Exercício de Algebra Linear (20)

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Capı́tulo 4
Homomorfismos, isomorfismos, grupos
cı́clicos
A1) Em cada caso, verifique se f : G −→ J é um homomorfismo.
a) G = (�,+), J = (�,+), f (x) = 7x
b) G = (�,+), J = (�,+), f (x) = 7x + 1
c) G = (�,+), J = (�,+), f (x) = 7x2
d) G = (�,+), J = (�,+), f (x) = |x|
e) G = (�, ·), J = (�, ·), f (x) = |x|
f) G = (�,+), J = (� �,+), f (x) = (2x, 3x)
g) G = (� ×�,+), J = (�,+), f (x, y) = 4x − 5y
h) G = (GL2(�),+), J = (Z,+), f (X) = tr(X) = traço de X
A operação de adição em � × � dos itens f) e g) é definida da seguinte forma:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) para quaisquer a, b, c, d ∈ �.
Solução: Se f for um homomorfismo, devemos mostrar que f (x∗y) = f (x)∆ f (y),
∀x, y ∈ G. Se f não for homomorfismo, devemos mostrar um contra-exemplo, ou
seja, escolher valores particulares de a, b ∈ G tais que f (a ∗ b) , f (a)∆ f (b). Aqui, ∗
representa a operação de G e ∆ é a operação de J.
a) Para quaisquer x, y ∈ �, temos: f (x + y) = 7(x + y) = 7x + 7y = f (x) + f (y).
Logo, f é um homomorfismo de � em �.
b) Neste caso, temos por exemplo que f (1) = 8, f (2) = 15, f (1+2) = f (3) = 22 e
f (1) + f (2) = 23. Logo, f (1 + 2) , f (1) + f (2). Logo, f não é homomorfismo.
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