AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (45)

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MA22 - Unidade 12 - Parte 3
Funções trigonométricas inversas
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
11 de maio de 2013
Derivada das funções trigonométricas inversas
Nesta seção iremos estudar a derivabilidade das funções
trigonométricas inversas: arcsen , arccos e arctan.
Como as funções seno, cosseno e tangente são funções
periódicas, para cada valor y na imagem, há infinitos pontos
no doḿınio que têm imagem y .
Para cada uma destas funções teremos que restringir o
doḿınio de forma a obter uma função injetora.
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A função arcsen
A imagem da função seno é o intervalo [−1, 1]. Restringindo
o doḿınio ao intervalo
[
−π2 ,
π
2
]
, a função
sen :
[
−π2 ,
π
2
]
→ [−1, 1] é uma função bijetora, cont́ınua, e
crescente no seu doḿınio.
A inversa da função seno é a função arco seno
arcsen : [−1, 1]→
[
−π2 ,
π
2
]
, definida por
y = arcsen x ⇔ x = sen y .
A função arcsen é crescente e cont́ınua no intervalo [−1, 1].
−
π
2
π
2
1
−1
f (x) = arcsen x
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Derivada da função arcsen
A função arco seno é derivável em (−1, 1) e sua derivada é
( arcsen )′ (x) =
1√
1− x2
.
Pelo Teorema da função inversa, f −1 é derivável em (−1, 1) e
(
f −1
)′
(y) =
1
f ′(x)
=
1
cos x
.
Como y = sen x e sen 2x + cos2 x = 1, segue que
cos2 x = 1− sen 2x ⇒ cos x =
√
1− sen 2x =
√
1− y2.
Portanto,
(
f −1
)′
(y) =
1√
1− y2
.
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Exemplo 1
Encontre a derivada da função f (x) = arcsen (x2 − 1) para
x ∈ (−
√
2,
√
2).
Teremos que usar a derivada do arco seno e a regra da cadeia.
Sejam g(x) = x2 − 1 e h(x) = arcsen x . Temos que
g
(
−
√
2,
√
2
)
= (−1, 1) está contido no doḿınio de h. Como
g e h são deriváveis em seus doḿınios, então f = h ◦ g é
derivável em (−
√
2,
√
2).
Vale que:
f ′(x) = h′ (g(x))·g ′(x) = 1√
1− (x2 − 1)2
·(2x) = 2x√
2x − x4
.
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A função arccos
A imagem da função cosseno é o intervalo [−1, 1].
Restringindo o doḿınio ao intervalo [0, π], a função
cos : [0, π]→ [−1, 1] é uma função bijetora, cont́ınua e
decrescente em todo seu doḿınio.
A inversa da função cosseno é a função arco cosseno
arccos : [−1, 1]→ [0, π], definida por
y = arccos x ⇔ x = cos y .
A função arccos é decrescente e cont́ınua no intervalo [−1, 1]
π
π
2
1−1
f (x) = arccos x
b
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Derivada da função arccos
A função arco cosseno é derivável em (−1, 1) e sua derivada é
(arccos)′ (x) = − 1√
1− x2
.
Pelo Teorema da função inversa, f −1 é derivável em (−1, 1) e
(
f −1
)′
(y) =
1
f ′(x)
= − 1
sen x
.
Como y = cos x e sen 2x + cos2 x = 1, segue que
sen 2x = 1− cos2 x ⇒ sen x =
√
1− cos2 x =
√
1− y2.
Portanto,
(
f −1
)′
(y) =
1√
1− y2
.
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Exemplo 2 - Derivada de f (x) = arccos
(
1− x24
)
.
Devemos determinar o doḿınio de f . Como o doḿınio do
arccos é [−1, 1] então a imagem da função 1− x24 deve estar
contido em [−1, 1].
O gráfico de g(x) = 1− x24 é uma parábola com concavidade
para baixo e vértice no ponto (0, 1). Como
1− x24 = −1⇒ x = ±2
√
2, então
x ∈ [−2
√
2, 2
√
2]⇒ g(x) = 1− x24 ∈ [−1, 1].
Considerando a função f (x) = arccos
(
1− x24
)
com doḿınio
em [−2
√
2, 2
√
2], então f = h ◦ g para h(x) = arccos(x) e
g(x) = g(x) = 1− x2/4. Pela regra da cadeia f é derivável e
f ′(x) = h′ (g(x)) · g ′(x) = − 1√
1− g(x)2
· (−x
2
)
=
x
2
√
1−
(
1− x24
)2 = x
2
√
x2
2 −
x4
16
=
2x
|x |
√
8− x2
.
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A função arctan
A imagem da função tangente é todo o conjunto R.
Restringindo o doḿınio ao intervalo
(
−π2 ,
π
2
)
, a função
tan:
(
−π2 ,
π
2
)
→ R é uma função bijetora, cont́ınua e
crescente em todo seu doḿınio.
A inversa da função tangente é a função arco tangente
arctan: R→
(
−π2 ,
π
2
)
, definida por y = arctan x ⇔ x = tan y .
A função arctan é crescente e cont́ınua em R.
π
2
−
π
2
f (x) = arctan x
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Derivada da função arctan
A função arco tangente arctan: R →
(
−π2 ,
π
2
)
é derivável em
R e sua derivada é
(arctan)′ (x) =
1
1 + x2
.
Pelo Teorema da função inversa, f −1 é derivável em R e(
f −1
)′
(y) =
1
f ′(x)
=
1
1
cos2 x
= cos2 x .
Como y = tan x e 1 + tan2 x = sec2 x = 1
cos2 x
, segue que
cos2 x =
1
1 + tan2 x
=
1
1 + y2
.
Portanto,
(
f −1
)′
(y) =
1
1 + y2
.
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Exemplo 3
Encontre a derivada de f (x) = arctan
(
x+1
x−1
)
para x ∈ R \ {1}.
Como o doḿınio de h(x) = arctan x é R, não temos que nos
preocupar com a imagem de g(x) = x+1x−1 .
Para x 6= 1, temos
f ′(x) = h′ (g(x)) g ′(x) =
 1
1 +
(
x+1
x−1
)2
(x + 1
x − 1
)′
=
(x − 1)2
(x − 1)2 + (x + 1)2
· −2
(x − 1)2
= − 2
2x2 + 2
= − 1
x2 + 1
.
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