AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (68)

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MA22 - Unidade 21 - Parte 2
Critérios de Convergência
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
21 de junho de 2013
Critérios de Convergência
A função f (x) =
1
x
, para x ∈ [0, +∞) é tal que
lim
x→+∞
1
x
= 0. No entanto,
lim
t→+∞
∫ t
1
1
x
dx = lim
t→+∞
ln t = +∞.
Portanto, a integral imprópria
∫ +∞
1
1
x
dx diverge.
É muito conveniente poder distinguir, pelo menos em alguns
casos, se a integral imprópria converge sem necessariamente
calculá-la. Para esse propósito dispomos de alguns critérios,
que analisaremos a seguir.
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Critério da Comparação
Teorema
Sejam f e g duas funções cont́ınuas tais que
[a, +∞) ⊂ Dom(f ) ∩Dom(g). Então,
(a) Se 0 ≤ f (x) ≤ g(x), para todo x ∈ [a, +∞), e a integral
imprópria
∫ +∞
a
g(x) dx convergir, então
∫ +∞
a
f (x) dx
convergirá;
(b) Se 0 ≤ g(x) ≤ f (x), para todo x ∈ [a, +∞), e a integral
imprópria
∫ +∞
a
g(x) dx divergir, então
∫ +∞
a
f (x) dx divergirá.
A interpretação geométrica do teorema é bastante clara. Por
exemplo, no caso da convergência, a região delimitada pelo gráfico
de f está inclúıda na região sob o gráfico de g . Assim, se essa
região admite área, a subregião também admite área.
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Exemplo 1
Use o Critério da comparação para verificar que
∫ +∞
0
e−x
2
dx é
convergente.
A função f (x) = e−x
2
é cont́ınua e, portanto, admite
primitivas. No entanto, não há uma expressão de
F (x) =
∫ x
0
e−t
2
dt em termos de funções elementares.
Portanto, a análise da convergência da integral imprópria não
é viável pelo seu cálculo direto.
Vamos considerar g(x) = e−x , que admite primitiva
G (x) = −e−x .
Se x ≥ 1, x2 ≥ x e, portanto, −x2 ≤ −x e e−x2 ≤ e−x .
Então,
0 ≤ f (x) ≤ g(x), ∀x ≥ 1.
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Exemplo 1 - continuação
Agora, o cálculo da integral imprópria:∫ +∞
1
e−x dx = lim
t→+∞
∫ t
1
e−x dx = lim
t→+∞
(−e−t+e−1) = 1
e
.
Então,
∫ +∞
1
e−x
2
dx é convergente.
Como
∫ 1
0
e−x
2
dx é um número real, podemos afirmar que∫ +∞
0
e−x
2
dx =
∫ 1
0
e−x
2
dx +
∫ +∞
1
e−x
2
dx é convergente.
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Exemplos Referenciais
Exemplos de integrais impróprias que são úteis para a aplicação do
teste de convergência. Vamos considerar a > 0.
Se r > 1, então
∫ +∞
a
1
x r
dx é convergente;
Se r ≤ 1, então
∫ +∞
a
1
x r
dx é divergente;
Se r > 0, então
∫ +∞
b
e−rx dx é convergente.
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Corolário
Corolário
Seja f uma função cont́ınua tal que [a, +∞) ⊂ Dom(f ). Se a
integral imprópria
∫ +∞
a
|f (x)| dx convergir, então
∫ +∞
a
f (x) dx
também convergirá.
Resultado é particularmente útil para o caso em que o
integrando não é sempre positivo.
Exemplo:
∫ +∞
7
sen 2x
x3
dx . Como
∫ +∞
7
1
x3
dx é convergente
e ∣∣∣∣∣ sen 2xx3
∣∣∣∣∣ ≤ 1x3 , ∀x ≥ 7,
podemos concluir que
∫ +∞
7
sen 2x
x3
dx é convergente.
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Critério do Limite do Quociente
Teorema
Sejam f e g duas funções cont́ınuas tais que
[a, +∞) ⊂ Dom(f ) ∩Dom(g), e para todo x ≥ a, f (x) ≥ 0 e
g(x) > 0. Se
lim
x→+∞
f (x)
g(x)
= L > 0,
então
∫ +∞
a
f (x) dx converge se, e somente se,
∫ +∞
a
g(x) dx
converge.
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Exemplo 2
Use o teste para verificar a convergência da integral imprópria∫ +∞
5
x
5x3 + 4x2 − 1
dx
Usaremos como referência a função g1(x) =
1
x2
.
Calculamos o limite
lim
x→∞
x
5x3 + 4x2 − 1
1
x2
= lim
x→∞
x3
5x3 + 4x2 − 1
=
1
5
> 0
Como
∫ +∞
5
1
x2
dx é convergente, conclúımos que∫ +∞
5
x
5x3 + 4x2 − 1
dx é convergente.
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Exemplo 3
Use o teste para verificar a convergência da integral imprópria∫ +∞
9
√
x + 1
2x − 15
dx .
Usaremos como referência a função g2(x) =
1√
x
.
Calculamos o limite
lim
x→∞
√
x + 1
2x − 15
1√
x
= lim
x→∞
√
x2 + x
2x − 15
=
1
2
> 0.
Como
∫ +∞
9
1√
x
dx , não converge, então a integral imprópria∫ +∞
9
√
x + 1
2x − 15
dx também não converge.
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Exemplo 4
O teste também pode ser usado no caso de integrais do tipo∫ a
−∞
f (x) dx ,
Exemplo: analisar a convergência de
∫ 0
−∞
1
x + e−x
dx .
Observe que
lim
x→−∞
1
x + e−x
ex
= lim
x→−∞
1
x ex + 1
= 1.
Além disso,∫ 0
−∞
ex dx = lim
t→−∞
∫ 0
t
ex dx = lim
t→−∞
(1− et) = 1.
Como
∫ 0
−∞
ex dx converge,
∫ 0
−∞
1
x + e−x
dx também
converge.
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