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Língua Portuguesa
CLASSES DE PALAVRAS
As classes de palavras ou classes gramaticais são dez:
substantivo, verbo, adjetivo, pronome, artigo,
numeral, preposição, conjunção, interjeição e
advérbio. Essas categorias são divididas em palavras
variáveis (aquelas que variam em gênero, número ou
grau) palavras invariáveis (as que não variam).
Palavras Variáveis e Flexões
1) SUBSTANTIVO
É a palavra que nomeia os seres em geral, como:
objetos, fenômenos, lugares, qualidades, ações, etc.:
Ana, Brasil, beleza.
Flexões:
Gênero (masculino e feminino),
Número (singular e plural)
Grau (aumentativo e diminutivo).
2) VERBO
É a palavra que indica ações, estado ou fenômeno
da natureza: existir, sou, chovendo.
Flexões:
Pessoa (primeira, segunda e terceira),
Número (singular e plural),
Tempo (presente, passado e futuro),
Modo (indicativo, subjuntivo e imperativo)
Voz (ativa, passiva e reflexiva).
3) ADJETIVO
É a palavra que caracteriza, atribui qualidades aos
substantivos: feliz, superinteressante, amável.
Flexões:
Gênero (uniforme e biforme),
Número (simples e composto)
grau (comparativo e superlativo).
4) PRONOME
É a palavra que substitui ou acompanha o
substantivo, indicando a relação das pessoas do
discurso: eu, contigo, aquele.
Flexões:
Gênero
Número
Pessoa
5) ARTIGO
É a palavra que antecede o substantivo:
o, as, uns, uma.
Flexões:
Gênero
Número
6) NUMERAL
É a palavra que indica a posição ou o número de
elementos: um, primeiro, dezena.
Flexões:
Gênero
Número
Grau
Palavras Invariáveis
7) PREPOSIÇÃO
É a palavra que liga dois elementos da oração:
a, após, para...
8) CONJUNÇÃO
É a palavra que liga dois termos ou duas orações de
mesmo valor gramatical: mas, portanto, conforme...
9) INTERJEIÇÃO
É a palavra que exprime emoções e sentimentos:
Olá!, Viva!, Psiu!
10) ADVÉRBIO
É a palavra que modifica o verbo, o adjetivo ou
outro advérbio, exprimindo circunstâncias de
tempo, modo, intensidade, entre outros: melhor,
demais, ali.
https://www.todamateria.com.br/classes-de-palavras(adaptado)
https://www.todamateria.com.br/classes-de-palavras/
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CLASSES DE PALAVRAS -Exercícios de Fixação
Indique a classe de palavras dos vocábulos:
1) As meninas são tão corajosas quanto os meninos.
2) Coragem!
3) Falta a coragem…
4) Com seus trinta anos já era para ter juízo.
5) Há uns anos não sabia o que fazer da vida.
6) Fazer o bem sem olhar a quem.
7) Os trabalhos ficaram muito bem feitos.
8) Fui bem na prova.
9) Ainda bem!
10) Queremos encomendas a dobrar.
11) Fiz o dobro do trabalho e não adiantou.
12) Aqueles sim são clientes.
13) Perante seu discurso senti-me motivado.
14) Estou motivado porque o palestrante transmitiu
motivação.
1.(IBGE) Assinale o par de frases em que as palavras
sublinhadas são substantivo e pronome, respectivamente:
a)A imigração tornou-se necessária. / É dever
cristão praticar o bem.
b)A Inglaterra é responsável por sua economia. /
Havia muito movimento na praça.
c)Fale sobre tudo o que for preciso. / O consumo de
drogas é condenável.
d)Pessoas inconformadas lutaram pela abolição. /
Pesca-se muito em Angra dos Reis.
e)Os prejudicados não tinham o direito de
reclamar. / Não entendi o que você disse.
2. (U-BRASÍLIA) Assinale o item que só contenha
preposições:
a) durante, entre, sobre
b) com, sob, depois
c) para, atrás, por
d) em, caso, após
e) após, sobre, acima
3.(TTN) Observe as palavras grifadas da seguinte frase:
"Encaminhamos a V. Senhoria cópia autêntica do Edital
nº 19/82." Elas são, respectivamente:
a) verbo, substantivo, substantivo
b) verbo, substantivo, advérbio
c) verbo, substantivo, adjetivo
d) pronome, adjetivo, substantivo
e) pronome, adjetivo, adjetivo
4. (CESGRANRIO) Assinale a opção em que a
locução grifada tem valor adjetivo:
a) "Comprei móveis e objetos diversos que entrei a
utilizar com receio."
b)"Azevedo Gondim compôs sobre ela dois artigos."
c) "Pediu-me com voz baixa cinquenta mil réis."
d) "Expliquei em resumo a prensa, o dínamo, as
serras..."
e)"Resolvi abrir o olho para que vizinhos sem
escrúpulos não se apoderassem do que era delas."
5. (EPCAR) Aponte a alternativa em que a palavra
em negrito é conjunção explicativa:
a) Como estivesse cansado, não foi trabalhar.
b) Assim que fores ao Rio, não te esqueças de avisar-me.
c) Retirou-se antes, já que assim o quis.
d) Não se aborreça, que estamos aqui para ouvi-lo.
e) Não compareceu, porque não foi avisado.
6. (BB) “Saberão que nos tempos do passado o doce
amor era julgado um crime.”
a) 1 preposição
b) 3 adjetivos
c) 4 verbos
d) 7 palavras átonas
e) 4 substantivos
7. (UC-MG) Em "Orai porque não entreis em
tentação", o valor da conjunção do período é de:
a) causa
b) condição
c) conformidade
d) explicação
e) finalidade
8. (UF-MG) As expressões sublinhadas correspondem
a um adjetivo, exceto em:
a) João Fanhoso anda amanhecendo sem entusiasmo.
b) Demorava-se de propósito naquele complicado
banho.
c) Os bichos da terra fugiam em desabalada carreira.
d) Noite fechada sobre aqueles ermos perdidos da
caatinga sem fim.
e) E ainda me vem com essa conversa de homem da
roça.
9. (ITA) Assinalar a alternativa que corretamente
preenche a lacuna da sentença: ".................. meus
conselhos, ele pediu demissão."
a) Entrementes
b) Malgrado
c) Máxime
d) Destarte
e) Mormente
10. A expressão sublinhada em “Há um quer que seja
de satânico na pupila da onça” funciona como:
a) substantivo
d) adjetivo
b) pronome
e) verbo.
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SINTAXE DE COLOCAÇÃO
Semanticamente, pronome é a palavra que
determina uma das três pessoas do discurso:
1ª pessoa(a que fala):eu, me, mim, meu
2ª pessoa(com quem se fala):tu, te, ti, teu
3ª pessoa(de quem se fala): ele, se, si , seu
EU
Usa-se o eu quando houver preposição, mais verbo
no infinitivo: Isto é para eu fazer.
MIM
Usa-se o mim quando houver preposição, sem
verbo no infinitivo:
Isto é para mim.
SE, SI, CONSIGO
São pronomes reflexivos, isto é, referem-se à
mesma pessoa do sujeito: Ela gosta muito de si
(dela mesma). Trouxe consigo os livros (com ele
mesmo).
VOCÊ, COM VOCÊ
São pronomes não-reflexivos: Vou à praia com
você. O professor quer falar com você.
O, A, LHE
O uso destes pronomes está diretamente
subordinado à regência dos verbos. Geralmente, o
pronome O desempenha a função de Objeto Direto,
e o pronome LHE desempenha a função de Objeto
Indireto.
Encontrei-o na rua. (= encontrei ele)
Nunca as vi tão belas. (= ver elas)
Encontrei-lhe os pais na rua. (= encontrei para ele)
ESTE, ESSE, AQUELE
São pronomes demonstrativos, isto é, servem para
demonstrar. O uso adequado dos demonstrativos
tem relação direta com o emissor da mensagem e
com a localização deste.
Quando nos referimos a algo que esteja perto da
pessoa que fala, devemos usar este:
Esta minha gravata é moderna.
Quando nos referimos a algo que esteja perto da
pessoa com quem se fala, devemos usar esse:
Você vai sair com esse vestido, Juliana?
EXPRESSÕES DE TRATAMENTO
As formas de tratamento são as seguintes, com as
respectivas abreviaturas e circunstâncias em que
devem ser empregadas:
TÍTULO REFERÊNCIA
Presidente da
República, Governador,
Ministro de Estado,
Chefe da Casa Civil,
Senador, Deputado,
Secretário de Estado,
Embaixador, Prefeito,
Desembargador,
Promotor, Curador
Vossa
Excelência: V. Ex
a
Diretores, Chefes de
Seção, funcionários
graduados, pessoas de
cerimônia.
Vossa Senhoria:
V.Sa.
Reitor V. Magª.
Juiz MM
Cardeal V.Ema Rev.ma
Arcebispo, Bispo V. Rev.ma
PRONOMES PESSOAIS
PRÓCLISE, MESÓCLISE E ÊNCLISE
Embora a linguagem falada nem sempre adote a
correta colocação dos pronomes, na linguagem
escrita, principalmente, algumas normas devem ser
observadas
PRÓCLISE
É a colocação pronominal antes do verbo. A
próclise é usada:
Palavras de sentido negativo: não, nunca,
ninguém, jamais, etc.: Não se esqueça de mim.
Advérbios: Agora se negam a depor.
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Conjunções subordinativas: Soube
que me negariam.
Pronomes relativos: Identificaram duas pessoas
que se encontravam desaparecidas.
Pronomes indefinidos: Poucos te deram a
oportunidade.
Pronomes demonstrativos: Disso me acusaram,
mas sem provas.
Orações iniciadas por palavras interrogativas:
Quem te fez a encomenda?
Orações iniciadas por palavras exclamativas.
Quanto se ofendem por nada!
Orações que exprimem desejo (orações
optativas): Que Deus o ajude.
MESÓCLISE
É a colocação pronominal no meio do verbo. A
mesóclise é usada:
Quando o verbo estiver no futuro do presente
ou futuro do pretérito, contanto que esses
verbos não estejam precedidos de palavras que
exijam a próclise:
Realizar-se-á, na próxima semana, um grande
evento em prol da paz no mundo.
ÊNCLISE
É a colocação pronominal depois do verbo. Usada
quando:
o verbo estiver no imperativo afirmativo:
Quando eu avisar, silenciem-se todos.
o verbo estiver no infinitivo impessoal: Não era
minha intenção machucar-te.
o verbo iniciar a oração: Vou-me embora agora
mesmo.
houver pausa antes do verbo: Se eu ganho na
loteria, mudo-me hoje mesmo.
o verbo estiver no gerúndio: Recusou a proposta
fazendo-se de desentendida.
SINTAXE DE COLOCAÇÃO – Exercícios de Fixação
Julgue C (certo) ou E (errado) os itens abaixo:
1. ( ) O presente é a bigorna onde se forja o futuro.
2. ( ) Nossa vocação molda-se às necessidades.
3. ( ) Se não fosse a chuva, acompanhar-te-ia.
4. ( ) Macacos me mordam!
5. ( ) Caro amigo, muito lhe agradeço o favor…
6. ( ) Ninguém socorreu-nos naqueles momentos difíceis.
7. ( ) As informações que se obtiveram, chocavam-se entre si.
8. ( ) Quem te falou a respeito do caso?
9. ( ) Não foi trabalhar porque machucara- se na véspera.
10. ( Não só me trouxe o livro, mas também me deu presente.
11. ( ) Ele chegou e perguntou-me pelo filho.
12. ( ) Em se tratando de esporte, prefere futebol.
13. ( ) Vamos, amigos, cheguem-se aos bons.
14. ( ) O torneio iniciar-se-á no próximo Domingo.
15. ( ) Amanhã dizer-te-ei todas as novidades.
16. ( )Os alunos nos surpreendem com suas tiradas espirituosas.
17. ( ) Os amigos chegaram e me esperam lá fora.
18. ( ) O torneio iniciará-se no próximo domingo.
19. ( ) Oferecida-lhes as explicações, saíram felizes.
20. ( ) Convido-te a fazeres-lhes, essa gentileza.
Assinale a frase com erro de colocação pronominal:
21.( )Quando se estudaram minuciosamente as
propostas, descobriram- se todas as falhas.
22.( )Segundo informaram- me na seção, já se
encontram prontos os contracheques deste mês.
23.( )Os papéis que remeteram-me estão em ordem,
ainda hoje devolvê-los-ei como havia prometido-lhes.
24.( )Os professores haviam-nos instruído para as provas.
25.( )Nada chegava a impressioná-la em sua
passividade.
26.( )Que Deus te acompanhe por toda a vida.
27.( )Quando lhes entregariam as provas, era um
mistério que não lhes era possível desvendar.
28.( )A respeito daquelas fraudes, os auditores já
haviam prevenido-os há muito tempo.
29.( )Os mais nenhuma informação.
30.( )Aquele foi o livro que lhe dei como prova de
admiração.
I/A-Complete as lacunas com os pronomes eu/mim:
1. Para ......................, todos são iguais.
2. Para ........... chegar a tempo, peguei um carro.
3. Por ......... ser nervoso, é que não me saí melhor.
4. É muito cedo para ......................
5. É muito cedo para ...................... entrar.
a) mim – mim –eu – mim – eu
b) mim – mm – eu – eu – mim
c) eu – mim – eu – mim – eu
d) mim – eu – eu – mim – eu
e) eu – mim eu – eu – mim
I/B-
6. Não deu para...................... vir ontem.
7. Isso é para ......................?
8. Entre ...................... e Inês nada houve.
9. Entre Inês e ...................... nada houve.
10. Entre ........... e Juliana haverá diálogo.
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a) eu – mim – eu – mim – eu
b) mim – mm – eu – eu – mim
c) eu – mim – mim –mim - mim
d) mim – eu – eu – mim – eu
e) eu – mim - eu – eu – mim
II/A-Complete os espaços, use este, esse, aquele (ou
flexões), conforme convier:
1) Machuquei-me ............ pé e .................. mão.
2) .............. ano está sendo muito bom para mim.
3) D......... vida nada podemos levar.
4) Erga ........... lenço que caiu a meus pés, Luiz!
5) Erga ........... lenço que caiu a seus pés, Luiz!
a) nesse – nesta – este – dessa – esse - esse
b) neste – nesta – este – dessa – esse - esse
c) neste – nesta – este – desta – esse - este
d) neste – nesta – este – desta – este - esse
e) nesse – nessa – este – desta – esse - este
II/B-
1) Erga ...... lenço que caiu aos pés de Ana, Rafael!
2) João, ..................... seus olhos azuis são lindos!
3) De quem será ..................... casa que lá está?
4) Quem é .............. que está com você, Eva?
5) Nos postos de gasolina vê-se uma faixa com .........
dizeres:
“..................... posto é seu!”
a) aquele – esses – aquela – esse – estes - este
b) este –esses – aquela – esse – estes - este
c) esse –esses – essa – este – estes - este
d) aquele –esses – aquela – esse – esses - esse
e) este –estes – aquela – este – esses - este
III-Complete com o pronome o ou lhe:
1) Telefonei-..................... pela manhã.
2) O velhinho era pobre, por isso todos ......
ajudavam.
3) Ele gostava de que .............. obedecessem logo.
4) Já ..................... pagaste a dívida?
5) Achei-..................... muito desatento.
a) lhe – lhe – lha – lhe – lhe
b) lhe – o – lhe – lhe – o
c) o – o – a –lhe – lhe
d) lhe - o – a –o – lhe
e) o - o – lhe – lhe - lhe
GABARITOS
CLASSE DE PALAVRAS
classes: 1-adjetv 2-interjeição – 3-substantico 4-pronome 5-ronme 6-
substantivo 7-advérbio 8-adv´rbio 9-interjeição 10-verbo 11-numeral
12-adjetivo 13-preposição 14-conjunção
1-E 2-A 3-C 4E 5-D 6-E 7-A 8-B 9-B 10-A
SINTAXE DE COLOCAÇÃO
1. C - 2. C - 3. C - 4. C -5. C - 6. E - 7. C - 8. C - 9. E - 10. C - 11. C
- 12. C - 13. C - 14. C - 15. E -16. C - 17. C - 18. E - 19. E - 20. E -
21. C - 22. E - 23. E - 24. C - 25. C - 26. C - 27. C -28. E - 29. C-
30.C
I-A d I-B c II-A d II-B b III-b
VOZES VERBAIS
Dá-se o nome de voz à forma assumida pelo verbo
para indicar se o sujeito gramatical é agente ou
paciente da ação.
a) Ativa: quando o sujeito é agente, isto é, pratica a
ação expressa pelo verbo. "Ele fez o trabalho."
b) Passiva: quando o sujeito é paciente, recebendo a
ação expressa pelo verbo. "O trabalho foi feito por
ele."
c) Reflexiva: quando o sujeito é ao mesmo tempo
agente e paciente, isto é, pratica e recebe a ação. "O
menino feriu-se."
Voz Passiva Analítica
Verbo SER + particípio do verbo principal
"A escola será pintada pelos alunos." (Agente da
passiva: "pelos alunos")
"O trabalho é feito por ele." (Agente da passiva: "por
ele")
Voz Passiva Sintética (ou pronominal)
Verbo na 3ª pessoa + pronome apassivador SE
"Abriram-se as inscrições para o concurso." (Sem
agente da passiva)
"Destruiu-se o velho prédio da escola." (Sem agente
da passiva)
Conversão da Voz Ativa na Voz Passiva
O sujeito será o agente da passiva e vice-versa.
O verbo (ou locução verbal) deve respeitar tempo,
modo, pessoa e número.
O objeto direto será o sujeito paciente e vice-versa.
“Gutenberg inventou a imprensa” (Voz Ativa)
“A imprensa foi inventada por Gutenberg” (Voz
Passiva)
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Exercício de fixação
1. “Tudo isso pode ser comprovado por qualquer
cidadão”. A forma ativa dessa mesma frase é
a) Qualquer cidadão pode comprovar tudo isso.
b) Tudo pode comprovar-se.
c) Qualquer cidadão se pode comprovar tudo isso.
d) Pode comprovar-se tudo isso.
e) Qualquer cidadão pode ter tudo isso
comprovado.
2. É exemplo de construção na voz passiva o
segmento destacado na seguinte frase:
a) Ainda ontem fui tomado de risos ao ler um
trechinho de crônica.
b) A Solange toma especial cuidado com a escolha
dos vocábulos.
c) Glorinha e sua filha não partilham do mesmo
gosto pelo requinte verbal.
d) O enrubescimento da mãe revelou seu
desconforto diante da observação da filha.
e) Lembro-me de uma visita que recebemos em
casa, há muito tempo.
3. Assinale a alternativa em que há agente da
passiva.
a) Nós seremos julgados pelos nossos atos.
b) Olha esta terra toda que se habita dessa gente sem
lei, quase infinita.
c) Agradeço-lhe pelo livro.
d) Ouvi a notícia pelo rádio.
e) Por mim, você pode ficar.
4. Transpondo-se para a voz passiva a construção
"Os ateus despertariam a ira de qualquer
fanático", a forma verbal obtida será:
a) seria despertada.
b) teria sido despertada.
c) despertar-se-á.
d) fora despertada.
e) teriam despertado.
5. "Em outubro de 1967, quando Gilberto Gil e
Caetano Veloso apresentaram as canções
Domingo no parque e Alegria, Alegria, no
Festival da TV Record, logo houve quem
percebesse que as duas canções eram
influenciadas pela narrativa cinematográfica ..."
Transpondo-se a primeira das frases sublinhadas
acima para a voz passiva e a segunda para a voz ativa,
as formas verbais resultantes serão, respectivamente:
a) se apresentaram − influencia.
b) foi apresentado − se influenciaram.
c) eram apresentadas − influenciou.
d) foram apresentadas − influenciava.
e) são apresentadas − influenciou.
6. Transpondo para a voz passiva a oração “O faro
dos cães guiava os caçadores”, obtém-se a forma
verbal:
a) guiava-se
b) ia guiando
c) guiavam
d) eram guiados
e) foram guiados
7. Diante das alternativas expostas, assinale a que
se encontra na voz reflexiva:
a) Antigamente contavam-se muitas histórias.
b) O garoto cortou-se com o objeto pontiagudo.
c) Os artistas foram aplaudidos pela plateia.
d) As mercadorias foram repostas conforme a
demanda.
e) Questões polêmicas permeiam a sociedade.
8. A qual oração ativa corresponde a seguinte
passiva?
"Um grande animal foi visto por Joana."
a) Viu-se um grande animal por Joana.
b) Um animal Joana o viu.
c) Joana viu um grande animal.
d) Por Joana foi visto um grande animal.
e) Um grande animal: isso foi o que Joana viu.
9. Em qual alternativa não temos voz passiva
sintética?
a) Falou-se muito.
b) Desenvolveu-se um novo sistema.
c) Tudo se resolveu.
d) Ela se olhava bastante.
e) Precisa-se de funcionários.
10. Se passarmos para a voz ativa a frase "O francês
da Williams foi derrotado pela chuva", mantendo
tempo e modo verbais, o verbo da frase resultante
deverá assumir a forma:
a) havia derrotado.
b) derrotara.
c) derrotou.
d) derrotaria.
e) derrotava.
11. Transpondo da voz passiva para a voz ativa a
frase "Os avisos serão dados pelo coordenador",
obtém-se a forma verbal:
a) dará.
b) darão.
c) terá dado.
d) terão dado.
e) foram dados.
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12. Qual dos termos destacados funciona como
agente da passiva.
a) Janaína não absorveu a aula pela internet.
b) Os homens foram dados como mortos pelos
policiais.
c) Ele e eu conseguimos a bolsa por méritos
próprios.
d) A notícia chegou pelo informante às pressas.
e) O homens fieis sofrerão os danos pelos aliados.
13. Assinale a alternativa em que o SE é pronome
apassivador.
a) Feriu-se com a chama.
b) A menina suicidou-se.
c) Necessitava-se de mais gente no local.
d) Brigou-se pela vaga mais tarde.
e) Ama-se violentamente os bens de consumo
modernos.
14. Analise os itens a seguir:
I. Castram-se cães neste local.
II. Levantou-se mais cedo do que os outros dias.
III. Anda-se cada vez mais preocupados.
Possui pronome apassivador
a) I apenas.
b) II apenas.
c) III apenas.
d) I e II apenas.
e) I e III apenas.
15. Existe sujeito paciente na alternativa
a) Os jornais devem conter notícias otimistas.
b) O jornal foi lido pelo meu pai.
c) Nunca se levou isso tão a sério.
d) Precisa-se de funcionários.
e) Anda-se a pé pela estrada à noite.
FRASE, ORAÇÃO E PERÍODO
Frase
Frase é todo enunciado de sentido completo, podendo
ser formada por uma só palavra ou por várias,
podendo ter verbos ou não.
Oração
Uma frase verbal pode ser também uma oração. Para
isso é necessário:
- que o enunciado tenha sentido completo;
- que o enunciado tenha verbo (ou locução verbal).
"Camila terminou a leitura do livro."
Período
Período é a frase constituída de uma ou mais orações,
formando um todo, com sentido completo. O período
pode ser simples ou composto.
Período Simples
É aquele constituído por apenas uma oração, que
recebe o nome de oração absoluta.
"O amor é eterno."
"As plantas necessitam de cuidados especiais."
Período Composto
É aquele constituído por duas ou mais orações.
"Quando você partiu minha vida ficou sem alegrias."
"Quero aquelas flores para presentear minha mãe."
Os termos da oração podem ser:
sujeito;
predicado;
complemento verbal (objeto direto e indireto);
complemento nominal;
agente da passiva;
adjunto adnominal;
adjunto adverbial;
aposto.
CLASSIFICAÇÃO DO SUJEITO
Sujeito simples: um núcleo
"As ruas estavam desertas."
Sujeito composto: dois ou mais núcleos
"Tênis e natação são ótimos exercícios físicos. "
Sujeito desinencial / implícito / oculto /
subentendido / elíptico: não está explicitamente
representado na oração, mas pode ser identificado
pela desinência do verbo (eu, tu, ele, nós e vós)
"Dispensamos todos os funcionários."
Sujeito indeterminado: não está representado na
oração. Há três maneiras de se apresentar na Língua
Portuguesa:
a) Com verbo na 3ª pessoa do plural:
"Procuraram você por todos os lugares."
"Estão pedindo seu documento na entrada da festa."
b) Com verbo ativo na 3ª pessoa do singular, seguido
do pronome se (índice de indeterminação do sujeito):
"Vive-se melhor no campo."
"Precisa-se de técnicos em informática."
c) Com o verbo no infinitivo impessoal:
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"Era penoso estudar todo aquele conteúdo."
"É triste assistir a estas cenas tão trágicas."
Sujeito inexistente (Oração sem sujeito): formada
apenas pelo predicado e articula-se a partir de um
verbo impessoal.
Pode ser formado de três modos também:
a) Verbo "haver" significando "existir":
"Havia muitos alunos naquela aula."
"Houve formigas na casa."
b) Verbos que exprimem fenômenos da natureza:
"Choveu muito no inverno passado."
"Amanheceu antes do horário previsto."
c) Verbos ser, estar, fazer e haver, quando usados
para indicar uma ideia de tempo meteorológico ou
tempo decorrido:
"É noite."
"Eram duas horas da manhã."
"Hoje é (ou são) 15 de março."
"Está tarde."
PREDICAÇÃO VERBAL
(COMO OS VERBOS SE COMPORTAM)
Verbo intransitivo: Não necessita de outro termo
para completar o seu sentido.
"O avião caiu."
"A menina chegou."
"O rapaz morreu."
Verbo transitivo: vem acompanhado por
complemento
Transitivo Direto: quando o complemento vem
ligado ao verbo diretamente, sem preposição.
"Nós escutamos nossa música favorita."
Transitivo Indireto: quando o complemento vem
ligado ao verbo indiretamente, com preposição
obrigatória.
"Eu gosto de sorvete."
Transitivo Direto e Indireto: quando a ação contida
no verbo transita para o complemento direta e
indiretamente, ao mesmo tempo.
"Ela contou tudo para o namorado."
Verbo de ligação: aquele que, expressando estado,
liga características ao sujeito.
"Mamãe está bem."
"Renato continua mal."
"Marta parece melhor."
"Essa casa é minha."
PREDICADO (Classificação)
Para o estudo do predicado, é necessário verificar se
seu núcleo significativo está num nome ou num
verbo.
Predicado Verbal
Indica uma ação, sendo constituído por um núcleo,
que é um verbo que indica uma ação.
Nesse caso, não há presença de predicativo do
sujeito.
"Nós caminhamos muito." (núcleo: caminhamos)
"Cheguei de viagem." (núcleo: cheguei)
Predicado Nominal
Indica estado ou qualidade, sendo constituído por um
verbo de ligação (verbo que indica estado) e o
predicativo do sujeito (complementa o sujeito
atribuindo-lhe uma qualidade).
Há somente um núcleo, caracterizado por um nome
(substantivo ou adjetivo)
"Alan está feliz." (núcleo: feliz – predicativo)
"Fiquei exausta." (núcleo: exausta - predicativo)
Predicado Verbo-Nominal
Ao mesmo tempo que indica ação do sujeito, esse
tipo de predicado informa sua qualidade ou estado,
sendo constituído por dois núcleos: um nome e um
verbo.
Nesse caso, há presença de predicativo do sujeito ou
predicativo do objeto.
"Suzana chegou cansada." (núcleos: chegou,
cansada)
"Ele considerou a caminhada desagradável."
(núcleos: considerou, desagradável)
COMPLEMENTOS VERBAIS
(OBJETO DIRETO E INDIRETO)
Completam o sentido de verbos transitivos diretos e
transitivos indiretos.
Objeto Direto
É o termo que completa o sentido do verbo transitivo
direto, ligando-se a ele sem o auxílio necessário da
preposição. Atuam como objeto direto os pronomes:
o, a, os, as, me, te, se, nos, vos
"Abri o presente."
"O agricultor cultiva a terra."
Objeto Indireto
É o termo que completa o sentido de um verbo
transitivo indireto. Atuam como objeto indireto os
pronomes: lhe, lhes, me te, se, nos, vos.
9
EEAr
"Preciso de ajuda."
"Enviei-lhe um recado."
COMPLEMENTO NOMINAL
É o termo que completa o sentido de uma palavra que
não seja verbo.
Assim, pode referir-se a substantivos, adjetivos ou
advérbios, sempre por meio de preposição.
"Cecília tem orgulho da filha."
"Ricardo estava consciente de tudo."
"A professora agiu favoravelmente aos alunos."
ADJUNTOS ADVERBIAIS
Termos acessórios que indicam circunstâncias
relativas ao processo verbal. (tempo, modo,
companhia, lugar, intensidade etc.)
"Suavemente anoiteceu na cidade."
"Nesta fatídica cidade, João gritava bastante."
"Ela não dormiu cedo."
ADJUNTOS ADNOMINAIS
Termos que se ligam ao núcleo dos sintagmas em
geral, delimitando-os.
"A banca de jornal comprou um saboroso doce."
"Minha mãe cortou um pedaço de bolo."
APOSTO
Termo que explica, enumera, sintetiza, enfatiza outro
termo da oração.
"Xuxa, a rainha dos baixinhos, gosta de crianças."
"Meu vizinho, o rapaz do 801, chegou atrasado."
"Desejo duas coisas: mais carinho e menos ódio."
"A vontade dos Homens – essencial à vida – dá
fôlego à Humanidade”
VOCATIVO
Termo que não possui relação sintática com outro
termo da oração. Não pertence ao sujeito ou
predicado, mas serve para chamar, invocar ou
interpelar um ouvinte real ou hipotético.
"Não fale tão alto, Rita!"
"Senhor presidente, queremos nossos direitos!"
"A vida, minha amada, é feita de escolhas."
Obs.: o vocativo pode vir antecedido por interjeições
de apelo, tais como ó, olá, eh!, etc.
"Ó Cristo, iluminai-me em minhas decisões."
PERÍODO COMPOSTO
Coordenação e subordinação
a) Composto por Coordenação: ocorre quando é
constituído apenas de orações independentes,
coordenadas entre si, mas sem nenhuma dependência
sintática.
b) Composto por Subordinação: ocorre quando é
constituído de um conjunto de pelo menos duas
orações, em que uma delas (Subordinada) depende
sintaticamente da outra (Principal).
COORDENAÇÃO
De acordo com o tipo de conjunção que as introduz,
as orações coordenadas sindéticas podem ser:
aditivas (valor de adição);
adversativas (valor de adversidade/oposição);
alternativas (valor de alternância);
conclusivas (valor de conclusão);
explicativas (valor de explicação).
Aditivas
As conjunções coordenativas aditivas típicas são "e"
e "nem" (= e + não)
"Discutimos várias propostas e analisamos possíveis
soluções."
Adversativas
"Mas" é a conjunção adversativa típica. Além dela,
empregam-se: porém, contudo, todavia, entretanto e
as locuções no entanto, não obstante, nada obstante.
"O amor é difícil, mas pode luzir em qualquer ponto
da cidade."
"O país é extremamente rico; o povo, porém, vive em
profunda miséria."
"Tens razão, contudo controle-se."
Alternativas
Normalmente é usada a conjunção "ou". Além dela,
empregam-se também os pares: ora... ora, já... já,
quer... quer, seja... seja, etc.
"Diga agora ou cale-se para sempre."
"Ora age com calma, ora trata a todos com muita
aspereza."
"Estarei lá, quer você permita, quer você não
permita."
Conclusivas
As conjunções típicas são: logo, portanto e pois
(posposto ao verbo). Usa-se ainda: então, assim, por
isso, por conseguinte, de modo que, em vista disso,
etc.
"Não tenho dinheiro, portanto não posso pagar."
10
EEAr
"O time venceu, por isso está classificado."
"A situação econômica é delicada; devemos, pois,
agir cuidadosamente."
Explicativas
As conjunções que merecem destaque são: que,
porque e pois (obrigatoriamente anteposto ao verbo).
"Vou embora, que cansei de esperá-lo."
"Vinícius devia estar cansado, porque estudou o dia
inteiro."
SUBORDINAÇÃO
Os períodos compostos por subordinação dividem-se
em três tipos:
Subordinadas substantivas
Subordinadas adjetivas
Subordinadas adverbiais
1. Subordinadas substantivas
São oração que desempenham a função de um termo
faltante na oração principal (pode ser substituída por
“isso”)
“Eu quero que você venha logo.”
(Eu quero isso. Desempenha o papel de objeto direto)
Importante! O termo que une a oração principal a
uma oração subordinada substantiva chama-se
conjunção integrante. As duas conjunções
integrantes mais comuns são “que” e “se” (podendo
ser também como, quando, onde, por que, quem,
qual, quanto)
Assim, podemos classificar as subordinadas
substantivas dependendo do termo que ela substitui:
Sujeito: “É possível que você queira o produto.”
Objeto direto: “Não sei se você é feliz”
Objeto indireto: “Necessito de que você chame um
médico”
Complemento nominal: “Tenho medo de que falte
água”
Predicativo: “Nosso desejo era que ele ganhasse as
eleições.”
Aposto: “Fernanda tinha um grande sonho: que o dia
do seu casamento chegasse.”
2. Subordinadas adjetivas
Possui valor e função de adjetivo, ou seja, que a ele
equivale.
Importante! O termo que une a oração subordinada
adjetiva à oração principal é chamado de pronome
relativo. Eles são variados, cada qual com sua
peculiaridade (que, quem, onde, cujo, o qual, quanto
e suas flexões).
Desse modo, podemos classificar as subordinadas
adjetivas em:
Explicativas: Liguei para o meu irmão, que mora em
Roma.
Restritivas: Liguei para o meu irmão que mora em
Roma.
(Perceba que a diferença entre elas é a presença ou
a ausência de vírgula que as separa)
3. Subordinadas adverbiais
Exerce a função de adjunto adverbial do verbo da
oração principal. Dessa forma, pode exprimir
circunstância de tempo, modo, fim, causa, condição,
hipótese, etc.
Causa
Principal conjunção subordinativa causal: PORQUE
Outras conjunções e locuções causais: como (sempre
introduzido na oração anteposta à oração principal),
pois, pois que, já que, uma vez que, visto que.
"As ruas ficaram alagadas porque a chuva foi muito
forte."
"Como se interessaram pelo projeto, não o
cancelamos."
"Já que você não vai, eu também não vou."
Consequência
Principal conjunção subordinativa consecutiva: QUE
(precedido de tal, tanto, tão, tamanho)
São introduzidas pelas conjunções e locuções: que,
de forma que, de sorte que, tanto que etc., e pelas
estruturas tão... que, tanto... que, tamanho... que.
"É feio que dói. (É tão feio que, em consequência,
causa dor.)"
"Nunca abandonou seus ideais, de sorte que acabou
concretizando-os."
Condição
Principal conjunção subordinativa condicional: SE
Outras conjunções condicionais: caso, contanto que,
desde que, salvo se, exceto se, a não ser que, a menos
que, sem que, uma vez que (seguida de verbo no
subjuntivo).
"Se o regulamento do campeonato for bem
elaborado, certamente o melhor time será campeão."
"Uma vez que todos aceitem a proposta, assinaremos
o contrato."
Concessão
Principal conjunção subordinativa concessiva:
EMBORA
11
EEAr
Utiliza-se também a conjunção: conquanto e as
locuções ainda que, ainda quando, mesmo que, se
bem que, posto que, apesar de que.
"Embora fizesse calor, levei agasalho."
"Conquanto a economia tenha crescido, pelo menos
metade da população continua à margem do mercado
de consumo."
Comparação
Principal conjunção subordinativa comparativa:
COMO
Utilizam-se com muita frequência as seguintes
estruturas que formam o grau comparativo dos
adjetivos e dos advérbios: tão... como (quanto), mais
(do) que, menos (do) que.
"Ele dorme como um urso."
Conformidade
Principal conjunção subordinativa conformativa:
CONFORME
Outras conjunções conformativas: como, consoante e
segundo (todas com o mesmo valor de conforme).
"Fiz o bolo conforme ensina a receita."
"Consoante reza a Constituição, todos os cidadãos
têm direitos iguais."
"Segundo atesta recente relatório do Banco Mundial,
o Brasil é o campeão mundial de má distribuição de
renda."
Tempo
Principal conjunção subordinativa temporal:
QUANDO
Outras conjunções subordinativas temporais:
enquanto, mal e locuções conjuntivas: assim que,
logo que, todas as vezes que, antes que, depois que,
sempre que, desde que etc.
"Quando você foi embora, chegaram outros
convidados."
"Sempre que ele vem, ocorrem problemas."
"Mal você saiu, ela chegou."
Proporção
Principal locução conjuntiva subordinativa
proporcional: À PROPORÇÃO QUE
Outras locuções conjuntivas proporcionais: à medida
que, ao passo que. Há ainda as estruturas: quanto
maior... (maior), quanto maior... (menor) etc.
"À proporção que estudávamos, acertávamos mais
questões."
"Visito meus amigos à medida que eles me
convidam."
Finalidade
Principal conjunção subordinativa final: A FIM DE
QUE
Outras conjunções finais: que, porque (= para que) e
a locução conjuntiva para que.
"Aproximei-me dela a fim de que ficássemos
amigos."
"Felipe abriu a porta do carro para que sua namorada
entrasse."
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
1. Qual é a única frase que possui um verbo de
ligação?
a) Pedro trabalhava muito todos os dias.
b) Aquele carro é caro.
c) Ela quis viajar logo.
d) João e Marcos torcem para o mesmo time.
e) A professora insistiu no silêncio.
2. Qual alternativa possui uma oração sem sujeito?
a) Tínhamos as mesmas aspirações.
b) João está calado.
c) Viajei a fim de reencontrá-lo.
d) Está bastante frio em São Paulo.
e) Conheceram meu pai.
3. Dê a função sintática dos termos destacados no
período “O lucro, que é um dos incentivos do
sistema, foi excelente”.
a) objeto direto - adjunto adverbial.
b) sujeito - predicativo do sujeito.
c) sujeito - predicativo do objeto.
d) predicativo do sujeito - predicativo do objeto.
e) sujeito – adjunto adnominal.
4. "Durante meses o azul do céu virou um picadeiro
de luta." Qual é o predicado e qual o seu tipo?
a) Virou um picadeiro de luta / nominal.
b) Picadeiro de luta / nominal.
c) Virou um picadeiro / verbal.
d) Virou um picadeiro de luta / verbo-nominal.
e) Durante meses, virou um picadeiro de luta /
predicado nominal.
5. Qual não é predicado verbo-nominal?
a) Joana saiu contente.
b) A despedida deixou a mãe aflita.
c) Os pais observaram emocionados aquela cena.
d) A menina, cansada, fugiu de casa.
e) Os pais do menino conheceram a garota.
6. Classifica-se como adjunto adnominal os termos
destacados, com exceção da alternativa:
a) Os meninos da rua pediram a minha ajuda.
12
EEAr
b) Tenho medo de aranhas.
c) As crianças da noite virão.
d) Nunca puseram a carta de Caminha à mostra.
e)Os homens brasileiros estão entre os mais
machistas.
7. O vocativo está presente na alternativa:
a) Suzana e Márcia não chegaram a tempo.
b) Suzana e Márcia, venham aqui.
c) Não encontramos, a tempo, Suzana e Márcia.
d) Hoje, Suzana e Márcia estão felizes.
e) Suzana e Márcia, amigas de infância, estão felizes.
8. Identifique a oração coordenada conclusiva:
a) O orador falou pouco, todavia disse muitas
verdades.
b) Tratemos de trabalhar, que o trabalho dignifica!
c) Gozemos, vivamos, pois somos jovens!
d) Era noite, e a lua brilhava no céu sereno.
e) As árvores são preciosas à vida humana, por
conseguinte preservemo-las!
9. Orações Coordenadas: “estudamos, logo
deveremos passar nos exames”. A oração em
destaque é:
a) coordenada explicativa
b) coordenada adversativa
c) coordenada aditiva
d) coordenada conclusiva
e) coordenada assindética
10. Um livro de receita é um bom presente porque
ajuda as pessoas que não sabem cozinhar. A palavra
“porque” pode ser substituída, sem alteração de
sentido, por
a) entretanto.
b) então.
c) assim.
d) pois.
e) porém.
11. Assinale a alternativa que contém uma
coordenativa conclusiva:
a) Sérgio foi bom filho; logo será um bom pai.
b) Os meninos ora brigavam, ora brincavam.
c) Jaime trabalha depressa, contudo produz pouco.
d) Os cães mordem, não por maldade, mas por
precisarem viver.
e) Adão comeu a maçã e todos pagamos por isso.
12. Assinale a opção em que o período não é
construído de orações coordenadas.
a) “Nesta perseguição do acidental, quer num
flagrante de esquina, quer nas palavras de uma
criança ou num acidente doméstico, torno-me
simples espectador e perco a noção do essencial”.
b) “Não sou poeta e estou sem assunto”.
c) “Ao fundo do botequim, um casal acaba de sentar-
se numa das últimas mesas de mármore ao longo da
parede de espelhos”.
d) “O pai se mune de uma caixa de fósforo e espera”.
e) “A mocinha agarra finalmente o bolo com as duas
mãos sôfregas e põe-se a comê-lo”.
13. “Somos pacifistas, entretanto não abrimos mão
de estudos e manipulações científicas que se
entrelaçam, quer para fins bélicos ou pacíficos”.
A conjunção entretanto, destacada no fragmento,
estabelece relação lógico-semântica de
a) adição
b) explicação
c) concessão
d) alternância
e) adversidade
14. Um grupo de cientistas da Universidade de
Columbia, nos Estados Unidos, anunciou ter criado
árvores artificiais que podem ajudar no combate ao
aquecimento global, já que absorvem CO2 da
atmosfera quase mil vezes mais rapidamente do que
árvores de verdade.
A oração “que podem ajudar no combate ao
aquecimento global” deve ser classificada como:
a) Oração coordenada sindética aditiva
b) Oração coordenada assindética
c) Oração subordinada substantiva
d) Oração subordinada adjetiva
e) Oração subordinada adverbial
15. O trecho “Mais escolarizadas, mulheres ainda
ganham menos e têm dificuldades de subir na
carreira” poderia ser substituído, sem causar prejuízo
de sentido, por:
a) Mulheres, mais escolarizadas, porventura ganham
mais, entretanto possuem empecilhos para subir na
carreira.
b) Mulheres, mais escolarizadas, ainda ganham
menos, bem como enfrentam obstáculos para subir na
carreira.
c) Mulheres, mais escolarizadas, às
vezes ganham
menos, por conseguinte apresentam especificidades
para se elevarem na carreira.
d) Mais escolarizadas, mulheres, ainda que
enfrentem dificuldades para progredirem na carreira,
ganham o mesmo ou mais.
13
EEAr
e) Mais escolarizadas, mulheres apresentam
particularidades para subir na carreira, porquanto já
ganham mais.
16. No período: "Da própria garganta saiu um grito
de admiração, que Cirino acompanhou, embora
com menos entusiasmo", a palavra destacada
expressa uma ideia de:
a) explicação
b) concessão
c) comparação
d) modo
e) consequência
17. Assinale a alternativa em que “como” assume a
mesma função que exerce em “como fosse trazido à
sua presença um pirata, desmaiou”.
a) Como você conseguiu chegar até aqui?
b) Como todos podem ver, a situação não é das
melhores.
c) Não só leu os livros indicados, como também
outros de interesse pessoal.
d) Como não telefonou, resolvi procurá-lo
pessoalmente.
e) O arquiteto projetou o jardim exatamente como lhe
pediram.
18. Assinale a alternativa em que a oração destacada
tem a função sintática de objeto direto:
a) "É possível que haja festa."
b) "Foi ventilado que ele se demitiria."
c) "Alberico afirmou que eram três."
d) "Emociona-o que todos estejam presentes."
e) "Parece que a enchente foi catastrófica."
19. Assinale o período em que a oração destacada
exerce a função de complemento nominal.
a) Estou certa de que você nunca me
compreenderá.
b) Nunca precisei de que você me defendesse.
c) De tanto gritar, você acabará ficando rouca.
d) Informei-a de que já conquistei novas amizades.
e) Lembre-se de que, com esse gênio, você ficará
sozinha.
20. Em "É bom que estejas entendendo. / Não
esqueças que somos privilegiados", temos orações
subordinadas, respectivamente:
a) objetiva direta, subjetiva.
b) subjetiva, objetiva direta.
c) objetiva direta, completiva nominal.
d) subjetiva, predicativa.
e) predicativa, objetiva direta.
21. Há oração subordinada substantiva subjetiva em:
a) Veja se está tudo em ordem.
b) Pergunta quem era aquela jovem.
c) Que ele não compareceu, todos souberam.
d) É necessário que tenhamos muita paciência.
e) Ainda não sei se chegaremos a tempo.
FUNÇÕES DO QUE E DO SE
A palavra que pode exercer diferentes funções
sintáticas na construção dos enunciados. Vamos
analisar cada uma delas:
a) Conjunção coordenativa explicativa: liga duas
orações coordenadas, e a segunda oração é uma
explicativa.
“Não insista, que eu não lhe emprestarei dinheiro!”
b) Conjunção coordenativa aditiva: liga duas
orações coordenadas, e a segunda oração é uma
aditiva.
“Elas reclamavam que reclamavam, até que,
finalmente, foram atendidas.”
c) Conjunção coordenativa alternativa: liga duas
orações coordenadas, e a segunda oração é uma
alternativa.
“Uma que outra roupa lhe servia perfeitamente.”
d) Conjunção subordinativa substantiva: liga a
oração principal à subordinada substantiva (subjetiva
objetiva direta, objetiva indireta, completiva
nominal, predicativa, apositiva).
“Parece que vai chover.”
e) Conjunção subordinativa causal: liga a oração
principal à oração subordinada adverbial causal.
“Ele nunca me visita, que o trabalho o impede de
viajar por muito tempo.”
f) Conjunção subordinativa consecutiva: liga a
oração principal à subordinada adverbial
consecutiva.
“Ele ficou tão enciumado que mandou desligar o
telefone.”
g) Conjunção subordinativa concessiva: liga a
oração principal à subordinada adverbial concessiva.
“Relevante que seja esta informação, não me
interessa.”
h) Conjunção subordinativa comparativa: liga a
oração principal à subordinada adverbial
comparativa.
https://brasilescola.uol.com.br/gramatica/conjuncoes-coordenativas.htm
https://brasilescola.uol.com.br/gramatica/conjuncoes-subordinativas.htm
14
EEAr
“Viajar de avião é mais prazeroso do que viajar de
carro.”
i) Conjunção subordinativa final: liga a oração
principal à subordinada adverbial final.
“Vamos torcer, que a economia melhore.”
j) Pronome relativo: inicia oração subordinada
adjetiva e possui a mesma função do termo a que se
refere.
“Gosto de pessoas que tenham bom humor.”
k) Pronome interrogativo: inicia uma unidade
interrogativa direta ou indireta e pode ter a função de
adjunto adnominal ou de um dos termos da oração.
“Queremos entender o que você quis realmente dizer
naquele momento?”
(núcleo do objeto direto do verbo entender)
l) Pronome indefinido: aparece em unidades
exclamativas com a função de adjunto adnominal.
“Que notícia maravilhosa você acaba de me dar!”
m) Substantivo: aparece escrito com um acento
circunflexo e possui a função de núcleo do adjunto
adnominal de um dos termos da oração.
“Essa pintura tem um quê de Picasso.”
n) Advérbio: possui a função de adjunto adverbial de
intensidade e é utilizado para intensificar um adjetivo
ou um advérbio.
“Que inocente fui em acreditar em suas juras de
amor!”
o) Preposição: na linguagem coloquial, pode ser
equivalente à preposição de, e também pode ter valor
das preposições acidentais salvo, exceto e senão.
“Temos que (=de) estudar para as provas.”
“Compareceu à reunião sem outras
justificativas que (=senão) as apresentadas
anteriormente.”
p) Interjeição: para manifestar espanto,
perplexidade, admiração, surpresa; expressão típica
de frases construídas com o uso de interjeições.
“Quê! Tal medida é absurda!”
q) Partícula de realce: não possui função sintática e
é utilizada apenas para dar realce, portanto, pode ser
retirada do enunciado sem que haja prejuízo para a
compreensão dele.
“Que saudades que eu tenho dos nossos momentos
juntos!”
A PARTÍCULA “SE” ASSUME VÁRIAS
FUNÇÕES NA LÍNGUA PORTUGUESA:
1- Conjunção:
a) Conjunção subordinativa integrante: a conjunção
introduz orações subordinadas substantivas.
Exemplo: Quero saber se ela virá à festa.
b) Conjunção subordinativa condicional: introduz
orações subordinadas adverbiais condicionais.
Exemplo: Deixe um recado se você não me
encontrar.
2- Pronome:
a) Pronome reflexivo: funciona como objeto direto,
objeto indireto e sujeito do infinitivo.
“A criança machucou-se.” (objeto direto)
b) Partícula apassivadora: quando se liga a verbos
transitivos diretos com a intenção de apassivá-los.
“Contaram-se histórias estranhas.”
c) Índice de indeterminação do sujeito: quando se
liga a verbos preposicionados com o papel de
indeterminar o sujeito: “Discorda-se do fato.”
d) Partícula expletiva: não desempenha nenhuma
função sintática ao se associar a verbos.
“ Ele acabou de se sentar.”
e) Partícula integrante do verbo: ligada a verbos
pronominais: “Ela não cansa de se queixar.”
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO
1. Quanto aos termos destacados abaixo, assinale.
I. Trabalhe muito, que alcançará o sucesso.
(Conjunção coordenada explicativa)
II. A verdade é que não gosto de você (conjunção
integrante)
III. Ele ficou tão enciumado, que mandou desligar
o telefone. (Conjunção subordinativa consecutiva)
IV. Está notícia tem um quê de fantasiosa.
(Substantivo)
V. Quê! Não acredito que ela fez isso!
(Interjeição)
VI. Que perguntas foram feitas ao professor?
(Pronome interrogativo)
Estão corretos:
a) I, II, IV e V.
b) II, III, V e VI.
c) I, III, IV, V e VI.
d) todos os itens.
e) nenhum dos itens.
https://brasilescola.uol.com.br/gramatica/pronome-relativo.htm
https://brasilescola.uol.com.br/gramatica/pronomes-interrogativos-circunstancias-uso.htm
https://brasilescola.uol.com.br/gramatica/pronomes-indefinidos-interrogativos.htm
https://brasilescola.uol.com.br/gramatica/interjeicao.htm
15
EEAr
2. Assinale a única alternativa em que “que” é uma
conjunção subordinativa integrante.
a) Que notícia animadora você acaba de me dar!
b) Ele me olhou com um quê de ironia.
c) Que estúpido fui em acreditar naquela proposta!
d) Queremos que todos compareçam ao casamento.
e) Ficamos tão contentes com a música, que não
nos importamos com o ambiente da apresentação.
3. “Entre a sociedade, a empresa e o Estado, está o
profissional contábil, que, por sua vez, é o elo entre
Fisco e contribuinte. É de fundamental importância
que esse profissional aprimore seu entendimento
tributário, percebendo sua necessidade. Ratifica-se,
assim, o conceito de que a conscientização
tributária pode representar um ponto de partida para
a formação cidadã como uma das formas eficazes
de atender às demandas sociais”.
As ocorrências do QUE no período acima
classificam-se, respectivamente, como:
a) pronome relativo – pronome relativo – pronome
relativo
b) pronome relativo – conjunção – conjunção
c) conjunção – conjunção – conjunção
d) conjunção – pronome relativo – pronome relativo
e) pronome relativo – pronome relativo – conjunção
4. “É bom lembrar que a ciência cria modelos que
descrevem a realidade; esses modelos não são a
realidade, só nossas representações dela. As
"verdades" que tanto admiramos são aproximações
do que de fato ocorre”.
As ocorrências do QUE no período acima
classificam-se corretamente como:
a) conjunção - pronome relativo - pronome relativo
- pronome relativo
b) conjunção - pronome relativo - conjunção -
conjunção
c) conjunção - pronome relativo - pronome relativo
- conjunção
d) pronome relativo - conjunção - pronome relativo
- conjunção
e) pronome relativo - conjunção - pronome relativo
- pronome relativo
5. Assinale a única alternativa em que “se” é uma
conjunção subordinativa condicional
a) Os convidados olharam-se, surpresos, depois que
viram a noiva entrar.
b) Bebe-se muito durante o carnaval.
c) Ela deixou-se convencer pelas desculpas do
namorado.
d) Todos poderão entrar se possuírem convites.
e) Quero saber se você chegará no horário marcado.
6. “Os avanços nos sistemas de comunicação
tornaram possível que pessoas de diferentes lugares
passassem a se falar e a estar em contato o tempo
todo. As pessoas começaram a viajar mais e, com
isso, alteraram o seu modo de ver o mundo e de se
relacionar”.
As duas ocorrências do pronome “se” sublinhadas
indicam, respectivamente,
a) sujeito indeterminado e sujeito indeterminado.
b) voz passiva e pronome reflexivo.
c) pronome reflexivo e pronome recíproco.
d) pronome recíproco e pronome recíproco.
e) pronome recíproco e sujeito indeterminado.
7. Assinale a alternativa em que a palavra “se” é um
pronome reflexivo.
a) Não se é responsável da noite para o dia!
b) Os policiais feriram-se no confronto.
c) Vendem-se carros usados.
d) Procura-se secretária naquela nova loja.
e) Contrata-se funcionários.
8. Assinale a opção em que “se” funciona como
índice de indeterminação do sujeito:
a) Se Tereza não for à festa, também não irei.
b) A criança machucou-se na bicicleta.
c) Trata-se do primeiro e último fundo no Brasil.
d) Ele impôs-se uma disciplina rigorosa.
e) Ergueu-se, passou a toalha no rosto.
9. Classifique as funções da palavra “se” nas frases a
seguir, numerando, convenientemente, os parênteses:
1. Partícula apassivadora.
2. Índice de indeterminação do sujeito.
3. Partícula de realce.
4. Partícula integrante do verbo.
5. Conjunção subordinativa.
( ) Ela quer saber se eu me sinto realizado.
( ) Acabou-se a confiança no próximo.
( ) Suicidou-se, pulando no fim da tarde de um prédio
de 10 andares.
( ) Precisa-se de operários.
( ) Sentia-se o cheiro da panela no fogo, chiando de
toucinho no braseiro.
A sequência correta é:
a) 4-3-5-2-1
b) 5-3-2-4-1
c) 4-5-2-1-3
d) 5-3-4-2-1
e) 5-3-2-1-4
10. Assinale a opção onde “se” exerce a função de
índice de indeterminação do sujeito:
a) Gosta-se muito de doces por aqui.
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b) Comprou-se um novo prédio para a loja.
c) Emprestou-se o dinheiro ao professor.
d) Deixou-se sentar na soleira da porta.
e) As roupas, os varais, tudo isso se foi, levado pela
correnteza.
11. Em todas as orações abaixo, a palavra “se”
aparece como pronome reflexivo, exceto em:
a) Os namorados beijavam-se calorosamente.
b) Mãe e filha queriam-se muito.
c) Alimentou-se no restaurante.
d) Era-se feliz na fazenda.
e) Cortou-se a pobre menina nos arames farpados.
12. Indique as orações abaixo em que o "se" não
exerce função de partícula apassivadora.
a) Fez-se silêncio.
b) Vive-se feliz!
c) Procura-se funcionário com experiência.
d) Devem-se ler os apontamentos antes de questionar
o professor.
e) Consertam-se sapatos.
13. A alternativa correta segundo a norma culta é
a) Aqui, confiam-se em Papai Noel e em fadas.
b) Machucou-se as pernas e os braços.
c) Emprestaram-se os cadernos e os livros.
d) Emprestou-se os cadernos e os livros.
e) Condena-se os culpados?
Exercícios de Fixação/PRONOMES
1. Indique a frase em que a colocação pronominal
está incorreta.
a) Todos me darão razão quando isto chegar ao fim.
b) Dar-me-ão razão quando isto chegar ao fim.
c) Darão-me razão quando isto chegar ao fim.
d) Nunca me darão razão quando isto chegar ao fim.
2. Assinale a alternativa que contém as opções em
que o uso da próclise segue as regras da norma culta.
I. Solange me pediu um presente caro.
II. Solange nunca me pediu um presente caro.
III. Foi Solange quem me pediu um presente caro.
IV. Sua filha Solange me pediu um presente caro.
a) I e IV.
b) II e III.
c) I, II e III.
d) I, II, III e IV.
3. Assinale a alternativa correta quanto à colocação
do pronome.
a) Preciso vê-lo, me disse o rapaz.
b) Este é um trabalho que absorve-me muito.
c) Em tratando-se frutas, prefiro as cítricas.
d) Tudo se resolve com o tempo.
4. Complete os espaços da frase abaixo:
“Quem _____________ estragado que __________
de ______________________.”
a) o trouxe, encarregue-se, consertá-lo.
b) o trouxe, se encarregue, consertá-lo.
c) trouxe-o, se encarregue, o consertar.
d) trouxe-o, encarregue-se, consertá-lo.
5. Assinale a frase gramaticalmente correta.
a) Quando recebe-o em minha casa, fico feliz.
b) Por este processo, teriam-se obtido melhores
resultados.
c) Tudo fez-se como você mandou.
d) Em se tratando disto, podemos contar com ele.
6.Há um erro de colocação pronominal em:
a) Sempre a quis como namorada.
b) Os soldados não lhe obedeceram às ordens.
c) Todos me disseram o mesmo.
d) Recusei a ideia que apresentaram-me.
7. O oblíquo O coloca-se proclítico nos períodos
abaixo, exceto em:
a) Deus ___ livre ___ de um tropeço na prova!
b) Como ___ achou ___ ontem?
c) Não quis o rapaz aqui, ___ mandei ___ embora.
d) Talvez ___ encontre ___ na outra sala.
8. Assinale a alternativa que posiciona junto aos
verbos os pronomes oblíquos indicados em
parênteses:
"Não arrependo de nada. (me)"
a) Não arrependo-me de nada.
b) Não me arrependo de nada.
c) Não arrependo-me-do de nada.
d) Me não arrependo de nada.
9. Assinale a alternativa que posiciona junto aos
verbos os pronomes oblíquos indicados em
parênteses: "Hoje contaram vários segredos. (lhe)"
a) Hoje contaram-lhe vários segredos.
b) Hoje lhe contaram vários segredos.
c) Hoje contar-lhe-am vários segredos.
d) Hoje contar-lhe-am vários segredos.
10.Assinale a alternativa que posiciona junto aos
verbos os pronomes oblíquos indicados em
parênteses: "Contarei um grande segredo. (te)"
a) Contarei-te um grande segredo.
b) Te contarei um grande segredo.
17
EEAr
c) Contar-te-ei um grande segredo.
d) Conta-te-rei um grande segredo.
11. Assinale a alternativa que contém a colocação
pronominal de acordo com a norma culta.
a) Devo-lhe um grande favor.
b) Devo-o um grande
favor.
c) Lhe devo um grande favor.
d) Dever-lhe-am um grande favor.
12. Assinale a opção que apresenta o emprego
correto do pronome, de acordo com a norma culta:
a) Preciso falar consigo o mais rápido possível.
b) Cumprimentei-lhe assim que cheguei.
c) Ele só sabe elogiar a si mesmo.
d) Após a prova, os candidatos conversaram entre
eles.
13. Indique a estrutura verbal que contraria a norma
culta:
a) Ter-me-ão elogiado.
b) Teria-me lembrado.
c) Temo-nos esquecido.
d) Tenho-me alegrado.
14.Numa das frases, está usado indevidamente um
pronome de tratamento. Assinale-a:
a) Sua Excelência, o Senhor Ministro, não
compareceu à reunião.
b) Senhor Deputado, peço a Vossa Excelência que
conclua a sua oração.
c) Sua Eminência, o Papa Paulo VI, assistiu à
solenidade.
d) Procurei o chefe da repartição, mas Sua Senhoria
se recusou a ouvir as minhas explicações.
15."Se é para ....... dizer o que penso, creio que a
escolha se dará entre ....... ."
a) mim, eu e tu
b) eu, mim e ti
c) eu, mim e tu
d) eu, eu e ti
16. Assinale o item em que há erro quanto ao
emprego dos pronomes se, si ou consigo:
a) Feriu-se quando brincava com o revólver e o
virou para si.
b) Ele só cuidava de si.
c) Quando V. Sa vier, traga consigo a informação.
d) Espere um momento, pois tenho de falar consigo.
17. Assinale o mau emprego do pronome:
a) Entre eu e ela nada ficou acertado.
b) Estava falando com nós dois.
c) Aquela viagem, quem não a faria?
d) Viram-no mas não o chamaram.
18.Os técnicos .......... bem para os jogos, mas, ..........
contra nova derrota, pediam que treinasse mais.
a) o haviam preparado - se tentando precaver
b) haviam preparado-o - se tentando precaver
c) haviam-no preparado - se tentando precaver
d) haviam-no preparado - tentando precaver-se
19. Nas frases abaixo:
I.As crianças corriam, me pedindo dinheiro.
II.Dizia ele coisas engraçadas, coçando-se todo.
III.Ficarei no lugar onde encontro-me. Tem sombra.
IV.Quando me vi sozinho, tremi de medo.
A ênclise e a próclise foram corretamente
empregadas:
a) nas orações I e II
b) nas orações III e IV
c) nas orações I e III
d) nas orações II e IV
20.Assinale a alternativa em que a colocação
pronominal não corresponde ao que preceitua a
gramática:
a) Há muitas estrelas que nos atraem a atenção.
b) Jamais dar-te-ia tanta explicação, se não fosses
pessoa de tanto merecimento.
c) A este compete, em se tratando do corpo da
Pátria, revigorá-lo com o sangue do trabalho.
d) Não o realizaria, entretanto, se a árvore não se
mantivesse verde sob a neve.
21.Assinale a única alternativa em que haja erro no
emprego dos pronomes:
a) Vossa Excelência e seus convidados.
b) Vou estar consigo amanhã.
c) Vós e vossa família estais convidados para a
festa.
d) Deixei-o encarregado da turma.
22.Quando -------- as provas, ----------
imediatamente.
a) lhes entregarem – corrijam-as.
b) lhes entregarem – corrijam
c) entregarem-lhes – corrijam-as
d) entregarem-lhes – as corrijam
e) lhes entregarem – corrijam-nas
18
EEAr
CONCORDÂNCIA NOMINAL
PRINCIPAIS CASOS:
Quando o adjetivo se refere a vários
substantivos, a concordância pode variar.
a) Adjetivo anteposto aos substantivos:
- O adjetivo concorda em gênero e número com o
substantivo mais próximo.
“Encontrou caídas as roupas e os prendedores.”
- Caso os substantivos sejam nomes próprios ou de
parentesco, o adjetivo deve sempre concordar no
plural.
“As adoráveis Fernanda e Cláudia vieram me
visitar.”
b) Adjetivo posposto aos substantivos:
- O adjetivo concorda com o substantivo mais
próximo ou com todos eles (assumindo forma
masculino plural se houver substantivo feminino e
masculino).
“A indústria oferece estadia e salário perfeito.”
“A indústria oferece salário e estadia perfeita.”
“A indústria oferece salário e estadia perfeitos.”
Expressões formadas pelo verbo SER + adjetivo:
a) O adjetivo fica no masculino singular, se o
substantivo não for acompanhado de nenhum
modificador. “Água é bom para saúde.”
b) O adjetivo concorda com o substantivo, se este
for modificado por um artigo ou qualquer outro
determinativo. “Esta água é boa para saúde.”
Quando dois ou mais adjetivos se referem ao
mesmo substantivo determinado pelo artigo,
ocorrem dois tipos de construção:
“Estudo as línguas inglesa e francesa.” / “Estudo a
língua inglesa e a francesa.”
Adjetivo composto de adjetivo e adjetivo, o
primeiro elemento fica invariável:
“Curso de letras anglo-germânicas”
“Reuniões físico-químicas”
“Publicação jurídico-empresarial”
Substantivos
Acompanhados de numerais precedidos de artigo
vão para o singular ou plural:
Já li o primeiro e o segundo livro (ou livros).
O décimo primeiro e o décimo segundo andar (ou
andares).
Acompanhados de numerais em que o primeiro
vier precedido de artigo e o segundo não, vão para o
plural: Já li o primeiro e segundo livros. /O décimo
primeiro e décimo segundo andares.
Antes dos numerais, vão para o plural.
Já li os capítulos primeiro e o segundo do novo
livro.
Os andares décimo primeiro e o décimo segundo.
CASOS PARTICULARES
É PROIBIDO/É PERMITIDO/É BOM/É NECESSÁRIO/É PRECISO
a) formadas por um verbo mais um adjetivo, ficam
invariáveis se o substantivo a que se referem possuir
sentido genérico (não vier precedido de artigo).
“É proibido entrada de crianças.”
“Em certos momentos, é necessário atenção.”
“No verão, melancia é bom.”
b) quando vierem determinados por artigos,
pronomes ou adjetivos tanto o verbo como o
adjetivo concordam com ele.
“É proibida a entrada de crianças.”
“Esta salada é boa no verão.”
ANEXO/OBRIGADO/MESMO/PRÓPRIO/INCLUSO/QUITE
Concordam em gênero e número com o substantivo
ou pronome a que se referem.
“Seguem anexas as documentações requeridas.”
“Muito obrigadas, disseram as senhoras, nós
mesmas faremos isso.”
“Já lhe paguei o que estava devendo: estamos
quites.”
“Elas próprias fizeram as atividades docentes.”
BASTANTE - CARO - BARATO - LONGE
São invariáveis quando funcionam como advérbios.
Concordam com o nome a que se referem quando
funcionam como adjetivos, pronomes adjetivos ou
numerais.
“As jogadoras estavam bastante cansadas.”
(advérbio)
“Há bastantes pessoas insatisfeitas com o trabalho.”
(pronome adjetivo)
“Nunca pensei que o estudo fosse tão caro.”
(advérbio)
“As casas estão caras.” (adjetivo)
“Achei barato este casaco.” (advérbio)
“Hoje as frutas estão baratas.” (adjetivo)
“Vais ficando longe de mim como o sono, nas
alvoradas.” (advérbio)
“Levai-me a esses longes verdes, cavalos de vento!”
(adjetivo)
19
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MEIO/MEIA
a) Quando empregada como adjetivo, concorda
normalmente com o nome a que se refere.
“Pedi meia cerveja e meia porção de polentas.”
b) Quando empregada como advérbio (modificando
um adjetivo) permanece invariável. “A noiva está
meio nervosa.”
ALERTA - MENOS
Essas palavras são advérbios, portanto, permanecem
sempre invariáveis.
“Os escoteiros estão sempre alerta.”
“Carolina tem menos bonecas que sua amiga.”
UM E OUTRO
Substantivo no singular, verbo no singular ou plural:
“Um e outro aluno saiu” (ou saíram).
NEM UM NEM OUTRO
Substantivo e verbo no singular:
“Nem um nem outro aluno saiu.”
Acompanha a flexão do artigo.
POSSÍVEL (O MAIS…, O MENOS…)
“São questões o mais razoável possível.”
“São questões as mais razoáveis possíveis.”
TAL QUAL
Tal concorda com o antecedente, qual com o
consequente:
“Esses meninos são tais quais os pais.”
“Esses meninos são tais qual o pai.”
“Esse menino é tal quais os pais.”
“Esse menino é tal qual o pai.”
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. A frase em que a concordância nominal está
INCORRETA é:
a) As ferramentas que julgo necessárias para você
consertar
o motor, ei-Ias nesta caixa; deixo
anexa, para seu próprio controle, uma relação
delas.
b) É realmente louvável os esforços que vocês
empreenderam para nos ajudar, portanto,
qualquer que sejam os resultados, agradecemos
muito.
c) Questões político-econômicas envolvem amplo
debate, logo não considere inaceitáveis algumas
indefinições referentes a esses pontos.
d) Muitas pesquisas recentes tornaram superadas
algumas afirmações sobre a língua e a literatura
portuguesas.
e) Passadas cerca de duas semanas, foram
conhecidos os resultados do concurso que
premiou o artista mais destacado do carnaval e
de outras folias cariocas.
2. Elas _____ providenciaram os atestados, que
enviaram _____ às procurações, como
instrumentos _____ para os fins colimados.
a) mesmas, anexos, bastantes
b) mesmo, anexo, bastante
c) mesmas, anexo, bastante
d) mesmo, anexos, bastante
3. Marque a única frase onde a concordância
nominal aparece de maneira inadequada.
a) Obrigava sua corpulência a exercício e evolução
forçada.
b) Obrigava sua corpulência a exercício e evolução
forçadas.
c) Obrigava sua corpulência a forçado exercício e
evolução.
d) Obrigava sua corpulência a forçada evolução e
exercício.
4. "Água gaseificada às refeições é ________ para
a saúde, enquanto a água comum é ________ ."
a) mau - boa.
b) mau - bom
c) má - boa
d) má - bom
5. “Noites pesadas de cheiros e calores
amontoados…”
Aponte a opção em que, substituídos os substantivos
destacados acima, fica incorreta a concordância de
“amontoado”.
a) odores e brisas amontoadas
b) brisas e odores amontoadas
c) nuvens e brisas amontoadas
d) morros e nuvens amontoados
6. Em "Tenho PRESERVADOS os movimentos de
braços, mãos e dedos", o ajuste de flexões em
"preservados" se explica por:
a) concordância nominal com “braços”.
b) concordância verbal com “movimentos”.
c) concordância nominal com “movimentos”.
d) concordância verbal com todo o resto.
7. Assinale a alternativa que preenche de forma
adequada e correta as lacunas nas frases abaixo,
respectivamente.
I - Seguem _____ às cartas minhas poesias para
você.
II - Polvo e lula _____ serão servidos no jantar.
20
EEAr
III - Para a matrícula, é _____ a documentação
pedida.
a) anexa - frescos - necessária
b) anexas - fresca - necessária
c) anexos - frescos - necessários
d) anexas - frescas - necessária
8. Em todas as alternativas a concordância
nominal fez-se corretamente, exceto em:
a) Eu observava no velho guerreiro o destemor e a
força quase lendários.
b) Estavam emudecidos, para sempre, as almas, as
vozes e os risos dos homens.
c) Aquelas mesmas figuras pareceram a nós meio
estranhas.
d) O presidente quer o decreto o mais breve e
incisivo possíveis.
9. Assinale a alternativa em que, pluralizando-se a
frase, as palavras destacadas permanecem
invariáveis:
a) Este é o meio mais exato para você resolver o
problema: estude só.
b) Meia palavra, meio tom – índice de sua sensatez.
c) Estava só naquela ocasião; acreditei, pois em sua
meia promessa.
d) Só estudei o elementar, o que me deixa meio
apreensivo.
10. Não foi ________ a pesada suspensão que lhe
deram, porque você foi o que ________ falhas
apresentou; podiam ter pensado em outras
penalidades mais ________ ."
a) justo - menas - cabível
b) justa - menos - cabível
c) justa - menos - cabíveis
d) justo - menos – cabível
11. O caso de concordância nominal inaceitável
aparece em:
a) Nunca houve divergências entre mim e ti.
b) Recebeu o cravo e a rosa perfumado.
c) Tinha vãs esperanças e temores.
d) É necessário certeza.
12. Na frase:
“Analfabetismo, saneamento básico e pobreza
combinados explicam 62% da taxa de mortalidade
das crianças com até cinco anos no Brasil' (O
Estadão), o termo em negrito:
a) transgride as normas de concordância nominal.
b) concorda em gênero e número com o elemento
mais próximo.
c) poderia ser substituído pelo termo "combinadas".
d) concorda com todos os termos a que se refere,
prevalecendo o masculino plural.
13. Considerando a concordância nominal, assinale
a frase correta:
a) Ela mesmo confirmou a realização do encontro.
b) Foi muito criticado pelos jornais a reedição da
obra.
c) Muito obrigada, querido, falou‑me emocionada.
d) Anexo, remeto‑lhes nossas últimas fotografias.
14. Assinale as afirmativas verdadeiras e as
afirmativas falsas.
I. A senhora é servida um cafezinho? - Não,
muito obrigado - respondeu a cliente.
II. Meio irritadas, as donas de casa pediam
menos tolerância para com os remarcadores
de preços.
III. Há bastantes pessoas no Brasil que não estão
quites com o Fisco.
IV. O proprietário da fazenda não queria só a
cooperação dos amigos Silvestre e Nogueira.
V. Após conversarem longamente, Bentinho e
Capitu olharam-se afetivamente um para a
outra.
a) F - V - V - V – F
b) F – V – V – V – V
c) F - V - V – F – F
d) V – F – V – F – V
15. Marque a frase absolutamente inaceitável, do
ponto de vista da concordância nominal:
a) É necessária paciência.
b) Não é bonito ofendermos aos outros.
c) Não é permitido presença de estranhos.
d) Água de Melissa é ótimo para os nervos.
16. Assinale a alternativa em que "meio" funciona
como advérbio.
a) Fica no meio do quarto.
b) Quero meio quilo.
c) Está meio triste.
d) Achei o meio de encontrar-te.
17. Aponte a alternativa em que há erro:
a) Ante o perigo, os guardas se mantinham alertas.
b) Sua família tinha muito menos riquezas que a
nossa.
c) Há bastantes meses, falou-me de seu grande
amor.
d) Seus quadros eram os mais clássicos possíveis.
18. Observe a concordância:
1) Entrada proibida.
2) É proibido entrada.
21
EEAr
3) A entrada é proibida.
4) É proibida a entrada.
5) Para quem a entrada é proibido?
a) A número 5 está errada.
b) A 4 e a 5 estão erradas.
c) A 2 está errada.
d) Todas estão certas.
19. Assinale a alternativa que completa corretamente
os espaços:
“A entrada para o cinema foi ______, mas o filme e
o desenho______ compensaram, pois saímos
todos______.|”
a) caro – apresentado – alegre
b) cara – apresentado - alegres
c) caro – apresentados – alegres
d) cara – apresentados – alegres
CONCORDÂNCIA VERBAL
PRINCIPAIS CASOS
O verbo concorda gramaticalmente com o sujeito
ao qual se refere.
Se o sujeito for composto e estiver após o verbo, a
concordância poderá ser atrativa: “O aluno e a aluna
saíram. /Saiu, ou saíram, o aluno e a aluna.
Sujeito formado por uma expressão partitiva
(parte de, uma porção de, o grosso de, metade de, a
maioria de, a maior parte de, grande parte de...)
seguida de um substantivo ou pronome no plural, o
verbo pode ficar no singular ou no plural.
“A maioria das pessoas aprovou / aprovaram a ideia.”
“Metade dos candidatos não apresentou /
apresentaram nenhuma proposta.”
Sujeito formado por expressão que indica
quantidade aproximada
(cerca de, mais de, menos de, perto de...) seguida de
numeral e substantivo, o verbo concorda com o
substantivo. Observe:
“Cerca de mil pessoas participaram da
manifestação.”
“Perto de quinhentos alunos compareceram à
solenidade.”
“Mais de um atleta estabeleceu novo recorde nas
últimas Olimpíadas.”
Nomes que só existem no plural, a concordância
deve ser feita levando-se em conta a ausência ou
presença de artigo.
Sem artigo, o verbo deve ficar no singular. Quando
há artigo no plural, o verbo deve ficar o plural.
Exemplos:
“Os Estados Unidos possuem grandes
universidades.”
“Alagoas impressiona pela beleza das praias.”
“As Minas Gerais são inesquecíveis.”
Quando o sujeito é um pronome interrogativo ou
indefinido plural
(quais, quantos, alguns, poucos, muitos, quaisquer,
vários) seguido por "de nós" ou "de vós", o verbo
pode concordar com o primeiro pronome (na terceira
pessoa do plural) ou
com o pronome pessoal.
“Quais de nós são / somos capazes?”
“Alguns de vós sabiam / sabíeis do caso?”
Quando o sujeito é formado por uma expressão
que indica porcentagem seguida de substantivo
O verbo deve concordar com o substantivo.
“25% do orçamento do país deve destinar-se à
Educação.”
“85% dos entrevistados não aprovam a administração
do prefeito.”
“1% do eleitorado aceita a mudança.”
“1% dos alunos faltaram à prova.”
Quando a expressão que indica porcentagem não é
seguida de substantivo, o verbo deve concordar com
o número.
“25% querem a mudança.”/“1% conhece o assunto.”
Quando o sujeito é o pronome relativo "quem"
Pode-se utilizar o verbo na terceira pessoa do
singular ou em concordância com o antecedente do
pronome.
“Fui eu quem pagou a conta. / Fui eu quem paguei a
conta.”
“Fomos nós quem pintou o muro. / Fomos nós quem
pintamos o muro.”
Quando o sujeito é um pronome de tratamento
O verbo fica na 3ª pessoa do singular ou plural.
“Vossa Excelência é diabético?”
“Vossas Excelências vão renunciar?”
Verbos bater, dar e soar
Concordam com o numeral
“Deu uma hora no relógio da sala.”
“Deram cinco horas no relógio da sala.”
22
EEAr
Caso o sujeito da oração seja a palavra relógio, sino,
torre, etc., o verbo concordará com esse sujeito. “O
relógio da praça matriz dá nove horas.”
Verbos impessoais
Por não se referirem a nenhum sujeito, são usados
sempre na 3ª pessoa do singular. São verbos
impessoais:
Haver no sentido de existir;
Fazer indicando tempo;
Aqueles que indicam fenômenos da natureza.
“Havia muitas garotas na festa.”
“Faz dois meses que não vejo meu pai.”
“Chovia ontem à tarde.”
CASOS PARTICULARES
A palavra “SE”
Dentre as diversas funções exercidas pelo "se", há
duas de particular interesse para a concordância
verbal:
a) quando é índice de indeterminação do sujeito;
b) quando é partícula apassivadora.
Quando índice de indeterminação do sujeito, o "se"
acompanha os verbos intransitivos, transitivos
indiretos e de ligação, que obrigatoriamente são
conjugados na terceira pessoa do singular.
“Precisa-se de governantes interessados em civilizar
o país.”
“Confia-se em teses absurdas.”
“Era-se mais feliz no passado.”
Quando pronome apassivador, o "se" acompanha
verbos transitivos diretos (VTD) e transitivos diretos
e indiretos (VTDI) na formação da voz passiva
sintética. Nesse caso, o verbo deve concordar com o
sujeito da oração.
“Construiu-se um posto de saúde.”
“Construíram-se novos postos de saúde.”
“Não se pouparam esforços para despoluir o rio.”
“Não se devem poupar esforços para despoluir o rio.”
O verbo “SER” na indicação de dia
1) No singular: concorda com a palavra explícita dia.
“ Hoje é dia quatro de março.”
2) No plural: concorda com o numeral, sem a palavra
explícita dia.
“ Hoje são quatro de março.”
3) No singular: concorda com a ideia implícita de dia.
“ Hoje é quatro de março.”
O verbo “SER” na indicação de hora e distância
Concorda com o numeral.
“É uma hora.”
“São três da manhã.”
“São quatorze quarteirões até lá”
O verbo “SER” quando o sujeito indicar peso,
medida, quantidade e for seguido de palavras ou
expressões como pouco, muito, menos de, mais
de, etc.
O verbo ser fica no singular.
“Cinco quilos de açúcar é mais do que preciso.”
“Três metros de tecido é pouco para fazer seu
vestido.”
“Duas semanas de férias é muito para mim.”
O verbo “SER” quando um dos elementos
(sujeito ou predicativo) for pronome pessoal do
caso reto
O verbo concorda com o pronome
“Aqui os adultos somos nós.”
Sendo ambos os termos (sujeito e predicativo)
representados por pronomes pessoais, o verbo
concorda com o pronome sujeito.
“Eu não sou ela.”
“Ela não é eu.”
Verbo no infinitivo dependente de gerúndio
O verbo não se flexiona, mantendo sua forma
nominal.
“Já foi marcado o local, devendo as provas ser
realizadas nos próximos dias?”
“é muito”, “é pouco”, “é bastante”
O verbo fica invariável.
“Vinte copos de cerveja é muito.”
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1- Já ______ anos, ______ neste local árvores e
flores. Hoje, só ________ ervas daninhas.
a) fazem, havia, existe
b) fazem, havia, existe
c) faz, havia, existem
d) faz, havia, existe
2- Tendo em vista as regras de concordância, assinale
a opção em que a forma verbal está errada:
a) Existem na atualidade diferentes tipos de
inseticidas prejudiciais à saúde do homem.
b) Podem provocar sérias lesões hepáticas, os
defensivos agrícolas à base de DDT.
23
EEAr
c) Faltam aos países subdesenvolvidos uma
legislação mais rigorosa sobre os agrotóxicos.
d) Persistem por muito tempo no meio ambiente os
efeitos nocivos dos inseticidas clorados.
3- Assinale a alternativa que completa corretamente
as frases.
“___ , entre analistas políticos, que, se o governo ___
essa política salarial e se o empresariado não ___ as
perdas salariais ___ sérios problemas estruturais a
serem resolvidos, e, quando os sindicatos ___ , estará
instalado o caos total.”
a) Comentam-se; manter; repor; haverão;
intervierem.
b) Comenta-se; mantiver; repor; haverão;
intervirem.
c) Comenta-se; mantesse; repuser; haverão;
intervierem.
d) Comenta-se; mantiver; repuser; haverá;
intervierem
4 - “A ocorrência de interferências ___ -nos a
concluir que ___ uma relação profunda entre homem
e sociedade que os ___ mutuamente dependentes.”
a) leva, existe, torna
b) levam, existe, tornam
c) levam, existem, torna
d) leva, existem, tornam
5- Indique a alternativa correta:
a) Tratavam-se de questões fundamentais.
b) Comprou-se terrenos no subúrbio.
c) Precisam-se de datilógrafas.
d) Reformam-se ternos.
6 - As formas que completariam o período abaixo.
“Pagando parte de suas dívidas anteriores, o
comerciante ___ novamente seu armazém, sem que
se ___ com seus credores, para os quais voltou a
merecer confiança”
a) proveu, indispusesse
b) proviu, indispuzesse
c) proveio, indispuzesse
d) proveio, indispusesse
7- Asseguro a V.Sra. que não ___ incomodar ___
com a elaboração dos testes; ___ ficar tranquilo.
a) precisa, se, pode
b) precisa, se, podes
c) precisas, te, podes
d) precisais, vos, podeis
8- Considere as seguintes formas verbais:
1. havia recebido
2. tinha recebido
3. estava recebendo
4. iria estar recebendo
Na frase “Todas as notícias daquele dia foram
redigidas a partir dos documentos que a direção do
jornal recebera do ministério público”, a forma
verbal destacada pode ser substituída, mantendo-se a
relação de sentido temporal e sem prejuízo à
obediência à língua culta, por:
a) 1, 2 e 3 apenas
b) 3 e 4 apenas
c) 1 e 4 apenas
d) 1 e 2 apenas
9- Leia: “Disse que competência não era uma coisa
tão relativa assim, que seriam as mesmas, para ele e
para mim, as expectativas sobre a competência que
deveria trazer consigo o cirurgião”. Se
substituíssemos “expectativas” por “expectativa”,
quantas outras palavras precisariam
obrigatoriamente de ajuste para fins de
concordância?
a) uma
b) duas
c) três
d) quatro
10- Tendo em vista as regras de concordância,
assinale a única opção em que a forma entre
parênteses completa corretamente a lacuna da frase.
a) É indispensável que se ___ entre pesquisas
científicas e aspirações da comunidade uma
estreita vinculação. (mantenham)
b) A força de certos mecanismos ___ com que as
pesquisas nos países pobres girem em torno de
interesses dos países ricos. (fazem)
c) ___ combinar-se engenho e habilidades dos
homens para a resolução dos problemas
específicos da comunidade. (devem)
d) É preciso que tanto o desenvolvimento científico
quanto o tecnológico ___ primeiramente em
conta o fator cultural. (leve)
11- Identifique a alternativa que completa
corretamente a frase:
“Ele confirmou que nos ouvirá
com prazer, mesmo que ___ problemas que ___
considerados ___ .”
a) surja, sejam, incontornáveis
b) surjam, sejam, incontornáveis
c) surja, seja, incontornável
d) surjam, seja, incontornável
24
EEAr
12- Em que item há um erro de concordância verbal:
a) Esta pessoa foi uma das que mais discutiu o caso.
b) Eu com o meu amigo Paulo entramos na
sociedade.
c) Fazem dois meses que o visitei.
d) Fui eu quem apresentei esta solução.
13- Qual a alternativa em que as formas dos verbos
bater, consertar e haver nas frases abaixo, são usadas
na concordância correta?
- As aulas começam quando ___ oito horas.
- Nessa loja ___ relógios de parede.
- Ontem ___ ótimos programas na televisão.
a) batem, consertam-se, houve
b) bate, consertam-se, havia
c) batiam, conserta-se-ão, haverá
d) batem, consertarei, haviam
14- Opção correta:
a) Hão de ser corrigidos os erros.
b) Hão de serem corrigidos os erros.
c) Há de ser corrigidos os erros.
d) Há de serem corrigidos os erros.
15- Não há erro de concordância nesta alternativa:
a) Alugam-se apartamentos com grande dificuldade
por aqui.
b) Ainda faltam resolver algumas questões de
gramática.
c) Aconteceu, depois que o conheci, muitas
alegrias.
d) Era onze horas da noite quando concluímos a
matéria.
16- Marque a alternativa em que a concordância
verbal contraria a norma culta:
a) Ouviram‑se as notícias mais desencontradas.
b) Trata‑se de questões muito sérias.
c) Faziam anos que o país não escolhia
democraticamente o presidente.
d) Deveriam existir situações menos
constrangedoras.
17- Assinale a opção em que há concordância
inadequada:
a) A maioria dos estudiosos acha difícil uma
solução para o problema.
b) Deve haver bons motivos para a sua recusa.
c) De casa à escola é três quilômetros.
d) Nem uma nem outra questão é difícil.
18- As normas de concordância verbal estão
plenamente respeitadas na frase:
a) Não se imputem aos adolescentes de hoje a
exclusiva responsabilidade pelo fato, lastimável,
de aspirarem a tão pouco.
b) A presença maciça, em nossas telas, de tantas
ficções, não nos devem fazer crer que sejamos
capazes de sonhar mais do que as gerações
passadas.
c) Se aos jovens de hoje coubesse sonhar no ritmo
das ficções projetadas em nossas telas, múltiplos
e ágeis devaneios se processariam.
d) Ficaram como versões melhoradas da nossa vida
acomodada de hoje o vestígio dos nossos sonhos
de ontem.
REGÊNCIA VERBAL - um termo depende
gramaticalmente de outro para que sua significação
se complete.
CHEGAR/ IR – deve ser introduzido pela
preposição “a” e não pela preposição “em”.
Vou ao dentista.
Cheguei a Belo Horizonte.
MORAR/ RESIDIR – normalmente vêm
introduzidos pela preposição “em”.
Ele mora em São Paulo.
Maria reside em Santa Catarina.
NAMORAR – não se usa com preposição.
Joana namora Antônio.
OBEDECER/DESOBEDECER – exigem a
preposição “a”.
As crianças obedecem aos pais.
O aluno desobedeceu ao professor.
SIMPATIZAR/ ANTIPATIZAR – exigem a
preposição “com”.
Simpatizo com Lúcio.
Antipatizo com meu professor de História.
Dica:
Esses verbos não são pronominais, portanto,
determinadas construções são consideradas erradas
quando tais verbos aparecem acompanhados de
pronome oblíquo.
ERRADO: Simpatizo-me com Lúcio.
PREFERIR - este verbo exige dois complementos,
sendo que um é usado sem preposição, e o outro
com a preposição “a”.
Prefiro dançar a fazer ginástica.
Dica:
25
EEAr
Segundo a linguagem formal, é errado usar esse
verbo reforçado pelas expressões ou palavras:
antes, mais, muito mais, mil vezes mais, etc.
ERRADO: Prefiro mil vezes dançar a fazer
ginástica.
Verbos que apresentam mais de uma regência:
ASPIRAR
a - no sentido de cheirar, sorver: usa-se sem
preposição.
Aspirou o ar puro da manhã.
b - no sentido de almejar, pretender: exige a
preposição “a”.Esta era a vida a que aspirava.
ASSISTIR
a - no sentido de prestar assistência, ajudar,
socorrer: usa-se sem preposição.
O técnico assistia os jogadores novatos.
b - no sentido de ver, presenciar: exige a preposição
“a”.
Não assistimos ao show.
c - no sentido de caber, pertencer: exige a
preposição “a”.
Assiste ao homem tal direito.
d) no sentido de morar, residir: é intransitivo e exige
a preposição “em”.
Assistiu em Maceió por muito tempo.
ESQUECER/LEMBRAR
a - Quando não forem pronominais: são usados sem
preposição.
Esqueci o nome dela.
b - Quando forem pronominais: são regidos pela
preposição “de”.
Lembrei-me do nome dela.
VISAR
a - no sentido de mirar: usa-se sem preposição.
Disparou o tiro visando o alvo.
b - no sentido de dar visto: usa-se sem preposição.
Visaram os documentos.
c - no sentido de ter em vista, objetivar: é regido
pela preposição “a”.
Viso a uma situação melhor.
QUERER
a - no sentido de desejar: usa-se sem preposição.
Quero viajar hoje.
b - no sentido de estimar, ter afeto: usa-se com a
preposição “a”.
Quero muito aos meus amigos.
PROCEDER
a - no sentido de ter fundamento: usa-se sem
preposição.
Suas queixas não procedem.
b - no sentido de originar-se, vir de algum lugar:
exige a preposição “de”.
Muitos males da humanidade procedem da falta de
respeito ao próximo.
c - no sentido de dar início, executar: usa-se a
preposição “a”.
Os detetives procederam a uma investigação
criteriosa.
PAGAR/PERDOAR
a - se tem por complemento uma palavra que denote
algo: não exige preposição.
Ela pagou a conta do restaurante.
b - se tem por complemento uma palavra que denote
pessoa: é regido pela preposição “a”.
Perdoou a todos.
INFORMAR
No sentido de comunicar, avisar, dar informação:
admite duas construções:
1 - objeto direto de pessoa e indireto de coisa
(regido pelas preposições “de” ou “sobre”).
Informou todos do ocorrido.
2 - objeto indireto de pessoa (regido pela preposição
“a”) e direto de coisa.
Informou a todos o ocorrido.
IMPLICAR
a - no sentido de causar, acarretar: usa-se sem
preposição.
Esta decisão implicará sérias consequências.
b - no sentido de envolver, comprometer: usa-se
com dois complementos, um direto e um indireto
com a preposição “em”.
Implicou o negociante no crime.
c - no sentido de antipatizar: é regido pela
preposição “com”.
Implica com ela todo o tempo.
26
EEAr
CUSTAR
a - no sentido de ser custoso, ser difícil: é regido
pela preposição “a”.
Custou ao aluno entender o problema.
b - no sentido de acarretar, exigir, obter por meio
de: usa-se sem preposição.
O carro custou-me todas as economias.
c - no sentido de ter valor de, ter o preço: usa-se
sem preposição.
Imóveis custam caro.
ATENDER
Embora haja dupla possibilidade de regência, há uma
preferência para o uso de uma regência sem
preposição quando é feita uma referência a alguém e
o uso de uma regência com preposição quando é feita
uma referência a alguma coisa.
Atender alguém:
Atender o cliente;
Atender o paciente;
Atender a freguesa.
Atender a alguma coisa:
Atender ao telefone;
Atender ao apelo;
Atender às necessidades.
VERBOS APRESENTAM DIFICULDADE
Não exigem preposição:
prezar, estimar, acatar, respeitar, amar;
cumprimentar, felicitar, convidar; almejar, usufruir,
desejar.
Exigem a preposição DE:
gostar, desgostar, abster-se; carecer, precisar,
necessitar, prescindir.
Exigem preposição A:
obedecer, resistir, proceder, suceder; aludir, anuir,
referir-se.
Exigem um dos seus termos regido de preposição
A:
preferir, aconselhar, ensinar, permitir.
Exigem um dos seus termos regido de preposição A
ou DE: avisar, certificar, cientificar, impedir,
proibir, incumbir, informar.
VERBOS QUE ADMITEM VÁRIAS REGÊNCIAS
Perdoar o erro da menina. (TD)
Perdoar à menina. (TI)
Perdoar o erro à menina. (TD/TI)
Pagar o meu débito. (TD)
Pagar ao banco. (TI)/
Pagar o meu débito ao banco. (TD/TI)
Responder a verdade. (TD)
Responder ao telegrama. (TI)
Responder não à pergunta. (TD/TI)
VERBOS QUE MUDAM DE SENTIDO,
CONFORME A REGÊNCIA
Querer este carro. (desejar)
Querer a esta menina. (prezar)
Servir os convidados. (atender)
Servir aos jovens. (ser útil)
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Assinale a alternativa em que a regência verbal
está de acordo com a norma culta.
a) As crianças, obviamente, preferem mais os doces
do que os legumes e verduras.
b) Assista uma TV de LCD pelo preço de uma de
projeção e leve junto um Home Theater!
c) O jóquei Nélson de Sousa foi para Inglaterra
visando títulos e euros.
d) Construir impérios a partir do nada implica
inovação e paixão pelo risco.
2. Assinale a alternativa em que haja erro de regência
verbal:
a) Deu-lhe um belo presente de aniversário.
b) Levei-o para o médico esta manhã.
c) Fui no cinema ontem.
d) O lenço caiu no chão.
3. Assinale a frase onde a regência do verbo assistir está
errada.
a) Assistimos um belo espetáculo de dança a semana
passada.
b) Não assisti à missa.
c) Os médicos assistiram os doentes durante a
epidemia.
d) O técnico assistiu os jogadores.
4. Assinale a alternativa que contém as respostas
certas:
I - Visando apenas os seus próprios interesses, ele,
involuntariamente, prejudicou toda uma família.
II - Como era orgulhoso, preferiu declarar falida a
firma a aceitar qualquer ajuda do sogro.
27
EEAr
III - Desde criança sempre aspirava a uma posição de
destaque, embora fosse tão humilde.
IV - Aspirando o perfume das centenas de flores que
enfeitavam a sala, desmaiou.
a) II - III - IV
b) I - II - III
c) I - III - IV
d) I - III
5. Assinale a alternativa que preencha corretamente os
espaços.
Posso informar ______ senhores ______ ninguém,
na reunião, preferiu o item A ____ o item B.
a) aos – de que – que
b) aos – de que – do que
c) os – que – que
d) os – de que – a
6. A frase em que a relação entre os verbos e seu
complemento está corretamente expressa é:
a) Ela comete e depois se arrepende dos desatinos.
b) Aprovo sua proposta, mas não concordo
inteiramente.
c) Ele não se esqueceu nem perdoou a ofensa.
d) Presenciamos e deploramos a reação do atleta.
7. O período "Verdade é que se lembrava de que D.
Maria podia com muito justa razão ..." apresenta
regência verbal que obedece ao padrão culto da
língua.
Escolha, entre as alternativas a seguir, aquela que,
também, é aceita pelo padrão culto da língua.
a) Verdade é que lembrava de que D. Maria podia
com muito justa razão...
b) Verdade é que lembrava que D. Maria podia com
muito justa razão...
c) Verdade é que lhe lembrava de que D. Maria
podia com muito justa razão...
d) Verdade é que o lembrava que D. Maria podia
com muito justa razão...
8. A frase que não apresenta problema(s) de
regência, levando em consideração a língua
escrita, é:
a) Preferiu sair antes do que ficar até o fim da peça.
b) O cargo a que todos visavam já foi preenchido.
c) Lembrou de que precisava voltar ao trabalho.
d) As informações que dispomos não são
suficientes para esclarecer o caso.
9. Não ocorre erro de regência em:
a) A equipe aspirava o primeiro lugar.
b) Obedeça aos mais experientes.
c) Deu a luz a vizinha a três crianças sadias.
d) O verdadeiro amor sucede frequentes contatos.
10. Assinale a frase em que há erro de regência
verbal.
a) O desmatamento implica destruição e fome.
b) Chegamos na cidade antes do anoitecer.
c) Jonas reside na Rua das Marrecas.
d) Avisei-o de que devia partir.
11. Assinale a única alternativa incorreta quanto à
regência:
a) Perdoou nosso atraso no imposto.
b) Lembrou ao amigo que já era tarde.
c) Meu amigo perdoou ao pai.
d) Lembrou de todos os momentos felizes.
12. Assinale a alternativa incorreta.
a) Os professores visam ao entendimento dos
alunos.
b) O fiscal visou os documentos.
c) Visamos a um futuro mais feliz.
d) Os desempregados visam melhores condições de
vida.
13. "porque implica em cobrar o tempo" / porque
implica cobrar o tempo. A construção do verbo
implicar com a preposição em resulta,
provavelmente, de um cruzamento sintático com
verbo sinônimo (importar), sendo considerada
errônea por alguns gramáticos. A alternativa em
que há erro de regência na segunda sentença é:
a) Preferimos pagar juros a ficar sem o produto. /
Preferimos pagar juros do que ficar sem o
produto.
b) Esquecemos facilmente o belo arrazoado
aquiniano. / Esquecemo-nos facilmente do belo
arrazoado aquiniano.
c) Queremos informar-lhes que nossos juros são
baixos. / Queremos informá-los de que nossos
juros são baixos.
d) Se cobrar juros é pecado, chamamos de
pecadores todos os banqueiros... / Se cobrar juros
é pecado, chamamos pecadores a todos os
banqueiros.
14. Observe a regência verbal e assinale a opção
falsa:
a) Avisaram-no que chegaríamos logo.
b) Informei-lhe a nota obtida.
c) Há bastante tempo que assistimos em São Paulo.
d) Muita gordura não implica saúde.
28
EEAr
CRASE
Fenômeno linguístico caracterizado pela contração
de duas vogais iguais (a). Na língua portuguesa
moderna:
a (preposição)
+
a (artigo)
a (preposição)
+
a (pronome substantivo demonstrativo)
a (preposição)
+
a (inicial de aquele e flexões)
O emprego do acento da crase depende da regência
nominal ou verbal, e pode ser obrigatório (há as duas
vogais) | proibido (só há uma das vogais) |
facultativo (pode haver uma ou duas vogais).
CASOS ESPECIAIS
Hora - marcando o momento preciso:
“Chegarei à uma hora e não às duas.”
“Chegarei a uma hora qualquer. “
Na expressão “à moda de”, mesmo que a palavra
moda venha oculta:
“Usam sapatos à Luís XV.”
Nas expressões adverbiais femininas:
“Cheguei à tarde.” (tempo)
“Falou à vontade.” (modo)
Importante!
Diante do pronome possessivo, o acento da crase
pode ser:
o obrigatório: Vou às tuas fazendas.
o proibido: Vou a tuas fazendas.
o facultativo: Vou à ou a tua fazenda.
NUNCA OCORRE CRASE:
Diante de verbo: “Continuei a estudar.”
Diante de pronome demonstrativo:
“Refiro-me a esta aluna.”
Diante de pronome indefinido:
“Não obedeci a nenhuma lei.”
Diante de artigo indefinido:
“Aludi a uma prova difícil.”
Diante de palavra masculina: “Andou a cavalo”
Diante de terra = terra firme:
“Atracado o navio, fui a terra.”
Diante de casa = próprio lar:
“Vou a casa apanhar dinheiro.”
Entre palavras repetidas:
“Enfrentou cara a cara o inimigo.”
Diante de pronome de tratamento, exceto: Dona,
Senhora, Madame:
“Dei o livro a V. Exa. e não à Sra.”
Quando um a singular preceder um nome plural:
“Não falo a pessoas estranhas. “
Mas: “Não falo às pessoas estranhas.”
OBS.: diante de nomes de lugares.
“Vou a São Paulo.” (Venho de São Paulo)
“Vou à Bahia.” (Venho da Bahia)
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1. Opção que preenche corretamente as lacunas: O
gerente dirigiu-se ___ sua sala e pôs-se ___ falar ___
todas as pessoas convocadas.
a) à - à - à
b) a - à - à
c) à - a - a
d) a - a - à
e) à - a – à
2. Assinale a alternativa que preenche corretamente
as lacunas do texto ao lado: "Recorreu ___ irmã e ___
ela se apegou como ___ uma tábua de salvação."
a) à - à - a
b) à - a - à
c) a - a - a
d) à - à - à
e) à - a – a
3. Assinale a frase em que à ou às está mal
empregado.
a) Amores à vista.
b) Referi-me às sem-razões do amor.
c) Desobedeci às limitações sentimentais.
d) Estava meu coração à mercê das paixões.
e) Submeteram o amor à provações difíceis.
4. Assinalar a alternativa que preenche corretamente
as lacunas das
seguintes orações:
I. Precisa falar ___ cerca de três mil operários.
II. Daqui ___ alguns anos tudo estará mudado.
III. ___ dias está desaparecido.
29
EEAr
IV. Vindos de locais distantes, todos chegaram ___
tempo ___ reunião.
a) a - a - há - a - à
b) à - a - a - há - a
c) a - à - a - a - há
d) há - a - à - a - a
e) a - há - a - à – a.
5. Assinale a alternativa em que está correto o uso do
acento indicativo de crase:
a) O autor se comparou à alguém que tem boa
memória.
b) Ele se referiu às pessoas de boa memória.
c) As pessoas aludem à uma causa específica.
d) Ele passou a ser entendido à partir de suas
reflexões sobre a memória.
e) Os livros foram entregues à ele.
6. A alternativa em que o sinal indicativo de crase
não procede é:
a) À exceção da Bandeirantes, as outras emissoras de
televisão detêm a ampla liderança com percentuais
fabulosos.
b) Está presente a cineasta das cidades brasileiras à
quem a porcentagem de 7% surpreendeu.
c) Os dados da pesquisa referem-se às cenas,
certamente sem paralelo, em qualquer outro lugar no
mundo.
d) Cresce, às escondidas, o número de cidades
recebendo imagens de televisão, ameaçadoras dos
valores ético-culturais.
e) Voltei às aulas com boa memória.
7. Refiro-me ___ atitudes de adultos que, na verdade,
levam as moças ___ rebeldia insensata e ___ uma
fuga insensata.
a) às - à - à
b) as - à - à
c) às - à - a
d) à - a - a
e) à - a - à
8. Assinale a opção incorreta com relação ao
emprego do acento indicativo de crase:
a) O pesquisador deu maior atenção à cidade menos
privilegiada.
b) Este resultado estatístico poderia pertencer à
qualquer população carente.
c) Mesmo atrasado, o recenseador compareceu à
entrevista.
d) A verba aprovada destina-se somente àquela
cidade sertaneja.
e) Veranópolis soube unir a atividade à
prosperidade.
9. Dadas as afirmações:
1- Tudo correu as mil maravilhas.
2 – Caminhamos rente a parede.
3 – Ele jamais foi a festas.
Verificamos que o uso do acento indicador da crase
no a é obrigatório:
a) apenas na sentença 1.
b) apenas na sentença 2.
c) apenas nas sentenças 1 e 2.
d) em todas as sentenças.
10. Assinale a alternativa onde o sinal indicativo da
crase foi usado inadequadamente:
a) Prefiro esta bolsa àquela.
b) Isto é prejudicial à saúde.
c) Escrevia à Machado de Assis.
d) Ele referiu-se à Fabiana, não a mim.
e) As lágrimas caíam uma à uma de seus olhos.
11. O uso do acento grave (indicativo de crase ou
não) está incorreto em:
a) Primeiro vou à feira, depois é que vou trabalhar.
b) Às vezes não podemos fazer o que nos foi
ordenado.
c) Não devemos fazer referências àqueles casos.
d) Sairemos às cinco da manhã.
e) Isto não seria útil à ela.
12. Marque a alternativa que contenha o uso
incorreto do acento grave no indicativo de horas:
a) Às dez da manhã tenho exame marcado.
b) Às sete horas começamos a trabalhar.
c) Das cinco às sete horas o trânsito fica
impraticável.
d) A festa começa às 22h.
e) A entrevista foi marcada para às 14h.
GABARITO
30
EEAr
ADVÉRBIOS E LOCUÇÕES ADVERBIAIS
O que é um advérbio?
Os advérbios adicionam informações sobre um
verbo (1), um adjetivo (2), um outro advérbio (3), um
particípio (4) ou uma oração completa (5). Podemos
dizer que eles descrevem ou modificam (limitam o
significado de) essas palavras.
Quando aqui nos referirmos a advérbios,
estaremos tratando tanto dos advérbios simples, que
são formados por uma só palavra, como here,
sometimes, quanto das locuções adverbiais
(Adverbial Phrases), como in this room, once every
month, etc.
(1) Jane drives carefully.
- How does Jane drive? Carefully.
Their children never go out.
- When do their children go out? Never.
We will sleep here until we find a safer place.
- Where are we going to sleep? Here.
Quando modificam o verbo, os advérbios servem
como reposta a três perguntas: How? ,When?e
Where?.
(2) Jane is especially carefull in fog.
- How careful is Jane in fog? Especially.
My extremely ugly dog likes very old bones.
- How ugly is my dog? Extremely. How old are the
bones? Very.
Quando modificam o adjetivo, os advérbios servem
como resposta à pergunta How?.
(3) Jane doesn’t drive particularly slowly.
- How slowly doesn’t Jane drive? Particularly.
Machado de Assis is a very well known brazilian
writer.
- How well is he known? Very.
Quando modificam outro advérbio, os advérbios
servem como resposta a pergunta How?
(4) What is more, Jane is always so well prepared to
a trip, too.
Nesta oração, prepared é o particípio do verbo to
prepare, que está sendo modificado pelo advérbio
well.
The meeting was badly organised.
Organised é particípio do verbo to organise (British)
/ to organize (American), sendo modificado pelo
advérbio badly.
(5) Obviously, I can’t know everything.
Strangely, the man left the room.
Os advérbios obviously e strangely estão
modificando o sentido geral da oração a que se
referem, e, na maior parte das vezes, expressam a
opinião de quem as emite. Observe que as duas
orações acima poderiam ser reescritas, ficando assim:
It’s obvious that I can’t know everything.
- A obviedade é uma opinião da pessoa que falou (o
emissor/locutor), mas, para outras pessoas, talvez a
impossibilidade de saber tudo não fosse tão óbvia
assim.
It’s strange that the man had left the room.
- Para outras pessoas, no entanto, talvez a saída do
homem possa ter parecido bem normal. Portanto, há
uma opinião expressa quando o advérbio está
modificando a oração inteira. Esses advérbios são
chamados de Comment/viewpoint Adverbs.
Alguns advérbios podem, não raro, aparecer como
modificadores de outras partes da oração:
a) de um substantivo:
Only Stacie achieved a good score in the card game.
- Stacie = substantivo, sendo modificado por only.
Our neighbour downstairs is Mexican.
- neighbour = substantivo, sendo modificado por
downstairs.
b) de uma locução prepositiva:
She arrived just in the nick of time.
- “in the nick of time” = locução prepositiva,
modificada por just.
The scarecrow was placed right in the middle of the
corn field.
- “in the middle of the corn field” = locução
prepositiva, modificada por right.
c) de um determinante (numeral ou pronome):
In Brazil, the new transit law has already decreased
over fifty deaths a day.
- fifty = numeral, sendo modificado por over.
Nearly everyone came for my birthday party.
- everyone = pronome, sendo modificado por nearly.
Língua Inglesaí
31
EEAr
A Formação dos Advérbios
Como podemos observar nos primeiros exemplos, os
advérbios são derivados de adjetivos ou possuem a
mesma forma do adjetivo. Nesse último caso, ocorre
um interessante fenômeno, semelhante ao que ocorre
no português, quando dizemos:
Vanessa é uma moça bonita. (Bonita = adjetivo
relacionado ao substantivo moça)
Vanessa canta bonito. (Aqui, o bonito é um adjetivo
exercendo a função de advérbio, já que está se
referindo ao verbo cantar, ao modo como Vanessa
canta. Bonito, neste caso, é um advérbio.)
Quando são derivados de adjetivos, os advérbios são,
na maioria dos casos, formados pelo acréscimo do
sufixo -ly (-mente, em português) a um adjetivo. Este
acréscimo ocorre principalmente com os advérbios
que indicam o MODO como certo fato aconteceu;
contudo, os advérbios que indicam frequência
(usually, rarely) e intensidade (only, fairly) podem,
da mesma forma, ser formados por este mesmo
processo. Observe os exemplos:
Adjective +ly = advérbio resultante
careful carefully
especial especially
extreme extremely
particular particularly
slow slowly
obvious obviously
strange strangely
Alguns advérbios são iguais ao adjetivo
correspondente ou possuem
tanto a forma de adjetivo
como a de advérbio com a função de advérbio:
(1) early - adiantado (adj.) ou cedo (adv.);
fast - rápido (adj.) ou rapidamente (adv.)
(2) quick ou quickly: Come as quick as you can! /
Come as quickly as you can!
Bad ou badly: He wants the academic job so bad. /
He wants the academic job so badly.
Easy ou easily: His success came too easy. / His
success came too easily.
Loud ou loudly: Do you really have to hear the
musicso loud? / Do you really have to hear the music
so loudly?
Como você pôde observar anteriormente, o advérbio
não é sempre formado pelo simples acréscimo de -ly
aofinal do adjetivo. Veja as demais regrinhas de
formação:
a. Os adjetivos terminados em y trocam o y por i
antes de receberem o sufixo -ly:
Easy - easily
Heavy - heavily
Lazy - lazily
Happy - happily
b. Os adjetivos terminados em le trocam o le por
ly:
Probable - probably
Simple - simply
Whole - wholly
Horrible - horribly
Subtle - subtly
c. Os adjetivos terminados em e (sem l antes do e)
mantêm este e, e acrescentam ly; com a exceção
de true e due:
Brave - bravely
Immediate - immediately
Exceções:
True - truly
Due – duly
d. Os adjetivos terminados em ic acrescentam ally
após o ic:
Tragic - tragically
Specific - specifically
Romantic - romantically
Automatic - automatically
e. Caso o adjetivo já termine em -ly, nada se
acrescenta a ele para a formação do advérbio:
Justine is tired of her daily routine. - Daily = adjetivo
Bob’s column is published daily. - Daily = advérbio
Adjetivo ou Advérbio? - Adjective or Adverb?
Problema: Identificar os advérbios em inglês pode ser
um tanto quanto tricky, isto é, eles nos enganam
bastante pelo modo como se apresentam. Você já
deve ter percebido que grande quantidade deles acaba
em -ly, mas, muito cuidado! Não são todos que
32
EEAr
acabam em -ly, e nem toda palavra que termina em -
ly é advérbio.
TIPS! Dicas para identificar os advérbios:
1) Muitos deles têm a mesma forma tanto para o
adjetivo quanto para o advérbio. Entre os advérbios
que têm a mesma forma do adjetivo, além dos que
citamos anteriormente, vale a pena ressaltar mais
alguns. Os advérbios do quadro abaixo também
admitem o acréscimo de ly, mas com alguma
alteração de sentido:
Adjetivo Advérbio Advébio +ly
Close He is a
close friend
of mine.
Come close,
I need to tell
you
something.
The boxer
watched his
oponent
closely.
Hard John is a
hard
worker.
John works
hard.
I can hardly
wait.
High Miles likes
to climb
high
mountains.
The Bird
flew very
high.
Dr Gomez is a
highly
respected
surgeon.
Late A late
applicant
student
came into
the room.
I usually get
up late in
Sunday
mornings.
Have you
seen Ed
lately?
Right I hope
we’re
doing the
right thing.
We
answered the
question
right.
He was proud
of his new
house, and
rightly so.
Hardly ever significa quase nunca: We hardly ever
go to the theater. E hardly anyone significa quase
ninguém: The test was so difficult that hardly
anyone passed.
2) Atenção! Nem todas as palavras terminadas em -ly
são advérbios:
- Algumas são adjetivos, como:
Lonely: Alice lives alone and often feels lonely.
Silly: Her work is full of silly msitakes.
Lovely: He has a lovely voice.
Friendly: Everyone was very friendly towards me.
Elderly: Elderly residents could remember the
construction of the first skyscraper.
- E outras são substantivos, como:
Rally (= rali, competição automobilística)
Folly (= loucura, estupidez, tolice, besteira)
3) Caso especial: Well
Há um advérbio que em nada é semelhante com o
adjetivo: well é o advérbio do adjetivo good.
Exemplos:
She’s a good piano player - She plays the piano well.
His English is very good - He Speaks English very
well.
Utiliza-se well, e não good, com os particípios,
formando substantivos compostos:
Well-dressed, well-known, Well-paid, well-educated
Mas well também é um adjetivo (= not ill, in good
health) em casos como:
- How are you?
- I’m very well, thank you, and you?
TIPOS DE ADVÉRBIOS
1) Advérbios de modo - Adverbs of manner
São aqueles que nos dizem como algo aconteceu,
acontece, acontecerá etc. Exemplos:
Adverbs Translation
Well Bem
Fast Rápido
Badly mal
Loudly Em voz alta
Quietly Calmamente
Easily Facilmente
Slowly lentamente
- Os advérbios de modo são bastante flexíveis e,
normalmente, podem aparecer nas três posições
anteriormente apresentadas:
a) Antes do sujeito:
Quickly he organized the entire thing.
b) Entre o sujeito e o verbo:
He quickly organized the entire thing.
c) Após o verbo ou o objeto:
He organized the entire thing quickly.
Observação: o advérbio de modo just é colocado após
o verbo TO BE:
That’s just what I’m looking for.
It’s just as I thought.
33
EEAr
Adverbial phrases of manner
Como ficaria em inglês algumas locuções adverbiais
de modo do português?
a custo - with difficulty
às pressas - fast
à toa - occasionally
à vontade - at will, freely
às avessas - just the opposite
às claras - openly, directly
às direitas - straightforward
ao acaso - without consideration
ao contrário - in contrary
a sós - lonely
de bom grado - of good will
de cor - by heart
de má vontade - unwillingly
em geral - generally
em silêncio - silently
em vão - in vain
2) Advérbios de Frequência - Adverbs of
Frequency:
São aqueles que nos indicam com que frequência
algo aconteceu, acontece, acontecerá etc. Observe o
quadro ao lado, que mostra, em uma escala do mais
frequente para o menos frequente, o grau de
frequência dos principais advérbios.
100% Always
Usually
Frequently
Often
50% Sometimes
Occasionally
Rarely
Seldom
Hardly ever
0% Never
Mais exemplos:
daily (diariamente) - weekly (semanalmente) -
monthly (mensalmente) - yearly (anualmente)
Os advérbios de frequência apresentam diferentes
padrões de colocação, ocorrendo, à exceção de alguns
casos, na mid position (meio da oração). Veja os
casos a seguir:
a) Quando o verbo to be estiver em tempos simples,
vem depois do verbo:
They were frequently on time during the course.
I’m seldom in bed before 11 P.M.
b) Com todos os demais verbos, em tempos simples,
vem depois do sujeito e antes do verbo:
They occasionally work at night.
We never travel by ship.
c) Com os tempos compostos, após o primeiro
auxiliar:
The children have always been told not to talk to
strangers.
The professor has sometimes begun classes, when we
arrive.
I have often read till late at night.
d) Após os verbos modais:
We may never forgive him.
During the term, the students will frequently go on
tours.
e) Antes dos verbos auxiliares, em respostas, ou
quando esses auxiliares são usados isoladamente em
um período composto:
I realize I should exercise more, but I never do it.
- May I leave my bike here?
- Yes, you always may.
Exceções:
As expressões de frequência: once a week, twice a
month, three times a year, every day etc, geralmente
são colocadas no final da oração.
My sister has seen “Titanic” five times.
I swim twice a week. I find it really necessary.
Os advérbios de frequência, principalmente os que
têm sentido negativo (never, seldom, little), podem
vir no início da oração, para dar ênfase à idéia
negativa, de uma maneira mais formal. Neste caso,
ocorre uma inversão do sujeito com o verbo:
He is never satisfied. – Never is he satisfied.
I have seldom seen such a remarkable creature -
Seldom have I seen such a remarkable creature.
Adverbial phrases of frequency
Às vezes - sometimes
Por vezes - sometimes
De vez em quando - sometimes
De tempos a tempos - sometimes
De quando em quando – sometimes
34
EEAr
3) Advérbios de Tempo - Adverbs of Time
São aqueles que nos indicam quando algo aconteceu,
acontece, acontecerá etc. Exemplos:
Adverbs Translation
Soon Em breve
First Primeiramente
Tonight Hoje à noite
Late Tarde
Early Cedo
eventually finalmente
Forever Para sempre
Immediately Imediatamente
Then Então
Latlely Recentemente
Yesterday Ontem
Suddenly De repente
Now agora
Finally Finalmente
Before Antes
Still ainda
Just Recentemente, há pouco tempo
Next
week/month/year...
Próxima semana, mês, ano...
Today Hoje
Yet ainda
Adverbial phrases of time
à noite - at night
à tarde - in the afternoon
de dia - in the day/ during the day
de manhã - in the morning
de noite - at night
em breve – briefly
4) Advérbios de Lugar - Adverbs of Place
São aqueles que nos indicam onde algo aconteceu,
acontece, acontecerá etc. Exemplos:
Adverbs Translation
Above Acima
Inside Dentro
Anywhere Qualquer/todo/nenhum
lugar
Here Aqui
There Lá
far Longe
Around Ao redor
Adverbial phrases of place
à direita / para a direita - to the right
à esquerda / para a esquerda - to the left
à distância - at distance
ao largo - at a distance, away
ao longe - at a distance, far off
ao longo de - along of, alongside
bem longe de - a good way of
de cima - from the top
de dentro - from the inside
de fora - from the outside
de perto - from near
em baixo - downwards
em cima - on the top
muito longe - very far away
para dentro - for the inside
para onde - for where
por aqui - by here
por dentro - by the inside
por fora - by the outside
por perto – nearly
5) Advérbios de grau/ intensidade - Adverbs of
Degree / Intensity
São aqueles que qualificam ou reforçam os adjetivos,
verbos, advérbio, etc, caracterizando o grau/nível da
circunstância expressa por essas palavras. Exemplos:
Adverbs Translation
Too Demais, excessivamente
Almost Quase
Completely Completamente
Nearly Aproximadamente
More or less Mais ou menos
Kind Um tanto, um pouco
Very Muito
Really Realmente
Far Muito
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
o Choose the correct form (adjective or adverb).
a) John held the plate_________________. (careful
/ carefully)
b) Julia is a _________________ person. (careful /
carefully)
c) I ran _________________ to the station. (quick /
quickly)
d) The journey was _________________. (quick /
quickly)
e) You look _________________. Didn’t you sleep
well? (tired / tiredly)
f) The baby rubbed her eyes _________________.
(tired / tiredly)
35
EEAr
g) She sang _________________. (happy / happily)
h) You sound _________________. (happy /
happily)
i) I speak English _____________. (well / good)
j) Her English is _________________. (well / good)
k) She cooks_________________. (terrible /
terribly).
l) He is a _________________ cook.
(terrible / terribly)
m) The music was_________________. (beautiful /
beautifully)
n) She plays the piano _________________.
(beautiful / beautifully)
o) That was a_________________ answer. (clever /
cleverly)
1) MACKENZIE
Choose the correct alternative to complete the
following sentence:
Mr. Myers told me he will leave __________.
a) by train; for Paris; at 8 o'clock; next week.
b) for Paris; at 8 o'clock; next week; by train.
c) next week; at 8 o'clock; by train; for Paris.
d) at 8 o'clock; next week; for Paris; by train.
e) for Paris; by train; at 8 o'clock; next week
2) UEL – ADAPTED
A lacuna é corretamente preenchida pela alternativa:
We've been working __________ to ensure all wood
comes from well managed forests.
a) lot.
b) hardly.
c) hard.
d) very.
e) many.
3) | EFOMM
Take it easy, John! You need not work so
__________.
a) hardly
b) harder
c) hard
d) hardest
e) hardy
4) ITA
O termo seldom, entre aspas no trecho adiante,
poderia sersubstituído por:
As an American Express Card member, you will
enjoy a relationship with us that goes beyond the
ordinary. You will be treated as a MEMBER, not a
number. And you will receive the respect and
recognition 'seldom' found today.
a) occasionally.
b) rarely.
c) often.
d) usually.
e) Always
5) UFRS
Gradually and powerfully are adverbs formed from
the adjectives gradual + ly and powerful + ly,
respectively. Other adjectives can take the same
suffix to form adverbs, in the same way, except:
a) historic.
b) usual.
c) wild.
d) abrupt.
e) intelligent.
6) JFS
Which word is not an adverb?
a) Wholly.
b) Weekly.
c) Earthly.
d) Sadly.
e) Proudly.
7) Qual é a alternativa que apresenta apenas
advérbios de frequência?
a) badly – gently – fast – often
b) often – rarely – usually – always
c) always – rarely – fast – softly
d) often – always – badly – fast
8) Qual é a alternativa que apresenta apenas
advérbios de modo?
a) gently – fast – often – terribly
b) badly – silently – terribly – happily.
c) happily – often – slowly – gradually
d) fluently – today – yesterday – tomorrow
9) Marque a alternativa que melhor complete a frase:
“Ingrid __________ go to France on holidays”?
a) slowly
b) fast
c) always
d) at school
10) Qual alternativa NÃO é um advérbio de
frequência?
a) often
b) usually
c) sometimes
d) well
36
EEAr
e) regularly
11) Marque a alternativa que completa a frase: “ She
_____________ read a book”.
a) well
b) sometimes
c) at home
d) tomorrow
e) terribly
12) Numa das sentenças abaixo o advérbio não está
corretamente inserido:
a) They’ll travel by car
b) I was rather cold yesterday
c) We hardly work on Sundays
d) He hasn’t met me yet
e) Gary always is dreaming of you
13) The test was _______ no one passed.
a) so hard so that
b) too hard, so
c) too hard for that
d) even / only
e) very hard that
14) I noticed the student speak English
____________.
a) fluency
b) all are incorrect
c) very fluent
d) fluently
e) more fluent
Scenes from the nuclear theater of a long cold
war:
In the 1940s and '50s, when the Americans
still trusted their doctors and their government,
researchers subjected hundreds of ill-informed people
to doses of nuclear radiation, in order to study the
effects on human beings. Later on, in two
experiments on the West Coast, 131 prison inmates,
many of them black, had their testicles irradiated.
From 1963 on, the U.S. government
conducted hundreds of unannounced nuclear tests.
The Russians weren't fooled, but Americans were.
Washington's last secret underground blast occurred
as recently as April 4, 1990.
By the 1990s, America was awash in nuclear
waste. Tons of plutonium from arms factories and
spent fuel from nuclear reactors were stored
haphazardly and unsafely, sometimes threatening
workers and nearby residents. The public still has not
been told the true dimensions of the toxic mess.
(Slightly adapted from Newsweek)
15) Read the statements below and mark the correct
alternative according to the text.
l. Handicapped people were subjected to nuclear
radiation.
ll. 131 black prisoners had their testicles exposed to
nuclear tests.
lll. The public is still unaware of the real dimensions
of the nuclear problem.
a) All the sentences are incorrect.
b) All the sentences are correct.
c) Only one sentence is correct.
d) Two sentences are correct.
16) According to their meaning in the text, mark the
antonyms of haphazardly and unsafely, respectively.
a) carefully / safely
b) carelessly / dangerously
c) disorderly / safely
d) carefully / in jeopardy
17) According to the text, it’s correct to affirm that
a) In the ‘40s and ‘50s not only the government but
also the doctors had already lost their credibility
before the American
people.
b) In 1963 hundreds of secret nuclear tests, including
the last unannounced underground blast, took place
in the USA.
c) The Americans who were chosen to undergo the
tests knew too much about their government and the
nuclear experiments.
d) Nuclear tests have been made for more than fifty
years and nuclear waste storage has sometimes
threatened Americans.
PREPOSIÇÕES
Preposição é uma palavra ou grupo de palavras
que liga(m) dois ou mais termos da oração e que
estabelece(m) entre si algumas relações. Nessas
relações, um termo explica ou completa o sentido
do outro.
Prepositions of time/place
ABOUT
Lugar ou Posição
He must be somewhere about the office.
There is a moat about the castle.
Referente a determinado assunto (acerca de, relativo
a):
Tell me more about your trip.
37
EEAr
ABOVE
Lugar ou Posição
Read the text above.
ACROSS
Lugar ou Posição
Look! There is a camel across the street!
AFTER
Tempo
She is going to a party after dinner.
Lugar ou Posição
They were running after him!
AGAINST
Lugar ou Posição
The man leaned against the tree.
Movimento ou Direcionamento
She was against the wall.
ALL OVER
Lugar ou Posição
There is milk all over the kitchen!
ALONG
Lugar ou Posição
There are trees along the road.
Movimento ou Direcionamento
The runners were running along the street.
AMONG
Lugar ou Posição
There was a hut among the trees.
AROUND
Lugar ou Posição
They were walking around the lake.
Movimento ou Direcionamento
Stop spinning around, you’ll feel dizzy.
AS FAR AS
Lugar ou Posição
They walked as far as the lake this morning.
BEFORE
Tempo
Before you go, let me talk to you.
Lugar ou Posição
The groom was standing before the altar, waiting for
the bride.
BEHIND
Lugar ou Posição
The police were behind the door.
BELOW
Lugar ou Posição
Guatemala is below Mexico.
BESIDE
Lugar ou Posição
At school, I sit beside my friends.
BETWEEN
Lugar ou Posição
He is sitting between his two best friends.
BEYOND
Lugar ou Posição
The camping site is beyond those hills.
Movimento ou Direcionamento
We drove beyond the city limits.
BY
Tempo
By next week I will have handed in my book.
Lugar ou Posição
The bank is by the supermarket.
CLOSE TO
Lugar ou posição
I don’t like to sit close to the window.
FAR FROM
Lugar ou Posição
We live far from the University campus.
IN FRONT OF
Lugar ou Posição
I parked the car in front of my house.
INSIDE
Lugar ou Posição
We met them inside the theater.
NEAR
Lugar ou Posição
I live near a big market.
NEXT TO
Lugar ou Posição
Sit down here next to me.
OFF
Lugar ou Posição
Please keep off the animal cages.
38
EEAr
OPPOSITE
Lugar ou Posição
I sat opposite him during the meal.
OUTSIDE
Lugar ou Posição
The dog is outside the kennel.
OVER
Lugar ou Posição
She has a beautiful shawl over her shoulders.
ROUND
Lugar ou Posição
They were all sitting round the table.
THROUGHOUT
Lugar ou Posição
Dr. Kilman is famous throughout Europe.
UNDER
Lugar ou Posição
I placed the papers under the radio.
IN x ON x AT
IN
Períodos do dia
(com exceção de
night)
In the morning
In the evening
In the afternoon
Mês in July
Estações do ano In summer
Ano In 2020
Década In the 20s
Era In the middle ages
ON
Dia do mês On september 20th
Dia da semana On Friday
Data específica On Christmas day
Período específico
do dia
On Thursday
morning
Férias On vacation
AT
Palavras específicas
para períodos do dia
At lunchtime
At midday
At night
Horas At 3 o’clock
Datas específicas At Christmas
IN ON AT
Continente (in
Africa)
Nome de rua (on
Washington street)
Rua com
número (at
54
Washington
Street)
País (in
England)
Estado (in
California)
Avenida (on
Kennedy avenue)
Cidade (in New
York)
Local
específico (at
school, at
church, at the
movies)
Bairro (in
Ipanema)
Praça (on
Washington
Square) Na rua (in the
street)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) FUVEST – ADAPTED
Complete com as palavras necessárias:
I was born ____ 2 o'clock ____ the morning,
____ a Sunday ____ April ____ the year 1958, ____
a farm ____ a small village called Sta. Cruz, _____
the state of Goiás, Brazil.
a) on / in / on / in / in / in / in / in
b) on / in / on / in / of / in / in / in
c) at / in / on / in / of / on / in / on
d) at / in / in / in / of / in / in / in
e) at / in / on / in / of / in / in / in
2) UEL – ADAPTED
Olajuwon should have no trouble promoting his
product. "All I drink is water", says he. OVER a
gallon a day.
– A palavra OVER, no texto, significa:
a) sobre.
b) em cima de.
c) super.
d) mais do que.
e) abaixo de.
3) UNESP
Assinale a alternativa correta:
We stayed in Rome __________ two months.
a) since
b) at
c) in
d) on
e) for
4) CESGRANRIO
The following sentences must be completed with
"between" or "among":
I. There were no radicals ______ her close friends.
II. The students talked quietly ______ themselves
before the test started.
III. The father and the mother sat in the sofa, with the
baby ______ them.
IV. The Queen of England is not very popular now
_____ the British people.
V. There is much difference _____ the American and
the Brazilian education systems.
39
EEAr
– "Between" must be used in sentences:
a) III and V only.
b) I, II and III only.
c) II, III and IV only.
d) II, IV and V only.
e) I, II, III and V only.
5) MACKENZIE
Indicate the alternative that best completes the
following sentence:
She's used __________ running __________ the park
__________ 6 p.m.
a) for – at – at
b) for – in – at
c) at – in – before
d) into – at – abo
6) PUCRS
The prepositions in and on are correctly used in all
alternatives BUT:
a) On September I'll be in vacation.
b) He'll go on a leave in the summer.
c) She's always in a bad mood on Mondays.
d) In two months you can be on the road.
e) In the evenings I see her on TV.
7) EEAR 2007
Choose the best alternative to complete the blanks:
Julie was born __________ July 3, __________ night
__________ New York.
a) in / at / at
b) on / at / in
c) in / at / in
d) on / in / at
NUMERAIS
Cardinal numbers:
- Em inglês os números entre 13 (thirteen) e 19
(nineteen) possuem a terminação -teen, que
corresponde à sílaba tônica (a mais marcada na
pronúncia) do número.
- Para formarmos os números maiores que vinte
(twenty), colocamos primeiro as dezenas, seguidas
das unidades. Utilizamos um hífen para unirmos as
unidades às dezenas, tanto com os números cardinais
como com os ordinais (Ex: 35- thirty-five, 167º- one
hundred and sixty-seventh). Os números entre 20
(twenty) e 99 (ninety-nine) possuem terminação -ty e
nunca terão esta sílaba como tônica.
- And: Com números acima de cem é necessário
acrescentar and (e) antes das dezenas. Este elemento
de ligação and é pronunciado como /n/, ficando a
sílaba tônica no último número.
1 11
2 12
3 13
4 14
5 15
6 16
7 17
8 18
9 19
10 20
20 70
30 80
40 90
50 100
60 1000
21
34
110
225
3333
Ordinal numbers:
Os Ordinal Numbers indicam a ordem ou lugar do ser
numa determinada série. À exceção
de first (primeiro), second (segundo), third (terceiro)
e os números que os contêm em sua grafia, os
números ordinais são formados com a adição
do sufixo -th.
40
EEAr
1st 11th
2nd 12th
3rt 13th
4th 14th
5th 15th
6th 16th
7th 17th
8th 18th
9th 19th
10th 20th
20th 70th
30th 80th
40th
90th
50th 100th
60th
Quando lemos ou escrevemos por extenso os números
ordinais em Português, tanto na dezena quanto na
centena e no milhar, todos os algarismos vão para a
forma ordinal. No Inglês, no entanto, apenas o último
algarismo vai para a forma ordinal:
21º - vigésimo primeiro = 21st - twenty-first
72º - septuagésimo segundo = 72nd - seventy-second
167º - centésimo sexagésimo sétimo = 167th - one
hundred and sixty-seventh
Repare que, nos números ordinais acima de 100, o uso
da conjunção and segue as mesmas regras dos cardinais:
205th – two hundred and fifth
440th – four hundred and fortieth
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Escreva os números por extenso
corretamente:
a) 15 _________________________________
b) 27 _________________________________
c) 54 _________________________________
d) 69 _________________________________
e) 82 _________________________________
f) 93 _________________________________
g) 71 _________________________________
h) 120 ________________________________
i) 345_________________________________
____________________________________
j) 657_________________________________
____________________________________
k) 538_________________________________
____________________________________
l) 444_________________________________
____________________________________
m) 825_________________________________
____________________________________
n) 2345________________________________
____________________________________
o) 5621________________________________
____________________________________
p) 25th________________________________
q) 62nd________________________________
r) 321st________________________________
s) 48th ________________________________
t) 85th ________________________________
u) 59th ________________________________
v) 123rd_______________________________
2) (EEAR) Choose the best alternative for the
written form of 137th.
a) hundredth thirtieth seventh.
b) one hundred thirty seven.
c) one hundred thirty seventh.
d) hundred thirteen seventy.
3) (EEAR) The correct way of writing the
cardinal number 30,000 using words is
__________.
a) third thousand
b) thirty thousand
c) thirteen thousand
d) thirtieth thousand
4) (EEAR) Choose the best alternative for the
written form of “1844”.
a) eight fourty – four
b) one eight four four
c) eighteen forty-four
d) eighteen fourth-four
5) The numbers “70 and 100” (line 18), are
expressed in English as
a) seventy and a hundred
b) seventy and a thousand
c) seventeen and a hundred
d) seventeen and a Thousand
41
EEAr
TEXT 1
Is ‘Facebook’, the social networking website,
making us narcissist?
A new book argues we’re much more self-absorbed
nowadays, stating that technology is to blame. I
tweet, therefore I am. Or is it, I tweet, therefore I am
insufferable? As if adult celebrities that pop out on
the red carpets weren’t clue enough, we now have
statistical evidence that we are a lot more in love with
ourselves than we used to be. This social
phenomenon has raised fields of research to academic
studies nowadays. In the book ‘The Narcissism
Epidemic: Living in the Age of Entitlement’, Jean M.
Twenge, a professor of psychology at San Diego
State University, and W. Keith Campbell, a social
psychologist at the University of Georgia, look to the
Narcissistic Personality Inventory, which measures
self-regard, materialism, and lack of empathy. They
found that the number of college students scoring
high on the test has risen by 30 percent since the
early 1980’s.
6 | IME 2011
What kind of human behavior is central to the study
mentioned in the text?
a) the alienation of the celebrities from the others
around them.
b) addiction to technology.
c) the high scoring of college students in academic
tests.
d) the hard work of social psychologists.
e) excessive positive feelings and admiration of
oneself.
7| IME 2011
What has NOT been encouraging people to act the
way described in the text?
a) technology
b) narcissism
c) materialism
d) psychology
e) entitlement
TEXT 2
The history of technology is full of breakthroughs in
one field that wound up working wonders in a related
one.
The 300B vacuum tube, introduced by Western
Electric in 1937 to amplify telephone signals, found a
far more enduring use as a high-fidelity audio
amplifier. The atomic clocks first used in the 1960’s
by the U.S. military to track Sputnik and later to
validate Albert Einstein’s relativity theories are now
the basis of Global Positioning System. Andof
course, the magnetron, invented in the 1920’s at
General Electric and used in radars during World
War II, later found itself repurposed as the basis for
the microwave oven.
8 | IME 2011
According to the text, what is correct to say?
a) The 300B vacuum tube is used in car engines to
amplify the audio communications systems.
b) The atomic clocks are now applied to a different
device than that of its original idealization.
c) The history of technology has proved that it may
wound humans due to its versatility.
d) The atomic clocks were used to play song tracks in
high fidelity quality.
e) The Global Positioning System was validated by
Albert Einstein’s relativity theories.
9 | IME 2011
According to the text, complete the sentence: “The
microwave oven…”
a) relies on the proper function of radars.
b) and the magnetron were repurposed after their
inventions.
c) is one more example of the technological
inventions which have benefited from the innovations
generated during the space race.
d) and radars used during the World War II both
count on the magnetron as one of its components.
e) was first idealized at General Electric.
TEXT 3
Soon enough, say some engineers, miniature wireless
sensors will be located in spots where it would be
inconvenient, to say the least, to change their
batteries – inside your body, within the steel and
concrete of buildings, in the dangerous innards of
chemical plants. But today, even the most robust
nodes can be counted on to last only a few years.
Ideally, engineers need wireless sensors that can last
forever without external power sources or battery
changes. According to research presented in
December at the International Electron Devices
Meeting, in Baltimore, that dream is within reach.
10 | IME 2011
What inconvenience is mentioned in the text?
a) The fact that batteries are not lifetime loaded.
b) The spots where wireless sensors are placed
nowadays.
c) The micro size of wireless sensors.
d) To use wireless sensors inside the body.
e) That buildings are made of steel and concrete.
42
EEAr
11 | IME 2011
What does the sentence “According to research
presented in December at the International Electron
Devices Meeting, in Baltimore, that dream is within
reach.” imply about the text?
a) In December engineers will come out with a
solution for the problem.
b) At the International Electron Devices Meeting
dreams are reached.
c) The International Electron Devices Meeting is the
ideal meeting to discuss new versions of wireless
sensors.
d) Engineers at the International Electron Devices
Meeting dream about new inventions in the field of
wireless sensors.
e) It will be possible to produce wireless sensors
whose batteries won’t need to be recharged.
12 | IME 2011
The expression ‘to say the least’ in the text suggests
that:
a) the situation mentioned may be more than just
inconvenient.
b) there is a list of technological researches that could
solve the case presented in the text.
c) sensors used inside human body are inconvenient.
d) wireless sensors used within the steel and concrete
buildings are a reachable dream.
e) engineers need a sensor that can last forever
without external power sources or battery
changes.
(EsPCEx) Leia as perguntas e respostas a seguir e
responda às questões 13, 14 e 15
Frequently Asked Questions – Instagram
What is Instagram?
It’s an application for your mobile phone that enables
you to edit pictures you have taken with your mobile
phone camera using built-in filters and share them
with others. If you have an Instagram account you
can tag pictures, rate and comment on other people’s
pictures and follow other users.
How much is your app?
$0.00.
Where does the name come from?
When we were kids we loved playing around with
cameras. We loved how different types of old
cameras marketed themselves as “instant” -
something we take for granted today. We also felt
that the snapshots people were taking were like
telegrams in that they got sent over the wire to others
- so we figured why not combine the two?
How did the idea come about?
We love taking photos. We always assumed taking
interesting photos required a big bulky camera and a
couple years of art school. But as mobile phone
cameras got better and better, we decided to
challenge that assumption. We created Instagram to
solve three simple problems:
- Mobile photos always come out looking mediocre.
Our awesome looking filters transform your photos
into professional-looking snapshots.
- Sharing on multiple platforms is a pain - we help
you take a picture once, then share it (instantly)
on multiple services.
- Most uploading experiences are clumsy and take
forever - we’ve optimized the experience to be
fast and efficient.
How does privacy work?
We have adopted a follower model that means if
you’re “public” on Instagram, anyone can subscribe
to follow your photos. We do, however, have a
special private option. In this mode, a user can make
sure he/she must approve all follow requests before
they go through.
Who can see my photos?
All photos are public by default which means they
are visible to anyone who has an account. If you
choose to make your account private, then only
people who follow you on Instagram will be able to
see your photos.
Adapted from https://instagram.com/about/faq/#
13. According to the text, read the statements and
choose the correct alternative.
I - The user is able to control who is going to be a
follower.
II - Anyone can see your pictures when you use the
private mode.
III - The name Instagram comes from instant +
telegram.
IV - Creators of Instagram think that all mobile
pictures look good.
V - The application software is available for free.
VI - You can post your Instagram photos directly to
other social platforms.
a) II, III and V are correct.
b) I, II, V and VI are correct.
c) I, III, V and VI are correct.
d) I, II, IV and V are correct.
e) All of them are correct.
14. In the sentence “We loved how different types
of old cameras marketed themselves as “instant” -
something we take for granted today.” (question 3),
the expression something we take for granted means
43
EEAr
a) Something we have to give someone.
b) Something we have to do everyday.
c) Something we don’t give much importance to.
d) Something we don’t have to learn.
e) Something we usually value a lot.
15. Which words are synonyms for photos in the
text?
a) requests and filters.
b) platforms and pictures.
c) followers and pictures.
d) requests and snapshots.
e) snapshots and pictures.
M
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EM
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EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. Resolva 22x = 1024
Resposta:
Utilizando as propriedades de potenciação, tem-se:
𝟐𝟐𝐱 = 𝟐𝟏𝟎
𝟐𝐱 = 𝟏𝟎
Portanto, a solução da equação exponencial é x=5.
2.(CONED-2016) Qual a soma das raízes ou zeros da função exponencial abaixo:
22x−3 − 3 � 2x−1 + 4 = 0
a) 5
b) 4
c) 6
d) 8
e) -6
Resposta: Letra A.
22x−3 − 3 � 2x−1 + 4 = 0
22x
23 −
3 � 2x
2 + 4 = 0
2x 2
23 −
3 � 2x
2 + 4 = 0
Faz-se a substituição 2x = y pra obter uma equação de segundo grau
y2
8 −
3y
2 + 4 = 0
Multiplicando a equação por 8
y2 − 12y + 32 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau:
Δ = −12 2 − 4 � 1 � 32 = 144 − 128 = 16
Assim, �2
x = 4 → 2x = 22 → x1 = 2
2x = 8 → 2x = 23 → x2 = 3
Portanto, a soma das raízes é igual a 2+3=5.
44
Matemática
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA A) DEFINIÇÃO DE LOGARITMO, PROPRIEDADES OPERATÓRIAS E
MUDANÇA DE BASE. B) GRÁFICO, DOMÍNIO, IMAGEM E CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO
LOGARÍTMICA. C) EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES LOGARÍTMICAS.
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
As funções logarítmicas tem como base o operador matemático log:
f x = logax , com a > 0, a ≠ 1 e x > 0
FIQUE ATENTO!
Observe que há restrições importantes para os valores de (logaritmando) e (base) e será essas restrições que
poderá determinar o conjunto solução das equações logarítmicas.
O gráfico da função logarítmica terá dois formatos, baseado nos possíveis valores de a. Será crescente quando e de-
crescente quando :
1. Equações Logarítmicas
As equações logarítmicas adotarão um princípio semelhante as equações exponenciais. Para se achar o mesmo logarit-
mando, dois logaritmos deverão ter a mesma base ou vice-versa. Ressalta-se apenas que as condições de existência de um
logaritmo devem ser respeitadas. Veja o exemplo:
Ex:
Resolva log2 x − 2 = 4
Primeiramente, será importante transformar o número 4 em um log. Como a base do log que contém x é dois, vamos
transformar 4 em um log na base 2 da seguinte forma:
log216 = 4
Igualando isso a equação:
log2 x − 2 = log216
Bases iguais, logaritmandos iguais:
4x + 2 = 3x + 3
→ 4x − 3x = 3− 2
→ x = 1
#FicaDica
45
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EXERCÍCIO COMENTADO
1. (FUNDEP-2014) O conjunto solução da equação log 4x + 2 = log 3x + 3 é:
a) S={1}
b) S= {2}
c) S= {3}
d) S= {4}
e) S= {5}
Resposta: Letra A.
Como as bases são iguais, os logaritmandos devem ser iguais. Portanto, pode-se escrever:
4x + 2 = 3x + 3
→ 4x − 3x = 3 − 2
→ x = 1
TRIGONOMETRIA A) TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO. B) TRIGONOMETRIA
NUM TRIÂNGULO QUALQUER.
C) UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS: GRAUS E RADIANOS.
D) CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO, RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS, REDUÇÃO AO 1º QUADRANTE.
E) FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO, COSSENO E TANGENTE; RELAÇÕES E IDENTIDADES.
F) FÓRMULAS DE ADIÇÃO DE ARCOS E ARCOS DUPLOS.
TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
1. Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Definiremos algumas relações e números obtidos a partir dos lados de triângulos retângulos. Antes, porém, precisamos
revisar seus conceitos básicos. A figura abaixo apresenta um triângulo onde um de seus ângulos internos é reto (de medida
90º ou
2
π
rad), o que nos permite classificá-lo como um triângulo retângulo.
Lembremo-nos de que, qualquer que seja o triângulo, a soma dos seus três ângulos internos vale 180º. Logo, a respeito
do triângulo ABC apresentado, dizemos que:
α + β + 90° = 180° → α + β = 90°
Com isso, podemos concluir:
a) Que os ângulos α e β são complementares, isto é, são ângulos cujas medidas somam 90º;
b) Uma vez que são complementares ambos terão sempre medida inferior a 90º, ou seja, serão ângulos agudos.
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FIQUE ATENTO!
Dizemos que todo triângulo retângulo tem
um ângulo interno reto e dois agudos,
complementares entre si.
Vale lembrar que a hipotenusa será sempre
o lado oposto ao ângulo reto e, ainda, o
lado maior do triângulo. Podemos relacioná-
los através do Teorema de Pitágoras, o qual
enuncia que o quadrado sobre a hipotenusa
de um triângulo retângulo é igual à soma dos
quadrados sobre os catetos.
#FicaDica
2. Seno, Co-seno e Tangente de um Ângulo Agudo
A figura abaixo ilustra um triângulo retângulo com suas
medidas de lados:
De fato, as medidas de seus lados (3, 4 e 5 unidades de
comprimento) satisfazem a sentença do teorema de Pitá-
goras: 52 = 32 + 42.
Agora, definiremos três importantes relações entre os
lados do triângulo, aos quais chamaremos de seno, co-se-
no e tangente. Essas propriedades serão sempre relativas
a um determinado ângulo, assim, precisaremos
especificar
de qual ângulo estamos falando. A expressão geral é apre-
sentada abaixo, com as abreviações as propriedades:
sen Ângulo =
cateto oposto ao ângulo
hipotenusa
cos Ângulo =
cateto adjacente ao ângulo
hipotenusa
tg Ângulo =
cateto oposto ao ângulo
cateto adjacente ao ângulo
A partir dessas definições, podemos calcular o seno, co-
-seno e tangente do ângulo α, do triângulo da figura:
sen α =
cateto oposto a α
hipotenusa
cos α =
cateto adjacente a α
hipotenusa
tg α =
cateto oposto a α
cateto adjacente a α
No caso de , o cateto oposto a ele será aquele que não
forma o ângulo, ou seja, o segmento AC. Já o cateto adja-
cente será o cateto que junto com a hipotenusa, forma o
ângulo, assim, ele será AB. Substituindo os valores:
sen α =
cateto oposto a α
hipotenusa =
3
5 = 0,6
cos α =
cateto adjacente a α
hipotenusa =
4
5 = 0,8
tg α =
cateto oposto a α
cateto adjacente a α =
3
4 = 0,75
2.1. Seno, Co-seno e Tangente dos Ângulos Notáveis
Uma vez definidos os conceitos de seno, co-seno e tan-
gente de ângulos agudos internos a um triângulo retân-
gulo, passaremos a determinar seus valores para ângulos
de grande utilização em diversas atividades profissionais e
encontrados facilmente em situações cotidianas.
Observemos, nas figuras abaixo, que a diagonal de um
quadrado divide ângulos internos opostos, que são retos,
em duas partes de 45 + o+, e que o segmento que define a
bissetriz (e altura) de um ângulo interno do triângulo equi-
látero permite-nos reconhecer, em qualquer das metades
em que este é dividido, ângulos de medidas 30o e 60o.
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Primeiramente, vamos calcular os comprimentos da
diagonal do quadrado e a altura h, do triângulo equilátero.
Como já vimos as fórmulas na seção anterior de triângulos,
vamos apenas indicar os valores:
d = a 2
h = l 32
Sabemos, agora, que o triângulo hachurado no interior
do quadrado tem catetos de medida 𝐚 2 e hipotenusa 𝐚 2
. Para o outro triângulo sombreado, teremos catetos e me-
didas 1
2 e
l 3
2
, enquanto sua hipotenusa tem comprimento
1.
Passemos, agora, ao cálculo de seno, co-seno e tangen-
te dos ângulos de 30o, 45o e 60o.
2.2. Seno, Co-seno e Tangente de 30° e 60°.
Tomando por base o triângulo equilátero da figura aci-
ma, e conhecendo as medidas de seus lados, temos:
sen 30° =
cateto oposto a 30°
hipotenusa =
l/2
l =
1
2
cos 30° = cateto adjacente a 30°hipotenusa =
l 3
2
l =
3
2
tg 30° = cateto oposto a 30°cateto adjacente a 30° =
l/2
l 3
2
= 33
E
cos 60° = cateto adjacente a 60°hipotenusa =
l
2
l =
1
2
tg 60° = cateto oposto a 60°cateto adjacente a 60° =
l 3
2
l
2
= 3
Observação Importante: Observe que os ângulos de 30°
e 60° são complementares, e isso provoca a troca dos va-
lores de seno e cosseno. Já a tangente, temos exatamente
o valor inverso.
2.3. Seno, Co-seno e Tangente de 45°
A partir do quadrado representado na figura acima, de
lado a e diagonal 𝐚 2 , podemos calcular:
tg 45° =
cateto oposto a 45°
cateto adjacente a 45° =
a
a = 1
Note que o ângulo de 45° tem valores iguais de seno
e cosseno, o que implica em uma tangente igual a 1. Isso
se deve pois o complementar deste ângulo é ele mesmo.
Os resultados que obtivemos nos permitem definir, a
seguir, uma tabela de valores de seno, co-seno e tangente
dos ângulos notáveis, que nos será extremamente útil.
30o 45o 60o
sen 1
2
2
2
3
2
cos 3
2
2
2
1
2
tg 3
3
1
2
3
3. O círculo trigonométrico
Definidas principais propriedades e o ângulos notáveis,
podemos expandir essa análise para todos os ângulos de
um círculo, indo de 0 a 360° ou de 0 a 2π rad. Para isso,
usamos o circulo trigonométrico apresentado a seguir:
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Nele, podemos ver a divisão do círculo em quadrantes e em cada quadrante, podemos ver as posições do seno e cos-
seno dos ângulos. É importante memorizar os sinais dos senos e cossenos, pois eles se alteram conforme mudamos de
quadrante.
Também é importante notar os limites de valores para o seno e cosseno. Para qualquer ângulo x, os valores de seno e
cosseno estarão sempre entre -1 e 1 e isto está representado nos valores para os ângulos de 0,
π
2 ,π,
3π
2 e 2π
4. Outras Razões Trigonométricas – Co-tangente, Secante e Co-secante
Além das razões com que trabalhamos até aqui, são definidas a co-tangente, secante e co-secante de um ângulo agudo
de triângulo retângulo através de relações entre seus lados, como definimos a seguir, com suas respectivas abreviações
cotg Ângulo =
cateto adjacente ao ângulo
cateto oposto ao ângulo
sec Ângulo = hipotenusacateto adjacente ao ângulo
cossec Ângulo = hipotenusacateto oposto ao ângulo
Por exemplo, para um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 unidades de comprimento que apresentamos anteriormente,
temos para o ângulo α:
cotg α =
cateto adjacente a α
cateto oposto a α =
4
3
sec α = hipotenusacateto adjacente a α =
5
4
cossec α = hipotenusacateto oposto a α =
5
3
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5. Identidades Trigonométricas
É comum a necessidade de obtermos uma razão
trigonométrica, para um ângulo, a partir de outra razão
cujo valor seja conhecido, ou mesmo simplificar expressões
extensas envolvendo várias relações trigonométricas para
um mesmo ângulo. Nesses casos, as identidades trigono-
métricas que iremos deduzir neste tópico são ferramentas
de grande aplicabilidade.
Identidade em uma ou mais variáveis é toda igualdade
verdadeira para quaisquer valores a elas atribuídos, desde
que verifiquem as condições de existência de expressão.
Vamos iniciar então, mostrando um triângulo retângulo
qualquer:
Aplicando as medidas de seus lados no teorema de Pi-
tágoras, obtemos a seguinte igualdade:
b2 + c2 = a2
Dividindo os seus membros por , não alteraremos a
igualdade. Assim, teremos:
b2
a2 +
c2
a2 =
a2
a2 →
b
a
2
+
c
a
2
= 1
Se utilizarmos as relações trigonométricas que defi-
nimos (seno, cosseno e tangente), podemos simplificar a
expressão de duas maneiras possíveis, em função de ou :
sen2α + cos2 α = 1
ou
cos2 β + sen2β = 1
Logo, como sempre teremos a soma dos quadrados de
seno e co-seno de um ângulo. Essa identidade valerá para
qualquer ângulo x:
sen2x + cos2 x = 1
Essa relação, é conhecida como relação fundamental da
trigonometria.
Façamos agora outro desenvolvimento. Tomemos um
dos ângulos agudos do triângulo ABC, da figura. Por exem-
plo, α. Dividindo-se sen α por cos α, obtemos:
sen α
cosα =
b a⁄
c a⁄ =
b
c = tg α
De forma análoga, o leitor obterá o mesmo resultado se
tomar o ângulo β. Dizemos, portanto, que, para um ângulo
x, cujo cosseno não será nulo:
tg x =
sen x
cos x
Podemos observar, também, que a razão b
c
, que re-
presenta tg α , se invertida (passando a c
b
), vem a consti-
tuir cotg α . Em virtude disso, e aproveitando a identidade
enunciada anteriormente, podemos dizer que, para todo
ângulo x de seno não-nulo:
cotg x =
1
tg x =
cos x
sen x
Tais inversões ocorrem também e se tratando das re-
lações seno, co-seno, secante e co-secante. Vejamos que:
e
Teríamos encontrado inversões análogas se utilizás-
semos o ângulo β. Assim, essas relações também valerão
para qualquer ângulo x, desde que seja respeitada a condi-
ção de os denominadores dos segundos membros dessas
identidades não serem nulos.
Aplicando essas relações no teorema de Pitágoras, chega-
mos as outras duas importantes identidades trigonométricas:
tg2x + 1 = sec2 x
cotg2x + 1 = cosec2 x
6. Adição e Subtração de Arcos
Outras identidades trigonométricas estão relacionadas
a operações com ângulos. As fórmulas a seguir foram de-
duzidas para facilitar algumas operações matemáticas. Se-
jam e ângulos quaisquer. Temos que:
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Seno da Soma: sen α + β = sen α � cosβ+ sen β � cosα
Seno da Diferença: sen α − β = senα � cosβ− sen β � cosα
Cosseno da Soma: cos α + β = cosα � cosβ− sen α � sen β
Cosseno da Diferença: cos α − β = cosα � cosβ+ sen α � sen β
Tangente da Soma: tg α + β = tg α+tg β1−tgα � tgβ
Tangente da Diferença: tg α − β =
tg α−tg β1+tgα.tg β
Dessas fórmulas, podemos deduzir uma variação importante, que são as fórmulas dos arcos duplos:
sen 2θ = 2 � sen θ � cosθ
cos2θ = cos2 θ − sen ²θ
EXERCÍCIO COMENTADO
1. Dado o triângulo a seguir, obtenha os valores dos catetos. Utilize 3 = 1,7
a) 10 e 7,5
b) 5 e 8,5
c) 5 e 5
d) 8,5 e 7,5
e) 7,5 e 7,5
Resposta: Letra B. Basta calcular o seno e o cosseno de 30° e igualar aos valores de ½ e 3 2⁄ . Nem sempre os exercícios
passarão os valores dos ângulos notáveis, é importante memorizar.
51
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2. Dado o triângulo a seguir, obtenha o valor da hipotenusa. Utilize 2 = 1,4
a) 4,8
b) 5,0
c) 5,5
d) 5,7
e) 6,0
Resposta: Letra D. Usando o cosseno de 45°, chega-se na resposta.
3. Assinale a alternativa que representa os valores de sen (75°) e cos (75°)
a) 6− 22 e
6+ 2
2
b) 6− 24 e
6+ 2
4
c) 6+ 24 e
6− 2
4
d) 6− 24 e
6+ 2
4
Resposta: Letra C. Usando a fórmula de soma de arcos para seno e cosseno e considerando que 75° = 30° + 45°:
ANÁLISE COMBINATÓRIA A) FATORIAL: DEFINIÇÃO E OPERAÇÕES. B) PRINCÍPIO
FUNDAMENTAL DA CONTAGEM. C) ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES.
CONTAGEM E ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. Princípio fundamental da Contagem
O princípio fundamental da contagem permite quantificar situações ou casos de uma determinada situação ou evento.
Em outras palavras, é uma maneira sistemática de “contar” a quantidade de “coisas”.
A base deste princípio se dá pela separação de casos e quantificação dos mesmos. Após isso, uma multiplicação de
todos estes números é feita para achar a quantidade total de possibilidades. O exemplo a seguir irá ilustrar isso.
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Exemplo: João foi almoçar em um restaurante no centro
da cidade, ao chegar no local, percebeu que oferecem 3
tipos de saladas, 2 tipos de carne, 6 bebidas diferentes e
5 sobremesas diferentes. De quantas maneiras distintas
ele pode fazer um pedido, pegando apenas 1 tipo de cada
alimento?
Resolução: O princípio da contagem depende
fortemente de uma organização do problema. A sugestão
é sempre organizar cada caso em traços e preenchendo
a quantidade de possibilidades. Como temos 4 casos
distintos (salada, carne, bebida e sobremesa), iremos fazer
4 traços:
Agora, preencheremos a quantidade de possibilidades
de cada caso:
Finalmente, multiplicamos os números:
Assim, João tem 180 possibilidades diferentes de se
montar um prato.
2.Fatorial
Antes de definirmos casos particulares de contagem,
iremos definir uma operação matemática que será utilizada
nas próximas seções, o fatorial. Define-se o sinal de fatorial
pelo ponto de exclamação, ou seja “ ! “. Assim, quando
encontrarmos 2! Significa que estaremos calculando o
“fatorial de 2” ou “2 fatorial”. A definição de fatorial está
apresentada a seguir:
n! = n ∙ n − 1 ∙ n − 2 ∙ n − 3 … 3 ∙ 2 ∙ 1
Ou seja, o fatorial de um número é caracterizado pelo
produto deste número e seus antecessores, até se chegar
no número 1. Vejam os exemplos abaixo:
3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
5! = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120
Assim, basta ir multiplicando os números até se chegar
ao número 1. Observe que os fatoriais aumentam muito
rápido, veja quanto é 10!:
10! = 10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 3628800
Já estamos na casa dos milhões! Para não trabalharmos
com valores tão altos, as operações com fatoriais são
normalmente feitas por último, procurando fazer o maior
número de simplificações possíveis. Observe este exemplo:
Calcule 10!7!
Resolução: Ao invés de calcular os valores de 7! e 10!
separadamente e depois fazer a divisão, o que levaria
muito tempo, nós simplificamos os fatoriais primeiro. Pela
definição de fatorial, temos o seguinte:
10!
7! =
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
Observe que o denominador pode ser inteiramente
cancelado, pois 10! Possui todos os termos de 7!. Essa é
uma particularidade interessante e facilitará demais a
simplificação. Se cancelarmos, restará apenas um produto
de 3 termos:
10!
7! =
10 ∙ 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 10 ∙ 9 ∙ 8 = 720
Essa operação é muito mais fácil que calcular os fatoriais
desde o começo!
Agora que sabemos o que é fatorial e como simplificá-
lo, podemos passar para os casos particulares de contagem:
Permutações, Combinações e Arranjos.
3. Permutações
As permutações são definidas como situações onde o
número de elementos é igual ao número de posições que
podemos colocá-los. Considere o exemplo onde temos 5
pessoas e 5 cadeiras alinhadas. Queremos saber de quantas
maneiras diferentes podemos posicionar essas pessoas.
Esquematizando o problema, chamando de P as pessoas e C
as cadeiras:
Em problemas onde o número de elementos é igual ao
número de posições, teremos uma permutação. A fórmula
da permutação, considerando que não há repetição de
elementos é a seguinte:
Pn = n!
Ou seja, para permutar 5 elementos em 5 posições,
basta eu calcular o fatorial de 5:
P5 = 5! = 120
53
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Logo, eu posso posicionar as pessoas de 120 maneiras
diferentes na fileira de cadeiras.
Observe que a fórmula da permutação é utilizada como
não há repetição de elementos, mas e quando ocorre
repetição? Neste caso, a fórmula da permutação terá uma
complementação, para desconsiderar casos repetidos que
serão contados 2 ou mais vezes se utilizarmos a fórmula
diretamente.
O exemplo mais comum destes casos é o que
chamamos de Anagrama. Os anagramas são permutações
das letras de uma palavra, formando novas palavras,
sem a necessidade de terem sentido ou não. Usando
primeiramente um exemplo sem repetição, conte quantos
anagramas podemos formar com o nome BRUNO.
Montando a esquematização:
Ou seja, temos que posicionar as letras nas 5 casas
correspondentes e neste caso, é um problema de
permutação sem repetição:
P5 = 5! = 120
Logo, podemos formar 120 anagramas com a palavra
BRUNO. Agora, vamos olhar a palavra MARIANA. Ela possui
7 letras, logo teremos 7 posições:
Entretanto, temos a repetição da letra A. Veja o que
acontece quando montarmos um anagrama qualquer da
palavra:
Não conseguimos saber qual letra “A” foi utilizada
nas posições C1,C3 e C5. Se trocarmos as mesmas de
posição entre si, ficaremos com os mesmos anagramas,
caracterizando uma repetição. Assim, para saber a
quantidade de anagramas com repetição, corrigiremos a
fórmula da permutação da seguinte forma:
Pna =
n!
a!
Ou seja, calcula-se a permutação de “n” elementos com
“a” repetições. Considerando que MARIANA tem 7 letras
(n=7) e a letra “A” se repete 3 vezes, temos que:
P73 =
7!
3! =
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
3 ∙ 2 ∙ 1 = 7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 = 840
Assim, a palavra MARIANA tem 840 anagramas possíveis.
Outro exemplo para deixar este conceito bem claro, é
quando temos dois elementos se repetindo. Por exemplo,
calcule os anagramas da palavra TALITA:
Observe que a letra “T” repete 2 vezes e a letra “A”
também repete duas vezes. Na fórmula da permutação
com repetição, faremos duas divisões:
Pna,b =
n!
a! b!
Ou seja, se houver 2 ou mais elementos se repetindo,
a correção é feita, dividindo pelas repetições de cada um.
Como ambos repetem duas vezes:
P6
2,2 =
6!
2! 2! =
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
2 ∙ 1 ∙ 2 ∙ 1 =
6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3
2 ∙ 1 =
360
2 = 180
Assim, a palavra TALITA tem 180 anagramas.
4. Combinações
As combinações e os arranjos, que serão apresentados
a seguir, possuem uma característica diferente da
permutação. A diferença está no fato do número de
posições ser MENOR que o número de elementos, ou seja,
quando os elementos forem agrupados, sobrarão alguns.
Veja este exemplo: De quantas maneiras podemos formar
uma comissão de 3 membros, dentro os 7 funcionários de
uma empresa?
Resolução: Este exemplo mostrará também como
diferenciar combinação de arranjo. Logo de início, podemos
ver que não se trata de um problema de permutação,
pois temos 3 posições para 7 elementos. Para diferenciar
combinação e arranjo, temos que verificar se a ordem
de escolha dos elementos importa ou não. Neste caso, a
ordem não importa, pois estamos escolhendo 3 pessoas e
não importa a ordem que escolhemos elas pois a comissão
será a mesma. Observe a esquematização:
54
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
As pessoas foram chamadas pelas letras de A até G. Vamos supor que escolheremos as pessoas A,D e G mas em ordens
diferentes:
É importante notar que as comissões ADG e GAD não possuem diferenças, já que as casas C1,C2 e C3 não possuem
nenhuma particularidade descrita no enunciado. Assim, trata-se de um problema de combinação. A fórmula da combinação
depende do número de elementos “n” e o número de posições “p”:
Cn,p =
n!
p! (n − p)!
No exemplo, temos 7 elementos e 3 posições, assim:
Cn,p =
n!
p! (n − p)! =
7!
4! 7 − 4 ! =
7!
4! .3! =
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 =
7 ∙ 6 ∙ 5
3 ∙ 2 ∙ 1 = 7 ∙ 5 = 35
Ou seja, podemos formar 35 comissões distintas.
5. Arranjos
Os arranjos seguem a mesma linha da combinação, onde o número de elementos deve ser maior que o número de
posições possíveis, mas com a diferença que a ordem de escolha dos elementos deve ser considerada. Vamos utilizar o
mesmo exemplo descrito na combinação, mas com algumas diferenças:
De quantas maneiras podemos formar uma comissão de 3 membros, composta por um presidente, um vice-presidente
e um secretário, dentro os 7 funcionários de uma empresa?
Observe que agora o enunciado classifica explicitamente as posições, e podemos montar o esquema da seguinte forma:
55
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
As posições agora foram classificadas de acordo com
a posição que foi pedida no enunciado. Vamos observar
agora o que acontece quando selecionando novamente as
pessoas A,D e G:
Neste caso, as duas comissões são diferentes, pois
em uma a pessoa A é presidente e na outra ela é vice-
presidente. Como a ordem importa, temos um problema
de arranjo. A fórmula de arranjo é mais simples que a
fórmula de combinação:
An,p =
n!
(n − p)!
Tomando n=7 e p = 3 novamente:
An,p =
n!
(n − p)! =
7!
7 − 3 ! =
7!
4! =
7 ∙ 6 ∙ 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1
4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 7 ∙ 6 ∙ 5 = 210
Ou seja, é possível formar 210 comissões neste caso.
Veja que o número é maior que o número da combinação.
A razão é que comissões que antes eram repetidas na
combinação, deixaram de ser no arranjo.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (IF-BA – Professor – AOCP/2016) Na sequência cres-
cente de todos os números obtidos, permutando-se os al-
garismos 1, 2, 3, 7, 8, a posição do número 78.312 é a :
a) 94ª
b) 95ª
c) 96ª
d) 97ª
e) 98ª
Resposta: Letra B.Deve-se contar todos os números an-
teriores a ele. Iniciando com 1_ _ _ _, temos 4! = 24 nú-
meros; iniciando com 2 _ _ _ _ temos outros 24 núme-
ros, assim como iniciando com 3_ _ _ _. Depois temos
os números iniciados com “71_ _ _” que são 6 (3!), assim
como os iniciados em “72_ _ _” e “73_ _ _”. Depois apa-
rece o iniciado com “781_ _” que são 2 números, assim
como o “782 _ _”. O próximo já será o 78312. Somando:
24+24+24+6+6+6+2+2=94. Logo, ele será o 95ª número.
2. Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos
escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?
Resposta: Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmu-
la, quanto usando a princípio fundamental da contagem.
1ª maneira: usando o princípio fundamental da contagem.
Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos
algarismos que irão compor a senha, então teremos a
seguinte situação:
• 9 opções para o algarismo das unidades;
• 8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já
utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir;
• 7 opções para o algarismo das centenas, pois já utiliza-
mos 1 algarismo na unidade e outro na dezena;
• 6 opções para o algarismo do milhar, pois temos que
tirar os que já usamos anteriormente.
Assim, o número de senhas será dado por:
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 = 3 024 senhas
2ª maneira: usando a fórmula
Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber
que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo
1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula
de arranjo.
Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a
4. Desta maneira, o cálculo será:
A9,4 =
9!
9− 4 ! =
9!
5! =
9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ 6 ∙ 5!
5! = 3024 senhas
BINÔMIO DE NEWTON
1.Definição
Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da
forma , sendo n um número natural.
Ex: 3x − 2y 4 , onde a = 3x, b = −2y e n = 4
Primeiramente, vamos desenvolver alguns binômios,
variando o seu grau (exponente):
a + b 0 = 1
a + b 1 = a + b
a + b 2 = a2 + 2ab + b2
a + b 3 = a3 + 3a
2
b + 3ab
2
+ b
3
a + b 4 = a4 + 4a
3
b + 6a
2b2 + 4ab
3
+ b
4
a + b 5 = a5 + 5a
4
b + 10a
3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
Observe que, conforme o grau do binômio é aumen-
tado, a quantidade de termos aumenta, mas que certo
padrão é seguido. Observando os coeficientes dos termos
desenvolvidos, temos o seguinte padrão:
a + b 0 1
a + b 1 1 1
56
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
a + b 2 1 2 1
a + b 3 1 3 3 1
a + b 4 1 4 6 4 1
a + b 5 1 5 10 10 5 1
Esse padrão é conhecido como Triângulo de Pascal e
pode ser expandido da seguinte forma: Os termos das pon-
tas (primeiro e último) serão sempre iguais a 1 e os termos
interiores serão sempre a soma dos dois termos correspon-
dentes da linha anterior. Vamos desenvolver os coeficientes
dos termos para , lembrando que ele terá 1 termo a mais:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 1
Com o primeiro e último termos iguais a 1, vamos agora
efetuar as somas para encontrar os termos seguintes:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 1+5=6 1
Analogamente:
Terceiro termo:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 6 5+10=15 1
Quarto termo:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 6 15 5+10=15 1
Quinto termo:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 6 15 20 5+10=15 1
Sexto termo:
a + b 5 1 5 10 10 5 1
a + b 6 1 6 15 20 15 5+1=6 1
Assim, seguindo o padrão de soma, consegue-se cons-
truir qualquer linha do triângulo. Expandindo até o expoen-
te 10, temos que:
Obviamente, se tivermos um expoente alto, gastaría-
mos muito tempo para montar todo o triângulo. Para resol-
ver este problema, os conceitos de fatorial são bem úteis.
Relembrando a fórmula da combinação:
Cn,p =
n
p =
n!
p! n − p !
Temos que o triângulo de Pascal pode ser reescrito da
seguinte forma:
Ou seja, dado o expoente, você tem o valor de “n”. O valor de
“p” será em função de qual termo você deseja obter o coeficiente.
Observe que se desejar o 5° termo de um binômio desen-
volvido, você terá p = 4, ou seja, não possui a mesma corres-
pondência direta que temos em cada linha com o valor de n.
2.Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton
Agora que sabemos como obter cada coeficiente, falta
responder se há algum padrão para os expoentes de “a” e
“b” quando o binômio é desenvolvido.
Um termo genérico Tp+1 do desenvolvimento de
a + b n , sendo um número natural, é dado por:
57
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
T
p+1
=
n
p ∙ a
n – p ∙ bp
Essa expressão pode obter qualquer termo de qualquer
expoente de um determinado binômio. Basta aplicarmos
adequadamente a fórmula, usando os valores de “n” e “p”,
além de identificarmos quem são os termos “a” e “b”.
Ex: 4° termo de a + b 5
Aplicando a fórmula, temos então que p + 1 = 4 → p = 3
e n=5:
T
4
=
5
3 ∙ a
5−3 ∙ b3 =
5!
3! 5 − 3 ! a
2b3 = 10a2b3
Se você observar os exemplos anteriores, verá que este
é exatamente o valor do termo do desenvolvimento.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. Determine o 7º termo do binômio 2x + 1 9 .
Resposta: 672x
3
. Desenvolvendo o termo geral para
a = 2x, b = 1, n = 9 e p + 1 = 7 → p = 6 , chega-se ao
resultado.
2.Qual o termo médio do desenvolvimento de 2x + 3y
8
?
Resposta: 90720x
4y4 . Desenvolve-se o termo geral
para a = 2x, b = 3y, n = 8 . Além disso, para n=8, o bi-
nômio desenvolvido terá 9 termos, portanto o termo do
meio será o quinto termo, logo e p + 1 = 5 → p = 4.
3. Desenvolvendo o binômio 2x − 3y 3n , obtemos um po-
linômio de 16 termos.
Qual o valor de n?
Resposta: 5 Se o binômio desenvolvido possui 16 ter-
mos, seu grau será um dígito anterior a esse número, ou
seja 15. Assim, 3n=15.
4. Determine o termo independente de x no desenvolvi-
mento de x + 1x
6
..
Resposta: 20. Problema clássico de binômio de Newton,
o termo independente será aquele onde os expoentes
de e são iguais, pois neste caso o x se cancela, restando
apenas números.
Para resolver, basta igualar os expoentes de “a” e “b” do
termo geral: n-p=p→n=2p. . Resolvendo para a=x, b = 1x
e n=6, temos p=3→p+1=4, ou seja, o termo indepen-
dente é o quarto termo do desenvolvimento.
PROBABILIDADE A) EXPERIMENTO
ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL, EVENTO.
B) PROBABILIDADE EM ESPAÇOS
AMOSTRAIS EQUIPROVÁVEIS.
C) PROBABILIDADE DA UNIÃO E
INTERSEÇÃO DE EVENTOS.
D) PROBABILIDADE CONDICIONAL.
E) EVENTOS INDEPENDENTES.
PROBABILIDADE
1. Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento
Em uma tentativa com um número limitado de
resultados, todos com chances iguais, devemos considerar
três definições fundamentais:
Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos
resultados possíveis.
Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos
resultados possíveis; será representado por S e o número
de elementos do espaço amostra por n(S).
Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do
espaço amostral; será representado por A e o número de
elementos do evento por n(A).
Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S,
portanto são eventos.
Ø = evento impossível.
S = evento certo.
2. Conceito de Probabilidade
As probabilidades têm a função de mostrar a chance
de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer
um determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de
um espaço amostral S≠Ø , é dada pelo quociente entre
o número de elementos A e o número de elemento S.
Representando:
P A =
n(A)
N(S)
Ex: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a
6, e observar o lado virado para cima, temos:
a) um espaço amostral, que seria o conjunto S
{1,2,3,4,5,6}..
b) um evento número par, que seria o conjunto A1 =
{2,4,6} C S.
c) o número de elementos do evento número par é
n(A1) = 3.
d) a probabilidade do evento número par é 1/2, pois
P A =
n(A1)
N(S) =
3
6 =
1
2
58
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
3.Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não
Vazio
a) Em um evento impossível a probabilidade é igual a
zero. Em um evento certo S a probabilidade é igual a
1. Simbolicamente: P(Ø ) = 0 e P(S)= 1
b) Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤
P(A) ≤ 1.
c) Se A for o complemento de A em S, neste caso P(A)
= 1 - P(A)
4. Demonstração das Propriedades
Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:
�A ∪ A
� = S
A ∩ A� = ∅
5.União de Eventos
Considere A e B como dois eventos de um espaço
amostral S, finito e não vazio, temos:
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)↔
↔
n(A ∪ B)
n(S) =
n(A)
n(S) +
n(B)
n(S) −
n(A ∩ B)
n(S)
Logo: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
6. Eventos Mutuamente Exclusivos
Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão
denominados mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B
= 0, portanto: P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Quando os eventos
A
1
, A
2
, A
3
, … , A
n de S forem, de dois em dois, sempre
mutuamente exclusivos, nesse caso temos, analogicamente:
P(A
1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + . . . + P(An)
7. Eventos Exaustivos
Quando os eventos A
1
, A
2
, A
3
, … , A
n
de S forem,
de dois em dois, mutuamente exclusivos, estes serão
denominados exaustivos se:
A
1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ …∪ An = S
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
A) POPULAÇÃO E AMOSTRA.
B) FREQUÊNCIA ABSOLUTA E FREQUÊNCIA
RELATIVA.
C) MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL:
MÉDIA ARITMÉTICA, MÉDIA ARITMÉTICA
PONDERADA, MEDIANA
E MODA.
ESTATÍSTICA
1.Definições Básicas
Estatística: ciência que tem como objetivo auxiliar
na tomada de decisões por meio da obtenção, análise,
organização e interpretação de dados.
População: conjunto de entidades (pessoas, objetos,
cidades, países, classes de trabalhadores, etc.) que
apresentem no mínimo uma característica em comum.
Exemplos: pessoas de uma determinada cidade, preços
de um produto, médicos de um hospital, estudantes que
prestam determinado concurso, etc.
Amostra: É uma parte da população que será objeto
do estudo. Como em muitos casos não é possível estudar
a população inteira, estuda-se uma amostra de tamanho
significativo (há métodos para determinar isso) que retrate o
comportamento da população. Exemplo: pesquisa de intenção
de votos de uma eleição. Algumas pessoas são entrevistadas
e a pesquisa retrata a intenção de votos da população.
Variável: é o dado a ser analisado. Aqui, será chamado
de e cada valor desse dado será chamado de . Essa variável
pode ser quantitativa (assume valores) ou qualitativa
(assume características ou propriedades).
2. Medidas de tendência central
São medidas que auxiliam na análise e interpretação
de dados para a tomada de decisões. As três medidas de
tendência central são:
59
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Média aritmética simples: razão entre a soma de todos os valores de uma mostra e o número de elementos da amostra.
Expressa por . Calculada por:
x� =
∑xi
n
Média aritmética ponderada: muito parecida com média aritmética simples, porém aqui cada variável tem um peso
diferente que é levado em conta no cálculo da média.
x� =
∑xipi
∑pi
Mediana: valor que divide a amostra na metade. Em caso de número para de elementos, a mediana é a média entre os
elementos intermediários
Moda: valor que aparece mais vezes dentro de uma amostra.
Ex: Dada a amostra {1,3,1,2,5,7,8,7,6,5,4,1,3,2} calcule a média, a mediana e a moda.
Solução
Média:
x� =
1 + 3 + 1 + 2 + 5 + 7 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 1 + 3 + 2
14 =
55
14 = 3,92
Mediana:
Inicialmente coloca-se os valores em ordem crescente:
{1,1,1,2,2,3,3,4,5,5,6,7,7,8}
Como a amostra tem 14 valores (número par), os elementos intermediários são os 7º e 8º elementos. Nesse exemplo,
são os números 3 e 4. Portanto, a mediana é a média entre eles: 3+4
2 =
7
2 = 3,5
Moda:
O número que aparece mais vezes é o número 1 e, portanto, é a moda da amostra nesse exemplo.
Ex: Dada a amostra {2,4,8,10,15,6,9,11,7,4,15,15,11,6,10} calcule a média, a mediana e a moda.
Solução:
Média:
x� =
2 + 4 + 8 + 10 + 15 + 6 + 9 + 11 + 7 + 4 + 15 + 15 + 11 + 6 + 10
15 =
133
14 = 8,867
Mediana:
Inicialmente coloca-se os valores em ordem crescente
{2,4,4,6,6,7,8,9,10,10,11,11,15,15,15}
Como a amostra tem 15 valores (número par), o elemento intermediário é o 8º elemento. Logo, a mediana é igual a 9.
Moda:
O número que aparece mais vezes é o número 15 e, portanto, é a moda da amostra nesse exemplo.
Ex: A média de uma disciplina é calculada por meio da média ponderada de três provas. A primeira tem peso 3, a
segunda tem peso 4 e a terceira tem peso 5. Calcule a média de um aluno que obteve nota 8 na primeira prova, 5 na
segunda e 6 na terceira.
60
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Solução:
Trata-se de um caso de média aritmética ponderada.
x� =
∑xipi
∑pi
=
3 ∙ 8 + 4 ∙ 5 + 5 ∙ 6
3 + 4 + 5 =
74
12 = 6,167
3. Tabelas e Gráficos
3.1.Tabelas
Tabelas podem ser utilizadas para expressar os mais diversos tipos de dados. O mais importante é saber interpretá-las e
para isso é conveniente saber como uma tabela é estruturada. Toda tabela possui um título que indica sobre o que se trata
a tabela. Toda tabela é dividida em linhas e colunas onde, no começo de uma linha ou de uma coluna, está indicado qual o
tipo de dado que aquela linha/coluna exibe.
Ex:
Tabela 1 - Número de estudantes da Universidade ALFA divididos por curso
Curso Número de Estudantes
Administração 2000
Arquitetura 1450
Direito 2500
Economia 1800
Enfermagem 800
Engenharia 3500
Letras 750
Medicina 1500
Psicologia 1000
TOTAL 15300
Nesse caso, as colunas são: curso e número de estudantes e cada linha corresponde a um dos cursos da Universidade
com o respectivo número de alunos de cada curso.
Tabela 2 - Número de estudantes da Universidade ALFA divididos por curso e gênero
Curso Gênero Número
de Estudantes
Administração
Homem 1200
Mulher 800
Arquitetura
Homem 850
Mulher 600
Direito
Homem 1600
Mulher 900
Economia
Homem 800
Mulher 1000
Enfermagem
Homem 350
Mulher 450
Engenharia
Homem 2500
Mulher 1000
Letras
Homem 200
Mulher 550
61
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Medicina
Homem 700
Mulher 800
Psicologia
Homem 400
Mulher 600
TOTAL 15300
Nesse caso, as colunas são: curso, gênero e número de estudantes e cada linha corresponde a um dos cursos da
Universidade com o respectivo número de alunos de cada curso separados por gênero.
Acima foram exibidas duas tabelas como exemplos. Há uma infinidade de tabelas cada uma com sua particula-
ridade o que torna impossível exibir todos os tipos de tabelas aqui. Porém em todas será necessário identificar
linhas, colunas e o que cada valor exibido representa.
#FicaDica
3.2. Gráficos
Para falar de gráficos em estatística é importante apresentar o conceito de frequência.
Frequência: Quantifica a repetição de valores de uma variável estatística.
Tipos de frequência
Absoluta: mede a quantidade de repetições.
Ex. Dos 30 alunos, seis tiraram nota 6,0. Essa nota possui freqüência absoluta:
fi = 4
Relativa: Relaciona a quantidade de repetições com o total (expresso em porcentagem)
Ex. Dos 30 alunos, seis tiraram nota 6,0. Essa nota possui freqüência relativa:
fr =
6
30 ∙ 100 = 20%
4. Tipos de Gráficos
Gráficos de coluna: gráficos que têm como objetivo atribuir quantidades a certos tipos de grupos. Na horizontal são
apresentados os grupos (dados qualitativos) dos quais deseja-se apresentar dados enquanto na vertical são apresentados
os valores referentes a cada grupo (dados quantitativos ou frequências absolutas)
Ex: A Universidade ALFA recebe estudantes do mundo todo. A seguir há um gráfico que mostra a quantidade de
estudantes separados pelos seus continentes de origem:
0
100
200
300
400
500
600
700
América do
Norte
América do
Sul
América
Central
Europa Ásia África Oceania
Estudantes da Universidade ALFA
62
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Gráficos de barras: gráficos bastante similares aos de
colunas, porém, nesse tipo de gráfico, na horizontal são
apresentados os valores referentes a cada grupo (dados
quantitativos) enquanto na vertical são apresentados os
grupos (dados qualitativos)
Ex: A Universidade ALFA recebe estudantes do mundo
todo. A seguir há um gráfico que mostra a quantidade de
estudantes separados pelos seus continentes de origem:
0 100 200 300 400 500 600 700
América do Norte
América do Sul
América Central
Europa
Ásia
África
Oceania
Estudantes da Universidade ALFA
Gráficos de linhas: gráficos nos quais são exibidas séries
históricas de dados e mostram a evolução dessas séries ao
longo do tempo.
Ex: A Universidade ALFA tem 10 anos de existências e
seu reitor apresentou um gráfico mostrando o número de
alunos da Universidade ao longo desses 10 anos.
0
500
1000
1500
2000
2500
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Estudantes da Universidade ALFA ao longo de 10 anos
Gráficos em pizzas: gráficos nos quais são expressas
relações entre grandezas em relação a um todo. Nesse
gráfico é possível visualizar a relação de proporcionalidade
entre as grandezas. Recebe esse nome pois lembram uma
pizza pelo formato redondo com seus pedaços (frequências
relativas).
Ex: A Universidade ALFA recebe estudantes do mundo
todo. A seguir há um gráfico que mostra a distribuição de
estudantes de acordo com seus continentes de origem
630
520
150
440
260
150
30
Estudantes da Universidade ALFA
América do Norte América do Sul América Central Europa Ásia África Oceania
Ex: Foi feito um levantamento do idioma falado pelos
alunos de um curso da Universidade ALFA.
Frequências absolutas:
Frequências relativas:
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TI
CA
EXERCÍCIO COMENTADO
1. (SEGEP-MA - Técnico da Receita Estadual – FCC/2016)
Três funcionários do Serviço de Atendimento ao Cliente de
uma loja foram avaliados pelos clientes que atribuíram uma
nota (1; 2; 3; 4; 5) para o atendimento recebido. A tabela
mostra as notas recebidas por esses funcionários em um
determinado dia.
Considerando a totalidade das 95 avaliações desse dia, é
correto afirmar que a média das notas dista da moda des-
sas mesmas notas um valor absoluto, aproximadamente,
igual a:
a) 0,33
b) 0,83
c) 0,65
d) 0,16
e) 0,21
Resposta: Letra c.Trata-se de um caso de média aritmé-
tica ponderada. Considerando as 95 avaliações, o peso
de cada uma das notas é igual ao total de pessoas que
atribuiu a nota. Analisando a tabela
8 pessoas atribuíram nota 1
18 pessoas atribuíram nota 2
21 pessoas atribuíram nota 3
29 pessoas atribuíram nota 4
19 pessoas atribuíram nota 5
Assim, a média das 95 avaliações é calculada por:
x� =
8 ∙ 1 + 18 ∙ 2 + 21 ∙ 3 + 29 ∙ 4 + 19 ∙ 5
8 + 18 + 21 + 29 + 19 =
318
95 = 3,34
2. (UFC - 2016) A média aritmética das notas dos alunos
de uma turma formada por 25 meninas e 5 meninos é igual
a 7. Se a média aritmética das notas dos meninos é igual a
6, a média aritmética das notas das meninas é igual a:
a) 6,5
b) 7,2
c) 7,4
d) 7,8
e) 8,0
Resposta: Letra B. Primeiramente, será identificada
a soma das notas dos meninos por x e a da nota das
meninas por y. Se a turma tem 5 meninos e a média
aritmética de suas notas é igual a 6, então a soma das
notas dos meninos (x) dividida pela quantidade de me-
ninos (5) deve ser igual a 6, isto é:
x
5 = 6
x = 6 ∙ 5
x = 30
Do mesmo modo, se a turma tem 25 meninas
(Me é a média aritmética de suas notas), o quociente
da soma das notas das meninas (y) e a quantidade de
meninas (25) deve ser igual a Me, isto é:
(x + y)/(25+5) = 7
y = 25∙Me
Para calcular a média da turma, devemos somar as notas
dos meninos (30) às notas das meninas (y) e dividir pela
quantidade de alunos (25 + 5 = 30). O resultado deverá
ser 7. Sendo assim, temos:
x + y
25 + 5 = 7
30 + 25 ∙ Me
30 = 7
30 + 25 ∙ Me = 7 • 30
30 + 25 ∙ Me = 210
25 ∙ Me = 210 – 30
25 ∙ Me = 180
Me = 7,2
Portanto, a média aritmética das notas das meninas
é 7,2. A alternativa correta é a letra b.
Então, logo:
�P A1 ∪ A2 ∪⋯∪ An = P A1 + P A2 + ⋯+ P(An)P A1 ∪ A2 ∪⋯An = P S = 1
Portanto:
P(A
1
) + P(A
2
) + P(A
3
) + . . . + P(A
n
) = 1
8. Probabilidade Condicionada
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S,
finito e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é
dada pela probabilidade de ocorrência de B sabendo que
já ocorreu A. É representada por P(B/A).
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TI
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Veja: P(B/A) =
n(A ∩ B)
n(A)
9. Eventos Independentes
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral
S, finito e não vazio. Estes serão independentes somente
quando:
P(A/B) = P(A)
P(B/A) = P(B)
10. Intersecção de Eventos
Considerando A e B como dois eventos de um espaço
amostral S, finito e não vazio, logo:
P(B/A) =
n(A ∩ B)
n(A) =
n A ∩ B + n(S)
n A + n(S) =
P(A ∩ B)
P(A)
P(A/B) =
n(A ∩ B)
n(B) =
n A ∩ B + n(S)
n B + n(S) =
P(A ∩ B)
P(B)
Assim sendo:
P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B/A)
P A ∩ B = P B ∙ P(A/B)
Considerando A e B como eventos independentes, logo
P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A)∙
P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes,
podemos utilizar a definição ou calcular a probabilidade de
A ∩ B. Veja a representação:
A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou
A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B)
FIQUE ATENTO!
Um exercício de probabilidade pode envolver
aspectos relativos à análise combinatória. É
importante ter em mente a diferença concei-
tual que existe entre ambos.
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1.Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas
verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola
ser verde?
Resposta: 5/12. Neste exercício o espaço amostral pos-
sui 12 elementos, que é o número total de bolas, portan-
to a probabilidade de ser retirada uma bola verde está
na razão de 5 para 12.
Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de
uma bola verde, matematicamente podemos represen-
tar a resolução
assim:
P E =
n E
n S
P E =
5
12
Logo, a probabilidade desta bola ser verde é 5/12.
2. (IBGE – Analista Censitário – FGV/2017) Entre os cinco
números 2, 3, 4, 5 e 6, dois deles são escolhidos ao acaso
e o produto deles dois é calculado. A probabilidade desse
produto ser um número par é:
a) 60%
b) 75%
c) 80%
d) 85%
e) 90%
Resposta: Letra E. Para sabermos o tamanho do es-
paço amostral, basta calcularmos a combinação dos
5 elementos tomados 2 a 2 (a ordem não impor-
ta, pois a ordem dos fatores não altera o produto):
C5,2 =
5!
2! 3! =
5 ∙ 4
2 = 10
.
Para o produto ser par, os dois números escolhidos de-
verão ser par ou um deles é par. O único caso onde o
produto não dá par é quando os dois números são ím-
pares. Assim, apenas o produto 3 5 não pode ser es-
colhido. Logo, se 1/10 = 10% não terá produto par, os
outros 90% terão.
GRÁFICOS E TABELAS
Os gráficos e tabelas apresentam o cruzamento entre
dois dados relacionados entre si.
A escolha do tipo e a forma de apresentação sempre
vão depender do contexto, mas de uma maneira geral um
bom gráfico deve:
-Mostrar a informação de modo tão acurado quanto
possível.
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[ Á
TI
CA
-Utilizar títulos, rótulos, legendas, etc. para tornar claro
o contexto, o conteúdo e a mensagem.
-Complementar ou melhorar a visualização sobre as-
pectos descritos ou mostrados numericamente atra-
vés de tabelas.
-Utilizar escalas adequadas.
-Mostrar claramente as tendências existentes nos da-
dos.
1. Tipos de gráficos
Barras- utilizam retângulos para mostrar a quantidade.
Barra vertical
Fonte: tecnologia.umcomo.com.br
Barra horizontal
Fonte: mundoeducacao.bol.uol.com.br
Histogramas
São gráfico de barra que mostram a frequência de uma
variável específica e um detalhe importante que são faixas
de valores em x.
Setor ou pizza- Muito útil quando temos um total e
queremos demonstrar cada parte, separando cada pedaço
como numa pizza.
Fonte: educador.brasilescola.uol.com.br
Linhas- É um gráfico de grande utilidade e muito co-
mum na representação de tendências e relacionamentos
de variáveis
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AT
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[ Á
TI
CA
Pictogramas – são imagens ilustrativas para tornar mais
fácil a compreensão de todos sobre um tema.
Da mesma forma, as tabelas ajudam na melhor visuali-
zação de dados e muitas vezes é através dela que vamos
fazer os tipos de gráficos vistos anteriormente.
Podem ser tabelas simples:
Quantos aparelhos tecnológicos você tem na sua casa?
aparelho quantidade
televisão 3
celular 4
Geladeira 1
Até as tabelas que vimos nos exercícios de raciocínio
lógico
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (TJ/RS - TÉCNICO JUDICIÁRIO – FAURGS/2017) Na
Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua, re-
alizada pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
(IBGE), foram obtidos os dados da taxa de desocupação da
população em idade para trabalhar. Esses dados, em por-
centagem, encontram-se indicados na apresentação gráfi-
ca abaixo, ao longo de trimestres de 2014 a 2017.
Dentre as alternativas abaixo, assinale a que apresenta a
melhor aproximação para o aumento percentual da taxa de
desocupação do primeiro trimestre de 2017 em relação à
taxa de desocupação do primeiro trimestre de 2014.
a) 15%.
b) 25%.
c) 50%.
d) 75%.
e) 90%.
Resposta: Letra E.
13,7/7,2=1,90
Houve um aumento de 90%.
2. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO - VU-
NESP/2017) A tabela seguinte, incompleta, mostra a dis-
tribuição, percentual e quantitativa, da frota de uma em-
presa de ônibus urbanos, de acordo com o tempo de uso
destes.
O número total de ônibus dessa empresa é
a) 270.
b) 250.
c) 220
d) 180.
e) 120.
Resposta: Letra D
81+27=108
108 ônibus somam 60%(100-35-5)
108-----60
x--------100
x=10800/60=180
3. (CÂMARA DE SUMARÉ – ESCRITURÁRIO - VU-
NESP/2017) O gráfico mostra o número de carros vendi-
dos por uma concessionária nos cinco dias subsequentes à
veiculação de um anúncio promocional.
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CA
O número médio de carros vendidos por dia nesse período
foi igual a
a) 10.
b) 9.
c) 8.
d) 7.
e) 6.
Resposta: Letra C.
4. (CRBIO – Auxiliar Administrativo – VUNESP/2017)
Uma professora elaborou um gráfico de setores para repre-
sentar a distribuição, em porcentagem, dos cinco conceitos
nos quais foram agrupadas as notas obtidas pelos alunos
de uma determinada classe em uma prova de matemática.
Observe que, nesse gráfico, as porcentagens referentes a
cada conceito foram substituídas por x ou por múltiplos e
submúltiplos de x.
Analisando o gráfico, é correto afirmar que a medida do
ângulo interno correspondente ao setor circular que repre-
senta o conceito BOM é igual a
a) 144º.
b) 135º.
c) 126º
d) 117º
e) 108º.
Resposta: Letra A.
X+0,5x+4x+3x+1,5x=360
10x=360
X=36
Como o conceito bom corresponde a 4x: 4x36=144°
5. (TCE/PR – CONHECIMENTOS BÁSICOS – CES-
PE/2016)
Tendo como referência o gráfico precedente, que mostra
os valores, em bilhões de reais, relativos à arrecadação de
receitas e aos gastos com despesas do estado do Paraná
nos doze meses do ano de 2015, assinale a opção correta.
a) No ano considerado, o segundo trimestre caracterizou-
-se por uma queda contínua na arrecadação de receitas,
situação que se repetiu no trimestre seguinte.
b) No primeiro quadrimestre de 2015, houve um período
de queda simultânea dos gastos com despesas e da ar-
recadação de receitas e dois períodos de aumento si-
multâneo de gastos e de arrecadação.
c) No último bimestre do ano de 2015, foram registrados
tanto o maior gasto com despesas quanto a maior arre-
cadação de receitas.
d) No ano em questão, janeiro e dezembro foram os únicos
meses em que a arrecadação de receitas foi ultrapassada
por gastos com despesas.
e) A menor arrecadação mensal de receitas e o menor gasto
mensal com despesas foram verificados, respectivamente,
no primeiro e no segundo semestre do ano de 2015.
Resposta: Letra B.
Analisando o primeiro quadrimestre, observamos que os
dois primeiros meses de receita diminuem e os dois meses
seguintes aumentam, o mesmo acontece com a despesa.
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CA
6. (BRDE – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO – FUNDA-
TEC/2015) Assinale a alternativa que representa a nomen-
clatura dos três gráficos abaixo, respectivamente.
a) Gráfico de Setores – Gráfico de Barras – Gráfico de Linha.
c) Gráfico de Pareto – Gráfico de Pizza – Gráfico de Ten-
dência.
c) Gráfico de Barras – Gráfico de Setores – Gráfico de Linha.
d) Gráfico de Linhas – Gráfico de Pizza – Gráfico de Barras.
e) Gráfico de Tendência – Gráfico de Setores – Gráfico de
Linha.
Resposta: Letra C.
Como foi visto na teoria, gráfico de barras, de setores ou
pizza e de linha
7. (TJ/SP – ESTATÍSTICO JUDICIÁRIO – VUNESP/2015)
A distribuição de salários de uma empresa com 30 funcio-
nários é dada na tabela seguinte.
Salário (em salários mínimos) Funcionários
1,8 10
2,5 8
3,0 5
5,0 4
8,0 2
15,0 1
Pode-se concluir que
a) o total da folha de pagamentos é de 35,3 salários.
b) 60% dos trabalhadores ganham mais ou igual a 3 salá-
rios.
c) 10% dos trabalhadores ganham mais de 10 salários.
d) 20% dos trabalhadores detêm mais de 40% da renda
total.
e) 60% dos trabalhadores detêm menos de 30% da renda
total.
Resposta: Letra D.
a) 1,8x10+2,5x8+3,0x5+5,0x4+8,0x2+15,0x1=104 salá-
rios
b) 60% de 30=18 funcionários e se juntarmos quem ga-
nha mais de 3 salários (5+4+2+1=12)
c)10% de 30=0,1x30=3 funcionários
E apenas 1 pessoa ganha
d) 40% de 104=0,4x104= 41,6
20% de 30=0,2x30=6
5x3+8x2+15x1=46, que já é maior.
e) 60% de 30=0,6x30=18
30% de 104=0,3x104=31,20da renda: 31,20
8. (TJ/SP – ESTATÍSTICO JUDICIÁRIO – VUNESP/2015)
Considere a tabela de distribuição de frequência seguinte,
em que xi é a variável estudada e fi é a frequência absoluta
dos dados.
xi fi
30-35 4
35-40 12
40-45 10
45-50 8
50-55 6
TOTAL 40
Assinale a alternativa em que o histograma é o que melhor
representa a distribuição de frequência da tabela.
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AT
EM
[ Á
TI
CA
a)
b)
c)
d)
e)
Resposta: Letra A.
Colocando em ordem crescente:
30-35, 50-55, 45-50,
40-45, 35-40,
9. (DEPEN – AGENTE PENITENCIÁRIO FEDERAL –
CESPE/2015)
Ministério da Justiça — Departamento Penitenciário Nacional
— Sistema Integrado de Informações Penitenciárias – InfoPen,
Relatório Estatístico Sintético do Sistema Prisional Brasileiro,
dez./2013 Internet:<www.justica.gov.br> (com adaptações)
A tabela mostrada apresenta a quantidade de detentos no sistema
penitenciário brasileiro por região em 2013. Nesse ano, o déficit re-
lativo de vagas — que se define pela razão entre o déficit de vagas
no sistema penitenciário e a quantidade de detentos no sistema pe-
nitenciário — registrado em todo o Brasil foi superior a 38,7%, e, na
média nacional, havia 277,5 detentos por 100 mil habitantes.
Com base nessas informações e na tabela apresentada, jul-
gue o item a seguir.
Em 2013, mais de 55% da população carcerária no Brasil se
encontrava na região Sudeste.
( ) CERTO ( ) ERRADO
Resposta: CERTA.
555----100%
x----55%
x=305,25
Está correta, pois a região sudeste tem 306 pessoas.
10. (DEPEN – AGENTE PENITENCIÁRIO FEDERAL –
CESPE/2015)
A partir das informações e do gráfico apresentados, julgue
o item que se segue.
Se os percentuais forem representados por barras verticais,
conforme o gráfico a seguir, então o resultado será deno-
minado histograma.
( ) CERTO ( ) ERRADO
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CA
Referências
http://www.galileu.esalq.usp.br
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. Teste de Hipóteses
Definição: Processo que usa estatísticas amostrais para
testar a afirmação sobre o valor de um parâmetro popula-
cional.
Para testar um parâmetro populacional, você deve afir-
mar cuidadosamente um par de hipóteses – uma que re-
presente a afirmação e outra, seu complemento. Quando
uma é falsa, a outra é verdadeira.
Uma hipótese nula H0 é uma hipótese estatística que
contém uma afirmação de igualdade, tal como ≤, =, ≥
A hipótese alternativa Ha é o complemento da hipótese
nula. Se H0 for falsa, Ha deve ser verdadeira, e contém afir-
mação de desigualdade, como <, ≠, >.
Vamos ver como montar essas hipóteses
Um caso bem simples.
Assim, fica fácil, se H0 for falsa, Ha é verdadeira
Há uma regrinha para formular essas hipóteses
Formulação verbal
H0
A média é
Formulação
Matemática
Formulação
verbal Ha
A média é
...maior ou igual
a k.
....pelo menos k.
...não menos que
k.
...menor que k
... abaixo de k
...menos que k.
...menor ou igual
a k.
....no máximo k.
...não mais que k.
..maior que k
... acima de k
...mais do que
k.
... igual a k.
.... k.
...exatamente k.
... não igual
a k.
.... diferente
de k.
...não k.
Exemplo: Um fabricante de torneiras anuncia que o
índice médio de fluxo de água de certo tipo de torneira é
menor que 2,5 galões por minuto.
Referências
Larson, Ron. Estatística Aplicada. 4ed – São Paulo: Pear-
son Prentice Hall, 2010.
FREQUÊNCIAS
A primeira fase de um estudo estatístico consiste em
recolher, contar e classificar os dados pesquisados sobre
uma população estatística ou sobre uma amostra dessa
população.
1. Frequência Absoluta
É o número de vezes que a variável estatística assume
um valor.
1.1. Frequência Relativa
É o quociente entre a frequência absoluta e o número
de elementos da amostra.
Na tabela a seguir, temos exemplo dos dois tipos:
1.2. Distribuição de frequência sem intervalos de
classe:
É a simples condensação dos dados conforme as repe-
tições de seu valores. Para um ROL de tamanho razoável
esta distribuição de frequência é inconveniente, já que exi-
ge muito espaço. Veja exemplo abaixo:
Dados Frequência
41 3
42 2
43 1
44 1
45 1
46 2
71
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
50 2
51 1
52 1
54 1
57 1
58 2
60 2
Total 20
1.3. Distribuição de frequência com intervalos de
classe:
Quando o tamanho da amostra é elevado é mais racio-
nal efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos
de classe.
Classes Frequências
41 |------- 45 7
45 |------- 49 3
49 |------- 53 4
53 |------- 57 1
57 |------- 61 5
Total 20
2. Média aritmética
Média aritmética de um conjunto de números é o valor
que se obtém dividindo a soma dos elementos pelo núme-
ro de elementos do conjunto.
Representemos a média aritmética por .
A média pode ser calculada apenas se a variável envol-
vida na pesquisa for quantitativa. Não faz sentido calcular a
média aritmética para variáveis quantitativas.
Na realização de uma mesma pesquisa estatística entre
diferentes grupos, se for possível calcular a média, ficará
mais fácil estabelecer uma comparação entre esses grupos
e perceber tendências.
Considerando uma equipe de basquete, a soma das al-
turas dos jogadores é:
Se dividirmos esse valor pelo número total de jogado-
res, obteremos a média aritmética das alturas:
A média aritmética das alturas dos jogadores é 2,02m.
2.1. Média Ponderada
A média dos elementos do conjunto numérico A relati-
va à adição e na qual cada elemento tem um “determinado
peso” é chamada média aritmética ponderada.
2.2. Mediana (Md)
Sejam os valores escritos em rol:
Sendo n ímpar, chama-se mediana o termo tal que o
número de termos da sequência que precedem é igual
ao número de termos que o sucedem, isto é, é termo
médio da sequência ( ) em rol.
Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela
média aritmética entre os termos e , tais que o nú-
mero de termos que precedem é igual ao número de
termos que sucedem , isto é, a mediana é a média arit-
mética entre os termos centrais da sequência ( ) em rol.
Exemplo 1:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}
Solução:
Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se:
(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23). A mediana é o termo médio desse
rol. Logo: Md=12
Resposta: Md=12.
Exemplo 2:
Determinar a mediana do conjunto de dados:
{10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.
Solução:
Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem-
-se:
(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana é a média aritmé-
tica entre os dois termos centrais do rol.
Logo:
Resposta: Md=15
3. Moda (Mo)
Num conjunto de números: , chama-se
moda aquele valor que ocorre com maior frequência.
Observação:
A moda pode não existir e, se existir, pode não ser única.
72
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Exemplo 1:
O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual
a 8, isto é, Mo=8.
Exemplo 2:
O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 não tem moda.
4. Medidas de dispersão
Duas distribuições de frequência com medidas de ten-
dência central semelhantes podem apresentar característi-
cas diversas. Necessita-se de outros índices numéricas que
informem sobre o grau de dispersão ou variação dos dados
em torno da média ou de qualquer outro valor de concen-
tração. Esses índices são chamados medidas de dispersão.
5. Variância
Há um índice que mede a “dispersão” dos elementos de
um conjunto de números em relação à sua média aritmética,
e que é chamado de variância. Esse índice é assim definido:
Seja o conjunto de números , tal que é
sua média aritmética. Chama-se variância desse conjunto,
e indica-se por , o número:
Isto é:
E para amostra
Exemplo 1:
Em oito jogos, o jogador A, de bola ao cesto, apresen-
tou o seguinte desempenho, descrito na tabela abaixo:
Jogo Número de pontos
1 22
2 18
3 13
4 24
5 26
6 20
7 19
8 18
a) Qual a média de pontos por jogo?
b) Qual a variância do conjunto de pontos?
Solução:
a) A média de pontos por jogo é:
b) A variância é:
Desvio médio
1. Definição
Medida da dispersão dos dados em relação à média de
uma sequência. Esta medida representa a média das dis-
tâncias entre cada elemento da amostra e seu valor médio.
2. Desvio padrão
2.1. Definição
Seja o conjunto de números , tal que é
sua média aritmética. Chama-se desvio padrão desse con-
junto, e indica-se por , o número:
Isto é:
Exemplo:
As estaturas dos jogadores de uma equipe de basque-
tebol são: 2,00 m; 1,95 m; 2,10 m; 1,90 m e 2,05 m. Calcular:
a) A estatura média desses jogadores.
b) O desvio padrão desse conjunto de estaturas.
Solução:
Sendo a estatura média, temos:
Sendo o desvio padrão, tem-se:
73
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TI
CA
EXERCÍCIOS COMENTADOS
1. (CRBIO – AUXILIAR ADMINISTRATIVO – VU-
NESP/2017) Uma empresa tem 120 funcionários no total:
70 possuem curso superior e 50 não possuem curso supe-
rior. Sabe-se que a média salarial de toda a empresa é de
R$ 5.000,00, e que a média salarial somente dos funcioná-
rios que possuem curso superior é de R$ 6.000,00. Desse
modo, é correto afirmar que a média salarial dos funcioná-
rios dessa empresa que não possuem curso superior é de
a) R$ 4.000,00.
b) R$ 3.900,00.
c) R$ 3.800,00.
d) R$ 3.700,00.
e) R$ 3.600,00.
Resposta: Letra E.
S=cursam superior
M=não tem curso superior
S+M=600000
S=420000
M=600000-420000=180000
2. (TJM/SP – ESCREVENTE TÉCNICO JUDICIÁRIO – VU-
NESP/2017) Leia o enunciado a seguir para responder a questão.
A tabela apresenta o número de acertos dos 600 candida-
tos que realizaram a prova da segunda fase de um concur-
so, que continha 5 questões de múltipla escolha
Número de
acertos
Número de candidatos
5 204
4 132
3 96
2 78
1 66
0 24
A média de acertos por prova foi de
a) 3,57.
b) 3,43
c) 3,32.
d) 3,25.
e) 3,19.
Resposta: Letra B.
3. (PREF. GUARULHOS/SP – ASSISTENTE DE GESTÃO
ESCOLAR – VUNESP/2016) Certa escola tem 15 classes
no período matutino e 10 classes no período vespertino. O
número médio de alunos por classe no período matutino
é 20, e, no período vespertino, é 25. Considerando os dois
períodos citados, a média aritmética do número de alunos
por classe é
a) 24,5.
b) 23.
c) 22,5.
d) 22.
e) 21.
Resposta: Letra D.
M=300
V=250
4. (SEGEP/MA – TÉCNICO DA RECEITA ESTADUAL –
FCC/2016) Para responder à questão, considere as infor-
mações abaixo.
Três funcionários do Serviço de Atendimento ao Cliente de
uma loja foram avaliados pelos clientes que atribuíram uma
nota (1; 2; 3; 4; 5) para o atendimento recebido. A tabela
mostra as notas recebidas por esses funcionários em um
determinado dia.
Considerando a avaliação média individual de cada funcio-
nário nesse dia, a diferença entre as médias mais próximas
é igual a
74
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a) 0,32.
b) 0,21.
c) 0,35.
d) 0,18.
e) 0,24.
Resposta: Letra B.
3,36-3,15=0,21
5. (UFES – ASSISTENTE EM ADMINISTRAÇÃO –
UFES/2017) Considere n números x1, x2, … , xn, em que
x1 ≤ x2 ≤ ⋯ ≤ xn . A mediana desses números é igual a x(n
+ 1)/2, se n for ímpar, e é igual à média aritmética de xn
⁄ 2 e x(n + 2)/2, se n for par. Uma prova composta por 5
questões foi aplicada a uma turma de 24 alunos. A tabela
seguinte relaciona o número de acertos obtidos na prova
com o número de alunos que obtiveram esse número de
acertos.
Número de acertos Número de alunos
0 4
1 5
2 4
3 3
4 5
5 3
A penúltima linha da tabela acima, por exemplo, indica que
5 alunos tiveram, cada um, um total de 4 acertos na prova.
A mediana dos números de acertos é igual a
a) 1,5
b) 2
c) 2,5
d) 3
e) 3,5
Resposta: Letra B.
Como 24 é um número par, devemos fazer a segunda
regra:
6. (UFAL – AUXILIAR DE BIBLIOTECA – COPEVE/2016)
A tabela apresenta o número de empréstimos de livros de
uma biblioteca setorial de um Instituto Federal, no primeiro
semestre de 2016.
Mës Empréstimos
Janeiro 15
Fevereiro 25
Março 22
Abril 30
Maio 28
Junho 15
Dadas as afirmativas,
I. A biblioteca emprestou, em média, 22,5 livros por mês.
II. A mediana da série de valores é igual a 26.
III. A moda da série de valores é igual a 15.
Verifica-se que está(ão) correta(s)
a) II, apenas.
b) III, apenas.
c) I e II, apenas.
d) I e III, apenas.
e) I, II e III.
Resposta: Letra D.
Mediana
Vamos colocar os números em ordem crescente
15,15,22,25,28,30
Moda é o número que mais aparece, no caso o 15.
7. (COSANPA - QUÍMICO – FADESP/2017) Algumas De-
terminações do teor de sódio em água (em mg L-1) foram
executadas (em triplicata) paralelamente por quatro labo-
ratórios e os resultados são mostrados na tabela abaixo.
Replicatas Laboratório
1 2 3 4
1 30,3 30,9 30,3 30,5
2 30,4 30,8 30,7 30,4
3 30,0 30,6 30,4 30,7
Média 30,20 30,77 30,47 30,53
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Desvio
Padrão
0,20 0,15 0,21 0,15
Utilize essa tabela para responder à questão.
O laboratório que apresenta o maior erro padrão é o
de número
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
Resposta: Letra C.
Como o desvio padrão é maior no 3, o erro padrão é
proporcional, portanto também é maior em 3.
8. (ANAC – ANALISTA ADMINISTRATIVO- ESAF/2016)
Os valores a seguir representam uma amostra
3 3 1 5 4 6 2 4 8
Então, a variância dessa amostra é igual a
a) 4,0
b) 2,5.
c) 4,5.
d) 5,5
e) 3,0
Resposta: Letra C.
9. (MPE/SP – OFICIAL DE PROMOTORIA I – VU-
NESP/2016) A média de salários dos 13 funcionários de
uma empresa é de R$ 1.998,00. Dois novos funcionários
foram contratados, um com o salário 10% maior que o do
outro, e a média salarial dos 15 funcionários passou a ser
R$ 2.013,00. O menor salário, dentre esses dois novos fun-
cionários, é igual a
a) R$ 2.002,00.
b) R$ 2.006,00.
c) R$ 2.010,00.
d) R$ 2.004,00.
e) R$ 2.008,00.
Resposta: Letra C.
Vamos chamar de x a soma dos salários dos 13 funcio-
nários
x/13=1998
X=13.1998
X=25974
Vamos chamar de y o funcionário contratado com me-
nor valor e, portanto, 1,1y o com 10% de salário maior,
pois ele ganha y+10% de y
Y+0,1y=1,1y
(x+y+1,1y)/15=2013
25974+2,1y=15∙2013
2,1y=30195-25974
2,1y=4221
Y=2010
10. (PREF. DE NITERÓI – AGENTE FAZENDÁRIO –
FGV/2015) Os 12 funcionários de uma repartição da pre-
feitura foram submetidos a um teste de avaliação de co-
nhecimentos de computação e a pontuação deles, em uma
escala de 0 a 100, está no quadro abaixo.
50 55 55 55 55 60
62 63 65 90 90 100
O número de funcionários com pontuação acima da média
é:
a) 3;
b) 4;
c) 5;
d) 6;
e) 7.
Resposta: Letra A.
M=66,67
Apenas 3 funcionários estão acima da média.
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SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
A) LEI DE FORMAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA.
B) PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E
GEOMÉTRICAS: TERMO GERAL, SOMA DOS
TERMOS E PROPRIEDADES.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
1. Definição
O diário do professor é composto pelos nomes de seus
alunos e esses nomes obedecem a uma ordem (são es-
critos em ordem alfabética). Essa lista de nomes (diário)
pode ser considerada uma sequência. Os dias do mês são
dispostos no calendário obedecendo a certa ordem que
também é um tipo de sequência. Assim, sequências estão
presentes no nosso dia a dia com mais frequência que você
pode imaginar.
A definição formal de sequência é todo conjunto ou
grupo no qual os seus elementos estão escritos em uma
determinada ordem ou padrão. No estudo da matemáti-
ca estudamos obviamente, as sequências numéricas.
Ao representarmos uma sequência numérica, deve-
mos colocar seus elementos entre parênteses. Veja alguns
exemplos de sequências numéricas:
Ex: (2,4,6,8,10,12,…)→ números pares positivos.
Ex: (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11...)→ números naturais.
Ex: (10,20,30,40,50...)→ números múltiplos de 10.
Ex: (10,15,20,30)→ múltiplos de 5, maiores que 5 e me-
nores que 35.
Pelos exemplos, observou-se dois tipos básicos de se-
quências:
Sequência finita: Sequência numérica onde a quanti-
dade dos elementos é finita.
Sequência infinita: Sequência que seus elementos se-
guem ao infinito.
2. Representação
Em uma sequencia numérica qualquer, o primeiro ter-
mo será representado por uma letra minúscula seguido
de sua posição na sequência. Assim, o primeiro termo é
representado por , o segundo termo é , o terceiro e assim
por diante.
FIQUE ATENTO!
Em uma sequência numérica finita desconhe-
cida, o último elemento (chamado por exem-
plo de n-ésimo termo) é representado por an .
Na matemática, achar uma expressão que
possa descrever a sequência numérica em
função da posição do termo na mesma torna-
se conveniente e necessário para se usar essa
teoria. Os exemplos a seguir exemplificam esse
conceito.
#FicaDica
Ex: (1,2,3,4,…)→ Essa sequência pode ser descrita como
sendo: an = n . Ou seja, qualquer termo
da sequência é
exatamente o valor de sua posição.
Ex: (5,8,11,14,…)→ Essa sequência pode ser descrita
como sendo: an = 3n + 2 . Ou seja, qualquer termo da se-
quência é o triplo da sua posição somado 2.
Ex: (0,3,8,15,…)→ Essa sequência pode ser descrita como
sendo: an = n2 − 1 . Ou seja, qualquer termo da sequência
é o quadrado da sua posição subtraído 1.
Essa expressão de an é definida como expressão do
termo geral da sequência.
EXERCÍCIO COMENTADO
1. (FCC-2016 – Modificado) Determine o termo geral da
sequência numérica:
1
2 ,
3
4 ,
5
6 ,
7
8 , … , an
Resposta: Mediante análise dos termos da sequência,
nota-se que termo geral é
an =
2n − 1
2n
2. (FCC-2016) A sequência numérica 1/2, 3/4, 5/6, 7/8;...é
ilimitada e criada seguindo o mesmo padrão lógico. A diferença
entre o 500º e o 50º termos dessa sequência é igual a:
a) 0,9
b) 9
c) 0,009
d) 0,09
e) 0,0009
Resposta: Letra C. Utilizando o termo geral dessa se-
quência an =
2n − 1
2n , facilmente
a500 e a50 são iden-
tificados.
Substituindo para n=500 e n=50 , chega-se ao resultado.
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MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS
LINEARES
A) MATRIZES: CONCEITO, TIPOS ESPECIAIS,
OPERAÇÕES E MATRIZ INVERSA.
B) DETERMINANTES: CONCEITO,
RESOLUÇÃO E PROPRIEDADES.
C) SISTEMAS LINEARES: RESOLUÇÃO,
CLASSIFICAÇÃO E DISCUSSÃO.
MATRIZ
Exemplo prático
A tabela seguinte mostra a situação das equipes no
Campeonato Paulista de Basquete masculino.
Campeonato Paulista – Classificação
Time Pontos
1º Tilibra/Copimax/Bauru 20
2º COC/Ribeirão Preto 20
3º Unimed/Franca 19
4º Hebraica/Blue Life 17
5º Uniara/Fundesport 16
6º Pinheiros 16
7º São Caetano 16
8º Rio Pardo/Sadia 15
9º Valtra/UBC 14
10º Unisanta 14
11º Leitor/Casa Branca 14
12º Palmeiras 13
13º Santo André 13
14º Corinthians 12
15º São José 12
Fonte: FPB (Federação Paulista de Basquete)
Folha de S. Paulo – 23/10/01
Observando a tabela, podemos tirar conclusões por
meio de comparações das informações apresentadas, por
exemplo:
COC/Ribeirão lidera a classificação com 20 pontos
juntamente com Tilibra/Bauru
Essa informação encontra-se na 2ª linha e 3ª coluna.
Ou seja, esta tabela nos oferece valores numéricos nos
quais podemos tirar determinadas conclusões.
1. Definições
Chamamos de matriz m x n (m Є N
∗ e n Є N
∗) qualquer
tabela formada por m x n (m Є N
∗ e n Є N
∗) elementos (informações) dis-
postos em m linhas e n colunas.
Exemplos:
a) 1 0 −2 3
1 1 3 2
é uma matriz 2 x 4 (duas linhas e
por quatro colunas)
b)
1 0 1
2 3 3
1 4 2
é uma matriz 3x3 (três linhas por três
colunas)
c) 1 0 3 é uma matriz 1x3 (uma linha e três co-
lunas)
d) 2
0
é uma matriz 2x1 (duas linhas e uma coluna)
O nome de uma matriz é dado utilizando letras maiús-
culas do alfabeto latino, (A,B,C,D... por exemplo), enquanto
os elementos da matriz são indicados por letras latinas mi-
núsculas (a,b,c,d...), a mesma do nome de matriz, com dois
índices, que indicam a linha e a coluna que o elemento
ocupa na matriz.
Assim, um elemento genérico da matriz é representado
por aij .
O primeiro índice, i, indica a linha que esse elemento
ocupa na matriz, e o segundo índice, j, a coluna desse co-
mando.
Exemplo:
Na matriz B de ordem 2x3 temos:
B = 1 0 32 −1 4
b
11
= 1; b
12
= 0; b
13
= 3;
b
21
= 2; b
22
= −1; b
23
= 4.
Observação: O elemento b23, por exemplo, possui a se-
guinte leitura: “b dois três”.
De uma forma geral, a matriz A, de ordem m x n, é re-
presentada por:
A =
a11 ⋯ a1n
⋮ ⋱ ⋮
am1 ⋯ amn
Ou com a notação abreviada: A = aij mxn
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2. Matrizes Especiais
Apresentamos aqui a nomenclatura de algumas matri-
zes especiais:
a) Matriz Linha: É a matriz que possui uma única linha.
Exemplos:
A = −1 0
B = 1 0 0 2
b) Matriz Coluna: É a matriz que possui uma única
coluna.
Exemplos:
A = 21
B =
0
−1
3
c) Matriz Nula: É a matriz que possui todos os
elementos iguais a zero.
Exemplos:
A = 0 00 0
B = 0 0 00 0 0
d) Matriz Quadrada: É a matriz que possui o número
de linhas igual ao número de linhas igual ao número
de colunas.
Exemplo:
A = 1 03 −2
Vale destacar que quando uma matriz não é quadrada,
ela é chamada de matriz retangular.
e) Matriz Diagonal: Dada uma matriz quadrada de or-
dem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao
conjunto dos elementos que possuem índices iguais.
Exemplo:
{a
11
, a
22
, a
33
, a
44
}
é a diagonal principal da matriz A
(4x4).
Além disso, a matriz quadrada que apresenta todos os
elementos, não pertencentes à diagonal principal, iguais a
zero, é definida como matriz diagonal.
Exemplo:
A =
2 0 0
0 1 0
0 0 3
f) Matriz Identidade: É a matriz diagonal que apresenta
todos os elementos da diagonal principal iguais a 1 e
os outros iguais a 0. Representamos a matriz identi-
dade de ordem n por In.
Exemplo:
I2 =
1 0
0 1
I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Observação: Para uma matriz identidade In = (aij)n x n
g) Matriz Transposta: Dada uma matriz A, chamamos
de matriz transposta de A à matriz obtida de A trocando-
-se “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a
matriz transposta de A por At.
Exemplo:
Se, A = 1 0 32 1 4 , então: A
t =
1 2
0 1
3 4
Observação importante: Se uma matriz A é de ordem m
x n, a matriz At, transposta de A, é de ordem n x m.
3. Igualdade de Matrizes
Sendo A e B duas matriz de mesma ordem, dizemos
que um elemento de matriz A é correspondente a um ele-
mento de B quando eles ocupam a mesma posição nas res-
pectivas matrizes.
Exemplo:
Sendo A e B duas matrizes de ordem 2 x 2,
A =
a11 a12
a21 a22 e B =
b11 b12
b21 b22
São elementos correspondentes de A e B, os pares: a11 e
b11; a12 e b12; a21 e b21; a22 e b22.
Assim, duas matrizes A e B são iguais se, e somente se,
têm a mesma ordem e os elementos correspondentes são
iguais.
Indica-se, portanto: A = B ou A = (aij)n x n e B = (bij)p x q
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IMPORTANTE: Dada uma matriz A = aij m x n ,
dizemos que uma matriz B = bij m x n é oposta de A
quando bij = −aij para todo i, 1 ≤ i ≤ m, e todo j, 1
≤ j ≤ n.
Exemplo:
A = 3 −12 4 , temos que: B = −A =
−3 1
−2 −4
4. Adição e Subtração de Matrizes
Dadas duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n,
denominamos soma da matriz A com a matriz B à matriz
C, de ordem m x n, cujos elementos são obtidos quando
somamos os elementos correspondentes das matrizes A e
B. Indicamos:
C = A + B
Assim:
1 3 4
2 1 −2 +
2 1 1
3 2 3 =
3 4 5
5 3 1
Propriedades da Adição: Sendo A, B e C matrizes m x n
e O a matriz nula m x n , valem as seguintes propriedades.
a) A + B = B + A (Comutativa)
b) A + B + C = A + (B + C) (Associativa)
c) A + O = O + A = A (Elemento Neutro)
d) A + −A = O (Elemento Oposto)
e) A + B t = At + Bt
Metodologia: Consideremos duas matrizes A e B, am-
bas de mesma ordem . Chamamos de diferença entre A e B
(indicamos com ) a soma de A com a oposta de B.
A – B = A + (−B)
Exemplo:
A = 3 21 −2 e B =
4 5
−2 1
A − B = A + −B = 3 21 −2 +
−4 −5
2 −1
= 3− 4 2 − 51 + 2 −2 − 1 =
−1 −3
3 −3
Na prática, para obtermos a subtração de matrizes de
mesma ordem, basta subtrairmos os elementos correspon-
dentes.
5. Multiplicação de Matrizes por um Número Real
Consideremos uma matriz A, de ordem m x n, e um nú-
mero real c . O produto de por A é uma matriz B, de ordem m
x n, obtida quando multiplicamos cada elemento de A por c .
Indicamos:
B = c � A
Exemplo:
A = 1 32 5 e c = 2, temos que:
c � A = 2 � A = 2 � 1 2 � 32 � 2 2 � 5 =
2 6
4 10
6. Produto entre matrizes
O produto (linha por coluna) de uma matriz A = a
ij m x p
por uma matriz B = bij p x n é uma matriz , de modo que
cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenada-
mente os elementos da linha i de A pelos elementos da
coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos.
FIQUE ATENTO!
Só existe o produto de uma matriz A por uma
matriz B se o número de colunas de A é igual
ao número de linhas de B.
Propriedades: Sendo A uma matriz de ordem m x n,
B e C matrizes convenientes
(ou seja, o produto entre
elas é possível), são válidas as seguintes propriedades.
a) A � B � C = A � (B � C) – Associativa
b) C � A + B = C � A + C � B – Distributiva pela esquerda
c) A + B � C = A � C + B � C – Distributiva pela direita
d) A � In = Im � A = A – Elemento neutro
e) A � B t = Bt � At
Para a multiplicação de matrizes não vale
a propriedade comutativa (A B ≠ B A). Esta
propriedade só é verdadeira em situações
especiais, quando dizemos que as matrizes são
comutáveis.
#FicaDica
7. Matriz Inversa
No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, exis-
te um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a
condição:
a � b = b � a = 1
80
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CA
Normalmente indicamos o inverso de a por 1
a ou a
−1
Analogamente para as matrizes temos que uma matriz
A, quadrada de ordem n, é dita inversível se, e somente se,
existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que:
A � B = B � A = In
A matriz B é denominada inversa de A e indicada por
A−1 .
Exemplo:
Verifique que a matriz B = 4 −3−1 1 é a inversa da
matriz A = 1 31 4 . Para isso, basta realizar o produto en-
tre elas e verificar se o resultado será a matriz identidade:
A � B = 1 31 4 �
4 −3
−1 1 =
1 0
0 1
Ou
B � A = 4 −3−1 1 �
1 3
1 4 =
1 0
0 1
Como A � B = B � A = I2 , a matriz B é a inversa
de A, isto é, B = A−1 .
IMPORTANTE: É bom observarmos que, de acordo com
a definição, a matriz A também é a inversa de B, isto é,
A = B−1 , ou seja, A = A
−1 −1 .
Exemplo:
Encontre a matriz inversa da matriz A = 3 12 1 , se existir.
Neste caso, teremos que encontrar individualmente os ter-
mos da matriz inversa, que chamaremos de B.
Supondo que B = a bc d é a matriz inversa de A, temos:
A � B = 3 12 1 .
a b
c d =
1 0
0 1
Fazendo a multiplicação, encontraremos o seguinte re-
sultado:
3a + c 3b + d
2a + c 2b + d =
1 0
0 1
Logo, teremos dois sistemas lineares, 2x2:
�3a + c = 12a + c = 0 e �
3b + d = 0
2b + d = 1
Resolvendo os sistemas, encontramos:
a = 1, b = −1, c = 2 e d = 3
Assim, B = 1 −1−2 3
Portanto, a matriz A é inversível e sua inversa é única,
cuja matriz é:
B = A−1 = 1 −1−2 3
Propriedades: Sendo A e B matrizes quadradas de or-
dem n e inversíveis, temos as seguintes propriedades:
a) A−1 −1 = A
b) A−1 t = At −1
c) A � B −1 = B−1 � A−1
DETERMINANTES
Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por
matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki
Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para deter-
minar as soluções de Sistemas Lineares.
Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada
A, um único número real que denominamos determinante
de A e que indicamos por “det A” ou colocamos os ele-
mentos da matriz A entre duas barras verticais, como no
exemplo abaixo:
A = 1 24 5 → det A =
1 2
4 5
No estudo de determinantes, vamos analisar diversos
tamanhos de matrizes, iniciando, pelo menor, ou seja, uma
matriz de ordem 1 passando pela ordem 2 e ordem 3. De-
terminantes maiores são muito raros de serem cobrados
em concursos públicos.
1. Determinante de uma Matriz de Ordem 1
Seja a matriz quadrada de ordem 1: A = [a
11
] , o deter-
minante dessa matriz é o próprio número dentro da matriz:
det A = a11 = a11
Exemplos:
A = −2 → det A = −2
B = 5 → det B = 5
C = [0] → det C = 0
2. Determinante de uma Matriz de ordem 2
Seja a matriz quadrada de ordem 2: A =
a11 a12
a21 a22. O determinante dessa matriz será o número:
det A =
a11 a12
a21 a22 = a11 � a22 − a21 � a12
81
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CA
Para facilitar a memorização desse número,
podemos dizer que o determinante é a
diferença entre o produto dos elementos da
diagonal principal e o produto dos elementos
da diagonal secundária.
#FicaDica
Exemplos:
A = 1 25 3
det A = 1 � 3 − 5 � 2 = 3 − 10 = −7
B = 2 −12 3
det B = 2 � 3 − 2 � −1 = 6 + 2 = 8
3. Determinante de uma Matriz de Ordem 3
Seja a matriz quadrada de ordem 3:
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
O determinante desta matriz será uma soma de produ-
tos intercalados de três em três números, ou seja:
det A
= a11 � a22 � a33 + a12 � a23
� a31 + a21 � a32 � a13 − a31
� a22 � a13 − a21 � a12 � a33
− a11 � a32 � a23
Para memorizarmos a definição de determinante de or-
dem 3, usamos a regra prática denominada Regra de Sar-
rus:
1) Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz.
det A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a13
a21 a23
a31 a31
2) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços
em diagonal e associando o sinal indicado dos pro-
dutos, temos:
det A = a11 � a22 � a33 + a12 �
a23 � a31 + a21 � a32 � a13 −
a31 � a22 � a13 − a21 � a12 �
a33 − a11 � a32 � a23
4. Propriedades dos determinantes
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que vi-
sam a simplificar o cálculo dos determinantes:
a) O determinante de uma matriz A é igual ao de sua
transposta At.
Exemplo:
Demonstração no determinante 2x2:
A = a bc d e A
t = a cb d
det A = a � d − b � c
det At = a � d − b � c = det A
b) Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadra-
da A, quando trocamos entre si a posição de duas
filas (linhas ou colunas) paralelas, então:
detB = −detA
Exemplo.
Demonstração no determinante 2x2:
A = a bc d e B =
c a
d b
B foi obtida trocando de posição a primeira e segunda
coluna de A. Assim:
det A = a � d− b � c
det B = c � b− a � d = − det A
Um ponto importante é se por exemplo, montarmos
uma matriz C trocando de posição agora a primeira e se-
gunda linha de B:
C = d bc a
82
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Calculando o determinante:
detC = a � d− b � c = −detB = det A
Assim, cada troca de linha ou coluna irá acarretar uma
troca de sinal do determinante. Logo, se fizemos uma
quantidade par de trocas (2,4,6,...) o determinante perma-
nece com o mesmo sinal. Já se fizermos uma quantidade
de trocas ímpar (1,3,5...) o determinante inverte de sinal.
c) Seguindo a propriedade 2, se uma matriz possuir
duas linhas ou colunas idênticas, o seu determinan-
te será 0. Justificativa: A matriz que obtemos de A,
quando trocamos entre si as duas filas (linha ou co-
luna “iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a
propriedade 2, escrevemos que detA = −detA
. O único resultado possível para isso é detA = −detA0.
d) Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, e uma
matriz k.A é obtida multiplicando todos os elemen-
tos de A por k, então:
det(k � A) = kn � detA
Exemplo: A =
a b c
d e f
g h i
→ k � A =
ka kb kc
kd ke kf
kg kh ki
Se você calcular o determinante, encontrará k3 � det A
e) Teorema de Jacobi: O determinante não se altera,
quando adicionamos uma fila qualquer com outra
fila paralela multiplicada por um número.
Exemplo:
Considere o determinante
det A =
a b c
d e f
g h i
Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos:
Calculando o determinante, você verá que det B = det A
f) Uma consequência do teorema de Jacobi é que se
uma fila de uma matriz é a soma de múltiplos de
filas paralelas (combinação linear de filas paralelas),
o determinante é igual a zero.
g) Teorema de Binet: Sendo A e B matrizes quadradas
de mesma ordem, então:
det(A � B) = detA � detB
Exemplo: A = 1 20 3 , B =
4 3
2 1 , logo: A � B =
8 5
6 3
det A = 1 20 3 = 3
det B = 4 32 1 = 4− 6 = −2
det AB = 8 56 3 = 24 − 30 = −6 = 3 � (−2)
Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e
, temos:
det(An) = detA n
E no caso da matriz inversa:
detA−1 =
1
det A
EXERCÍCIO COMENTADO
1. (BRDE – Analista de Sistema – FUNDATEC/2015)
Considere as seguintes matrizes: A = 2 34 6 , B =
2 3
4 5
6 6
e
C = 2 1 04 6 7
, a solução de é:
a) Não tem solução, pois as matrizes são de ordem diferentes.
b) 10 1478 90
c) 2 34 5
d) 6 620 36
e) 8 1174 84
Resposta: Letra B.
2 1 0
4 6 7
2 3
4 5
6 6
+ 2 34 6 =
8 11
74 84 +
2 3
4 6 =
10 14
78 90
2. (Pref. Agudo-SP – Auxiliar Administrativo - OBJE-
TIVA/2015) Dadas as matrizes A = 7 83 x e B =
x 2
3 9 e ,
qual deverá ser o valor de x para que se tenha det A = det B .
a) -14
b) 3
c) -9
d) 5
83
M
AT
EM
[ Á
TI
CA
Resposta: Letra C.
7 8
3 x =
x 2
3 9
→ 7x − 24 = 9x − 6 → 2x = −18 → x = −9
SISTEMAS LINEARES
1. Definição
Sistemas lineares são conjuntos de 2 ou mais equações
lineares, onde procura-se valores das incógnitas, chamadas
de X = x1 , x2, x3 … e xn que atendam simultaneamen-
te todas as equações lineares:
Onde
a11 , a12 , … , ann e b1, b2 , … , bn
são números reais.
1.1. Classificação de Sistemas Lineares
Considerando um sistema de n equações lineares, po-
demos classificá-lo de 3 formas possíveis:
Impossível: Quando não existem valores de
X = (x1 , x2, x3 … e xn) que satisfaçam todas as n
equações lineares.
Possível e Indeterminado: Quando existem infinitas
possibilidades para X = (x1 , x2, x3 … e xn) que aten-
dem todas as equações;
Possível e determinado: Quando apenas um único
conjunto de X = (x1 , x2, x3 … e xn) satisfaz as equa-
ções lineares.
1.2. Associação de Sistemas Lineares com Matrizes
Podemos escrever qualquer sistema linear da seguinte
forma, separando as constantes das incógnitas:
Se det A ≠ 0 , a matriz possui inversa e assim pode-
mos isolar X da seguinte maneira:
A � X = B ⇒ A−1 � A � X = A−1 � B
⇒ I � X = A−1 � B
⇒ X = A−1 � B
2.Sistemas Lineares 2x2
Um exemplo de sistema 2 x 2, possui duas equações e
duas incógnitas (x e y) é:
� 3𝑥 − 𝑦 = 6 2𝑥 + 2𝑦 = 20
Há diversos métodos utilizados para resolver um siste-
ma linear 2 x 2. Aqui, destacam-se dois deles: método da
adição e método da substituição.
2.1. Método da Adição
O método da adição consiste em multiplicar uma (ou
ambas) das equações por um valor de modo que, ao so-
mar-se as duas equações, uma das incógnitas seja elimi-
nada. Para isso, a incógnita a ser eliminada deve possuir o
mesmo número multiplicando-a em ambas as equações,
porém com sinais opostos. Utilizando o exemplo:
� 3𝑥 − 𝑦 = 6 2𝑥 + 2𝑦 = 20
Uma maneira de resolver o sistema pelo método da adi-
ção consiste em eliminar a variável “y”. Na primeira equa-
ção a variável “y” está multiplicada por -1, enquanto que
na segunda equação, está multiplicada por 2. Se a primei-
ra equação for multiplicada por , em ambas as equações
a variável “y” estará multiplicada por 2 porém com sinais
opostos.
Somando-se ambas as equações após multiplicar a pri-
meira equação por 2, tem-se:
6x − 2y + 2x + 2y = 12 + 20
→ 8x = 32
→ x = 4
Após encontrar o valor de uma das variáveis, basta
substituir esse valor em qualquer uma das equações e en-
contrar o valor da outra variável. Substituindo na primeira
equação:
84
EEAr
Exercícios - Análise Combinatória
1) (EEAR 2008) Retirando aleatoriamente um
elemento do conjunto A = {1, 2, 3, 4, . . . , 100}, a
probabilidade de ele ser múltiplo de 5 é
a) 2/5 b)1/5 c) 1/10 d) 3/10
2) (EEAR 2009) O número de anagramas da palavra
SARGENTO que começam com S e terminam com
O é
a) 1540. b) 720. c) 120. d) 24.
3) (EEAR 2010) Ao calcular A103 /C10 3 , obtém-se
a) 3!. b) 4!. c) 5!. d) 6!.
4) (EEAR 2011) Para participar de um sorteio, um
grupo de 152 pessoas respondeu à pergunta: “Você é
fumante?”. Se 40 pessoas responderam “SIM”, a
probabilidade da pessoa sorteada não ser fumante é
a) 11/ 16 b) 17/18 c) 15/17 d) 14/19
5) (ESSA 2012) Uma corrida é disputada por 8
atletas. O número de resultados possíveis para os 4
primeiros lugares é
a) 336 . b) 512 . c) 1530 . d) 1680 . e) 4096.
6) (ESSA 2012) Em um guardarroupa há quatro
camisas, cinco calças e três sapatos, então identifique
a alternativa que apresenta a quantidade de formas
diferentes que se pode utilizá-las.
a) ∞ b) 453 c) 1 d) 12 e) 60
7) (ESSA 2012) Assinale a alternativa cuja palavra
possui 60 anagramas.
a) A M E I X A b) B R A N C O c) B A N A N A
d) P A R Q U E e) PATETA
8) (ESSA 2012) Para o time de futebol da EsSA,
foram convocados 3 goleiros, 8 zagueiros, 7 meios de
campo e 4 atacantes. O número de times diferentes
que a EsSA pode montar com esses jogadores
convocados de forma que o time tenha 1 goleiro, 4
zagueiros, 5 meios de campo e 1 atacante é igual a
a) 84 . b) 451 . c) 981 . d) 17.640 . e) 18.560.
9) (ESSA 2018) Em uma barraca de cachorro
quente, o freguês pode escolher um entre três tipos de
pães, uma entre quatro tipos de salsichas e um entre
cinco tipos de molhos. Identifique a quantidade de
cachorros quentes diferentes que podem ser feitos
a) 65 b) 60 c) 55 d) 50 e) 40
10) (EEAR 2012) Dentre 8 candidatos, 5 devem ser
selecionados para comporem uma comissão de
formatura. O número de formas distintas de se
compor com essa comissão é:
a) 56 b) 48 c) 46 d) 38
11) (EEAR 2013) Um determinado brinquedo
possui uma haste onde devem ser colocadas 4 peças
de formatos diferentes. O número de maneiras
diferentes de se montar esse brinquedo é:
a) 4 b) 12 c) 24 d) 36
12) (EEAR 2015) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4,
5 e 6. A partir deles, podem ser criados ____
números pares de quatro algarismos distintos:
a) 60 b) 120 c) 180 d) 360
13) (EEAR 2016) De um grupo de 10 pessoas, 5
serão escolhidas compor uma comissão Ana e
Beatriz e fazem parte dessas 10 pessoas Assim, o
total de comissões que podem ser formadas, que
tenham a participação de Ana e Beatriz, é:
a) 24 b) 36 c) 48 d) 56
14) Uma bomba está prestes a explodir um militar
tentará desativá-la cortando um de seus fios de cada
vez. Ela possui 10 fios, dos quais 1 a desativa, 7
causam a explosão os outros 2 não causam efeito
algum. A probabilidade de o militar ter uma segunda
chance para desativar a bomba é de ___ %.
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20
15) (EEAR 2018) Dentre as 7 notas musicais, dois
músicos escolherão, individualmente, uma nota. A
probabilidade que eles escolham notas musicais
iguais é
a) 1/7 b) 2/7 c) 1/49 d) 2/49
16) (EEAR 2018) Um maestro escolherá 5 músicas
distintas, dentre as 10 que dispõe, montará uma
apresentação. Para a escolha das músicas, e da ordem
que elas serão tocadas, o mastro possui um número
de possibilidades cujo algarismo das unidades é:
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6
17) (ESSA 2008) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e
6 sem repeti-los, podemos escrever “x” números de
4 algarismos, maiores que 3 200. O valor de “x” é:
a) 210 b) 228 c) 240 d) 300 e) 320
GABARITO
1b 2b 3a 4d 5d 6e 7c 8d 9b 10a 11c 12c 13d
14d 15a 16e 17b
85
EEAr
Exercícios - Trigonometria
LEI DO SENO
1) (EEAR ) O triângulo ABC está inscrito na
circunferência. Se BC = 8. A medida do raio é:
(lado AB está oposto ao ângulo interno do triângulo
cuja medida é 45 graus)
a) 4\/2 b) 2\/2 c) 4 d) 2
2) O triângulo ABC está inscrito na circunferência.
Se AC = 20. A medida do raio é: (lado AC está
oposto ao ângulo interno do triângulo cuja medida é
30 graus)
a) 40\/2 b) 20\/2 c) 40 d) 20
3) (EEAR ) No triângulo AOB, OB = 5 cm; então
AB, em cm, é igual a:
(BAO = 30º BOA = 45º)
a) 6 . b) 8 c) 5 \/2 d) 6 \/3
LEI DO COSSENO
4) (EEAR) Se o perímetro do triângulo abaixo é
maior que 18, o valor de x é:
x
7
60o
8
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
5) (EEAR) No triângulo, cujos lados medem 5cm,
10 cm e 6 cm, o maior ângulo tem cosseno igual a:
a) 7/10 b) 9/20 c) – 13/20 d) - 8/10
6) (ESSA) Um terreno de forma triangular tem
frentes de 20 metros e 40 metros, em ruas que
formam, entre si, um ângulo de 60º. Admitindo-se
\/3 = 1,7, a medida do perímetro do terreno, em
metros, é:
A) 94. B) 93. C) 92. D) 91. E) 90.
ÁREA DO TRIÂNGULO QUALQUER USANDO SENO
7) (EEAR) Um triângulo de 40 \/2 cm2 de área tem
dois de seus lados medindo 10 cm e 16 cm. A
medida do ângulo agudo formado por esses lados é:
a) 75°. b) 60°. c) 45°. d)
30°.
8) Num triângulo, seus lados, que têm 24dm e
32dm, formam um ângulo de 30°. Calcule sua área
em dm2
a) 120. b) 144. c) 168. d) 184. e) 192.
9) (EEAR) Assinale a alternativa que representa,
corretamente, a área do triângulo esboçado na figura
abaixo:
6m
30o
10m
a) 15m2 b) 30\/2 m2 c) 15\/3 m2 d) 30\/3 m2
PITÁGORAS E/OU TRIGONOMETRIA NO
TRIÂNGULO RETÂNGULO
10) (EEAR) Em um triângulo ABC, retângulo em
A, a hipotenusa mede 5 dm e seno B = ½ C seno.
Nessas condições, o maior cateto mede, em dm,
a) 3. b) 4. c) \/5 . d) 2\/5
11) (EEAR) Na figura, BC = 2 cm. Assim, a
medida de AB, em cm, (CDB = 30 graus e DBA
=45 graus).
a) 2 \/3 . b) 4 \/2 c) 5 \/2 d) 3 \/3
B A
C D
12) (EEAR) O perímetro de um losango é 20 cm.
Se sua diagonal maior tem o dobro da medida da
menor, então sua área, em cm2, é
a) 35. b) 30. c) 25. d) 20.
13) (EEAR) A área de um losango é 24cm2. Se uma
das diagonais desse losango mede 6cm. O lado
dele, em cm, mede:
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
14) (EEAR) Considerando sem 40o = 0,6, o lado BC
do triângulo ABC, mede, cm, aproximadamente:
B
10 cm
40 o 30o
C A
a) 6,11 b) 7,11 c) 8,33 d) 9,33
86
EEAr
15) (EEAR) No triângulo AOB, OB = 5 cm; então
AB, em cm, é igual a:
A
30o
45o
B O
a) 6 b) 8 c) 5\/2 d) 6\/3
ÂNGULOS DE MEDIDAS 0, 1 e - 1 NO CICLO TRIGONOMÉTRICA
16) (EEAR) Para x.y ≠ 0, a expressão y
2.cos180º - xy. sen 270º + y 2 .sen90º equivale a
x2.cos0º
a) y/x. b) 1/x. c) y/x2. d) y2/x2.
17) Para x.y ≠ 0, a expressão y2 .sen0º + xy2. cos
180º + y .cos 90º equivale a
x.sen 270º
a) y/x. b) 1/x. c) x2. d) y2.
CORRESPONDÊNCIA DE MEDIDAS RADIANO E ÂNGULO NO
CICLO TRIGONOMÉTRICO
18) (EEAR) Numa circunferência, a soma das
medidas de dois arcos é 315°. A medida do outro
arco é, se um desses arcos mede 11πrad
12
a) 150º. b) 125º. c) 100º. d) 75º.
19) O complementar do arco 4 πrad vale
15
a) 42º. b) 48º. c) 50º. d) 52º.
20) (EEAR) O valor de 7π/30 rad em graus é
a) 36 b) 38 c) 42 d) 46
SOMA E SUBTRAÇÃO DE ARCOS
21) (EEAR) Se 0<α<π/2, senα = 2/3. Então sen
2α é igual a:
a) \/3 /3. b) \/5 /3 c) 4\/5 /9 d) 4\/3 /9
22) (EEAR) Se x e y são arcos do 1º quadrante, sen
x =\/3 /2 e cos y = \/2 /2,então o valor de
cos(x + y) é igual a
a) (\/2 +\/6)/2 . b) (\/3 +\/6)/4 c) (\/2 - \/6)/4 d)
(\/3 - \/6)/4
23) (EEAR) Dados sen a = x, cos a = y, sen b = z
e cos b = w, então sen (a + b) é igual a
a) xw + yz. b) xz + yw. c) xy – wz. d) xw – yz.
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
24) (EEAR) Se x é um arco do terceiro quadrante
tal que tg x = 2/3 , o valor de sen x é
a) \/13/13 . b) - \/13/13 c) - 2 \/13/13 d) - 3
\/13/13
25) (ESSA) A soma dos valores de m que
satisfazem a ambas as igualdades sen x = (m+1)/m
e cos x = (m+2)/m é:
a) 5 b) 6 c) 4 d) - 4 e) – 6
26) (EEAR) Seja A = senx .sec x , com tg x ≠ 0.
Nessas condições, o valor de A é
tg x
a) \/2/2 b) \/2 c) 2 d) 1
GABARITO
1.a 2.d 3.c 4.b 5.c 6.a 7.c 8.e 9.a 10.d 11.b
12.d 13.b 14.c 15.c 16.a 17.d 18.a 19.a 20.c
21.c 22.c 23.a 24.c 25.e 26.d
Exercícios - Média Aritmética
1) Um teste de Matemática foi aplicado em duas
turmas distintas de uma escola, a primeira com 40
alunos e a segunda com 20. As médias aritméticas
das notas da primeira e da segunda turma foram,
respectivamente, 6,0 e 7,0. Assim, a média
aritmética das notas dos 60 alunos foi
aproximadamente
a) 6,1. b) 6,3. c) 7,2. d) 7,5.
2) Um teste de Matemática foi aplicado em três
turmas distintas de uma escola, a primeira com 50
alunos, a segunda com 30 e a terceira com 10. As
médias aritméticas das notas da primeira, da
segunda e da terceira foram, respectivamente, 5,5 e
7,0 e 8,0. Assim, a média aritmética das notas dos
90 alunos foi aproximadamente
a) 6,1. b) 6,3. c) 7,2. d) 7,5.
3) (ESSA 2008) A média aritmética das notas de
Matemática em uma turma de 25 alunos em um dos
doze Colégios Militares existentes no Brasil diminui
em 0,1, se alterarmos uma das notas para 6,8. A
referida nota sem ser alterada é:
a) 4,3 b) 8,8 c) 4,8 d) 9,3 e) 9,8
87
EEAr
4) A média aritmética das notas de Matemática em
uma turma de 30 alunos em um dos doze Colégios
Militares existentes no Brasil aumenta em 0,2, se
alterarmos uma das notas para 9,2. A referida nota
sem ser alterada é:
a) 2,7 b) 2,8 c) 3,2 d) 3,3 e) 3,8
5) (ESSA 2010) Numa sala de aula, a média das
idades dos 50 alunos era de 22,5 anos. No cálculo
da média, foram consideradas idades com anos
completos. Transcorridas algumas semanas, houve a
desistência de um aluno e a média das idades caiu
para 22 anos. Considerando-se que nesse período
nenhum dos alunos da turma fez aniversário, então a
idade do aluno que desistiu é igual a:
a) 47 anos. b) 45 anos. c) 37 anos.
d) 35 anos. e) 27 anos.
6) Numa sala de aula de EJA, a média das idades
dos 40 alunos era de 20 anos. No cálculo da média,
foram consideradas idades com anos completos.
Transcorridas algumas semanas, houve a desistência
de um aluno e a média das idades diminuiu para
19,4 anos. Considerando-se que nesse período
nenhum dos alunos da turma fez aniversário, então a
idade do aluno que desistiu é igual a:
a) 40,6 anos. b) 43,4 anos. c) 50,6 anos.
d) 52,5 anos. e) 53,4 anos.
7) (ESSA 2011) A média aritmética de n números é
29. Retirando-se o número 12 a média aumenta para
30. Podemos afirmar que o valor de n será
a) 17. b) 11. c) 42. d) 41. e) 18.
8) A média aritmética de n números é 32.
Retirando-se o número 14 a média aumenta para 35.
Podemos afirmar que o valor de n será
a) 10. b) 9. c) 8. d) 7. e) 6
9) (ESSA 2012) A média aritmética de todos os
candidatos de um concurso foi 9,0, dos candidatos
selecionados foi 9,8 e dos eliminados foi 7,8. Qual o
percentual de candidatos selecionados?
a) 20% b) 25% c) 30% d) 50% e) 60%
10) A média aritmética de todos os candidatos de
um concurso foi 8,4 dos candidatos selecionados foi
9,4 e dos eliminados foi 7,6. Qual o percentual de
candidatos selecionados?
a) 42,888...% b) 44,444...% c) 46,666...%
d) 47,222...% e) 48,333...%
11) (ESSA 2011) Em uma turma a média aritmética
das notas é 7,5. Sabe-se que a média aritmética das
notas das mulheres é 8 e das notas dos homens é 6.
Se o número de mulheres excede o de homens em 8,
pode-se afirmar que o número total de alunos da
turma é a) 4. b) 8. c) 12. d) 16. e) 20.
12) Em uma turma a média aritmética das notas é
8,5. Sabe-se que a média aritmética das notas das
mulheres é 9 e das notas dos homens é 7. Se o
número de mulheres excede o de homens em 10,
pode-se afirmar que o número total de alunos da
turma é
a) 4. b) 8. c) 12. d) 16. e) 20.
GABARITO
1.b 2.b 3.d 4.c 5.a 6.b 7.e 8.d 9.e 10.b 11.d
12.e
Exercícios – Logaritmo
1)(EEAR) Estudando um grupo de crianças de uma
determinada cidade, um pediatra concluiu que suas
estaturas variavam segundo a fórmula h = log (100,7.
√i ), onde h é a estatura (em metros), e i é a idade
(em anos). Assim, segundo a fórmula, a estatura de
uma criança de 10 anos dessa cidade é, em m,
a) 1,20. b) 1,18. c) 1,17. d) 1,15
2) (EEAR) Se f(x) = log x e a .b = 1, então f(a) +
f(b) é igual a
a) 0. b) 1. c) 10. d) 100.
3) (ESSA) Sabe-se que 1, a e b são raízes do
polinômio p(x) = x³ – 11x² + 26x – 16, e que a > b.
Nessas condições, o valor de ab+ logb a é:
a) 49/3 b) 193/3 c) 67 d) 64 e) 19
4) (ESSA) Se log 23 = a e log 25 = b , então o valor
de log 0,5 75 é:
a) a + b b) - a + 2 b c) a - b d) a - 2 b e) - a - 2b
5) (ESSA) Aumentando-se um número x em 75
unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em 2
unidades. Pode-se afirmar que x é um número:
a) Irracional. b) Divisor de 8. c) Múltiplo de 3.
d) Menor que 1. e) Maior que 4.
6) (ESSA) Sabendo que log P = 3 × log a - 4 × log
b + ½ . log c, assinale a alternativa que representa o
valor de P. (dados: a = 4, b = 2 e c = 16)
a) 12 b) 52 c) 16 d) 24 e) 73
7) (EEAR) Seja x um número real positivo
diferente de 1. Assim, log x 1 +logx x é igual a:
a) -1 b) 0 c) 1 d) x
88
EEAr
8) (ESSA) Adotando-se log 2 = x e log 3 = y, o
valor de log 5 120 será dado por:
a) (2x + y + 1)/(1 – x) b) (x + 2y + 1)/x – 1) c) (x
+ y + 1)/x – 1)
d) (x + y + 1)/1 – x) e) (2x + 2y + 1)/x – 1)
9) (ESSA) Sejam f: {x ∈ R/ x > 0} -> R g: R -> R,
definidas por f(x) = log 2 x e g( X) = (1/4). 2x ,
respectivamente. O valor de fog (2):
a) 1 b) 2 c) 0 d) – 1 e) – 2
10) (ESSA) O valor da expressão A = log 2 (1/2) +
log 8 (32) é:
a) 1/3 b) 2/3 c) 3 d) 1 e) 0
GABARITO
1.a 2.a 3.c 4.e 5.e 6.c 7.c 8.a 9.c 10.b
89
90
EEAr
Física
ÓPTICA - FUNDAMENTOS
LUZ - COMPORTAMENTO E PRINCÍPIOS
A luz, ou luz visível como é fisicamente caracterizada, é
uma forma de energia radiante. É o agente físico que,
atuando nos órgãos visuais, produz a sensação da visão.
Para saber mais...
Energia radiante é aquela que se propaga na forma de
ondas eletromagnéticas, dentre as quais se pode destacar
as ondas de rádio, TV, micro-ondas, raios X, raios gama,
radar, raios infravermelho, radiação ultravioleta e luz
visível.
Uma das características das ondas eletromagnéticas é a
sua velocidade de propagação, que no vácuo tem o valor
de aproximadamente 300 mil quilômetros por segundo,
ou seja:
Podendo ter este valor reduzido em meios diferentes do
vácuo, sendo a menor velocidade até hoje medida para
tais ondas quando atravessam um composto
chamado condensado de Bose-Einstein, comprovada
em uma experiência recente.
A luz que percebemos tem como característica sua
frequência que vai da faixa de (vermelho)
até (violeta). Esta faixa é a de maior emissão
do Sol, por isso os órgãos visuais de todos os seres vivos
estão adaptados a ela, e não podem ver além desta, como
por exemplo, a radiação ultravioleta e infravermelha.
DIVISÕES DA ÓPTICA
Óptica Física: estuda os fenômenos ópticos que exigem
uma teoria sobre a natureza das ondas eletromagnéticas.
Óptica Geométrica: estuda os fenômenos ópticos em
que apresentam interesse as trajetórias seguidas pela
luz. Fundamenta-se na noção de raio de luz e nas leis
que regulamentam seu comportamento. O estudo em
nível de Ensino Médio restringe-se apenas a esta parte da
óptica.
CONCEITOS BÁSICOS
Raios de luz
São a representação geométrica da trajetória da luz,
indicando sua direção e o sentido da sua propagação. Por
exemplo, em uma fonte puntiforme são emitidos
infinitos raios de luz, embora apenas alguns deles
cheguem a um observador.
Representa-se um raio de luz por um segmento de reta
orientado no sentido da propagação.
Feixe de luz
É um conjunto de infinitos raios de luz; um feixe
luminoso pode ser:
. Cônico convergente: os raios de luz convergem para
um ponto;
. Cônico divergente: os raios de luz divergem a partir
de um ponto;
. Cilíndrico paralelo: os raios de luz são paralelos
entre si.
FONTES DE LUZ
Tudo o que pode ser detectado por nossos olhos, e por
outros instrumentos de fixação de imagens como
câmeras fotográficas, é a luz de corpos luminosos que é
refletida de forma difusa pelos corpos que nos cercam.
Fonte de luz são todos os corpos dos quais se podem
receber luz, podendo ser fontes primárias ou secundárias.
. Fontes primárias: Também chamadas de corpos
luminosos, são corpos que emitem luz própria, como
por exemplo, o Sol, as estrelas, a chama de uma vela e
uma lâmpada acesa.
. Fontes secundárias: Também chamadas de corpos
iluminados, são os corpos que enviam a luz que
recebem de outras fontes, como por exemplo, a Lua, os
planetas, as nuvens, os objetos visíveis que não têm luz
própria,...
Quanto às suas dimensões, uma fonte pode ser
classificada como:
. Pontual ou puntiforme: uma fonte sem dimensões
consideráveis que emite infinitos raios de luz.
. Extensa: uma fonte com dimensões consideráveis em
relação ao ambiente.
MEIOS DE PROPAGAÇÃO DA LUZ
Os diferentes meios materiais comportam-se de forma
diferente ao serem atravessados pelos raios de luz, por
isso são classificados em:
91
EEAr
. Meio transparente: É um meio óptico que permite a
propagação regular da luz, ou seja, o observador vê um
objeto com nitidez através do meio. Exemplos: ar, vidro
comum, papel celofane, etc...
. Meio translúcido: É um meio óptico que permite
apenas uma propagação irregular da luz, ou seja, o
observador vê o objeto através do meio, mas sem
nitidez.
. Meio opaco: É um meio óptico que não permite que a
luz se propague, ou seja, não é possivel ver um objeto
através do meio.
FENÔMENOS ÓPTICOS
Ao incidir sobre uma superfície que separa dois meios de
propagação, a luz sofre algum, ou mais do que um, dos
fenômenos a seguir:
. Reflexão regular: A luz que incide na superfície e
retorna ao mesmo meio, regularmente, ou seja, os raios
incidentes e refletidos são paralelos. Ocorre em
superfícies metálicas bem polidas, como espelhos.
. Reflexão difusa: A luz que incide sobre a superfície
volta ao mesmo meio, de forma irregular, ou seja, os
raios incidentes são paralelos, mas os refletidos são
irregulares. Ocorre em superfícies rugosas, e é
responsável pela visibilidade dos objetos.
. Refração: A luz incide e atravessa a superfície,
continuando a se propagar no outro meio. Ambos os raios
(incidentes e refratados) são paralelos, no entanto, os
raios refratados seguem uma trajetória inclinada em
relação aos incididos. Ocorre quando a superfície separa
dois meios transparentes.
. Absorção: A luz incide na superfície, no entanto não é
refletida e nem refratada, sendo absorvida pelo corpo, e
aquecendo-o. Ocorre em corpos de superfície escura.
Princípio da independência dos raios de luz
Quando os raios de luz se cruzam, estes seguem
independentemente, cada um a sua trajetória.
Princípio da propagação retilínea da luz
Todo o raio de luz percorre trajetórias retilíneas em
meios transparentes e homogêneos.
Para saber mais...
Um meio homogêneo é aquele que apresenta as
mesmas características em todos os elementos de
volume.
Um meio isótropo, ou isotrópico, é aquele em que a
velocidade de propagação da luz e as demais
propriedades ópticas independem da direção em que é
realizada a medida.
Um meio ordinário é aquele que é, ao mesmo tempo,
transparente, homogêneo e isótropo, como por
exemplo, o vácuo.
SOMBRA E PENUMBRA
Quando um corpo opaco é colocado
entre uma fonte de
luz e um anteparo, é possível delimitar regiões de sombra
e penumbra.
A sombra é a região do espaço que não recebe luz direta
da fonte. Penumbra é a região do espaço que recebe
apenas parte da luz direta da fonte, sendo encontrada
apenas quando o corpo opaco é posto sob influência de
uma fonte extensa. Ou seja:
Fonte de luz puntiforme
Fonte de luz extensa
Câmara escura de orifício
Uma câmara escura de orifício consiste em um
equipamento formado por uma caixa de paredes
totalmente opacas, sendo que no meio de uma das faces
existe um pequeno orifício.
Ao colocar-se um objeto, de tamanho o, de frente para o
orifício, a uma distância p, nota-se que uma imagem
refletida, de tamanho i, aparece na face oposta da caixa,
a uma distância p', mas de foma invertida. Conforme
ilustra a figura:
Desta forma, a partir de uma semelhança geométrica
pode-se expressar a seguinte equação:
Equação da câmara escura.
TIPOS DE REFLEXÃO E REFRAÇÃO
Reflexão é o fenômeno que consiste no fato de a luz
voltar a se propagar no meio de origem, após incidir
sobre uma superfície de separação entre dois meios.
Refração é o fenômeno que consiste no fato de a luz
passar de um meio para outro diferente.
Durante uma reflexão são conservadas a frequência e a
velocidade de propagação, enquanto durante a refração,
apenas a frequência é mantida constante.
Reflexão e refração regular
Acontece quando, por exemplo, um feixe cilíndrico de
luz atinge uma superfície totalmente lisa, ou tranquila,
desta forma, os feixes refletidos e refratados também
serão cilíndricos, logo os raios de luz serão paralelos
entre si.
Reflexão e refração difusa
Acontece quando, por exemplo, um feixe cilíndrico de
luz atinge uma superfície rugosa, ou agitada, fazendo
92
EEAr
com que os raios de luz refletidos e refratados tenham
direção aleatória por todo o espaço.
Reflexão e refração seletiva
A luz branca que recebemos do sol, ou de lâmpadas
fluorescentes, por exemplo, é policromática, ou seja, é
formada por mais de uma luz monocromática, no caso do
sol, as sete do arco-íris: vermelho, alaranjado, amarelo,
verde, azul, anil e violeta.
Sendo assim, um objeto ao ser iluminado por luz branca
"seleciona" no espectro solar as cores que vemos, e as
refletem de forma difusa, sendo assim, vistas por nós.
Se um corpo é visto branco, é porque ele reflete todas as
cores do espectro solar.
Se um corpo é visto vermelho, por exemplo, ele absorve
todas as outras cores do espectro, refletindo apenas o
vermelho.
Se um corpo é "visto" negro, é por que ele absorve todas
as cores do espectro solar.
Chama-se filtro de luz a peça, normalmente acrílica, que
deixa passar apenas um das cores do espectro solar, ou
seja, um filtro vermelho, faz com que a única cor
refratada de forma seletiva seja a vermelha.
PONTO IMAGEM E PONTO OBJETO
Chama-se ponto objeto, relativamente a um sistema
óptico, o vértice do feixe de luz que incide sobre um
objeto ou uma superfície, sendo dividido em três tipos
principais:
. Ponto objeto real (POR): é o vértice de um feixe de
luz divergente, sendo formado pelo cruzamento efetivo
dos raios de luz.
. Ponto objeto virtual (POV): é o vértice de um feixe
de luz convergente, sendo formado pelo cruzamento
imaginário do prolongamente dos raios de luz.
. Ponto objeto impróprio (POI): é o vértice de um
feixe de luz cilíndrico, ou seja, se situa no infinito.
Chama-se ponto imagem, relativamente a um sistema
óptico, o vértice de um feixe de luz emergente, ou seja,
após ser incidido.
. Ponto imagem real (PIR): é o vértice de um feixe de
luz emergente convergente, sendo formado pelo
cruzamento efeitivo dos raios de luz.
. Ponto imagem virtual (PIV): é o vértice de um feixe
de luz emergente divergente, sendo formado pelo
cruzamento imaginário do prolongamento dos raios de
luz.
. Ponto imagem impróprio (PII): é o vértice de um
feixe de luz emergente cilíndrico, ou seja, se situa no
infinito.
SISTEMAS ÓPTICOS
Há dois principais tipos de sistemas ópticos:
os refletores e os refratores.
O grupo dos sistemas ópticos refletores consiste
principalmente nos espelhos, que são superfícies de um
corpo opaco, altamente polidas e com alto poder de
reflexão.
No grupo dos sistemas ópticos refratores encontram-se
os dioptros, que são peças constituídas de dois meios
transparentes separados por uma superfície regular.
Quando associados de forma conveniente os dioptros
funcionam como utensílios ópticos de grande utilidade
como lentes e prismas.
REFLEXÃO DA LUZ
Reflexão é o fenômeno que consiste no fato de a luz
voltar a se propagar no meio de origem, após incidir
sobre um objeto ou superfície.
É possível esquematizar a reflexão de um raio de luz, ao
atingir uma superfície polida, da seguinte forma:
AB = raio de luz incidente
BC = raio de luz refletido
N = reta normal à superfície no ponto B
T = reta tangente à superfície no ponto B
i = ângulo de incidência, formado entre o raio
incidente e a reta normal.
r = ângulo refletido, formado entre o raio refletido
e a reta normal.
Leis da reflexão
Os fenômenos em que acontecem reflexão, tanto regular
quanto difusa e seletiva, obedecem a duas leis
fundamentais que são:
1ª lei da reflexão
O raio de luz refletido e o raio de luz incidente, assim
como a reta normal à superfície, pertencem ao mesmo
plano, ou seja, são coplanares.
2ª Lei da reflexão
O ângulo de reflexão (r) é sempre igual ao ângulo de
incidência (i).
i = r
ESPELHO PLANO
Um espelho plano é aquele em que a superfície de
reflexão é totalmente plana.
Os espelhos planos têm utilidades bastante
diversificadas, desde as domésticas até como
componentes de sofisticados instrumentos ópticos.
Representa-se um espelho plano por:
93
EEAr
As principais propriedades de um espelho plano são a
simetria entre os pontos objeto e imagem e que a maior
parte da reflexão que acontece é regular.
Para saber mais...
Os espelhos geralmente são feitos de uma superfície
metálica bem polida. É comum usar-se uma placa de
vidro, onde se deposita uma fina camada de prata ou
alumínio em uma das faces, tornando a outra um
espelho.
Construção das imagens em um espelho plano
Para se determinar a imagem em um espelho plano, basta
imaginarmos que o observador vê um objeto que parece
estar atrás do espelho. Isto ocorre porque o
prolongamento do raio refletido passa por um ponto
imagem virtual (PIV), "atrás" do espelho.
Nos espelhos planos, o objeto e a respectiva imagem têm
sempre naturezas opostas, ou seja, quando um é real o
outro deve ser virtual. Portanto, para se obter
geometricamente a imagem de um objeto pontual, basta
traçar por ele, através do espelho, uma reta e marcar
simetricamente o ponto imagem.
Translação de um espelho plano
Considerando a figura:
A parte superior do desenho mostra uma pessoa a uma
distância do espelho, logo a imagem aparece a uma
distância em relação ao espelho.
Na parte inferior da figura, o espelho é transladado
para a direita, fazendo com que o observador esteja a
uma distância do espelho, fazendo com que a
imagem seja deslocada x para a direita.
Pelo desenho podemos ver que:
Que pode ser reescrito como:
Mas pela figura, podemos ver que:
Logo:
Assim pode-se concluir que sempre que um espelho é
transladado paralelamente a si mesmo, a imagem de um
objeto fixo sofre translação no mesmo sentido do
espelho, mas com comprimento equivalente ao dobro do
comprimento da translação do espelho.
Se utilizarmos esta equação, e medirmos a sua taxa de
variação em um intervalo de tempo, podemos escrever a
velocidade de translação do espelho e da imagem da
seguinta forma:
Ou seja, a velocidade de deslocamento da imagem é igual
ao dobro da velocidade de deslocamento do espelho.
Quando o observador
também se desloca, a velocidade
ao ser considerada é a a velocidade relativa entre o
observador e o espelho, ao invés da velocidade de
translação do espelho, ou seja:
Espelhos esféricos
Chamamos espelho esférico qualquer calota esférica
que seja polida e possua alto poder de reflexão.
Quando a superfície refletiva considerada for a interna, o
espelho é chamado côncavo. Já nos casos onde a face
refletiva é a externa, o espelho é chamado convexo.
É fácil observar-se que a esfera da qual a calota acima
faz parte tem duas faces, uma interna e outra externa.
Reflexão da luz em espelhos esféricos
Assim como para espelhos planos, as duas leis da
reflexão também são obedecidas nos espelhos esféricos,
ou seja, os ângulos de incidência e reflexão são iguais, e
os raios incididos, refletidos e a reta normal ao ponto
incidido.
Aspectos geométricos dos espelhos esféricos
Para o estudo dos espelhos esféricos é útil o
conhecimento dos elementos que os compõe,
esquematizados na figura abaixo:
94
EEAr
. C é o centro da esfera;
. V é o vértice da calota;
O eixo que passa pelo centro e pelo vértice da calota é
chamado eixo principal.
As demais retas que cruzam o centro da esfera são
chamadas eixos secundários.
O ângulo , que mede a distância angular entre os dois
eixos secundários que cruzam os dois pontos mais
externos da calota, é a abertura do espelho.
. O raio da esfera R que origina a calota é
chamado raios de curvatura do espelho.
Um sistema óptico que consegue conjugar a um ponto
objeto, um único ponto como imagem é dito estigmático.
Os espelhos esféricos normalmente não são estigmáticos,
nem aplanéticos ou ortoscópicos, como os espelhos
planos.
No entanto, espelhos esféricos só são estigmáticos para
os raios que incidem próximos do seu vértice V e com
uma pequena inclinação em relação ao eixo principal.
Um espelho com essas propriedades é conhecido como
espelho de Gauss.
Um espelho que não satisfaz as condições de Gauss
(incidência próxima do vértice e pequena inclinação em
relação ao eixo principal) é dito astigmático. Um espelho
astigmático conjuga a um ponto uma imagem parecendo
uma mancha.
Focos dos espelhos esféricos
Para os espelhos côncavos de Gauss, pode-se verificar
que todos os raios luminosos que incidirem ao longo de
uma direção paralela ao eixo secundário passam por (ou
convergem para) um mesmo ponto F - o foco principal
do espelho.
No caso dos espelhos convexos, a continuação do raio
refletido é que passa pelo foco. Tudo se passa como se
os raios refletidos se originassem do foco.
Determinação de imagens
Analisando objetos diante de um espelho esférico, em
posição perpendicular ao eixo principal do espelho
podemos chegar a algumas conclusões importantes.
Um objeto pode ser real ou virtual. No caso dos
espelhos, dizemos que o objeto é virtual se ele se
encontra “atrás” do espelho. No caso de espelhos
esféricos a imagem de um objeto pode
ser maior, menor ou igual ao tamanho do objeto. A
imagem pode ainda aparecer invertida em relação ao
objeto. Se não houver sua inversão dizemos que ela
é direita.
Equação fundamental dos espelhos esféricos
Dadas a distância focal e posição do objeto, é possível
determinar analiticamente a posição da imagem através
da equação de Gauss, que é expressa por:
COR E FREQUÊNCIA
No intervalo do espectro eletromagnético que
corresponde à luz visível, cada frequência equivale à
sensação de uma cor.
Conforme a frequência aumenta, diminui o comprimento
de onda, assim como mostra a tabela e o trecho do
espectroeletromagnético abaixo.
Cor Comprimento
de onda
( = )
Frequência
( )
Violeta 3900 – 4500 7,69 – 6,65
Anil 4500 – 4550 6,65 – 6,59
Azul 4550 – 4920 6,59 – 6,10
Verde 4920 – 5770 6,10 – 5,20
Amarelo 5770 – 5970 5,20 – 5,03
Alaranjado 5970 – 5220 5,03 – 4,82
Vermelho 6220 – 7800 4,82 – 3,84
95
EEAr
Quando recebemos raios de luz de diferentes frequências
podemos perceber cores diferentes destas, como
combinações. A luz branca que percebemos vinda do
Sol, por exemplo, é a combinação de todas as sete cores
do espectro visível.
LUZ MONO E POLICROMÁTICA
De acordo com sua cor, a luz pode ser classficada
como monocromática ou policromática.
Chama-se luz monocromática aquela composta de
apenas uma cor, como por exemplo a luz amarela emitida
por lâmpadas de sódio.
Chama-se luz policromática aquela composta por uma
combinação de duas ou mais cores monocromáticas,
como por exemplo a luz branca emitida pelo sol ou por
lâmpadas comuns.
Usando-se um prisma, é possível decompor a luz
policromática nas luzes monocromáticas que a formam,
o que não é possível para as cores monocromáticas, como
o vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e
violeta.
Um exemplo da composição das cores monocromáticas
que formam a luz branca é o disco de Newton, que é uma
experiência composta de um disco com as sete cores do
espectro visível, que ao girar em alta velocidade,
"recompõe" as cores monocromáticas, formando a cor
policromática branca.
Cor de um corpo
Ao nosso redor é possível distinguir várias cores, mesmo
quando estamos sob a luz do Sol, que é branca.
Esse fenômeno acontece pois quando é incidida luz
branca sobre um corpo de cor verde, por exemplo, este
absorve todas as outras cores do espectro visível,
refletido de forma difusa apenas o verde, o que torna
possível distinguir sua cor.
Por isso, um corpo de cor branca é aquele que reflete
todas as cores, sem absorver nenhuma, enquanto um
corpo de cor preta absorve todas as cores sobre ele
incididas, sem refletir nenhuma, o que causa
aquecimento.
Luz - Velocidade
Há muito tempo sabe-se que a luz faz parte de um grupo
de ondas, chamado de ondas eletromagnéticas, sendo
uma das características que reune este grupo a sua
velocidade de propagação.
A velocidade da luz no vácuo, mas que na verdade se
aplica a diversos outros fenômenos eletromagnéticos
como raios-x, raios gama, ondas de rádio e tv, é
caracterizada pela letra c, e tem um valor aproximado de
300 mil quilômetros por segundo, ou seja:
No entanto, nos meios materiais, a luz se comporta de
forma diferente, já que interage com a matéria existente
no meio. Em qualquer um destes meios a velocidade da
luz v é menor que c.
Em meios diferentes do vácuo também diminui a
velocidade conforme aumenta a frequência. Assim a
velocidade da luz vermelha é maior que a velocidade da
luz violeta, por exemplo.
ÍNDICE DE REFRAÇÃO ABSOLUTO
Para o entendimento completo da refração convém a
introdução de uma nova grandeza que relacione a
velocidade da radiação monocromática no vácuo e em
meios materiais, esta grandeza é o índice de refração da
luz monocromática no meio apresentado, e é expressa
por:
Onde n é o índice de refração absoluto no meio, sendo
uma grandeza adimensional.
É importante observar que o índice de refração absoluto
nunca pode ser menor do que 1, já que a maior
velocidade possível em um meio é c, se o meio
considerado for o próprio vácuo.
Para todos os outros meios materiais n é sempre maior
que 1.
Alguns índices de refração usuais:
Material n
Ar seco (0°C, 1atm) ≈ 1 (1,000292)
Gás carbônico (0°C, 1atm) ≈ 1 (1,00045)
Gelo (-8°C) 1,310
Água (20°C) 1,333
Etanol (20°C) 1,362
Tetracloreto de carbono 1,466
Glicerina 1,470
Monoclorobenzeno 1,527
Vidros de 1,4 a 1,7
Diamante 2,417
Sulfeto de antimônio 2,7
Índice de refração relativo entre dois meios
Chama-se índice de refração relativo entre dois meios, a
relação entre os índices de refração absolutos de cada um
dos meios, de modo que:
Mas como visto:
Então podemos escrever:
96
EEAr
Ou seja:
Observe que o índice de refração relativo entre dois
meios pode ter qualquer valor positivo, inclusive
menores ou iguais a 1.
Refringência
Dizemos que um meio é mais refringente que outro
quando seu índice de refração é maior que do outro. Ou
seja, o etanol é mais refringente que a água.
De outra maneira, podemos dizer que um meio é mais
refringente que outro quando a luz se propaga por ele
com velocidade menor que no outro.
Dioptro
É todo o sistema formado por dois meios homogêneos e
transparentes.
Quando esta separação acontece em um meio plano,
chamamos então, dioptro plano.
A figura abaixo representa um dioptro plano, na
separação entre a água e o ar, que são dois meios
homogêneos e transparentes.
Formação de imagens através de um dioptro
Considere um pescador que vê um peixe em um lago. O
peixe encontra-se a uma profundidade H da superfície da
água. O pescador o vê a uma profundidade h. Conforme
mostra a figura abaixo:
A fórmula que determina estas distância é:
Prisma
Um prisma é um sólido geométrico formado por uma
face superior e uma face inferior paralelas e congruentes
(também chamadas de bases) ligadas por arestas. As
laterais de um prisma são paralelogramos.
No entanto, para o contexto da óptica, é
chamado prisma o elemento óptico transparente com
superfícies retas e polidas que é capaz de refratar a luz
nele incidida. O formato mais usual de um prisma óptico
é o de pirâmide com base quadrangular e lados
triangulares.
A aplicação usual dos prismas ópticos é seu uso para
separar a luz branca policromática nas sete cores
monocromáticas do espectro visível, além de que, em
algumas situações poder refletir tais luzes.
Funcionamento do prisma
Quando a luz branca incide sobre a superfície do prisma,
sua velocidade é alterada, no entanto, cada cor da luz
branca tem um índice de refração diferente, e logo
ângulos de refração diferentes, chegando à outra
extremidade do prisma separadas.
Tipos de prismas
Prismas dispersivos são usados para separar a luz em
suas cores de espectro.
Prismas refletivos são usados para refletir a luz.
Prismas polarizados podem dividir o feixe de luz em
componentes de variadas polaridades.
Lentes convergentes
Em uma lente esférica com comportamento convergente,
a luz que incide paralelamente entre si é refratada,
tomando direções que convergem a um único ponto.
Tanto lentes de bordas finas como de bordas espessas
podem ser convergentes, dependendo do seu índice de
refração em relação ao do meio externo.
O caso mais comum é o que a lente tem índice de
refração maior que o índice de refração do meio externo.
Nesse caso, um exemplo de lente com comportamento
convergente é o de uma lente biconvexa (com bordas
finas):
Já o caso menos comum ocorre quando a lente tem menor
índice de refração que o meio. Nesse caso, um exempo
de lente com comportamento convergente é o de uma
lente bicôncava (com bordas espessas):
Lentes esféricas divergentes
Em uma lente esférica com comportamento divergente,
a luz que incide paralelamente entre si é refratada,
tomando direções que divergem a partir de um único
ponto.
Tanto lentes de bordas espessas como de bordas finas
podem ser divergentes, dependendo do seu índice de
refração em relação ao do meio externo.
97
EEAr
O caso mais comum é o que a lente tem índice de
refração maior que o índice de refração do meio externo.
Nesse caso, um exemplo de lente com comportamento
divergente é o de uma lente bicôncava (com bordas
espessas):
Já o caso menos comum ocorre quando a lente tem menor
índice de refração que o meio. Nesse caso, um exemplo
de lente com comportamento divergente é o de uma lente
biconvexa (com bordas finas):
VERGÊNCIA
Focos de uma lente
Focos principais
Uma lente possui um par de focos principais: foco
principal objeto (F) e foco principal imagem (F'). Ambos
localizam-se a sobre o eixo principal e são simétricos em
relação à lente, ou seja, a distância OF é igual a
distância OF'.
Foco imagem (F'): É o ponto ocupado pelo foco
imagem, podendo ser real ou virtual.
Foco objeto (F): É o ponto ocupado pelo foco objeto,
podendo ser real ou virtual.
Distância focal: É a medida da distância entre um dos
focos principais e o centro óptico, esta medida é
caracterizada pela letra f.
Pontos antiprincipais: São pontos localizados a uma
distância igual a 2f do centro óptico (O), ou seja, a uma
distância f de um dos focos principais (F ou F'). Esta
medida é caracterizada por A (para o ponto
antiprincipal objeto) e A' (para o ponto antiprincipal
imagem).
Vergência: Dada uma lente esférica em determinado
meio, chamamos vergência da lente (V) a unidade
caracterizada como o inverso da distância focal, ou seja:
A unidade utilizada para caracterizar a vergência no
Sistema Internacional de Medidas é a dioptria,
simbolozado por di.
Um dioptria equivale ao inverso de um metro, ou seja:
Uma unidade equivalente a dioptria, muito conhecida
por quem usa óculos, é o "Grau".
1di = 1grau
Quando a lente é convergente usa-se distância focal
positiva (f>0) e para uma lente divergente se usa
distância focal negativa (f<0).
Exemplo:
1) Considere uma lente convergente de distância focal
25cm = 0,25m.
Neste caso, é possível dizer que a lente tem vergência de
+4di ou que ela tem convergência de 4di.
2) Considere uma lente divergente de distância focal
50cm = 0,5m.
Neste caso, é possível dizer que a lente tem vergência de
-2di ou que ela tem divergência de 2di.
ASSOCIAÇÃO DE LENTES
Duas lentes podem ser colocadas de forma que
funcionem como uma só, desde que sejam
postas coaxialmente, isto é, com eixos principais
coincidentes. Neste caso, elas serão chamadas
de justapostas, se estiverem encostadas, ou separadas,
caso haja uma distância d separando-as.
Estas associações são importantes para o entendimento
dos instrumentos ópticos.
Quando duas lentes são associadas é possível obter
uma lente equivalente. Esta terá a mesma característica
da associação das duas primeiras.
Lembrando que se a lente equivalente tiver vergência
positiva será convergente e se tiver vergência negativa
será divergente.
Associação de lentes justapostas
Quando duas lentes são associadas de forma justaposta,
utiliza-se o teorema das vergências para definir uma
lente equivalente.
Como exemplo de associação justaposta temos:
Este teorema diz que a vergência da lente equivalente à
associação é igual à soma algébrica das vergências das
lentes componentes. Ou seja:
Que também pode ser escrita como:
98
EEAr
Associação de lentes separadas
Quando duas lentes são associadas de forma separada,
utiliza-se uma generalização do teorema das
vergências para definir uma lente equivalente.
Um exemplo de associação separada é:
A generalização do teorema diz que a vergência da lente
equivalente à tal associação é igual a soma algébrica das
vergências dos componetes menos o produto dessas
vergências pela distância que separa as lentes. Desta
forma:
Que também pode ser escrito como:
INSTRUMENTOS ÓPTICOS
Câmera fotográfica
A câmera fotográfica é um equipamento capaz de
projetar e armazenar uma imagem em um anteparo.
Nos antigos equipamentos, onde um filme deve ser posto
dentro da câmera, o anteparo utilizado é um filme
fotossensível capaz de propiciar uma reação química
entre os sais do filme e a luz que incide nele.
No caso das câmeras digitais, uma das partes do anteparo
consiste em um dispositivo eletrônico, conhecido como
CCD (Charge-Coupled Device), que converte as
intensidades de luz que incidem sobre ele em valores
digitais armazenáveis na forma de Bits (pontos) e Bytes
(dados).
O funcionamento óptico da câmera fotográfica é
basicamente equivalente ao de uma câmera escura, com
a particularidade que, no lugar do orifício uma lente
convergente é utilizada. No fundo da câmera encontra-se
o anteparo no qual a imagem será gravada.
Projetor
Um projetor
é um equipamento provido de uma lente
convergente (objetiva) que é capaz de fornecer imagens
reais, invertidas e maiores que o objeto, que pode ser
um slide ou filme.
Lupa
A Lupa é o mais simples instrumento óptico de
observação. Também é chamada de lente de aumento.
Uma lupa é constituida por uma lente convergente com
distância focal na ordem de centímetros, capaz de
conjugar uma imagem virtual, direta e maior que o
objeto.
No entanto, este instrumento se mostra eficiente apenas
quando o objeto observado estiver colocado entre o foco
principal objeto e o centro óptico.
Quando uma lupa é presa a um suporte recebe a
denominação de microscópio simples.
Microscópio Composto
Um microscópio composto é um instrumento óptico
composto fundalmentamente por um tubo delimitado nas
suas extremidades por lentes esféricas convergentes,
formando uma associação de lentes separadas.
A lente mais próxima do objeto observado é
chamada objetiva, e é uma lente com distância focal na
ordem de milímetros. A lente próxima ao observador é
chamada ocular, e é uma lente com distância focal na
ordem de centímetros.
O funcionamento de um miscroscópio composto é
bastante simples. A objetiva fornece uma imagem real,
invertida e maior que o objeto. Esta imagem funciona
como objeto para o ocular, que funciona como uma lupa,
fornecendo uma imagem final virtual, direta e maior.
Ou seja, o objeto é aumentado duplamente, fazendo com
que objetos muito pequenos sejam melhores
observados.Este microscópio composto também é
chamado Microscópio Óptico sendo capaz de aumentar
até 2 000 vezes o objeto observado. Existem também
Microscópio Eletrônicos capazes de proporcionar
aumentos de até 100 000 vezes e Microscópios de
Varredura que produzem aumentos superiores a 1 milhão
de vezes
Luneta
Lunetas são instrumentos de observação a grandes
distâncias, sendo úteis para observação de astros (luneta
astronômica) ou para observação da superfície terrestre
(luneta terrestre).
Uma luneta é basicamente montada da mesma forma que
um microscópio composto, com objetiva e ocular, no
entanto a objetiva da luneta tem distância focal na ordem
de metros, sendo capaz de observar objetos afastados.
Olho humano
O olho humano é um sistema óptico complexo, formado
por vários meios transparentes além de um sistema
fisiológico com inúmeros componentes.
Todo o conjunto que compõe a visão humana é chamado
globo ocular. A luz incide na córnea e converge até a
retina, formando as imagens.
https://www.sofisica.com.br/conteudos/Otica/Instrumentosoticos/camera.php
99
EEAr
Para esta formação de imagem acontecem vários
fenômenos fisiológicos. No entanto, para o estudo da
óptica podemos considerar o olho como uma lente
convergente, com distância focal variável, sendo
representado da seguinte forma:
Tal representação é chamada olho reduzido, e traz a
representação das distâncias entre a córnea e a lente e
entre a lente e a retina, sendo a última a distância da
imagem produzida em relação a lente (p').
Adaptação visual
Chama-se adaptação visual a capacidade apresentada
pela pupila de se adequar à luminosidade de cada
ambiente, comprimindo-se ou dilatando-se.
Em ambientes com grande luminosidade, a pupila pode
atingir um diâmetro de até 1,5mm, fazendo com que
entre menos luz no globo ocular, protegendo a retina de
um possível ofuscamento.
Já em ambientes mais escuros, a pupila se dilata,
atingindo diâmetro de até 10mm. Assim, a incidência de
luminosidade aumenta no globo ocular, possibilitando a
visão em tais ambientes.
Acomodação visual
As pessoas que têm visão considerada
normal, emétropes, têm a capacidade de acomodar
objetos de distâncias de 25 cm em média, até distâncias
no infinito visual.
Ponto próximo
A primeira distância (25cm) corresponde ao ponto
próximo, que é a mínima distância que um pessoa pode
enxergar corretamente. O que caracteriza esta situação é
que os músculos ciliares encontram-se totalmente
contraídos.
Neste caso, pela equação de Gauss:
Considerando o olho com distância entre a lente e a retina
de 15mm, ou seja, p'=15mm:
Neste caso, o foco da imagem será encontrado 14,1mm
distante da lente.
Ponto remoto
Quanto à distância infinita, corresponde ao ponto
remoto, que é a distância máxima alcançada para uma
imagem focada. Nesta situação, os músculos ciliares
encontram-se totalmente relaxados.
Da mesma forma que para o ponto próximo, podemos
utilizar a equação de Gauss, para determinar o foco da
imagem.
No entanto, é um valor indeterminado, mas se
pensarmos que infinito corresponde a um valor muito
alto, veremos que esta divisão resultará em um valor
muito pequeno, podendo ser desprezado.
Assim, teremos que:
Ilusão de óptica
Ilusão de óptica são imagens que enganam
momentaneamente o cérebro, deixando-o inconsciente
confuso e fazendo com que este capte ideias falsas,
preenchendo espaços que não ficam claros à primeira
vista.
Podem ser fisiológicas, quando surgem naturalmente,
ou cognitivas, quando se criam com artifícios visuais.
Uma das mais famosas imagens que causa ilusão de
óptica foi criada em 1915 pelo cartunista W. E. Hill.
Nesta figura, duas imagens podem ser vistas. Uma é uma
garota, posicionada de perfil olhando para longe, a outra
é o rosto de uma senhora idosa que olha para o chão.
Exercícios de Óptica
1 – (UFAL) – A figura representa um feixe de raios
paralelos incidentes em uma superfície S e os
correspondentes raios emergentes:
Essa figura ilustra o fenômeno óptico da:
a) dispersão. b) reflexão difusa.
c) refração. d) difração. e) reflexão regular.
2 – (FMABC SP) – As imagens abaixo correspondem a
um acessório de segurança para quem tem que
transportar um bebê na cadeirinha no banco de trás – o
espelho retrovisor para bebê. Para que os pais possam ver
o filho sentado na cadeirinha, fixada no banco traseiro e
de costas para os ocupantes dos bancos da frente do
carro, o espelho deve ser fixado no encosto de cabeça do
banco traseiro, defronte ao bebê. Assim, os pais, ao
olharem para o espelho retrovisor interno do automóvel,
poderão ver a imagem refletida do bebê. O princípio da
óptica geométrica que permite que isso seja possível é
https://ufal.br/
http://www.fmabc.br/
100
EEAr
a) refração luminosa.
b) dispersão luminosa.
c) independência dos raios luminosos.
d) reversibilidade dos raios luminosos.
3 – (IFSC) – Com base nos princípios da óptica
geométrica, analise as afirmativas abaixo.
I. Na reflexão, o raio incidente e o raio refletido estão
contidos no mesmo plano que a reta normal, portanto
são congruentes.
II. Quando a luz incide numa fronteira separadora de
dois meios, pode sofrer reflexão, absorção e refração.
III. Ao observarmos uma pessoa através de um espelho
plano, também seremos vistos por ela. Este fenômeno é
descrito pelo Princípio da Independência dos Raios
Luminosos.
IV. A faixa de frequência de ondas capaz de sensibilizar
o olho humano é denominada de espectro visível.
V. Podemos considerar que a “sombra” de uma nuvem
projetada sobre o solo é do mesmo tamanho da própria
nuvem, devido aos raios solares serem
aproximadamente paralelos.
É CORRETO afirmar que
a) apenas II, IV e V são verdadeiras.
b) apenas II e III são verdadeiras.
c) apenas III e V são verdadeiras.
d) apenas I, II, III e VI são verdadeiras.
e) apenas III e IV são verdadeiras.
4 – (ENEM/2016) – Algumas crianças, ao brincarem de
esconde- esconde, tapam os olhos com as mãos,
acreditando que, ao adotarem tal procedimento, não
poderão ser vistas. Essa percepção da criança contraria
o conhecimento científico porque, para serem vistos, os
objetos
a) refletem partículas de luz (fótons), que atingem os
olhos.
b) refletem partículas de luz (fótons), que se chocam
com os fótons emitidos pelos olhos.
c) geram partículas de luz (fótons), convertidas pela
fonte externa.
d) são atingidos por partículas de luz (fótons), emitidas
pelos olhos.
e) são atingidos pelas partículas de luz (fótons),
emitidas pela fonte externa e pelos olhos.
5 – (UECE/2015) – Considere uma fibra ótica
distendida ao longo de uma trajetória sinuosa. Uma das
extremidades recebe luz que, através da fibra, sai pela
outra extremidade. Note que a fibra não segue uma
trajetória retilínea. Essa aparente violação dos conceitos
de ótica geométrica, a respeito da propagação retilínea
da luz, pode ser explicada da seguinte forma:
a) a luz no interior da fibra viola os princípios da ótica
geométrica.
b) a luz percorre trajetórias retilíneas no interior da
fibra, sofrendo múltiplas reflexões na superfície da fibra
até a saída.
c) a luz no interior da fibra somente se propaga se a
fibra estiver disposta em linha reta.
d) a luz sofre refrações múltiplas durante sua
propagação, havendo apenas uma reflexão total na saída
da fibra.
6 – (UERN/2015) – Nos meios homogêneos e
transparentes, a luz se propaga em linha reta. Essa
propriedade pode ser evidenciada pelo fenômeno da
a) formação de eclipses.
b) interferência.
c) polarização.
d) difração.
7 – (FCM PB/2015) – Você pode construir uma câmara
escura com uma lata de leite em pó ou com uma caixa
de sapatos. Faça o furo no fundo da lata ou numa lateral
da caixa e coloque o papel vegetal no lugar da tampa ou
na lateral oposta. Está pronta uma câmara escura
simples, porém, com menos recurso.
Podemos compreender como a imagem de um objeto é
formada no papel vegetal colocado no interior de uma
câmara escura, ou mesmo sobre a nossa retina. Cada
ponto do objeto luminoso ou iluminado emite ou reflete
a luz em todas as direções e, portanto também na
direção do pequeno orifício. Como pudemos observar a
imagem projetada, nestas condições, aparecerá
invertida. Na segunda figura, a imagem aparece
invertida em relação ao objeto. Esta inversão da
imagem é justificada pela(o):
(http://www.if.usp.br/gref/optica/optica1.pdf)
a) reversibilidade da luz.
b) propagação retilínea da luz.
c) reflexão difusa da luz.
d) independência dos raios de luz.
e) lei de Snell – Descartes.
GABARITO Óptica
Questão 1: b) reflexão difusa.
Questão 2: d) reversibilidade dos raios luminosos.
Questão 3: a) apenas II, IV e V são verdadeiras.
https://www.ifsc.edu.br/
https://enem.inep.gov.br/
http://www.uece.br/
http://www.uece.br/
http://www.cienciasmedicas.com.br/
101
EEAr
Questão 4: a) refletem partículas de luz (fótons), que
atingem os olhos.
Questão 5: b) a luz percorre trajetórias retilíneas no
interior da fibra, sofrendo múltiplas reflexões na
superfície da fibra até a saída.
Questão 6: a) formação de eclipses.
Questão 7: b) propagação retilínea da luz.
TERMOMETRIA
Chamamos de Termologia a parte da física que estuda
os fenômenos relativos ao calor, aquecimento,
resfriamento, mudanças de estado físico, mudanças de
temperatura, etc. Termometria é a parte da termologia
voltada para o estudo da temperatura, dos termômetros e
das escalas termométricas.
Temperatura
Temperatura é a grandeza que caracteriza o estado
térmico de um corpo ou sistema.
Fisicamente o conceito dado a quente e frio é um pouco
diferente do que costumamos usar no nosso cotidiano.
Podemos definir como quente um corpo que tem suas
moléculas agitando-se muito, ou seja, com alta energia
cinética. Analogamente, um corpo frio, é aquele que tem
baixa agitação das suas moléculas.
Ao aumentar a temperatura de um corpo ou sistema
pode-se dizer que está se aumentando o estado de
agitação de suas moléculas.
Ao tirarmos uma garrafa de água mineral da geladeira ou
ao retirar um bolo de um forno, percebemos que após
algum tempo, ambas tendem a chegar à temperatura do
ambiente. Ou seja, a água "esquenta" e o bolo "esfria".
Quando dois corpos ou sistemas atingem o mesma
temperatura, dizemos que estes corpos ou sistemas estão
em equilíbrio térmico.
Escalas Termométricas
Para que seja possível medir a temperatura de um corpo,
foi desenvolvido um aparelho chamado termômetro.
O termômetro mais comum é o de mercúrio, que consiste
em um vidro graduado com um bulbo de paredes finas
que é ligado a um tubo muito fino, chamado tubo capilar.
Quando a temperatura do termômetro aumenta, as
moléculas de mercúrio aumentam sua agitação fazendo
com que este se dilate, preenchendo o tubo capilar. Para
cada altura atingida pelo mercúrio está associada uma
temperatura.
A escala de cada termômetro corresponde a este valor de
altura atingida.
Escala Celsius
É a escala usada no Brasil e na maior parte dos países,
oficializada em 1742 pelo astrônomo e físico sueco
Anders Celsius (1701-1744). Esta escala tem como
pontos de referência a temperatura de congelamento da
água sob pressão normal (0 °C) e a temperatura de
ebulição da água sob pressão normal (100 °C).
Escala Fahrenheit
Outra escala bastante utilizada, principalmente nos
países de língua inglesa, criada em 1708 pelo físico
alemão Daniel Gabriel Fahrenheit (1686-1736), tendo
como referência a temperatura de uma mistura de gelo e
cloreto de amônia (0 °F) e a temperatura do corpo
humano (100 °F).
Em comparação com a escala Celsius:
0 °C = 32 °F
100 °C = 212 °F
Escala Kelvin
Também conhecida como escala absoluta, foi verificada
pelo físico inglês William Thompson (1824-1907),
também conhecido como Lorde Kelvin. Esta escala tem
como referência a temperatura do menor estado de
agitação de qualquer molécula (0 K) e é calculada apartir
da escala Celsius.
Por convenção, não se usa "grau" para esta escala, ou seja
0 K, lê-se zero kelvin e não zero grau kelvin. Em
comparação com a escala Celsius:
-273 °C = 0 K
0 °C = 273 K
100 °C = 373 K
Conversões entre escalas
Para que seja possível expressar temperaturas dadas em
uma certa escala para outra qualquer deve-se
estabelecer uma convenção geométrica de semelhança.
Por exemplo, convertendo uma temperatura qualquer
dada em escala Fahrenheit para escala Celsius:
Pelo princípio de semelhança geométrica:
Exemplo:
Qual a temperatura correspondente em escala Celsius
para a temperatura 100 °F?
102
EEAr
Da mesma forma, pode-se estabelecer uma conversão
Celsius-Fahrenheit:
E para escala Kelvin:
Algumas temperaturas:
Escala
Celsius
(°C)
Escala
Fahrenheit
(°F)
Escala
Kelvin (K)
Ar liquefeito -39 -38,2 243
Maior Temperatura na
superfície da Terra
58 136 331
Menor Tempertura na
superfície da Terra
-89 -128 184
Ponto de combustão da
madeira
250 482 523
Ponto de combustão do
papel
184 363 257
Ponto de fusão do chumbo 327 620 600
Ponto de fusão do ferro 1535 2795 1808
Ponto do gelo 0 32 273,15
Ponto de solidificação do
mercúrio
-39 -38,2 234
Ponto do vapor 100 212 373,15
Temperatura na chama do
gás natural
660 1220 933
Temperatura na superfície
do Sol
5530 10000 5800
Zero absoluto -273,15 -459,67 0
CALOR
É a transferência de energia térmica entre corpos com
temperaturas diferentes.
A unidade mais utilizada para o calor é caloria (cal),
embora sua unidade no SI seja o joule (J). Uma caloria
equivale a quantidade de calor necessária para aumentar
a temperatura de um grama de água pura, sob pressão
normal, de 14,5 °C para 15,5 °C.
A relação entre a caloria e o joule é dada por:
1 cal = 4,186J
Partindo daí, podem-se fazer conversões entre as
unidades usando regra de três simples.
Como 1 caloria é uma unidade pequena, utilizamos
muito o seu múltiplo, a quilocaloria.
1 kcal = 10³cal
Calor sensível
É denominado calor sensível, a quantidade de calor que
tem como efeito apenas a alteração da temperatura de um
corpo.
Este fenômeno é regido pela lei física conhecida
como Equação Fundamental da Calorimetria, que diz
que a quantidade
de calor sensível (Q) é igual ao produto
de sua massa, da variação da temperatura e de uma
constante de proporcionalidade dependente da natureza
de cada corpo denominada calor específico.
Assim:
Onde:
Q = quantidade de calor sensível (cal ou J).
c = calor específico da substância que constitui o corpo
(cal/g°C ou J/kg°C).
m = massa do corpo (g ou kg).
Δθ = variação de temperatura (°C).
É interessante conhecer alguns valores de calores
específicos:
Substância
c
(cal/g°C)
Alumínio 0,219
Água 1,000
Álcool 0,590
Cobre 0,093
Chumbo 0,031
Estanho 0,055
Ferro 0,119
Gelo 0,550
Mercúrio 0,033
Ouro 0,031
Prata 0,056
Vapor
d'água
0,480
Zinco 0,093
Quando:
Q>0: o corpo ganha calor.
Q<0: o corpo perde calor.
Exemplo:
Qual a quantidade de calor sensível necessária para
aquecer uma barra de ferro de 2kg de 20°C para 200 °C?
Dado: calor específico do ferro = 0,119cal/g°C.
2 kg = 2000 g
103
EEAr
Calor latente
Nem toda a troca de calor existente na natureza se detém
a modificar a temperatura dos corpos. Em alguns casos
há mudança de estado físico destes corpos. Neste caso,
chamamos a quantidade de calor calculada de calor
latente.
A quantidade de calor latente (Q) é igual ao produto da
massa do corpo (m) e de uma constante de
proporcionalidade (L).
Assim:
A constante de proporcionalidade é chamada calor
latente de mudança de fase e se refere a quantidade de
calor que 1 g da substância calculada necessita para
mudar de uma fase para outra.
Além de depender da natureza da substância, este valor
numérico depende de cada mudança de estado físico.
Por exemplo, para a água:
Calor latente de fusão
80cal/g
Calor latente de
vaporização
540cal/g
Calor latente de
solidificação
-80cal/g
Calor latente de
condensação
-
540cal/g
Quando:
Q>0: o corpo funde ou vaporiza.
Q<0: o corpo solidifica ou condensa.
Exemplo:
Qual a quantidade de calor necessária para que um litro
de água vaporize? Dado: densidade da água=1g/cm³ e
calor latente de vaporização da água = 540 cal/g.
Assim:
Curva de aquecimento
Ao estudarmos os valores de calor latente, observamos
que estes não dependem da variação de temperatura.
Assim podemos elaborar um gráfico de temperatura em
função da quantidade de calor absorvida. Chamamos este
gráfico de Curva de Aquecimento:
Trocas de Calor
Para que o estudo de trocas de calor seja realizado com
maior precisão, este é realizado dentro de um aparelho
chamado calorímetro, que consiste em um recipiente
fechado incapaz de trocar calor com o ambiente e com
seu interior.
Dentro de um calorímetro, os corpos colocados trocam
calor até atingir o equilíbrio térmico. Como os corpos
não trocam calor com o calorímetro e nem com o meio
em que se encontram, toda a energia térmica passa de um
corpo ao outro.
Como, ao absorver calor Q>0 e ao transmitir calor Q<0,
a soma de todas as energias térmicas é nula, ou seja:
ΣQ=0
(lê-se que somatório de todas as quantidades de calor é
igual a zero)
Sendo que as quantidades de calor podem ser tanto
sensível como latente.
Exemplo:
Qual a temperatura de equilíbrio entre uma bloco de
alumínio de 200g à 20°C mergulhado em um litro de
água à 80°C? Dados calor específico: água=1cal/g°C e
alumínio = 0,219cal/g°C.
Repare que, neste exemplo, consideramos a massa da
água como 1000g, pois temos 1 litro de água.
Capacidade térmica
É a quantidade de calor que um corpo necessita receber
ou ceder para que sua temperatura varie uma unidade.
Então, pode-se expressar esta relação por:
Sua unidade usual é cal/°C.
104
EEAr
A capacidade térmica de 1g de água é de 1cal/°C já que
seu calor específico é 1cal/g.°C.
TRANSMISSÃO DE CALOR
Em certas situações, mesmo não havendo o contato físico
entre os corpos, é possível sentir que algo está mais
quente. Como quando chega-se perto do fogo de uma
lareira. Assim, concluímos que de alguma forma o calor
emana desses corpos "mais quentes" podendo se
propagar de diversas maneiras.
Como já vimos anteriormente, o fluxo de calor acontece
no sentido da maior para a menor temperatura.
Este trânsito de energia térmica pode acontecer pelas
seguintes maneiras:
. Condução;
. Convecção;
. Irradiação.
Fluxo de Calor
Para que um corpo seja aquecido, normalmente, usa-se
uma fonte térmica de potência constante, ou seja, uma
fonte capaz de fornecer uma quantidade de calor por
unidade de tempo.
Definimos fluxo de calor (Φ) que a fonte fornece de
maneira constante como o quociente entre a quantidade
de calor (Q) e o intervalo de tempo de exposição (Δt):
Sendo a unidade adotada para fluxo de calor, no sistema
internacional, o Watt (W), que corresponde a Joule por
segundo, embora também sejam muito usada a
unidade caloria/segundo (cal/s) e seus
múltiplos: caloria/minuto
(cal/min) e quilocaloria/segundo (kcal/s).
Exemplo:
Uma fonte de potência constante igual a 100W é
utilizada para aumentar a temperatura 100g de mercúrio
30°C. Sendo o calor específico do mercúrio
0,033cal/g.°C e 1cal=4,186J, quanto tempo a fonte
demora para realizar este aquecimento?
Aplicando a equação do fluxo de calor:
Condução Térmica
É a situação em que o calor se propaga através de um
"condutor". Ou seja, apesar de não estar em contato
direto com a fonte de calor um corpo pode ser modificar
sua energia térmica se houver condução de calor por
outro corpo, ou por outra parte do mesmo corpo.
Por exemplo, enquanto cozinha-se algo, se deixarmos
uma colher encostada na panela, que está sobre o fogo,
depois de um tempo ela esquentará também.
Este fenômeno acontece, pois, ao aquecermos a panela,
suas moléculas começam a agitar-se mais, como a panela
está em contato com a colher, as moléculas em agitação
maior provocam uma agitação nas moléculas da colher,
causando aumento de sua energia térmica, logo, o
aquecimento dela.
Também é por este motivo que, apesar de apenas a parte
inferior da panela estar diretamente em contato com o
fogo, sua parte superior também esquenta.
Convecção Térmica
A convecção consiste no movimento dos fluidos, e é o
princípio fundamental da compreensão do vento, por
exemplo.
O ar que está nas planícies é aquecido pelo sol e pelo
solo, assim ficando mais leve e subindo. Então as massas
de ar que estão nas montanhas, e que está mais frio que
o das planícies, toma o lugar vago pelo ar aquecido, e a
massa aquecida se desloca até os lugares mais altos, onde
resfriam. Estes movimentos causam, entre outros
fenômenos naturais, o vento.
Formalmente, convecção é o fenômeno no qual o calor
se propaga por meio do movimento de massas fluidas de
densidades diferentes.
Irradiação Térmica
É a propagação de energia térmica que não necessita de
um meio material para acontecer, pois o calor se propaga
através de ondas eletromagnéticas.
Imagine um forno microondas. Este aparelho aquece os
alimentos sem haver contato com eles, e ao contrário do
forno à gás, não é necessário que ele aqueça o ar.
Enquanto o alimento é aquecido há uma emissão de
microondas que fazem sua energia térmica aumentar,
aumentando a temperatura.
O corpo que emite a energia radiante é chamado emissor
ou radiador e o corpo que recebe, o recepto
GASES
Gases são fluidos no estado gasoso. A característica que
os difere dos fluidos líquidos é que, quando colocados
em um recipiente, estes têm a capacidade de ocupá-lo
totalmente. A maior parte dos elementos químicos não-
metálicos conhecidos são encontrados no seu estado
gasoso, em temperatura ambiente.
As moléculas do gás, ao se movimentarem, colidem com
as outras moléculas e com as paredes do recipiente onde
se encontram, exercendo uma pressão, chamada
de pressão do gás.
Esta pressão tem relação com o volume do gás e à
temperatura absoluta.
105
EEAr
Ao ter a temperatura
aumentada, as moléculas do gás
aumentam sua agitação, provocando mais colisões.
Ao aumentar o volume do recipiente, as moléculas tem
mais espaço para se deslocar, logo, as colisões
diminuem, diminuindo a pressão.
Utilizando os princípios da mecânica Newtoniana é
possível estabelecer a seguinte relação:
Onde:
p=pressão
m=massa do gás
v=velocidade média das moléculas
V=volume do gás.
Gás perfeito ou ideal
É considerado um gás perfeito quando são presentes as
seguintes características:
. O movimento das moléculas é regido pelos princípios
da mecânica Newtoniana;
. Os choques entre as moléculas são perfeitamente
elásticos, ou seja, a quantidade de movimento é
conservada;
. Não há atração e nem repulsão entre as moléculas;
. O volume de cada molécula é desprezível quando
comparado com o volume total do gás.
Energia cinética de um gás
Devido às colisões entre si e com as paredes do
recipiente, as moléculas mudam a sua velocidade e
direção, ocasionando uma variação de energia cinética
de cada uma delas. No entanto, a energia cinética média
do gás permanece a mesma.
Novamente utilizando-se conceitos da mecânica
Newtoniana estabelece-se:
Onde:
n=número molar do gás (nº de mols)
R=constante universal dos gases perfeitos
(R=8,31J/mol.K)
T=temperatura absoluta (em Kelvin)
O número de mols do gás é calculado utilizando-se sua
massa molar, encontrado em tabelas periódicas e através
da constante de Avogadro.
Utilizando-se da relação que em 1mol de moléculas de
uma substância há moléculas desta
substância.
Transformação Isotérmica
A palavra isotérmica se refere à mesma temperatura.
Logo, uma transformação isotérmica de um gás ocorre
quando a temperatura inicial é conservada.
A lei física que expressa essa relação é conhecida com
Lei de Boyle e é matematicamente expressa por:
Onde:
p=pressão
V=volume
=constante que depende da massa, temperatura e
natureza do gás.
Como esta constante é a mesma para um mesmo gás, ao
ser transformado, é válida a relação:
Exemplo:
Certo gás contido em um recipiente de 1m³ com êmbolo
exerce uma pressão de 250Pa. Ao ser comprimido
isotermicamente a um volume de 0,6m³ qual será a
pressão exercida pelo gás?
Transformação Isobárica
Analogamente à transformação isotérmica, quando há
uma transformação isobárica, a pressão é conservada.
Regida pela Lei de Charles e Gay-Lussac, esta
transformação pode ser expressa por:
Onde:
V=volume;
T=temperatura absoluta;
=constante que depende da pressão, massa e natureza
do gás.
Assim, quando um mesmo gás muda de temperatura ou
volume, é válida a relação:
Exemplo:
Um gás de volume 0,5m³ à temperatura de 20ºC é
aquecido até a temperatura de 70ºC. Qual será o volume
ocupado por ele, se esta transformação acontecer sob
pressão constante?
É importante lembrarmos que a temperatura
considerada deve ser a temperatura absoluta do gás
(escala Kelvin) assim, o primeiro passo para a resolução
do exercício é a conversão de escalas termométricas:
Lembrando que:
Então:
106
EEAr
Transformação Isométrica
A transformação isométrica também pode ser chamada
isocórica e assim como nas outras transformações vistas,
a isométrica se baseia em uma relação em que, para este
caso, o volume se mantém.
Regida pela Lei de Charles, a transformação isométrica
é matematicamente expressa por:
Onde:
p=pressão;
T=temperatura absoluta do gás;
=constante que depende do volume, massa e da
natureza do gás.;
Como para um mesmo gás, a constante é sempre a
mesma, garantindo a validade da relação:
Exemplo:
Um gás que se encontra à temperatura de 200K é
aquecido até 300K, sem mudar de volume. Se a pressão
exercida no final do processo de aquecimento é 1000Pa,
qual era a pressão inicial?
EQUAÇÃO DE CLAPEYRON
Relacionando as Leis de Boyle, Charles Gay-Lussac e de
Charles é possível estabelecer uma equação que
relacione as variáveis de estado: pressão (p), volume (V)
e temperatura absoluta (T) de um gás.
Esta equação é chamada Equação de Clapeyron, em
homenagem ao físico francês Paul Emile Clapeyron que
foi quem a estabeleceu.
Onde:
p=pressão;
V=volume;
n=nº de mols do gás;
R=constante universal dos gases perfeitos;
T=temperatura absoluta.
Exemplo:
(1) Qual é o volume ocupado por um mol de gás perfeito
submetido à pressão de 5000N/m², a uma temperatura
igual a 50°C?
Dado: 1atm=100000N/m² e
Substituindo os valores na equação de Clapeyron:
Lei geral dos gases perfeitos
Através da equação de Clapeyron é possível obter uma
lei que relaciona dois estados diferentes de uma
transformação gasosa, desde que não haja variação na
massa do gás.
Considerando um estado (1) e (2) onde:
Através da lei de Clapeyron:
Energia Interna
As partículas de um sistema têm vários tipos de energia,
e a soma de todas elas é o que chamamos Energia interna
de um sistema.
Para que este somatório seja calculado, são consideradas
as energias cinéticas de agitação , potencial de
agregação, de ligação e nuclear entre as partículas.
Nem todas estas energias consideradas são térmicas. Ao
ser fornecida a um corpo energia térmica, provoca-se
uma variação na energia interna deste corpo. Esta
variação é no que se baseiam os princípios da
termodinâmica.
Se o sistema em que a energia interna está sofrendo
variação for um gás perfeito, a energia interna será
resumida na energia de translação de suas partículas,
sendo calculada através da Lei de Joule:
Onde:
107
EEAr
U: energia interna do gás;
n: número de mol do gás;
R: constante universal dos gases perfeitos;
T: temperatura absoluta (kelvin).
Como, para determinada massa de gás, n e R são
constantes, a variação da energia interna dependerá da
variação da temperatura absoluta do gás, ou seja,
. Quando houver aumento da temperatura absoluta
ocorrerá uma variação positiva da energia
interna
. Quando houver diminuição da temperatura absoluta,
há uma variação negativa de energia interna .
. E quando não houver variação na temperatura do gás,
a variação da energia interna será igual a zero
Conhecendo a equação de Clepeyron, é possível
compará-la a equação descrita na Lei de Joule, e assim
obteremos:
1ª LEI DA TERMODINÂMICA
Chamamos de 1ª Lei da Termodinâmica o princípio
da conservação de energia aplicada à termodinâmica, o
que torna possível prever o comportamento de um
sistema gasoso ao sofrer uma transformação
termodinâmica.
Analisando o princípio da conservação de energia ao
contexto da termodinâmica:
Um sistema não pode criar ou consumir energia, mas
apenas armazená-la ou transferi-la ao meio onde se
encontra, como trabalho, ou ambas as situações
simultaneamente, então, ao receber uma
quantidade Q de calor, esta poderá realizar um
trabalho e aumentar a energia interna do sistema ΔU,
ou seja, expressando matematicamente:
Sendo todas as unidades medidas em Joule (J).
Conhecendo esta lei, podemos observar seu
comportamento para cada uma das grandezas
apresentadas:
Calor Trabalho
Energia
Interna
Q/ /ΔU
Recebe Realiza Aumenta >0
Cede Recebe Diminui <0
não troca
não realiza e nem
recebe
não varia =0
Exemplo:
Ao receber uma quantidade de calor Q=50J, um gás
realiza um trabalho igual a 12J, sabendo que a Energia
interna do sistema antes de receber calor era U=100J,
qual será esta energia após o recebimento?
2ª LEI DA TERMODINÂMICA
Dentre as duas leis da termodinâmica, a segunda é a que
tem maior aplicação na construção de máquinas e
utilização na indústria, pois trata diretamente do
rendimento das máquinas térmicas.
Dois enunciados, aparentemente diferentes ilustram a 2ª
Lei da Termodinâmica, os enunciados de
Clausius e Kelvin-Planck:
Enunciado de Clausius:
O calor não pode fluir, de forma espontânea, de um
corpo de temperatura menor, para um outro
corpo de
temperatura mais alta.
Tendo como consequência que o sentido natural do fluxo
de calor é da temperatura mais alta para a mais baixa, e
que para que o fluxo seja inverso é necessário que um
agente externo realize um trabalho sobre este sistema.
Enunciado de Kelvin-Planck:
É impossível a construção de uma máquina que,
operando em um ciclo termodinâmico, converta toda a
quantidade de calor recebido em trabalho.
Este enunciado implica que, não é possível que um
dispositivo térmico tenha um rendimento de 100%, ou
seja, por menor que seja, sempre há uma quantidade de
calor que não se transforma em trabalho efetivo.
Maquinas térmicas
As máquinas térmicas foram os primeiros dispositivos
mecânicos a serem utilizados em larga escala na
indústria, por volta do século XVIII. Na forma mais
primitiva, era usado o aquecimento para transformar
água em vapor, capaz de movimentar um pistão, que por
sua vez, movimentava um eixo que tornava a energia
mecânica utilizável para as indústrias da época.
Chamamos máquina térmica o dispositivo que,
utilizando duas fontes térmicas, faz com que a energia
térmica se converta em energia mecânica (trabalho).
A fonte térmica fornece uma quantidade de
calor que no dispositivo transforma-se em trabalho
108
EEAr
mais uma quantidade de calor que não é capaz de ser
utilizado como trabalho .
Assim é válido que:
Utiliza-se o valor absolutos das quantidade de calor pois,
em uma máquina que tem como objetivo o resfriamento,
por exemplo, estes valores serão negativos.
Neste caso, o fluxo de calor acontece da temperatura
menor para o a maior. Mas conforme a 2ª Lei da
Termodinâmica, este fluxo não acontece
espontaneamente, logo é necessário que haja um trabalho
externo, assim:
Rendimento das máquinas térmicas
Podemos chamar de rendimento de uma máquina a
relação entre a energia utilizada como forma de trabalho
e a energia fornecida:
Considerando:
=rendimento;
= trabalho convertido através da energia térmica
fornecida;
=quantidade de calor fornecida pela fonte de
aquecimento;
=quantidade de calor não transformada em trabalho.
Mas como constatado:
logo, podemos expressar o rendimento como:
O valor mínimo para o rendimento é 0 se a máquina não
realizar nenhum trabalho, e o máximo 1, se fosse
possível que a máquina transformasse todo o calor
recebido em trabalho, mas como visto, isto não é
possível. Para sabermos este rendimento em percentual,
multiplica-se o resultado obtido por 100%.
Exemplo:
Um motor à vapor realiza um trabalho de 12kJ quando
lhe é fornecido uma quantidade de calor igual a 23kJ.
Qual a capacidade percentual que o motor tem de
transformar energia térmica em trabalho?
CICLO DE CARNOT
Até meados do século XIX, acreditava-se ser possível a
construção de uma máquina térmica ideal, que seria
capaz de transformar toda a energia fornecida em
trabalho, obtendo um rendimento total (100%).
Para demonstrar que não seria possível, o engenheiro
francês Nicolas Carnot (1796-1832) propôs uma
máquina térmica teórica que se comportava como uma
máquina de rendimento total, estabelecendo um ciclo de
rendimento máximo, que mais tarde passou a ser
chamado Ciclo de Carnot.
Este ciclo seria composto de quatro processos,
independente da substância:
. Uma expansão isotérmica reversível. O sistema recebe
uma quantidade de calor da fonte de aquecimento (L-
M)
. Uma expansão adiabática reversível. O sistema não
troca calor com as fontes térmicas (M-N)
. Uma compressão isotérmica reversível. O sistema
cede calor para a fonte de resfriamento (N-O)
. Uma compressão adiabática reversível. O sistema não
troca calor com as fontes térmicas (O-L)
. Numa máquina de Carnot, a quantidade de calor que é
fornecida pela fonte de aquecimento e a quantidade
cedida à fonte de resfriamento são proporcionais às suas
temperaturas absolutas, assim:
Assim, o rendimento de uma máquina de Carnot é:
e
Logo:
Sendo:
109
EEAr
= temperatura absoluta da fonte de resfriamento
= temperatura absoluta da fonte de aquecimento
Com isto se conclui que para que haja 100% de
rendimento, todo o calor vindo da fonte de aquecimento
deverá ser transformado em trabalho, pois a temperatura
absoluta da fonte de resfriamento deverá ser 0K.
Partindo daí conclui-se que o zero absoluto não é
possível para um sistema físico.
Exemplo:
Qual o rendimento máximo teórico de uma máquina à
vapor, cujo fluido entra a 560ºC e abandona o ciclo a
200ºC?
DILATAÇÃO LINEAR
Assim como para os gases, um dos efeitos da variação da
temperatura é a variação de dimensões em corpos sólidos
e líquidos. Esta variação é o que chamamos Dilatação
Térmica.
Aplica-se apenas para os corpos em estado sólido, e
consiste na variação considerável de apenas uma
dimensão. Como, por exemplo, em barras, cabos e fios.
Ao considerarmos uma barra homogênea, por exemplo,
de comprimento a uma temperatura inicial .
Quando esta temperatura é aumentada até uma (> ),
observa-se que esta barra passa a ter um
comprimento (> ).
Com isso é possível concluir que a dilatação linear ocorre
de maneira proporcional à variação de temperatura e ao
comprimento inicial . Mas ao serem analisadas barras
de dimensões iguais, mas feitas de um material diferente,
sua variação de comprimento seria diferente, isto porque
a dilatação também leva em consideração as
propriedades do material com que o objeto é feito, este é
a constante de proporcionalidade da expressão, chamada
de coeficiente de dilatação linear (α).
Assim podemos expressar:
A unidade usada para α é o inverso da unidade de
temperatura, como: .
Alguns valores usuais de coeficientes de dilatação linear:
Substância
Chumbo
Zinco
Alumínio
Prata
Cobre
Ouro
Ferro
Platina
Vidro (comum)
Tungstênio
Vidro (pyrex)
Lâmina bimetálica
Uma das aplicações da dilatação linear mais utilizadas no
cotidiano é para a construção de lâminas bimetálicas, que
consistem em duas placas de materiais diferentes, e
portanto, coeficientes de dilatação linear diferentes,
soldadas. Ao serem aquecidas, as placas aumentam seu
comprimento de forma desigual, fazendo com que esta
lâmina soldada entorte.
As lâminas bimetálicas são encontradas principalmente
em dispositivos elétricos e eletrônicos, já que a corrente
elétrica causa aquecimento dos condutores, que não
podem sofrer um aquecimento maior do que foram
construídos para suportar.
Quando é curvada a lâmina tem o objetivo de
interromper a corrente elétrica, após um tempo em
repouso a temperatura do condutor diminui, fazendo com
que a lâmina volte ao seu formato inicial e reabilitando a
passagem de eletricidade.
Representação gráfica
Podemos expressar a dilatação linear de um corpo
através de um gráfico de seu comprimento (L) em
função da temperatura (θ), desta forma:
O gráfico deve ser um segmento de reta que não passa
pela origem, já que o comprimento inicial não é igual a
zero.
Considerando um ângulo φ como a inclinação da reta em
relação ao eixo horizontal. Podemos relacioná-lo com:
Pois:
110
EEAr
Dilatação Superficial
Esta forma de dilatação consiste em um caso onde há
dilatação linear em duas dimensões.
Considere, por exemplo, uma peça quadrada de
lados que é aquecida uma temperatura , de forma
que esta sofra um aumento em suas dimensões, mas
como há dilatação igual para os dois sentidos da peça,
esta continua quadrada, mas passa a ter lados .
Podemos estabelecer que:
Assim como:
E relacionando com cada lado podemos utilizar:
Para que possamos analisar as superfícies, podemos
elevar toda a expressão ao quadrado, obtendo uma
relação com suas áreas:
Mas a ordem de grandeza do coeficiente de dilatação
linear (α) é , o que ao ser elevado ao quadrado passa
a ter grandeza , sendo imensamente
menor
que α. Como a variação da temperatura (Δθ) dificilmente
ultrapassa um valor de 10³ºC para corpos no estado
sólido, podemos considerar o termo α²Δθ² desprezível
em comparação com 2αΔθ, o que nos permite ignorá-lo
durante o cálculo, assim:
Mas, considerando-se:
Onde, β é o coeficiente de dilatação superficial de cada
material, têm-se que:
Observe que esta equação é aplicável para qualquer
superfície geométrica, desde que as áreas sejam obtidas
através das relações geométricas para cada uma, em
particular (circular, retangular, trapezoidal, etc.).
Exemplo:
(1) Uma lâmina de ferro tem dimensões 10m x 15m em
temperatura normal. Ao ser aquecida 500ºC, qual será a
área desta superfície? Dado
Dilatação Volumétrica
Assim como na dilatação superficial, este é um caso da
dilatação linear que acontece em três dimensões,
portanto tem dedução análoga à anterior.
Consideremos um sólidos cúbico de lados que é
aquecido uma temperatura , de forma que este sofra
um aumento em suas dimensões, mas como há dilatação
em três dimensões o sólido continua com o mesmo
formato, passando a ter lados .
Inicialmente o volume do cubo é dado por:
Após haver aquecimento, este passa a ser:
Ao relacionarmos com a equação de dilatação linear:
Pelos mesmos motivos do caso da dilatação superficial,
podemos desprezar 3α²Δθ² e α³Δθ³ quando comparados
a 3αΔθ. Assim a relação pode ser dado por:
Podemos estabelecer que o coeficiente de dilatação
volumétrica ou cúbica é dado por:
Assim:
Assim como para a dilatação superficial, esta equação
pode ser utilizada para qualquer sólido, determinando
seu volume conforme sua geometria.
Sendo β=2α e γ=3α, podemos estabelecer as seguintes
relações:
Exemplo:
O cilindro circular de aço do desenho abaixo se encontra
em um laboratório a uma temperatura de -100ºC. Quando
este chegar à temperatura ambiente (20ºC), quanto ele
terá dilatado? Dado que .
111
EEAr
Sabendo que a área do cilindro é dada por:
Dilatação Volumétrica dos Líquidos
A dilatação dos líquidos tem algumas diferenças da
dilatação dos sólidos, a começar pelos seus coeficientes
de dilatação consideravelmente maiores e que para que o
volume de um líquido seja medido, é necessário que este
esteja no interior de um recipiente.
A lei que rege a dilatação de líquidos é
fundamentalmente igual à dilatação volumétrica de
sólidos, já que estes não podem dilatar-se linearmente e
nem superficialmente, então:
Mas como o líquido precisa estar depositado em um
recipiente sólido, é necessário que a dilatação deste
também seja considerada, já que ocorre
simultaneamente.
Assim, a dilatação real do líquido é a soma das dilatações
aparente e do recipiente.
Para medir a dilatação aparente costuma-se utilizar um
recipiente cheio até a borda. Ao aquecer este sistema
(recipiente + líquido) ambos dilatarão e, como os
líquidos costumam dilatar mais que os sólidos, uma
quantidade do líquido será derramada, esta quantidade
mede a dilatação aparente do líquido.
Assim:
Utilizando-se a expressão da dilatação
volumétrica, , e admitindo que os
volumes iniciais do recipiente e do líquido são iguais,
podemos expressar:
Ou seja, o coeficiente de dilatação real de um líquido é
igual a soma de dilatação aparente com o coeficiente de
dilatação do frasco onde este se encontra.
Dilatação da água
Certamente você já deve ter visto, em desenhos
animados ou documentários, pessoas pescando em
buracos feitos no gelo. Mas como vimos, os líquidos
sofrem dilatação da mesma forma que os sólidos, ou seja,
de maneira uniforme, então como é possível que haja
água em estado líquido sob as camadas de gelo com
temperatura igual ou inferior a 0°C?
Este fenômeno ocorre devido ao que chamamos
de dilatação anômala da água, pois em uma temperatura
entre 0°C e 4°C há um fenômeno inverso ao natural e
esperado. Neste intervalo de temperatura a água, ao ser
resfriada, sofre uma expansão no seu volume, e ao ser
aquecida, uma redução. É isto que permite a existência
de vida dentro da água em lugares extremamente
gelados, como o Pólo Norte.
A camada mais acima da água dos lagos, mares e rios se
resfria devido ao ar gelado, aumentando sua massa
específica e tornando-o mais pesado, então ocorre um
processo de convecção até que toda a água atinja uma
temperatura igual a 4°C, após isso o congelamento
ocorre no sentido da superfície para o fundo.
Podemos representar o comportamento do volume da
água em função da temperatura:
Como é possível perceber, o menor volume para a água
acontece em 4°C.
Entropia
Em termodinâmica, entropia é a medida de desordem das
partículas em um sistema físico. Utiliza-se a letra S para
representar esta grandeza.
Comparando este conceito ao cotidiano, podemos pensar
que, uma pessoa ao iniciar uma atividade tem seus
objetos organizados, e a medida que ela vai os utilizando
e desenvolvendo suas atividades, seus objetos tendem a
ficar cada vez mais desorganizados.
Voltando ao contexto das partículas, como sabemos, ao
sofrem mudança de temperatura, os corpos alteram o
estado de agitação de suas moléculas. Então ao
considerarmos esta agitação como a desordem do
sistema, podemos concluir que:
. Quando um sistema recebe calor Q>0, sua entropia
aumenta;
. Quando um sistema cede calor Q<0, sua entropia
diminui;
. Se o sistema não troca calor Q=0, sua entropia
permanece constante.
Segundo Rudolf Clausius, que utilizou a idéia de
entropia pela primeira vez em 1865, para o estudo da
entropia como grandeza física é mais útil conhecer sua
112
EEAr
variação do que seu valor absoluto. Assim, Clausis
definiu que a variação de entropia (ΔS) em um sistema
como:
Para processos onde as temperaturas absolutas (T) são
constantes.
Para o caso onde a temperatura absoluta se altera durante
este processo, o cálculo da variação de entropia envolve
cálculo integral, sendo que sua resolução é dada por:
Observando a natureza como um sistema, podemos dizer
que o Universo está constantemente recebendo energia,
mas não tem capacidade de cedê-la, concluindo então
que a entropia do Universo está aumentando com o
passar do tempo.
ATIVIDADES
Calor
1. Para derreter uma barra de um material w de 1kg é
necessário aquecê-lo até a temperatura de 1000°C. Sendo
a temperatura do ambiente no momento analisado 20°C
e o calor específico de w=4,3J/kg.°C, qual a quantidade
de calor necessária para derreter a barra?
2. Um bloco de ferro de 10cm³ é resfriado de 300°C para
0°C. Quantas calorias o bloco perde para o ambiente?
Dados: densidade do ferro=7,85g/cm³ e calor específico
do ferro=0,11cal/g.°C
3.Qual a quantidade de calor absorvida para que 1L
d'água congelado e à -20°C vaporize e chegue a
temperatura de 130°C.
Dados:
Calor latente de fusão da água: L=80cal/g
Calor latente de vaporização da água: L=540cal/g
Calor específico do gelo: c=0,5cal/g.°C
Calor específico da água: c=1cal/g.°C
Calor específico da água: c=0,48cal/g.°C
Densidade da água: d:1g/cm³
1L=1dm³=1000cm³
m=d.V m=1000g
Trocas de calor
1. Um bloco de uma material desconhecido e de massa
1kg encontra-se à temperatura de 80°C, ao ser
encostado em outro bloco do mesmo material, de massa
500g e que está em temperatura ambiente (20°C). Qual
a temperatura que os dois alcançam em contato?
Considere que os blocos estejam em um calorímetro.
2. Em uma cozinha, uma chaleira com 1L de água ferve.
Para que ela pare, são adicionados 500mL de água à
10°C. Qual a temperatura do equilíbrio do sistema?
Qualquer quantidade de água que esteja fervendo
encontra-se à temperatura de 100°C, se a temperatura
for superior a esta, não haverá água líquida, apenas
vapor.
GABARITO
Calor
Questão1
Questão2
Conhecendo a massa, podemos calcular a quantidade de
calor do corpo:
Como Q<0, a transferência de calor acontece no sentido
do bloco para o meio ambiente (libera calor).
Questão 3
Trocas de calor
Questão 1
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