Exercício de Algebra Linear (19)

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não é invertı́vel. Da mesma forma, poderia ser mostrado também que 2̄, 3̄, 6̄, 8̄, 9̄ e
10 não são invertı́veis.
Observação. Este exercı́cio pode ser generalizado: um elemento ā ∈ �n é invertı́vel
se, e somente se, mdc(a, n) = 1.
B6) Suponhamos H um subgrupo do grupo aditivo �. Mostre que existe n ∈ � tal
que H = {kn | k ∈ �}, isto é, existe um número natural n tal que H é formado por
todos os múltiplos de n.
Solução:
• Se H = {0}, então basta considerar n = 0: neste caso, todo elemento de H é
múltiplo de 0.
• Suponhamos H , {0}. Seja r um elemento não nulo de H. Como H é um grupo,
x ∈ H ⇔ −x ∈ H. Assim, H contém inteiros positivos. Seja n o menor inteiro
positivo de H. Se h for um elemento positivo de H, então, dividindo h por n
obtemos um quociente q e um resto r tal que 0 ≤ r < n, ou seja, h = nq + r.
Daı́, obtemos que r = h − nq. Como h ∈ H e nq ∈ H, temos que r ∈ H. Não
podemos ter r > 0 porque assim r seria um elemento positivo menor do que n
(não pode porque n é o menor elemento elemento positivo de H). Concluı́mos
então que r = 0, ou seja, que h = nq. Isso mostra que h é múltiplo de n.
• Se h fosse negativo, então −h > 0 e daı́ −h seria um múltiplo de n o que implica
que h também é múltiplo de n.
Se h for um elemento genérico de H, ficou mostrado que em qualquer situação h é
múltiplo de um número natural n. Isso significa que H = {kn | k ∈ �}.
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