Integrais de linha e campos vetoriais

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DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de integral de linha de campos escalares e campos vetoriais.
PROPÓSITO
Calcular a integral de linha para campos escalares e vetoriais, bem como a sua aplicação em campos conservativos e a do teorema
de Green.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a integral de linha de campos escalares
MÓDULO 2
Calcular a integral de linha de campos vetoriais
MÓDULO 3
Calcular integrais de linha de campos conservativos
MÓDULO 4
Aplicar o Teorema de Green
BEM-VINDO AO ESTUDO DAS INTEGRAIS DE LINHA E CAMPOS VETORIAIS!
Carregando conteúdo
MÓDULO 1
 Calcular a integral de linha de campos escalares
INTRODUÇÃO
Existem alguns problemas práticos para os quais é necessário calcular o efeito de uma função escalar sobre uma determinada
trajetória.
Imagine que você conheça a densidade linear de massa de um objeto que tem a forma de uma curva. Essa densidade linear define
como a massa se distribui pelo comprimento do objeto em cada ponto dele. Se essa densidade não for constante, deve ser
analisado o efeito desta função em cada ponto do objeto, e depois somar todos esses valores.
A integral de linha de campos escalares é a ferramenta matemática que fornece uma solução para esses problemas.
Nós já conhecemos a integração simples que permitiria a integração de uma função real para um intervalo [a,b]. Essa integral
simples permitiria resolver esse tipo de problema caso a função dependesse apenas de uma variável e a forma da curva fosse uma
reta obtida pela variação dessa variável de a até b.
A integral de linha amplia essa possibilidade, permitindo trabalhar com um campo escalar, que depende de várias variáveis,
integradas por uma curva que tem um trajeto qualquer.
Neste módulo, você vai conhecer a definição e como calcular a integral de linha.
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS ESCALARES
Iniciaremos nosso estudo apresentando uma curva parametrizada.
CURVA PARAMETRIZADA
A curva paramétrica γ t : a, b ⊂ R → Rn, com n inteiro maior do que 1, é percorrida variando o valor do parâmetro t.
Vejamos dois exemplos:
( ) [ ]
EXEMPLO 1
A curva γ(t) = (cos t, sen t), para 0 ≤ t ≤ 2π. Observe que x(t) = cos t e y(t) = sen t. Assim x2(t) + y2(t) = 1, representando uma
circunferência de raio 1 no plano XY, com a variação do valor de t.
EXEMPLO 2
A curva γ(u) = (2 cos u, 2 sen u, u), para 0 ≤ u ≤ 10. Observe que x(u) = cos u, y(u) = sen u e z(u) = u. Assim x2(u) + y2(u) = 4 e
z(u) = u, representando uma hélice circular, no espaço XYZ, com raio 2 e com z variando de 0 até 10, com a variação do valor do
parâmetro u.
Considere que esta curva é derivável em seu domínio. A derivada de γ(t) representa a taxa de variação instantânea de γ(t) em
relação ao parâmetro t. Portanto, podemos usar uma aproximação, tal que o comprimento de um arco (“pedaço”) desta curva será
dado por:
∆ s = γ ' t ∆ t
Com ∆ t = tf - ti, sendo tf e ti os valores do parâmetro para o ponto inicial e final do pedaço da curva analisado.
É óbvio que essa aproximação será mais precisa para quando ∆ s → 0.
RELEMBRANDO O CONCEITO DE CAMPO ESCALAR
Vamos relembrar a função escalar ou campo escalar, já estudada em outra oportunidade.
AS FUNÇÕES ESCALARES SÃO FUNÇÕES F : S ⊂ ℝN → ℝ, ONDE S É UM
SUBCONJUNTO DO CONJUNTO ℝN COM N INTEIRO E N > 1. ASSIM, CADA ELEMENTO
X1, X2, …, XN ∈ S DE ENTRADA SERÁ ASSOCIADO A UM ÚNICO NÚMERO REAL
DENOTADO POR F X1, X2, …, XN NA SUA IMAGEM.
Vamos considerar o caso onde essa função escalar f apresenta em seu domínio os pontos percorridos pela curva γ(t). Assim,
γ(t) ⊂ S, para t ∈ [a, b].
PROBLEMA A SER RESOLVIDO PELA INTEGRAL DE LINHA DE UMA
FUNÇÃO ESCALAR
Imaginemos agora um problema em que desejamos obter o efeito da função em cada arco (“pedaço”) dessa Curva C.
Imagine que conhecemos o valor da densidade linear de massa de um objeto (δ) que tem a forma de uma Curva C, definida por
uma parametrização γ(t). Essa densidade linear é representada por uma função que tem um valor diferente em cada ponto dessa
Curva C. Por exemplo, no caso do ℝ3, a densidade linear seria uma função δ(x, y, z).
Como o objeto tem a forma de uma curva definida por sua parametrização, podemos dizer que a função densidade será dada por
δ = f(γ(t)), onde γ(t) representa cada ponto da curva.
Como a densidade linear de massa é a razão entre a massa pelo comprimento, se desejarmos obter o valor da massa em um
pedaço ∆ L do objeto, ela será obtida por:
| ( ) |
( )
( )
∆ M = Δ ∆ L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, se fizermos esse pedaço ser tão pequeno quanto desejarmos, isto é, ∆ L → 0, podemos definir que
∆ m = f(γ(t)) ∆ L = f(γ(t)) γ ' t ∆ t.
Vamos usar um raciocínio análogo ao da Soma de Riemann, utilizada na definição de integrais simples. Vamos pegar o objeto, na
forma da curva, e dividir em m pedaços. A massa total pode ser obtida por:
M = LIM
M → ∞
 ∑ MI = 1 ∆ MI = LIM
M → ∞
 ∑ MI = 1F Γ TI Γ
' TI ∆ TI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse limite do somatório, quando existir, será representado na forma de uma integral e denominado integral de linha de um
campo escalar.
Repare, portanto, que a integral de linha de funções escalares é uma ferramenta definida para determinar o valor do produto de uma
função escalar pelo comprimento em uma trajetória definida por uma curva.
No exemplo anterior, foi usada a densidade linear de massa, mas há várias aplicações práticas nas áreas de Eletromagnetismo,
Física, estudo de escoamento de fluidos, entre outras.
Vamos, agora, definir matematicamente a integral de linha de uma função escalar.
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO ESCALAR
Como exemplificado no item anterior, a integral de linha de função escalar é semelhante à integral simples de uma função real, com
a seguinte diferença:
A INTEGRAÇÃO É FEITA POR MEIO DE UMA TRAJETÓRIA DEFINIDA POR UMA CURVA
(OU LINHA) QUALQUER, E QUE O INTEGRANDO SERÁ O PRODUTO DE UMA FUNÇÃO
PELO COMPRIMENTO DE UM PEDAÇO INFINITESIMAL DA TRAJETÓRIA.
Seja uma curva paramétrica C, definida por γ t : [a, b] ⊂ ℝ → ℝn, com n inteiro maior do que 1, derivável em todo seu domínio.
Seja uma função escalar f : S ⊂ ℝn → ℝ, com a imagem γ(t) pertencente ao domínio S da função.
A integral de linha da função escalar f sobre C será definida por:
∫
C
F(Γ(T))DL =
B
∫
A
F(Γ(T)) Γ' T DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outra denominação para essa integral é integral de linha com relação ao comprimento de arco. Essa denominação é para
diferenciar da integral de linha de campos vetoriais, que será estudada posteriormente.
| ( ) |
( ( )) | ( ) |
( )
| ( ) |
Repare na simbologia: a letra C colocada abaixo da integral representando que está se integrando sobre a Curva C.
Como estamos obtendo uma integração sobre a Curva C, para cada ponto do percurso é obtido o valor de f γ t0 vezes o
comprimento infinitesimal ∆ s(t0 . Lembrando que ∆ s(t0 = γ
' t0 ∆ t.
Vamos, agora, particularizar para o caso do ℝ2 e ℝ3, considerando que a Curva C é definida pelas parametrizações γ(t) = (x(t), y(t)),
no caso do ℝ2, e γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), para ℝ3.
Assim:
∫
C
F(X, Y)DL =
B
∫
A
F(X(T), Y(T))
DX ( T )
DT
2
+
DY ( T )
DT
2
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ou
∫
C
F(X, Y, Z)DL =
B
∫
A
F(X(T), Y(T), Z(T))
DX ( T )
DT
2
+
DY ( T )
DT
2
+
DZ ( T )
DT
2
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, após a montagem da integral de linha, o problema recai no cálculo de uma integral definida simples com o integrando
sendo uma função real.
EXEMPLO
Calcule o valor da integral de linha ∫C f dl, onde f(x, y) = 2xy + 1, e a Curva C é a semicircunferência de centro na origem com raio
2 e com y ≥ 0.
RESOLUÇÃO
( ( ))
) )| ( ) |
√( ) ( )
√( ) ( ) ( )
javascript:void(0)
Vamos inicialmente definir a Curva C. Como ela é uma semicircunferência de raio 2, temos que:
γ(t) = (2cos t, 2 sen t)
Observe que x2(t) + y2(t) = 4cos2t + 4sen2t, que é uma circunferência no plano XY de raio 2.
Como desejamos apenas a parte de cima dessa semicircunferência, isto é, y ≥ 0. O parâmetro t não irá variar de 0 até 2π, que
seria o caso da circunferência inteira, e sim de 0 até π.
Montando o integrando da integral de linha f(γ(t)) γ ' t .
Como γ(t) = (2cos t, 2 sen t), então x(t) = 2 cos t e y(t) = 2 sen t.
f(x, y) = 2xy + 1 → f(γ(t)) = 2 (2 cos t)(2 sen t) + 1 = 8 cos t sen t + 1 = 4 sen(2t) + 1
f(x, y) = 4 sen(2t) + 1 
x'(t) = 2 ( – sen t) e y’(t) = 2 cos t → γ’(t) = ( – 2 cos t , 2 sen t) 
γ ' t = √(-2 cos t)2 + (2 sen t)2 = √4 cos2t + 4 sen2t = √4 = 2
Dessa forma:
∫
C
f dl =
π
∫
0
f(γ(t)) γ ' t dt =
π
∫
0
2(4 sen(2t) + 1) dt
∫
C
f dl = 8 
1
2 - cos 2t
π
0
+ 2t|π0 = - 4 cos2π - cos0) + 2(π - 0) = 2π
A integral de linha independe da parametrização utilizada para a curva. Em outras palavras, se usarmos duas parametrizações
diferentes, desde que as duas definam a mesma curva, a integral de linha tem que dar o mesmo resultado.
EXEMPLO
Calcule o valor da integral de linha ∫C f dl, onde f(x, y) = 2xy + 1, e a Curva C é definida pela equação γ(u) = ( - 2sen 2u, 2cos 2u)
com -
π
4 ≤ u ≤
π
4
RESOLUÇÃO
Observe que este exemplo é igual ao anterior, pois γ(u) = ( - 2sen 2u, 2cos 2u) com -
π
4 ≤ u ≤
π
4 representando a semicircunferência
de raio 2 no plano XY com y ≥ 0.
Assim, γ ' u = (-2sen 2u) ', (2cos 2u) ' = - 4cos 2u, - 4 sen 2u
Portanto, γ ' u = √(-4 cos 2u)2 + (-4 sen 2u)2 = √16 cos2 2u + 16 sen2 2u = √16 = 4
E:
| ( ) |
| ( ) |
| ( ) |
( ( ) | (
( ) ( ) ( )
| ( ) | ( ) ( )
javascript:void(0)
f(x, y) = 2xy + 1 → f(γ(t)) = 2 ( - 2sen(2u))(2cos(2u)) + 1
f(γ(t)) = - 8cos(2u)sen(2u) + 1 = - 4sen(4u) + 1
Dessa forma:
∫
C
f dl =
π
∫
0
f(γ(u)) γ ' u du =
π
4
∫
-
π
4
4(-4 sen(4u) + 1)du
∫
C
f dl = 16 
1
4 - cos 4u
π
4
-
π
4
+ 4u|
π
4
-
π
4
= - 4 cosπ - cos - π + 4
π
4 -
π
4 = 2π
Observe que, apesar da mudança de parametrização para a curva, a integral de linha não mudou de valor.
Repare que quando o caminho C é uma reta sobre o eixo x, y ou z, a integral de linha se transforma na integral simples de uma
função real.
 EXEMPLO
Se a Curva C for a reta no plano XY que une os pontos (a,0) e (b,0), assim:
∫
C
f(x, 0)ds =
b
∫
a
f(x(t), 0)
dx ( t )
dt
2
+ (0)2dt =
b
∫
a
f(x(t), 0)
dx ( t )
dt dt
∫
C
f(x, 0)ds =
b
∫
a
f(x(t), 0)dx(t) =
b
∫
a
f(x)dx
Por fim, para definirmos a integral de linha, supomos que a equação que parametriza a curva apresenta derivada. Outra forma é
dizer que a curva é suave.
QUANDO TEMOS UMA EQUAÇÃO PARAMÉTRICA QUE APRESENTA
PONTOS ONDE NÃO EXISTE DERIVADA, PARA CALCULAR A INTEGRAL DE
| ( ) |
( ( ) | ( ( )) ( ( ))
√( )
LINHA, DEVEMOS DIVIDIR O PERCURSO EM PEDAÇOS QUE, JUNTOS,
OBTÊM TODA A CURVA, MAS QUE SÃO INDIVIDUALMENTE SUAVES.
Observe a figura a seguir, a curva não apresenta derivadas no ponto c e d. Repare que forma um “bico”, tendo limites laterais
diferentes da variação da função. Outra forma de não ter a derivada no ponto é se a curva não fosse contínua. Observe:
Se desejarmos calcular uma integral de linha do ponto t = a até o ponto t = b, não poderíamos aplicar a forma direta, pois a curva
não é integrável em todo o percurso.
É possível que você esteja se perguntando: Qual seria a solução?
Dividir a trajetória em três trechos:
t = a até t = c
t = c até t = d
t – d até t = b
Assim:
∫
C
F(Γ(T))DS =
C
∫
A
F(Γ(T)) Γ' T DT +
D
∫
C
F(Γ(T)) Γ' T DT +
B
∫
D
F(Γ(T)) Γ' T DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Toda vez que conseguirmos dividir a Curva C dessa forma, dizemos que ela é suave em partes.
EXEMPLO
Determine a integral de linha do campo escalar f x, y = x2y sobre a Curva C definida pelos pontos (x,y) tais que γ(t) = (t, |t|) com
-1 ≤ t ≤ 1.
RESOLUÇÃO
Observe que não existe a derivada para γ(t) quanto t = 0. Assim, para realizar a integral de linha, dividiremos a curva em duas
partes:
γ(t) =
(t, - t), - 1 ≤ t ≤ 0
 (t, t), 0 ≤ t ≤ 1
| ( ) | | ( ) | | ( ) |
( )
{
javascript:void(0)
Obtendo a derivada de γ(t):
γ'(t) =
(1, - 1), - 1 ≤ t ≤ 0
 (1,1), 0 ≤ t ≤ 1
Para ambos os casos γ ' t = √1 + 1 = √2
Acontece que o valor de f(x, y) = xy em relação à parametrização da curva será:
f(x, y) = xy → f γ(t) =
t2(- t) = - t3, - 1 ≤ t ≤ 0
t2. t = t3, 0 ≤ t ≤ 1
Assim:
∫
C
f dl =
1
∫
- 1
f(γ(u)) γ ' u du =
0
∫
- 1
f(γ(u)) γ ' u du +
1
∫
0
f(γ(u)) γ ' u du
∫
C
f dl =
0
∫
- 1
- t3 √2dt +
1
∫
0
t3 √2 dt = - √2
1
4 t
4
0
- 1
+ √2
1
4 t
4
1
0
∫
C
f dl = -
√2
4 0
4 - (-1)4 +
√2
4 1
4 - 04 =
√2
2
APLICAÇÃO DE INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS
ESCALARES
Vale a pena recordamos algumas aplicações possíveis da integral de linha para campos escalares.
Muitas dessas aplicações, quando temos uma configuração em duas ou três dimensões, são solucionadas por integrais duplas ou
triplas.
{
| ( ) |
( ) {
| ( ) | | ( ) | | ( ) |
( ) ( ) | |
( ) ( )
Em relação ao nosso problema atual, trabalharemos um objeto no espaço que possua uma dimensão.
MEDIDA DE COMPRIMENTO
Um objeto definido pela Curva C, com equação paramétrica γ(t), pode ter seu comprimento medido considerando na integral de
linha à função escalar como unitária.
COMPRIMENTO = ∫
C
DL =
B
∫
A
Γ' T DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o ponto inicial da curva a ser medida se dá para o parâmetro t = a, e o ponto final, para o parâmetro t = b.
EXEMPLO
Qual é o comprimento total da hélice circular com a equação paramétrica definida por γ(u) = (3 cos u, 3 sen u, u), para 0 ≤ u ≤ 5.
RESOLUÇÃO
Se γ(u) = (3 cos u, 3 sen u, u) → γ'(u) = (-3 sen u, 3 cos u, 1).
Assim, |γ'(u)| = √9sen2u + 9cos2u + 1 = √9 + 1 = √10.
Portanto:
Comprimento = ∫
C
dl =
5
∫
0
√10 du = √10(5 - 0) = 5√10
DENSIDADES LINEARES
Dependendo das dimensões de um objeto, podemos definir a massa do mesmo em relação a sua dimensão pela densidade de
massa. Quando o objeto tiver apenas uma dimensão, isto é, uma linha, a densidade linear de massa será medida em kg/m.
Assim, cada parte infinitesimal do objeto (dl) terá massa dada por:
| ( ) |
javascript:void(0)
Δ = LIM
∆ L → 0
 
∆ M
∆ L =
DM
DL (KG/M)
DM = Δ DL
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando esse objeto tiver a forma de uma Curva, definida pela equação γ(t):
MASSA(M) = ∫
C
Δ(Γ(T))DL =
B
∫
A
Δ(Γ(T)) Γ' T DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 COMENTÁRIO
O exemplo de aplicação foi dado para grandeza de massa, mas pode ser utilizado para diversas grandezas físicas que podem ser
definidas pelas suas densidades, como carga elétrica, corrente elétrica etc.
CENTRO DE MASSA
A densidade linear de massa também pode ser usada para obter as coordenadas do centro de massa de um objeto.
O CENTRO DE MASSA É UM PONTO HIPOTÉTICO, ONDE, NA MECÂNICA CLÁSSICA,
SE CONSIDERA QUE TODA MASSA DO SISTEMA FÍSICO ESTARÁ CONCENTRADA.
As coordenadas do centro de massa de um objeto são obtidas dividindo o momento pela massa total. Para um objeto com
densidade linear dada por δ(x, y, z), as coordenadas do centro de massa, de um corpo de massa m, onde m = ∫
C
δ(γ(t))dl, podem
ser obtidas pelas expressões:
X̄ =
∫
C
X DM
M =
∫
C
X Δ ( Γ ( T ) ) DL
M
Ȳ =
∫
C
Y DM
M =
∫
C
Y Δ ( Γ ( T ) ) DL
M
| ( ) |
Z̄ =
∫
C
Z DM
M =
∫
C
Z Δ ( Γ ( T ) ) DL
M
MOMENTO DE INÉRCIA
O momento de inércia quantifica a dificuldade de mudar um estado de rotação de um objeto em torno de um eixo e de um ponto.
Quanto maior for o momento de inércia de um objeto, mais difícil será girá-lo ou alterar sua rotação. Podemos definir o momento de
inércia para um sólido definido no espaço.
Seja um objeto no espaço com massa dada por sua densidadelinear de massa δ(x, y, z). Esse objeto tem forma definida por uma
Curva C e sua equação paramétrica γ(t).
O MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO X:
Ix = ∫
C
y2 + z2 dm = ∫
C
y2 + z2 δ(x, y, z)dl
O MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Y:
Iy = ∫
C
x2 + z2 dm = ∫
C
x2 + z2 δ(x, y, z)dl
O MOMENTO DE INÉRCIA EM RELAÇÃO AO EIXO Z:
Iz = ∫
C
x2 + y2 dm = ∫
C
x2 + y2 δ(x, y, z)dl
RESUMO DO MÓDULO 1
TEORIA NA PRÁTICA
Um objeto tem a forma de uma hélice circular de raio 2 e altura π. Sabe-se que a densidade linear de massa desse objeto vale
δ(x, y, z) = 2y sen z. Para esse objeto colocado no espaço xyz, determine: a massa do objeto, sabendo que a forma do objeto pode
ser parametrizada por γ(t) = (2cos t, 2 sen t , t) com ≤ t ≤ π.
RESOLUÇÃO
INTEGRAL DE LINHA – DENSIDADES LINEARES
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Calcular a integral de linha de campos vetoriais
INTRODUÇÃO
Nós já estudamos em outras oportunidades a função real, a função escalar e a função vetorial. Neste módulo, definiremos o quarto
tipo de função que está faltando: os campos vetoriais.
OS CAMPOS VETORIAIS SÃO AS FUNÇÕES EM QUE TANTO OS ELEMENTOS DO
DOMÍNIO QUANTO OS DA IMAGEM SÃO VETORES.
No módulo passado, foi definida a integral de linha para campos escalares. Aqui, vamos definir e aplicar a integral de linha para
campos vetoriais.
CAMPOS VETORIAIS
Dependendo da definição do conjunto domínio e do contradomínio de uma função matemática, definimos vários tipos diferentes de
função. A função real, a função escalar e a função vetorial já foram estudadas por nós em outras oportunidades.
Vamos relembrá-las:
FUNÇÃO REAL
FUNÇÃO VETORIAL
FUNÇÃO ESCALAR
Tem domínio e contradomínio contidos no conjunto dos números reais. Assim, a entrada e a saída são números reais.
Tem domínio contido no conjunto dos números reais e contradomínio no conjunto ℝm, com m inteiro e maior do que um. Dessa
forma, sua entrada é um número real, mas sua saída é um vetor com m componentes.
Tem domínio contido no conjunto ℝn, com n inteiro maior do que um, e contradomínio no conjunto dos números reais. Portanto, sua
entrada é um vetor com n componentes e a saída é um número real.
Nesse momento, vamos definir o quarto tipo de função, denominada campo vetorial.
O CAMPO VETORIAL É A FUNÇÃO QUE TEM DOMÍNIO CONTIDO NO CONJUNTO ℝN E
CONTRADOMÍNIO CONTIDO NO CONJUNTO ℝM, COM M E N INTEIROS E MAIORES DO
QUE 1.
Em outras palavras, tanto a entrada quanto a saída dessa função são vetores. O valor de m e n podem ser iguais ou até mesmo
diferentes.
Um outro nome para os campos vetoriais é função de diversas variáveis reais a valores vetoriais. Vamos definir formalmente o
campo vetorial.
DEFINIÇÃO
O CAMPO VETORIAL É A FUNÇÃO 
→
F : S ⊂ ℝN → ℝM, ONDE S É UM
SUBCONJUNTO DO CONJUNTO ℝN E TANTO M QUANTO N SÃO INTEIROS
MAIORES DO QUE UM.
Assim a cada elemento x1, x2, …, xn ∈ S ⊂ ℝ
n, será associado um único vetor 
→
F x1, x2, …, xn = y1, y2, …, ym ∈ ℝ
m.
Portanto, a imagem da função será dada por:
IM F =
→
F X1, X2, …, XN = Y1, Y2, …, YM ∈ R
M / X1, X2, …, XN ∈ S ⊂ R
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A imagem do campo vetorial é um vetor e cada uma de suas componentes serão funções escalares que dependerão das variáveis
independentes de entrada.
Para o caso de uma função 
→
F : S ⊂ ℝ3 → ℝ3, podemos escrever o campo vetorial em relação às suas funções escalares
componentes, como:
→
F(X, Y, Z) = 〈P(X, Y, Z), Q(X, Y, Z), R(X, Y, Z)〉 = P(X, Y, Z)X̂ + Q(X, Y, Z)Ŷ + R(X, Y, Z)Ẑ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( )
{ ( ) ( ) ( ) }
EXEMPLO
Seja o campo vetorial 
→
F(x, y, z) = 〈ex + y, 2z2 + 10, ln (y + 1), x + y + z〉. Determine as imagens de 
→
F para quando o elemento de
entrada for (– 1, 0, 2).
RESOLUÇÃO
Repare que o campo vetorial 
→
F apresenta domínio no ℝ3 e imagem no ℝ4. Assim, terá em sua entrada um vetor de 3 componentes e
a saída um vetor do ℝ4.
Dessa forma, 
→
F(-1,0, 2) = 〈e - 1 + 0, 2.22 + 10, ln (0 + 1), - 1 + 0 + 2〉 = 〈e - 1, 18, 0, 1〉
O campo vetorial tem várias aplicações práticas.
 EXEMPLO
O mapeamento de velocidade de um líquido, isto é, em cada ponto do espaço, definido por variáveis (x,y,z), tem definido um vetor
velocidade com suas três componentes (vx, vy, vz) que dependem das variáveis de entrada.
Outro exemplo é o valor de uma força tridimensional em cada ponto de um sólido. Que também associa em cada ponto espacial
(x,y,z) um vetor força. O campo elétrico em cada ponto do espaço.
Quando estudamos campos escalares, vimos o gradiente de uma função escalar, que foi definida como:
∇F X1, X2, …, XN =
∂ F
∂ X1 X1, X2, …, XN , …, 
∂ F
∂ XJ X1, X2, …, XN , …, 
∂ F
∂ XN X1, X2, …, XN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que o gradiente de uma função escalar é um campo vetorial, pois apresenta um vetor com n componentes na entrada e n
funções escalares na saída.
O campo vetorial, por ser um vetor, obedece a todas as operações e propriedades vetoriais.
EXEMPLO
Determine o produto vetorial entre a imagem dos campos vetoriais 
→
F(x, y, z) = 〈x + y, x - z, z〉 e 
→
G(x, y, z) = 〈2y - z, 3x + y, y + 1〉 no
ponto (1,1,1).
RESOLUÇÃO
Calculando as imagens dos campos vetoriais no ponto (1,1,1):
→
F(1,1, 1) = 〈1 + 1,1 - 1,1〉 = 〈2,0, 1〉
( ) ( ( ) ( ) ( ))
javascript:void(0)
javascript:void(0)
→
G(1,1, 1) = 〈2 - 1, 3 + 1,1 + 1〉 = 〈1,4, 2〉
→
F(1,1, 1)X
→
G(1,1, 1) =
x̂ ŷ ẑ
2 0 1
1 4 2
= (0 - 4)x̂ + (1 - 4)ŷ + (8 - 0)ẑ = - 4x̂ - 3ŷ + 8ẑ
INTEGRAL DE LINHA PARA CAMPO VETORIAL
A integral de linha de um campo escalar f : S ⊂ ℝn → R sobre uma Curva C definida pela equação parametrizada γ(t) já foi
estudada e tem a forma:
∫
C
F(Γ(T))DS =
B
∫
A
F(Γ(T)) Γ' T DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, de forma análoga, definir uma integral de linha para um campo vetorial.
A PRINCIPAL DIFERENÇA É QUE O CAMPO VETORIAL APRESENTA COMO
IMAGEM UM VETOR E NÃO UM NÚMERO REAL, COMO NO CASO DO
CAMPO ESCALAR.
Para definir essa integral de linha, vamos seguir um exemplo prático que seria o cálculo do trabalho de uma força sobre uma
trajetória.
Seja a Curva C definida pela equação parametrizada γ(t). Imagine um objeto tendo como trajetória a Curva C. Assim, a posição do
objeto para o instante to, seria dada por γ t0 .
Seja um campo vetorial que representa uma força 
→
F. Considere que as posições definidas pela trajetória façam parte do domínio do
campo vetorial. Assim, em cada posição, teremos um valor para o vetor 
→
F. No instante t0, o objeto estará na posição γ t0 , e sobre
essa posição existirá um campo vetorial de valor 
→
F γ t0 .
| |
| ( ) |
( )
( )
( ( ))
Necessitaremos definir um sentido para essa trajetória. Tanto faz qual seja, mas após a sua definição, a parametrização da curva
deve respeitar o sentido escolhido. Em nosso exemplo, consideraremos sentido positivo da esquerda para direita.
Quando não é informada a orientação da curva, considera-se o sentido de percurso o do crescimento do parâmetro.
Aprendemos, na Física, que o trabalho que uma força exerce sobre um deslocamento vale o produto escalar entre a força e o vetor
deslocamento.
 ATENÇÃO
Lembre-se que o vetor deslocamento é o que tem início na posição inicial do objeto e extremidade na posição final. Como
consideramos o sentido positivo da esquerda para a direita, o vetor deslocamento terá sempre esse sentido.
Durante o percurso, a força pode variar. Assim, temos que fazer o percurso tão pequeno quanto pudermos para usarmos a condição
que a força não varia nesse trecho. Dessa forma, podemos dizer que o trabalho realizado pela força 
→
F γ t0 para um
deslocamento infinitesimal ∆ γ, no ponto t0, será dado por:
∆ Τ =
→
F Γ T0 . ∆
→
Γ T0 =
→
F Γ T0 .
→
Γ T0 + ∆ T -
→
Γ T0
COM ∆ T → 0
 Atenção! Para visualização completa da equaçãoutilize a rolagem horizontal
Considere que a equação parametrizada da curva apresenta derivada, isto é, que a curva é suave no seu domínio. Como o vetor
∆
→
γ t0 será tão pequeno quanto desejarmos, podemos afirmar que ele terá a direção da reta tangente à curva e usará o teorema
do valor médio para calcular esse vetor por meio da derivada:
∆
→
Γ T0 =
→
Γ T0 + ∆ T -
→
Γ T0 =
→
Γ' T0 ∆ T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, ∆ τ =
→
F γ t0 . ∆
→
γ t0 =
→
F γ t0 .
→
γ' t0 ∆ t com ∆ t tendendo para zero.
( ( ))
( ( )) ( ) ( ( )) ( ( ) ( ))
( )
( ) ( ( ) ( )) ( )
( ( )) ( ) ( ( )) ( )
 COMENTÁRIO
Observe a figura anterior, como 
→
γ' t0 terá a direção da tangente à curva:
∆ τ =
→
F γ t0 .
→
γ' t0 ∆ t =
→
F γ t0 
→
γ' t0 cos α ∆ t
Onde α é o ângulo entre o vetor 
→
F e a tangente à curva da trajetória no ponto t0.
Se considerarmos a componente do vetor 
→
F na direção e sentido da trajetória 
→
FT , como 
→
FT =
→
F cos α:
∆ Τ =
→
F Γ T0 .
→
Γ' T0 ∆ T =
→
FT Γ T0 
→
Γ' T0 ∆ T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em cada posição da trajetória, tanto o módulo do campo vetorial quanto o ângulo, que o vetor força faz com o deslocamento, pode
mudar. Para calcular o trabalho total exercido pela força 
→
F desde um instante t = a até um instante t = b, necessitaremos somar
todos os trabalhos realizados em cada trecho da trajetória.
Seguindo um raciocínio análogo que foi feito com a Soma de Riemann, dividiremos as trajetórias em partições tão pequenas
quantos desejarmos e calcularemos o trabalho para cada uma dessas partições infinitesimais. Quando o tamanho das partições
tenderem a zero, ou como outra forma de pensar, quando o número de partições tenderem ao infinito, o trabalho total será obtido
pelo somatório do trabalho em cada partição.
Τ = LIM
M → ∞
 ∑ MI = 1 ∆ ΤI = LIM
M → ∞
 ∑ MI = 1
→
F Γ TI .
→
Γ' TI ∆ TI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Quando o tamanho de cada partição tender a zero, será o mesmo que fazer a variação da parametrização ∆ t tender a zero,
garantindo a aproximação do vetor deslocamento através de sua derivada.
Esse limite é semelhante ao da integral simples, sendo definido como a integral de linha do campo vetorial 
→
F sobre a Curva C,
definida por γ(t):
LIM
M → ∞
 ∑ MI = 1
→
F Γ TI .
→
Γ' TI ∆ TI = ∫
B
A
→
F(Γ(T)).
→
Γ'(T)DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ( )) ( ) | ( ( ))| | ( ) |
( ) | | | |
( ( )) ( ) | ( ( )) | | ( ) |
( ( )) ( )
( ( )) ( )
Deduzimos a integral de linha para campo vetorial por meio de um exemplo prático de cálculo de trabalho. Existem, porém, diversas
outras aplicações. Toda vez que desejarmos obter o efeito de um campo vetorial sobre uma trajetória, a integral de linha para campo
vetorial será usada.
Vamos, agora, definir matematicamente a Integral de linha de um campo vetorial.
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO VETORIAL
Como exemplificado no item anterior, a integral de linha de campo vetorial é semelhante a integral de linha de campo escalar, com a
diferença que desejamos o efeito da projeção do campo vetorial sobre a trajetória e não apenas o módulo do campo.
Seja uma curva paramétrica C, definida por γ t : a, b ⊂ ℝ → ℝn, com n inteiro maior do que 1, derivável em todo seu domínio.
Seja uma função escalar 
→
F : S ⊂ ℝn → ℝn, com a imagem γ(t) pertencente ao domínio S da função.
A integral de linha do campo vetorial 
→
F sobre C é definida por:
∫
C
→
F. D
→
Γ = ∫BA
→
F(Γ(T)).
→
Γ'(T)DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
É preciso tomar cuidado, pois no integrando temos um produto escalar entre dois vetores e não uma multiplicação simples.
Observe que, após a montagem da integral de linha e o cálculo do produto escalar, o problema recai no cálculo de uma ou mais
integrais simples com os integrandos sendo funções reais.
Quando essa curva for fechada, podemos representar a integral pela simbologia a seguir:
∮
C
→
F. D
→
Γ = ∫BA
→
F(Γ(T)).
→
Γ'(T)DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se, também, que caso a Curva C não seja suave em todo seu domínio, devemos dividir a trajetória em pedaços onde a
curva é suave, da mesma forma que fizemos para integral de linha em campos escalares para curvas suaves em partes.
Da mesma forma, a integral de linha de campo vetorial também independe da parametrização da curva utilizada.
Agora, veremos dois exemplos para entender melhor.
EXEMPLO 1
( ) [ ]
Determine o valor da integral de linha ∫
C
→
F. d
→
γ, onde 
→
F(x, y, z) = 〈2x, - y, 3z〉 e a Curva C é definida pela equação γ(t) = 1 - t2, 2t, t
com 0 ≤ t ≤ 2, com orientação positiva no sentido do crescimento do parâmetro t.
EXEMPLO 1
RESOLUÇÃO
Como 
→
F(x, y, z) = 〈x, y, z〉 e γ(t) = 1 - t2, 2t, t , então:
→
F(γ(t)) = 〈2 - 2t2, - 2t, 3t〉
γ'(t) = (-2t, 2, 0)
Assim, 
→
F(γ(t)).
→
γ ' (t) = 2 - 2t2 (-2t) + (-2t). 2 + 3t. 0 = 4t3 - 4t - 4t = 4t3 - 8t
∫
C
→
F. d
→
γ = ∫20 4t
3 - 8t dt = t4
2
0 - 4t
2 2
0 = 16 - 4.4 = 0
Vamos, agora, particularizar para o caso do ℝ3. Seja a Curva C definida pelas parametrizações γ(t) = (x(t), y(t), z(t)).
Dessa forma, γ '(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)) =
dx
dt (t),
dy
dt (t),
dz
dt (t) ,
Considere o campo vetorial:
→
F(x, y, z) = 〈P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)〉 = P(x, y, z)x̂ + Q(x, y, z)ŷ + R(x, y, z)ẑ.
Assim:
( )
( )
( )
( ) | |
( )
javascript:void(0)
∫
C
→
F(γ(t)). d
→
γ = ∫ba
→
F(γ(t)).
→
γ'(t)dt
∫
C
→
F(γ(t)). d
→
γ = ∫ba P(x, y, z)
dx
dt + Q(x, y, z)
dy
dt + R(x, y, z)
dz
dt dt
Os valores de 
dx
dt (t),
dy
dt (t),
dz
dt (t) são obtidos pelas coordenadas de γ
'(t).
Esta expressão pode ser simbolizada como:
∫
C
→
F(γ(t)). d
→
γ = ∫
C
(P dx + Qdy + Rdz)
A forma p(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz é denominada de forma diferencial definida.
Para o caso do ℝ2, só não teríamos a parcela R dz.
EXEMPLO 2
Determine o valor de ∫
C
x2dx + 2y dy, sendo a Curva C definida por γ(t) = 2t2, cos t), com 0 ≤ t ≤
π
2 . Considere a orientação positiva
da curva no sentido do crescimento do parâmetro t.
RESOLUÇÃO
Pelo enunciado, 
→
F(x, y, z) = 〈x2, 2y〉.
Assim, ∫
C
x2dx + 2y dy =
π
2
∫
0
2t2
2 dx
dt + 2cos t 
dy
dt dt.
Mas, 
dx
dt = 2t
2 ' = 4t e 
dx
dt = (cos t)
' = - sen t.
Então:
[ ]
( )
(
[ ( ) ]
( )
javascript:void(0)
∫
C
x2dx + 2y dy =
π
2
∫
0
4t4. 4t + 2cos t ( - sent) dt =
π
2
∫
0
16t5 - 2cos t sen t dt
∫
C
x2dx + 2y dy =
π
2
∫
0
16t5 - sen 2t dt = 16
1
6 t
6
π
2
0 +
1
2 cos (2t)|
π
20 =
8
3
π6
64 =
π6
24
RESUMO DO MÓDULO 2
TEORIA NA PRÁTICA
Um campo elétrico gerado por uma carga puntiforme Q, localizada na origem do sistema cartesiano, apresenta uma equação dada
por 
→
E x, y, z = k
Q
x2 + y2 + z2 3 / 2
x x̂ + y ŷ + z ẑ [Volts/m], onde k é uma constante real positiva.
Determine a diferença de potencial elétrico entre os pontos finais e iniciais de uma Curva C dada pela equação γ(t) = (t, t, t), com
1 ≤ t ≤ 2, sabendo que a diferença de potencial é dada pela equação:
∆ V = Vf - Vi = - ∫
C
→
E. d
→
γ [Volts]
RESOLUÇÃO
CAMPOS VETORIAIS
MÃO NA MASSA
[ ] [ ]
[ ] |
( ) ( ) ( )
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Calcular integrais de linha de campos conservativos
INTRODUÇÃO
O rotacional e o divergente de um campo vetorial são dois operadores diferenciais aplicados em um campo vetorial que são
bastantes utilizados em diversas áreas de aplicação. Esses operadores quando aplicados a campos reais apresenta um significado
físico, como será estudado neste módulo.
Baseado no resultado de alguns operadores diferenciais, o campo vetorial pode ser classificado como campo conservativo.
ESSE TIPO DE CAMPO TEM UMA PROPRIEDADE IMPORTANTE: A SUA INTEGRAL DE
LINHA INDEPENDER DO CAMINHO DE INTEGRAÇÃO, DEPENDENDO APENAS DO
PONTO FINALE INICIAL.
Na física, por exemplo, trabalha-se com diversos tipos de campos conservativos que são associados a suas funções potenciais.
Podemos citar o campo gravitacional e o campo elétrico.
Os campos conservativos também serão estudados neste módulo.
OPERADORES DIFERENCIAIS
Antes de estudarmos o campo conservativo, precisamos definir alguns operadores diferenciais para um campo vetorial.
Já estudamos em outras oportunidades o gradiente de um campo escalar.
 COMENTÁRIO
O gradiente é um operador aplicado em uma função que tem saída real e tem como resultado um vetor, composto pelas derivadas
parciais da função que foi operada matematicamente.
Além do gradiente, podemos definir dois outros operadores diferenciais que são o rotacional e o divergente, que serão aplicados em
campos vetoriais.
ROTACIONAL DE UM CAMPO VETORIAL
Seja um campo vetorial 
→
F : S ⊂ ℝ3 → ℝ3 representado por suas funções componentes da forma:
→
F(X, Y, Z) = P(X, Y, Z)X̂ + Q(X, Y, Z)Ŷ + R(X, Y, Z)Ẑ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Suponha que as funções P, Q e R são funções escalares que admitem derivadas parciais em S. Assim, o rotacional de 
→
F,
simbolizado por rot 
→
F é também um campo vetorial definido por:
ROT 
→
F =
ΔR
ΔY -
ΔQ
ΔZ X̂ +
ΔP
ΔZ -
ΔR
ΔX Ŷ +
ΔQ
ΔX -
ΔP
ΔY Ẑ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa expressão também pode ser representada por meio do cálculo de um determinante:
ROT 
→
F =
X̂ Ŷ Ẑ
Δ
ΔX
Δ
ΔY
Δ
ΔZ
P Q R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Definindo o operador ∇ =
∂
∂ x ,
∂
∂ y ,
∂
∂ z no ℝ
3, o determinante acima pode ser analisado como rot 
→
F = ∇ ×
→
F, por isso que ∇ ×
→
F
também é uma simbologia usada para o rotacional de 
→
F.
Observe que o rotacional é um operador aplicado a um campo vetorial e tem como resultado também um campo vetorial. O
rotacional só será definido para um campo do R3 e seu caso particular no R2.
 COMENTÁRIO
A interpretação geométrica do rotacional de um campo vetorial é que ele é um vetor que representa quanto o campo se rotaciona
em torno de um ponto, por isso o nome rotacional.
Se um campo apresenta rotacional nulo é denominado de campo irrotacional.
( ) ( ) ( )
| |
( )
EXEMPLO
Determine o rotacional do campo vetorial 
→
F(x, y, z) = 2x2z x̂ + 3xyz ŷ + y2 ẑ no ponto (1,1,2).
RESOLUÇÃO
rot 
→
F(x, y, z) =
x̂ ŷ ẑ
δ
δx
δ
δy
δ
δz
P Q R
Assim:
rot 
→
F(x, y, z) =
x̂ ŷ ẑ
δ
δx
δ
δy
δ
δz
2x2z 3xyz y2
Resolvendo o determinante:
rot 
→
F(x, y, z) =
δ
δy y
2 -
δ
δz 3xyz x̂ +
δ
δz 2x
2z -
δ
δx y
2 ŷ +
δ
δx 3xyz -
δ
δy 2x
2z ẑ
rot 
→
F(x, y, z) = (2y - 3xy)x̂ + 2x2 - 0 ŷ + (3yz - 0)ẑ
rot 
→
F(x, y, z) = (2y - 3xy)x̂ + 2x2 ŷ + (3yz)ẑ
Para (1,1,2):
rot 
→
F(1,1, 2) = (2 - 3)x̂ + (2)ŷ + (3.2)ẑ = - x̂ + 2ŷ + 6ẑ
Como lembrado no item anterior, o gradiente de uma função escalar (∇ f) é um campo vetorial. Existe uma propriedade que diz que,
para qualquer função escalar:
| |
| |
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
( )
( )
javascript:void(0)
rot(∇ f) = 0
DIVERGENTE DE UM CAMPO VETORIAL
Seja um campo vetorial 
→
F : S ⊂ ℝn → ℝn, com n inteiro maior do que 1, representado por suas funções componentes da forma
→
F = f1, f2, …, fn . Considere que as derivadas parciais de primeira ordem de todas as componentes no domínio de 
→
F ⃗ existem.
Assim, define o divergente de um campo vetorial, representado por div 
→
F ⃗, por:
DIV 
→
F =
∂ F1
∂ X1
+
∂ F2
∂ X2
+ … +
∂ FN
∂ XN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Definindo o operador ∇ =
∂
∂ x1
,
∂
∂ x2
, …, 
∂
∂ xn
 no ℝn, o divergente pode ser considerado o produto escalar entre o operador ∇ e o
campo vetorial 
→
F. Por isso, também, se usa a simbologia ∇ .
→
F para representar o divergente de um campo vetorial 
→
F.
Observe que o divergente é aplicado em um campo vetorial, mas tem como resultado um campo escalar.
NO CASO DE UMA FUNÇÃO 
→
F : S ⊂ ℝ3 → ℝ3 COM A SEGUINTE
REPRESENTAÇÃO: 
No caso de uma função 
→
F : S ⊂ R3 → R3 com 
→
F(x, y, z) = P(z, y, z)x̂ + Q(x, y, z)ŷ + R(x, y, z)ẑ
div 
→
F(x, y, z) = 
∂ P
∂ x (x, y, z) + 
∂ Q
∂ y (x, y, z) + 
∂ R
∂ z (x, y, z)
PARA O CASO DO ℝ2, COM 
→
F(X, Y) = P(X, Y)X̂ + Q(X, Y)Ŷ:
Para o caso do ℝ2, com 
→
F(x, y) = P(x, y)x̂ + Q(x, y)ŷ
div 
→
F(x, y) = 
∂ P
∂ x (x, y) + 
∂ Q
∂ y (x, y)
EXEMPLO
Determine o divergente do campo vetorial 
→
F(x, y, z) = 2x2z x̂ + 3xyz ŷ + y2 ẑ no ponto (1,1,2).
RESOLUÇÃO
Se 
→
F(x, y, z) = P(x, y, z)x̂ + Q(x, y, z)ŷ + R(x, y, z)ẑ, então:
( )
( )
javascript:void(0)
div 
→
F(x, y, z) =
∂ P
∂ x (x, y, z) +
∂ Q
∂ y (x, y, z) +
∂ R
∂ z (x, y, z)
div 
→
F(x, y, z) =
∂
∂ x 2x
2z +
∂
∂ y (3xyz) +
∂
∂ z y
2 = 4xz + 3xz + 0 = 7xy
No ponto (1,1,2):
div 
→
F(1,1, 2) = 7.1. 1 = 7
A INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO DIVERGENTE DE UM CAMPO
VETORIAL É QUE ELE MEDE QUANTO UM CAMPO SE ESPALHA (DIVERGE)
A PARTIR DE UM PONTO, POR ISSO O NOME DIVERGENTE.
Pode também ser analisado que se temos um campo vetorial que mede um fenômeno físico, o ponto onde o divergente é diferente
de zero, são os pontos onde o campo é criado (fonte de campo) ou destruído (sumidouro de campo).
Existe uma propriedade que mostra que para um campo vetorial:
div rot 
→
F = 0
Por fim, o divergente pode ser combinado com o gradiente, definindo um novo operador diferencial denominado de Laplaciano de
um Campo Escalar ∇ 2f :
∇2F = ∇ . ∇F OU ∇2F = DIV GRAD F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de um campo escalar f(x,y,z), com domínio no ℝ3:
∇2F (X, Y, Z) =
∂2F
∂ X2
 (X, Y, Z) +
∂2F X , Y , Z
∂ Y2
 (X, Y, Z) +
∂2F
∂ Z2
 (X, Y, Z)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de um campo vetorial, define o Laplaciano de um Campo Vetorial ∇ 2
→
F pelo laplaciano de cada componente do
campo vetorial.
( ) ( )
( )
( )
( )
(
( )
Assim no caso do ℝ3, com:
→
F(X, Y, Z) = P(X, Y, Z)X̂ + Q(X, Y, Z)Ŷ + R(X, Y, Z)Ẑ
∇2
→
F(X, Y, Z) = ∇2P(X, Y, Z)X̂ + ∇2Q(X, Y, Z)Ŷ + ∇2R(X, Y, Z)Ẑ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CAMPOS CONSERVATIVOS
O campo vetorial 
→
F: S ⊂ ℝn → ℝn, com n inteiro e maior do que 1, será um campo conservativo se existir um campo escalar
f : S ⊂ ℝn → ℝ tal que:
∇F =
→
F EM S
A FUNÇÃO ESCALAR F É DENOMINADA DE FUNÇÃO POTENCIAL DE 
→
F EM
S.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um ponto importante que podemos citar é que se 
→
F for contínuo em S, a função potencial f será contínua e derivável no domínio S.
Observe que o campo vetorial será conservativo se puder ser representado pelo gradiente de uma função escalar.
De início, para que isso seja possível, o domínio e a imagem precisam ter a mesma dimensão.
 COMENTÁRIO
Repare que se o domínio estiver em ℝn, a imagem, obrigatoriamente, deve estar em ℝn. Em outras palavras, não existe campo
conservativo para um campo vetorial 
→
F: S ⊂ ℝn → ℝm, com n diferente de m.
Para o caso de n = 2 e n = 3, que são os casos principais de nossos problemas, uma condição necessária, mas não suficiente para
que o campo vetorial seja conservativo é que rot 
→
F seja nulo, isto é, que o campo seja irrotacional. Ou seja, o rotacional nulo é
necessário para que um campo seja conservativo. Quando o rotacional do campo é diferente de zero, o campo, com certeza, não é
conservativo.
Apenas um cuidado: pode ocorrer campos com rotacional nulo que não são conservativos. Por isso que a condição não é suficiente.
Mais à frente, analisaremos a condição suficiente para garantir que um campo vetorial seja conservativo.
EXEMPLO
Verifique se o campo vetorial 
→
F(x, y, z) = 2x2z x̂ + 3xyz ŷ + y2 ẑ é um campo conservativo
RESOLUÇÃO
Já calculamos em um exemplo anterior o rotacional deste campo vetorial
Assim, rot→
F(x, y, z) = (2y - 3xy)x̂ + 2x2 ŷ + (3yz)ẑ.
Repara que esse campo não é irrotacional, pois existem pontos onde o rotacional não é nulo.
Assim, podemos garantir que o campo vetorial 
→
F não é conservativo.
Na Física, trabalhamos com diversos campos conservativos.
 EXEMPLO
O campo elétrico será representado pelo gradiente de uma função escalar que denominamos de potencial elétrico. Por isso que o
campo é conservativo e terá propriedades relacionadas a sua integral de linha. Essas propriedades serão vistas no próximo item.
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPOS CONSERVATIVOS
Quando o campo vetorial for conservativo, vamos verificar que podemos aplicar um teorema semelhante ao Teorema Fundamental
do Cálculo que denominaremos de Teorema Fundamental para Integrais de Linha.
Seja C uma curva suave definida por γ(t), com a ≤ t ≤ b. Seja 
→
F um campo vetorial contínuo e conservativo, com função gradiente
f, então o Teorema Fundamental para Integrais de Linha nos diz que:
∫
C
→
F(Γ(T)). D
→
Γ = ∫BA∇F(Γ(T)).
→
Γ'(T)DT = F(Γ(B)) - F(Γ(A))
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em outras palavras, a integral de linha só depende do valor da função potencial nos pontos final e inicial. Dizemos que a integral de
linha de um campo conservativo independe da trajetória.
A INTEGRAL DE LINHA DE QUALQUER CAMPO VETORIAL INDEPENDE DO
PARÂMETRO. SE O CAMPO FOR CONSERVATIVO, ALÉM DE INDEPENDER DA
PARAMETRIZAÇÃO, A INTEGRAL DE LINHA INDEPENDERÁ DO CAMINHO TRAÇADO.
( )
javascript:void(0)
SE O CAMPO FOR NÃO CONSERVATIVO, A INTEGRAL DE LINHA DEPENDERÁ DO
CAMINHO PERCORRIDO ENTRE OS PONTOS INICIAIS E FINAIS.
Um ponto importante é que a volta do teorema não vale para qualquer região. Em outras palavras, se o valor da integral de linha de
um campo for independente do caminho para todas as curvas dentro de uma região, dependendo apenas dos pontos inicial e final,
só podemos garantir que esse campo será conservativo se a região for uma região conexa.
Outra conclusão importante do teorema é que, caso o campo seja conservativo, a integral de linha através de um percurso fechado
será obrigatoriamente nula. Ou se o valor da integral de linha através de qualquer percurso fechado for nulo, o campo será
conservativo.
Os teoremas e suas conclusões não foram demonstrados, mas essas demonstrações podem ser estudadas, se for o caso, nas
obras de referência deste tema.
Obs.: Uma região será conexa se quaisquer dois pontos da região puderem ser sempre ligados por uma poligonal totalmente
contida na região B. Por exemplo, uma região que é dividida em duas regiões separadas não é uma região conexa.
 DICA
Toda vez que formos calcular a integral de linha de um campo vetorial, temos que observar antes se o campo é ou não
conservativo, pois assim podemos resolvê-la de forma muito mais rápida.
EXEMPLO
Seja o campo conservativo 
→
F(x, y) = 〈1 + 4xy, 2x2 - y2〉. Determine a sua integral de linha entre o ponto inicial (1,1) até o ponto final
(2,2). Sabe-se que a função potencial de 
→
F vale f(x, y) = x + 2x2y -
1
3 y
3 para todo seu domínio ℝ2.
RESOLUÇÃO
O enunciado já informa que o campo é conservativo. Repare que:
rot 
→
F(x, y, 0) =
x̂ ŷ ẑ
δ
δx
δ
δy
δ
δz
1 + 4xy 2x2 - y2 0
=
=
δ
δy 0 -
δ
δz 2x
2 - y2 x̂ +
δ
δz 1 + 4xy -
δ
δx 0 ŷ +
δ
δx 2x
2 - y2 -
δ
δy 1 + 4xy ẑ
= (0 - 0)x̂ + (0 - 0)ŷ + (4x - 4x)ẑ = 0
| |
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Mostrando que o campo atende a condição necessária por ser irrotacional, isto é, seu rotacional é nulo para todos os pontos (x,y,z).
O enunciado já forneceu a função potencial do campo vetorial, observe:
∂ f
∂ x = 1 + 4xy = Fx
∂ f
∂ y = 2x
2 - y2 = Fy
Provando que ∇ f =
→
F.
Resolvendo a integral de linha, repare que o exemplo não informou qual é o caminho a ser traçado, pois, ao afirmar que o campo
era conservativo, a integral de linha só depende do seu ponto inicial e final.
∫
C
→
F(γ(t)). d
→
γ = f(γ(b)) - f(γ(a)) = f(2,2) - f(1,1)
∫
C
→
F(γ(t)). d
→
γ = 2 + 2. 22. 2 -
1
3 2
3 - 1 + 1. 12. 1 -
1
3 1
3 =
38
3
Vamos apenas escolher um caminho para provar que a integral de linha para este campo vetorial, para qualquer caminho, tem que
fornecer o valor calculado. Seja o caminho γ(t) = (t, t) para 1 ≤ t ≤ 2.
Neste caso, γ'(t) = (1,1) e 
→
F(γ(t)) = 〈1 + 4t2, t2〉
→
F(γ(t)).
→
γ '(t) = 1 + 4t2 + t2 = 1 + 5t2
∫
C
→
F. d
→
γ = ∫21
→
F(γ(t)).
→
γ'(t)dt = ∫21 1 + 5t
2 dt = t|21 + 5 
t3
3
2
1
( ) ( )
( ) |
∫
C
→
F. d
→
γ = (2 - 1) + 5
8
3 -
1
3 = 1 +
35
3 =
38
3
Fornecendo o mesmo valor obtido anteriormente.
Esse conceito de campo conservativo pode parecer novo para você, mas já foi utilizado diversas vezes em seus estudos de Física.
OS CAMPOS GRAVITACIONAL, ELÉTRICO E DE FORÇA DA MOLA SÃO
CONSERVATIVOS, E VOCÊ APRENDEU QUE O TRABALHO QUE ESSAS
FORÇAS EXERCIAM SÓ DEPENDIA DOS PONTOS INICIAL E FINAL.
Outra forma de abordar isso era com a criação da Energia potencial, que dependia apenas do ponto do objeto.
Só resta buscarmos uma forma de verificar se um campo é conservativo, isto é, uma condição suficiente para essa garantia.
Antes disso, necessitamos definir alguns pontos:
Uma curva será simples se nenhum ponto dela se intercepta.
Uma região B será simplesmente conexa quando toda curva simples fechada dentro de sua região contornar apenas pontos
que pertence à região B. Em outras palavras, a região B não pode ter buracos ou ser constituída por regiões separadas, veja:
( )
Agora vamos definir uma condição suficiente para o campo vetorial ser conservativo.
SEJA 
→
F: S ⊂ ℝN → ℝN, PARA N = 2 OU N = 3, UM CAMPO VETORIAL
DIFERENCIÁVEL EM S. SE O DOMÍNIO S FOR SIMPLESMENTE CONEXO E O ROT 
→
F
FOR NULO, ENTÃO 
→
F SERÁ UM CAMPO CONSERVATIVO.
Assim, a condição de simplesmente conexo para o domínio do campo vetorial garante que caso o campo seja irrotacional, o campo
vetorial será conservativo.
Os casos mais comuns serão aqueles em que o domínio da função será o próprio ℝn. Podemos observar que o conjunto ℝn é
simplesmente conexo. Assim, para esse caso, basta garantirmos que o campo vetorial seja irrotacional.
Para o caso do ℝ2, seja 
→
F(x, y) = P(x, y)x̂ + Q(x, y)ŷ, então o rotacional do campo será:
ROT 
→
F =
X̂ Ŷ Ẑ
Δ
ΔX
Δ
ΔY
Δ
ΔZ
P Q 0
=
ΔQ
ΔX -
ΔP
ΔY Ẑ
POIS P E Q SÓ DEPENDEM DE X E Y.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Neste caso, para o rotacional ser nulo 
δQ
δx -
δP
δy = 0. .
Assim, dizemos que se 
→
F for conservativo, então 
δQ
δx =
δP
δy . E se o domínio do campo vetorial 
→
F for simplesmente conexo e 
δQ
δx =
δP
δy
em todos os seus pontos, então 
→
F é conservativo.
EXEMPLO
| | ( )
Seja o campo vetorial 
→
F(x, y) = 〈4xy, x2 - y2〉. Verifique se é um campo conservativo.
RESOLUÇÃO
Como o domínio de 
→
F é o ℝ2, que é um conjunto simplesmente conexo, basta verificarmos se será um campo irrotacional.
No caso do ℝ2, basta verificarmos se 
δQ
δx =
δP
δy , com 
→
F(x, y) = P(x, y)x̂ + Q(x, y)ŷ
∂ Q
∂ x =
∂
∂ x x
2 - y2 = 2x
∂ P
∂ y =
∂
∂ y (4xy) = 4x
Como 
∂ Q
∂ x ≠
∂ P
∂ y
 então, o campo não é irrotacional e não será conservativo.
EXEMPLO
Seja o campo vetorial 
→
F(x, y) = 〈8 - 3xy2, 2y2 - 3yx
2
〉. Verifique se é um campo conservativo.
RESOLUÇÃO
Como o domínio de 
→
F é o ℝ2, que é um conjunto simplesmente conexo, então basta verificarmos se será um campo irrotacional.
No caso do ℝ2, basta verificarmos se 
δQ
δx =
δP
δy , com 
→
F(x, y) = P(x, y)x̂ + Q(x, y)ŷ
∂ Q
∂ x =
∂
∂ x 2y
2 - 3yx2 = - 6xy
∂ P
∂ y =
∂
∂ y 8 - 3xy
2 = - 6xy
Como 
∂ Q
∂ x =
∂ P
∂ y , com domínio no ℝ
2, o campo será conservativo.
Por fim, para o caso de um campo ser conservativo, existem formas de obter a sua função potencial. Essa metodologia não será
vista neste módulo, mas pode ser estudada, se for o caso, nas referências deste tema.
( )
( )
( )
javascript:void(0)
javascript:void(0)
RESUMO DO MÓDULO 3
TEORIA NA PRÁTICA
Sabe-seque um campo elétrico gerado por determinada carga puntiforme, localizada na origem do sistema cartesiano, tem uma
equação dada por:
→
E(x, y, z) =
100
x2 + y2 + z2 3 / 2
x x̂ + y ŷ + z ẑ [Volts/m].
Esse campo é conservativo e apresenta uma função potencial dada por:
V(x, y, z) = -
100
x2 + y2 + z2
1 / 2
 
 [Volts/m].
Determine a integral de linha para o campo elétrico entre os pontos √2, 2√3, √2 e 2√2, 4, 1 através de uma Curva C. A
Curva C será contida na interseção de um paraboloide e um cone.
RESOLUÇÃO
INTEGRAL DE LINHA DE CAMPO CONSERVATIVO
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( )
( )
( )
( ) ( )
MÓDULO 4
 Aplicar o Teorema de Green
INTRODUÇÃO
O cálculo de uma integral de linha e o de uma integral dupla podem ser relacionados por meio do chamado Teorema de Green.
Através dele, você obtém a integral de linha de um campo vetorial resolvendo uma integral dupla de uma função real.
Vamos estudá-lo?
TEOREMA DE GREEN
O Teorema de Green permite relacionar a integral de linha por meio de uma curva fechada simples C com a integral dupla sobre a
região B formada por esta curva. A região B será formada por todos os pontos da fronteira C e os pontos dentro da curva fechada,
veja a figura.
Necessitamos orientar a curva, assim para o Teorema de Green, a orientação positiva será quando a curva for percorrida no sentido
anti-horário apenas uma vez.
Vamos, agora, enunciar o teorema. A demonstração desse teorema para uma região retangular, pode ser estudada, se for o caso,
nas obras de referência que se encontram no fim deste tema. Quando se trata de uma região qualquer, a demonstração do teorema
é bastante complexa.
DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE GREEN
SEJA C UMA CURVA PLANA SIMPLES, FECHADA, CONTÍNUA POR
TRECHOS E ORIENTADA POSITIVAMENTE. SEJA B A REGIÃO DELIMITADA
POR C. SEJAM AS FUNÇÕES ESCALARES P E Q DERIVÁVEIS EM UM
CONJUNTO ABERTO QUE CONTENHA D, ENTÃO:
∮
C
P(X, Y)DX + Q(X, Y)DY = ∬
B
∂ Q
∂ X -
∂ P
∂ Y DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Determine a integral de linha ∮
C
x4 - y3 dx + x3 + y3 dy, sobre a curva γ(t) = (cos t, sen t), com 0 ≤ t ≤ 2π percorrida no sentido
do crescimento do parâmetro t.
RESOLUÇÃO
Se desejássemos resolver a integral de linha da forma direta:
Com γ(t) = (cos t, sen t) → γ'(t) = ( - sen t, cos t):
∮
C
x4 - y3 dx + x3 + y3 dy = ∫2π0 x
4 - y3
dx
dt + x
3 + y3
dy
dt dt
Com γ(t) = (cos t, sen t) → γ'(t) = ( - sen t, cos t):
= ∫2π0 cos
4t - sen3t - sen t + cos3t + sen3t cos t dt =
= ∫2π0 - cos
4tsen t + sen4t + cos4t + sen3tcos t dt
Que seria uma integral definida resolvida usando a substituição de variável que vai requerer muito trabalho.
Utilizando o Teorema de Green, a integral sairá de uma forma mais simples. Observe que, ao crescer o parâmetro, a curva é
percorrida no sentido anti-horário, que é o sentido definido como positivo para o teorema de Green.
∮
C
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∬
B
∂ Q
∂ x -
∂ P
∂ y ds
( )
( ) ( )
( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
[( )( ) ( ) ]
( )
( )
javascript:void(0)
C
P(x, y) = x4 - y3 →
δP
δy = - 3y
2
Q(x, y) = x3 + y3 →
δQ
δx = 3x
2
Assim:
∬
B
∂ Q
∂ x -
∂ P
∂ y ds = ∬B
3x2 - -3y2 dxdy = ∬
B
3x2 + 3y2 dxdy
Ao analisarmos a Curva C fechada, que se trata de uma circunferência de raio 1. Assim, fica mais simples resolver a integral dupla
pelas coordenadas polares:
∬
B
3 x2 + y2 dxdy = ∫2π0 ∫
1
03ρ
2 ρdρdθ = ∫2π0 ∫
1
03ρ
3 dρdθ
∫2π0 ∫
1
03ρ
3 dρdθ = θ|2π0 . 3 
1
4 ρ
4
1
0
= 2π.
3
4 =
3π
2
REPRESENTAÇÃO VETORIAL PARA TEOREMA DE GREEN
Observe que estamos trabalhando com funções e áreas no R2. Se considerarmos que 
→
F(x, y) = P(x, y)x̂ + Q(x, y)ŷ, , então
∂ Q
∂ x -
∂ P
∂ y é o seu rotacional, com direção do eixo x, isto é, perpendicular ao plano XY.
Portanto, o Teorema de Green pode ser representado por:
∮
C
→
F. D
→
Γ = ∬
B
 ∇X
→
F . Ẑ DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
( ) ( ( ) ( )
( )
|
( )
( )
TEOREMA DE GREEN PARA UNIÃO DE REGIÕES
Se a região B for uma união finita de regiões simplesmente conexas, podemos também aplicar o Teorema de Green. Veja a figura,
na qual a região B será a união das regiões B1 e B2.
Seja C1 o contorno da região B1, no sentido positivo, e C2, o contorno de B2, no sentido positivo. Repare que, na fronteira que une
as duas regiões, C1 e C2 estarão em sentidos contrários e se anularão.
Assim, se considerarmos C o contorno apenas externo da região, podemos dizer que:
∬
B1∪B2
∂ Q
∂ X -
∂ P
∂ Y DS = ∫
C1∪C2
P(X, Y)DX + Q(X, Y)DY = ∫
C
P(X, Y)DX + Q(X, Y)DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEOREMA DE GREEN PARA REGIÃO COM FUROS
Quando a região B não for simplesmente conexa, isto é, quando apresentar furos, teremos que fazer uma adaptação do Teorema de
Green para sua aplicação, aplicando-o por meio de uma diminuição de áreas.
Seja a região B abaixo desenhada:
Observe que a região B agora será definida por uma área entre duas curvas, que serão suas fronteiras C1 e C2. Ambas as curvas
são orientadas em seu sentido positivo, isto é, anti-horário.
Dessa forma, podemos afirmar que:
( )
∬
B
∂ Q
∂ X -
∂ P
∂ Y DS = ∫
C1
P(X, Y)DX + Q(X, Y)DY - ∫
C2
P(X, Y)DX + Q(X, Y)DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A combinação acima pode ser feita para quantos buracos houver na região. Se você quiser fazer o contorno externo C1 no sentido
anti-horário, e os contornos que definem os buracos no sentido horário, o sinal muda para essa integral de linha dos buracos.
Suponha que a região B é definida externamente pelo contorno C1, orientado no sentido positivo, e tem dois buracos definidos,
respectivamente, por C2 e C3, ambos orientados no sentido negativo (horário), assim:
∬
B
∂ Q
∂ X -
∂ P
∂ Y DS = ∫
C1
P(X, Y)DX + Q(X, Y)DY + ∫
C2
P(X, Y)DX + Q(X, Y)DY + ∫
C3
P(X, Y)DX + Q(X, Y)DY
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEOREMA DE GREEN PARA CÁLCULO DE ÁREAS
O Teorema de Green pode também ser utilizado como outra forma de se calcular a área de uma região B. Na verdade, será o
cálculo da área por meio de uma integral de linha.
Lembrando que se o teorema nos apresenta a seguinte relação:
∮
C
P(X, Y)DX + Q(X, Y)DY = ∬
B
∂ Q
∂ X -
∂ P
∂ Y DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas sabemos que a área da região B pode ser calculada como:
A = ∬
B
DS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se observarmos o Teorema de Green na parte da integral dupla, seria o mesmo que fazer o termo 
∂ Q
∂ x -
∂ P
∂ y igual a 1.
Existem várias possibilidades para esta combinação. E, para cada uma delas, teremos uma integral de linha diferente a ser
calculada, através da curva fechada C que contorna a área analisada.
P(X, Y) = 0 E Q(X, Y) = X
A = ∬
B
ds = ∮
C
x dy
P(X, Y) = – Y E Q(X, Y) = 0
( )
( )
( )
( )
javascript:void(0)
javascript:void(0)
A = ∬
B
ds = ∮
C
- y dx
P X, Y = -
1
2Y E Q X, Y =
1
2X
A = ∬
B
ds = ∮
C
1
2 x dy -
1
2 ydx
A escolha do tipo utilizado dependerá da curva que determina a área. Sempre devemos buscar a integral mais simples.
Exemplificaremos este cálculo na seção “Teoria na prática” deste módulo.
RESUMO DO MÓDULO 4
TEORIA NA PRÁTICA
Determine a área da elipse de equação 3x2 + 2y2 = 6 através de uma integral de linha.
RESOLUÇÃO
TEOREMA DE GREEN
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( ) ( )
javascript:void(0)
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou e aplicou o conceito da integral de linha de campos escalares e vetoriais.
No primeiro módulo, foi definida e calculada a integral de linha de campos escalares.
No segundo módulo, foi definido o campo vetorial e calculada a integral de linha de campos vetoriais, com sentido um pouco
diferente da integral de linha de campos escalares.
No terceiro módulo, foram apresentados os operadoresdiferenciais rotacional e divergente e aplicada a integral de linha em campos
conservativos.
Por fim, no quarto módulo, foi apresentado o Teorema de Green, que relaciona o cálculo de uma integral de linha a uma integral
dupla.
Esperamos que, ao fim deste tema, você saiba definir um campo vetorial, calcular integrais de linha, usar os operadores diferenciais
e aplicar o Teorema de Green.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
APOSTOL, T. M. Cálculo. Vol. II. 2. ed. Nova Jersey: John Wiley & Sons, 1969.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. III. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013.
STEWART, J. Cálculo. Vol. II. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
EXPLORE+
Pesquise mais sobre integrais triplas e suas aplicações na Internet e em nossas referências.
Além disso, sugerimos a pesquisa e leitura do artigo Integrais de linha em um campo escalar, da Khan Academy.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
 CURRÍCULO LATTES
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