Pintor, a alternativa B está correta. Resposta: B 4. FCC – TCE/AP – 2012) O funcionário de uma pizzaria que fornece em domicílio registrou os pedidos de três clientes regulares. Cada um pediu uma única pizza, de um único sabor, sendo uma de massa fina, uma de massa média e uma de massa grossa. Uma falha no computador, porém, apagou o registro dos pedidos e o funcionário teve de usar o conhecimento que tinha do gosto dos clientes, além do que se lembrava dos pedidos, para deduzir o que cada um solicitou. − O Sr. Pedro não pode ter pedido a pizza com borda recheada, pois não aprecia esse opcional. − Um dos sabores pedidos, banana, só é feita com massa média. − A única pizza que teve como opcional cobertura extra de queijo foi a de frango, que não tinha borda recheada. − O Sr. Jorge só pede pizza de massa fina e não gosta de cobertura extra de queijo. − Apenas uma das pizzas pedidas não tinha qualquer opcional. − A Sra. Estela não pediu a pizza de massa média. Uma das pizzas pedidas foi de calabresa. Essa pizza foi pedida (A) pelo Sr. Pedro e tinha borda recheada. (B) pelo Sr. Pedro e não tinha qualquer opcional. (C) pela Sra. Estela e não tinha qualquer opcional. (D) pelo Sr. Jorge e tinha borda recheada. (E) pelo Sr. Jorge e não tinha qualquer opcional. RESOLUÇÃO: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 9 Temos 3 tipos de massa (fina, média e grossa), 3 clientes (Pedro, Jorge e Estela), 3 sabores (frango, calabresa e banana) e 3 opcionais (queijo, borda e sem opcional). A tabela abaixo resume todas as possibilidades existentes: Cliente Massa Sabor Opcional Pedro Fina, média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Jorge Fina, média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Estela Fina, média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Vejamos as informações fornecidas, e o que fazer com elas. Começamos pelas mais simples/diretas: − O Sr. Pedro não pode ter pedido a pizza com borda recheada, pois não aprecia esse opcional cortar “borda” de Pedro − A Sra. Estela não pediu a pizza de massa média cortar “média” de Estela − O Sr. Jorge só pede pizza de massa fina e não gosta de cobertura extra de queijo. marcar “fina” para Jorge e cortar “queijo” dele Até aqui temos: Cliente Massa Sabor Opcional Pedro Fina, média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Jorge Fina , média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Estela Fina, média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Veja que sobrou apenas a massa “grossa” para Estela. Com isso, a de Pedro tem que ser “média”: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 10 Cliente Massa Sabor Opcional Pedro Fina, média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Jorge Fina , média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Estela Fina, média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional − Um dos sabores pedidos, banana, só é feita com massa média a pizza de banana é de Pedro. Assim:Cliente Massa Sabor Opcional Pedro Fina, média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Jorge Fina , média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Estela Fina, média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional − A única pizza que teve como opcional cobertura extra de queijo foi a de frango, que não tinha borda recheada. como a pizza de Jorge não pode ter queijo, então a de Estela é a pizza de frango com o opcional queijo. Cliente Massa Sabor Opcional Pedro Fina, média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Jorge Fina , média ou grossa Frango, calabresa , banana Queijo, borda ou sem opcional Estela Fina, média ou grossa Frango, ca labresa, banana Queijo , borda ou sem opcional MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 11 − Apenas uma das pizzas pedidas não tinha qualquer opcional. a única opção para a pizza de Pedro é ser “sem opcional”. Portanto, a de Jorge deve ter “borda”. Assim, concluímos: Cliente Massa Sabor Opcional Pedro Fina, média ou grossa Frango, calabresa, banana Queijo, borda ou sem opcional Jorge Fina , média ou grossa Frango, calabresa , banana Queijo, bord a ou sem opcional Estela Fina, média ou grossa Frango, ca labresa, banana Queijo , borda ou sem opcional Portanto, a pizza de calabresa era de Jorge, e tinha borda recheada. Resposta: D 5. FGV - CEAG/SP - 2011) Depois de uma aula na faculdade, seis colegas (Laís, Marina, Henrique, Luana, Viviane e Luís) dirigiram-se a um restaurante. Cada um pediu uma sobremesa dentre as seguintes opções: sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo e mousse. Considere as seguintes restrições ao analisar qual sobremesa cada colega pediu: I Um homem pediu mousse. II Se Laís pediu sorvete, então Marina pediu fruta. III Nem Henrique, nem Luís pediram bolo. IV Apenas se Luana pediu chocolate, Viviane pediu torta. Sabendo que Laís pediu sorvete, assinale a única alternativa verdadeira. a) Luana pediu chocolate. b) Luana não pediu chocolate. c) Com certeza Viviane pediu bolo. d) Henrique não pediu torta. e) Luís pediu mousse. RESOLUÇÃO: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 12 Temos 6 colegas e 6 sobremesas. A tabela abaixo nos dá todas as combinações possíveis entre as pessoas e suas respectivas sobremesas: Pessoa Sobremesa Laís sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Marina sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Henrique sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Luana sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Viviane sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Luís sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Agora vamos utilizar as informações adicionais fornecidas, começando pelas mais “fáceis”: I Um homem pediu mousse: logo, podemos “cortar” a opção mousse de todas as mulheres. III Nem Henrique, nem Luís pediram bolo: logo, podemos cortar a opção “bolo” desses dois rapazes. Laís pediu sorvete: logo, podemos deixar apenas essa opção para Laís, e “cortar” a opção “sorvete” de todos os demais. II Se Laís pediu sorvete, então Marina pediu fruta: como sabemos que Laís pediu sorvete, então podemos afirmar que Marina pediu fruta. Podemos deixar apenas essa opção para Marina e cortar “fruta” de todos os demais. Até aqui temos: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 13 Pessoa Sobremesa Laís sorvete , fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Marina sorvete, frut a, chocolate, torta, bolo ou mousse Henrique sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Luana sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Viviane sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Luís sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Ainda não usamos a seguinte informação: IV Apenas se Luana pediu chocolate, Viviane pediu torta. Repare que para Henrique e Luís sobraram 3 opções: chocolate, torta ou mousse. Sabemos que um deles escolheu o mousse, portanto o outro escolheu chocolate ou torta. Agora observe a frase IV acima. Se Luana tiver escolhido chocolate, Viviane ficou com a torta, e assim essas duas opções (chocolate e torta) foram esgotadas, não sobrando opção para um dos rapazes. Como isso não pode ocorrer (cada pessoa deve ficar com uma sobremesa), podemos afirmar que Luana não pediu chocolate, pois se ela tivesse feito isso não sobraria opção para um dos rapazes. Temos isto na alternativa B. b) Luana não pediu chocolate. Resposta: B 6. FGV - CEAG/SP - 2011) Com base no enunciado e nas mesmas restrições da questão anterior, sabendo não só que Laís pediu sorvete, mas também que Viviane pediu chocolate, então, certamente, a) Luana pediu bolo. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 14 b) Henrique pediu mousse. c) Luís pediu torta. d) Luana pediu bolo ou torta. e) Marina não pediu fruta. RESOLUÇÃO: Vamos partir da nossa última tabela e acrescentar a informação “Viviane pediu chocolate”. Com isso, podemos cortar a opção “chocolate” dos demais, deixando apenas para Viviane. Assim, temos: Pessoa Sobremesa Laís sorvete , fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Marina sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Henrique sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Luana sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Viviane sorvete, fruta, chocolate , torta, bolo ou mousse Luís sorvete, fruta, chocolate, torta, bolo ou mousse Note que para os rapazes (Henrique e Luís) sobraram apenas as opções torta e mousse. Sabemos que um deles ficou com o mousse, de modo que o outro certamente ficou com a torta. Cortando a opção “torta” de Luana, sobra apenas a opção “bolo” para ela. Temos isso na alternativa A: a) Luana pediu bolo. Resposta: A 7. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Em uma empresa, as funções de diretor, programador e gerente são ocupadas por Ciro, Dario, Éder, não necessariamente nesta ordem. O programador, que é filho único, é o mais velho dos três. Éder, que se casou com a irmã de Dario, é mais novo que o diretor. Pode-se concluir que a) Éder é o programador. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 15 b) Dario é o gerente. c) Éder é o diretor. d) Ciro é o diretor. e) Ciro é o programador. RESOLUÇÃO: Podemos montar a tabela a seguir: Nome Função Ciro Diretor, programador ou gerente Dario Diretor, programador ou gerente Eder Diretor, programador ou gerente - O programador, que é filho único, é o mais velho dos três. Éder, que se casou com a irmã de Dario, é mais novo que o diretor. Repare que Éder é mais novo que o diretor. Logo, Éder NÃO é o diretor. Ele também não é o programador, pois o programador é o mais velho dos três. Sobra apenas a profissão Gerente para Éder: Nome Função Ciro Diretor, programador ou gerente Dario Diretor, programador ou gerente Eder Diretor, programador ou gerente Veja ainda que o programador é filho único.Já Dario tem uma irmã, portanto ele NÃO é o programador. Sobra apenas o cargo de Diretor para ele, ficando Ciro com o cargo de Programador: Nome Função Ciro Diretor, progra mador ou gerente Dario Diretor , programador ou gerente Eder Diretor, programador ou gerente Logo, Ciro é o programador. Resposta: E MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 16 8. CESGRANRIO – BNDES – 2011) Míriam, Tereza e Vera possuem, cada uma, um pássaro de estimação. Uma delas tem um canário, outra, um periquito, e outra, um papagaio. Sabe-se que: • o periquito não pertence a Míriam; • Vera não possui o canário; • Tereza não possui o periquito; • o papagaio não pertence a Míriam. Então, é verdade que (A) Míriam possui o periquito. (B) Tereza possui o canário. (C) Vera possui o papagaio. (D) Míriam não possui o canário. (E) Tereza possui o papagaio. RESOLUÇÃO: Temos 3 mulheres e 3 animais. A tabela abaixo apresenta as combinações possíveis: Mulher Animal Míriam Canário, Periquito ou Papagaio Tereza Canário, Periquito ou Papagaio Vera Canário, Periquito ou Papagaio Vejamos as informações fornecidas: • o periquito não pertence a Míriam; • Vera não possui o canário; • Tereza não possui o periquito; • o papagaio não pertence a Míriam. Podemos cortar as opções Periquito e Papagaio de Míriam, Canário de Vera e Periquito de Tereza. Assim, temos: Mulher Animal Míriam Canário, Periquito ou Papagaio Tereza Canário, Periquito ou Papagaio Vera Canário, Periquito ou Papagaio MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 17 Repare que a única opção restante para Míriam é o Canário. Devemos, portanto, cortar essa opção de Tereza, para quem vai sobrar apenas o Papagaio. Cortando a opção Papagaio de Vera, sobra apenas o Periquito: Mulher Animal Míriam Canário , Periquito ou Papagaio Tereza Canário, Periquito ou Papagaio Vera Canário, Periquito ou Papagaio Logo, Tereza possui o papagaio. Resposta: E 2.2 QUESTÕES SOBRE VERDADES E MENTIRAS Nas questões sobre verdades e mentiras, normalmente você será apresentado a alguma situação onde é sabido que algumas pessoas mentem e outras falam a verdade. O problema é que não sabemos quem mente, e nem quem fala a verdade. Por isso, para resolvê-las nós precisamos considerar que o que foi dito por cada pessoa pode ser uma verdade, mas também pode ser uma mentira. E veja o seguinte: se alguém disse uma mentira, então o CONTRÁRIO do que aquela pessoa afirmou é uma VERDADE! Por exemplo, se eu digo “está chovendo hoje”, e você sabe que eu sou mentiroso, então você pode concluir que “NÃO está chovendo hoje”, concorda? Repare que eu uso bastante esse princípio na resolução das questões. 9. FCC – ISS/SP – 2012) Arlete e Salete são irmãs gêmeas idênticas, mas com uma característica bem diferente: uma delas só fala a verdade e a outra sempre mente. Certo dia, um rapaz que não sabia qual das duas era a mentirosa perguntou a uma delas: “Arlete é mentirosa?”. A moça prontamente respondeu: “Sim”. Analisando somente a resposta dada, o rapaz pôde concluir que havia se dirigido a: a) Arlete, e que ela era a irmã mentirosa b) Arlete, e que ela não era a irmã mentirosa c) Arlete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa d) Salete, e que ela não era a irmã mentirosa MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 18 e) Salete, mas não pôde decidir se ela era a irmã mentirosa RESOLUÇÃO: Vamos analisar como a pergunta “Arlete é mentirosa?” seria respondida nos diferentes cenários possíveis: 1. Pergunta foi dirigida a Arlete, e ela é mentirosa: Neste caso, a resposta dada por Arlete seria “Não”. 2. Pergunta foi dirigida a Arlete, e ela fala a verdade: Aqui, a resposta de Arlete seria “Não”. 3. Pergunta foi dirigida a Salete, e ela é mentirosa: Salete responderia “Sim”, pois apesar de Arlete falar a verdade, a resposta dada por Salete deve ser uma mentira. 4. Pergunta foi dirigida a Salete, e ela fala a verdade: Neste caso Salete responderia “Sim”. Repare que as respostas possíveis para Arlete são “Não”, em qualquer caso, e para Salete são “Sim”. Portanto, sabemos que a pergunta foi feita a Salete, entretanto não podemos afirmar se ela fala a verdade ou não. Resposta: E 10. VUNESP – Polícia Civil/SP – 2013) . Em uma ilha, as pessoas são divididas em dois clãs. O clã dos cavaleiros que só falam a verdade e o clã dos cafajestes que só falam mentiras (enunciados falsos). Nessas condições, assinale a alternativa que apresenta corretamente o enunciado que nenhum habitante da ilha pode proferir. (A) A lua é feita de queijo suíço. (B) Está nevando e não está nevando. (C) Eu sou cafajeste. (D) Dois mais dois é igual a quatro. (E) Os cavaleiros só falam falsidades. RESOLUÇÃO: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 19 Note que as frases das alternativas A e E são certamente falsas, de modo que podem ser ditas pelos Cafajestes. O mesmo vale para a frase da alternativa B, que é uma contradição em si mesma (não tem como estar chovendo e não estar chovendo ao mesmo tempo – isso é falso). Já a frase da alternativa D é verdadeira, podendo ser dita pelos Cavaleiros. Repare que os cavaleiros não podem dizer a frase da alternativa C (“Eu sou cafajeste”), pois eles só falam a verdade. E os cafajestes também não podem dizê- la, pois eles só mentem. Esse é o nosso gabarito. Resposta: C 11. FGV – BADESC – 2010) Certo dia, três amigos fizeram, cada um deles, uma afirmação: Aluísio: – Hoje não é terça-feira. Benedito: – Ontem foi domingo. Camilo: – Amanhã será quarta-feira. Sabe-se que um deles mentiu e que os outros dois falaram a verdade. Assinale a alternativa que indique corretamente o dia em que eles fizeram essas afirmações. (A) sábado. (B) domingo. (C) segunda-feira. (D) terça-feira. (E) quarta-feira. RESOLUÇÃO: Observe as afirmações de Benedito e Camilo: Benedito: – Ontem foi domingo. Camilo: – Amanhã será quarta-feira. Se Benedito tiver falado a verdade, então “hoje” é segunda. E se Camilo tiver falado a verdade, então “hoje” é terça. Veja que essas informações são contraditórias. Portanto, ou Benedito mentiu ou Camilo mentiu. Agora compare o que Camilo disse com o que Aluísio disse: Aluísio: – Hoje não é terça-feira. Camilo: – Amanhã será quarta-feira. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 20 Essas informações também são contraditórias, pois Camilo afirma que “hoje” é terça, enquanto Aluísio diz que não. Como a afirmação de Camilo contradiz tanto a de Benedito quanto a de Aluísio, ele deve ser o mentiroso. Sendo ele o mentiroso, então a informação dos demais é verdadeira. Como Benedito disse que ontem foi domingo, então “hoje” é segunda-feira. Resposta: C 12. FGV – Senado Federal – 2008) Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados, eles fazem as seguintes declarações: • André: Eduardo é o culpado. • Eduardo: João é o culpado. • Rafael: Eu não sou culpado. • João: Eduardo mentequando diz que eu sou culpado. Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, o culpado: (A) é certamente André. (B) é certamente Eduardo. (C) é certamente Rafael. (D) é certamente João. (E) não pode ser determinado com essas informações. RESOLUÇÃO: Antes de começar a análise, veja que podemos trocar a frase de João para “Eu não sou culpado”, sem prejuízo da lógica. Afinal, é isso que João quer dizer quando afirma que Eduardo mente. Se uma afirmação é mentirosa, então a sua negação é uma verdade. Vejamos o que seria a negação de cada uma dessas informações: • André: Eduardo é o culpado. Eduardo NÃO é o culpado • Eduardo: João é o culpado. João NÃO é o culpado • Rafael: Eu não sou culpado. Eu sou o culpado • João: Eu não sou culpado. Eu sou o culpado. Observe as frases de Rafael e João. Se eles dois tivessem mentido, a negação de suas afirmações seria verdadeira. Porém é impossível que as duas MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 21 negações sejam verdadeiras, pois uma diz que Rafael é o culpado e a outra que João é o culpado. Portanto, um dos dois – Rafael ou João – disse a verdade. Vamos assumir que Rafael disse a verdade. Neste caso, André, João e Eduardo mentiram, de modo que a negação de suas frases deve ser verdade: • André: Eduardo NÃO é o culpado • Eduardo: João NÃO é o culpado • João: Eu sou o culpado. Veja que não é possível que essas duas últimas frases sejam verdadeiras ao mesmo tempo, pois uma diz que João não é culpado, e a outra diz que ele é culpado. Portanto, não podemos assumir que Rafael disse a verdade. Vamos então assumir que João disse a verdade. Neste caso, as negações das frases dos demais também deve ser verdadeira: • André: Eduardo NÃO é o culpado • Eduardo: João NÃO é o culpado • Rafael: Eu sou o culpado Veja que agora não caímos em nenhuma contradição. Rafael é o culpado, e os demais não são. Letra C. Resposta: C 13. FGV – SUDENE/PE – 2013) Alberto, Bernardo e Camilo trabalham em uma obra. Um deles é eletricista, outro é marceneiro e outro pintor, não necessariamente nessa ordem. Quando o novo supervisor perguntou sobre suas qualificações eles disseram: • Alberto: — Eu sou eletricista. • Bernardo: — Alberto não é marceneiro. • Camilo: — Bernardo não é pintor. SabeǦse que das três declarações acima, somente uma é verdadeira. É correto concluir que (A) Camilo é eletricista. (B) Bernardo é marceneiro. (C) Alberto é eletricista. (D) Camilo é pintor. (E) Bernardo disse a verdade. RESOLUÇÃO: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 22 Somente um falou a verdade. Inicialmente, vamos “chutar” que Alberto falou a verdade (e os demais mentiram). Ou seja, Alberto seria de fato eletricista. Como Bernardo mentiu, seria falso que “Alberto não é marceneiro”, ou seja, seria verdadeiro que “Alberto é marceneiro”. Ora, não tem como Alberto ser eletricista e marceneiro ao mesmo tempo. Chegamos a uma incoerência, o que elimina essa possibilidade. Agora vamos chutar que Bernardo falou a verdade. Portanto, Alberto não seria marceneiro. Os demais mentiram. Pela frase de Alberto, concluímos que ele NÃO é o eletricista. Se ele não é nem o marceneiro e nem o eletricista, só resta ele ser o pintor. Mas, pela frase de Camilo, percebemos que Bernardo É pintor. Temos uma incoerência, pois tanto Alberto como Bernardo teriam a mesma profissão (pintor). Assumindo que Camilo falou a verdade, então Bernardo não seria pintor. Da frase de Bernardo, que seria uma mentira, concluímos que Alberto É marceneiro. E a frase de Alberto realmente seria uma mentira. Portanto, Alberto seria o marceneiro, Bernardo o eletricista (pois ele não seria o pintor), e Camilo o pintor. Resposta: D 14. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Uma substância A, outra substância B e uma terceira substância C estão, cada uma, dentro de gavetas diferenciadas apenas pelas cores dos chaveiros de suas chaves. Não se sabe qual a substância está em qual gaveta, assim como não é possível ver o interior de cada uma das gavetas. Sabe-se, porém, que das três afirmações a seguir, apenas uma é verdadeira: I. Na gaveta com chaveiro azul está a substância A. II. Na gaveta com chaveiro amarelo não está a substância B. III. Na gaveta com chaveiro vermelho não está a substância A. Com base nas informações, a ordem correta das cores dos chaveiros das chaves das gavetas que contêm as substâncias A, B e C, nessa ordem, é a) vermelho, azul e amarelo b) amarelo, vermelho e azul c) vermelho, amarelo e azul d) azul, amarelo e vermelho e) azul, vermelho e amarelo MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 23 RESOLUÇÃO: Se assumirmos que a afirmação I é verdadeira, as duas outras são falsas. Com isso, o chaveiro azul é o da substância A (afirmação I). E, como II e III são falsas, o contrário delas é verdadeiro, ou seja: o chaveiro azul é o da substância B, e o chaveiro vermelho é o da substância A. Chegamos numa contradição, pois tanto o chaveiro azul quanto o vermelho seriam associados à substância A. Se assumirmos que a afirmação II é a verdadeira, as demais (I e III) são falsas. Com isso, o chaveiro azul NÃO seria o da substância A; o amarelo NÃO seria o da substância B; e o vermelho SERIA o da substância A. Assim, seria necessário que o amarelo fosse o de C, e o azul fosse o de B. Ficaríamos com: A = vermelho, B = azul, C = amarelo. Temos isso na alternativa A. Se assumíssemos que a afirmação III é a verdadeira, diríamos que o vermelho não é o de A (afirmação III), e que o azul também não é o de A (contrário da afirmação I). Com isso, restaria apenas o amarelo para A. Mas o contrário da afirmação II (que seria verdadeiro) nos diria que o amarelo é o chaveiro da substância B, o que nos leva à duas substâncias (A e B) com o mesmo chaveiro. Temos uma contradição. Resposta: A 15. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Em um reino distante, um homem cometeu um crime e foi condenado à forca. Para que a sentença fosse executada, o rei mandou que construíssem duas forcas e determinou que fossem denominadas Forca da Verdade e Forca da Mentira. Além disso, ordenou que na hora da execução o prisioneiro deveria proferir uma sentença assertiva qualquer. Se a sentença fosse verdadeira, ele deveria ser enforcado na Forca da Verdade. Se, por outro lado, a sentença fosse falsa, ele deveria ser enforcado na Forca da Mentira. Assim, no momento da execução, foi solicitado que o prisioneiro proferisse a sua asserção. Ao fazer isso, o carrasco ficou completamente sem saber o que fazer e a execução foi cancelada! Assinale qual das alternativas representa a asserção que o prisioneiro teria proferido. a) “Está chovendo forte”. b) “O carrasco não vai me executar”. c) “A soma dos ângulos de um triângulo é cento e oitenta graus”. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 24 d) “Dois mais dois é igual a cinco”. e) “Serei enforcado na Forca da Mentira”. RESOLUÇÃO: A frase dita pelo condenado não pode ser uma verdade e nem uma mentira, pois se fosse verdadeira ele teria sido enforcado na Forca da Verdade, e se fosse mentira ele teria sido enforcado na Forca da Mentira. Observe que a fraseda alternativa A pode ser verdade ou mentira, dependendo do clima do dia. Se fosse dita a frase B, ela seria uma mentira, pois o carrasco iria executar. A frase C é uma verdade, e ele seria executado. A frase D é uma mentira, e ele também seria executado. Resta apenas a alternativa E, que é o gabarito. Mas vamos entendê-la melhor. Ao dizer “Serei enforcado na Forca da Mentira”, temos o seguinte: - se a frase dita for considerada verdadeira, então o condenado deveria ser enforcado na Forca da Mentira. Mas, para ele ser enforcado na Forca da Mentira, ele deveria ter mentido, e não dito a verdade! - se o condenado fosse enforcado na Forca da Verdade após dizer essa frase, também teríamos uma contradição, pois o condenado teria mentido (ele disse que seria enforcado na Forca da Mentira) e, mesmo assim, estaria sendo executado na Forca da Verdade. Repare que a frase dita pelo condenado gerou uma contradição, e em qualquer caso não seria possível enforca-lo de maneira coerente com as regras das Forcas. Por isso ele não foi executado. Resposta: E 16. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Antonio, Bernardo e Caetano são três amigos. Sempre que uma pergunta é feita a eles, dois falam a verdade e um mente. Ao serem questionados sobre quem era o mais velho, responderam: Antonio: Bernardo nasceu primeiro. Bernardo: Eu não sou o mais velho. Caetano: Antonio é o mais velho. O nome de quem mentiu ao responder essa pergunta e o nome do mais velho dos amigos são, respectivamente, a) Bernardo e Bernardo. b) Bernardo e Caetano. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 25 c) Antonio e Antonio. d) Caetano e Caetano. e) Antonio e Bernardo. RESOLUÇÃO: Vamos assumir que Antônio mentiu. Portanto, Bernardo NÃO nasceu primeiro. Os demais disseram a verdade: Bernardo não é o mais velho, e Antônio é o mais velho. Não temos nenhuma contradição aí. Portanto, Antônio mentiu, e o mais velho é Antônio também. O gabarito é C. Se assumíssemos que Bernardo mentiu, por exemplo, então ele seria o mais velho (pois o contrário da frase dele seria verdade). Mas a frase de Caetano seria verdadeira, dizendo que Antonio que é o mais velho. Teríamos uma contradição. Se assumíssemos que Caetano mentiu, então Antônio NÃO seria o mais velho. Pela frase de Antônio, vemos que Bernardo seria o mais velho, mas pela frase de Bernardo veríamos que ele NÃO é o mais velho. Outra contradição. Resposta: C 17. FCC – SEAD/PI – 2013) Dadá, Cazuza, Timbó, Birito e Piloto são cinco meninos espertos que gostam de jogar futebol no gramado da casa de seu Nonô, um simpático senhor. Certo dia, um chute dado por um dos meninos fez com que a bola quebrasse o vidro de uma das janelas da casa, o que levou seu Nonô a chamar a atenção dos garotos, perguntando a eles quem foi o responsável pelo estrago. Os meninos disseram o seguinte: Dadá: o responsável não é o Timbó. Cazuza: o responsável está mentindo. Timbó: o responsável não é o Dadá. Birito: o responsável é o Cazuza ou é o Dadá. Piloto: o responsável é o Birito ou o Timbó. Também se sabe que o responsável sempre mente e os demais sempre falam a verdade. Neste sentido, é possível afirmar que quem chutou a bola e quebrou a vidraça foi (A) Birito. (B) Piloto. (C) Dadá. (D) Cazuza. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 26 (E) Timbó. RESOLUÇÃO: Vamos “testar” se cada um é o responsável. Se Dadá é o responsável, então ele mentiu e os demais falaram a verdade. Com isso: Dadá: o responsável não é o Timbó. se isso fosse mentira, o responsável seria o Timbó, e não o Dadá (como assumimos). Chegamos numa contradição. Se Cazuza for o responsável, então a frase dele seria uma mentira: Cazuza: o responsável está mentindo. para isso ser uma mentira, era preciso que o responsável estivesse falando a verdade. Mas o próprio enunciado disse que o responsável mente. Chegamos numa contradição. Se Timbó é o responsável: Timbó: o responsável não é o Dadá. se isso fosse mentira, o responsável seria Dadá, e não Timbó (como assumimos). Chegamos numa contradição. Se Birito é o responsável, sua frase é mentira: Birito: o responsável é o Cazuza ou é o Dadá. portanto, nem Cazuza nem Dadá são os responsáveis. Como eles não são responsáveis, eles falam a verdade. A frase de Cazuza realmente é verdadeira, pois o responsável está mentindo. Já a frase de Dadá nos mostra que Timbó também não é o responsável, e a frase de Timbó mostra que Dadá também não é o responsável. A frase de Piloto (o responsável é Birito ou Timbó) está ok, pois de fato o responsável é Birito. Assim, não temos nenhuma contradição. O responsável é, de fato, Birito. Só por efeitos didáticos, vamos assumir que Piloto é o responsável. Neste caso, sua frase seria uma mentira: Piloto: o responsável é o Birito ou o Timbó. logo, nem Birito nem Timbó são responsáveis, e as frases deles são verdades. Só que Birito disse que o responsável é Cazuza ou Dadá, e não Piloto, como assumimos. Temos uma contradição novamente. Resposta: A MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 27 2.3 QUESTÕES ENVOLVENDO CALENDÁRIO Várias questões de Raciocínio Lógico exigem que você saiba utilizar o calendário, calcular dias da semana, trabalhar com anos bissextos etc. Para trabalhar com calendários, é importante lembrar que chamamos de “semana” um conjunto formado por 7 dias consecutivos. Normalmente dizemos que as semanas começam no domingo e terminam no sábado seguinte. Mas isso não é obrigatório. Podemos considerar que a semana começa em qualquer dia. Por exemplo, podemos ter semanas começando em uma quinta-feira e terminando na quarta-feira seguinte. Ou começando numa terça-feira e terminando na segunda- feira seguinte. E assim por diante. Oos anos “normais” tem 365 dias, sendo que o mês de Fevereiro tem 28 dias. Nos anos bissextos, temos 29 dias em Fevereiro, o que resulta em 366 dias no total. Os anos bissextos ocorrem de 4 em 4 anos, sempre nos anos que são múltiplos de 4. Para saber se um determinado ano é múltiplo de 4, basta fazer o seguinte: observe o número formado pelos 2 últimos dígitos (por exemplo, em 1983, observe o 83 apenas). Se este número for múltiplo de 4, então o ano é bissexto (neste caso, 83 não é múltiplo de 4, de modo que o ano 1983 não é bissexto). Se dividirmos 365 por 7, obtemos quociente 52 e resto 1. Isto significa que um ano de 365 dias é composto por 52 semanas completas, de 7 dias cada uma, e mais 1 dia. Portanto, se o dia 01 de Janeiro de um determinado ano é uma segunda-feira, qual dia da semana será o próximo 01 de Janeiro? Basta lembrar que, ao longo deste ano, teremos 52 semanas, todas elas começando numa segunda-feira (assim como o primeiro dia do ano) e terminando no domingo seguinte. Além disso, teremos mais 1 dia, que neste caso será uma segunda-feira. Portanto, o último dia do ano é uma segunda-feira, de modo que o dia 01 de Janeiro do ano seguinte é uma terça-feira. Se dividirmos 366 por 7, obtemos quociente 52 e resto 2. Portanto, em um ano bissexto temos 52 semanas completas e mais 2 dias. Assim, se este ano bissexto começar numa quarta-feira, teremos 52 semanas começando na quarta e terminando na terça seguinte, e mais 2 dias: quarta e quinta. Isto significa que este ano terminará numa quinta-feira, de modo que o primeiro dia do ano seguinte seráuma sexta-feira. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 28 Além do mês de Fevereiro, que pode ter 28 ou 29 dias, os demais meses do ano tem 30 ou 31 dias. Ao longo do ano só temos um caso de dois meses seguidos com 31 dias (julho e agosto). Nos demais casos temos uma alternância. Veja: - Janeiro: 31 - Fevereiro: 28 ou 29 (se bissexto) - Março: 31 - Abril: 30 - Maio: 31 - Junho: 30 - Julho: 31 - Agosto: 31 - Setembro: 30 - Outubro: 31 - Novembro: 30 - Dezembro: 31. O número 28 é um múltiplo de 7, pois 4 x 7 = 28. Assim, nos meses de 28 dias teremos 4 semanas completas. Esta semana não precisa necessariamente começar num domingo. Se o dia 01 de Fevereiro for um sábado, por exemplo, então os dias 08, 15 e 22 também serão sábados. Os meses de 29 dias terão 4 semanas completas e mais 1 dia. Assim, teremos 4 repetições de cada dia da semana (segunda, terça, quarta, quinta... etc) e mais 1 dia, que será a repetição do primeiro dia do mês. Portanto, se um mês de Fevereiro com 29 dias começar numa terça-feira, teremos 4 semanas completas começando em terças-feiras e encerrando nas segundas-feiras seguintes, e mais 1 dia, que será outra terça-feira. Este mês terá, portanto, 4 repetições de cada dia da semana (exceto terça), e 5 repetições da terça-feira. Os meses de 30 dias tem 4 semanas completas e mais 2 dias (que são repetições dos dois primeiros dias do mês). Assim, se um mês de 30 dias começa na segunda-feira, teremos 4 semanas completas começando em segundas-feiras e encerrando nos domingos seguintes, e mais dois dias: segunda e terça. Este mês terá 5 segundas e 5 terças, e mais 4 repetições de cada um dos outros dias da semana. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 29 Por fim, nos meses de 31 dias temos 4 semanas e mais 3 dias, que são repetições dos três primeiros dias do mês. Uma última observação que pode facilitar a resolução de vários exercícios: nos anos “normais” (365 dias), o primeiro e o último dia do ano são o mesmo dia da semana (ex.: como 01/01/2014 foi quarta-feira, então certamente 31/12/2014 será quarta-feira). 18. FCC – SEFAZ/SP – 2009) No período de 2010 a 2050, os anos bissextos (isto é, aqueles com 366 dias) são todos aqueles divisíveis por 4. Sabendo que 2010 terá 53 sextas-feiras, o primeiro ano desse período em que o dia 1o de janeiro cairá numa segunda-feira será (A) 2013 (B) 2014 (C) 2016 (D) 2018 (E) 2019 RESOLUÇÃO: Como uma semana tem 7 dias, em um ano de 365 dias temos 52 semanas inteiras e mais 1 dia (observe que 365 / 7 tem quociente 52 e resto 1). Se 2010 teve 53 sextas-feiras, isto significa que este ano teve 52 semanas, ou seja, 52 vezes cada um dos dias da semana, e mais uma sexta-feira (que foi o último dia do ano). Portanto, o dia 1º de janeiro de 2011 foi um sábado. Observe ainda que 2012 é o primeiro ano do intervalo 2010-2050 que é divisível por 4, ou seja, é bissexto. Nos anos normais, temos 52 semanas e mais 1 dia, de modo que, se 2011 começou num sábado, 2012 começará num domingo. Já nos anos bissextos, temos 52 semanas e mais 2 dias, de modo que se 2012 começou em um domingo, 2013 começará em uma terça-feira. Assim, temos: - 2011: começa no sábado - 2012 : começa no domingo - 2013: começa na terça, pois 2012 foi bissexto - 2014: começa na quarta - 2015: começa na quinta-feira - 2016: começa na sexta-feira - 2017: começa no domingo, pois 2016 foi bissexto. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 30 - 2018: começa na segunda Portanto, o próximo ano a começar em uma segunda-feira é 2018 (letra D). Resposta: D 19. FCC – TRF/2ª – 2012) Suponha que, no dia 15 de janeiro de 2011, um sábado, Raul recebeu o seguinte e-mail de um amigo: “Este é um mês especial, pois tem 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas-feiras e isso só ocorrera novamente daqui a 823 anos. Repasse esta mensagem para mais 10 pessoas e, dentro de alguns dias, você receberá uma boa notícia.” Tendo em vista que é aficionado em Matemática, Raul não repassou tal mensagem pois, após alguns cálculos, constatou que a afirmação feita na mensagem era falsa. Assim sendo, lembrando que anos bissextos são números múltiplos de 4, Raul pode concluir corretamente que o próximo ano em que ocorrência de 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas-feiras acontecerá no mês de janeiro será: (A) 2022. (B) 2021. (C) 2020. (D) 2018. (E) 2017. RESOLUÇÃO: Janeiro tem 31 dias. Dividindo por 7, temos quociente 4 e resto 3. Isto é, temos 4 semanas inteiras e mais 3 dias. Portanto, cada dia da semana se repetirá 4 vezes, e, além disso, teremos mais 1 repetição de 3 dias da semana, totalizando 5 repetições para estes últimos. Para termos a 5ª repetição do sábado, domingo e segunda, é preciso que o mês comece em um sábado. Por que? Pois iniciando neste dia, nos primeiros 28 dias do mês teremos 4 semanas completas, iniciando em sábados e terminando em sextas-feiras. Nos 3 últimos dias, teremos mais um sábado, mais um domingo e mais uma segunda, totalizando as 5 repetições de cada um desses dias. Portanto, basta que janeiro comece em um sábado para que o mês seja “especial”, como disse o enunciado. Como foi dito, isto ocorreu em 2011. Em que dia da semana começará o mês de janeiro do ano seguinte (2012)? Ora, 2011 não é bissexto, tendo 365 dias. Dividindo por 7, temos quociente 52 e resto 1, o que nos indica que temos 52 semanas completas e mais 1 dia. Como janeiro de 2011 MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 31 começou em um sábado, teremos 52 semanas começando em sábados e terminando em sextas-feiras, e mais 1 dia – um sábado – de modo que o ano de 2012 começará em um domingo. Ou seja, de um ano para o outro, tivemos o “avanço” de 1 dia da semana. Em que dia começará 2013? Uma segunda-feira? Não, pois 2012 é bissexto (veja que 2012 é múltiplo de 4). Assim, 2012 tem 366 dias, ou seja, 52 semanas e mais 2 dias. Portanto, como este ano começou em um domingo, teremos 52 semanas começando em domingos e terminando em sábados e mais dois dias – um domingo e uma segunda – de modo que 2013 começará em uma terça-feira. Prosseguindo, temos: - 2014: começará em uma quarta-feira (avançamos 1 dia, pois 2013 não é bissexto) - 2015: começará em uma quinta-feira (avançamos 1 dia, pois 2014 não é bissexto) - 2016: começará em uma sexta-feira (avançamos 1 dia, pois 2015 não é bissexto) - 2017: começará em um domingo (avançamos 2 dias, pois 2016 é bissexto!!!) - 2018: começará em uma segunda-feira (avançamos 1 dia, pois 2017 não é bissexto) - 2019: começará em uma terça-feira (avançamos 1 dia, pois 2018 não é bissexto) - 2020: começará em uma quarta-feira (avançamos 1 dia, pois 2019 não é bissexto) - 2021: começará em uma sexta-feira (avançamos 2 dias, pois 2020 é bissexto!!!) - 2022: começará em um sábado (avançamos 1 dia, pois 2021 não é bissexto) Portanto, veja que 2022 começará em um sábado, de modo que o mês de janeiro terá 5 sábados, 5 domingos e 5 segundas. Resposta: A 20. FCC – TRT/6ª – 2012 ) Em um determinado ano, o mês de abril, que possui um total de 30 dias, teve mais domingos do que sábados. Nesse ano, o feriado de 1o de maio ocorreu numa (A) segunda-feira. (B) terça-feira.(C) quarta-feira. (D) quinta-feira. (E) sexta-feira. RESOLUÇÃO: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 32 Sabemos que uma semana tem 7 dias. Dividindo 30 dias por 7, saberemos quantas semanas temos neste mês. Veja que essa divisão possui resultado (quociente) igual a 4 e resto igual a 2. Isto significa que, em Abril, temos 4 conjuntos de 7 dias (ou seja, 4 semanas completas), e restam 2 dias. Desta forma, teremos pelo menos 4 segundas-feiras, 4 terças-feiras, e assim por diante. O resto encontrado nos indica que teremos mais uma repetição de dois dias da semana, que passarão a aparecer 5 vezes no mês de Abril. Para que tenhamos mais domingos do que sábados, é preciso que o domingo se repita 5 vezes e o sábado apenas 4. Isto só é possível se o mês começar no domingo. Visualize isso abaixo: 1ª semana: Domingo, Segunda, Terça..., Sábado ( 7 dias até aqui) 2ª semana: Domingo, Segunda, Terça..., Sábado (14 dias até aqui) 3ª semana: Domingo, Segunda, Terça..., Sábado (21 dias até aqui) 4ª semana: Domingo, Segunda, Terça..., Sábado (28 dias até aqui) 5ª semana: Domingo, Segunda (30 dias – final do mês) Portanto, o último dia de Abril é uma segunda-feira, de modo que o 1º dia de Maio será uma terça-feira. Resposta: B 21. FCC – TRT/1ª – 2013) Em um planeta fictício X, um ano possui 133 dias de 24 horas cada, dividido em 7 meses de mesma duração. No mesmo período em que um ano terrestre não bissexto é completado, terão sido transcorridos no planeta X, exatamente, (A) 1 ano, 6 meses e 4 dias. (B) 2 anos e 4 dias. (C) 2 anos e 14 dias. (D) 2 anos, 5 meses e 14 dias. (E) 2 anos, 5 meses e 4 dias. RESOLUÇÃO: Observe que 1 ano do planeta X dura 133 dias, de modo que 2 anos duram 266 dias. Para completar 365 dias, faltam ainda 365 – 266 = 99 dias. Veja ainda que o ano do planeta X é composto por 7 meses de 19 dias cada. Assim, 5 meses contém 95 dias. Sobram ainda 4 dias. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 33 Portanto, 365 dias terrestres equivalem a 2 anos, 5 meses e 4 dias do planeta X. Resposta: E 22. FGV – CAERN – 2010) Os anos bissextos tem 366 dias, um a mais do que aqueles que não são bissextos. Esse dia a mais é colocado sempre no final do mês de fevereiro, que, nesses casos, passa a terminar no dia 29. Se um ano bissexto começa numa segunda-feira, o ano seguinte termina em um(a): a) domingo b) terça-feira c) segunda-feira d) quarta-feira e) quinta-feira RESOLUÇÃO: Se um ano é bissexto, ele tem 366 dias, e o ano seguinte (que não será bissexto) tem 365 dias. Assim, entre o primeiro dia de um ano bissexto e o último dia do ano seguinte temos 730 dias (366 + 365 – 1). Uma semana inteira possui 7 dias. Dividindo 730 por 7 encontramos quociente igual a 104 e resto igual a 2. Isso significa que entre o primeiro dia de um ano bissexto e o último dia do ano seguinte temos 104 semanas inteiras e restam ainda 2 dias. Assim se o primeiro ano começou em uma segunda feira, o ano seguinte terminará 2 dias da semana depois, ou seja, numa quarta-feira. Resposta: D 23. FCC – TRT/9ª – 2013) Em nosso calendário, há dois tipos de anos em relação à sua duração: os bissextos, que duram 366 dias, e os não bissextos, que duram 365 dias. O texto abaixo descreve as duas únicas situações em que um ano é bissexto. - Todos os anos múltiplos de 400 são bissextos − exemplos: 1600, 2000, 2400, 2800; - Todos os anos múltiplos de 4, mas não múltiplos de 100, também são bissextos − exemplos: 1996, 2004, 2008, 2012. Sendo n o total de dias transcorridos no período que vai de 01 de janeiro de 1898 até 31 de dezembro de 2012, uma expressão numérica cujo valor é igual a n é MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 34 (A) 29 + 365 x (2012 − 1898 + 1). (B) 28 + 365 x (2012 − 1898). (C) 28 + 365 x (2012 − 1898 + 1). (D) 29 + 365 x (2012 − 1898). (E) 30 + 365 x (2012 − 1898). RESOLUÇÃO: O número de anos entre 1898 e 2012, incluindo ambos, é dado por: número de anos = 2012 – 1898 + 1 Repare que é preciso somar 1 unidade na expressão acima para garantir que os extremos estão contemplados. Se todos os anos tivessem 365 dias, o total de dias seria dado por: 365 x número de anos = 365 x (2012 – 1898 + 1) Precisamos agora saber quantos anos bissextos temos entre 1898 e 2012, pois para cada ano bissexto precisamos incluir mais 1 dia. Note que 1898 não é múltiplo de 4, porém 1900 é. Entretanto, 1900 é múltiplo de 100, mas não de 400, portanto não é bissexto. Assim, o primeiro ano bissexto neste intervalo é 1904, e o último é 2012 (que também é múltiplo de 4). Note que 2000 é bissexto, pois é múltiplo de 400. Neste intervalo, o número de anos bissextos é: Anos bissextos = (2012 – 1904) / 4 + 1 = 28 Veja que novamente precisamos somar 1 unidade para contemplar os extremos. Assim, o valor “n” será dado por: n = 28 + 365 x (2012 – 1898 + 1) Resposta: C 24. FCC – MPE/AM – 2013) No Brasil, entendemos como final de semana o período da semana que compreende o sábado e o domingo. Em determinado ano, para que o mês de setembro, que é composto por 30 dias, tenha 5 finais de semana completos, o dia 7 de setembro deverá cair em (A) um sábado. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 35 (B) uma sexta-feira. (C) uma quinta-feira. (D) uma quarta-feira. (E) uma terça-feira. RESOLUÇÃO: Observe que 30 dias correspondem a 4 semanas de 7 dias e mais 2 dias “adicionais”. Ou seja, normalmente o mês de setembro já tem 4 finais de semana (um em cada semana). Para garantir que ele tenha 5 finais de semana, é preciso que os 2 dias “adicionais” também sejam um final de semana. Para isso, o mês já precisa começar em um final de semana (dia 1 deve ser um sábado). Deste modo, repare que os dias 8, 15, 22 e 29 também serão sábados, totalizando 5 sábados. E os dias 2, 9, 16, 23 e 30 serão domingos. Como o dia 8 é um sábado, então o dia 7 de setembro é uma sexta-feira. Resposta: B 25. FCC – TRT/BA – 2013) Um ano bissexto possui 366 dias, o que significa que ele é composto por 52 semanas completas mais 2 dias. Se em um determinado ano bissexto o dia 1o de janeiro caiu em um sábado, então o dia 31 de dezembro cairá em (A) um sábado. (B) um domingo. (C) uma 2a feira. (D) uma 3a feira. (E) uma 4a feira. RESOLUÇÃO: Temos que percorrer 52 semanas e mais 2 dias para ir de 1º de janeiro a 31 de dezembro. Cada uma das 52 semanas começa num sábado (assim como 1º de janeiro) e termina na sexta-feira seguinte. Após isso, temos mais dois dias: um sábado e um DOMINGO. Este último é o dia 31 de dezembro. Resposta: B 26. FCC – TRT/BA – 2013) A “Guerra dos Mil Dias” foi uma guerra civil que ocorreu na Colômbia, tendo começado no ano de 1899. Considerando que o conflito tenha MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 36 durado exatamente 1000 dias, é possível concluir, apenas com as informações fornecidas, que seu término (A) ocorreu, certamente, no ano de 1901. (B) pode ter ocorrido no ano de 1901 ou de 1902.(C) ocorreu, certamente, no ano de 1903. (D) ocorreu, certamente, no ano de 1902. (E) pode ter ocorrido no ano de 1902 ou de 1903. RESOLUÇÃO: Dividindo 1000 por 365 (número de dias em um ano*), vemos que 1000 dias correspondem a aproximadamente 2,73 anos. Ou seja, a guerra consumiu 2 anos completos e mais parte de um terceiro ano. Se a guerra começou no início de 1899, ela consumiu 2 anos completos (1899 e 1900) e acabou em meados de 1901. Já se a guerra começou próximo do final de 1899, ela consumiu dois anos completos (1900 e 1901) e mais uma parte do ano seguinte, que é 1902. Assim, o término da guerra ocorreu em 1901 ou 1902. Resposta: B Obs.: (*) veja que, como estamos fazendo cálculos aproximados, não precisamos nos preocupar se algum dos anos é bissexto, tendo 366 dias. 27. FGV – MPE/MS – 2013) Em certo ano, o 100º dia caiu em um domingo. Então, nesse ano, o 200º dia foi uma: a) segunda-feira. b) terça-feira. c) quarta-feira. d) quinta-feira. e) sexta-feira. RESOLUÇÃO: Do 100º ao 200º dia temos 100 dias. Dividindo por 7, vemos que 100 dias correspondem a 14 semanas completas e mais 2 dias. Portanto, teremos 14 semanas que começam em uma segunda-feira (dia seguinte ao 100º dia) e terminam no domingo seguinte. Além disso, devemos somar mais dois dias: segunda, TERÇA. Esse é o 200º dia. Resposta: B MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 37 28. FGV – SUDENE/PE – 2013) Em certo ano, não bissexto, a terçaǦfeira de carnaval caiu no dia 1º de março. Nesse ano, o dia 1º de janeiro caiu em (A) um domingo. (B) uma segundaǦfeira. (C) uma quintaǦfeira. (D) uma sextaǦfeira. (E) um sábado. RESOLUÇÃO: De 1º de janeiro a 1º de março temos os 31 dias de janeiro, os 28 de fevereiro, e mais o dia 1º de março, totalizando 31 + 28 + 1 = 60 dias. Dividindo 60 por 7 você verá que esses 60 dias correspondem a 8 semanas completas e mais 4 dias. Portanto, ao voltar de 1º de março para 1º de janeiro, precisamos retornar 8 semanas completas (todas elas começando numa terça-feira, assim como 1º de março, e terminando na quarta-feira da semana anterior), e depois voltar mais 4 dias: terça, segunda, domingo, SÁBADO. Portanto, 1º de janeiro é um sábado. Resposta: E 29. FGV – FUNDAÇÃO PRÓ-SANGUE/SP – 2013) Carlos é doador voluntário e regularmente faz doações de sangue. Em um determinado ano ele fez uma doação de 450 mL de sangue no dia 12 de junho, uma quarta-feira. De acordo com as regras para doação de sangue, Carlos teve que esperar pelo menos 60 dias para fazer uma nova doação. Entretanto, Carlos só faz doações de sangue às quartas-feiras, único dia da semana que ele tem livre. Na primeira quarta- feira após os 60 dias Carlos fez outra doação. Esta outra doação foi feita no dia a) 11 de agosto. b) 12 de agosto. c) 13 de agosto. d) 14 de agosto. e) 15 de agosto. RESOLUÇÃO: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 38 60 dias correspondem a 8 semanas e mais 4 dias. Portanto, avançando 60 dias após a primeira doação, devemos passar 8 semanas inteiras (que começam numa quinta-feira e terminam na quarta-feira da semana seguinte), e mais 4 dias. Cada uma das 8 semanas termina nos seguintes dias: - 19 de junho - 26 de junho - 3 de julho - 10 de julho - 17 de julho - 24 de julho - 31 de julho - 7 de agosto Assim, 7 de agosto é uma quarta-feira. Com mais os 4 dias, chegamos ao dia 11 de agosto, um domingo. Como ele só doa sangue na quarta-feira, devemos avançar até a próxima quarta-feira, que é o dia 14 de agosto. Resposta: D 2.4 QUESTÕES SOBRE PADRÕES LÓGICOS Nesse bloco veremos questões onde são apresentados figuras cujas características possuem algum padrão. A sua tarefa é identificar esse padrão, para então solucionar o problema. 30. FCC – BACEN – 2006) Observe com atenção a figura abaixo: Dos desenhos seguintes, aquele que pode ser encontrado na figura dada é: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 39 RESOLUÇÃO: Veja que podemos encontrar o desenho da alternativa C na figura do enunciado. Marquei em vermelho: Resposta: C. 31. FCC – BACEN – 2006) No quadriculado seguinte os números foram colocados nas células obedecendo a um determinado padrão. Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal que: a) X > 100 b) 90 < X < 100 c) 80 < X < 90 d) 70 < X < 80 e) X < 70 MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 40 RESOLUÇÃO: Observe que, na primeira coluna, 16 + 13 = 29 (soma). Já na segunda coluna, 34 – 19 = 15 (subtração). Na terceira, voltamos a ter uma soma: 27 + 28 = 55. Portanto, na quarta devemos ter uma subtração: X – 42 = 66. Com isso, X = 66 + 42 X = 108 Isto é, X é um valor maior que 100. Resposta: A. 32. FCC – TRT/BA – 2013) Pretende-se pintar alguns dos 25 quadradinhos do quadriculado 5 × 5 mostrado na figura a seguir. O número máximo de quadradinhos que poderão ser pintados de modo que quaisquer dois quadradinhos pintados nunca possuam um lado em comum é igual a (A) 15. (B) 13. (C) 12. (D) 10. (E) 9. RESOLUÇÃO: Veja no desenho abaixo uma maneira de pintar os quadradinhos de acordo com as regras do enunciado, ou seja, sem pintar quadrados que tenham lados em comum: Repare que, ao todo, pintamos 13 quadradinhos. Resposta: B MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 41 33. FCC – TCE-SP – 2008) Sabe-se que, em um dado, a soma dos pontos de faces opostas é sempre igual a 7. Um dado é colocado sobre a superfície plana de uma mesa com a face “1” voltada para o leste, a “6” para o oeste, a “3” para o sul, a “4” para o norte, a “2” para cima e a “5” para baixo, da forma como é mostrado na figura seguinte. Considere que esse dado é submetido a quatro movimentos sucessivos, cada um dos quais consiste de uma rotação de 90° em torno de uma aresta qu e se apóia sobre a mesa. Se após cada movimento as faces “1”, “3”, “5” e “6” passam a ficar, sucessivamente, voltadas para baixo, então, ao fim do quarto movimento, a face “1” estará voltada para: a) baixo. b) cima. c) o norte. d) o sul. e) o oeste. RESOLUÇÃO: Podemos resolver esse exercício em 2 linhas: - se ao final do movimento a face 6 estará para baixo, então a face 1 estará para cima (pois é oposta à face 6). Entretanto, por fins didáticos, vamos reproduzir os 4 movimentos do dado, sabendo que após o primeiro movimento a face 1 estará para baixo; depois a face 3 estará p/ baixo; a seguir a face 5 e por fim a face 6. A posição original do dado é: 1 3 2 MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 42 Como as faces devem somar 7, o próprio enunciado já deixou claro que a face 6 está para a esquerda (“oeste”), a 5 para baixo e a 4 está atrás (“norte”). Fazendo o primeiro movimento, a face 1 deve ficar para baixo. Assim, teremos: Repare que a face 3 permaneceu voltada para a frente (“sul”), e a 4para trás. A face 5 está voltada para a esquerda. Executando mais um movimento, devemos agora colocar a face 3 para baixo: Note que a face 5 está voltada para a esquerda, em oposição à face 2. O próximo movimento consiste justamente em colocar a face 5 para baixo: Efetuando o movimento final, devemos colocar a face 6 para baixo: Portanto, ao final dos movimentos a face 1 estará voltada para cima. Resposta: B. 2 3 6 2 6 4 3 6 2 3 2 1 MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 43 34. FCC – TCE/AP – 2012) Uma empresa fabrica enfeites de Natal com a forma de esfera, todos de mesmo tamanho. Eles são acondicionados em embalagens cúbicas, que comportam oito enfeites. Nessas embalagens, cada enfeite fica encostado em outros três, além de tocar duas paredes e a tampa ou o fundo da embalagem. Se as embalagens forem reduzidas, mantendo a forma de cubo, de modo que cada aresta passe a medir metade do comprimento original, cada embalagem passará a comportar, no máximo, (A) um único enfeite. (B) dois enfeites. (C) três enfeites. (D) quatro enfeites. (E) seis enfeites. RESOLUÇÃO: Originalmente temos o seguinte esquema: Nesta figura estamos olhando a caixa por cima, de modo que vemos apenas 4 das 8 esferas. Logo abaixo delas existe uma outra “camada” formada pelas 4 esferas restantes. Repare que, de fato, cada esfera toca duas paredes laterais, além de tocar o teto (ou o fundo) da caixa. Além disso, cada esfera toca outras duas em uma mesma “camada”, além de tocar uma terceira esfera que se encontra logo abaixo dela, na segunda “camada”. Se reduzirmos em metade cada lado do cubo, teremos cubos como este pontilhado: Veja que neste cubo menor cabe apenas 1 esfera. MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 44 Resposta: A 35. VUNESP – TJM/SP – 2011) Em um parquinho de diversões, três amigos – A(triângulo), B(círculo) e C(quadrado) – brincaram de tiro ao alvo. Cada um atirou três dardos. O total de pontos obtidos pelos três amigos juntos foi de: a) -12 b) -14 c) -16 d) -18 e) -20 RESOLUÇÃO: Aqui basta somarmos os pontos obtidos, seguindo a escala mostrada na figura. Quanto mais próximo ao centro, maior é a pontuação. E nos aros mais externos, a pontuação é negativa. Assim, temos a tabela: Pontuação da região acertada Número de acertos Pontuação nesta região -9 2 -18 -6 1 -6 -4 1 -4 -2 1 -2 0 2 0 3 1 3 7 1 7 10 0 0 MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 45 Somando os pontos na coluna da direita, temos -20. Resposta: E 36. FCC – BACEN – 2006) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de um triângulo segundo determinado critério. Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de interrogação é: a) P b) Q c) R d) S e) T RESOLUÇÃO: Note que temos 3 letras P, depois 3 letras Q e 3 letras R no sentido indicado pelas setas abaixo: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 46 Seguindo a mesma lógica, deveríamos ter 3 letras S e, finalmente, 3 letras T, completando o triângulo: P P Q P R S Q R S T Q R S T T Portanto, a letra que substitui o ponto de interrogação é o T. Resposta: E. 37. FCC – TRT/24ª – 2011) São dados cinco conjuntos, cada qual com quatro palavras, três das quais têm uma relação entre si e uma única que nada tem a ver com as outras: Em X, Y, Z, T e U, as palavras que nada têm a ver com as demais são, respectivamente: a) galo, Canadá, chocolate, flauta e Alfredo b) galo, Bolívia, abacaxi, guitarra e Alfredo c) cão, Canadá, morango, flauta e Denise d) cavalo, Argentina, chocolate, harpa e Aline e) gato, Canadá, limão, guitarra e Maria RESOLUÇÃO: Nesta questão, o concurseiro precisa ser esperto. Ao invés de perder tempo descobrindo o padrão presente em cada grupo, observe que os grupos Y e Z são os muito fáceis de entender. Veja porque: Y somente o Canadá não pertence à América do Sul Z somente chocolate não é fruta MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 47 A única alternativa que cita Canadá e chocolate é a letra A, que deve ser o gabarito. Por fins didáticos,vamos avaliar os demais grupos: X somente o galo é uma ave T Somente a flauta não é um instrumento de cordas U Somente Alfredo é homem Resposta: A 38. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) A figura seguinte apresenta os seis primeiros elementos de uma sequência: Sendo a figura seguinte o último elemento dessa sequência, o total de elementos da sequencia é a) 29. b) 31. c) 32. d) 30. e) 28. RESOLUÇÃO: MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 48 Observe que temos uma sequência de 1 e 2 quadradinhos pintados, alternadamente, deslocando-se da direita para a esquerda, e de cima para baixo. Observe que para percorrer a primeira fileira inteira, até ficar com apenas o 3º quadradinho pintado, foram necessárias 5 figuras: Da mesma forma, serão necessárias mais 5 figuras para percorrer a 2ª linha, a 3ª linha, a 4ª e a 5ª , totalizando 5 x 5 = 25 figuras. Além disso, é necessária uma figura para “pular” da primeira para a segunda linha (a figura que não destaquei no desenho acima). Também serão necessárias mais 3 figuras para saltar entre as demais linhas. Assim, ao todo foram necessárias: 25 + 1 + 3 = 29 figuras Resposta: A 39. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Observe a sequência de triângulos a seguir: Admitindo que a regularidade dessa sequência se mantenha para os próximos triangulos, é correto afirmar que a 120ª figura será igual a MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 49 RESOLUÇÃO: Observe que o ‘ciclo’ é formado por 6 figuras, pois devemos ir girando as letras no sentido horário, e alternando os triângulos entre branco e cinza. Dividindo 120 por 6, temos quociente 20 e nenhum resto. Portanto, para chegar na 120ª figura, devemos passar por exatamente 20 ciclos de 6 figuras, sendo que a 120ª será a última figura do 20º ciclo. Ela será, portanto, igual à 6ª figura: Resposta: A MATEMÁTICA P/ PM-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS Prof. Arthur Lima ʹ Aula 07 Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 50 40. VUNESP – POLÍCIA CIVIL/SP – 2013) Observe a sequência de figuras. A partir da figura 6, a sequência se repete na ordem apresentada, ou seja, a figura 6 é igual à figura 1, a figura 7 é igual à figura 2, a figura 8 é igual à 3, e assim por diante. Se essa sequência vai até a figura 211, então o número de vezes em que a representação da
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