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Fundamentos da Física Moderna e Contemporânea | 
Introdução 
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DISCIPLINA 
FUNDAMENTOS DA FÍSICA 
MODERNA E CONTENPORÂNEA 
 
 
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Introdução 
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Sumário 
Sumário ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2 
1 Introdução --------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 
2 Radiação do Corpo Negro ------------------------------------------------------------------------------- 4 
2.1 Modelo clássico para a radiação do corpo negro --------------------------------------------------------------- 7 
2.2 A teoria da radiação do corpo negro de Planck ---------------------------------------------------------------- 10 
2.3 O quantum de ação de Planck -------------------------------------------------------------------------------------- 15 
3 Quantização da Carga, Energia ----------------------------------------------------------------------- 16 
3.1 Quantização da carga elétrica -------------------------------------------------------------------------------------- 16 
3.2 Descoberta do elétron ------------------------------------------------------------------------------------------------ 17 
3.3 Experimento de Milikan ---------------------------------------------------------------------------------------------- 18 
4 Propriedade corpuscular da Radiação -------------------------------------------------------------- 20 
4.1 Efeito fotoelétrico ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 20 
4.2 Efeito Compton --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 24 
4.3 Raio X ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 28 
4.3.1 Emissão de raios X----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 29 
4.3.2 Difração de Raio X ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 31 
4.3.3 Fluorescência ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 32 
5 Propriedades Ondulatórias da Matéria ------------------------------------------------------------ 33 
5.1 Postulado de De Broglie ---------------------------------------------------------------------------------------------- 33 
5.2 Princípio da Complementaridade de Bohr ---------------------------------------------------------------------- 36 
5.3 Princípio da Incerteza de Heisenberg ----------------------------------------------------------------------------- 40 
6 O Modelo do Átomo ------------------------------------------------------------------------------------- 42 
6.1 Espectro atômico ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 42 
6.2 O pudim de Thomson ------------------------------------------------------------------------------------------------- 45 
6.3 O modelo do átomo de Rutherford ------------------------------------------------------------------------------- 45 
6.4 O tamanho do núcleo ------------------------------------------------------------------------------------------------- 49 
6.5 O modelo do átomo de Bohr --------------------------------------------------------------------------------------- 50 
6.6 Princípio da correspondência --------------------------------------------------------------------------------------- 56 
6.7 Crítica à “velha” mecânica quântica ------------------------------------------------------------------------------ 56 
7 Introdução à Mecânica Quântica -------------------------------------------------------------------- 57 
7.1 Equação de Schrödinger---------------------------------------------------------------------------------------------- 58 
7.2 Condições que a função de onda deve satisfazer ------------------------------------------------------------- 61 
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7.3 Aplicações da equação de Schrödinger -------------------------------------------------------------------------- 61 
7.4 A mudança do paradigma Clássico para o Quântico --------------------------------------------------------- 62 
8 Referências ------------------------------------------------------------------------------------------------- 63 
 
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Introdução 
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1 Introdução 
A física moderna representa o início da revolução ocorrida no séc. XX. Essa 
revolução se dá em dois grandes eixos, dando origem a mecânica quântica e a 
relatividade. Nesta apostila, vamos nos concentrar no primeiro eixo, a evolução do 
entendimento da matéria e seu comportamento. 
A física moderna nesse sentido, é uma história recheada de prêmios nôbeis, como 
Planck, Einstein, De Broglie, Bohr, Thomson, Heisenberg, Schrödinger, e muitos outros 
que deram uma contribuição significativa, seja experimental ou teórica, para a 
mudança de um entendimento clássico da física para o quântico. Essa transformação 
durou quase um século e podemos chamá-la de uma mudança no paradigma, uma 
vez que essa mudança não é só uma nova teoria que serve para descrever o 
comportamento de objetos microscópios, ela é uma mudança na maneira de pensar 
os objetos físicos, no conceito da massa, das forças e de simetrias fundamentais da 
natureza. 
A teoria da relatividade de Einstein complementa esse caráter de mudança total 
de paradigma, uma vez que a ideia da existência de meio, no qual os fenômenos 
aconteciam, o Éter, dá lugar ao vácuo e a comprovação de que em sistemas com 
velocidades próximas da luz, podemos observar a contração do espaço e a dilatação 
do tempo. Algo realmente surpreendente para o início do século XX. 
Desta maneira, esta apostila se foca na transição desses conceitos, aprendemos 
na escola a pensar de maneira clássica, como Newton, e agora precisamos 
desconstruir esses conceitos para entender como funciona o mundo do muito 
pequeno. Se fizermos as mesmas perguntas que Planck e Einstein fizeram no final do 
século XIX, talvez nossas respostas sejam conservadoras, mas ao final desta apostila, 
o estudante será capaz de compreender os problemas da física clássica e os 
respectivos conceitos e interpretações que compõem a teoria contemporânea da 
mecânica quântica. 
 
2 Radiação do Corpo Negro 
O processo histórico de estudo da radiação do corpo negro iniciou-se em 
análises empíricas da luz solar e o subsequente nascimento da espectroscopia, 
utilizando o prisma recém descoberto por Newton. O primeiro espectroscópio foi 
inventado por Joseph Von Fraunhofer e constituía uma luneta ocular acoplada com 
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um prisma. Esse aparato foi aperfeiçoado por Gustav Robert Kirchhoff e Robert 
Bunsen, na segunda metade do século XIX, e a partir desse, em 1959, detectaram que 
cada elemento químico poderia ser caracterizado por um espectro próprio. Em um 
segundo trabalho, no mesmo ano, Kirchhoff propôs o que seria conhecido como a “lei 
de Kirchhoff”: Para raios espectrais de igual comprimento de onda, a uma mesma 
temperatura, a razão do poder de emissão para a capacidade de absorção é a mesma 
para todos os corpos, independente da sua natureza. 
 
Pλ
aλ
=
Pλ
aλ
 
 
Sendo Pλ o poder emissivo (energia irradiada no comprimento de onda l por 
unidade de tempo) e aλ o poder absorvente. Essa relaçãoevidencia o surgimento do 
primeiro absoluto na natureza. 
Kirchhoff introduziu o conceito de corpo negro, como sendo o corpo ideal, cuja 
superfície absorve toda a radiação que incide sobre ele, visível ou não. Seu coeficiente 
de transmissão e reflexão é nulo e o coeficiente de absorção é um, aλ = 1 . Daí a 
analogia com objetos pretos, pois sendo toda a radiação incidente absorvida, não é 
possível identificar uma cor (a cor dos objetos é fruto da radiação refletida nele) e, 
portanto, o objeto será preto representando a ausência de cor. O conceito de corpo 
negro é ideal, segundo a lei de Kirchhoff, se ele absorve toda a radiação, ele será um 
emissor ideal. O único corpo que se aproxima de ser perfeitamente negro é o sol, mas, 
embora possamos considerar que ele absorve toda a radiação nele incidente, seu 
espectro de emissão não é contínuo, como se espera de um corpo negro. 
O fato da radiação do corpo negro aparentar ser um absoluto da natureza 
instigou muito cientistas da época, entre eles Max Planck, que em sua autobiografia 
fala o seguinte a respeito do tema: (...) a radiação, em todas suas propriedades, 
incluindo sua distribuição espectral de energia, não depende da natureza dos corpos, 
mas somente e exclusivamente da temperatura. Portanto, a assim chamada 
distribuição normal de energia espectral representa algo absoluto, e uma vez que eu 
sempre considerei a procura por absoluto como o principal objetivo de toda a 
atividade científica, eu ansiosamente me pus a trabalhar. 
Os estudos de Planck e de tantos outros passaram a ser mais efetivos após 
Kirchhoff mostrar que a emissão de radiação de um corpo negro é equivalente a 
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radiação emitida por uma cavidade de paredes adiatérmicas (impermeável a radiação 
térmica) e temperatura T. E, portanto, o estudo do corpo negro podia se restringir a 
estudar a emissão de radiação de tal cavidade. 
A distribuição espectral da radiação de um corpo negro é quantificada pela 
Função RT(ν) (radiância espectral), definida de tal forma que RT (ν)dν seja a energia 
emitida por unidade de tempo e área (de uma superfície) em um intervalo de 
frequência dν para uma temperatura definida T. A primeira medida experimental de 
RT(ν) foi feita em 1865, por John Tyndall. Mas, foi em 1879, que Josef Stefan deduziu, 
empiricamente, dos resultados dos experimentos de Tyndall que a emissão do fio de 
platina aquecido era proporcional a T4(em Kelvin). De outro ponto de vista, em 1884, 
Ludwig Boltzmann, usando considerações termodinâmicas e eletromagnética no 
estudo da radiação da cavidade, encontrou que a densidade de energia dessa 
cavidade, assim como o fluxo emitido, seria proporcional a T4 e o fluxo de radiação 
dessa cavidade deveria ser igual à radiação total consolidando a observação empírica 
de Stefan RT(ν). 
RT(𝑣) = 𝜎𝑇
4 
 
Essa relação é conhecida hoje como a lei de Stefan-Boltzman, para σ a constante 
de Stefan que somente foi calculada quando o problema do corpo negro foi 
totalmente solucionado por Planck. 
Wilhelm Wien, em 1984, foi o primeiro físico a fornecer uma tentativa de análise 
teórica a partir da termodinâmica e das considerações de Boltzman. Ele propôs uma 
função de distribuição espectral para a radiação do corpo negro, em que, conhecido 
o espectro de emissão do corpo, seria possível obter RT (ν). Wien notou, em seus 
estudos, que a mudança da temperatura altera a distribuição dos comprimentos de 
onda de maneira constante em uma relação conhecida hoje como a lei de 
deslocamento de Wien 
λmaxT =
Vmax
T
= const. 
 
Ambas as deduções, de Boltzman e Wien, provocaram um grande empenho de 
parte da comunidade científica para encontrar a descrição do fluxo de emissão de 
radiação do corpo negro, tido como um problema em aberto da física, no final do 
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século XIX. 
 
2.1 Modelo clássico para a radiação do corpo negro 
Antes de seguir com os avanços no estudo da radiação do corpo negro, façamos 
uma pausa para relembrar a formulação do teorema da equipartição da energia. Em 
1845, J.J. Waterston escreveu um artigo para a Royal (que seria recusado pelo 
argumento de ser descabido) sobre: “A física dos meios que são compostos de muitas 
moléculas livres e elásticas num estado de movimento”. A conclusão principal foi que 
“num meio misto a velocidade quadrática média é inversamente proporcional ao peso 
específico das moléculas”. Em 1860, Maxwell formula a primeira versão do princípio 
de equipartição da energia, na qual dois conjuntos de partículas distribuem suas 
velocidades e suas energias cinéticas. Boltzmann generalizou o teorema, em 1868, 
para todos os tipos de partículas que tivessem números inteiros de graus de liberdade. 
Ao final do século XIX, a ideia da equipartição da energia pairava no ar e foi finalmente 
formulada como: a energia total contida num sistema composto por um grande 
número de partículas individuais, seria igualmente compartilhada, em média, por 
todas as partículas que se movimentam e colidem randomicamente trocando 
energias. Para um sistema de moléculas de um gás em equilíbrio térmico a uma 
temperatura T, o princípio da equipartição da energia, proposto por Boltzmann, afirma 
que a energia cinética média de uma molécula por grau de liberdade é 
1
2
KT, sendo k 
= 1,38 × 10−23 a constante de Boltzmann. Detalhes da conta podem ser encontrados 
em livros de mecânica estatística. 
Em 1900, Lord Rayleigh se propôs a resolver o problema da radiação do corpo 
negro usando a teoria da equipartição de energia. Rayleigh, que em seguida foi 
corrigido e aprimorado por J. Jeans, partiu da suposição que dentro da cavidade as 
ondas eletromagnéticas seriam ondas estacionárias com frequências fixas 
determinadas pelo tamanho da cavidade, ou seja, a radiação dentro da cavidade seria 
uma sobreposição de ondas estacionárias possíveis com nós sobre a superfície 
metálica (borda da cavidade). O campo elétrico para ondas estacionárias possuem 
uma estrutura de oscilação senoidal no comprimento e no tempo, Ex =
E0sen (2Π
x
λx
) sen (2Πvt) (para a componente x, que se repete nas demais) assim, o 
campo é sempre nulo nas superfícies da cavidade. Usando argumentos geométricos, 
é possível calcular o número dos diferentes modos de ondas estacionárias possíveis 
de existir na cavidade, no intervalo de frequência de ν a ν +dν , por unidade de 
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volume (devido às duas possíveis polarizações da radiação o número deve ser 
multiplicado por dois ao final da conta). 
N (ν)dν =
8Πa3
c3
v2dv 
 
Sendo a o tamanho da aresta da cavidade e c a velocidade da luz. 
 
Figura 1 - Ondas estacionárias no interior de uma cavidade metálica 
 
Segundo a teoria clássica da equipartição de energia, cada modo de vibração 
tem a mesma energia cinética média quando está em equilíbrio térmico: 
1
2
KT. 
No entanto, é preciso considerar que cada onda estacionária que oscila 
senoidalmente possui uma energia total que é o dobro da sua energia cinética média 
(propriedade dos movimentos harmônicos simples com um único grau de liberdade). 
Assim, a energia total média de cada modo vibrante é kT . O número de ondas 
estacionárias multiplicado pela sua energia média total no intervalo de frequência 
considerado, por unidade de volume, fornece a densidade de energia ρT (ν) (energia 
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média por unidade de volume no intervalo de ν a ν +dν ). Usando as considerações 
clássicas acima, chegamos à fórmula de Rayleigh-Jeans para a radiação do corpo 
negro: 
ρT (ν)dν =
8Πv2kT
c3
dv 
 
Ao comparar a curva teórica com os dados experimentais, podemos observarque 
para valores baixos de frequência, o comportamento da curva teórica é condizente 
com os dados experimentais, o que indica que neste limite a teoria consegue 
descrever o fenômeno. No entanto, para altas frequências, observa-se uma grande 
discrepância entre a curva teórica e os dados. Enquanto o experimento mostra que a 
densidade de energia é sempre finita e tende a zero para altas frequências, a equação 
cresce com 2 e tende ao infinito. Essa discrepância ficou conhecida como a 
“catástrofe do ultravioleta”, pois a teoria clássica não conseguia justificar o 
comportamento experimental nesta região de frequência. Estava em aberto um 
problema cuja solução significou uma mudança do paradigma da física clássica. 
 
 
Figura 2 - A comparação da previsão de Rayleigh e Jeans para a radiação de corpo negro com os dados 
experimentais em função do comprimento de onda. Evidência da catástrofe do ultravioleta. 
 
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2.2 A teoria da radiação do corpo negro de Planck 
Max Planck estudou a fundo o problema da radiação do corpo negro usando as 
teorias da termodinâmica clássica, mas não o fez na perspectiva do princípio da 
equipartição da energia. Planck se fixou na entropia do sistema, ele reformulou a 
segunda lei da termodinâmica, na qual a entropia de um sistema tende sempre a 
aumentar e, no limite, pode permanecer constante para o caso de uma cavidade 
adiatérmica. A partir da sua formulação da segunda lei da termodinâmica, Planck 
encontrou um análogo a lei de Wien, que, no entanto, não valia para pequenos valores 
de frequências: 
∂2S
∂2U
=
const
U
 
 
Para S a entropia do sistema e U a energia interna. 
O cenário do problema do corpo negro, no início do século XIX, indicava que a 
cada faixa de comprimento de onda em que se trabalhasse, o fenômeno era regido 
por equações diferentes. Foi então, em 19 de outubro, de 1900, que Planck apresentou 
um artigo à Sociedade Alemã de Física, no qual propunha uma solução matemática 
ao problema da radiação do corpo negro baseada na interpolação dos dados 
experimentais e as soluções válidas em determinadas regiões sem, a princípio, 
nenhuma justificativa teórica consistente. Em sua autobiografia, Planck revela: Mas, 
Ainda que a formulação da radiação estivesse perfeita e irrefutavelmente correta, teria 
sido, afinal de contas, apenas uma fórmula de interpolação descoberta por um feliz 
acaso de raciocínio e isso nos teria deixado relativamente satisfeitos. Em 
consequência, a partir do dia da descoberta, dispus-me a dar-lhe interpretação física, 
o que me levou a examinar as relações entre entropia e probabilidade, segundo os 
conceitos de Boltzmann. Após algumas semanas do mais intenso trabalho que já 
realizei na vida, as coisas começaram a clarear e visões inesperadas revelaram-se a 
distância. 
Os cálculos desenvolvidos por Planck são de uma complexidade que não cabe 
neste texto, no entanto, podemos fazer uma leitura de sua ideia partindo da função 
de distribuição de Boltzmann que se aplica ao caso da radiação do corpo negro. 
P(ε) =
e
ε
kT
KT
 
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Sendo P(ε) a probabilidade de encontrar um dado ente (uma onda estacionária) 
com uma energia ε , quando o número de estados de energia para o ente independe 
de ε. O valor médio das energias na cavidade é dado em função da distribuição de 
Boltzmann como sendo 
ε̅ =
∫ εP(ε)dε
∞
−∞
∫ P(ε)dε
∞
0
 
 
Se resolvermos essas integrais, sendo o denominador igual a um (dado que a 
probabilidade de encontrar um estado com qualquer energia é um), recaímos sobre 
o princípio de equipartição da energia: ε̅ =kT . 
 
 
Figura 3 - Em cima temos o gráfico da distribuição de Boltzmann 
 
P(ε), e embaixo o gráfico de εP(ε) , cuja área sob a curva nos dá o valor de ε̅. 
O salto qualitativo de Planck foi descobrir que poderia deslocar a posição do 
valor médio de ε no gráfico da figura 1.3 se considerasse a energia como uma variável 
discreta e não contínua como até então. Assim, definiu que a energia assumiria valores 
discretos uniformemente distribuídos (espaçados) de tal forma que os valores 
possíveis de energia pudessem ser 
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ε = 0, ∆ε, 2∆ε, 3∆ε, …. 
 
Analisando esse efeito no cálculo da área sobre a curva de (o próprio ε̅ ), quando 
o intervalo de energia ∆ε considerado for pequeno ( ∆𝜀 ≪ kT ) , a energia média 
encontrada será da ordem de kT ( ε̅ ≈ kT ). Por outro lado, se o intervalo for da ordem 
de kT ( ∆𝜀 ≈ kT ), uma parte considerável de P(ε) não irá contribuir, uma vez que o 
primeiro intervalo é zero, e o valor médio será menor que kT ( ε̅ < kT ). 
Indo ao extremo, no limite em que o intervalo é muito grande ( ∆ε ≫ kT ), o 
valor médio se aproxima de zero ( ε̅ ≈ 0). Comparando esse comportamento com o 
que é observado experimentalmente para o espectro de energia do corpo negro, para 
baixas frequências temos que ε̅ ≈ kT e para altas frequências ε̅ ≈ 0. Planck constatou 
então que precisava que ∆ε fosse uma função crescente com a frequência. Dessa 
forma, Planck supôs que esse intervalo fosse diretamente proporcional a frequência 
∆ε  v ou como ele mesmo definiu ∆ε = hv. 
Para h = 6,6310 –34 joules, constante que foi definida com o ajuste da função 
densidade de energia aos dados experimentais e é conhecida hoje como a constante 
de Planck. A fórmula de Planck para a energia média da radiação foi obtida 
substituindo as integrais em por somatórias e  = nhv, temos 
 
 
Sendo α =
nh
kT
. Para facilitar, a partir de agora vamos omitir os limites das 
somatórias que serão sempre de zero a infinito. Planck percebeu que a relação 
também aparece no desenvolvimento de uma função logarítmica. 
 
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Comparando as equações, podemos escrever a energia média como sendo: 
 
 
Abrindo a somatória e temos que ∑ e−nα = 1 + e−α + e−2α + e−3α + e−4α +
e−5α+. .. , na qual podemos identificar uma correspondência com a expansão do 
elemento (x − 1)−1 quando x ≪ 1 (x − 1)−1 = 1 + x + x2 + x3 + ⋯ para o caso de x =
e−a. Assim, a equação pode ser reescrita como: 
 
 
O que é finalmente a equação de Planck para a energia média, muito diferente 
da energia clássica kT. A densidade de energia da radiação do corpo negro, definida 
da mesma forma que a equação passa a ser. 
A figura mostra a concordância entre a previsão dada pela equação e os dados 
experimentais. Na figura, o gráfico é em função do comprimento de onda, mas, como 
a relação entre a frequência e o comprimento de onda é λ =
c
v
 a transição de uma 
descrição para outra é simplesmente pT(λ) =
c
λ2
pT(v). 
 
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Figura 4 - Comparação entre as diferentes propostas para a densidade de energia do corpo negro em função do 
comprimento de onda. 
 
Assim, o “truque matemático” de Planck se consagrou por finalmente resolver o 
problema da descrição do espectro de radiação do corpo negro. Podemos voltar às 
primeiras discussões qualitativas a respeito do comportamento do espectro. O gráfico 
da figura representa a radiação espectral de um corpo negro para três valores de 
temperatura. A partir dessa figura, podemos observar que os picos (o máximo da 
curva) de radiação emitida variam para as diferentes temperaturas de forma linear, e 
quanto maior a temperatura, maior a frequência. A potência desta radiação é dada 
pela área embaixo da curva, dessa forma, podemos observar que a potência cresce 
com a frequência, para uma temperatura fixa, e a potência total irradiada pelo corpo 
negro cresce abruptamente com a temperatura. Esse foi o resultadoobservado 
empiricamente por Stefan e calculado explicitamente por Boltzman, dando origem a 
lei de Stefan-Boltzman. Com a equação de Planck foi possível calcular o valor da 
constante de Stefan: σ = 5,67 × 10−8W/m2−0K4 . O deslocamento do espectro que 
observamos em 1.5 é a visualização da lei do deslocamento de Wien equação. 
 
 
 
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Figura 5 - A radiação espectral de um corpo negro em função do comprimento de onda da radiação, para 3 valores 
de T. 
 
2.3 O quantum de ação de Planck 
Em artigos que sucederam a publicação de 19 de outubro, Planck buscou dar 
interpretação física ao que chamou de um simples “truque matemático”. No ano 
seguinte, então, Planck formulou sua teoria admitindo que a entropia do corpo negro 
estivesse sempre em equilíbrio, apresentando a constante h como um “quantum de 
ação”, pois h tem dimensão de ação, que é energia multiplicada pelo tempo, baseado 
na ideia do princípio da mínima ação (ação tem o significado que aprendemos na 
mecânica, princípio de Lagrange). 
A contribuição de Planck, a lei de distribuição de energia de um corpo negro, foi 
muito mais importante e transformadora do que o próprio Planck poderia supor. A 
sua interpretação do comportamento do “ente” que oscila em uma energia que é 
sempre múltiplo inteiro de hν pode ser estendida a todos os sistemas físicos com um 
grau de liberdade que oscilam de forma harmônica no tempo (função do tipo seno), 
como molas e pêndulos. Ao contrário da física clássica em que a distribuição de 
energia é contínua e o sistema pode adquirir qualquer energia entre zero e infinito, o 
novo postulado de Planck limitava esses sistemas a múltiplos inteiros de hν , criando 
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o que chamamos de níveis de energia quantizados pelo número quântico n. É 
importante ressaltar que Planck formulou que apenas a partícula oscilante era 
quantizada. 
Esse cenário abriu precedente para um novo campo de estudo, no qual De 
Broglie buscou compreender o significado e o comportamento do quantum de ação 
de Planck, Einstein passou a reformular a eletrodinâmica e a estatística segundo essa 
nova visão do comportamento da radiação, o que culminou na formulação de sua 
teoria corpuscular da luz. Estava aberto o caminho para a mudança do paradigma da 
física clássica para a mecânica quântica. Avesso as interpretações que se desdobravam 
de sua teoria, Planck tentou a todo custo “encaixar” a constante h na física clássica. 
Sem sucesso, Planck ficou desolado com sua própria contribuição a ciência, ele não 
esperava que a sua teoria pudesse contradizer qualquer parte da teoria clássica, como 
ele mesmo escreveu em uma carta a R. W. Wood em 1931: Em poucas palavras posso 
caracterizar todo o procedimento como um ato de desespero, desde que, por 
natureza, eu sou sossegado e contrário a aventuras duvidosas. Contudo, eu já tinha 
lutado por seis anos (desde 1894) com o problema do equilíbrio entre radiação e 
matéria sem ter alcançado nenhum resultado positivo. Eu estava ciente que este 
problema era de importância fundamental pra a física, e eu reconhecia a fórmula que 
descrevia a distribuição de energia no espectro normal (corpo negro); portanto, uma 
interpretação teórica tinha de ser fornecida a todo custo, qualquer que fosse o preço, 
por mais alo que ele fosse. 
O que, finalmente, convenceu Planck do significado mais profundo de sua 
hipótese quântica foi a reformulação da terceira lei da termodinâmica e a introdução 
do conceito estatístico da entropia. Planck foi agraciado com o prêmio Nobel, em 
1918, como reconhecimento da sua contribuição para o desenvolvimento da mecânica 
quântica. 
 
3 Quantização da Carga, Energia 
 
3.1 Quantização da carga elétrica 
A primeira ideia de discretização da matéria surgiu na Grécia com Demócrito, em 
450 a.C.. Mas, foi a partir da hipótese de Avogadro, proposta em 1811, a de que todos 
os gases a uma mesma temperatura possuem os mesmos números de moléculas por 
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Quantização da Carga, Energia 
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unidade de volume, que possibilitou um avanço significativo na descrição dos 
fenômenos químicos e impulsionou, no final do século XIX, a teoria cinética dos gases. 
No início do século XX, portanto, já havia um consenso na comunidade científica que 
a matéria era quantizada, ou seja, composta por fragmentos menores como moléculas 
e átomos. Nesse sentido, não foi um grande espanto, para os físicos do início do 
século XX, que a carga elétrica também fosse quantizada, o que ocorreu após o 
experimento de Milikam, como veremos a seguir. 
 
3.2 Descoberta do elétron 
O primeiro a propor uma estimativa da ordem das cargas elétricas no interior dos 
átomos foi Michael Faraday, que estudando a condução de eletricidade em líquidos, 
em 1833, formulou a lei da eletrólise ou a lei de Faraday para a eletrólise. 
F = Nae 
 
Faraday chegou a essa expressão após perceber que ao passar uma corrente 
contínua em soluções carregadas, elas se decompunham e depositavam-se nos 
eletrodos. A quantidade de material depositado obedecia a relação de 1 átomo-g para 
cada quantidade F de eletricidade (F = 96500 C), sendo 1 átomo-g a massa que 
contém um número de átomos equivalente ao número de Avogadro Na. 
Em 1874, Stoney fez a primeira estimativa do valor da carga elementar, a qual 
denominou elétron, usando uma estimativa para o número de Avogadro, a partir da 
teoria cinética dos gases, obteve e = 10−20C. A primeira experiência de medida direta 
da carga do elétron foi realizada por Townsend, em 1897, e foi aprimorada por 
Milikam. 
Paralelamente a essa linha de experimentação, Pieter Zeeman estudava a luz 
emitida pelos átomos sobre o efeito de campos magnéticos usando um 
espectroscópio. Os espectroscópios decompõem a luz emitida pelo material em linha 
com frequência bem definida, as linhas espectrais, essa técnica, como descreveremos 
adiante com mais detalhe, foi fundamental para estudar as propriedades do átomo de 
hidrogênio e a subsequente teoria de Bohr para o átomo. 
A teoria clássica até então, atribuía à intensidade de radiação emitida pelo átomo 
o movimento de oscilação, pelo qual as cargas no seu interior eram submetidas. 
Portanto, segundo a teoria clássica, as linhas espectrais deveriam ser modificadas na 
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presença do campo magnético, uma vez que ele provocaria uma mudança na 
oscilação inicial no átomo. Zeeman notou que a mesma linha se transformava em três 
linhas com uma frequência muito próxima uma da outra e espaçadas de um mesmo 
intervalo (esse fenômeno é explicado na teoria quântica e conhecido como efeito 
Zeeman). A distância entre essas linhas está associada à razão carga/massa (q/m) da 
partícula oscilante. Ao medir a distância entre as linhas espectrais do átomo com a 
aplicação de um campo magnético, Zeeman obteve q / m = 1,61011 C/Kg e 
estudando a polarização das linhas constatou que as partículas emissoras de radiação 
possuíam carga negativa. 
 
3.3 Experimento de Milikan 
Experimento famoso, pois a partir de um modelo simplificado, foi capaz de medir 
a carga do elétron. Usando um aparato experimental que podemos reproduzir em 
laboratório didático, Milikan borrifa gotas de óleo dentro de um capacitor de placas 
paralelas. O método empregado neste burrifador é tal que a gota de óleo ao sair dele 
adquiri carga elétrica. E, portanto, ao aplicarmos um campo elétrico E sobre o 
capacitor, a bolha sofrerá efeito da força elétrica (Fe = qn E) no sentido contrário a 
ação da força gravitacional (Fp = mg), dado que a bolha tem carga negativa. Além 
dessas duas forças, age sobre o corpo da bolha aforça de empuxo (F = pgvl ) que 
vamos desprezar e a força viscosa (Fv = bv), devido ao atrito da bolha com o ar. 
Sendo b o coeficiente de viscosidade definido pela lei de Stokes como sendo b = 6πna 
para a o raio da gota e η o coeficiente de viscosidade do fluido (ar). Dessa forma, 
ligando e desligando o campo elétrico no capacitor temos duas equações de 
movimento para a bolha, são elas respectivamente: 
 
 
A partir dessas equações de movimento é possível calcular as respectivas 
velocidades terminais (quando 
dv
dt
= 0) de subida e decida da bolha: 
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Combinando as equações podemos eliminar b e obtemos uma expressão para a 
carga da bolha. 
 
 
No experimento de Milikan, as velocidades terminais de subida e decida eram 
calculadas medindo o tempo que a bolha demorava a percorrer um mesmo espaço L 
conhecido. Dessa forma, vs =
L
Ts
 e vd =
L
Td
. 
Durante o processo de subida e decida, a gota “adquiri” mais carga elétrica, 
portanto, em medidas sucessivas das velocidades terminais, elas serão diferentes, pois, 
como mostra a relação ela depende da carga. O aumento da carga da bolha pode ser 
calculado através da diferença entre os tempos de subida: 
 
 
E, foi usando a relação para várias medidas de um mesma bolha (Milikan chegou 
a ficar diversas horas calculando o tempo de decida e subida de uma mesma bolha), 
que Milikan constatou que a diferença entre as cargas era sempre um múltiplo inteiro 
do valor e = 1,591 × 10−9C e. E, então, a carga era sempre qn = ne o demonstra 
novamente a quantização da carga elétrica. Com medidas mais precisas, o valor foi 
corrigido para e = 1,6021 × 10−19C, o que Milikam atribuiu a um erro no coeficiente 
de viscosidade η . Depois de corrigido, com os mesmos dados do seu experimento de 
20 anos antes, Milikan conseguiu reproduzir o mesmo valor e = 1,6021 × 10−19C. 
 
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Figura 6 - Aparato experimental similar ao utilizado por Milikan 
 
4 Propriedade corpuscular da Radiação 
Nesta seção, vamos estudar processos nos quais ocorrem espalhamento, 
absorção ou produção de radiação pela matéria, são eles: efeito fotoelétrico, efeito 
Compton, produção e aniquilação de pares e bremsstralung. Nesses processos, 
veremos que diferente do comportamento ondulatório, conhecido na propagação da 
radiação, na interação com a matéria, ela se comporta como uma partícula. 
 
4.1 Efeito fotoelétrico 
O Efeito Fotoelétrico é a denominação usada para a emissão de elétrons 
provocada por ação de radiação (luz), especialmente, a radiação ultravioleta. A 
primeira observação desse fenômeno foi feita por Heinrich Hertz, em 1886 e 1887, 
enquanto realizava as experiências que vieram a confirmar a existência de ondas 
eletromagnéticas e, a teoria de Maxwell sobre a propagação da luz. Durante as 
experiências, Hertz percebeu um curioso fato de que a luz ultravioleta facilitava a 
descarga elétrica entre dois eletrodos; isto decorre do fato da luz ultravioleta provocar 
a emissão de elétrons da superfície do catodo. 
Em 1900, usando um aparo experimental descrito na figura 2.2, Lenard comprova 
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que a radiação faz o metal emitir elétrons. Nesse experimento, a luz atinge o catodo 
C e provoca emissão de elétrons. O número de elétrons que atingem o ânodo A é 
medido pela corrente no amperímetro sendo que o ânodo pode ficar positivo ou 
negativo em relação ao catodo, a fim de atrair ou repelir elétrons. 
 
 
Figura 7 - Esquema do aparelho utilizado para investigar o efeito fotoelétrico. 
 
Estudos detalhados do efeito fotoelétrico levaram a teoria ondulatória da 
radiação eletromagnética a ser contestada, pois as características desse efeito não 
podiam ser, satisfatoriamente, explicados pela teoria clássica. 
O quadro abaixo mostra as características esperadas segundo a teoria clássica e 
as observadas experimentalmente do fotoelétrico. 
 
Teoria Clássica (Ondulatório) Efeito fotoelétrico 
 Não existe limite para a energia 
cinética máxima dos elétrons; 
 Energia cinética dos elétrons 
dependeria da intensidade da luz 
incidente; 
 Existiria um tempo de absorção de 
energia pelo elétron; 
 Ocorreria independente da frequência 
da luz. 
 
 Existe energia cinética máxima igual a 
eV0; 
 Energia cinética independe da 
intensidade da luz; 
 Ocorre instantaneamente, não existe 
tempo mínimo para absorção de 
energia; 
 Depende da frequência de radiação 
incidente, pois existe frequência de 
corte, onde abaixo dela não ocorre o 
efeito fotoelétrico. 
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Segundo a teoria clássica, o aumento da intensidade da luz estaria ligado a um 
consequente aumento da energia cinética do elétron emitido. No entanto, essa 
relação não foi observada no experimento de Lenard. A figura mostra a corrente 
(portanto, o número de elétrons detectados) em função de V para dois valores da 
intensidade da luz incidente sobre o catodo. Quando V for negativo, os elétrons são 
repelidos pelo ânodo e somente os elétrons que tenham as energias cinéticas iniciais 
maiores que |eV| podem atingir o ânodo. Ainda, se V for menor que –V0, nenhum 
elétrons consegue chegar ao ânodo. O potencial V0 é chamado de potencial de corte. 
 
 
Figura 8 - Corrente fotoelétrica i pela voltagem V, para dois valores da intensidade da luz. 
 
Em 1905, Einstein usou o efeito fotoelétrico para generalizar a proposta de Planck 
para radiação do corpo negro e propôs a nova teoria corpuscular da luz, segundo a 
qual a energia radiante é uma composição de minúsculos pacotes de energia, ou seja, 
é quantizada em pacotes concentrados chamados de fótons. O trabalho de Einstein 
sobre o efeito fotoelétrico lhe rendeu o Prêmio Nobel, em 1921. 
Segundo a teoria corpuscular da luz, o campo eletromagnético é composto de 
fótons de energia E = hv E. Elétrons presos na superfície do metal possuem uma 
energia eφ , em que φ é a função trabalho do metal, associada a energia de ligação 
do elétron no material. Se a luz que incide sobre o metal possuir uma frequência ν tal 
que hv > eφ, então, é possível arrancar fotoelétrons do metal. A energia excedente 
é convertida em energia cinética do elétron. Desse modo, a equação fotoelétrica é 
dada por: 
hν =
1
2
mv2 + eφ 
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Isolando-se a energia cinética do elétron na equação (2.8), nota-se que ela 
depende linearmente da frequência da radiação incidente. Portanto, se fizermos um 
gráfico da energia cinética do elétron em função da frequência, obteremos a sua 
energia de ligação ( eφ ) como coeficiente linear e a constante de Planck (h) como 
coeficiente angular. Quando o elétron é submetido, há um potencial de freiamento, 
como mostramos na figura, podemos escrever a energia cinética do elétron mais veloz 
como sendo Ee = eV0, para V0V0 o potencial de corte, ou seja, aquele potencial a partir 
do qual a corrente fotoelétrica cai a zero. 
Assim, podemos escrever a equação energia da forma: 
V0 =
h
e
v − φ 
 
Em 1914, Millikan verificou, em uma experiência que lhe rendeu o Prêmio Nobel, 
de 1923, que o potencial de corte não depende da intensidade da luz incidente, e que 
ele está associado a uma frequência de corte, abaixo da qual o efeito fotoelétrico deixa 
de ocorrer, provando a equação. Milikam também calculou o valor da constante h a 
partir do mesmo experimento e chegou ao mesmo valor obtido por Planck. A 
frequência (ou comprimento de onde) de corte para que o efeito fotoelétrico seja 
observado, vt (λt),são obtidos fazendo o potencial de corte nulo (v0 = 0). 
φ = hvt =
hc
λt
 
 
 
Figura 9 - Dados obtidos por Millikan para o potencial freador V0, em função da frequência, no efeito fotoelétrico, 
para vL=43,9.1013Hz. 
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A teoria corpuscular de Einstein introduz a comunidade científica a quantização 
da energia. Todo quantum de luz, o fóton, possui uma energia proporcional a 
frequência de oscilação: E = hv. É preciso tomar cuidado com a distinção entre a 
energia de um fóton e de um conjunto de fótons, que teriam uma energia E = nhv 
sendo n o número de fótons. A teoria de Einstein deu um passo muito importante na 
mudança do paradigma da teoria clássica para a teoria quântica. No entanto, o 
reconhecimento da sua contribuição à mecânica quântica, veio muitos anos após sua 
publicação. Planck, em discurso de indicação de Einstein para membro da Academia 
Prussianas de Ciências diria o seguinte a respeito da teoria corpuscular de Einstein: (...) 
em resumo, podemos dizer que dificilmente haverá um grande problema, dos quais a 
física moderna é tão rica, ao qual Einstein não tenha dado uma importante 
contribuição. Que ele tenha algumas vezes errado o alvo em suas especulações, como 
por exemplo em sua hipótese sobre os quantum de luz (fótons), não pode ser 
realmente colocado contra ele, pois é impossível introduzir ideias fundamentalmente 
novas, mesmo nas ciências mais exatas, sem ocasionalmente correr um risco. 
 
4.2 Efeito Compton 
Em 1927, o Físico alemão Arthur H. Compton foi agraciado com o prêmio Nobel 
devido a seus experimentos com raio X e γ , em 1923. Nesses experimentos, ele 
observou o espalhamento elástico de fótons por elétrons livres, denominado Efeito 
Compton, o qual constituía em mais uma evidência de que a luz interagia com a 
matéria como uma partícula e não como uma onda, confirmando de formadefinitiva 
a teoria corpuscular de Einstein. 
Em seu experimento, Compton fez incidir um feixe de raio X (será introduzido na 
seção seguinte) sobre um alvo material, e mediu a intensidade dos raios X espalhados 
em função do comprimento de onda para diferentes ângulos de espalhamento. Os 
resultados obtidos por Compton, para o grafite como alvo, estão dispostos na figura 
2.5. A partir deles, Compton observou que, embora a radiação incidente tenha sempre 
o mesmo comprimento de onda, λ , os raios espalhados possuem uma distribuição 
em um intervalo de comprimentos de onda, com dois picos, o primeiro é de mesmo 
valor ao comprimento incidente e o segundo em λ' . 
Esse deslocamento é definido como deslocamento Compton δλ = λ′ − λ , e é 
diferente para cada ângulo de espalhamento. A teoria clássica não podia explicar esse 
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comportamento, segundo ela os elétrons vibrariam na mesma frequência da radiação 
incidente e irradiaria na mesma frequência. Compton, por sua vez, apropriou-se da 
teoria corpuscular de Einstein para explicar o fenômeno observado. E, então, cada 
quantum de luz do feixe de radiação incidente irá colidir elasticamente com um 
elétron do material, como esquematizado na figura. A analogia de Compton foi com 
o tratamento clássico dado a dois corpúsculos que colidem, como duas bolas de bilhar 
 
Figura 10 - Espalhamento elástico Compton de forma esquemática. 
 
Dessa forma, supondo que o fóton incide no material com momento Pv, se choca 
com o elétron, que se encontra inicialmente em repouso, e este adquire momento Pe 
e energia Ee, resultando em um fóton de momento final P′v 
Considerando uma colisão elástica, temos conservação de energia e momento 
linear, portanto, com base no esquema da figura, é possível obter as equações: 
 
 
Sendo θ e φ os ângulos de espalhamento do fóton e do elétron, respectivamente, 
m0 é a massa de repouso de elétron e Ee é a energia relativística, uma vez que os 
fótons sempre se movimentam em velocidades relativísticas (v ≈ c), que pode ser 
obtida a partir da Equação 
Ee = √(p2c2 + m0
2c4) 
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A expressão para o momento linear do fóton é obtida igualando a equação da 
energia relativística à energia do fóton do fóton é zero, seu momento linear é: 
p v =
h
λ
 
 
Dessa forma, juntando as relações, podemos obter uma equação para a energia 
do fóton remanescente em função do ângulo de espalhamento ( θ ): 
 
 
Esta equação é equivalente à obtida por Compton : 
 
 
Assim, segundo a equação, ao colocarmos o detector de elétrons fazendo um 
determinado ângulo θ com o eixo de incidência do fóton, obteríamos um pico de 
contagens numa determinada energia hνν . 
Um espectro típico do Cs, obtido por um detector de cristal cintilador pode ser 
visto na figura. O pico com energia máxima, correspondente a energia dos fótons 
incidentes e é causado pelo efeito fotoelétrico que ocorre no detector, quando toda 
a energia do fóton é transmitida ao elétron (fotopico). 
 
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Figura 11 - Gráfico do número de contagens por energia do fóton, obtido para uma fonte de Cs. 
 
Na figura, o pico com energia máxima corresponde à energia dos fótons 
incidentes ( hν ), é causado pelo efeito fotoelétrico que ocorre no detector, quando 
toda a energia do fóton é transmitida ao elétron. A queda do número de contagens é 
a chamada borda Compton, correspondente à energia máxima na qual o elétron pode 
ser espalhado. Neste caso θ ≈ 180° e φ ≈ 0°. Para energias mais baixas temos um 
contínuo, pois, em função dos ângulos de espalhamento, podemos obter todas essas 
energias. O pico menor que se sobrepõe a este contínuo, é causado pelo efeito 
Compton que ocorre fora do detector (pico de retroespalhamento). Superposto ao 
espectro de espalhamento temos uma radiação de fundo, que é inevitável, mas pode 
ser medida e posteriormente subtraída do espectro. 
Até agora, vimos que a luz pode interagir com a matéria de duas formas distintas: 
fotoelétrico e Compton, dependendo da energia do fóton incidente e do material. 
Mas, existe também uma terceira forma: a produção de pares. A Produção de Pares 
são predominantes em raios γ de altíssimas energias com absorvedores de grandes 
números atômicos, ocorrem quando o fóton tem energia suficiente para se 
desintegrar em um par elétron-pósitron. 
 
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Figura 12 - Regiões em que predominam as 3 formas possíveis de interação da radiação γ com a matéria. Em 
função da energia e do número atômico Z do material. 
 
A análise de Compton expõem um cenário no estudo da interação da radiação 
com a matéria, no qual é necessário supor que o fóton seja uma partícula pontual, 
quantizada. No entanto, a interpretação ondulatória da radiação ainda é necessária 
para explicar os fenômenos de interferência e difração. A constatação do 
comportamento dual partícula-onda da radiação, causou muito estranhamento na 
comunidade científica da época. Até ser formulada formalmente por De Broglie como 
uma característica de todas as partículas quânticas. 
 
4.3 Raio X 
Após a descoberta dos raios X, quase que acidentalmente por Wilhelm Konrad 
Röentgen, em 1985, despertou imediatamente o interesse de outros cientistas por 
essa radiação. As duas seções que antecederam esta foram consequência dessa 
descoberta. 
Esses raios, inicialmente considerados misteriosos por Röentgen e por isso a 
denominação do nome de Raios X, trouxe grandes aplicações em várias áreas. Os raios 
X são utilizados, na área médica, em radiografias de ossos e outros órgãos, devido ao 
seu alto poder penetrante.São utilizados também em tratamentos de câncer, por 
radioterapia. São usados na detecção de falhas estruturais em materiais como aço, 
concreto, entre outros. Atualmente, todas as propriedades do Raio X, que são muitas, 
são compreendidas. O Raio X é uma radiação eletromagnética de comprimento de 
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onda entre ~10-1m e ~10-7m. É uma radiação muito penetrante, pouco ionizante e que 
pode atravessar, sem absorção apreciável, meios materiais com espessura bastante 
grande. Não difere essencialmente de um raio gama, distinguindo-se os dois tipos de 
radiação, na maioria dos casos, pela respectiva origem. 
Em seguida, vamos discutir algumas das características fundamentais dos Raios 
X. 
 
4.3.1 Emissão de raios X 
Raios X podem ser produzidos quando elétrons são acelerados em direção a um 
alvo metálico. O choque do feixe elétrons (que sai do catodo com energia da ordem 
de 30 000 eV) com o ânodo (alvo) produz dois tipos de raios X. Um deles constitui o 
espectro contínuo, ou bremsstrahlung em alemão, e resulta da desaceleração do 
elétron durante a penetração no ânodo. O outro tipo é o raio X característico do 
material do ânodo. Assim, cada espectro de raios X é a superposição de um espectro 
contínuo e de uma série de linhas espectrais características do ânodo. 
 
 
Figura 13 - Espectro de emissão de raios X. 
 
A radiação bremsstrahlung tem origem em uma partícula carregada em alta 
velocidade se aproximando do núcleo de um átomo, sendo desacelerada neste 
processo e tendo sua trajetória desviada. A diferença de energia entre o estado final 
e inicial da partícula é liberada na forma de raios X a uma taxa R dada por: 
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onde q é a carga da partícula, a é a aceleração da mesma e c é a velocidade da 
luz. A emissão de energia pela carga é máxima na direção perpendicular e nula na 
direção do vetor aceleração. A energia do raio X emitido é dada por: 
 
 
Onde Ei e Ef são, respectivamente, as energias cinéticas inicial e final da partícula 
e λ é o comprimento de onda do raio X emitido. Como se pode observar a partir da 
equação, a energia do raio X emitido por assumir uma série contínua de valores, desde 
zero (sem colisão nem emissão) até Ei (partícula totalmente freada). Assim, o espectro 
de emissão devido à radiação bremsstrahlung é contínuo, com um valor mínimo para 
o comprimento de onda emitido (hc/Ei). 
O raio X característico é produzido por um mecanismo quântico dado pela 
interação de elétrons incidentes com elétrons das camadas internas dos átomos que 
constituem o material do ânodo tubo. Se a energia cinética do elétron incidente for 
maior que a energia de ionização da camada na qual se encontra o outro elétron, o 
incidente transfere energia para o elétron do átomo e este é arremessado para fora, 
deixando um espaço vazio na camada em que se encontrava. Em seguida, um elétron 
pertencente a uma camada superior decai para ocupar o espaço deixado pelo elétron 
arremessado. Como as camadas interiores possuem menor energia, ao decair o 
elétron emite um fóton de raio X com energia equivalente à diferença de energia entre 
as camadas inicial e final desse elétron. Sendo os níveis de energia de um átomo 
quantizados5 as energias dos fótons emitidos também são, formando assim um 
espectro de linhas (discreto). As linhas são denominadas da forma Yξ em que Y 
significa a camada onde ocorre a ionização e ξ corresponde ao número de camadas 
saltadas pelo elétron que decai (α=1, β=2, γ=3,..). Como os níveis de energia de cada 
linha dependem do número atômico Z do elemento e são tabeladas, é possível 
identificar os elementos químicos presentes no objeto bombardeado através da 
análise do espectro de raios X. 
 
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4.3.2 Difração de Raio X 
A incidência de raios X em um material, com uma determinada estrutura 
cristalina, produz interferências coerentes que geram, nos raios transmitidos, picos de 
intensidade. A existência e localização desses picos dependem, em essência, da 
geometria do material que é atravessado pelo feixe. Picos são devidos a diferenças de 
caminho óptico iguais a números inteiros de comprimento de onda da radiação 
incidente. Numa estrutura que tem planos cristalinos bem definidos, essa condição é 
satisfeita para todo ângulo tal que: 
θi = θr = θ, 
 
2d ∙ senθ = nλ, 
 
Em que λ é o comprimento de onda da radiação incidente, θi e θr os ângulos de 
incidência e de reflexão respectivamente, n é a ordem de reflexão e d o espaçamento 
interplanar. A equação é conhecida como Lei de Bragg. O máximo de difração ocorre 
para n =1 e a energia do feixe incidente que satisfaz a Lei de Bragg é dada por: 
E =
hc
2dsenθ
 
 
 
Figura 14 - Esq. estrutura de cristais de NaCl, na qual d é a distância interplanar; dir. esquema do espalhamento em 
planos cristalográficos de espaçamento d. 
 
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4.3.3 Fluorescência 
A fluorescência é o fenômeno no qual um átomo emite um fóton após ter sido 
ionizado por um bombardeamento de raios-X. Outros fenômenos como a emissão de 
elétrons também podem ocorrer nesse processo, no entanto, não serão detalhados. 
Ao bombardear os átomos com fótons muito energéticos, os elétrons das 
camadas mais internas são arrancados, resultando em um íon positivo, uma vacância, 
esse é o efeito fotoelétrico, como já descrevemos anteriormente. A vacância ocorre, 
geralmente, na camada K (correspondente ao número quântico n=0), assim, os 
elétrons das camadas mais externas começam a decair para essas vacâncias e o 
excesso de energia é liberado pelo átomo em forma de fótons de raio X de segunda 
ordem. A energia desses fótons é necessariamente menor do que a dos fótons 
incidentes. A probabilidade do decaimento por emissão de raios X é determinada pelo 
rendimento da fluorescência, que está associado ao número atômico do elemento 
bombardeado e à camada onde ocorre à vacância. Nesta experiência foram 
bombardeados átomos cujo número atômico varia de Z = 23 até 30, portanto as linhas 
Kα e Kβ dominam o espectro de fluorescência. 
 
 
Figura 15 - Rendimento de fluorescência. 
 
 
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5 Propriedades Ondulatórias da Matéria 
 
5.1 Postulado de De Broglie 
A partir da contribuição de Planck, foi constatado que a radiação, ondas 
eletromagnéticas eram quantizadas. Em seguida, com a teoria corpuscular, Einstein 
propôs que a radiação se comportava como uma partícula, como no efeito fotoelétrico 
em que um fóton colide elasticamente com o elétron como se fossem bolas de bilhar. 
Instigado pela na ideia da dualidade onda partícula constatada na energia 
eletromagnética, Louis De Broglie propôs, em 1924, na sua tese de doutorando, em 
Paris, que a dualidade onda partícula é um comportamento extensível a toda matéria 
presente na natureza e não só a energia eletromagnética. Assim, todos os corpúsculos 
ou partículas poderiam se comportar como onda e todas as ondas conhecidas, como 
o som, poderiam se comportar como partículas. Como o próprio De Broglie apresenta 
em seu livro: Depois da primeira guerra mundial, pensei muito a respeito da teoria dos 
quantum e do dualismo onda partícula (...) Foi então que tive uma súbita inspiração. 
O dualismo onda partícula de Einstein era um fenômeno absolutamente geral, que se 
estendia a toda a natureza. 
Foi Einstein o primeiro a reconhecer a genialidade da proposta de De Broglie e a 
chamar atenção de outros cientistas para ela, no entanto, a falta de evidências 
experimentaisdescreditaram a importância da sua proposta. Cinco anos mais tarde, 
De Broglie ganhou o Prêmio Nobel em física, pois suas previsões foram confirmadas 
com muita precisão por diversas experiências. 
A ideia apresentada por De Broglie foi de que a matéria, assim como a radiação, 
possui uma energia total E dada em função da frequência ν da onda que descreve seu 
movimento, 
E = hv. 
 
O momento do sistema p é dado em função do comprimento de onda λ , da 
onda que descreve o movimento como: 
p =
h
λ
 
 
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Propriedades Ondulatórias da Matéria 
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Com a equação, De Broglie conseguia calcular o comprimento de onda de um 
corpo material se movendo com um momento conhecido p , o que passou a ser 
chamado de comprimento de onda de De Broglie: λ = h / p . Assim, por exemplo, é 
possível calcular o comprimento de onda de De Broglie para um bola de tênis com 
uma velocidade de 30 m/s. Supondo a massa da bola 0,1Kg, temos: 
 
 
O que é um comprimento de onda muito pequeno. Essa característica explica a 
dificuldade de observar esse fenômeno por meio de experimentos óticos, pois 
segundo a ótica geométrica, os efeitos ondulatórios podem ser observados no limite 
em que λ/a ≈ 1, sendo a o tamanho da fenda ou lente ótica. Nessa situação, o 
ângulo de difração é dado por senθ ≈ θ ≈ λ / a e os efeitos ondulatórios da luz ou de 
qualquer objeto material se tornam evidentes. Dessa forma, no caso da bola de tênis, 
para que a razão λ / a atenda o requisito de ser mensurável do ponto de vista da ótica 
geométrica temos que a ≈ 2,2 × 10−24Å , o que é impossível do pondo de vista 
operacional. Mas, para massas centenas de vezes menor, a relação se inverte e os 
comprimentos de onda aumentam. A ferramenta experimental de menor espessura 
utilizada por De Broglie para estudar o comportamento ondulatório da matéria foi a 
distância interplanar de átomos em um metal, nesse caso a≈ 1Å. Usando um aparelho 
com dimensão característica de a=1Å, foi possível observar aspectos ondulatórios do 
elétron, obtendo um comprimento de onda de De Broglie em 𝜆 = 1,2 Å. 
Em 1926, Elsasser mostrou que a natureza ondulatória da luz poderia ser 
observada de maneira análoga ao raio X, fazendo incidir um feixe de elétrons em 
sólidos cristalinos que difratam os elétrons e criando picos de espalhamento em 
ângulos bem definidos. Essa hipótese foi confirmada experimentalmente por Davisson 
e Germer e depois por G. P. Thomson usando um arranjo experimental totalmente 
diferente, no qual o elétron é acelerado por uma diferença de potencial V e emerge 
em um monocristal de níquel com uma energia eV. O detector mede a intensidade do 
espalhamento para vários ângulos θ. Na análise experimental, foi identificado um 
máximo de corrente para θ = 50o a uma tensão de 54 V. 
 
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Figura 16 - Corrente eletrônica em função do ângulo do detector para uma energia cinética fixa em 54 eV. 
 
A existência do pico mostrado na figura 3.1 mostra que o postulado de De Broglie 
estava correto, uma vez que essa estrutura de máximos só pode ser explicada como 
uma interferência construtiva de ondas eletrônicas espalhadas. O fenômeno descrito 
acima é exatamente análogo a reflexão de Bragg no espalhamento de raios X. Dessa 
forma, usando a lei de Bragg7 ( nλ = 2dsenφ ), é possível calcular o comprimento da 
onda espalhada, o que foi feito para o experimento descrito acima, com d e φ 
definidos na figura. O cálculo explícito do comprimento da onda do elétron pela lei 
de Bragg é exatamente idêntico ao valor encontrado, usando-se o postulado de De 
Broglie, o que confirma, agora de maneira quantitativa o postulado de De Broglie. 
Utilizando um arranjo experimental diferente, em 1927, Thomson mostrou 
detalhadamente o postulado de De Broglie fazendo um feixe de elétrons altamente 
energizados incidir sobre filmes finos e observando e analisando as figuras de difração 
dos elétrons. Em 1937, Thomson ganharia o Prêmio Nobel, conjuntamente com 
Davisson, por obterem experimentalmente a difração do elétron. 
O experimento canônico que demonstra visualmente a dualidade onda partícula 
é o chamado experimento das duas fendas. Nesse experimento, se faz incidir um feixe 
de elétrons sob uma superfície com duas fendas. O que se observa é uma figura de 
interferência entre duas ondas, o que evidencia o caráter ondulatório do elétron. 
 
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Figura 17 - Imagem da interferência de elétrons na experiência das duas fendas. 
 
A partir de então, estava estabelecida a dualidade partícula onda que se estende 
para toda a matéria e a radiação. É importante perceber, no entanto, que essa 
dualidade nunca se expressa simultaneamente, ou o ente é partícula ou é onda, tudo 
depende da forma como ele é observado. Do ponto de vista da ótica física, toda 
matéria é onda. A constante de Planck regula a relação de De Broglie, sendo ela muito 
pequena quando comparável a elementos macroscópicos, define que o comprimento 
de onda desses corpos deve ser muito pequeno e por isso não podem ser observados. 
No capítulo anterior, vimos que a interação da radiação com a matéria se dá de forma 
corpuscular e não ondulatória, e então, podemos perceber que mesmo para partículas 
microscópicas a interação se dá preferencialmente na forma de partículas. Assim, 
também podemos notar outra leitura do princípio da dualidade, quando está 
interagindo em uma localização espacial ele o faz como partícula, e quando ele está 
se movendo, age como onda, se propaga pelo espaço e, portanto, não é localizável 
em pontos definidos. 
A física clássica não possuía explicação para esse comportamento dual, ainda 
pairava no ar alguma explicação teórica contundente que unificasse as duas 
descrições, ondulatória e corpuscular, que apresentava a matéria e a radiação. 
 
5.2 Princípio da Complementaridade de Bohr 
Neste contexto de transição de paradigmas (da física clássica para a física 
quântica), Niels Bohr apresentou o que ele mesmo definiu como sendo um princípio, 
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no qual os modelos corpusculares e ondulatórios devem ser complementares. Para 
Bohr, a medida de um anularia a possibilidade da medida do outro, no entanto, 
segundo ele, isso não deveria ser entendido como se a radiação, ou a matéria, fossem 
apenas onda ou apenas partícula. Bohr clamava por um modelo mais geral que 
unificasse as duas descrições ondulatória e corpuscular. É uma interpretação 
probabilística da “função que descreve a trajetória” que unifica os modelos. Mas como 
poderia ser esse modelo? A resposta a essa questão viria muitos anos após as 
indagações e problematizações de Bohr, que teve um papel fundamental na 
concepção e definição da estrutura atômica, como veremos, na construção da velha e 
nova mecânica quântica. Suas discussões com Heisenberg ficaram famosas e estão 
em livros de literatura e peças de Teatro. Muitos outros físicos importantes como Pauli, 
Dirac fizeram parte da chamada convenção de Copenhagen, que foi responsável por 
grandes avanços na definição do novo paradigma da mecânica quântica. 
A resposta ao questionamento de Bohr viria após o estabelecimento da mecânica 
quântica de Schrödinger, em um modelo apresentado por Max Born. Born se espelhou 
na resposta que Einstein deu quando tentou responder a mesma questão no caso da 
radiação. 
Na teoria corpuscular de Einstein a intensidade da radiação é dada por 1 = Nhv, 
em que N é o número médio de fótons por unidade de tempo que atravessam uma 
área perpendicular a direção de propagação dos fótons. O que introduz um caráter 
probabilístico, similar a teoria cinéticados gases de Maxwell. Na teoria clássica a 
intensidade da onda eletromagnética é dada em função do valor médio do vetor de 
Poynting: 𝜀2̅̅ ̅. Einstein propôs que 𝜀2̅̅ ̅ poderia ser interpretado como uma medida do 
número médio de fótons por unidade de volume na descrição ondulatória, igualando 
a expressão ondulatória e corpuscular, tem-se: 
 
 
O que fica claro da equação é que uma vez que 𝜀2̅̅ ̅ é proporcional a N, representa 
uma medida probabilística da densidade de fótons. 
Baseado no que fez Einstein para a radiação, Max Born, por volta de 1930, propôs 
uma unificação para a dualidade partícula onda na matéria. Para tal, é importante 
introduzir um objeto crucial, a descrição dos fenômenos quânticos, uma função que 
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representa a função de onda de De Broglie, é a função de onda ψ . Essa função é 
sempre uma função do espaço, do tempo e da frequência de oscilação da onda v . Em 
analogia a onda eletromagnética ela pode possuir a mesma estrutura senoidal. 
 
 
O que é idêntico ao campo elétrico ( ε ) de uma onda eletromagnética 
unidimensional. Nesse caso o ψ2̅̅̅̅ tem o mesmo papel que 𝜀2̅̅ ̅, será uma medida da 
probabilidade de encontrar uma partícula por unidade de volume em um dado ponto 
do espaço-tempo (x,t) . Born ganharia o Prêmio Nobel de física, em 1954, por essa 
interpretação probabilística da função de onda. Dessa forma, ψ obedece a todas as 
características de uma onda, então deve sempre satisfazer a equação geral de uma 
onda que é dada pela equação diferencial. 
 
 
E o princípio da sobreposição é sempre válido: ψ1 +ψ2 = ψ , o que está de acordo 
com as experiências em que se observaram figuras de interferência construtivas e 
destrutivas no espalhamento de elétrons (por exemplo), um fato impossível de ser 
compreendido pela física clássica. 
É muito importante ressaltar que a probabilidade, a ferramenta essencial utilizada 
por Einstein e Born, introduz uma não localidade da partícula, ela tem sempre uma 
probabilidade associada a sua posição no espaço-tempo, não é portanto, uma 
equação determinística. Até agora a probabilidade apareceu como uma consequência 
ou até mesmo um artifício para unificar as descrições corpuscular e ondulatória da 
radiação e da matéria, mas, em 1927, Bohr e Heisenberg demonstram a função 
essencial que a probabilidade possui nessa união. 
Antes disso, porém, vamos discutir de que maneira a dualidade partícula onda se 
manifesta na função de onda ψ(x, t). A ideia é que da mesma forma como o campo 
eletromagnético (  ) representa a energia da radiação e é uma onda associada a um 
fóton, a função de onda ψ(x, t) está associada a uma partícula material. Assim, se 
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pensarmos na velocidade de ambas as parte, a velocidade de propagação da onda 
deve ser igual a velocidade (deslocamento cinético) da partícula. A velocidade de 
propagação de uma onda ( vp ), segundo a teoria canônica de ondulatória é dada por: 
vp = λv 
 
Usando as expressões de De Broglie (3.1) e (3.2), podemos escrever como: 
 
Na qual sabemos definir a energia E e o momento p do ponto de vista da 
partícula. Supondo que essa partícula só esteja sujeita a sua própria energia cinética, 
sem ação de outros campos e forças, temos que E =
mv2
2
 e p = mv e a equação fica: 
 
Analisando o que diz a equação, a velocidade da onda seria metade da 
velocidade da partícula, o que vai de encontro ao que afirmamos acima. Mas, ao 
contrário do que possa parecer, isso não é uma contradição, apenas elucida a 
estrutura que a função de onda deve ter. Na realidade, a função de onda ψ(x, t) não 
é composta apenas por uma onda, mas sim por várias ondas com diferentes 
frequências, que se somam construtivamente em uma região finita do espaço, para 
um dado t, em torno da partícula e se somam destrutivamente no resto do espaço 
(essa configuração muda com o tempo, o que representa a propagação da partícula 
pelo espaço). O pacote formado por todas essas ondas compõem ψ(x, t) que, como 
um grupo, se move na mesma velocidade que a partícula. 
 
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Figura 18 - Pacotes de onda, (a) o pacote é finito para representar a partícula e (b) é localizado no espaço com 
diferentes compressões. 
 
A velocidade de grupo de várias ondas juntas é dada, segundo a teoria dv 
ondulatória clássica, por 𝑉𝑔 =
𝑑𝑣
𝑑𝑘
, em que 𝑑𝜈 = 𝑑𝐸 / ℎ , 𝑘 ≡ 1/ 𝜆 = 𝑝 / ℎ 𝑒 𝑑𝑘 =
 𝑑𝑝 / ℎ o que define a velocidade de grupo como: 
 
 
E, portanto, provamos que a velocidade do pacote de ondas velocidade da 
partícula cujo o movimento ela descreve. 
 
5.3 Princípio da Incerteza de Heisenberg 
Na mecânica clássica dada a condição inicial de um sistema, podemos evoluí- lo 
no tempo e o movimento futuro fica determinado de forma exata, o que chamamos 
de determinismo da física clássica. Mas, o mesmo fenômeno não acontece na 
mecânica quântica. O princípio da incerteza de Heisenberg é enunciado de tal forma 
a evidenciar esse fenômeno, segundo ele, quando fazemos uma medida sobre um 
objeto e você consegue determinar a componente x do momento ( px ) com uma 
incerteza ∆p , você não pode, ao mesmo tempo, saber a posição x com mais precisão 
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do que ∆x =
ħ/2
∆p
 , em que ħ = h / 2π. Como decorrência, o produto das incertezas tem 
que ser maior do que ħ / 2 e portanto o princípio da incerteza é dado por: 
∆𝑥∆𝑝 ≥
ħ
2
 
 
O princípio da incerteza fala sobre o produto das incertezas em uma medida 
simultânea de x e p e não sobre cada uma delas. Portanto, segundo ele, se você medir 
um deles com uma precisão infinita, ou seja, determinar a posição (ou o momento) de 
um evento, a incerteza associada ao momento (ou a posição) tem que ser infinita 
(∆x = 0; ∆p = ∞) para satisfazer. Uma ideia mais geral por detrás desse princípio é 
que não é possível fazer uma experiência, o das duas fendas, por exemplo, em que 
consiga determinar qual das alternativas (no exemplo, as fendas) foi escolhida pela 
partícula sem que com isso destrua o experimento (no exemplo, a figura de 
interferência). Em uma experiência mental, Heisenberg estabelece que um gato seja 
posto vivo no interior de uma caixa que é posteriormente vedada. Supondo também 
que a alimentação ocorre de maneira em que não se abra a caixa, a única forma de 
descobrir se o gato esta vivo ou morto depois de um tempo é abrindo a caixa, mas, 
dessa maneira, o experimento seria destruído. Dessa forma, Heisenberg tomou como 
impossível definir com precisão infinita as duas variáveis e afirmou explicitamente que 
caso isso fosse em algum momento possível, a mecânica quântica iria colapsar. 
Diversos experimentalistas trabalharam para mostrar que Heisenberg estava errado, 
mas nunca lograram e a mecânica quântica continua válida até hoje. 
Existe uma segunda formulação do princípio da incerteza, que não foi formulada 
inicialmente por Heisenberg, mas é costumeiramente apresentada como tal. Ela diz 
respeito à medida da energia E de um sistema e o intervalo de tempo em que ocorre 
a emissão de tal energia, ou de outra maneira, o tempo em que ocorre a própria 
medida. E, então, 
∆E∆t ≥
ħ
2
 
 
Em que ∆E é a incerteza na definição da energia e ∆t o intervalo de tempo no 
qual o sistema muda. 
O princípio da incerteza não define a mecânica quântica, podemos descrever 
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sistemas e calcular observáveis sem usá-lo. Mas, ele é interessante, pois evidencia uma 
qualidade fundamental na mecânica quântica, a de que os fenômenos não podemser 
descritos de forma determinista e sim por meio de grandezas probabilísticas. 
Se por um lado a interpretação probabilística foi o grande salto da mecânica 
quântica moderna, em oposição a velha mecânica quântica que veremos, ela não foi 
bem aceita logo de início. Einstein, por exemplo, foi um crítico ferrenho a ideia de que 
a posição da partícula poderia ser apenas definida de maneira probabilística. Em uma 
frase famosa, em ocasião de uma carta que enviou a Max Born, Einstein disse: “Deus 
não joga dados com o universo”, ele acreditava que a natureza era única e, isso, 
segundo ele, ia de encontro a uma descrição probabilística. No entanto, anos mais 
tarde, Einstein acabou por se convencer após o comprovado sucesso e imenso 
potencial que a teoria quântica demonstrou ao prever e explicar diversos fenômenos 
físicos. 
 
6 O Modelo do Átomo 
Voltando um pouco para o final do século XIX, o espectro de emissão atômico 
era observado experimentalmente, mas não havia um modelo de átomo que pudesse 
justificar tal comportamento. Assim, como vimos no desenvolvimento do raio X, o final 
do século XIX foi muito frutífero do ponto de visa de experiências para entender o 
comportamento da matéria, das estruturas físicas para além do que os olhos podiam 
enxergar, novas teorias estavam surgindo e ao final, no início do século XX foi 
consolidado o que chamamos de antiga mecânica quântica composta pelas teorias de 
Einstein e Planck. A nova mecânica quântica viria só depois com a contribuição de 
Bohr e Heisenberg. 
 
6.1 Espectro atômico 
A espectroscopia é, até hoje, uma técnica muito importante na física para estudar 
a composição de elementos químicos de substâncias e compostos. O espectro de 
emissão dos elementos e compostos químicos é dividido em três categorias: contínuo, 
em bandas e em linhas. O primeiro ocorre na emissão de radiação de sólidos 
incandescente, já o segundo, é formado por vários grupos de linhas muito próximas 
que se assemelham a bandas contínuas, quando vistas em espectroscópio de baixa 
resolução, a ocorrência desse tipo de espectro é observada quando pequenos sólidos 
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O Modelo do Átomo 
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são submetidos a chamas ou descargas elétricas. E, por fim, o espectro de linhas são 
características da radiação emitida por átomos isolados. Tanto o espectro de bandas, 
como o de linhas, não possuiam explicação na física clássica, até o início do século XX, 
foi a partir das teorias de Planck e Einstein, na qual a energia da radiação era 
quantizada, que o espectro de linhas na emissão de radiação passou a fazer algum 
sentido, embora a justificativa da razão de cada uma delas só tenha sido entendida 
após o modelo atômico de Bohr . 
Ao final do século XIX, com o desenvolvimento de espectroscópios eficientes, era 
possível medir com bastante precisão os comprimentos de onda de cada linha do 
espectro. Buscando uma justificativa teórica, os cientistas passaram a buscar e 
interpretar regularidades no espectro. Foi então que, em 1885, Balmer propôs uma 
fórmula empírica capaz de prever as nove primeiras linhas do espectro do hidrogênio, 
que ficou conhecida como a série de Balmer 
𝜆 = 3646
𝑛2
𝑛2 − 4
�̇� 
 
Em que n é um número inteiro associado a cada linha do espectro e n=3 para 𝐻𝛼 
e assim por diante. Balmer foi seguido por muitos outros cientistas que identificaram 
diferentes séries, também para o hidrogênio, em diferentes regiões de comprimento 
de onda, como mostra a tabela. 
 
Figura 19 - Linhas espectrais do hidrogênio. 
 
Rydberg, em 1890, estudou a fundo as séries do Hidrogênio e propôs que os 
comprimentos de onda de cada série fossem escritos em função do comprimento de 
onda recíproco 𝑘
1
𝜆
 e a série de Balmer, segundo Rydberg passaria a ser: 
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Para 𝑅𝐻 = 1,096776 𝑥 10
77 𝑚−1 a constante de Rydberg para o hidrogênio. 
Buscando uma fórmula geral que unificasse todas as séries, Rydberg e, 
independentemente, Ritz, propuseram a expressão geral que vale para todos os 
elementos, conhecida como a fórmula de Rydberg-Ritz: 
 
 
Tabela 1 - As várias séries obtidas a partir da análise das linhas espectrais do hidrogênio. 
 
Sendo a constante de Rydberg ligeiramente diferente para cada elemento 
(variação máxima é 0,05%). 
 
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6.2 O pudim de Thomson 
O avanço da espectroscopia não era correspondido, em contra partida, a um 
modelo de estrutura do átomo que pudesse descrever os fenômenos observados 
experimentalmente. O modelo vigente, a partir de 1910, era o pudim de Thomson, em 
que elétrons eram uniformemente distribuídos em uma esfera carregada 
positivamente de forma a manter o átomo neutro. Thomson buscava, a partir do seu 
modelo, configurações estáveis cujos modos normais de vibração correspondessem 
às frequências observadas na emissão. Um grande problema que esse modelo 
apresentava, além de não encontrar nenhuma configuração que descrevesse as linhas 
espectrais observadas, é que a força eletrostática não é suficiente para manter um 
sistema em equilíbrio e, portanto, as cargas deveriam estar em movimento. No 
entanto, como sabemos, toda carga em movimento emite radiação, o que não era 
observado no átomo. 
O modelo de Thomson foi definitivamente abandonado, em 1911, quando 
Rutherford mostrou que a carga positiva do átomo estava toda concentrada no centro, 
formando um núcleo, analisando o espalhamento de partículas α por diferentes 
átomos. 
 
6.3 O modelo do átomo de Rutherford 
Rutherford, um antigo aluno de Thomson, investigava a radioatividade natural 
dos elementos quando descobriu que o urânio emitia dois tipos diferentes de 
partículas, denominadas α e β. Buscando analisar o comportamento dessas partículas, 
em um experimento célebre, Rutherford deixou uma amostra radioativa se desintegrar 
emitindo partículas α em uma câmera de vácuo e, em seguida, submeteu o conteúdo 
da câmera a uma descarga elétrica. As linhas observadas correspondiam ao hélio. 
Então, Rutherford percebeu que essa partícula α, uma partícula carregada 
positivamente e com metade da massa do próton, poderia funcionar como uma sonda 
no interior de outros átomos, e iniciou uma série de experimentos nessa direção. 
 
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Figura 20 - (a) O modelo do Pudim de Thomson e (b) O espalhamento de uma partícula α por um átomo de Thomson. 
 
O experimento consistia em colimar um feixe de partículas α emitidas de uma 
fonte radioativa e fazê-la incidir sobre um alvo metálico. Ao atravessar o átomo, a 
partícula α sente a força colombiana das cargas positivas e negativas, o que provoca 
uma mudança na sua trajetória. Uma forma de medir essa divergência é contar o 
número de partículas α que emerge do átomo com um ângulo de deflexão θ (N(θ)). 
No modelo de Thomson, como a carga positiva está espalhada por todo o volume do 
átomo de raio r 10−10m, a força colombiana de repulsão não é tão intensa e a força 
de atração do elétron é ainda menor, uma vez que a partícula α é da ordem da massa 
do próton. Portanto, no modelo de Thomson é esperado que o ângulo de 
espalhamento θ seja pequeno. De fato, podemos calcular, usando o modelo de 
Thomson, a deflexão máxima que a partícula sofre ao passar pelo átomo, ela será θ ≤
10−4 rad. 
Na experiência realizada por Rutherford em seu laboratório, com ajuda de Geiger 
e Marsden, foi medido que 99% das partículas α foram espalhadas em ângulos 
menores do que 3°. No entanto, surpreendentemente, uma fração da ordem de 10-4 
das partículas α foram espalhadas com ângulo maior que 90°, sendo algumas delas 
espalhadas com um ângulo de 180°. Mesmo sendo pequena essa fração, ela é 
absolutamente