Exercício de Algebra Linear (67)

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Solução: Calculando as classes laterais à esquerda módulo H determinadas por
elementos de G, temos:
• 0̄ + H = {0̄ + 0̄, 0̄ + 5̄} = H
• 1̄ + H = {1̄ + 0̄, 1̄ + 5̄} = {1̄, 6̄}
• 2̄ + H = {2̄ + 0̄, 2̄ + 5̄} = {2̄, 7̄}
• 3̄ + H = {3̄ + 0̄, 3̄ + 5̄} = {3̄, 8̄}
• 4̄ + H = {4̄ + 0̄, 4̄ + 5̄} = {4̄, 9̄}
• 5̄ + H = {5̄ + 0̄, 5̄ + 5̄} = {5̄, 0̄} = H e, a partir daqui, há apenas repetição de
classes.
Portanto, G/H = {H, 1̄ + H, 2̄ + H, 3̄ + H, 4̄ + H} e sua tábua é:
+ H 1̄ + H 2̄ + H 3̄ + H 4̄ + H
H H 1̄ + H 2̄ + H 3̄ + H 4̄ + H
1̄ + H 1̄ + H 2̄ + H 3̄ + H 4̄ + H H
2̄ + H 2̄ + H 3̄ + H 4̄ + H H 1̄ + H
3̄ + H 3̄ + H 4̄ + H H 1̄ + H 2̄ + H
4̄ + H 4̄ + H H 1̄ + H 2̄ + H 3̄ + H
O elemento neutro de todo grupo-quociente é o elemento H. Assim, determinar o
inverso de 3̄ + H é só verificar na tábua qual é o elemento que somado com ele dá
como resultado o H. Chegamos à conclusão de que o inverso de 3̄ + H é o 2̄ + H.
Por um motivo semelhante, o inverso de 4̄ + H é o 1̄ + H.
Observação: A adição de classes laterais é efetuada de acordo com a definição:
(ā + H) + (b̄ + H) = (ā + b̄) + H = a + b + H.
7) Verifique se cada conjunto S a seguir é subanel de A (adição e multiplicação
usuais).
a) S = 5�, A = �;
b) S =


x x x
y y 0
z 0 0
 | x, y, z ∈ �
, A = M3×3(�).
Solução:
95