AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (49)

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MA22 - Unidade 14 - Parte 1
O crescimento da função e a derivada
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
14 de maio de 2013
O crescimento da função e a derivada
Para esboçar o gráfico de uma função dois aspectos essenciais
devem ser analisados:
os intervalos de crescimento e decrescimento e
os intervalos de concavidade para cima e de concavidade para
baixo do gráfico.
Veremos que para funções deriváveis:
O crescimento está relacionado aos sinais da função derivada;
A concavidade está relacionado aos sinais da derivada
segunda.
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Exemplo 1
A figura mostra o gráfico da função f (x) = sen x .
A função é crescente no intervalo [0,
π
2
] e
decrescente no intervalo [
π
2
, 0].
No intervalo em que é crescente, a reta
tangente a um ponto qualquer é uma reta
crescente (portanto a derivada da função é
positiva)
No intervalo em que é decrescente, a reta
tangente a um ponto qualquer é uma reta
decrescente (portanto a derivada da função
é negativa).
A derivada é nula em x =
π
2
.
1
b b
b
a
f
′ (
a
)
>
0
f
′
(
b
)
<
0
bπ
2
f
′
(
π
2
)
= 0
π
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Proposição
Seja f : [a, b]→ R cont́ınua e derivável em (a, b) então:
(i) f é não decrescente em [a, b] se, e somente se, f ′(x) ≥ 0
para todo x ∈ (a, b). Além disso, se f ′(x) > 0 para todo
x ∈ (a, b) então f é crescente em [a, b].
(ii) f é não crescente em [a, b] se, e somente se, f ′(x) ≤ 0 para
todo x ∈ (a, b). Além disso, se f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b)
então f é decrescente em [a, b].
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Exemplo 2
Seja f (x) = x2 − 2x − 3. Determine os intervalos de crescimento e
decrescimento da função e esboce um gráfico.
Como f ′(x) = 2x − 2, então:
f ′(x) > 0⇒ 2x − 2 > 0⇒ x > 1
f ′(x) < 0 =⇒ x < 1
A derivada tem valor zero em x = 1.
O valor do função no ponto x = 1 é f (1) = 12− 2.1− 3 = −4.
O trinômio decresce (derivada negativa) no intervalo (−∞, 1),
atinge o ponto V = (1,−4) e passa a crescer (derivada
positiva). O vértice é um ponto de ḿınimo da função.
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Exemplo 2 - continuação
Os sinais de f ′(x) podem ser representados pelo diagrama a
seguir:
intervalo sinal de f ′ f
x < 1 − decrescente
x > 1 + crescente
O gráfico da parábola está representado na figura a seguir.
Trata-se de uma parábola com concavidade voltada para
cima.
b
V
f crescentef decrescente
1
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Exemplo 3
Seja a função f (x) = x
3
3 − x . Determine os intervalos em que f é
crescente e aqueles em que f é decrescente.
Vamos verificar os sinais da derivada f ′(x). Como
f (x) = x
3
3 − x , então f
′(x) = x2 − 1.
O gráfico de f ′(x) = x2 − 1 é uma parábola voltada para
cima, com zeros em x2 − 1 = 0⇒ x = ±1.
Os sinais f ′(x) são os seguintes:
f ′(x) > 0 para x < −1 ou x > 1
f ′(x) < 0 para −1 < x < 1
Veja a representação dos sinais de f ′(x) na reta a seguir.
intervalo sinal de f ′ f
x < −1 + crescente
−1 < x < 1 − decrescente
x > 1 + crescente
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Exemplo 3 - continuação
Os valores da função nos pontos x = ±1 são
f (−1) = (−1)
3
3 − (−1) =
2
3 e f (1) =
13
3 − (1) = −
2
3 .
O que fizemos até agora permite concluir o seguinte:
(i) A função é crescente no intervalo (−∞,−1) atingindo o ponto
A = (−1, 23 ).
(ii) A função é decrescente no intervalo (−1, 1) atingindo o ponto
B = (1,− 23 ).
(iii) A função é crescente no intervalo (1,∞).
Mas falta ainda um detalhe, quando dizemos que ela é
crescente em (−∞,−1) e atinge o ponto A = (−1, 23), ela
cresce a partir de onde? Quando dizemos que cresce em
(1,∞), saindo do ponto B = (1,−23), cresce até onde?
Para responder esta pergunta, devemos considerar os limites
infinitos da função:
lim
x→−∞
x3
3
− x = −∞ e lim
x→∞
x3
3
− x =∞ .
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Exemplo 3 - continuação
A conclusão é a seguinte: a função vem de −∞, cresce até o
ponto A = (−1, 23), passa a decrescer até o ponto B = (1,−
2
3) e
volta a crescer até +∞.
1
2
−1
−2
1 2 3−1−2−3
bA
f (x) = x
3
3 − x
b
B
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Conclusão
Resumindo, para analisar o crescimento da função e esboçar seu
gráfico, devemos fazer o seguinte:
1. Calcular a função derivada f ′(x) e estudamos seus sinais.
2. Calcular os valores de f (x) nos pontos em que f ′(x) se anula.
3. Calcular os limites infinitos de f (x).
4. Ainda falta a análise da concavidade do gráfico função, que
está relacionada com a derivada segunda.
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