Lista calculo III

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Universidade Federal de São Carlos-Departamento de Matemática
89303-Cálculo 3: Lista 1
Prof(a): Alessandra Verri
Exerćıcio 1. Calcule
(a)
∫ 4
1
∫ 2
−1
(2x+ 6x2y)dydx (b)
∫ 2
1
∫ 2
−1
(12xy2 − 8x3)dydx (c)
∫ 3
1
∫ 1
0
(1 + 4xy)dxdy
(d)
∫ π/2
0
∫ π/2
0
senx cos y dydx (e)
∫ 2
0
∫ 1
0
(2x+ y)8dxdy (f)
∫ 4
1
∫ 2
1
(
x
y
+
y
x
)
dydx
(g)
∫ 1
0
∫ 1
0
(u− v)5dudv (h)
∫ 2
0
∫ π
0
rsen 2 θdθdr (i)
∫ π/6
0
∫ π/3
0
x sen (x+ y)dxdy
(j)
∫ 3
0
∫ 1
0
(6x2y3 − 5y4)dydx (k)
∫ 1
0
∫ 3
−3
xy2
x2 + 1
dydx (l)
∫ 1
0
∫ 2
0
xyex
2ydxdy
(m)
∫ e
1
∫ e
1
ln y
xy
dydx (n)
∫ 1
0
∫ 2
0
yex−ydydx (o)
∫ 1
0
∫ 1
0
xy
√
x2 + y2dxdy
(p)
∫ 1
0
∫ 1
0
√
x+ ydydx (q)
∫ π/3
0
∫ 1/2
0
tanx
1 + y2
dydx (r)
∫ 1
0
∫ 1
0
x
1 + xy
dxdy
Exerćıcio 2. Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano 3x+2y+z = 12 e acima
do retângulo R = [0, 1]× [−2, 3].
Exerćıcio 3. Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do parabolóide eĺıptico x2/4 +
y2/9 + z = 1 a acima do retângulo [−1, 1]× [−2, 2].
Exerćıcio 4. Determine o volume do sólido delimitado pela superf́ıcie z = x/ cos2 y e pelos planos
z = 0, x = 0, x = 2, y = 0 e y = π/4.
Exerćıcio 5. Determine o volume do sólido delimitado pelo parabolóide z = 2 + x2 + (y− 2)2 e pelos
planos z = 1, x = 1, x = −1, y = 0 e y = 4.
Exerćıcio 6. Esboçe o sólido cujo volume é dado pela integral
(a)
∫ 1
0
∫ 1
0
(4− x− 2y)dxdy (b)
∫ 1
0
∫ 1
0
(9− 3x2 − 2y2)dxdy (c)
∫ 2
−2
∫ 3
−1
(4− x2)dxdy
Exerćıcio 7. Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide hiperbólico z = 3y2−x2+2
e acima do retângulo R = [−1, 1]× [−2, 2].
Respostas: 1. (a) 234 (b) −36 (c) 10 (d) 1 (e) 261, 632/45 (f) (21/2) ln 2 (g) 0 (h) π
(i) (
√
3− 1)/2− π/12 (j) 21/2 (k) 9 ln 2 (l) (e2 − 3)/2 (m) (ln 3)/2 (n) e−2(e− 1)(e2 − 3)
(o) (2/15)(2
√
2 − 1) (p) (8/15)(2
√
2 − 1) (q) ln 2 arctan (1/2) (r) −1 + ln 4 2. 47, 5 3. 166/27 4. 2
5. 64/3 6. 136/3
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Cálculo III