AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (50)

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MA22 - Unidade 14 - Parte 2
Teste da derivada primeira e da derivada segunda
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
14 de maio de 2013
Máximos e ḿınimos locais
Se f ′(c) = 0 então x = c é ponto cŕıtico de f e f (c) pode ser
ḿınimo local, máximo local ou nenhum dos dois.
Observando os gráficos abaixo, vemos que os máximos e
ḿınimos locais acontecem exatamente quando há mudança de
sinal de f ′(x).
Este é conteúdo do Teste da derivada primeira.
b b
b
f
′(x) < 0 f ′(x) > 0
f
′(x) = 0
ḿınimo local
b b
b
f
′(x) > 0 f ′(x) < 0
f
′(x) = 0
máximo local
b
b
f
′(x) > 0
f
′(x) > 0
f
′(x) = 0
b
b
b b f ′(x) < 0
f
′(x) < 0
f
′(x) = 0
nem ḿınimo nem máximo local
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Proposição (Teste da derivada primeira)
Seja a função f : [a, b]→ R cont́ınua e derivável em (a, b) e
seja c um ponto cŕıtico de f .
(i) Se f ′ passa de positiva para negativa em c então f tem
máximo local em c.
(ii) Se f ′ passa de negativa para positiva em c então f tem
ḿınimo local em c.
(iii) Se f ′ não muda de sinal em c então não tem máximo
nem ḿınimo local em c.
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Exemplo 1
Encontre os ḿınimos e máximos locais da função f (x) = x
x2+1
.
A derivada da função é
f ′(x) =
(x2 + 1)− x(2x)
(x2 + 1)2
=
1− x2
(x2 + 1)2
.
Logo, f ′(x) = 0 =⇒ 1− x2 = 0 =⇒ x = ±1.
Sinais de f ′:
intervalo 1− x2 (x2 + 1)2 sinal de f ′ f
x < −1 − + − decrescente
−1 < x < 1 + + + crescente
x > 1 − + − decrescente
Vemos que:
x = −1 é ḿınimo local pois f ′ passa de negativa para positiva
em x = −1.
x = 1 é máximo local, pois em x = 1 a derivada f ′ passa de
positiva para negativa.
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Teste da derivada segunda
Se f é diferenciável em um intervalo aberto I , e c ∈ I é tal que
f ′(c) = 0 e f ′′(c) existe um outro instrumento para determinar se
o ponto cŕıtico x = c é máximo local ou ḿınimo local: os sinais
derivada segunda de f .
Proposição (Teste da derivada segunda)
Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I e seja
c ∈ I tal que f ′(c) = 0. Se f ′′(c) existe então:
(i) Se f ′′(c) < 0 então f possui um máximo local em c.
(ii) Se f ′′(c) > 0 então f possui um ḿınimo local em c.
O teste é inconclusivo caso f ′′(c) = 0.
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Exemplo 2
Encontre os valores de máximo e ḿınimo local da função
f (x) = x3 − x2.
Derivando a função obtemos f ′(x) = 3x2 − 2x . Os pontos
cŕıticos de f são:
f ′(x) = 0⇒ 3x2 − 2x = 0⇒ x = 0 ou x = 2
3
.
Derivando novamente obtemos f ′′(x) = 6x − 2. Usando o
Teste da derivada segunda:
f ′′(0) = −2 < 0⇒ x = 0 é máximo local .
f ′′(
2
3
) = 6
(
2
3
)
− 2 = 2 > 0⇒ x = 2
3
é ḿınimo local .
1−1
b
b
2
3
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Exemplo 3
Determine os máximos e ḿınimos locais para f (x) = x3,
g(x) = x4 e h(x) = −x4.
A três funções são deriváveis em todo o doḿınio e
f ′(x) = 0 =⇒ 3x2 = 0 =⇒ x = 0 .
g ′(x) = 0 =⇒ 4x3 = 0 =⇒ x = 0 .
h′(x) = 0 =⇒ −4x3 = 0 =⇒ x = 0 .
Como vemos, nos três casos, x = 0 é o único ponto cŕıtico.
É fácil ver que f ′′(0) = g ′′(0) = h′′(0) = 0.
No entanto, x = 0 não é ḿınimo nem máximo local de f , é
ponto de ḿınimo local de g e ponto de máximo local de h.
Este exemplo ilustra como o teste é inconclusivo para
f ′′(c) = 0.
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Exemplo 3 - gráficos
f (x) = x3
b
f (x) = x4
b
ḿınimo local
f (x) = −x4
b
máximo local
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