Exercício de Algebra Linear (4)

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• 2 ⊙ 3 = resto da divisão de 6 por 5 = 1,
• 4 ⊕ 3 = resto da divisão de 7 por 5 = 2, etc.
Prosseguindo dessa forma, obtemos as seguintes tabelas:
⊙ 0 1 2 3 4
0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4
2 0 2 4 1 3
3 0 3 1 4 2
4 0 4 3 2 1
⊕ 0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3
A4) Seja X = {1, 2, 3} e F o conjunto de todas as funções f : X −→ X que são
constantes. Construa a tábua da operação de composição de funções definida em F
e verifique se tem elemento neutro.
Solução: Como X só tem 3 elementos, então só podem existir 3 funções cons-
tantes definidas de X em X:
• f1 : X −→ X, f1(x) = 1;
• f2 : X −→ X, f2(x) = 2;
• f3 : X −→ X, f3(x) = 3;
Agora, observe que ( f1 ◦ f2)(x) = f1( f2(x)) = f1(2) = 1 = f1(x); logo, f1 ◦ f2 = f1.
De modo análogo, obtemos: f1 ◦ f3 = f1, f2 ◦ f3 = f2, etc. Resumimos tudo isso na
seguinte tabela:
◦ f1 f2 f3
f1 f1 f1 f1
f2 f2 f2 f2
f3 f3 f3 f3
Observando a tábua, vemos que a primeira linha da tábua (o cabeçalho) não se repete
em lugar algum; logo, a operação não tem elemento neutro à esquerda. Por outro
lado, note que a primeira coluna se repete 3 vezes na tábua; isso significa que a
operação tem 3 elementos neutros à direita: f1, f2 e f3. Concluı́mos então que a
operação não tem elemento neutro.
A5) Considere a seguinte operação ∗ definida sobre o conjunto dos números racio-
nais:
x ∗ y = x + y
2
.
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