Lista de Exercicios de Fixacao A3

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Lista de Exercícios – Fixação do Conteúdo AULA 3 
 
1-) O peso de 15 kN é ajustado vagarosamente no topo de um poste feito de magnésio Am 1004-T61 com núcleo 
de alumínio 6061-T6. Se ambos materiais forem elásticos perfeitamente plásticos, qual será a tensão em cada 
um? 
 
Resolução: 
Propriedades dos materiais – Veja arquivo “Propriedades_Materiais.pdf” no material complementar 
𝐸𝐴𝑚 = 44,7 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝐴𝑙 = 68,9 𝐺𝑃𝑎 
𝐴𝐴𝑚 = 𝜋(𝑟𝑒
2 − 𝑟𝑖
2) = 𝜋(0,12 − 0,062) = 0,020106 𝑚² 
𝐴𝐴𝑙 = 𝜋𝑟𝑖
2 = 𝜋. 0,062 = 0,01131 𝑚² 
Diagrama de Corpo Livre 
 
∑ 𝐹 = 0; 𝐹𝐴𝑚 + 𝐹𝐴𝑙 − 15000 = 0 
Aplicando a equação da compatibilidade, sabemos que 𝛿𝐴𝑙 = 𝛿𝐴𝑚, pois os materiais estão sujeitos à mesma força 
de compressão, e ambos se deslocam a mesma quantidade. Logo 
𝐹𝐴𝑙.𝐿
 𝐸𝐴𝑙.𝐴𝐴𝑙
=
𝐹𝐴𝑚.𝐿
 𝐸𝐴𝑚.𝐴𝐴𝑚
 
Podemos cortar o comprimento L das equações, pois possuem o mesmo valor. Assim, substituindo os respectivos 
valores de módulo de elasticidade e área temos: 
𝐹𝐴𝑙
 68,9.109.0,01131
=
𝐹𝐴𝑚
 44,7.109.0,020106
 
Agora temos duas equações com duas incógnitas. Isolando uma das forças, por exemplo a força 𝐹𝐴𝑙 da segunda 
equação, temos: 
𝐹𝐴𝑙 =
𝐹𝐴𝑚.68,9.10
9.0,01131
 44,7.109.0,020106
= 0,86706. 𝐹𝐴𝑚 
Substituindo 𝐹𝐴𝑙 na primeira equação, temos: 
𝐹𝐴𝑚 + 0,86706. 𝐹𝐴𝑚 − 15000 = 0 
Isolando 𝐹𝐴𝑚, temos: 
1,86706. 𝐹𝐴𝑚 = 15000 
Portanto: 𝐹𝐴𝑚 =
15000
1,86706
= 8,03402 𝑘𝑁 
Com o valor da força 𝐹𝐴𝑚 = 8034,02 𝑁, substituímos na equação do 𝐹𝐴𝑙 = 0,86706. 𝐹𝐴𝑚 e obtemos 𝐹𝐴𝑙: 
𝐹𝐴𝑙 = 0,86706. 𝐹𝐴𝑚 = 0,86706.8034.02 = 6965,98 𝑁 
Com essas forças, calculamos a tensão de cada parte: 
𝜎𝐴𝑙 =
𝐹𝐴𝑙
𝐴𝐴𝑙
=
6965,98
0,01131
= 615,91 𝑘𝑃𝑎 
𝜎𝐴𝑚 =
𝐹𝐴𝑚
𝐴𝐴𝑚
=
8034,02
0,020106
= 399,58 𝑘𝑃𝑎 
Sabendo que a tensão de escoamento do alumínio é de 𝜎𝐴𝑙𝑒 = 255 𝑀𝑃𝑎 e do magnésio de 𝜎𝐴𝑚𝑒 = 152 𝑀𝑃𝑎, 
podemos concluir que ambos materiais vão suportar a carga de 15 kN no regime elástico, com tensões de 𝜎𝐴𝑙 =
615,91 𝑘𝑃𝑎 e 𝜎𝐴𝑚 = 399,58 𝑘𝑃𝑎. 
 
 
 
 
2-) O tubo de Ferro Fundido Cinza ASTM 20 tem raio externo de 30 mm e interno de 20 mm. Se ele se ajustar 
exatamente entre as predes fixas antes de ser carregado, determine a reação das paredes quando for submetido à 
carga mostrada na figura, de 15 kN. Dados E = 67 GPa. 
 
Resolução: 
Diagrama de Corpo Livre 
 
Fazendo o somatório de forças na horizontal, temos: 
∑ 𝐹 = 0; 𝐹𝑎 − 15000 − 15000 + 𝐹𝑐 = 0 
A barra está restrita em ambos lados, portanto sabemos que o deslocamento provocado na parede do lado 
esquerdo é igual ao deslocamento provocado na parede do lado direito. Assim, podemos escrever que: 
𝛿𝑎 = 𝛿𝑐 onde 𝛿𝑎 =
𝐹𝑎.𝐿𝐴𝐵
 𝐸.𝐴
 e 𝛿𝑐 =
𝐹𝑐.𝐿𝐵𝐶
 𝐸.𝐴
, igualando ambas equações: 
𝐹𝑎.𝐿𝐴𝐵
 𝐸.𝐴
=
𝐹𝑐.𝐿𝐵𝐶
 𝐸.𝐴
 , como o material é o mesmo em ambos trechos AB e BC, os módulos de elasticidade podem 
ser cortados da equação e como a área é a mesma em ambos trechos, também podem ser cortadas. Portanto a 
equação anterior pode ser reescrita como: 
𝐹𝑎. 𝐿𝐴𝐵 = 𝐹𝑐 . 𝐿𝐵𝐶 
Temos duas equações com duas incógnitas. Isolando uma das incógnitas em uma das equações, por exemplo a 
incógnita 𝐹𝑎 da segunda equação, temos: 
𝐹𝑎 =
𝐹𝑐.𝐿𝐵𝐶
𝐿𝐴𝐵
=
𝐹𝑐.0,5
0,2
= 2,5𝐹𝑐 
Substituindo 𝐹𝑎 = 2,5𝐹𝑐 na primeira equação, temos: 
2,5𝐹𝑐 − 30000 + 𝐹𝑐 = 0 
Isolando 𝐹𝑐 e calculando-o, temos: 
3,5𝐹𝑐 = 30000 → 𝐹𝑐 =
30000
3,5
= 8571,43 𝑁 
Substituindo 𝐹𝑐 = 8571,43 𝑁 na equação de 𝐹𝑎 = 2,5𝐹𝑐, calculamos 
𝐹𝑎 = 2,5.8571,43 = 21,4286 𝑘𝑁 
Portanto, 𝐹𝑎 = 21,4286 𝑘𝑁 e 𝐹𝑐 = 8,57143 𝑘𝑁 
 
3-) Uma porta térmica consiste de uma chapa AB de Liga de bronze – Latão vermelho C83400 e uma chapa CD 
de Titânio Ti6A14V, cada uma com largura de 20 mm e ambas engastadas nas extremidades. Se a folga entre 
elas for de 2 mm quando a temperatura é T1 = 20 °C, determinar a temperatura requerida para apenas fechar a 
folga. Qual será a força axial em cada chapa se a temperatura tornar-se T2 = 150 °C? Supor que não ocorre 
flexão ou flambagem. 
 
Resolução: 
Propriedades dos materiais – Veja arquivo “Propriedades_Materiais.pdf” no material complementar 
𝐸𝑙𝑎𝑡 = 101 𝐺𝑃𝑎 e 𝐸𝑡𝑖 = 120 𝐺𝑃𝑎 
𝛼𝑙𝑎𝑡 = 12. 10
−6/°𝐶 e 𝛼𝑡𝑖 = 9,4.10
−6/°𝐶 
Sabemos que o deslocamento máximo é de 2 mm, logo: 
𝛿𝑇 = 0,002 = 𝛿𝑙𝑎𝑡 + 𝛿𝑡𝑖 
Substituindo 𝛿𝑙𝑎𝑡 e 𝛿𝑡𝑖 pela equação da dilatação térmica do latão e do titânio, temos: 
𝛼𝑙𝑎𝑡. ∆𝑇. 𝐿𝑙𝑎𝑡 + 𝛼𝑡𝑖 . ∆𝑇. 𝐿𝑡𝑖 = 0,002, onde ∆𝑇 = (𝑇2 − 𝑇1) 
12. 10−6. (𝑇2 − 20). 1 + 9,4.10
−6. (𝑇2 − 20). 0,5 = 0,002 
12. 10−6. 𝑇2 − 240. 10
−6 + 4,7.10−6. 𝑇2 − 94. 10
−6 = 0,002 
16,7.10−6. 𝑇2 = 0,002 + 334. 10
−6 
Portanto, 𝑇2 = 139,76 °𝐶 
Agora para 𝑇2 = 150 °𝐶, ∆𝑇 = (𝑇2 − 𝑇1) = 150 − 20 = 130 °𝐶 
Vimos que 𝛿𝑇 = 𝛿𝑙𝑎𝑡 + 𝛿𝑡𝑖, assim: 
12. 10−6. 130.1 + 9,4.10−6. 130.0,5 = 2,171. 10−3 𝑚 
Ultrapassou o valor de 2 mm, pois 2,171. 10−3 m é igual a 2,171 mm. 
Então sabemos que 0,171 mm de deslocamento, deverão ser impedidos pelas forças internas nas barras de latão 
e de titânio. 
Diagrama de Corpo Livre: 
 
Sabemos que a medida que as chapas se dilatarem, as duas se encostarão e uma fará força contra a outra. 
Pela equação de equilíbrio, temos: 
𝐹𝑙𝑎𝑡 = 𝐹𝑡𝑖 
Pela equação da continuidade sabemos que: 
𝛿𝑇 = 2,171. 10
−3 −
𝐹𝑙𝑎𝑡.𝐿𝑙𝑎𝑡
𝐸𝑙𝑎𝑡.𝐴𝑙𝑎𝑡
−
𝐹𝑡𝑖.𝐿𝑡𝑖
𝐸𝑡𝑖.𝐴𝑡𝑖
, o sinal negativo indica que as forças são de compressão, pois uma chapa 
está empurrando a outra. 
Podemos substituir os valores para cada barra e o deslocamento total após a “dilatação térmica”, para 
descobrirmos o valor da força F: 
0,002 = −
𝐹𝑙𝑎𝑡.1
101.109.0,022
−
𝐹𝑡𝑖.0,5
120.109.0,022
 
0,002 − 2,171. 10−3 = −2,4752. 10−8𝐹𝑙𝑎𝑡 − 1,042. 10
−8𝐹𝑡𝑖 
Pela equação de equilíbrio, sabemos que 𝐹𝑙𝑎𝑡 = 𝐹𝑡𝑖, assim, podemos substituir a força 𝐹𝑙𝑎𝑡 por 𝐹𝑡𝑖: 
−0,171. 10−3 = −2,4752. 10−8𝐹𝑡𝑖 − 1,042. 10
−8𝐹𝑡𝑖 
−0,171. 10−3 = −3,5172. 10−8𝐹𝑡𝑖 
Portanto, 𝐹𝑡𝑖 = 4861,82 𝑁 e 𝐹𝑙𝑎𝑡 = 4861,82 𝑁 ou 𝐹𝑡𝑖 = 𝐹𝑙𝑎𝑡 = 4,86182 𝑘𝑁 
 
 
 
 
 
 
 
4-) A coluna é construída de concreto de baixa resistência (Econc = 22,1 GPa) e quatro barras de reforço de aço 
Estrutural A-36 (Eaço = 200 GPa). Supondo que ela seja submetida a uma força axial de 1500 kN, determinar o 
diâmetro requerido de cada barra de modo que um quarto da carga seja suportada pelo aço e três quartos pelo 
concreto. 
 
Resolução: 
Diagrama de Corpo Livre 
 
Sabemos que a força de 1500 kN será distribuída entre a parte de concreto e as barras de aço. O enunciado 
menciona que ¾ da carga é distribuído para o concreto e ¼ para as barras de aço. Assim, sabemos que; 
𝐹𝑐𝑜𝑛𝑐 =
3
4
1500. 103 = 1125. 103 𝑁 e 𝐹𝑎ç𝑜 =
1
4
1500. 103 = 375. 103 𝑁 
Sabemos que o deslocamento provocado pela carga de 1500 kN é igual para ambas partes, concreto e barras de 
aço. Assim, temos pela equação da compatibilidade que: 
𝛿𝑐𝑜𝑛𝑐 = 𝛿𝑎ç𝑜 
𝐹𝑐𝑜𝑛𝑐.𝐿
𝐸𝑐𝑜𝑛𝑐.𝐴𝑐𝑜𝑛𝑐
=
𝐹𝑎ç𝑜.𝐿
𝐸𝑎ç𝑜.𝐴𝑎ç𝑜
 
Como os comprimentos são iguais para ambos materiais, podemos retirá-lo da equação. Substituindo os 
respectivos valores na equação anterior, temos: 
𝐹𝑐𝑜𝑛𝑐
22,1.109.𝐴𝑐𝑜𝑛𝑐
=
𝐹𝑎ç𝑜
200.109.𝐴𝑎ç𝑜
 
Sabemos que a área do concreto é 0,4²-𝐴𝑎ç𝑜, logo: 
𝐹𝑐𝑜𝑛𝑐
22,1.109.(0,42−𝐴𝑎ç𝑜)
=
𝐹𝑎ç𝑜
200.109.𝐴𝑎ç𝑜
 
Como 𝐹𝑐𝑜𝑛𝑐 = 1125. 10
3 𝑁 e 𝐹𝑎ç𝑜 = 375. 10
3 𝑁, podemos substituir esses valores na equação acima: 
1125.103
22,1.109.(0,42−𝐴𝑎ç𝑜)
=
375.103
200.109.𝐴𝑎ç𝑜
 
Fazendo a multiplicação cruzada, temos: 
1125. 103. 200. 109. 𝐴𝑎ç𝑜 = 375. 103. 22,1. 10
9. (0,42 − 𝐴𝑎ç𝑜) 
2,25. 1017. 𝐴𝑎ç𝑜 = 1,326. 10
15 − 8,2875. 1015𝐴𝑎ç𝑜 
Isolando 𝐴𝑎ç𝑜, temos: 
2,25. 1017. 𝐴𝑎ç𝑜 + 8,2875. 10
15𝐴𝑎ç𝑜 = 1,326. 10
152,332875. 1017. 𝐴𝑎ç𝑜 = 1,326. 10
15 
𝐴𝑎ç𝑜 = 5,684. 10
−3 𝑚² 
Como são 4 barras de aço, a área em cada barra é: 
𝐴𝑏𝑎𝑟 =
𝐴𝑎ç𝑜
4
=
5,684.10−3
4
= 1,421. 10−3 𝑚² 
Como a área de um círculo (da barra circular) é dada por: 
𝐴𝑏𝑎𝑟 =
𝜋.𝑑²
4
, isolando d: 
𝑑 = √
4.𝐴𝑏𝑎𝑟
𝜋
= √
4.1,421.10−3
𝜋
= 0,04253 𝑚 
Portanto, 𝑑 = 42,53 𝑚𝑚 
 
 
 
 
 
5-) A treliça consiste de três elementos feitos de aço Inoxidável 304 (E = 193 GPa) com a seção transversal 
mostrada na figura. Determinar a maior carga P que pode ser aplicada de modo que o apoio de rolete B não se 
desloque mais do que 5 mm no eixo horizontal. 
 
Resolução: 
Diagrama de Corpo Livre do nó C: 
 
Aplicando as equações de equilíbrio, ∑ 𝐹𝑥 = 0 e ∑ 𝐹𝑦 = 0, temos: 
∑ 𝐹𝑥 = 0 → −𝐹𝐴𝐶𝑠𝑒𝑛30° − 𝐹𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛30° + 𝑃 = 0 
∑ 𝐹𝑦 = 0 → −𝐹𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠30° + 𝐹𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠30° = 0 
Da segunda equação, podemos concluir que: 
𝐹𝐵𝐶 =
𝐹𝐴𝐶𝑐𝑜𝑠30°
𝑐𝑜𝑠30
= 𝐹𝐴𝐶 
Como 𝐹𝐵𝐶 = 𝐹𝐴𝐶 , podemos substituí-lo na primeira equação, assim: 
−𝐹𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛30° − 𝐹𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛30° + 𝑃 = 0 
Assim, 𝑃 = 2. 𝐹𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛30°. Portanto 𝑃 = 𝐹𝐵𝐶. 
Logo, sabemos que encontrarmos o valor da força 𝐹𝐵𝐶, automaticamente estaremos encontrando o valor da força 
P. 
Diagrama de Corpo Livre do nó B: 
 
Aplicando as equações de equilíbrio ∑ 𝐹𝑥 = 0 , pois o pino B pode se deslocar até 5 mm na direção horizontal, 
temos: 
∑ 𝐹𝑥 = 0 → − 𝐹𝐴𝐵 + 𝐹𝐵𝐶 . 𝑐𝑜𝑠(60°) = 0 
Logo, 𝐹𝐴𝐵 = 𝐹𝐵𝐶 . 𝑐𝑜𝑠(60°) ou 𝐹𝐴𝐵 = 𝑃. 𝑐𝑜𝑠(60°), pois como vimos 𝑃 = 𝐹𝐵𝐶. 
Sabemos que o deslocamento do nó B é de no máximo 5 mm na direção horizontal. Então pela equação da 
compatibilidade, temos: 
𝛿𝐵 = 𝛿𝐴𝐵 = 0,005 =
𝐹𝐴𝐵.𝐿𝐴𝐵
𝐴.𝐸
=
𝑃.𝑐𝑜𝑠(60°).2
0,01.0,005.193.109
 
Isolando 𝑃 e calculando-o: 
𝑃 = 0,005. (
0,01.0,005.193.109
𝑐𝑜𝑠(60°).2
) = 48,250.103𝑁 
Portanto, 𝑃 = 48,250 𝑘𝑁.