Notas de aula de Topografia

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TOPOGRAFIA — NOTAS DE AULA 
CURSO DE EDIFICAÇÕES 
PROF. FLÁVIO GUTENBERG DE OLIVEIRA 
I - INTRODUÇÃO 
1 - Conceitos fundamentais 
 Geodésia: Ciência que trata do estudo da forma e dimensões da Terra, tendo em consideração 
sua forma arredondada (elipsóide). 
 Topografia: Ciência aplicada que tem por finalidade determinar contorno e dimensões de uma 
porção limitada da superfície terrestre, sem levar em consideração a curvatura resultante da esfericidade 
da Terra. 
 Plano topográfico: Plano horizontal imaginário que passa pela área focalizada em um estudo 
topográfico, no qual se projetam todos os acidentes do lugar (rio, estradas, casas etc.), e em relação ao 
qual se realizam todas as medições necessárias à consecução dos trabalhos desenvolvidos no local. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: A Topografia tem por base a Geometria e a Trigonometria, estudando métodos de operação no 
terreno, cálculos e desenhos necessários ao levantamento e à representação gráfica de uma parte da 
superfície terrestre. 
2 - Importância da Topografia 
 Quer seja na elaboração quanto na execução de projetos ou obras de engenharia (em seus mais 
variados ramos: civil, arquitetura, agronômica etc.), o conhecimento da configuração da área é 
indispensável, fornecendo subsídios na forma de informações e de desenhos (representações do terreno 
em plantas ou perfís). 
3 - Divisões da Topografia 
 Quanto à forma e à natureza dos trabalhos desenvolvidos, a Topografia é dividida em 4 (quatro) 
partes principais: Topometria, Taqueometria, Fotogrametria e Topologia. 
R R 
A B 
θθθθ 
Plano topográfico 
Superfície 
terrestre 
A’ B’ 
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3.1 - Topometria 
 Reúne um conjunto de métodos empregados para colher os dados necessários ao traçado de 
uma planta topográfica. Por sua vez é dividida em Planimetria e Altimetria. 
 Planimetria: As medidas planimétricas (lineares e angulares) são efetuadas em planos 
horizontais (plano topográfico), obtendo-se distâncias e ângulos horizontais. 
 Altimetria: As medidas altimétricas (lineares e angulares) são efetuadas em planos verticais 
(perpendiculares ao plano topográfico), obtendo-se distâncias verticais, isto é, diferenças de nível, e 
ângulos verticais. 
3.2 - Taqueometria 
 Parte da Topografia que estuda pontos do terreno de maneira indireta, pela resolução de 
triângulos retângulos, dando origem à sua representação plani-altimétrica. A principal aplicação da 
Taqueometria ocorre em terrenos muito acidentados, onde apresenta-se bem vantajosa em relação aos 
métodos topométricos. 
3.3 - Fotogrametria 
 Método topográfico utilizado para determinar-se o relevo do terreno, notadamente de grandes 
áreas, utilizando-se câmera fotográfica e restituidor fotogramétrico; a Fotogrametria pode ser terrestre ou 
aérea. 
 A estereoscopia, etimologicamente visualização de corpos sólidos, consiste em ver 
simultaneamente duas imagens (uma imagem sendo vista individualmente por cada olho) de um mesmo 
objeto, obtidas em idênticas condições de posição e de afastamento, possibilitando assim a visualização 
tridimensional do alvo imageado e a realização de cálculos de distâncias. 
 Em grandes áreas urbanas, p. ex., a Aerofotogrametria é de larga utilização, permitindo a 
elaboração de plantas cadastrais urbanas com rapidez e riqueza de detalhes difícil de obter-se apenas 
com levantamentos topométricos. Neste tipo de levantamento é realizada uma série de vôos, de forma 
geometricamente regular (linhas de vôo paralelas), sobre a região, obtendo-se um mosaico de fotografias 
que cobrem toda a área. 
3.4 - Topologia 
 Parte da Topografia que tem por objetivo estudar as formas exteriores da superfície terrestre, 
encarregando-se de dar interpretação aos dados obtidos na fase de levantamententos, a fim de 
representar corretamente o relevo da área estudada; sua principal aplicação reside na representação 
cartográfica do terreno pelas curvas de nível (curvas obtidas pela intersecção do terreno com planos 
horizontais eqüidistantes entre si). 
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II - LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS 
1 - Conceitos 
 Levantamento: Conjunto de operações que se executam em um local visando à obtenção de 
dados necessários ao perfeito conhecimento de suas características e à elaboração de uma planta 
topográfica que o represente. Os dados obtidos podem ser: 
 a) Informativos: referem-se a características genéricas dos elementos a serem 
representados (forma, posição, utilização, nome de proprietário etc.); podem ser obtidos de pessoas que 
conheçam a região (moradores nas redondezas) e por observação direta no local. 
 b) Medidas: são os comprimentos e ângulos obtidos em campo com os quais se desenham os 
acidentes existentes no terreno; são complementadas pelos dados informativos. 
 Locação: Ë a marcação no terreno de elementos existentes em uma planta ou caderneta 
topográfica ou em um projeto de engenharia. 
2 - Classificação dos levantamentos topográficos 
2.1 - Quanto ao grau de precisão 
 A precisão a ser obtida em um levantamento é função de sua finalidade, à qual deve adequar-se, 
por razões de economia e tempo. No tocante à precisão dos dados levantados os levantamentos podem 
ser: 
 Expedito ou rápido: Têm sua aplicação destinada a um prévio reconhecimento da área; são 
utilizados para obtenção de informações preliminares e pouca detalhadas, antecedendo ao levantamento 
propriamente dito, geralmente de grandes áreas. A medição de distâncias, p. ex., pode ser feita a passo 
(1 passo ≈ 60 a 80 cm, dependendo da pessoa e das condições do terreno), com emprego de odômetros, 
estimadas pelo tempo de marcha (de 4 a 5 km/h) ou outros processos rápidos, embora não precisos. 
 Comum, regular ou topográfico propriamente dito: São realizados através de métodos 
convencionais de campo, com instrumental topográfico adequado (teodolito e trena), obtendo todos os 
elementos necessários à representação fiel da área levantada. 
 De precisão: Os métodos de levantamento são semelhantes aos empregados nos levantamentos 
regulares, mas o instrumental apresenta maior precisão (p. ex., medidas de distâncias obtidas com 
distanciômetros eletrônicos) do que os empregados naquele tipo de levantamento. 
2.2 - Quanto à escala de representação gráfica 
 A representação da figura levantada, com todo os detalhes medidos, de acordo com a escala, 
grau de precisão, detalhe e extensão pode ser um esboço, uma planta ou mapa topográfico, geodésico 
ou mesmo geográfico. 
 Levantamento em grande escala: 
 a) Detalhes construtivos de obras de engenharia, como edifícios, pontes, barragens, estádios, 
estradas etc. — escalas usuais: 1:100, 1:200, 1:250, 1:500 ou 1:1000. 
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 b) Urbanos: tratam de projetos de urbanização de cidades, rede pública de abastecimento d’água 
e de coleta de esgoto, linhas elétricas etc. — escalas usuais: 1:500, 1:1000 ou 1:2000. 
 c) Cadastrais: contêm informações sobre limites de propriedades urbanas e rurais; juntamente 
com as informações de identificação contidas no registro cadastral fornecem elementos necessários ao 
lançamento de taxas e impostos territorial e predial — escalas usuais: 1:1000 ou 1:2000 no meio urbano 
a 1:5000 no meio rural. 
 Levantamento em média escala: As cartas topográficas destinadas a projetos de obras agrícolas 
e hidrelétricas, projetos de barragens e usinas, vias de comunicação, linhas de alta tensão em meio rural, 
planos de exploração mineral e outras obras de grande porte — escalas usuais: 1:10.000 a 1:50.000. 
 Levantamento em pequena escala: Estes levantamentos são destinados a estudos e 
planejamentos gerais de grandes regiões, como cartas aeronáuticas; nas seções de cadastro de órgãos 
como o Serviço Geográfico doExército, IBGE, Sudene estes levantamentos estão já executados — 
escalas usuais: 1:100.000 a 1:500.000. 
2.3 - Quanto à divisão topométrica 
 Os levantamentos topográficos podem ser: 
 Planimétricos: Quando são realizadas medições e representações de contornos e pontos apenas 
segundo suas projeções horizonais sobre o plano topográfico; 
 Altimétricos: Quando são obtidas medidas exclusivamente verticais, ou seja, as alturas dos 
pontos em relação ao plano topográfico e ângulos verticais; 
 Plani-altimétricos: Nestes levantamentos são obtidas medidas tanto horizontais quanto verticais. 
3 - Fases de um levantamento — Métodos empregados 
 De maneira geral, a realização de um levantamento topográfico passa por três fases distintas: o 
reconhecimento do terreno, o levantamento de uma figura geométrica auxiliar e por fim o detalhamento 
da área. 
 Reconhecimento ou levantamento a vista do terreno: Antes do início dos trabalhos de medições é 
conveniente fazer um reconhecimento prévio da área a ser levantada, identificando os elementos ali 
existentes, quais as medidas que deverão ser obtidas, a melhor maneira de obtê-las etc. Também se 
determinam as prováveis estações do teodolito e no croqui do reconhecimento traça-se a figura 
geométrica que servirá de base ao levantamento. 
 Levantamento do polígono: O polígono ou a poligonal topográfica é o elemento geométrico 
fundamental do levantamento, ao qual ficarão referenciadas todas as medições realizadas em campo e 
que servirá de elemento básico à posterior representação gráfica (desenho topográfico) da área 
levantada. Deve-se estar atento, portanto, a que as medidas obtidas em campo permitam o desenho 
completo e exato das informações obtidas. São os seguintes os métodos empregados no levantamento 
poligonal: 
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 Caminhamento perimétrico: medem-se todos os ângulos e lados do polígono, percorrendo-se 
integralmente seu contorno. Apresenta o inconveniente de facilmente acumular erros e de ser longo, 
porém traz a vantagem de poder ser empregado em qualquer espécie de terreno. 
 
 Decomposição em triângulos: consiste em determinar os elementos necessários à resolução de 
triângulos; a área a levantar é dividida em uma rede de triângulos dos quais são medidos todos os lados. 
Não é necessária a leitura de ângulos, mas as medições de distâncias, além de demoradas, tornam-se 
muito sujeita a erros. É empregado apenas em levantamentos de pequenas superfícies. 
 
 Radiações ou coordenadas polares: o terreno também é decomposto em triângulos, mas são 
obtidos, para cada um deles, dois lados e o ângulo comum aos dois. É necessário que os vértices do 
polígono sejam visíveis de um mesmo ponto, do qual partem as radiações. 
 
 Interseções ou coordenadas bipolares: o terreno é divido em triângulos, dos quais se medem a 
extensão de um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, de forma a obter-se os vértices do polígono pela 
interseção de duas retas. A base escolhida deve ser tal que as retas não se interceptem segundo 
ângulos muito agudos ou obtusos, pois isto dificultará a identificação do ponto de interseção. É 
necessário que os vértices do polígono sejam descobertos, mas há a vantagem de que podem ser 
inacessíveis, além disso as operações de campo são rápidas, visto haver poucas medidas a trena. 
 
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 Levantamento de detalhes: Entende-se por detalhes os elementos, naturais ou artificiais, 
existentes no terreno levantado, pelos quais se tem interesse em dar representação no desenho 
topográfico. Ex.: cercas, muros, rios, lagos, árvores, edificações, plantações, morros, redes elétricas, 
rodovias, ferrovias, canais etc. O levantamento de detalhes consiste na ligação de tais elementos à 
poligonal topográfica; isto pode ser feito por algum dos métodos precedentes, vistos no levantamento do 
polígono; também é empregado o método das coordenadas ou ordenação. 
 Coordenadas ou ordenação: consiste em determinar a posição de um ponto em relação a um 
sistema de eixos coordenados, a partir de duas medições de comprimento. É um método empregado 
para levantar linhas irregulares (curvas), como margens de rios, lagoas etc. 
 
Obs.: É extremamente importante, tanto no levantamento da poligonal, e principalmente no de detalhes, a 
elaboração de um croqui minucioso que acompanhe a caderneta de levantamento onde são registradas, 
com ordem e clareza, todas as medidas obtidas, evitando-se, na hora de desenhar-se, dúvidas que 
forcem, um posterior retorno ao campo a fim de complementar informações ou medidas em falta. 
4 - Medidas topográficas 
 Medir uma grandeza significa compará-la a uma grandeza padrão (a unidade) e verificar quantas 
vezes este padrão está contido na grandeza que se deseja medir. Em topografia distinguem-se as 
grandezas angulares, lineares e superficiais. 
 As unidades comumente empregadas para expressar as grandezas topográficas são: 
 Lineares: a unidade padrão é o metro (m), empregando-se ainda os submúltiplos centímetro (cm) 
e milímetro (mm) e o múltiplo quilômetro (km). 
 Superficiais: a unidade padrão é o metro quadrado (m2), com emprego também do quilômetro 
quadrado (km2) e do hectare (ha). 
 Angulares: o sistema de divisão de arcos empregados é o grau sexagesimal, com seus 
submúltiplos, o minuto e o segundo. 
Obs.: Nos levantamentos de poligonais extensas, é comum expressar a posição de um ponto em termos 
de estacas, representando sua distância até o ponto inicial da poligonal, que corresponde à estaca 0 
(estaca zero). Costuma-se adotar uma estaca igual a 20 metros. 
 
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III - INTRODUÇÃO AO DESENHO TOPOGRÁFICO 
1 - Conceito 
 O desenho topográfico é a representação gráfica de uma área, obtida através de um sistema de 
projeções ortogonais, devendo fornecer um esclarecimento perfeito das formas dos acidentes naturais e 
artificiais nela existentes. Desenhar uma planta topográfica é traçar no papel uma figura semelhante à do 
terreno levantado, na qual os ângulos são representados em sua verdadeira grandeza enquanto as 
distâncias são reduzidas segundo uma proporção definida. 
2 - Finalidade 
 O desenho topográfico deve retratar partes e aspectos da superfície terrestre como: 
relevo e acidentes topográficos naturais ou artificiais, 
povoações, 
cursos d’água, portos e canais, 
estradas, hidrovias, ferrovias e aeroportos, 
limites de propriedades, 
atividades econômicas (industriais, agronômicas, pastoris etc.), 
vias de comunicação (linhas de transmissão elétrica, telefônica e telegráfica), 
florestas, geologia etc. 
3 - Limitações 
 O desenho topográfico sofre limitações de duas naturezas: as dimensões mínimas a serem 
representadas e a extensão máxima da área levantada. 
 Área a ser representada: em vista de supor-se ser plana a superfície topográfica, limitam-se as 
dimensões da área a ser representada a valores aos quais não se cometam erros apreciáveis (≅ 50 km2 
de superfície, equivalente a um círculo com raio da ordem de 4 km). 
 Elementos de pequenas dimensões: a representação de elementos de dimensões reduzidas fica 
condicionada à escala empregada no desenho; se necessário são utilizadas convenções topográficas 
para representá-los, independentemente da escala adotada no desenho. 
4 - Escalas topográficas 
4.1 - Definição 
 Denomina-se Escala a relação constante que existe entre as dimensões das linhas de um 
desenho e as dimensões reais do objeto representado. O desenho em escala pode representar o objeto 
em suas dimensões reais (escala natural), com as dimensões ampliadas (escala de ampliação) ou com 
as dimensões reduzidas (escala de redução). 
 No desenho topográficoutilizam-se evidentemente as escalas de redução, dadas as grandes 
dimensões dos terrenos, quando comparadas ao tamanho do papel em que se desenha. Outros ramos 
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do desenho técnico, como em projetos de Engenharia Civil, Sanitária, Rodoviária, Urbanismo, Arquitetura 
entre outros utilizam também escalas de redução; as escalas de ampliação e natural são com freqüência 
empregadas no desenho industrial (mecânico, eletrônico etc.), no projeto de componentes de pequenas 
dimensões. 
4.2 - Tipos de escala 
 A escala pode ser expressa tanto matemática quanto graficamente. No primeiro caso tem-se 
uma escala numérica enquanto que no segundo, uma escala gráfica. 
 Escala numérica: A escala é representada por uma fração, onde o numerador é a unidade, daí 
tem-se E
M
=
1
 ou E = 1:M sendo E, a escala (lê-se 1 para M) 
 M, o módulo da escala. 
Se l for o comprimento de uma linha representada no desenho e 
 L for o comprimento (real) da mesma linha no terreno, 
tem-se 
l
L M
=
1
 
então l
L
M
L lM= e = 
Exemplo 
 Qual é a dimensão em planta de um alinhamento com 300 metros de extensão, se desenhado 
em uma escala de 1:2000? 
Resposta: l
L
M
l= ∴ = = 
 m
200
 m
300
0 15, ∴ l = 0,15 m 
 Escala gráfica: A escala gráfica é a maneira de representar graficamente a lei que relaciona as 
dimensões de um desenho e suas correspondentes reais. A escala gráfica consiste basicamente de uma 
linha reta, dividida em partes iguais expressando um comprimento definido em função da escala 
numérica do desenho, possibilitando a determinação, sem auxílio de cálculos, de uma medida natural 
correspondente a uma medida gráfica. 
Exemplo 
 Construir uma escala gráfica correspondente a uma escala numérica de 1:1000. 
Resposta: 
Passo 1: define-se o comprimento do segmento de reta que representará a escala gráfica e em quantas 
partes este será dividido (neste exemplo, tomamos um segmento com 5 cm de comprimento e o 
dividimos em 5 partes com 1 cm cada) 
 
Passo 2: calcula-se a medida L correspondente a cada centímetro 
L = l M ∴∴∴∴ L = 1 cm x 1000 ∴∴∴∴ L = 1000 cm ou L = 10 m 
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Passo 3: desenha-se a escala gráfica com o valor calculado; à esquerda do zero, acrescenta-se uma 
escala micrométrica, para realizar as medições com maior grau de precisão 
 
Obs.: As escalas em que o módulo M é 1, 2 ou 5 seguidos de zero(s) ou um múltiplo desses são 
chamadas de escalas decimais; em termos práticos, a adoção de tais escalas é sempre preferível a 
outras, pois facilitam a elaboração da planta ou carta topográfica e a posterior apreciação de grandezas 
no desenho. 
4.3 - Precisão gráfica 
 A precisão gráfica de uma escala representa a menor dimensão que se pode desenhar ou medir 
sobre um desenho em uma determinada escala. A precisão do desenho depende, então, da escala 
adotada, estando condicionada principalmente a dois fatores: 
• limite de espessura do traço: 0,1 mm, que é o traço mais fino que se consegue obter ao desenhar-se; 
• condições de visualização do desenho: 0,2 mm, o menor valor comumente aceito como possível de 
ler-se com uma escala gráfica ou uma régua. 
 Dos dois fatores apresentados, o segundo é o limitante e, portanto, é o empregado na 
determinação da precisão do desenho. 
Exemplo 
 Qual é a precisão gráfica de uma planta topográfica desenhada na escala de 1/10.000? 
Resposta: 
 A precisão gráfica corresponde ao L equivalente ao um l igual a 0,2 mm. Assim, temos que: 
L = l M ∴∴∴∴ L = 0,2 mm x 10.000 ∴∴∴∴ L = 2000 mm ou L = 2 m. 
5 - Escolha da escala a ser empregada no desenho 
 A escala a ser utilizada no desenho topográfico está condicionada à extensão da área a ser 
representada e ao tamanho do papel utilizado, assim como ao rigor ou precisão necessária à 
representação dos diversos elementos ou detalhes constantes do levantamento realizado. 
 O tamanho do papel e a extensão da área determinam o limite superior, isto é, a maior escala 
que poderá ser empregada. Como indicação prática, procura-se adotar uma escala que levem a ocupar o 
papel em torno de 60 a 80%. 
 A limitação gráfica está relacionada à precisão gráfica da escala. A necessidade de representar 
com exatidão detalhes com dimensões muito pequenas estabelece um limite inferior para a escala. Caso 
seja necessário tão somente representar a posição aproximada do elemento, pode ser utilizado um 
símbolo que o represente, sem respeito à escala adotada. 
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 Comumente são utilizadas no desenho topográfico as seguintes escalas: 
em desenho de edifícios, terraplenagens e lotes urbanos: 1:100, 1:200, 1:250 
propriedades rurais, vilas e plantas cadastrais: 1:500, 1:1000, 1:1250, 1:2000, 1:2500 
plantas de pequenas cidades e grandes fazendas: 1:5000, 1:10000. 
6 - Formatos de papel 
 A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) normatiza, para os desenhos técnicos em 
geral, os formatos de papel da série A. Tais formatos derivam do formato básico A0, cuja área mede 1 
m2, apresentando as dimensões de seus lados uma razão igual à raiz quadrada de 2. 
 Os demais formatos da série A (A1, A2, A3 e A4) são obtidos por bipartição sucessiva do formato 
imediatamente anterior, de modo a obterem-se lados cuja razão seja a mesma do formato inicial, 
mantendo-se, assim, a semelhança geométrica entre os diversos formatos. 
 
 
x y = 1 m
2
 ∴ 
x = 2
1/2
 y 
 
 
FORMATO DIMENSÕES (mm) ÁREA (m2) MARGEM (mm) 
A0 1189 x 841 1,000 10 
A1 841 x 595 0,500 10 
A2 595 x 421 0,250 10 
A3 421 x 297 0,125 10 
A4 297 x 210 0,063 05 
 Podem ser utilizados formatos compostos de papel, obtidos pela conjugação de formatos iguais 
ou consecutivos. Por exemplo, juntando 2 folhas tamanho A0, tem-se um papel 2A0; juntando um 
formato A2 ao A1, obtém-se A1A2. 
 
 
Obs.: Na lateral esquerda da folha é 
deixada uma faixa de 20 mm, além da 
margem, formando uma “orelha” para 
arquivamento do desenho. 
 
 
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7 - Carimbo 
 O desenho topográfico deverá conter um carimbo cuja finalidade é fornecer informações gerais 
sobre o trabalho realizado, de modo a permitir uma perfeita identificação de sua natureza, autoria, local, 
data de realização. Desta forma, no carimbo constarão ao menos as seguintes informações: 
• título do trabalho (identificará o tipo de levantamento e sua finalidade), 
• nome do proprietário, 
• localização, 
• nome do topógrafo 
• nome do desenhista, 
• data de realização do serviço e 
• escala(s) utilizada(s). 
 O carimbo ficará situada no canto inferior da prancha (o quê é mais comum), podendo também 
estar localizada no canto superior esquerdo do papel. A sua dimensão é variável, devendo adequar-se ao 
tamanho da prancha e comportar com estética aceitável as informações que deverá conter. Quando o a 
folha de papel é razoavelmente grande, é comum reservar-se todo um módulo (correspondente a um 
tamanho A4) destinado à legenda. 
 Abaixo tem-se um exemplo de legenda. 
ETFRN - CURSO DE EDIFICAÇÕES 
 TOPOGRAFIA 
 PROF°: FLÁVIO GUTENBERG TURMA: 
 PERÍODO: 96.1 ETAPA: 1ª 
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO 
 ALUNO: 
 DATA: 
 ESCALA: 
8 - Convenções topográficas 
 As convenções topográficas são símbolos empregados no desenho, com duas finalidades: 
indicar ou realçar aspectos do terreno ou representar elementos que não poderiam ser visualizadosna 
escala empregada, em vista de possuir pequena dimensão. 
 Os símbolos empregados como convenção para representação de elementos do terreno devem 
ser apresentados através de uma legenda, onde é indicado o significado de cada um. São exemplos de 
convenções topográficas símbolos orográficos, símbolos hidrográficos, símbolos vegetativos, símbolos 
de edificações, linhas divisórias, vias de comunicação. 
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a) Símbolos orográficos (auxiliam na descrição do relevo ou do solo) 
Declíneas (são linhas que indicam a direção de maior declive do terreno) 
 
Representação de encostas rochosas Representação de terrenos arenosos 
 
b) Símbolos hidrográficos (utilizados para representar corpos d’água) 
Rios 
 
Lagos Alagadiços e pântanos 
 
c) Símbolos vegetativos (representam a cobertura vegetal, natural ou agrícola) 
Árvores Campos (gramíneas) 
 
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Culturas (adota-se um padrão para cada cultura) 
 
d) Símbolos de edificações (representam os diversos tipos de construção) 
 
e) Linhas divisórias (indicam linhas divisórias, existentes físicamente ou não) 
 
f) Vias de comunicação (representam meios de acesso ou de comunicação) 
Caminho Estrada carroçável 
Rodovia Ferrovia 
Ponte 
Linha telegráfica 
Linha de transmissão elétrica 
 
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IV - PLANIMETRIA 
1 - Estudo de Azimutes, Rumos, Deflexões e Ângulos Internos 
1.1 - Azimute (Az) 
 Chama-se de Azimute de um alinhamento ao 
ângulo que sua direção forma com a direção do Norte. Os 
azimutes variam de 0º a 360º, sendo medidos, no sentido 
horário, partindo-se da direção do Norte até a do 
alinhamento. 
Ex.: Az1 = 45º Az2 = 135º 
 Az3 = 225º Az4 = 315º 
 
 
1.2 - Rumo (R) 
 Chama-se de Rumo de um alinhamento ao ângulo 
que sua direção forma com a extremidade da linha 
meridiana (direção Norte-Sul) da qual esteja mais 
próximo, sendo medido para a direita ou para a esquerda, 
conforme se encontre mais próximo do Leste ou do 
Oeste, resultando em um valor entre 0º e 90º. 
Ex.: R1 = 45º NE R2 = 60º SE 
 R3 = 20º SW R4 = 50º NW 
 É imprescindível, ao expressar-se o rumo de um 
alinhamento, a identificação do quadrante no qual este 
esteja situado. 
 
1.3 - Relação entre Rumos e Azimutes 
 Tanto os Azimutes como os Rumos expressam a 
direção de um alinhamento com referência a uma mesma 
direção — direção da meridiana N-S. Deste modo, pode-
se correlacionar esses dois ângulos, a partir do ângulo 
formado pelas direções Norte e Sul na linha meridiana, 
que é de 180º. 
 
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1º Quadrante: os azimutes variam entre 0º e 90º. 
 R = Az 
Ex.: Az = 55º’ 
 R = 55º NE 
2º Quadrante: os azimutes variam entre 90º e 180º. 
 Az + R = 180º 
Ex.: Az = 130º 
 R = 180º – 130º 
 R = 50º SE 
 
3º Quadrante: os azimutes variam entre 180º e 270º. 
 Az – R = 180º 
Ex.: Az = 230º 
 R = 230º –180º 
 R = 50º SW 
4º Quadrante: os azimutes variam entre 270º e 360º. 
 R = 360º – Az 
Ex.: Az = 305º 
 R = 360º –305º 
 R = 55º NW 
 
Obs.: 
1 - O azimute e o rumo são 
tomados, isto é lidos, da origem 
visando-se o fim do alinhamento — 
são o azimute ou o rumo de vante; 
também podem ser lidos do fim 
para o início do alinhamento, 
obtendo--se o azimute ou rumo de 
ré, também chamados de 
recíprocos. 
2 - O azimute de um alinhamento e 
seu recíproco diferem entre si de 
180º. 
3 - O rumo de um alinhamento e seu recíproco, por sua vez, apresentam o mesmo valor angular, porém 
situando-se em quadrantes opostos diametralmente. 
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16
1.4 - Deflexões (D) 
 São ângulos originados pela 
mudança de direção de um 
alinhamento em relação ao anterior, 
em um determinado ponto. As 
deflexões podem ser: à esquerda 
(De) ou à direita (Dd), podendo variar 
de 0º a 180º, em ambos os sentidos. 
 
 
 D2 = 53º e D3 = 35º d D4 = 52º d 
1.5 - Relação entre Deflexões e Ângulos Internos 
 Um ângulo interno é definido pela direção formada por um alinhamento a partir do alinhamento 
anterior, estando, desta forma, matematicamente relacionado com a deflexão no mesmo vértice. 
 Para um caminhamento poligonal à esquerda, tem-se: 
Ai – De = 180º 
Ex.: D2 = 53º e 
 Ai2 = 180º + 53º = 233º 
Ai + Dd = 180º 
Ex.: D3 = 35º d 
 Ai3 = 180º - 35º = 145º 
 Ai4 = 128º 
 D4 = 180 –128 = 52º d 
 
 Quando o caminhamento poligonal for à direita: 
Ai – Dd = 180º 
Ex.: D7 = 53º d 
 Ai7 = 180º + 53º = 233º 
Ai + De = 180º 
Ex.: D6 = 35º e 
 Ai6 = 180º - 35º = 145º 
 Ai5 = 128º 
 D5 = 189º –128º = 52º 
 
1.6 - Relação entre Deflexões e Azimutes 
 Matematicamente, a diferença entre os azimutes de dois alinhamentos consecutivos é igual à 
deflexão formada entre eles. Daí, tem-se 
Azn = Azn–1 + Ddn ou Azn = Azn–1 – Den 
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17
onde Azn , azimute obtido no vértice ‘n’ da poligonal, 
 Azn–1 , azimute obtido no vértice ‘n–1’ da poligonal, 
 Den ou Ddn , deflexão no vértice ‘n’ da poligonal. 
Ex.: Az1 = 105º 
 D2 = 53º 
 Az2 = Az1 – D2 
 Az2 = 105º – 53º = 52º 
 D3 = 35º 
 Az3 = Az2 + D3 
 Az3 = 52º + 35º = 87º 
 
1.7 - Relação entre Azimutes e Ângulos Internos 
1.7.1 - Cálculo de Azimutes a partir de Ângulos Internos 
 O azimute de um alinhamento pode ser obtido a partir do azimute do alinhamento anterior e do 
ângulo interno formado pelos dois alinhamentos, através da seguinte expressão: 
 Azn = Azn–1 ±±±± Ain ±±±± 180º 
sendo: Azn , o azimute no vértice de ordem ‘n’, 
 Azn–1 , o azimute no vértice de ordem ‘n–1’, 
 Ain , o ângulo interno no vértice de ordem ‘n’. 
 Obs.: + Ai , quando o caminhamento perimétrico for a direita, 
 – Ai , quando o caminhamento perimétrico for a esquerda, 
 +180º , quando a soma ou a diferença dos dois primeiros termos for menor que 180º e 
 –180º , quando a soma ou a diferença dos dois primeiros termos for maior que 180º. 
1.7.2 - Cálculo de Ângulos Internos a partir de Azimutes 
 O ângulo interno em um vértice de uma poligonal pode ser calculado pelo azimutes obtidos neste 
vértice e no anterior, conforme as expressões abaixo: 
Para caminhamento perimétrico à direita: Ain = Azn – Azn–1 ±±±± 180º 
Para caminhamento perimétrico à esquerda: Ain = Azn–1 – Azn ±±±± 180º 
Onde os termos das expressões são definidos como no item anterior. 
 
 
Exemplo 
 Uma poligonal, levantada por caminhamento à esquerda, apresenta os dados abaixo: 
Az1 = 220º Ai2 = 45º Ai3 = 225º Az4 = 40º Ai5 = 95. 
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Calcule: Ai1 Az2 Az3 Ai4 Az5 
Cálculo de Az2 Cálculo de Az3 Cálculo de Az5 
Az2 = Az1 – A2 ± 180º Az3 = Az2 – A3 ± 180º Az5 = Az4 – A5 ± 180º 
Az2 = 220º– 45º + 180º Az3 = 355º– 225º + 180º Az5 = 40º– 95º + 180º 
Az2 = 355º Az3 = 310º Az5 = 125º 
Cálculo de Ai1 Cálculo de Ai4 
Ai1 = Az5 – Az1 ± 180º Ai4 = Az3 – Az4 ± 180º 
Ai1 = 125º – 220º + 180º Ai4 = 310º – 40º – 180º 
Ai1 = 85º Ai4 = 90º 
1.8 - Verificação e compensação de erro angular no levantamento de poligonais 
 No levantamento de poligonaisatravés de ângulos internos ou deflexões, pode-se cometer um 
erro de forma que os ângulos lidos em campo não possibilitem seu fechamento geométrico, isto é, os 
valores obtidos não obedecem à geometria da figura levantada. Neste caso, deve-se compensar o erro 
cometido, sempre que este seja compatível com erro máximo admissível para o levantamento. 
 O erro total admissível é dado por E n= ε , 
sendo n, a quantidade de vértices (ou de ângulos medidos) do polígono, 
 ε, o erro admissível por ângulo. 
 O erro admissível por ângulo ε depende da precisão requerida para os trabalhos realizados. Para 
levantamentos regulares esta precisão varia de 10” a 1’; uma referência usual é tomar o valor de ε igual à 
precisão do teodolito empregado. 
 Caso o erro cometido seja menor que o erro admissível no levantamento, a compensação é feita 
distribuindo uma parte desse em cada um dos ângulos a ser compensado. O valor a ser compensado é 
dado pela expressão 
C
E
 n
=
−
 
onde: C, é o valor a ser acrescido ou subtraído em cada ângulo 
 E, é o erro total cometido 
 n, é o número de vértices da poligonal. 
1.8.1 - Levantamentos por ângulos internos 
 A soma dos ângulos internos de um polígono regular deve satisfazer à expressão 
 ΣAi = 180º (n-2). 
 Assim, em poligonais fechadas, a soma dos ângulos internos deve obedecer à expressão acima. 
Alguma diferença entre o somatório dos ângulos obtidos em campo e o fornecido pela Geometria 
constitui o erro ocorrido no levantamento. Então, 
 E = ΣAiLIDOS – ΣAiGEOM. 
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 E = ΣΣΣΣAiLIDOS – 180º (n-2) 
onde: E, é o erro angular cometido no levantamento, 
 ΣAiLIDOS , soma dos ângulos internos do polígono levantado em campo, 
 n, número de vértices (ou de lados) do polígono. 
 
 
Exemplo 
No levantamento de uma poligonal, obtiveram-se os seguintes ângulos internos: 
Ai1 = 121 12’ 20” Ai2 = 82 55’ 15” Ai3 = 116 33’ 15” Ai4 = 134 24’ 55” Ai5 = 84 54’ 40” 
Verificar a existência de erro no levantamento e fazer sua compensação. 
Cálculo do erro cometido 
ΣAi = 540º 00’ 25” 
E = 540º 00’ 25” – 180º (5 – 2) 
E = 540º 00’ 25” – 540º = 25” 
Valor a ser compensado por ângulo 
C =
− ′′
= − ′′
25
5
5 (a compensação é feita retirando-se 5” de cada ângulo lido) 
Ângulos compensados 
Ai1 = 121 12’ 15” Ai2 = 82 55’ 10” Ai3 = 116 33’ 10” Ai4 = 134 24’ 50” Ai5 = 84 54’ 35” 
1.8.2 - Levantamentos por deflexões 
 Em poligonais fechadas, as deflexões totais à esquerda e à direita devem resultar em um giro no 
terreno de 360º. Então, tem-se 
se o caminhamento for à esquerda ΣDd − ΣDe = 360º, ou 
se o caminhamento for à direita ΣDe − ΣDd = 360º. 
 Caso o primeiro termo nas expressões acima difira de 360º, esta diferença será considerada 
como o erro a ser compensado em cada uma das deflexões, ou seja 
para o caminhamento à esquerda E = (ΣΣΣΣDd −−−− ΣΣΣΣDe) – 360º, ou 
para o caminhamento à direita E = (ΣΣΣΣDe −−−− ΣΣΣΣDd) – 360º. 
Exemplo 
No levantamento de uma poligonal fechada composta por 3 lados, foram lidas as seguintes deflexões: 
D1 = 92º 31’ D2 = 135º 43’ D3 = 131º 49’. 
Fazer a distribuição do erro angular do levantamento, considerando que as deflexões sejam à esquerda. 
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Cálculo do erro cometido 
O caminhamento perimétrico sendo à direita, tem-se 
E = (ΣDe − ΣDd) – 360º 
E = (360º 03’ − 0º 00’) – 360º = 360º 03’ – 360º = + 3’ 
C =
− ′
= − ′
3
3
1 (deve-se subtrair 1’ de cada deflexão) 
Deflexões compensadas 
D1 = 92º 30’ e D2 = 135º 42’ e D3 = 131º 48’ e 
Exemplo 
Em um levantamento poligonal, obtiveram-se as seguintes deflexões, com o caminhamento à esquerda: 
D1 = 90º d, D2 = 150º d, D3 = 30º e, D4 = 149º d. 
Compensar o erro cometido no levantamento. 
Cálculo do erro cometido 
E = (ΣDd − ΣDe) – 360º 
E = (389º − 30º) – 360º = 359º – 360º = –1º 
C = = = ′
 1
4
0 25 15
o
o, (deve-se somar 15’ às deflexões à direita e subtrair 15’ das deflexões à esquerda) 
Deflexões compensadas 
D1 = 90º 15’ d D2 = 150º 15’ d D3 = 29º 45’ e D4 = 149º 15’ d 
 
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21
2 - Estudo da Declinação Magnética 
2.1 - Declinação magnética (δδδδ) 
 Denomina-se de meridiano ou de linha meridiana à linha que liga os pólos Norte e Sul da Terra. 
Quando se trata dos pólos geográficos, tem-se a meridiana geográfica; caso trate-se dos pólos 
magnéticos, tem-se a meridana magnética. 
 A direção da linha meridiana em um local é feita, no caso de determinação da meridiana 
geográfica, através de observações astronômicas ou, em se tratando da meridiana magnética, com o 
emprego de instrumentos dotados de uma agulha magnética (bússolas e declinatórias). 
 A meridiana geográfica tem sua direção constante, o mesmo não ocorrendo com a meridiana 
magnética, esta tendo direção variável de um ponto da superfície terrestre a outro. A Declinação 
Magnética é o ângulo formado entre o meridiano geográfico (também denominado de verdadeiro ou 
astronômico) e o meridiano magnético. 
 
 A declinação magnética pode ser Ocidental ou a Oeste, 
quando a extremidade Norte do meridiano magnético situar-se à 
esquerda, isto é, a oeste da extremidade Norte do meridiano 
verdadeiro. 
 
 A declinação magnética é denominada Oriental ou a 
Leste, quando a extremidade Norte do meridiano magnético 
situar-se à direita, ou seja, a leste da extremidade Norte do 
meridiano verdadeiro. 
 
Exemplo 
Efetuar os cálculos solicitados nos itens a e b, empregando as expressões dadas abaixo: 
 AzM = AzV + δδδδ (W) 
 
 AzM = AzV −−−− δδδδ (E) 
 
a) Determinado alinhamento apresenta um azimute magnético de 230° 20’. Qual é o azimute verdadeiro 
deste alinhamento, se a declinação magnética for de 1° 38’ E? 
 Como a declinação é a leste, tem-se: 
 AzM = AzV − δ ∴ 230° = AzV − 1° 38’ 
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22
 AzV = 230° + 1° 38’ ∴ AzV = 231° 38’ 
b) Qual é o azimute magnético do alinhamento cujo azimute verdadeiro é de 23° 20’, e tendo a declinação 
magnética local um valor de 1° 38’ W? 
 Como a declinação é a oeste, tem-se: 
 AzM = AzV + δ ∴ AzM = 23° 20’ + 1° 38’ 
 AzM = 24° 58’ 
2.2 - Variação magnética (v) 
 Com o decorrer do tempo, a declinação magnética pode sofrer uma variação no seu valor. A esta 
mudança no valor da declinação magnética em um determinado local, com o passar do tempo, 
denomina-se variação magnética. 
 A declinação magnética pode ser a Oeste ou a Leste. Quando os sentidos da declinação e da 
variação magnética forem iguais, isto é, ambos a oeste ou ambos a leste, a declinação magnética 
aumentará com a passagem do tempo. Sendo opostos os sentidos da declinação e da variação 
magnéticas, ocorre diminuição no valor da declinação. 
 Nos levantamentos topográficos geralmente é significatante a variação magnética ocorrida em 
períodos de anos, não se considerando as mudanças diárias que possam ocorrer no valor da declinação. 
Mudanças em períodos curtos não poderiam mesmo ser mensuradas com exatidão, dada a pouca 
precisão que as bússolas oferecem. 
 Para um determinado local, os valores tanto da declinação quanto da variação magnéticas 
podem ser encontrados em efemérides. Mapas apresentando estes valores trazem um conjunto de 
curvas (isogônicas e isopóricas) com a finalidade de fornecer tais dados. As curvas isogônicas 
representam o lugar geométrico de pontos que apresentam um mesmo valor para a declinação 
magnética,já as as curvas isopóricas são representativas do lugar geométrico dos pontos que têm igual 
valor de variação magnética. 
 A declinação magnética pode ser calculada 
pela expressão 
 δ2 = δ1 ± v (t2 – t1), 
onde δ1 e δ2 , são as declinações magnéticas em 
um local nas datas t1 e t2 respectivamente, 
 v, é a variação magnética no local. 
 
Exemplo 
Calcular o valor da declinação magnética conforme solicitado abaixo: 
a) δ1988 = 5° 23’ W e v = 3’ W/ano; δ1995 = ? 
Como δ1988 e v têm o mesmo sentido (a oeste), tem-se: 
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23
δ1995 = δ1988 + (1995 – 1988) v 
δ1995 = 5° 23’ + 7 x 3’ = 5° 23’ + 21’ 
δ1995 = 5° 44’ W 
b) δ1988 = 5° 23’ W e v = 3’ E/ano; δ1995 = ? 
Como δ1988 e v têm sentidos distintos, tem-se: 
δ1995 = δ1988 – (1995 – 1988) v 
δ1995 = 5° 23’ – 7 x 3’ = 5° 23’ – 21’ 
δ1995 = 5° 02’ W 
Obs.:O sentido da declinação permanece a oeste, visto que a variação total ocorrida no período, 
21’, é menor que o valor inicial da declinação. 
c) δ1978 = 2° 03’ W e v = 13’ E/ano; δ1995 = ? 
Como δ1978 e v têm sentidos distintos, tem-se: 
δ1995 = δ1978 – (1995 – 1978) v 
δ1995 = 2° 03’ – 17 x 13’ = 2° 03’ – 221’ = 2° 03’ – 3° 41’ 
δ1995 = - 1° 38’ ∴ δ1995 = 1° 38’ E 
Obs.: A variação total ocorrida no período, 3° 41’, é maior que o valor inicial da declinação; como 
conseqüência o sentido da declinação passa a ser a leste. 
 
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V - ALTIMETRIA 
1 - Considerações iniciais 
1.1 - Definição 
 É a parte da Topometria que estuda as distâncias verticais entre diversos pontos de uma área. 
1.2 - Distâncias verticais 
 Cota - é a distância vertical de um ponto tomada com referência a uma superfície de nível fictícia. 
 Altitude - é a distância vertical de um ponto à superfície média dos mares. 
1.3 - Métodos altimétricos 
Referente ao nível verdadeiro (nível do mar): altitudes. 
• Método barométrico 
Referentes a um nível arbitrário: cotas 
• Método geométrico 
• Método trigonométrico 
2- Nivelamento Geométrico 
2.1 - Conceitos 
 Método que consiste em determinar a diferença de cotas entre pontos do terreno, a partir de suas 
distâncias verticais em relação a um plano horizontal de referência (PR). 
 Plano horizontal de referência (PR) - plano horizontal que passa pelo eixo óptico do instrumento 
topográfico (nível), quando este estiver devidamente instalado (em condições de operação). 
2.2 - Equipamentos utilizados 
 São necessários basicamente dois equipamentos: 
Nível - serve paraa determinar o plano de referência; 
Mira - empregada para leitura das distâncias verticais do ponto a nivelar ao plano de referência. 
2.3 - Cuidados a serem adotados em um nivelamento 
• Instalação correta do nível (verificação do nivelamento do instrumento a cada leitura) 
• Verticalidade da mira (não estar inclinada no momento da leitura) 
• Ler com atenção e estimar com precisão as leituras na mira, principalmente nas visadas a ré e nas 
vantes de mudança. 
• Evitar leituras a distâncias longas, devido ao abaixamento da linha de visada (em face da refração 
atmosférica) e da curvatura da Terra: E (em metros) = 0,068 D2 (em quilômetros). 
• Evitar leituras inferiores a 500 mm, devido à forte irradiação e movimento das camadas de ar 
próximas ao solo. 
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25
2.4 - Cálculo do nivelamento (simples e composto) 
Obs.: O nivelamento geométrico é dito simples quando é feito a partir de uma única estação do 
instrumento (o nível) e composto quando é necessário mais de uma estação para nivelar todos os 
pontos do terreno. O nivelamento composto é uma seqüência de nivelamentos simples. 
• Plano de referência (PR), é igual à soma da visada de ré (r) com a cota (C) do ponto onde é feita essa 
visada: PR = C + R 
• A cota de qualquer ponto é igual à diferença entre o plano de referência (PR) e a visada a vante (V) 
feita nesse ponto: C = PR − V 
 
Obs.: RN, referência de nível (ponto em que se inicia o nivelamento e cuja cota é conhecida ou arbitrada) 
 Na figura-exemplo acima, tem-se que: 
RN = Ponto 1 ∴ CRN = C1 
PR1 = C1 + R1 C2 = PR1 − V2 PR3 = C4 + R4 C5 = PR3 − V5 
 C3 = PR1 − V3 C6 = PR3 − V6 
2.5 - Diferença de nível entre os pontos nivelados 
 A diferença de nível entre dois pontos é obtida pela diferença entre suas cotas. 
Ex.: entre 1 e 2: D1-3 = C2 − C1 
 entre 3 e 5: D3-5 = C5 − C3 
Obs.: 1 - Se os pontos foram visados de uma mesma estação, caso dos pontos 1, 2 e 3, por exemplo, 
a diferença de nível também é obtida pela diferença das visadas: 
 D2-3 = C3 − C2 = (PR1 − V3) − (PR1 − V2) 
 D2-3 = V3 − V2 
 2 - Se os pontos forem visados a partir de diferentes estações, como os pontos 3 e 5, por 
exemplo, além das visadas feitas neles serão consideradas todas as visadas a ré e vantes de 
mudança compreendidas entre os dois: 
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26
 D3-5 = C5 − C3 = (PR3 − V5) − (PR1 − V3) 
 = ((C4 + R4) − V5) − (PR1 − V3) 
 = (((PR2 − V4) + R4) − V5) − (PR1 − V3) 
 = ((((C3 + R3) − V4) + R4) − V5) − (PR1 − V3) 
 = (((((PR1 − V3) + R3) − V4) + R4) − V5) − (PR1 − V3) 
 eliminando os parêntesis, fica 
 D3-5 = C5 − C3 = (PR1 − V3) + R3 − V4 + R4 − V5 − (PR1 − V3) 
 D3-5 = C5 − C3 = R3 + R4 − V4 − V5 
 3 - Aplicando o raciocínio desenvolvido no item 2 acima aos pontos extremos da poligonal 
levantada (o ponto inicial é o ponto 1 e o final é o ponto 6), obtém-se: 
 CF − CI = (R1 + R3 + R4) − (V3 + V4 + V6) 
 CF −−−− CI = ΣΣΣΣR −−−− ΣΣΣΣVM 
onde, CI e CF são as cotas dos pontos inicial e final do levantamento 
 ΣR e ΣVM representa o somatório das visadas de ré e vantes de mudança do 
levantamento. 
2.6 - Verificação e compensação de erros de levantamento 
2.6.1 - O erro de levantamento 
 O erro de fechamento cometido em um nivelamento geométrico é uma função de fatores como: 
relevo do terreno, presença de obstáculos, extensão da poligonal levantada, condições de visualização. 
Tais fatores concorrem para a determinação da extensão máxima possível para as visadas e do número 
de estações do nível necessárias para visar todos os pontos; em princípio o erro cometido no 
levantamento será tanto menor quanto menos estações forem adotadas e mais próximas as estações 
estiverem dos pontos nivelados. Desta forma, ao se definirem as estações para o nível deve-se ter em 
conta este fato e conciliar de maneira equilibrada, o quanto possível, estas duas condições antagônicas, 
a fim de minimizar a possibilidade de ocorrência ou a grandeza do erro de levantamento. 
2.6.2 - Verificação de erro 
 Foi visto que no levantamento de uma poligonal deve-se ter CF −−−− CI = ΣΣΣΣR −−−− ΣΣΣΣVM 
daí, podemos escrever que (ΣR − ΣVM) − (CF − CI) = 0. 
 Se a expressão acima, aplicada aos dados de um nivelamento geométrico, apresentar um 
resultado diferente de 0 (zero) para o primeiro membro, o valor resultante se constitui no erro cometido 
no levantamento. Assim, tem-se o erro de levantamento dado por 
E = (ΣΣΣΣR −−−− ΣΣΣΣVM) −−−− (CF −−−− CI). 
 No nivelamento de poligonais abertas, a verificação do erro pela expresssão acima só poderá ser 
feita caso se conheça previamente não apenas a cota inicial, mas também a cota final, do contrário a 
expressão apresentará duas incógnitas (E e CF) e será insolúvel. 
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27No nivelamento de poligonais fechadas, o ponto inicial é também o ponto final do nivelamento, 
logo a cota inicial é igual à cota final e a expressão para cálculo do erro torna-se 
E = (ΣΣΣΣR −−−− ΣΣΣΣVM) 
2.6.3 - Erro admissível e distribuição do erro cometido 
 O erro de fechamento cometido no nivelamento deve ser comparado ao erro admissível. Caso o 
primeiro seja maior que o último, deve-se refazer o levantamento. Se o erro cometido estiver compatível 
com o valor máximo admitido, deve ser distribuído igualmente entre todas as estações do nivelamento. A 
compensação a ser feita é dada por 
C
E 
n
=
−
 
 O procedimento adotado para a distribuição do erro consiste em somar ou subtrair o valor a ser 
compensado em cada uma das visadas de ré; deste modo, corrige-se todos os planos de referência e a 
compensação acumula-se de estação a estação, até atingir o valor do erro total. 
 Espartel cita que em levantamentos comuns pode-se esperar um erro da ordem de 5 a 10 mm 
por quilômetro, aceitando-se como erro admissível o valor dada pela seguinte expressão 
 EADM = εεεε llll , com ε variando de 10 a 15 mm e é a extensão da poligonal em km. 
Exercício 
 Dadas as cadernetas de nivelamento geométrico abaixo, calcular o erro cometido no 
levantamento, compará-lo com o erro admissível e fazer sua distribuição nas cotas dos pontos nivelados. 
a) Nivelamento de uma poligonal fechada com extensão total de 3 600 metros. 
Ponto Leitura na mira 
Plano de 
Referên- Cota Correção 
Cota 
compen- 
nivelado Ré Vante cia (mm) (mm) (mm) sada (mm) 
A=RN 3 437 53 437 50 000 − 50 000 
B 2 621 50 816 + 2 50 818 
C 563 52 874 + 2 52 876 
“ 3 826 56 700 
D 2 749 53 951 + 4 53 955 
E 502 56 198 + 4 56 202 
“ 694 56 802 
F 388 56 594 + 6 56 600 
G 3 892 53 000 + 6 53 006 
“ 842 53 842 
H 4 775 50 067 + 8 50 075 
A 3 850 49 992 + 8 50 000 
VERIFICAÇÕES 
Erro cometido 
ΣR = 3 437 + 3 826 + 694 + 842 = 8 799 mm CF − CI = 49 992 − 50 000 mm 
ΣVM = 563 + 502 + 3 892 + 3 850 = 8 807 mm ou CF − CI = − 8 mm Ok! 
E = ΣR + ΣVM = 8 799 − 8 807 = − 8 mm 
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28
Erro admissível 
EADM = ε l l l l = 10 mm 3 6, 
EADM = 19 mm > E Ok! 
Compensação 
C
E 
n
=
−
=
− − mm 
4
( )8
 
C = 2 mm / estação 
Assim, a correção acumulada em cada estação é 
1a. - 1 x 2 = 2 mm 3a. - 3 x 2 = 6 mm 
2a. - 2 x 2 = 4 mm 4a. - 4 x 2 = 8 mm 
b) Nivelamento de uma poligonal aberta com extensão de 100 metros. A cota inicial do levantamento, isto 
é, a cota do RN é de 10.000 mm e a final (ponto 10) é de 11.200 mm. 
Ponto Leitura na mira 
Plano de 
Referên- Cota Correção 
Cota 
compen- 
nivelado Ré Vante cia (mm) (mm) (mm) sada (mm) 
RN 1 553 11 553 10 000 − 10 000 
1 1 879 9 674 3 9 671 
2 1 427 10 126 3 10 123 
3 1 129 10 424 3 10 421 
“ 1 630 12 054 
4 1 330 10 724 5 10 719 
5 1 204 10 850 5 10 845 
“ 1 609 12 459 
6 1 479 10 980 7 10 973 
7 1 429 11 030 7 11 023 
“ 1 487 12 517 
8 1 408 11 109 9 11 100 
9 1 360 11 157 9 11 148 
10 1 308 11 209 9 11 200 
VERIFICAÇÕES 
Erro cometido 
ΣR = 1 553 + 1 630 + 1609 + 1 487 = 6 279 mm 
ΣVM = 1 129 + 1 204 + 1 429 + 1 308 = 5 070 mm 
E = (ΣR − ΣVM ) − (CF − CI ) = (6 279 − 5 070) − (11 200 − 10 000) = 9 mm 
Erro admissível 
EADM = ε l l l l = 10 mm 0,1 
EADM = 3 mm < E Se considerarmos este erro admissível, o nivelamento deve ser refeito, pois o 
erro cometido apresenta-se maior. No entanto, admitiremos um erro de até 3 mm a ser distribuído em 
cada estação. Desta forma, teremos. 
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29
Compensação 
C
E 
n
=
−
=
− mm 
4
( )9
 = 2,5 mm por estação < 3 mm Ok! 
Assim, a correção acumulada em cada estação é 
1a. - 1 x 2,25 = 2,5 ≅ 3 mm 3a. - 3 x 2,25 = 6,75 ≅ 7 mm 
2a. - 2 x 2,25 = 4,5 ≅ 5 mm 4a. - 4 x 2,25 = 9 mm 
3- Nivelamento Trigonométrico 
 O nivelamento trigonométrico baseia-se na resolução de um triângulo retângulo, conhecendo-se 
sua base AB e o ângulo de inclinação α ou z, mostrados na figura abaixo 
 
D = AB 
h = BC = D tg α 
 ou 
h = BC = D cotg z 
 
 Calcula-se a cota do ponto nivelado ou a diferença de nível entre este e a estação a partir da cota 
desta última, da altura do instrumento (teodolito) na estação, da distância entre os dois pontos, da leitura 
na mira feita no ponto nivelado e do ângulo de inclinação da visada. 
 
Para z < 90° 
α = 90° − z 
CP − CE = hi + D tg α − f 
 ou 
CP − CE = hi + D cotg z − f 
 
 
Para z > 90° 
α = 90° − z 
CP − CE = hi − D tg α − f 
 ou 
CP − CE = hi + D cotg z − f 
 
 Caso a extensão da visada exceda a 100-120 metros, deve-se fazer a correção relativa à 
curvatura e à refração da luz na atmosfera: E (mm) = 68 D2 (km). 
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30
Exercício 
Calcular a cota do ponto B, nos problemas abaixo sabendo que 
 
a) CA = 12,30 m 
 DAB = 19,80 m 
 z = 109° 
 hi = 1,52 m 
 
 
Devemos ter α = 90 − z ∴ α = 90 − 109 = − 19° 
 CB = CA + hi − DAB tg α − f 
 CB = 12,30 + 1,52 − 19,80 tg 19° − 0 
 CB = 7,00 m 
 
b) CA = 15,12 m 
 D = 28,10 m 
 hi = 1,50 m 
 f = 1.632 mm 
 α = 19° 20’ 
 
Devemos ter CB = 15.120 + 1.500 + 28.100 tg (19° 20’) − 1.632 
 CB = 24.847 mm 
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31
VI - CÁLCULO DE ÁREAS E COORDENADAS DE VÉRTICES 
1 - Considerações iniciais 
 Os cálculos das áreas levantadas topograficamente podem ser realizados por métodos gráfico, 
analítico ou mecânico. A utilização de um ou outro método pode estar associada à figura levantada e aos 
dados disponíveis, além mesmo da precisão desejada. A área levantada compreende geralmente duas 
parcelas: a área da poligonal e a área extra-poligonal. 
2 - Métodos analíticos 
 Os métodos analíticos fornecem o valor da área através de cálculos apenas a partir dos dados de 
campo, o que leva a valores bem precisos. São utilizados métodos distintos para avaliação de áreas de 
poligonais e extra-poligonais. 
2.1 - Método de Gauss – áreas de poligonais 
 O método de Gauss possibilita a avaliação de áreas de poligonais empregando as coordenadas 
de seus vértices, calculadas a partir dos dados do levantamento. 
 As coordenadas de um vértice definem sua posição em relação a um sistema de eixos 
coordenados. Podem ser referenciadas em relação a um sistema local ou global. neste contexto 
trataremos de coordenadas locais, mas a metodologia empregada é aplicável a ambas as situações. 
a) Cálculos das projeções dos alinhamentos 
 Sejam 1 e 2 dois alinhamentos definidos pelos vértices 1, 2 e 3 na figura abaixo. As projeções de 
cada alinhamento segundo os eixos coordenados x (abscissas) e y (ordenadas) são obtidas pelas 
projeções ortogonais, sobre o sistema de eixos, de seus vértices inicial e final. Assim, a projeção de 1 
sobre o eixo x é 1x e sobre o eixo y, 1y. Analogamente, a projeção de 2 sobre o eixo x é 2x e sobre o eixo 
y é 2y . Desta maneira, 
1x = 1 sen α = 1 cos β 
1y = 1 cos α = 1 sen β 
2x = 2 sen δ = 2 cos γ = 2 sen ϕ 
2y = 2 cos δ = – 2 sen γ = – 2 cos ϕ 
 
 Somando-se todas as projeções dos alinhamentos de uma poligonal segundo as direções 
definidas pelos eixos coordenados tem-se seu desenvolvimento nas direções x e y. No caso da poligonal 
ser fechada, a soma das projeções em uma mesma direção é evidentemente nula, visto que os vértices 
inicial e final são coincidentes. Se o somatório dasprojeções em uma mesma direção não resultar em 
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32
zero, a diferença encontrada pode ser distribuída por cada alinhamento, a fim de eliminar o erro cometido 
nas medições efetuadas no levantamento. A verificação do erro e sua compensação é feita como 
mostrada abaixo: 
Ex = Σx’n Ey = Σy’n ET = E x yE
2 2+ 
Cx = 
− E
 
x 
Σllll
 Cy = 
− E 
 
y
Σllll
 EADM = ± 0,001 ET 
xn = x’n + Cx n yn = y’n + Cy n 
em que: x’n e y’n , projeções diretas do n-ésimo alinhamento da poligonal sobre os eixos x e y, 
x’n e y’n , projeções corrigidas do n-ésimo alinhamento da poligonal sobre os eixos x e y, 
Ex e Ey , erro do levantamento nas direções x e y, 
n , extensão do n-ésimo alinhamento da poligonal, 
Cx e Cy , correção por unidade de comprimento da poligonal em cada direção, 
ET e EADM , erro total cometido e erro máximo admissível no levantamento. 
b) Cálculo das coordenadas dos vértices do polígono 
 As coordenadas de um ponto estabelecem sua posição em relação à origem do sistema de eixos 
coordenados. A coordenada x, ou coordenada na direção do eixo x, define a distância do ponto ao eixo y, 
enquanto que a coordenada y expressa a distância do ponto ao eixo x. 
 Um alinhamento pode ser definido a partir das coordenadas de seus vértices. Conhecidas as 
coordenadas iniciais, podem-se calcular as coordenadas finais acrescentando ou diminuindo o valor das 
projeções do alinhamento. Desta forma, 
conhecendo-se X1 e Y1 , coordenadas iniciais do alinhamento 12 (coordenadas do vértice 1), 
Az1 e Az2 ,os azimutes dos alinhamentos 12 e 23 , 
R1 e R2 ,os rumos dos alinhamentos 12 e 23 , 
1 e 2 , as extensões dos 2 alinhamentos, 
as coordenadas dos demais 
vértices são dadas por 
X2 = X1 + 1x X3 = X2 + 2x 
Y2 = Y1 + 1y Y3 = Y2 + 2y 
Generalizando, as coordenadas de 
qualquer vértice são 
Xn = X(n−1) + (n−1)x 
Yn = Y(n−1) + (n−1)y 
 
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33
c) Cálculo da área poligonal: no método de Gauss, calcula-se a área da poligonal a partir das áreas 
compreendidas entre cada alinhamento e um dos eixos coordenados (na demonstração seguinte, eixo y), 
obtendo-se, deste modo, a partir de trapézios, retângulos ou triângulos, a área procurada. 
 Na figura abaixo, a área do polígono 1234, pode ser calculada como 
S1234 = (SY3Y223 + SY4Y334) − (SY4Y114 + SY1Y221) 
S1234 = 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
X X
Y Y
X X
Y Y
X X
Y Y
X X
Y Y2 3 2 3
3 4
3 4
4 1
1 4
1 2
2 12 2 2 2
+
− +
+
−








−
+
− +
+
−








 
S1234 =
 
[ ]{
[ ]}
 
 
 
1
2 2 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3 4 4 3 4 4
4 1 4 4 1 1 1 4 1 2 1 1 2 2 2 1
X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y
X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y
− + − + − + − −
− − + − + − + −
 
S1234 = { }
 
 
1
2 2 3 3 2 3 4 4 3 4 1 1 4 1 2 2 1
− + − + − + − +X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y 
S1234 = )( ( ){ } 
1
2 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 1
Y X Y X Y X Y X X Y X Y X Y X Y+ + + − + + + 
Por fim, generalizando a expressão, 
tem-se 
S1234 = )( ( ){ } 
1
2 1 1
Σ ΣY X X Yn n n n+ +− 
 
 
2.2 - Método dos trapézios −−−− áreas extra-poligonais 
 O cálculo de áreas compreendidas entre os lados de uma poligonal e um contorno irregular, i. e., 
não linear, como a margem de um curso d’água ou lago, uma estrada etc., pode ser feito analiticamente 
a partir da decomposição da área integral em outras menores, aproximadamente trapezoidais, sem que 
se cometa em erro considerável na apreciação do valor real. 
 Na figura a seguir vê-se uma exemplificação desta situação. A área delimitada pela lado 12 da 
poligonal e pela linha curva (levantada por coordenadas), foi dividida em trapézios, cujas áreas somadas 
integralizam a área extra-poligonal levantada. 
 
S = Σ(ÁREAS DOS TRAPÉZIOS) 
S = S1 + S2 +… + S9 + S10 
 
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34
S = 
y y y y y y y y0 1
1
1 2
2
8 9
9
9 10
102 2 2 2
+
+
+
+
+
+
+
 x x + x xL 
S = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
 
 
 x + x + + x + x 2 9 10
1
2 1 0 1 1 2 8 9 9 10
y y y y y y y y+ + + +L 
Se x1 = x2 = … = x10 , 
S = ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
 
 
 x + + + + 
1
2 0 1 1 2 8 9 9 10
y y y y y y y y+ + + +L 
S = ( ) ( )[ ]
 
 
 x + 2 + + 
1
2 0 10 1 2 8 9
y y y y y y+ + +L 
Generalizando a expressão acima para um número n de trechos, tem-se 
S = ( ) ( )[ ]
 
 
 x + 2 + + 
1
2 0 1 2 2 1
y y y y y yn n n+ + +− −L FÓRMULA DE BEZOUT 
3 - Métodos gráficos 
 O emprego dos métodos gráficos consiste em calcular a área a partir do desenho da figura 
levantada em campo. Dividiremos os métodos gráficos aqui apresentados em: geométrico, de 
equivalência gráfica e divisão da área em quadrículos. 
3.1 - Método Geométrico 
 O polígono é dividido em figuras geométricas regulares (geralmente triângulos, retângulos, 
trapézios etc.), cujas áreas são calculadas pelas expressões usuais da Geometria Plana. As medidas 
podem ser obtidas em campo, durante o levantamento, ou no desenho. 
 No exemplo ao lado, o polígono 
ABCDE é dividido nos triângulos ABE, 
BCE e CDE. Daí 
SABCDE = SABE + SBCE + SCDE 
SABCDE = ½ L5h1 + ½ L2h2 + ½ d2h3 
 Os lados da poligonal foram 
obtidos no levantamento, enquanto que 
as demais medidas foram obtidas no 
desenho. 
3.2 - Equivalência gráfica 
 Este método consiste em reduzir o polígono original, sucessivamente, até que se obtenha uma 
figura mais simples, cuja área seja a mesma que a da figura inicial. 
 No exemplo abaixo tem-se a redução de um pentágono a um triângulo (redução de Garceau). A 
Fig. 1 mostra o polígono original, do qual deseja-se calcular a área. 
PROCEDIMENTO EMPREGADO: 
PASSO 1: Pelo vértice A leva-se uma linha auxiliar paralela à diagonal BE , até encontrar o lado BC (ou 
seu prolongamento); nesta intersecção tem-se o ponto A’, vértice do polígono A’CDE, cuja área 
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35
é equivalente à de ABCDE. As áreas S1 e S2 são iguais: a área S1 foi acrescida ao polígono 
original e S2 foi excluída, assim SABCDE = SA’CDE — Fig. 2. 
PASSO 2: No polígono A’CDE, traça-se por C uma auxiliar paralela a CE , até encontrar D’ sobre o lado 
′A C ou em seu prolongamento. O polígono resultante A’D’E é um triângulo cuja área é 
equivalente ao pentágono ABCDE inicial. As áreas S3 (acrescida na ao polígono A’CDE) e S4 
(subtraída) evidentemente são iguais — Fig. 3. 
PASSO 3: Calcula-se a área do triângulo A’D’E equivalente à do pentágono ABCDE — Fig. 4. 
Assim , SABCDE = SA’D’E = ½ L h 
 
3.3 - Divisão da área em quadrículos 
 Desenha-se a figura da qual se deseja conhecer a área em um papel quadriculado (usualmente 
milimetrado). O número total de quadrículos do papel abrangidos pela poligonal desenhada, multiplicado 
pela área de cada um equivale à área total. Para facilitar a contagem, apenas quadrículos inteiros são 
considerados; aqueles que estiverem mais da metade dentro da figura são tomadas por inteiro, os que 
estiverem menos que a metade, são desprezados, havendo uma compensação entre as áreas que se 
tomam a mais e a menos. 
 No exemplo abaixo, tem-se: 
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36
ESCALA: E = 1/200 
DIMENSÃO DO QUADRÍCULO: 
• no desenho: 
 = 2,5 mm 
• em campo: 
L = 2,5 mm x 200 
L = 500 mm = 0,5 m 
ÁREA DE UM QUADRÍCULO:a = L2 
a = (0,5 m)2 = 0,25 m2 
NÚMERO DE QUADRÍCULOS: 
n = 662 
ÁREA DA FIGURA: 
A = n a = 662 x 0,25 m2 = 
 
 
165,50 m2 
4 - Método mecânico - planimetragem 
 O planímetro é um ‘integrador’ mecânico que fornece automaticamente a área de uma superfície 
qualquer. O planímetro polar de Amsler é constituído basicamente por 3 (três) partes: 2 hastes, uma fixa 
e outra móvel, e de um tambor integrante, de onde partem as duas hastes. 
 
 A haste móvel possui em sua extremidade livre um traçador com o qual se percorre o contorno 
do desenho e o valor total do percurso é acumulado no integrante. Este valor fornece a área em termos 
de unidades de área de desenho, que relacionada com a escala adotada permite o cálculo da área real 
da superfície planimetrada. 
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37
VII - TAQUEOMETRIA 
1 - Considerações iniciais 
 A Taqueometria é a parte da Topografia que se ocupa das medidas indiretas de distâncias e 
diferenças de nível entre os diversos pontos topográficos no terreno. 
 Os levantamentos taqueométricos apresentam-se vantajosos em relação aos topométricos por 
serem de realização mais rápida, principalmente em terrenos acidentados, em vista de dispensar a 
realização de medidas de distâncias a trena e por propiciar maior independência na escolha dos pontos 
topográficos. Como desvantagem, a Taqueometria apresenta menor precisão na obtenção de cotas do 
que o método de Nivelamento Geométrico. 
2 - Cálculo de distâncias horizontais e diferenças de nível 
 
‘a-a’ fio (retículo) superior 
‘b-b’ fio (retículo) inferior 
‘h-h’ fio (retículo) médio 
‘h-h’ e ‘v-v’ fios axiais 
retículos estadimétricos na ocular da luneta do teodolito 
 
 
 
G = fs - fi 
fm = 
fs fi+
2
 
2.1 - Distância horizontal 
 A distância horizontal entre a estação do instrumento e o ponto visado é dada por: 
 D = C G cos2 αααα ∴ D = 100 (fs −−−−fi) cos2 αααα, 
em que: C, constante estadimétrica do teodolito (geralmente C = 100), 
 G, número gerador (G = fs - fi), 
 D, distância reduzida ao horizonte entre a estação e o ponto visado, 
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38
 fs, leitura da mira no fio estadimétrico superior da luneta, 
 fm, leitura da mira no fio estadimétrico médio da luneta, 
 fi, leitura da mira no fio estadimétrico inferior da luneta, 
 α, ângulo de inclinação da luneta do teodolito em relação ao plano horizontal. 
2.2 - Diferença de nível 
 Para o cálculo da diferença de nível entre a estação do instrumento e o ponto visado, ou cálculo 
da cota do ponto visado, tem-se, 
 N = 
 C 
2
G sen 2αααα ∴ N = 50 (fs −−−− fi) sen 2αααα 
 
Para z < 90° 
α = 90° − z 
CP − CE = hi + N − fm 
 ou 
CP = CE + hi + N − fm 
 
 
Para z > 90° 
α = 90° − z 
CP − CE = hi − N − fm 
 ou 
CP = CE + hi − N − fm 
 
onde: CE , cota da estação do instrumento, 
CP , cota do ponto visado, 
hi, altura do instrumento (distância vertical do eixo óptico do teodolito ao solo). 
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39
Exercício 
 Calcular a distância reduzida e a diferença de nível entre os pontos A e B, com os dados 
fornecidos abaixo: 
 hi = 1,47 m A �- - - - - - - - - - - - - - - - - - -� B 
a) z = 93° 12’ Solução: α = 90° − 93° 12’ 
fs = 1.060 mm α = − 3° 12’ (inclinação da luneta p/ baixo) 
fm = 910 mm G = fs − fi = 1.060 − 760 = 300 mm 
fi = 760 mm D = 100 G cos2 α = 100 x 300 cos2 (3° 12’) 
 = 30.000 x (0,9984)2 = 29.904 mm 
 D = 29,90 m 
N = 50 G sen 2α = 50 x 300 sen (6° 24’) 
 = 15.000 x 0,1115 = 1672,5 mm 
N = 1.673 mm 
CB − CA = hi − N - fm = 1.470 − 1.673 − 910 
CB − CA = − 1.113 mm 
b) z = 86° 48’ Solução: α = 90° − 86° 48’ 
fs = 2.657 mm α = 3° 12’ (inclinação da luneta p/ cima) 
fm = ? G = fs − fi = 2.657 − 2.507 = 150 mm 
fi = 2.507 mm D = 100 G cos2 α = 100 x 150 cos2 (3° 12’) 
 = 15.000 x (0,9984)2 = 14.952 mm 
D = 14,95 m 
fm = 0,5 (fs + fi) N = 50 G sen 2α = 50 x 150 sen (6° 24’) 
= 0,5 (2.657 + 2.507) = 7.500 x 0,1115 
fm = 2.582 mm N = 836 mm 
CB − CA = hi + N - fm = 1.470 + 836 − 2.582 
CB − CA = − 276 mm