Questão resolvida - Questão 1) A integral dupla_ R yxdA No retângulo R(x,y)_-3x2, 0y1_ - Cálculo II - Universidade Paulista

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Questão 1) A integral dupla:
 
y xdA
R
∫ ∫ 2
 
No retângulo é igual a:R = x, y | - 3 ⩽ x ⩽ 2; 0 ⩽ y ⩽ 1{( ) }
 
A) -
5
6
 
B) -
4
2
 
C) -
1
6
 
D) -
7
6
 
D) -
9
2
 
 
Resolução:
 
Devemos definir, primeiro, os limites de integração que são definidos pelo retângulo que é a 
base do sólido e está no eixo ;xy
 
Veja que a em x o retângulo vai de a , em y o retângulo vai de a , com isso, podemos -3 2 0 1
escrever a integral dupla com os limites de integração;
 
I = y xdxdy
1
0
∫
2
∫
-3
2
Resolvendo;
 
I = y xdxdy = y dy = y - dy = y - dy
1
0
∫
2
∫
-3
2
1
0
∫ 2 x
2
2 2
-3
1
0
∫ 2 2
2
( )2 -3
2
( )2 1
0
∫ 2 4
2
9
2
 
I = -
5
6
 
 
2
1
-3 0 x
y
I = y dy = y - dy = - y dy = - = - - = - ⋅
1
0
∫ 2 4 - 9
2
1
0
∫ 2 5
2
5
2
1
0
∫ 2 5
2
y
3
3 1
0
5
2
1
3
0
3
5
2
0
(Resposta )