AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (44)

Prévia do material em texto

MA22 - Unidade 12 - Parte 2
Derivada da função inversa
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
10 de maio de 2013
Teorema da função inversa
O próximo teorema estabelece condições suficientes para garantir a
derivabilidade da função inversa de uma função derivável f .
Teorema (Teorema da função inversa)
Seja f : I → R uma função derivável e crescente ou
decrescente em um intervalo não trivial I . Se f ′(x) 6= 0 para
todo ∈ I então f −1 é derivável em f (I ) e
(
f −1
)′
(f (x)) =
1
f ′(x)
.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 12 - Parte 2 slide 2/8
Exemplo 1
Vamos retomar a função y = 2x+1x−1 do exemplo anterior. A
derivada de f é:
f ′(x) =
(
2x + 1
x − 1
)′
=
2 · (x − 1)− (2x + 1) · 1
(x − 1)2
=
−3
(x − 1)2
.
Vimos que a função inversa é a função g(y) = y+1y−2 , definida
em R \ {2}, cuja derivada é:
g ′(y) =
(
y + 1
y − 2
)′
=
1 · (y − 2)− (y + 1) · 1
(y − 2)2
=
−3
(y − 2)2
.
Substituindo y = 2x+1x−1 , obtemos:
g ′(y) =
−3(
2x+1
x−1 − 2
)2 = −39
(x−1)2
=
1
−3
(x−1)2
=
1
f ′(x)
,
o que verifica a relação entre
(
f −1
)′
(y) e f ′(x) do teorema.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 12 - Parte 2 slide 3/8
Exemplo 2
Sabemos que
(√
x
)′
= 1
2
√
x
. Vamos chegar a esta mesma fórmula
usando a derivada da função inversa.
A função g(y) =
√
y definida para y > 0 é a inversa de
f (x) = x2, pois g (f (x)) = g(x2) =
√
x2 = x , para x > 0.
Considerando que f (x) = x2 é crescente no intervalo (0,∞) e
usando o teorema da função inversa, temos
(
√
y)′ = g ′(y) =
1
f ′(x)
=
1
2x
=
1
2
√
y
.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 12 - Parte 2 slide 4/8
Exemplo 3
Vamos usar o teorema da função inversa para provar a fórmula da
derivada da função potência xn para expoentes fracionários.
Seja n inteiro positivo, n ≥ 2. A função g(x) = n
√
x está
definida em (0,∞) para n par e em R para n ı́mpar.
A função g é a inversa de f (x) = xn, definida em (0,∞) para
n par e em R para n ı́mpar, e crescente no seu doḿınio.
Logo, para x no doḿınio de f e x 6= 0,
g ′(y) =
1
f ′(x)
=
1
nxn−1
=
1(
y
1
n
)n−1 = 1n y n−1n = 1n y1− 1n .
Portanto, g(x) = n
√
x então g ′(x) = 1nx
1− 1
n .
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 12 - Parte 2 slide 5/8
Exemplo 4
Seja f : (0,∞)→ R definida por f (x) = xn, em que n é um
número racional. Vamos provar que f é derivável e f ′(x) = nxn−1.
Seja n = pq , com p e q inteiros positivos. Usando o resultado
do exemplo anterior e a regra da cadeia:
f ′(x) =
(
x
p
q
)′
=
((
x
1
q
)p)′
= p
(
x
1
q
)p−1
·
(
x
1
q
)′
= p
(
x
1
q
)p−1
· 1
q
x
1
q
−1
=
p
q
x
p−1
q
+ 1
q
−1
=
p
q
x
p
q
−1
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 12 - Parte 2 slide 6/8
Exemplo 5
Assumindo que as hipóteses do teorema da função inversa se
verificam, calcule o valor de
(
f −1
)′
(3) sabendo-se que f (1) = 3 e
f ′(1) = 2.
Como f (1) = 3 então f −1(3) = 1. Aplicando o teorema da
função inversa:(
f −1
)′
(3) =
1
f ′ (f −1(3))
=
1
f ′(1)
=
1
2
.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 12 - Parte 2 slide 7/8
Exemplo 6
Seja a função f (x) = x3 + x , calcule o valor de f −1(2).
Como f ′(x) = 3x2 + 1 6= 0 então pelo teorema da função
inversa, f tem inversa derivável e(
f −1
)′
(y) =
1
f ′(x)
=
1
3x2 + 1
.
Para encontrar f −1(2), devemos encontrar x tal que
f (x) = 2⇒ x3 + x = 2, isto é, as soluções de x3 + x − 2 = 0.
Se há soluções inteiras, então devem ser divisores de 2.
Tentando ±1 e ±2, verificamos que f (1) = 2.
Como a função é injetora, não pode haver outra solução e
f −1(2) = 1.
Portanto
(
f −1
)′
(2) =
1
f ′(1)
=
1
3.12 + 1
=
1
4
.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 12 - Parte 2 slide 8/8