AH parte 3

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Exemplo 2:
Determine Se converge ou diverge. 
Solução: Note que a integral fornecida, porque. Usando a primeira propriedade do tipo 2 de uma integral impropria. 
Porque e quando . Então, a integral impropria dada é divergente. 
Exemplo 3:
Avalie se for possível. 
Solução: observe que a recta é uma assintota vertical do integrando. Com essa ocorre no meio do intervalo . Devemos usar a terceira propriedade do tipo 2 de uma integral impropria, onde o . 
Onde
Porque quando . Então, é divergente. Isso implica que é divergente.
Tipo 3: Integral Impropria – Mista 
O estudo dos integrais deste tipo reduz-se ao dos casos anteriores por conveniente decomposição do integral. 
Exemplo: calcular: 
Além do intervalo de integração ser ilimitado, a função integrada é ilimitada em . Trata-se pois de uma integral impropria do terceiro tipo de integral impropria. Por definição
Um Teste de Comparação para as Integrais Improprias
Algumas das vezes é impossível encontrar o valor exacto de uma integral impropria. Mas ainda assim é importante saber se ela é convergente. Nesses casos, o seguinte teorema é útil. Apesar de afirmarmos isso para as integrais do Tipo 1, um teorema similar verdadeiro para as integrais do Tipo 2. 
Teorema de Comparação 
Suponha que e sejam funções continuas com para .
· Se É convergente, então É divergência. 
· Se É divergente, então É divergente. 
Exemplo: 
Mostre que e convergente.
Solução:
 
E observamos que a primeira integral do lado direito é apenas uma integral definida ordinária. Na segunda integral usamos o fato de que para temos , Assim, e, portanto, .
Então, tomando e No teorema da comparação, vemos que é convergente. Segue que é convergente. 
Integrais Múltiplas Improprias
A definição das integrais múltiplas exige que o domínio de integração D seja limitado e a função integrando seja também limitada nesse domínio. 
Os casos em que essa generalização é necessária são fundamentalmente dois.
1. Um caso é aquele em que o domínio da integração D é ilimitado. Seja Uma sucessão de domínios compactos contidos em e tais que para suficientemente grande qualquer ponto de esteja contido em Se quando o integral de sobre que se considerem, define-se esse limite como sendo o integral impróprio de sobre . Tratando-se por exemplo de um integral duplo e pois. 
 D D
Demonstra-se que se um integral múltiplo impróprio é convergente podem aplica-se-lhe as mesmas regras de calculo que se utilizam para os integrais ordinários. 
Exemplo: seja o integral da função Estendido a .
Escolhendo uma sucessão constituída por círculos com centro na origem e raio , tem-se
2. Um outro caso é aquele em que a função integrando se torna infinita em pontos do domínio de integração .
 D D
Exemplo: calcular:
 D
Sendo o círculo com centro na origem e raio igual a unidade. A função integrada é ilimitada na origem e não é, portanto, integrável no sentido próprio no domínio . O integral existe, porem, no sentido impróprio pois, sendo , , obtem-se
 
Exercícios Resolvidos 
1. 
2. 
Integral impróprio da segunda espécie.
Logo, o integral é convergente.
3. 
Pode se notar que é um integral impróprio da primeira espécie. E , multiplicando as desigualdades por obtém-se .
O estudo da convergência dessa integral , resulta em:
Mostrando que o integral é divergente.
Com base no critério de comparação conclui-se que o integral é divergente.
4. 
Portanto, o integral é convergente.
5. 
Consideremos a seguinte integral , e estudemos a usa convergência.
Portanto, o integral é é convergente.
Seno é tal que , donde resulta que
Através do critério de comparação é garantido que o integral é é convergente.
6. 
Para tal, consideremos o integral usado para fazer a comparação do No anterior que se dará no intervalo de . Portanto, calculemos o integral de .
O integral Converge.
Uma vez que 
Então,
Ainda pelo critério de comparação conclui-se que o integral é convergente.
Exercícios Propostos
1. Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes. 
a) 
b) 
c) 
d) 
2. Use o Teorema de Comparação com para mostrar que é convergente. 
3. Use o Teorema de Comparação com para mostrar que é divergente. 
4. Use o Teorema de comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.
a) 
b) 
c) 
5. Monster que é divergente.
Conclusão 
Depois de feito o trabalho proposto pelo docente que tem como tema: integral impropria, o grupo conclui que, Algumas das vezes é impossível encontrar o valor exacto de uma integral impropria. Mas ainda assim é importante saber se ela e convergente ou divergente.
Referencia Bibliográfica 
STEWART, James. Cálculo Vol. I. 2ª reimpressão da 4ª edição de 2001. São Paulo: Pioneira
 Thomson Learning, 2002. ISBN 85-221-0235-X. Seção 7.8, páginas 523 a 531
BEIRÃO, João Carlos. Análise Matemática: Cálculo Integral . Séries de Funções, Integrais
 Impróprios, Sereis de Fourier. Edição: instituto superior pedagógico. Pág. 129 a 160. 
Técnicas de integração. Capitulo 7. Cangage Leaming. Todos os direitos reservados. 2010.