Questão resolvida - Desenhe o conjunto A e calcule a sua área__ 1) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x1, x4, y0 e por y x - Cálculo II - EE Centro

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• Desenhe o conjunto A e calcule a sua área:
 
1) A é o conjunto do plano limitado pelas retas e por x = 1, x = 4, y = 0 y = x
 
Resolução:
 
Vamos, primeiro, identificar a região que delimita o conunto:
 
Em , o conjunto vai de a x 1 4.
 
Já em , vai de até a função , vamos substuir na função os pontos extremos de y 0 y = x x
e alguns valores dentro desse intervalo;
 
x = 1 y = y = 1→ 1 →
 
x = 2 y = y = 1, 41→ 2 →
 
x = 3 y = y = 1, 73→ 3 →
 
x = 4 y = y = 2→ 4 →
 
 
Com essas informações, é possível traçar o gráfico com a região que representa o conjunto, 
como visto na sequência;
Agora, vamos calcular a área da região, como a curva está acima do eixo , basta integrá-la x
de a ;1 4
 
A = dx
4
1
∫ x
Vamos fazer a integração;
 
A = dx A = x dx A = A = A =
4
1
∫ x →
4
1
∫
1
2 →
x
+ 1
+1
1
2
1
2
4
1
→
x
1 + 2
2
1+2
2
4
1
→
x
3
2
3
2
4
1
 
A = x A = 4 - 1 A = 4 - A = 4 ⋅ 4 -
2
3
3
2
4
1
→
2
3
( )
3
2
2
3
( )
3
2 →
2
3
3
1
2 2
3
→
2
3
2
1
2 2
3
 
A = ⋅ 4 ⋅ 4 - A = ⋅ 4 ⋅ 4 - A = ⋅ ⋅ 4 - A = ⋅ 2 ⋅ 4 -
2
3
1
2
2⋅
1
2
2
3
→
2
3
( )
1
2
2
2
2
3
→
2
3
4 1
2
3
→
2
3
2
3
 
A = - A =
16
3
2
3
→
16 - 2
3
 
A = u. a.
14
3
 
 
(Resposta)