Movimento Oscilatório e Periódico

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FÍSICA – TERMODINÂMICA E 
ONDAS 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cristiano Cruz 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
A invenção da máquina a vapor alavancou a evolução humana e mudou 
drasticamente a maneira de viver do ser humano. Dando grande contribuição à 
Revolução Industrial, a máquina a vapor foi o início da indústria como a 
conhecemos hoje. As leis físicas que permitem o seu funcionamento, aliadas a 
expertises de cientistas e engenheiros, foi e é utilizada até hoje, sendo aplicada 
no funcionamento de máquinas térmicas que produzem novas máquinas – e 
todas funcionam com os mesmos princípios: as leis da termodinâmica. 
Hoje são muitas as áreas de aplicação da termodinâmica na engenharia. 
Suas leis podem ser aplicadas aos motores a combustão em geral, seja de 
automóveis, caminhões, trens e, por que não dizer, aviões, visto que no 
funcionamento de suas turbinas a termodinâmica também é aplicada. Estamos 
presenciando a corrida espacial da era moderna, em que empresas privadas 
estão desenvolvendo os melhores foguetes para missões espaciais com 
destinos como a Lua e o planeta Marte. No sistema de propulsão desses 
foguetes também temos a aplicação da termodinâmica. 
Deve-se, também, conhecer a termodinâmica para desenvolvimento, 
construção e operação de usinas térmicas, independentemente de qual seja o 
tipo da fonte de calor – combustível fóssil, nuclear, biomassa ou solar. Da mesma 
maneira, a termodinâmica também deve ser conhecida em sistemas que operam 
em baixíssimas temperaturas, criados para congelar, resfriar ou controlar a 
temperatura, como é o caso dos sistemas criogênicos aplicados em ensaios, 
linhas de produção, refrigeração complementar, transportes frigoríficos, 
separação de gases e liquefação. 
Como você pode ver, a lista de sistemas que empregam a termodinâmica 
é grande; ainda podemos citar os sistemas de ventilação, sistemas de ar-
condicionado, bombas de calor, dispositivos termoelétricos e termiônicos. Além 
desses, em sistemas de produção de energia como os sistemas geotérmicos, 
energia das ondas e marés nos oceanos, energia eólica, entre outras. 
Independentemente da área da engenharia, os conhecimentos envolvidos 
nas leis da termodinâmica são essenciais para desenvolvimento, criação, 
manutenção, operação, segurança e controle do funcionamento dos sistemas 
termodinâmicos. São necessários circuitos e dispositivos elétricos eficientes, 
com sensores termoelétricos, sensores de pressão, entre outros. Muitas vezes 
 
 
3 
também são necessários sistemas computacionais que permitam a interface 
entre os sinais elétricos emitidos pelos sensores, o computador e o operador da 
máquina térmica. 
Nesta disciplina, além de estudar as leis da termodinâmica, iremos 
relacionar o funcionamento de uma máquina térmica com temas específicos da 
física. Iniciaremos com movimento de vai e vem dos pistões de uma máquina 
térmica relacionando com a teoria descrita no movimento periódico, 
especificamente o movimento harmônico simples. Depois, ainda tomando como 
base as oscilações produzidas pelos pistões, descreveremos um dos efeitos 
desse tipo de movimento: a produção de ondas mecânicas. Mais uma vez em 
referência às máquinas térmicas, continuaremos estudando o movimento dos 
fluidos envolvidos em seu funcionamento, chamados fluidos de trabalho, com o 
tema mecânica dos fluidos. Agora, cada vez mais perto de nossos objetivos, 
veremos a teoria envolvida na relação entre temperatura e calor, passando na 
sequência ao estudo das propriedades térmicas da matéria, para, por fim, 
concluir com as definições e aplicações da primeira e segunda leis da 
termodinâmica. Bons estudos e boa aula! 
TEMA 1 – BREVE HISTÓRIA DA TERMODINÂMICA 
No século XVIII, a Europa teve oportunidade de conhecer a mais nova e 
maravilhosa invenção, que revolucionou o modo de vida do ser humano em 
diversos aspectos. Com as primeiras máquinas surgindo na Inglaterra, ela 
transformou o trabalho artesanal de pequenas manufaturas em modernas 
fábricas industriais; estamos falando da máquina de vapor. 
Com o passar do tempo, engenheiros desenvolveram e construíram 
máquinas cada vez mais potentes. Apesar de sua funcionalidade, inicialmente 
não se conhecia detalhadamente a ciência envolvida na máquina a vapor, que 
na verdade é uma máquina de calor. Porém, com a evolução da ciência e 
ascensão de novos cientistas, em meados do século XIX se encontram as leis 
físicas, válidas até a atualidade, que permitem entender e projetar máquinas com 
maior rendimento. Cientistas como James Prescott Joule e William Thomson, 
tiveram participação decisiva nessa questão com o descobrimento da energia. 
Há muito tempo, a ciência busca definição para o que é o calor. 
Inicialmente por meio de observações de fenômenos térmicos, ela procura 
explicar com teorias qualitativas e dedutivas essa definição. Em analogia com as 
 
 
4 
ideias da eletricidade na época, século XVIII, onde a corrente elétrica é definida 
como o fluxo de pequenas partículas, supõe-se que o calor também tenha 
relação com o movimento dessas partículas, gerando fluxos de calor. 
Com o surgimento de novas ideias e experimentos, pesquisadores puderam 
dar sentido às grandezas termodinâmicas que podem ser medidas, conhecidas com 
grandezas macroscópicas. Como exemplo, podemos citar o cientista escocês 
Joseph Black, que ao derreter gelo descobre, utilizando um termômetro, que a 
medida da temperatura de um corpo durante o processo de mudança de fase; no 
caso, a fusão da água, não tem relação com calor fornecido ao corpo. Ao fornecer 
calor ao gelo ele derrete aumentando a quantidade de água na mistura, porém, sem 
variar sua temperatura, que se mantém a zero grau Celsius. 
Em 1780, os cientistas franceses Antoine-Laurent de Lavoisier e Pierre-
Simon, Marquês de Laplace, desenvolvem o calorímetro e com ele conseguem 
medir o calor fornecido a um corpo. Descobrem também que o cobre e a madeira 
com mesma massa e mesma temperatura ao serem misturadas ao gelo, 
derretem quantidades diferentes de gelo. Nesta época, o americano Benjamin 
Thompson, conde de Rumford, que trabalha no sul da Alemanha, crê que o calor 
não é consequência do movimento de partículas minúsculas, refutando a teoria 
que o calor seja algum tipo de fluido. Ele chegou a essa conclusão no período 
em que serviu ao exército, pois, durante a fabricação de canhões, observou que 
o latão utilizado sofria aquecimento ao ser perfurado por brocas. Ele constatou 
que tanto a broca quanto o latão sofriam aquecimento, mas não observou o fluxo 
de partículas entre um e outro. 
Em experimentos mais elaborados, Thompson chegou à conclusão de 
que se o calor fosse um fluido não haveria como explicar o fenômeno observado. 
No entanto, se o calor fosse tratado como energia, tudo faria sentido, pois em 
sua explicação, a energia que aquecia os materiais provinha da energia 
mecânica de rotação das brocas. Essa relação entre calor e energia, mais tarde, 
ficou conhecida como equivalente mecânico do calor. 
Em 24 de dezembro de 1818, nasceu na cidade de Salford James Prescott 
Joule, filho de um fabricante de cervejas. Ele recebeu ótima educação, 
frequentando os melhores colégios. Na escola, conheceu o cientista mais 
famoso de Manchester, chamado John Dalton, professor de aritmética, 
geometria e química, que despertou em Joule sua vocação de investigação, 
paixão que levou seu pai a presenteá-lo com um laboratório. 
 
 
5 
A presença das primeiras máquinas e locomotivas a vapor na cidade 
industrial de Manchester permite a Joule observar seu funcionamento, 
estudando a máquina a vapor utilizada na cervejaria de sua família. Porém, 
inicialmente ele é atraído por outro tema, a produção de trabalho mecânico por 
meio da eletricidade e magnetismo. 
O famoso cientista inglês Michael Faraday inventou, em 1821, o primeiro 
motor elétrico sendo precursor e abrindo caminhoa se seguir. Desde então, 
muitos cientistas procuraram desenvolver um verdadeiro motor elétrico, os 
motores dessa época tinham poucas possibilidades de competir 
economicamente com a máquina a vapor devido ao consumo elevado de zinco 
e líquido utilizados na bateria. 
No entanto, um fenômeno que chamou a atenção de Joule durante o 
funcionamento da bateria e do motor é que os condutores elétricos sofrem 
aquecimento, sendo a causa do baixo rendimento do motor elétrico. Durante 
meses, ele realizou uma série de experimentos, fazendo passar corrente elétrica 
por arames metálicos de diferentes materiais, de diversos comprimentos e 
espessuras, medindo simultaneamente a variação de temperatura devido ao calor. 
Em 1841, seus estudos resultam em uma lei física que leva seu nome, a lei de 
Joule: “o calor produzido aumenta com a resistência elétrica do condutor 
multiplicada pelo quadrado da intensidade de corrente e o tempo de 
circulação da corrente elétrica”, ou seja, a energia elétrica Eel transformada em 
energia térmica, ao fim de um intervalo de tempo ∆t, é dada por: 
𝐸𝑒𝑙 = 𝑅. 𝑖
2. ∆𝑡 
A partir disso, Joule segue trabalhando na medição da formação de calor 
diante de diversos processos. Um experimento famoso é descrito como um 
agitador, no formato de uma roda da água, em dimensões menores, é claro, que 
gira dentro de um recipiente, semelhante a um liquidificador, onde encontra-se 
submersa na água. Para girar essa roda utiliza-se um fio em que uma de suas 
extremidades se encontra presa e é enrolada no eixo principal por meio de uma 
polia; a outra extremidade do fio passa por outra polia e é presa em um peso que 
fica suspenso. Veja a Figura 1. 
 
 
 
6 
Figura 1 – Esquema experimental do equivalente mecânico de Joule 
 
Fonte: Cruz, 2021. 
No momento em que o peso é liberado, ele movimenta-se em queda livre 
fazendo girar a roda de pás, a qual, por sua vez, agita a água. Para calcular o 
trabalho fornecido pela queda do peso, de massa conhecida e com a medida da 
altura de queda, Joule pôde determinar o trabalho mecânico exercido pela 
gravidade e relacionou esse valor ao calor fornecido à água pelo trabalho 
mecânico realizado ao agitá-la, medindo apenas a variação de sua temperatura. 
Um trabalho difícil, pois a tarefa de medir uma variação de temperatura muito 
pequena requer muita precisão. Foram necessários termômetros de boa 
qualidade e boa exatidão, que lhe permitiram determinar a relação do trabalho 
mecânico realizado com a quantidade de calor fornecida a água. Esse feito é 
conhecido como equivalente mecânico de calor. Em homenagem a James P. 
Joule, em 1976 a unidade de calor no sistema internacional de unidades foi 
modificada para Joule, símbolo J. 
Apesar de divulgar seus conhecimentos na comunidade cientifica da 
época, poucos se interessaram, entre eles estava William Thomson, Lord Kelvin, 
que durante seus estudos já havia se dedicado ao tema calor, buscando 
 
 
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informações nos apontamentos de Nicolas Léonard Sadi Carnot, o qual, em 
1824, elaborou o segundo princípio da termodinâmica: o calor sempre flui de um 
corpo de maior temperatura para outro corpo de menor temperatura; durante 
esse fluxo natural de calor pode-se aproveitar parte dessa energia e convertê-la 
em trabalho mecânico. Sua teoria estava baseada em um circuito térmico 
fechado e possuía contradições em relação à teoria de Joule. William Thomson, 
ao investigar, concluiu que ambas estavam corretas e que uma teoria 
complementava a outra. Com essas ideias, esses cientistas foram os 
precursores no estudo das relações de calor e temperatura, tema que passou a 
ser conhecido como termodinâmica. 
A termodinâmica é, portanto, baseada em duas leis fundamentais. A 
primeira, apresentada na teoria de Joule, em que o calor é uma forma de 
energia que pode ser gerada mediante trabalho mecânico. Se o sistema se 
encontra fechado, o calor pode passar de uma forma para outra, porém, na 
sua totalidade, não pode aumentar ou diminuir, é a lei de conservação da 
energia. A segunda lei tem base nos estudos de Sadi Carnot, em que o calor 
nunca pode ser transformado totalmente em trabalho mecânico. Uma parte 
sempre será desperdiçada. 
Para que o calor fornecido à máquina térmica seja convertido em trabalho 
de forma contínua, o sistema termodinâmico deve realizar ciclos entre duas 
fontes: uma fonte quente, que fornece calor, e a outra fria, que recebe o calor 
que será desperdiçado. Em cada ciclo, uma parte do calor fornecido à máquina 
é convertido em trabalho; o restante é desperdiçado na fonte fria. 
Outros estudiosos chegaram às mesmas conclusões. Rudolf Julius 
Emanuel Clausius, físico alemão, também realizou publicações relacionadas às 
leis da termodinâmica, introduzindo o conceito de entropia. Além dele, temos o 
cientista e médico alemão Julius Robert von Mayer, que utilizava experimentos 
meticulosos para comprovar suas teorias. Em 1842, um ano antes de Joule, ele 
enunciou a primeira lei da termodinâmica pela famosa frase, “a energia não pode 
ser criada e nem destruída, apenas transformada de uma forma em outra”. 
Apesar de bem consolidada até então, a teoria da termodinâmica ainda não 
conseguia responder à pergunta em relação a natureza do calor, pois o estudo 
inicial da termodinâmica só se dedicava a grandezas que se pode medir, grandezas 
macroscópicas, e as relações entre elas mesmas. Mais tarde, Julius von Mayer, 
seguiu sugestões do professor de física Johann Gottlieb Nörremberg sobre a ideia 
 
 
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de examinar experimentalmente se a energia cinética se transforma em energia 
térmica, observando se a água pode ser aquecida por vibração. Com esse objetivo 
e baseado nas ideias do átomo de Ernest Rutherford, ele propôs que o calor é 
consequência do movimento das partículas que compõem a matéria. 
A proposta de Julius, na época, ainda era um pouco vaga, mas com base 
nas leis da termodinâmica a ciência tem rápida evolução e algumas décadas 
depois conseguiu comprovar que realmente o calor está relacionado ao 
movimento das partículas internas na matéria, os átomos e as moléculas. 
TEMA 2 – OSCILAÇÕES 
O funcionamento de uma máquina térmica tem base na transformação da 
energia interna de um fluido de trabalho em energia mecânica. Nos motores a 
combustão, o fluido de trabalho é o combustível e a energia liberada na queima 
deste combustível gera o calor que é convertido em trabalho ao movimentar um 
pistão. As máquinas térmicas funcionam em ciclos alternando entre duas fontes 
de calor em temperaturas diferentes, a de maior temperatura é a fonte quente e 
a de menor temperatura é a fonte fria. 
De forma simplificada, e de acordo com a segunda lei da termodinâmica, 
a máquina térmica funciona com o calor fluindo da fonte quente para a fonte fria 
e desse fluxo de calor, parte dele é transformado em trabalho. Quanto maior a 
quantidade de calor que é transformada em trabalho e menor a quantidade de 
calor que é rejeitada para fonte fria, maior será a eficiência dessa máquina. 
Para transformar calor em trabalho, as máquinas térmicas fazem uso da 
expansão térmica de um gás ou vapor que movimenta um pistão realizando um 
trabalho mecânico. O cilindro com pistão móvel é um dos principais componentes 
de uma máquina térmica. O gás preso do cilindro sob pressão, quando aquecido, 
se expande, deslocando o pistão e realizando trabalho mecânico. Há diferentes 
tipos de máquinas térmicas, mas todas elas funcionam em ciclos, fato que pode 
ser observado pelo movimento de vai e vem repetitivo do pistão – com certeza 
um movimento cíclico ou oscilatório. 
Quando o movimento de determinado objeto se repete indefinidamente, 
independente da trajetória, este movimento é chamado de movimento periódico 
ou oscilação. Mas, não é apenas o movimento dos pistões que é caracterizado 
como oscilação, estamos cercados deste tipo de movimento. Pistões dos 
motores a combustão, cordas doviolão, vibração das moléculas do ar durante a 
 
 
9 
propagação do som, movimento dos elétrons em um fio condutor metálico sujeito 
a uma corrente alternada, vibrações de um cristal de quartzo em um relógio 
eletrônico são classificados como oscilações. 
Para entender o movimento oscilatório dos pistões de uma máquina térmica, 
iremos fazer analogia com o mais simples movimento de oscilação conhecido, o 
movimento harmônico simples (MHS). Vamos conhecer e entender as principais 
grandezas físicas envolvidas nesse tipo de movimento e aplicá-las em alguns 
modelos de osciladores, como o sistema massa mola e o pêndulo simples. 
2.1 Amplitude, período, frequência e frequência angular 
De maneira simplificada, o movimento oscilatório é todo movimento em 
que um objeto material se move sujeito a forças restauradoras em dois sentidos, 
de forma alternada em torno de uma posição de equilíbrio estável. Com esaas 
características, encontramos o sistema massa-mola, uma espécie de oscilador 
que realiza movimento periódico. 
Como o próprio nome sugere, o oscilador massa-mola é composto por um 
bloco da massa m preso a uma mola. O bloco pode deslizar em uma única 
direção sobre um plano horizontal sem atrito; a outra extremidade da mola é fixa 
em um suporte vertical como mostra a Figura 2. 
Figura 2 – Oscilador massa-mola 
 
Fonte: Cruz, 2021. 
Apesar de o sistema massa-mola real funcionar muito bem, o sistema que 
consideraremos nessa demonstração será idealizado, pois além da ausência de 
atrito entre o bloco e o plano horizontal durante seu deslizamento, iremos 
considerar também que a massa da mola é desprezível e durante o movimento 
do bloco ela pode ser comprimida ou esticada. Com a deformação da mola, ela 
 
 
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irá aplicar no bloco uma força horizontal, que será a força resultante, visto que a 
força vertical, força peso, é anulada pela força normal do plano sobre o bloco. 
Quando o sistema se encontra na posição de equilíbrio, ou seja, quando 
a mola está relaxada, não está nem comprimida nem esticada, o bloco está 
localizado na posição 0 do sistema de referência identificado pelo eixo x, 
posicionado ao longo da trajetória do bloco; veja detalhes na Figura 3(a). 
O eixo coordenado x fornece o componente do vetor deslocamento a partir da 
posição de equilíbrio, x = 0, indicando a variação do comprimento da mola. 
Quando o bloco é deslocado da posição de equilíbrio por uma força externa F, a 
força da mola Fmola, chamada de força restauradora, tende a trazer o bloco 
novamente para posição de equilíbrio. 
Figura 3 – Sistema massa-mola em (a) equilíbrio e (b) deformada com aplicação 
de força externa 
 
Fonte: Cruz, 2021. 
Nessa situação, ao deslocar o bloco para a direita do ponto 0 até a posição 
x = +A – veja na Figura 3(b) –, e então o liberarmos, a única força, a força da 
 
 
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mola, considerada a força restauradora do sistema, atua para a esquerda, 
produzindo aceleração ao longo do eixo x também para esquerda, que iremos 
identificar por ax. Como o movimento é acelerado, a velocidade do bloco irá 
aumentar e isso ocorrerá até o bloco retornar ao ponto 0, momento em que ele 
atinge sua velocidade máxima. Quando o bloco chega no ponto de equilíbrio, a 
força restauradora é igual a zero Fmola = 0; neste momento ele não possui 
aceleração, porém, como o bloco possui velocidade e o movimento ocorre sem 
atrito, ele continua o movimento e ultrapassa essa posição deslocando-se para 
o lado esquerdo do ponto 0. A partir daí a mola começa a sofrer compressão, 
invertendo o sentido da força restauradora, que agora atua para direita e, 
portanto, contrária ao movimento, desacelerando o bloco até o repouso, que 
acontece no ponto x = - A; veja a Figura 4. 
Figura 4 – Sistema massa-mola, Fmola = força restauradora 
 
Fonte: Cruz, 2021. 
A mola agora está sofrendo compressão; a seguir, ela acelera o bloco da 
esquerda para a direita, sua velocidade aumenta enquanto a mola estica até 
atingir o ponto x = 0, ultrapassando novamente esse ponto de equilíbrio e 
projetando o bloco para o lado direito. Isso inverte o sentido da força 
restauradora, que agora desacelera o bloco até retornar ao ponto x = +A, em que 
ele atinge o repouso e a mola encontra-se novamente esticada, reiniciando o 
ciclo. Durante todo o movimento descrito pelo sistema massa-mola, há algumas 
grandezas físicas envolvidas, que diferenciam um movimento oscilatório de 
outro. São elas: amplitude, período, frequência e frequência angular. 
 
 
12 
Toda vez que o oscilador realiza um ciclo completo, por exemplo, quando ele 
inicia na posição x = +A e depois volta a essa posição, o intervalo de tempo gasto 
para realizar esse ciclo é chamado de período T. Sua unidade no sistema 
internacional de unidades é o segundo (s). O inverso do período é chamado de 
frequência f, definida como o número de ciclos realizados pelo oscilador no intervalo 
de tempo, normalmente um segundo. Com essa definição, podemos escrever: 
𝑻 =
𝟏
𝒇
 𝐨𝐮 𝒇 =
𝟏
𝑻
 
Em homenagem ao físico Heinrich Hertz, que muito contribuiu no estudo 
das ondas eletromagnéticas, a unidade de frequência é o Hertz (Hz), sendo: 
𝟏 𝑯𝒆𝒓𝒕𝒛 = 𝟏 𝑯𝒛 = 𝟏 𝒄𝒊𝒄𝒍𝒐/𝒔 = 𝟏 𝒔−𝟏 
A frequência angular 𝝎, corresponde à variação da posição angular, medida 
em radianos (rad), pelo tempo. Portanto, a unidade de frequência angular é radiano 
por segundo (
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 ). Como a frequência é dada em ciclos por segundo (
𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
𝑠
) e uma 
oscilação completa resulta em 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅 por ciclo, podemos relacionar as grandezas 
de frequência e frequência angular e período pela equação: 
𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 =
𝟐𝝅
𝑻
 
A amplitude A do movimento oscilatório corresponde ao módulo máximo 
do vetor deslocamento do oscilador em relação à posição de equilíbrio 0. A 
unidade de amplitude é o metro (m). 
TEMA 3 – MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 
Movimentos oscilatórios em que a força restauradora é proporcional ao 
deslocamento do oscilador em relação à posição de equilíbrio x = 0 são 
chamados de Movimento Harmônico Simples (MHS). No sistema massa-mola 
descrito, a força restauradora do movimento será proporcional ao deslocamento 
do oscilador se a mola utilizada estiver de acordo com a lei de Hooke, ou seja, 
quando a força restauradora Fmola for dada por: 
𝐅𝐦𝐨𝐥𝐚 = − 𝒌 . 𝒙 
Nessa equação, k é uma constante de proporcionalidade, denominada 
constante elástica da mola, sua unidade é o Newton por metro, abreviadamente 
 
 
13 
𝑁
𝑚
. Já x é a variável da equação e representa o deslocamento do bloco em relação 
a posição de equilíbrio 0, sua unidade é o metro. Essa relação matemática 
determina o módulo e a direção da força restauradora da mola, independente de 
x ser positivo, negativo ou nulo. De acordo com a segunda lei de Newton, 
𝐅𝐑 = 𝒎. 𝒂 
A aceleração do bloco preso a mola será dada pela relação: 
𝒂 = 
𝐅𝐑
𝒎
 
Como a força resultante FR atuante no bloco é a força da mola 
Fmola = − k . x, a aceleração será dada por: 
𝒂 = −
 𝒌 
𝒎
 𝒙 
Repare que a aceleração depende do valor de x e esse varia a todo 
momento, portanto a aceleração do movimento do bloco não será constante. 
Repare também que devido ao sinal negativo a aceleração sempre terá sentido 
contrário ao deslocamento x. 
Podemos relacionar a frequência angular de um bloco de massa m que 
executa o movimento harmônico simples sob a ação de uma força restauradora 
de uma mola de constante da mola k, pela seguinte relação: 
𝝎 = √
𝒌
𝒎
 
Essa relação mostra que a frequência de oscilação de um oscilador 
harmônico simples no sistema massa-mola depende do próprio oscilador com 
suas características massa do bloco e constante da mola. Se substituirmos essa 
relação nas equações de frequência e período, 
𝒇 =
𝝎
𝟐𝝅
 
Obteremos a frequência do oscilador, dada por: 
𝒇 =
𝟏
𝟐𝝅
√
𝒌
𝒎
 
 
 
 
14 
E o período: 
𝑻 =𝟐𝝅√
𝒎
𝒌
 
Repare que nessas equações não há relação alguma com a amplitude A do 
movimento, portanto, em um oscilador harmônico simples o período e a frequência 
de oscilação não dependem da amplitude. Para iniciar o movimento, você poderia 
produzir um pequeno deslocamento em relação à posição de equilíbrio, ou um 
grande deslocamento, mas independentemente do valor desse deslocamento, as 
grandezas frequência e período do oscilador seriam sempre as mesmas. 
3.1 Deslocamento, velocidade e aceleração no MHS 
O gráfico a seguir mostra o deslocamento x do bloco oscilante em função 
do tempo no movimento harmônico simples. 
Figura 5 – Gráfico do deslocamento (x) em função do tempo (t) para o oscilador 
harmônico simples 
 
Fonte: Cruz, 2021. 
Queremos determinar a equação que descreve o comportamento da 
coordenada x em função do tempo para o MHS. De acordo com o gráfico da 
Figura 5, percebe-se que o deslocamento x é uma função do tempo senoidal 
periódica. Sem entrar em detalhes, iremos omitir alguns passos, a equação que 
descreve a variação da coordenada x em função do tempo é dada por: 
𝒙 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝛟) 
Sendo: 
• A = amplitude; 
 
 
15 
• 𝝎 = frequência angular; 
• t = tempo; 
• 𝛟 = ângulo de fase. 
A constante 𝛟, ângulo de fase, indica em que ponto do ciclo de movimento 
o bloco oscilante se encontrava no início do movimento quanto t = 0. Vamos 
supor que quando o movimento do oscilador iniciou t = 0 a coordenada x = xo, 
substituindo esses valores na equação, obtemos: 
𝒙𝒐 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎. 𝟎 + 𝛟) 
Logo: 
𝒙𝒐 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝛟 
Se 𝛟 = 𝟎, então: 
𝒙𝒐 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝟎 = 𝑨 
Ou seja, o oscilador começa seu movimento no deslocamento máximo 
positivo. Se 𝛟 = 𝝅, então: 
𝒙𝒐 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 𝝅 = −𝑨 
O movimento começa no deslocamento máximo negativo. Se 𝛟 =
𝝅
𝟐
, então: 
𝒙𝒐 = 𝑨 𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟐
= 𝟎 
O movimento inicia-se na origem. Sabendo a equação do deslocamento 
em função do tempo para o oscilador, podemos, por meio da derivada primeira, 
determinar a equação que descreve o comportamento da velocidade do bloco 
oscilante em função do tempo. Lembrando que: 
𝒗𝒙 = 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
 
Então: 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
[𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝛟)] 
Resolvendo a derivada obtemos a equação da velocidade do bloco 
oscilante no MHS, dada por: 
𝒗𝒙 = − 𝝎𝑨 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝒕 + 𝛟) 
 
 
16 
Da mesma maneira, pela derivada segunda da posição em função do 
tempo do oscilador podemos obter a equação que descreve o comportamento 
da aceleração em função do tempo para MHS. Sendo: 
𝒂𝒙 = 
𝒅𝟐𝒙
𝒅𝒕𝟐
= 
𝒅𝒗𝒙
𝒅𝒕
 
𝒅𝒗𝒙
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
[− 𝝎𝑨 𝐬𝐞𝐧(𝝎𝒕 + 𝛟)] 
Logo, resolvendo a derivada obtemos a equação da aceleração para o MHS: 
𝒂𝒙 = − 𝝎
𝟐𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝝎𝒕 + 𝛟) 
TEMA 4 – ENERGIA ENVOLVIDA NO MHS 
Até agora estudamos o MHS no ponto de vista cinemático, relacionando 
posição, velocidade, aceleração e tempo. No entanto, podemos obter outras 
informações se observarmos e levarmos em conta os tipos de energia envolvidas 
no movimento. No modelo de oscilador massa-mola horizontal descrito na aula 
foi possível verificar que a força resultante é determinada por uma única força 
envolvida no movimento, a força da mola. Destacamos aqui que essa força é 
conservativa, sendo então a energia mecânica total do sistema constante. 
Considerando que a massa da mola é desprezível podemos determinar a energia 
cinética do bloco oscilante pela relação: 
𝑲 = 
𝒎. 𝒗𝟐
𝟐
 
Já a energia potencial elástica da mola poderá ser determinada por: 
𝑼 = 
𝒌. 𝒙𝟐
𝟐
 
Como não existe nenhuma força dissipando energia no movimento a 
energia mecânica total (E) será conservada e será dada pelo somatório da 
energia cinética com a energia potencial elástica, matematicamente: 
𝑬 = 
𝒎. 𝒗𝟐
𝟐
+ 
𝒌. 𝒙𝟐
𝟐
 
A Figura 6 mostra alguns deslocamentos característicos do oscilador para 
as posições quando x = + A, x = + A/2, x = 0, x = - A/2 e x = - A. Ao lado de cada 
desenho encontram-se os gráficos de energia mecânica Emec, coluna verde, com 
 
 
17 
as parcelas de energia cinética K, coluna azul, e energia potencial U, coluna 
vermelha, para cada uma dessas posições. 
Figura 6 – Gráficos da energia mecânica Emec , energia cinética K e energia 
potencial U para o MHS 
 
Fonte: Cruz, 2021. 
 
 
18 
Repare que nos extremos do movimento, quando x = + A, ou x = - A, a 
energia cinética é nula. Isso se deve ao fato que nestes pontos a velocidade do 
bloco é igual a zero. Por outro lado, nesses extremos a mola ou está sofrendo 
compressão máxima (ponto x = - A) ou está sofrendo elongação máxima (ponto 
x = + A), devido à deformação máxima nestes pontos a energia potencial elástica 
será máxima e a aceleração do bloco também será máxima. 
Já quando o oscilador encontra-se passando pela origem, ponto de 
equilíbrio x = 0, seja para direita ou para esquerda, a velocidade do bloco 
oscilante é máxima e, portanto, neste ponto a energia cinética também é 
máxima, por outro lado, como mola está relaxada, não está sofrendo deformação 
alguma (ponto de equilíbrio), a energia potencial nesse ponto será igual a zero e 
consequentemente a aceleração também é zero. 
Em qualquer outra posição entre o ponto e equilíbrio x = 0 e as amplitudes 
máximas x = ±𝐴, o oscilador irá possuir energia cinética, pois tem velocidade, 
como também energia potencial elástica, devido à deformação da mola. Isso 
acontece, por exemplo, nos pontos médios x = ±
𝐴
2
, mostrados na Figura 6. 
TEMA 5 – PÊNDULO SIMPLES 
O sistema massa-mola não é o único modelo de oscilador que descreve 
o movimento harmônico simples. Com essa característica existe também o 
sistema harmônico chamado de pêndulo simples. Ele é constituído por um 
objeto, geralmente uma esfera, mas pode ser qualquer objeto semelhante, até 
mesmo uma pedra, a qual é presa em uma das extremidades de um fio que não 
estica e que possui massa desprezível; a outra extremidade do fio é fixa em um 
suporte superior. 
Quando a esfera presa ao fio está em repouso, o sistema se posiciona na 
vertical, é sua posição de equilíbrio, veja a figura 7(a). Ao deslocar a esfera da 
sua posição de equilíbrio, o movimento dela descreve um arco de circunferência, 
em que o raio é o comprimento do fio L e o deslocamento pode ser medido pelo 
ângulo 𝛉, veja figura 7(b). Se em seguida a esfera é liberada, ela oscila em torno 
da posição de equilíbrio como um balanço. 
 
 
 
19 
Figura 7 – Pêndulo simples 
 
Fonte: Cruz, 2021. 
Uma limitação para que o pêndulo simples comporte-se promovendo 
movimento harmônico simples é que o ângulo seja pequeno, como vimos no 
estudo do sistema massa-mola, o movimento harmônico simples exige que a 
força restauradora seja proporcional à distância x. No movimento do pêndulo, a 
distância x é o deslocamento linear medido pelo arco de circunferência que é 
dependente do ângulo. 
A força restauradora no pêndulo simples é a força gravitacional, mostrada 
na Figura 7 como o vetor peso, sendo P = m.g. Feitas as devidas considerações, 
a força restauradora em função do deslocamento linear x é dada por: 
𝑭𝜽 = −
𝒎𝒈
𝑳
𝒙 
Dessa forma, a força restauradora é proporcional à coordenada x, porém, 
só é verdadeira para pequenos deslocamentos. O valor 
𝑚𝑔
𝐿
 é a constante de 
proporcionalidade da força, representado por 𝑘 = 
𝑚𝑔
𝐿
. 
Substituindo a constante de proporcionalidade na equação da frequência 
angular 𝜔 = √
𝑘
𝑚
 vista no estudo do sistema massa-mola, podemos escrever: 
 
 
20 
𝝎 = √
𝒎𝒈
𝑳
𝒎
= √
𝒈
𝑳
 
Logo, a frequência e o período do movimento do pêndulo simples podem 
ser escritos por: 
Frequência 
𝒇 =
𝟏
𝟐𝝅
√
𝒈
𝑳
 
Período 
𝑻 = 𝟐𝝅√
𝑳
𝒈
 
Vale lembrar que as relações anteriores são válidas somente para 
pequenas amplitudes, quando for pequeno. Neste caso, repare que grandezas, 
frequência angular, frequência e período do pêndulo simples não dependem damassa da esfera posta a oscilar, mas dependem do comprimento L do fio e 
também da aceleração da gravidade local. 
5.1 Oscilações amortecidas 
Os sistemas oscilantes descritos até aqui, sistema massa-mola e pêndulo 
simples, são considerados sistemas ideais, pois não possuem forças resistivas 
(atrito) e, dessa forma, quando postos para oscilar mantêm o movimento 
infinitamente sem diminuir a amplitude. Mas em sistemas reais isso não 
acontece, pois neles a força de atrito está presente, dissipando a energia do 
movimento e reduzindo a amplitude gradativamente até atingir o repouso. A 
diminuição da amplitude é chamada de amortecimento, por isso o nome, 
oscilações amortecidas. 
O gráfico a seguir mostra a posição x em função do tempo para um 
sistema de oscilações amortecidas. 
 
 
 
21 
Figura 8 – Gráfico do deslocamento em função do tempo de um oscilador 
amortecido 
 
Fonte: Cruz, 2021. 
Veja que a cada período de oscilação a amplitude do movimento do 
oscilador diminui, quanto maior for a força de amortecimento, mais rapidamente 
a amplitude será reduzida. Quando a força de amortecimento for suficientemente 
grande, ao ser deslocado da posição de equilíbrio e posto para oscilar, o 
oscilador retorna para posição de equilíbrio sem oscilar, ocorrendo o 
amortecimento crítico. Quando, além de não oscilar, o oscilador voltar para a 
posição de equilíbrio lentamente temos o superamortecimento. 
5.2 Oscilações forçadas e ressonância 
Naturalmente, se um oscilador amortecido é deixado para oscilar 
livremente, seu movimento tende a cessar atingindo o repouso. No entanto, se 
a cada movimento de ir e vir uma força externa atuar no oscilador o movimento 
tende a continuar mantendo a amplitude máxima constante e isso, é claro, 
enquanto a força externa atuar. Isso fica evidente quando observamos um adulto 
empurrar uma criança em um balanço, o amortecimento tende a fazer o balanço 
parar, porém, para alegria da criança, a cada movimento é aplicada uma força 
pelo adulto mantendo o movimento do balanço constante. Esse tipo de oscilação 
é denominado de oscilação forçada. 
 
 
22 
Um relógio de pêndulo mantém seu movimento por oscilação forçada 
através de uma força promovida por uma mola de corda, ou por pesos 
suspensos fornecendo energia para suprir a dissipação da energia mecânica 
devido ao atrito nas engrenagens e no pivô do pêndulo. Um ponto de vista 
interessante em relação à oscilação forçada ocorre quando a frequência com 
que a força propulsora atua no sistema é igual à frequência natural das 
oscilações do sistema oscilante. Quando isso ocorre, dizemos que o sistema 
está em ressonância. 
FINALIZANDO 
Além das evidências da aplicação da termodinâmica nas mais diversas 
áreas da engenharia e a descrição de uma breve história da termodinâmica, 
nesta aula relacionamos o movimento de vai e vem dos pistões de uma máquina 
térmica, com o movimento oscilatório conhecido como movimento harmônico 
simples. Estudamos grandezas físicas características desse tipo de movimento, 
como a amplitude, período, frequência e frequência angular. 
Como o movimento dos pistões sofre amortecimento devido ao atrito, para 
manter o movimento a cada ciclo, eles recebem um impulso provocado pela força 
produzida pela expansão do fluido de trabalho da máquina térmica, 
caracterizando um movimento de oscilação forçada em ressonância. 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
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Princeton University Press. 
CARABETT, V. K. Carnot, Nicolas Leonard Sadi (1796-1832). Disponível em: 
<http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/carnot.htm>. Acesso em: 
9 set. 2021. 
DAVID, H.; ROBERT, R.; JEARL, W. Fundamentos de Física – Gravitação, 
Ondas e Termodinâmica. 10. ed., v. 2.SEARS; ZEMANSKI. Física II – 
Termodinâmica e Ondas. 12. ed. Pearson. 
FAMOUS SCIENTISTS. Benjamin Thompson. Disponível em: 
<https://www.famousscientists.org/benjamin-thompson/>. Acesso em: 9 set. 
2021. 
SÓ FÍSICA. James Prescott Joule. 2008. Disponível em: 
<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Biografias/james_joule.php>. Acesso 
em: 9 set. 2021. 
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<https://www.thoughtco.com/history-of-the-thermometer-p2-1992034>. Acesso 
em: 9 set. 2021.